高中数学_双曲线的标准方程教学设计学情分析教材分析课后反思

关于人教B版选修2-1《双曲线的标准方程》的教学设计

表汇报展示交流的成果.（用实物投影仪展示）

标准方程的推导：

(1)建系设点

取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴(如图2-24)

建立直角坐标系．

设M(x，y)为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c(c＞0)，那么F1、F2的坐标分别是(-c，0)、(c，0)．又设点M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数．

(2)点的集合

由定义可知，双曲线就是集合：

P={M||MF1|-|MF2||=2a}={M|MF1|-|MF2|=±2a}．

(3)代数方程

(4)化简方程(先由学生独立思考，再小组合作交流，最后组代表出示讨论的结果)

将这个方程移项，两边平方得：

化简，两边再平方，整理得：

(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2) (推导完全可以仿照椭圆方程的推导)

由双曲线定义，2c＞2a 即c＞a，所以c2-a2＞0．

设c2-a2=b2(b＞0)，代入上式得：

b2x2-a2y2=a2b2．

这就是双曲线的标准方程．

思考：焦点在y轴上的双曲线的标准方程是什么？

两种标准方程的比较(引导学生归纳)：

教师指出：

(1)双曲线标准方程中，a＞0，b＞0，但a不一定大于b；

(2)如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y 轴上．注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上．

(3)双曲线标准方程中a、b、c的关系是c2=a2+b2，不同于椭圆方程中c2=a2-b2．

跟踪训练2（选）方程

22

1

21

x y

m m

-=

++

表示焦点在y轴双曲线时，求m的取值范围

学生独立完成，投影仪展示学生结果.

(七)课堂小结

知识方面：

1．定义：平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹．

3．图形(见图2-25)：

4．焦点：F1(-c，0)、F2(c，0)；F1(0，-c)、F2(0，c)．

5．a、b、c的关系：c2=a2+b2．

思想方法方面：

归纳类比，分类讨论，方程的思想

（八)当堂检测

1、a=4，b=3 的双曲线的标准方程是__________

2、设双曲线

22

1

169

x y

-=上的点P到(5,0)的距离是15,则P到(-5,0)的距离

关于人教B版选修2-1《双曲线的标准方程》的学情分析知识和方法方面：学生先前已经学习了椭圆，基本掌握了椭圆的有关问题及研究方法，而双曲线问题，它与椭圆问题有类似性，知识的正迁移作用可在本节课中充分显示．也就是说，学生在经过前期解析几何的系统学习，已初步掌握了解析法思想和解析研究的能力，学习本课已具备一定的自行探索和推导方程的基础．在学习过程中，较椭圆而言，从直观图形轨迹到抽象概念的形成，中间一些细节问题的处理要求学生有更细致入微的分析和更强的领悟性，因此学生概括起来有更高的难度．特别是对于为什么需要加绝对值，c与a 的有怎么样大小关系，为什么是这样的等等．另外，初中所学的“反比例函数图象”在学生的头脑里有一个原有认知，而这个认知对于现在的学习会产生一定帮助的同时，其方程形式的不同也会带来一定的认知冲突．

生活经验方面：在学生的生活经验中，拉拉链的行为非常熟悉.在此基础上，探究双曲线的形成及定义，比较顺理成章，学生较易接受.另外，在现实生活中，双曲线的例子随处可见，比如，可乐瓶的下半部，双曲线型自然通风冷却塔迪拜双曲线建筑玉枕的形状等等，这些都为学习双曲线提供了素材.

心理方面：高二学生思维活跃，敢于表现自己，不喜欢被动地接受别人现成的观点，但同时也缺乏发现问题和提出问题的意识.

关于人教B版选修2-1《双曲线的标准方程》的效果分析现从具体步骤环节和整体进行效果分析：

关于人教B版选修2-1《双曲线的标准方程》的教材分析

一、地位与作用

圆锥曲线是解析几何中的一个重要内容，本章圆锥曲线分为椭圆、双曲线和抛物线三个部分，三部分在圆锥曲线中的地位相同.本章对双曲线的教学，是在学生对于椭圆基本知识和研究方法已经熟悉基础上进行的，所以讲解时应采用类比的方法让学生自主研究、合作交流

等方式得出双曲线的定义、标准方程，最后反思应用.

本课是高中数学人教B版选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》中第三节《双曲线》的第一小节内容，它是学习双曲线的性质及其应用的基础.双曲线的定义与椭圆的定义很相似，但不容易掌握而又非常重要，学习时要注意和椭圆的联系与区别，为深刻体会圆锥曲线的统一定义作好充分准备，又可对学生进行运动、变化、联系、对立、统一的辩证唯物主义思想教育.

二、与其他版本相比

人教A版和B版选修1-1教材中没有涉及曲线与方程，但在给出每种圆锥曲线的标准方程之前，都渗透了“曲线与方程”“方程与曲线”的思想；而人教A版和B版选修2-1教材中明确提出“曲线与方程”“方程与曲线”的关系，通过椭圆的方程研究椭圆的简单几何性质，学生体会到了“曲线与方程”“方程与曲线”的关系，为双曲线的标准方程的求法奠定了基础，而且这种关系贯穿本章的始终，甚至贯穿整个解析几何的始终，学生对它的体会，是一个长期反复的过程.双曲线是三种圆锥曲线中较复杂的一种，尤其定义不好理解，人教A版选修1-1教材，先由拉链的实例引入，通过实验，学生更容易理解“差的绝对值是一常数”，而人教B版中直接给出定义，学生难以理解，所以我在本节教学中我借鉴了人教A 版教材，把拉链的实验做了一个微视频，学生感觉很新鲜，很好奇，也很好理解.人教B版中双曲线标准方程的推导用的是分子有理化，A版用的是移项再平方，教学过程中引导学生两种方法都进行尝试，培养学生的发散思维.

三、立体整合

本节知识的前延是初中学过的反比例函数、圆及高中阶段的椭圆，为本节用坐标法研究双曲线做好了铺垫，同时为后面学习双曲线的几何性质和研究抛物线奠定了基础.从知识上说，是对前面所学的运用坐标法研究曲线的几何性质的又一次实际演练，同时它也是进一步研究双曲线几何性质的基础；从方法上说，它为我们研究抛物线提供了基本模式和理论基础.因此本节内容既是本章的重点，也是教材的重点.

四、重点、难点

本节课的教学重点是双曲线的定义及标准方程；难点是双曲线标准方程的推导.

五、教学课时

根据学情，本节内容分两课时完成，本课时为第一课时.