离散数学期末考试题(附答案和含解析3)

一、单项选择题2.设集合A={1，2，3}，下列关系R 中不．是等价关系的是（ D ） A.R={<1,1>,<2,2>,<3,3>}； B.R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<3,2>,<2,3>}；C. R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>,<2,1>,<1,3>,<3,1>,<2,3>,<3,2>}；D. R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2 >}.3．在公式（x ∀）F （x ，y ）→（∃ y ）G （x ，y ）中变元x 是（ B ）A ．自由变元；(前面无∀或∃量词)B ．既是自由变元，又是约束变元；C ．约束变元；(前面有∀或∃量词)D ．既不是自由变元，又不是约束变元.4．设A={{1，2，3}，{4，5}，{6，7，8}}，下列选项正确的是（ C ）A ．1∈A ；B ．{1，2，3}⊆A ；C ．{{4，5}}⊆A ；D ．∈A. 5.设论域为{l ，2}，及公式)()(x A x ∃等价的是( A )A.A (1)∨A (2)；B. A (1)→A (2)；C.A (1)∧A (2)；D. A (2)→A (1).6.一棵树有5个3度结点，2个2度结点，其它的都是l 度结点，那么这棵树的结点数是( B )A.13 ；B.14 ；C.16 ；D.17 .//设一度结点数为n,则有：5×3+2×2+n=2[(5+2+n)-1]解得：n=7, 所以这棵树的结点数为：m=5+2+7=14.7．设A 是偶数集合，下列说法正确的是（ A ）A ．<A ,+>是群；B ．<A ,×>是群；C ．<A ,÷>是群；D ．<A ,+>, <A ,×>,<A ,÷>都不是群。

8．下列图是欧拉图的是（ D ）10.下面不满足．．．结合律的运算是( C ) A.),min(b a b a = ； B.),max(b a b a = ； C.)(2b a b a+= ；D.ab b a 2= 二、填空题12.设f ∶R →R,f(x)=x+3,g ∶R →R,g(x)=2x+1,则复合函数=))(g (fx 42+x , //=))(g (fx f(g(x))=f(2x+1)=(2x+1)+3=2x+4 //=))(f (g x =g(f(x))=g(x+3)=2(x+3)+1=2x+7//备注：f g=f g(x)=g(f(x)) 13．设S 是非空有限集，代数系统<P （S ），∪>中，其中P （S ）为集合S 的幂集，则P （S ）对∪运算的单位元是 φ，零元是 S 。

14．设<A ，≤>是格，其中A={1，2，3，4，6，8，12，24}，≤为整除关系，则3的补元是 8 。

//（注：什么是格？ 即任意两个元素有最小上界和最大下界的偏序）15.命题公式)(Q P P ∧→的成真指派为 00，01，11 ，成假指派为 10 。

16.设A={<2,2>，<3,4>,<3,5>}，B={<1,3>，<2,5>,<3,4>}，那么dom(A∩B)={3} , ran(A∪B)= {2,3,4,5}//关系R的定义域：domR={∃x|y(<x,y>∈R)},即R中所有有序对的第一元素构成的集合。

关系R的值域：ranR={∃y|x(<x,y>∈R)},即R中所有有序对的第二元素构成的集合。

关系R的域：fldR=domR∪ranR17. 在根树中，若每一个结点的出度最多为（或≤）m,则称这棵树为m叉树。

如果每一个结点的出度都或0，则称这棵树为完全m叉树。

如果这棵树的叶都在同一层，那么称为正则m叉树。

>是一个群，其中Zn={0,1,2,……,n-1}，nyxyx mod)(+=⊕，则在<Z6, ⊕>中，1的阶是 6 ，4的阶是 3 。

//单位元是e=019. n点完全图记为K n，那么当 n ≤ 4 时，K n是平面图，当 n ≥ 5 时，K n是非平面图。

20. 若图中存在回路，它经过图中所有的结点恰好一次，则称该图为汉密尔顿图(哈密顿图) 。

// 欧拉图三、计算题21. 求命题公式)()(PQQP∨⌝→→⌝的主析取范式。

解：)()(PQQP∨⌝→→⌝⇔)()(PQQP∨⌝→∨22. 设A={1,2,3,4}，给A上的二元关系R={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>}，求R的传递闭包。

解：由R={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>}，得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111RM，从而⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11112MR，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11113MR，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11114MR，于是2R={<1,1>,<1,3>,<2,2>,<2,4>}，3R={<1,2>,<1,4>,<2,1>,<2,3>}，4R={<1,1>,<1,3>,<2,2>,<2,4>}=2R，故432)(RRRRRt==｛<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<2,1>,<2,2>，<2,3>，<2,4>，<3,4>}23.设A={1，2，3，4，6，8，12，24}，R为A上的整除关系，试画<A，R>的哈斯图，并求A中的最大元、最小元、极大元、极小元。

解：<A ，R>的哈斯图如右图所示：A 中的最大元为24、最小元为1、极大元为24、极小元为1。

24.求下图所示格的所有5元子格。

解：所有5元子格如下： 26.用矩阵的方法求右图中结点v 1，v 3之间长度为2的路径的数目。

//教材P289、290所以，图中结点v 1，v 3之间长度为2的路径的数目有3条。

//备注：邻接矩阵中所有元素之和等于边数。

通路（v1->v1,v2,v3,v4…）及回路（v1->v1,v2->v2,v->v3…）四、证明题27. 在整数集Z 上定义：Z ,,1∈∀++=b a b a b a ，证明：<Z ， >是一个群。

证明：（1）对于Z b a ∈∀,，有Z 1∈++=b a b a ，所以运算 是封闭的。

（2）对于Z c b a ∈∀,,，有即)()(c b a c b a =，故运算 是可结合的。

（3）1-是单位元，因为Z a ∈∀，a aa =+-=-11)1( ，a a a =++-=-11)1( . （4）Z a ∈∀，由112)2(-=+--=--a a a a ，112)2(-=++--=--a a a a ，可知 a --2是a 的逆元。

综上所述，<Z ， >是一个群。

28. 设R 为N ×N 上的二元关系，N N d c b a ⨯>∈<><∀,,,，d b d c R b a =>⇔<><,,，证明R 为等价关系。

证明：因为N N b a ⨯>∈<∀,，b b =，所以><><b a R b a ,,，故R 具有自反性。

N N d c b a ⨯>∈<><∀,,,，若><><d c R b a ,,，则d b =，即b d =，故><><b a R d c ,,，所以R 具有对称性。

N N f e d c b a ⨯>∈<><><∀,,,,,，若><><d c R b a ,,，><><f e R d c ,,， 则d b =，f d =从而f b =，故><><f e R b a ,,，所以R 具有对称性。

综上所述，R 为等价关系。

五、综合应用题29．在谓词逻辑中构造下面推理的证明：每个在学校读书的人都获得知识。

所以如果没有人获得知识就没有人在学校读书。

（个体域：所有人的集合）证明：设S （x ）:x 是 在学校读书的人， G （x ）：x 是获得知识的人。

前提：（x ∀）))()((x G x S →；结论：→∃⌝)()(x G x )()(x S x ∃⌝推理过程如下：（1）（x ∀）))()((x G x S → P（2）)()(c G c S → US （1）（3）)()(x G x ∃⌝ P （附加前提）（4）)()(x G x ⌝∀ T(3)E(5) )(c G ⌝ US(4)(6) )(c S ⌝ T(2)(5)I(7) )()(x S x ⌝∀ UG(6)(8) )()(x S x ∃⌝ T(7)E。