2019-2020学年上海市浦东新区第四教育署八年级下学期期末数学试卷(五四学制) (解析版)

2019-2020学年上海市浦东新区第四教育署八年级第二学期期末
数学试卷（五四学制）
一、选择题
1．直线y＝2x﹣1的截距是（）
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
2．下列方程中有实数解的是（）
A．x2+3x+4＝0B．+1＝0C．＝D．＝﹣x
3．函数y＝x﹣3的图象不经过（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．下列说法正确的是（）
A．方向相反的向量叫做相反向量
B．平行向量不能在一条直线上
C．﹣＝0
D．|+（﹣）|＝0
5．菱形的一条对角线与它的边相等，则它的锐角等于（）
A．30°B．45°C．60°D．75°
6．下列命题正确的是（）
A．任何事件发生的概率为1
B．随机事件发生的概率可以是任意实数
C．可能性很小的事件在一次实验中有可能发生
D．不可能事件在一次实验中也可能发生
二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分）
7．方程x3﹣8＝0的根是．
8．方程的解是．
9．已知一次函数y＝（3m﹣2）x+1，且y的值随着x的值增大而减小，则m的取值范围是．
10．把直线y＝2x﹣3沿y轴方向向上平移4个单位后，所得直线的表达式．11．用换元法解方程﹣＝1，设y＝，那么原方程可以化为关于y的整式
方程为．
12．已知一个凸多边形的内角和是它的外角和的5倍，那么这个凸多边形的边数等于．
13．从1、2、3、4、5、6这六个数中，任取一个数是素数的概率是．
14．已知平行四边形ABCD的周长为56cm，AB：BC＝2：5，那么AD＝cm．15．已知平行四边形ABCD中，∠A的平分线交BC于点E，若AB＝AE，则∠BAD＝度．
16．如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E、F分别在边BC和CD上，则∠AEB＝度．
17．我们把两条对角线所成两个角的大小之比是1：2的矩形叫做“和谐矩形”，如果一个“和谐矩形”的对角线长为10cm，则矩形的面积为cm2．
18．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，∠C＝60°，BC＝CD＝6，现将梯形折叠，点B恰与点D重合，折痕交AB边于点E，则CE＝．
三、简答题：（本大题共5题第19、20、21、22、每题6分，第23题7分，满分31分）19．解方程：+＝
20．解方程组：．
21．已知甲、乙两地相距90km，A、B两人沿同一公路从甲地出发到乙地，A骑摩托车，B
骑电动车，图中DE、OC分别表示A、B离开甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数关系的图象，根据图象解答下列问题：
（1）A比B迟出发小时，B的速度是km/h；
（2）在B出发后几小时，两人相遇？
22．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，设，．（1）试用向量，表示下列向量：＝；＝；
（2）求作：．（保留作图痕迹，写出结果，不要求写作法）．
23．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝12，AB＝DC＝8．∠B＝60°．（1）求梯形的中位线长．
（2）求梯形的面积．
四、解答题：（第24题8分，第25题9，第26题10分，满分27分）
24．八年级的学生去距学校10千米的科技馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了25分钟，其余的学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知每小时汽车的速度比骑自行车学生速度的2倍还多10千米，求骑车学生每小时行多少千米？
25．如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，点E是AD的中点，过A点作AF∥BC，且交CE的延长线于点F，联结BF．
（1）求证：四边形AFBD是平行四边形；
（2）当AB＝AC时，求证：四边形AFBD是矩形；
（3）（填空）在（2）中再增加条件．则四边形AFBD是正方形．
26．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形AOBC的顶点C的坐标是（2，6），动点P 从点A出发，沿线段AO向终点O运动，同时动点Q从点B出发，沿线段BC向终点C 运动．点P、Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t（0＜t＜6）秒，过点P作PE⊥AO交AB于点E．
（1）求直线AB的解析式；
（2）设△PEQ的面积为S，求当0＜t＜3时，S与t的函数关系；
（3）在动点P、Q运动的过程中，点H是矩形AOBC内（包括边界）一点，且以B、Q、
E、H为顶点的四边形是菱形，直接写出t值和与其对应的点H的坐标．
参考答案
一、选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分）
1．直线y＝2x﹣1的截距是（）
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
【分析】代入x＝0求出与之对应的y值，此题得解．
解：当x＝0时，y＝2x﹣1＝﹣1，
∴直线y＝2x﹣1的截距为﹣1．
故选：B．
2．下列方程中有实数解的是（）
A．x2+3x+4＝0B．+1＝0C．＝D．＝﹣x
【分析】求出判别式即可判断A；根据算术平方根是一个非负数即可判断B；求出方程的解，代入x﹣3进行检验，即可判断C；解方程可得x＝0，进行检验，即可判断D．解：A、x2+3x+4＝0，
△＝32﹣4×1×4＝﹣7＜0，
即此方程无实数解，故本选项错误；
B、可得＝﹣1，
∵算术平方根是一个非负数，
∴此方程无实数解，故本选项错误；
C、＝，
方程两边都乘（x﹣3）得：x＝3，
∵x＝3代入x﹣3＝0，
∴x＝3是原方程的增根，即原方程无解，故本选项错误；
D、＝﹣x，x＝x2，解得x1＝0，x2＝1（是增根，舍去），故本选项正确；
故选：D．
3．函数y＝x﹣3的图象不经过（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据一次函数的系数，利用一次函数图象与系数的关系，可得出函数y＝x﹣3的图象经过第一、三、四象限，进而可得出函数y＝x﹣3的图象不经过第二象限．解：∵k＝＞0，﹣3＜0，
∴函数y＝x﹣3的图象经过第一、三、四象限，
∴函数y＝x﹣3的图象不经过第二象限．
故选：B．
4．下列说法正确的是（）
A．方向相反的向量叫做相反向量
B．平行向量不能在一条直线上
C．﹣＝0
D．|+（﹣）|＝0
【分析】根据平面向量的性质一一判断即可．
解：A、错误．应该是方向相反且长度相等的向量叫做相反向量．
B、错误．平行向量能共线．
C、错误．结果应该是零向量．
D、正确．
故选：D．
5．菱形的一条对角线与它的边相等，则它的锐角等于（）
A．30°B．45°C．60°D．75°
【分析】由菱形的性质可得这条对角线与菱形的两边组成等边三角形，从而求得锐角的度数等于60°．
解：由菱形的性质得，菱形相邻的两边相等，则与这条对角线组成等边三角形，则它的锐角等于60°，故选C．
6．下列命题正确的是（）
A．任何事件发生的概率为1
B．随机事件发生的概率可以是任意实数
C．可能性很小的事件在一次实验中有可能发生
D．不可能事件在一次实验中也可能发生
【分析】利用概率的意义等知识分别判断后即可确定正确的选项．
解：A、任何事件发生的概率大于等于0且小于等于1，故错误；
B、随机事件发生的概率大于等于0且小于等于1，故错误；
C、可能性很小的事件在一次实验中有可能发生，正确；
D、不可能事件在一次实验中不可能发生，故错误，
故选：C．
二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分）
7．方程x3﹣8＝0的根是x＝2．
【分析】首先整理方程得出x3＝8，进而利用立方根的性质求出x的值．
解：x3﹣8＝0，
x3＝8，
解得：x＝2．
故答案为：x＝2．
8．方程的解是x＝7．
【分析】将方程两边平方后求解，注意检验．
解：将方程两边平方得x﹣3＝4，
移项得：x＝7，
代入原方程得＝2，原方程成立，
故方程的解是x＝7．
故本题答案为：x＝7．
9．已知一次函数y＝（3m﹣2）x+1，且y的值随着x的值增大而减小，则m的取值范围是m＜．
【分析】利用一次函数的性质可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围．
解：∵一次函数y＝（3m﹣2）x+1的y值随着x值的增大而减小，
∴3m﹣2＜0，
∴m＜．
故答案为：m＜．
10．把直线y＝2x﹣3沿y轴方向向上平移4个单位后，所得直线的表达式y＝2x+1．
【分析】直接利用一次函数图象平移规律进而得出答案．
解：将直线y＝2x﹣3向上平移4个单位，所得直线的表达式是：y＝2x﹣3+4＝2x+1．故答案为：y＝2x+1．
11．用换元法解方程﹣＝1，设y＝，那么原方程可以化为关于y的整式方程为y2+y﹣2＝0．
【分析】可根据方程特点设y＝，则原方程可化为﹣y＝1，化成整式方程即可．解：方程﹣＝1，
若设y＝，
把设y＝代入方程得：﹣y＝1，
方程两边同乘y，整理得y2+y﹣2＝0．
故答案为y2+y﹣2＝0．
12．已知一个凸多边形的内角和是它的外角和的5倍，那么这个凸多边形的边数等于十二．
【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°与外角和定理列出方程，然后求解即可．
解：设这个多边形是n边形，
根据题意得，（n﹣2）•180°＝5×360°，
解得n＝12．
故答案为：十二．
13．从1、2、3、4、5、6这六个数中，任取一个数是素数的概率是．【分析】共有6种可能性，其中任意取一个数是素数的有3种，可以求出相应的概率．解：在1、2、3、4、5、6这六个数中，是素数的有2、3、5，共三种，
因此，任取一个数是素数的概率是＝，
故答案为：．
14．已知平行四边形ABCD的周长为56cm，AB：BC＝2：5，那么AD＝20cm．【分析】由▱ABCD的周长为56cm，根据平行四边形的性质，即可求得AB+BC＝28cm，又由AB：BC＝2：5，即可求得答案．
解：∵▱ABCD的周长为56cm，
∴AB+BC＝28cm，
∵AB：BC＝2：5，
∴AD＝BC＝×28＝20（cm）；
故答案为：20．
15．已知平行四边形ABCD中，∠A的平分线交BC于点E，若AB＝AE，则∠BAD＝120度．
【分析】由平行四边形的性质和已知条件易证△ABE为等边三角形，则∠BAE＝60°，进而可求出∠BAD的度数．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAD＝∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAD，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝EB，
∵AB＝AE，
∴AB＝AE＝BE，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠BAE＝60°，
∴∠BAD＝2∠BAE＝120°，
故答案为：120．
16．如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E、F分别在边BC和CD上，则∠AEB＝75度．
【分析】只要证明△ABE≌△ADF，可得∠BAE＝∠DAF＝（90°﹣60°）÷2＝15°，即可解决问题．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D＝∠BAD＝90°，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF，
∴∠BAE＝∠DAF＝（90°﹣60°）÷2＝15°，
∴∠AEB＝75°，
故答案为75．
17．我们把两条对角线所成两个角的大小之比是1：2的矩形叫做“和谐矩形”，如果一个“和谐矩形”的对角线长为10cm，则矩形的面积为25cm2．
【分析】根据“和谐矩形”的性质求出∠ADB＝30°，由含30°角的直角三角形的性质求出AB、AD的长，即可得出答案．
解：∵四边形ABCD是“和谐矩形”，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD＝10，∠BAD＝90°，∠CAD：∠BAC＝1：2，
∴OA＝OD，∠CAD＝30°，∠BAC＝60°，
∴∠ADB＝∠CAD＝30°，
∴AB＝BD＝5，AD＝AB＝5，
∴矩形ABCD的面积＝AB×AD＝5×5＝25（cm2）；
故答案为：25．
18．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，∠C＝60°，BC＝CD＝6，现将梯形折叠，点B恰与点D重合，折痕交AB边于点E，则CE＝4．
【分析】连接DE，BD，由题意可证△BCD是等边三角形，可得BD＝BC＝6，∠DBC ＝60°，由直角三角形的性质可求AD＝3，AB＝3，由直角三角形的性质可求BE＝2，由勾股定理可求解．
解：如图，连接DE，BD，
∵∠BCD＝60°，BC＝CD＝6，
∴△BCD是等边三角形，
∴BD＝BC＝6，∠DBC＝60°，
∵∠B＝90°，AD∥BC，
∴∠DAB＝90°，∠ABD＝30°，∠ADB＝∠DBC＝60°，
∴AD＝BD＝3，AB＝AD＝3，
∵折痕交AB边于点E，
∴BE＝DE，
∵∠DBE＝∠BDE＝30°，
∴∠ADE＝30°，
∴DE＝2AE，
∴BE＝2AE，
∵AE+BE＝AB＝3，
∴BE＝2，
∴EC＝＝＝4，
故答案为：4．
三、简答题：（本大题共5题第19、20、21、22、每题6分，第23题7分，满分31分）19．解方程：+＝
【分析】根据解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论，依次计算可得．
解：方程两边都乘以（x+1）（x﹣1），得：4+2（x﹣1）＝x（x+1），
整理，得：x2﹣x﹣2＝0，
解得：x＝﹣1或x＝2，
检验：x＝﹣1时，（x+1）（x﹣1）＝0，舍去；
x＝2时，（x+1）（x﹣1）＝3≠0；
所以分式方程的解为x＝2．
20．解方程组：．
【分析】先降次转化成两个一次方程组，解方程组即可求解．
解：，
由方程（1）可得x+2y＝﹣3或x+2y＝3，
则方程组可变为或，
解得或．
21．已知甲、乙两地相距90km，A、B两人沿同一公路从甲地出发到乙地，A骑摩托车，B 骑电动车，图中DE、OC分别表示A、B离开甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数关系的图象，根据图象解答下列问题：
（1）A比B迟出发1小时，B的速度是20km/h；
（2）在B出发后几小时，两人相遇？
【分析】（1）根据函数图象可以得到A比B迟出发多长时间，由图象知B出发3小时行驶60km，从而可以求得B的速度；
（2）根据函数图象和图象中的数据可以OC和DE对应的函数解析式，然后联立方程组即可求得B出发后几小时，两人相遇．
解：（1）由图象可得，
A比B迟出发1小时，B的速度是：60÷3＝20km/h，
故答案为：1，20；
（2）设OC段对应的函数解析式是y＝kx，
则3k＝60，得k＝20，
即OC段对应的函数解析式是y＝20x，
设DE段对应的函数解析式是y＝ax+b，
，得，
即DE段对应的函数解析式是y＝45x﹣45，
，得，
∴B出发小时，两人相遇．
22．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，设，．（1）试用向量，表示下列向量：＝﹣；＝﹣﹣；
（2）求作：．（保留作图痕迹，写出结果，不要求写作法）．
【分析】（1）利用平行四边形的性质以及三角形法则求解即可．
（2）如图，延长BC到E，使得CE＝BC，则即为所求．
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，BC＝AD，OA＝OC，
∴＝＝+＝﹣，
＝+＝﹣﹣．
故答案为：﹣，﹣﹣．
（2）如图，延长BC到E，使得CE＝BC，则即为所求．
23．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝12，AB＝DC＝8．∠B＝60°．（1）求梯形的中位线长．
（2）求梯形的面积．
【分析】（1）过A作AE∥CD交BC于E，则四边形AECD是平行四边形，得AD＝EC，AE＝DC，证出△ABE是等边三角形，得BE＝AB＝8，则AD＝EC＝4，即可得出答案；
（2）作AF⊥BC于F，则∠BAF＝90°﹣∠B＝30°，由含30°角的直角三角形的性质得出BF＝AB＝4，AF＝BF＝4，由梯形面积公式即可得出答案．
解：（1）过A作AE∥CD交BC于E，
∵AD∥BC，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴AD＝EC，AE＝DC，
∵AB＝DC，
∴AB＝AE，
∵∠B＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴BE＝AB＝8，
∴AD＝EC＝BC﹣BE＝12﹣8＝4，
∴梯形ABCD的中位线长＝（AD+BC）＝（4+12）＝8；
（2）作AF⊥BC于F，
则∠BAF＝90°﹣∠B＝30°，
∴BF＝AB＝4，AF＝BF＝4，
∴梯形ABCD的面积＝（AD+BC）×AF＝（4+12）×4＝32．
四、解答题：（第24题8分，第25题9，第26题10分，满分27分）
24．八年级的学生去距学校10千米的科技馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了25分钟，其余的学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知每小时汽车的速度比骑自行车学生速度的2倍还多10千米，求骑车学生每小时行多少千米？
【分析】先将25分钟化成小时为小时，再设骑车学生每小时走x千米，根据汽车所用的时间＝学生骑车时间﹣，列分式方程：，求出方程的解即可．解：设骑车学生每小时走x千米，
据题意得：，
整理得：x2﹣7x﹣120＝0，
解得：x1＝15，x2＝﹣8，
经检验：x1＝15，x2＝﹣8是原方程的解，
因为x＝﹣8不符合题意，所以舍去，
答：骑车学生每小时行15千米．
25．如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，点E是AD的中点，过A点作AF∥BC，且交CE的延长线于点F，联结BF．
（1）求证：四边形AFBD是平行四边形；
（2）当AB＝AC时，求证：四边形AFBD是矩形；
（3）（填空）在（2）中再增加条件∠BAC＝90°．则四边形AFBD是正方形．
【分析】（1）根据平行四边形的判定定理即可得到结论；
（2）利用等腰三角形的性质，结合矩形的判定方法得出答案；
（3）当△ABC为等腰直角三角形时，四边形AFBD是正方形，理由为：由第一问证得的AF＝BD，且AF与BD平行，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形可得四边形AFBD为平行四边形，若三角形ABC为等腰直角三角形，D为斜边BC的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AD＝BD，且根据三线合一得到AD 与BC垂直，可得平行四边形的邻边相等且有一个角为直角，即可判定出四边形AFBD 为正方形．
【解答】（1）证明：∵点D是BC边的中点，点E是AD的中点，
∴DE是△BCF的中位线，
∴DE∥BF，
∴AD∥BF，
∵AF∥BC，
∴四边形AFBD是平行四边形；
（2）证明：（2）∵AB＝AC，BD＝DC，
∴AD⊥BC．
∴∠ADB＝90°．
∵四边形AFBD是平行四边形，
∴四边形AFBD是矩形；
（3）当△ABC为等腰直角三角形，且∠BAC＝90°时，四边形AFBD是正方形，理由如下：
∵四边形AFBD为平行四边形，
又∵等腰直角三角形ABC，且D为BC的中点，
∴AD＝BD，∠ABD＝90°，
∴四边形AFBD为正方形．
故答案为：∠BAC＝90°．
26．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形AOBC的顶点C的坐标是（2，6），动点P 从点A出发，沿线段AO向终点O运动，同时动点Q从点B出发，沿线段BC向终点C 运动．点P、Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t（0＜t＜6）秒，过点P作PE⊥AO交AB于点E．
（1）求直线AB的解析式；
（2）设△PEQ的面积为S，求当0＜t＜3时，S与t的函数关系；
（3）在动点P、Q运动的过程中，点H是矩形AOBC内（包括边界）一点，且以B、Q、
E、H为顶点的四边形是菱形，直接写出t值和与其对应的点H的坐标．
【分析】（1）先求出点A，点B坐标，利用待定系数法可求直线AB的解析式；
（2）先求出点E坐标，再利用三角形面积公式可求解；
（3）分两种情况讨论，利用菱形的性质和直角三角形的性质可求解．
解：（1）∵矩形AOBC的顶点C的坐标是（2，6），
∴OA＝BC＝6，OB＝AC＝2，
∴点A（0，6），点B（2，0），
设直线AB解析式为：y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+6；
（2）∵点P、Q的运动速度均为每秒1个单位，
∴AP＝BQ＝t，
∴OP＝6﹣t，
∵PE⊥AO，
∴点E纵坐标为6﹣t，
∴6﹣t＝﹣x+6，
∴x＝t，
∴点E（t，6﹣t），
∴当0＜t＜3时，S＝×t（6﹣2t）＝﹣t2+t；（3）如图，当四边形EHBQ是菱形时，延长PE交BC于F，
∵AB＝＝＝4，
∴OB＝AB，
∴∠BAO＝30°，
∵AO∥BC，PE⊥AO，
∴∠ABC＝∠BAO＝30°，PE⊥BC，
∵四边形EHBQ是菱形，
∴BQ＝EQ＝t，EH∥BQ，
∴∠QEB＝∠EBQ＝30°，
∴∠FEQ＝30°，
∴FQ＝EQ＝t，
∴BC＝t+t+t＝6，
∴t＝，
∴BQ＝＝EH，点E（，），
∴点H（，）；
如图，若四边形EHQB是菱形，延长PE交BC于F，
∵四边形EHQB是菱形，
∴BE＝BQ＝t，EH∥BQ，
∵∠ABC＝30°，EF⊥BC，
∴BE＝2EF，
∴t＝2（2﹣t）
∴t＝24﹣12，
∴点E（8﹣12，12﹣18），
∴点H（8﹣12，6）；
综上所述：t的值为或24﹣12，点H坐标为（，）或（8﹣12，6）．。