勾股定理中的数学思想方法.docx
《勾股定理》中的数学思想
1、《勾股定理》中的数学思想2、赏古诗、用勾股、做趣题3、“勾股定理”及其“逆定理”误区剖析4、感悟“赵爽弦图”5、勾股定理及其逆定理的应用例析1、《勾股定理》中的数学思想 数学思想是数学解题的“灵魂”，总结概括数学思想有利于透彻地理解所学知识，提高独立分析问题和解决问题的能力．下面例谈《勾股定理》一章中的常用的数学思想：一、方程思想例1．如图1，有一张直角三角形纸片，两直角边AC =5cm ，BC =12cm ，将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则CD 的长为（ ）.A .1312119169 (552424)B C D 【分析】折叠问题是近几年来中考中的常见题型．解折叠问题关键抓住对称性．图１中CD 在Ｒt △ACD 中，由于AC 已知，要求CD ，只需求AD ，由折叠的对称性，得AD=BD ，注意到CD+BD=BC ，利用勾股定理即可解之．解：如图1，要使A ，B 两点重合，则折痕DE 必为AB 的垂直平分线．连结AD ，则AD ＝BD ．设CD ＝x ， 则AD=BD =12－x ．在Rt △ACD 中，由勾股定理，得2x ＋52=(12－x )2． ∴x =11924．故应选D.25＝144－24x 点拨：勾股定理的数学表达式是一个含有平方关系的等式，求线段的长时，常由此列出方程，运用方程思想分析问题和解决问题，以便简化求解．二、分类讨论思想例2．在Rt △ABC 中，a ＝6，b ＝8，求c .【分析】本题没有明确告之哪个角是直角，因此由b ＞a ，∠B 与∠C 都可能为直角，这时应分情况讨论。
解：（1）当∠C ＝90°时，由勾股定理得，c 10；（2）当∠B ＝90°时，由勾股定理得， b 2＝a 2＋c 2，∴ c点拨：在一些求值计算题中，题目没有给出图形，直角条件不明确时，要注意分情况进行讨论，避免漏解.三、整体思想例3．在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图4)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝_____．【分析】本题不可能求出S 1、S 2、S 3、S 4，，但我们可以利用三角形全等和勾股定理分别求出S 1＋S 2、S 2＋S 3、S 3＋S 4.解：易证Rt ABC Rt CDE ∆≅∆，∴AB=CD ，又∵222CD DE CE +=，而23AB S =，2243,CE DE S ==，∴S 3＋S 4=3，同理S 1＋S 2=1，S 2＋S 3=2.∴S 1＋S 2 ＋S 2＋S 3＋S 3＋S 4=1＋2＋3=6，即S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝4.点拨：化零为整，化分散为集中的整体策略是数学解题的重要方法，利用整体思想，不仅会使问题化繁为简，化难为易，而且有助于培养我们的创造性思维能力.2、赏古诗、用勾股、做趣题“勾股定理”是反映直角三角形三边关系的一个重要定理，它在解决直角三角形中的有关边的问题中起重要作用，并常常渗透着方程的思想．在一些古代数学书中流传着许多与“勾股定理”有关的趣题．现列举几例与大家共享．例1．明朝程大位的著作《直指算法统宗》里有一道“荡秋千”的趣题，是用诗歌的形式写的：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉，良工高士好奇，算出索长有几？（一步合5尺，秋千踏板大小忽略不计）【分析】诗的大意是：当秋千静止时，秋千的踏脚板离地面1尺，将秋千的踏板往前推2步（这里一步合5尺）时，秋千的踏板与人一样高，而此人身高5尺，当然这时秋千的绳索是呈直线状态．现在问：这个秋千的绳索有多长？解：如图1，设OA 为静止时，秋千绳索的长，则AF＝1，CE ＝BF ＝5．BA ＝BF －AF ＝5－1＝4．设绳索长为OA ＝OC ＝x尺．则OB ＝OA －BA ＝x －4尺．BC ＝5×2＝10尺．在Rt △OBC 中，由勾股定理，得：x 2＝102＋(x －4)2．解得：x ＝14.5尺．∴绳索长为14.5尺．例2．12世纪的印度著名数学家婆什迦罗在其著作《丽拉瓦提》中有道问题：波平如镜一湖面，半尺高处出红莲，鲜艳多姿湖中立，猛遭狂风吹一边；红莲斜卧水淹面，距根生处两尺远；渔翁发现忙思考，湖水深浅有多少？【分析】词的大意是：湖里有一棵红莲，直立的红莲高出湖面0.5尺,一阵狂风把红莲吹斜，卧水淹面，这时红莲距离它生根的地方有2尺远，求湖水深是多少？解：如图，设AD 为红莲，出水处为CD ．依题意，CD ＝0.5尺，BC ＝2尺． 设湖深AC ＝x 尺，则红莲高为AD ＝AB ＝x +尺．在Rt △ACB 中，由勾股定理，得：x 2＋22＝(x ＋0.5)2， 解得：x ＝433尺． ∴湖水深433尺． 【注】此题与《九章算术》中的“引葭赴岸”如出一辙，但比“引葭赴岸”要晚上千年！3、“勾股定理”及其“逆定理”误区剖析勾股定理及其逆定理是初中几何的重要定理之一，由于初学，加之渗透了数形结合的思想，同学们在应用其解题时往往会出现一些错误。
在勾股定理的教学中渗透数学思想方法
在勾股定理的教学中渗透数学思想方法东莞东华初级中学 陈佩弟《全日制义务教育数学课程标准》指出:“通过数学学习,学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识以及基本的数学思想方法.”数学思想方法是数学的生命和灵魂,是数学知识的精髓,是把知识转化为能力的桥梁.因此,在数学教学活动中,教师应重视数学思想方法的渗透,注重对学生进行数学思想方法的培养,为学生的持续学习和发展作好奠基.勾股定理是平面几何有关度量的最基本、最重要的定理,也是中考的重要考点之一,其中蕴涵着多种数学思想,现小结如下:一.勾股定理与数形结合思想所谓数形结合思想,就是抓住数与形之间本质上的联系,将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,通过“以形助数”或“以数解形”,使复杂问题简单化、抽象问题具体化,从而达到迅速解题的目的.勾股定理反映了直角三角形三条边之间的关系,它是把三角形有一个直角的“形”的特征,转化为三边“数”的关系,因此它是数形结合的一个典范.例1:(课本P76习题18.2 T5)△ABC 中,AB=13cm,BC=10cm,BC 边上的中线AD=12cm.求AC 思考与分析:解答本题一定要先根据题意画出相应的图形,求出BD=CD=5cm ，再将题目所给的数据标在图上,得到如图,因此很容易就想到本题的解答思路是:先利用勾股定理的逆定理说明∠ADB=90°,从而∠ADC=90°,再用勾股定理即可求得AC解: ∵AD 是BC 边上的中线∴BD=CD=21BC=21×10=5cm （由形到数） ∵169144251252222=+=+=+AD BD1691322==AB∴222AB AD BD =+∴△ADB 为直角三角形,且∠ADB=90°（由数到形）∴∠ADC=180°-∠ADB=90°∴△ADC 为直角三角形 （由数到形） ∴131695122222==+=+=CD AD AC cm （由形到数）B C D 13 12 5 5反思:此题综合运用了勾股定理及逆定理,充分体现了由形到数,再由数到形的数形结合的思想,从中你可以体会到数形结合的奥妙.二.勾股定理与分类讨论思想分类讨论思想是指在解题过程中,当条件或结论不确定或不唯一时,往往会产生几种可能的情况,这就需要依据一定的标准对问题进行分类,再针对各种不同的情况分别予以解决,最后综合各类结果得到整个问题的结论.分类讨论实质上是一种“化整为零,各个击破,再积零为整”的数学方法.例2:(课本P76习题18.2 T3)小明向东走80m 后,沿另一方向又走了60m,再沿第三个方向走100m 回到原地.小明向东走80m 后又向哪个方向走的?思考与分析:观察数据80、60、100,根据勾股定理的逆定理可以判断出小明所走的路线形成了一个直角三角形,即小明向东走的80m 是一直角边,转了90°角后走的60m 是另一直角边,最后走的100m 是斜边.因此得到本题的关键是弄清楚转的90°是往哪个方向转的.情况不确定,故须分类讨论:如果往右转90°,则向南走;如果往左转90°,则向北走.从而得到答案是向南或北走.本题若利用数形结合的思想,根据题意画出如图,思考起来会更直观.教师在讲解本题时也可以先让学生做课本P76练习 T3:A 、B 、C 三地的两两距离如图所示,A 地在B 地的正东方向,C 地在B 地的什么方向?这样设计的目的是让学生经历由易到难的过程,通过类比学习,明白这两题的本质是:一题是明确给出图形,情况唯一;另一题没有给图,情况不唯一,须 分类讨论.还有一道常考题:直角三角形的两条边长分别为3和4,则第三边长为 ,学生审题不清,或容易受到定势思维的影响而漏掉一种情况.教师也可以让学生先做:直角三角形的两条直角边长分别为3和4,则第三边长为 .对比学习,学生印象更深刻反思:当已知条件中没有给出图形时,应认真读句画图,避免遗漏情况;另在直角三角形中,已知两边长但不明确是直角边还是斜边时,应分类讨论.A B C 12km13km5km北 南南 北三.勾股定理与方程思想方程思想就是指在解决数学问题时,从分析问题的数量关系入手,通过设未知数,把问题中的已知量与未知量之间的数量关系联系起来,从而建立方程或方程组的数学模型,然后求解方程或方程组使问题得以解决.用方程思想分析、处理问题,思路清晰,解题灵活、简便.例3:(课本P81复习题18 T7)一根竹子高1丈,折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处.折断处离地面的高度是多少?（这是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题.其中的丈、尺是长度单位,1丈=10尺.）思考与分析:本题若想直接在Rt △ABC 中运用勾股定理求AB 是行不通的,因为只知道一条边BC 的长,AC 的长不知道,但AC 与AB 有关系AC+AB=10,因此可设AB 为x 尺,则AC 为（10-x ）尺,利用勾股定理可列出方程()222103x x -=+,解得x=4.55反思:勾股定理说到底是一个等式,而含有未知数的等式就是方程,所以,在利用勾股定理求线段的长时常常利用列方程来解决.勾股定理表达式中有三个量,当无法已知两个量求第三个量时,应采用间接求法,灵活地寻找题中的数量关系,利用勾股定理列方程.四.勾股定理与转化思想转化思想是指将陌生的问题转化为熟悉的问题,将特殊的问题转化为一般的问题,将复杂的问题转化为简单的问题,将综合的问题转化为基本的问题等一种解题的手段.如解方程（组）问题中,高次转化为一次,多元转化为一元;在几何问题中,将多边形转化为三角形,将空间图形转化为平面图形等都是转化思想的具体体现.例4:(课本P81复习题18 T8)已知圆柱的底面半径为6cm,高为10cm,蚂蚁从A 点爬到B 点的最短路程是多少厘米?（结果保留小数点后1位）思考与分析:我们知道蚂蚁在圆柱表面爬行的路线是一条曲线,目前学生还无法用所学的知识求曲线的长,另外,在一个曲面上,最短的路线怎样走更是无从知道.但我们知道在平面几何中有一个结论“两点之间,线段最短”,因此我们可以借助平面展开的方法,把圆柱的侧面展开成一个矩形如图,AB 即为所求.通过分析可知AC 对应圆柱的高10cm,BC 是底面圆的周长的一半即为π6,根据勾股定理得 ()m AB 3.2136100610222≈+=+=ππ 反思:在立体图形的表面讨论最短距离,应先将立体图形转化为平面图形,再利用“两点3尺 Ax10-x B A ●C之间,线段最短”及勾股定理求解.本题还可以拓广到在正方体、圆锥、长方体中求最短距离.还应明确的是圆柱、正方体、圆锥的展开方式只有一种,而长方体的展开方式不只一种,须分类讨论,再通过比较得出最后的答案.五.勾股定理与整体思想 整体思想是指对于某些数学问题,如果拘泥常规,从局部着手,则难以求解;如果把问题的某个部分或几个部分看成一个整体进行思考,就能开阔思路,较快解答题目.例5.在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图）.已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3,正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ,求4321S S S S +++思考与分析:本题不可能具体求出1S 、2S 、3S 、4S 的值,但我们可以利用三角形全等和勾股定理分别求出21S S +、32S S +、43S S +解:易证Rt△ABC ≌ Rt△CDE∴ AB = CD∵222CE DE CD =+∴222CE DE AB =+∵32S AB =,42S DE =,32=CE ∴343=+S S同理可得121=+S S∴4314321=+=+++S S S S反思:化分散为集中的整体策略是数学解题的重要方法,利用整体思想,不仅会使问题化繁为简、化难为易,而且有助于培养学生的创造性思维能力.六.勾股定理与类比思想类比思想是数学学习的一种重要发现式和创造性思维.它是通过两个已知事物在某些方面所具有的共同属性,去推测这两个事物在其他方面也有相同或类似的属性,从而大胆猜想得到结论.例6.（1）如图①,分别以Rt △ABC 的三边为边向外作三个正方形,其面积分别用1S 、2S 、3S 表示,请说明132S S S =+（2）如图②,分别以Rt △ABC 的三边为直径向外作三个半圆,其面积分别用1S 、2S 、3S 表示,132S S S =+仍然成立吗?请说明理由.（3）如图③,分别以Rt △ABC 的三边为边向外作三个等边三角形,其面积分别用1S 、2S 、3S 表示,请你确定1S 、2S 、3S 之间的关系并加以证明.古人云: “授人以鱼,不如授人以渔.”数学教师不仅要教会学生解题,更重要的是让学生学会解题的方法,让学生具备独立分析和解决问题的能力,从而达到举一反三的目的,这是二十一世纪现代素质教育的要求.因此,在数学课堂教学中,需要我们教师有意识的将这些数学思想方法加以点拨并渗透,这对学生来说是终生受益的.。
勾股定理教学中体现的数学思想
勾股定理教学中体现的数学思想丹阳市华南实验学校 夏青梅随着新课程标准的逐步实行与推广，数学教学在培养学生基础知识和基本技能的同时，应更加注重培养学生的思维能力。
本文以勾股定理的教学为例，谈谈新课程中体现的数学思想，与广大同仁共同探讨。
勾股定理是数学中的至宝，在古今中外数学发展史上，是一个最基本最重要的定理。
在运用勾股定理解决实际问题时，常会遇到一些疑难问题，若能结合运用一些数学思想方法，转换思维角度，便可使思路开阔，方法简捷。
现举例说明：一、化归思想所谓化归思想是把一个实际问题通过某种转化、归结为一个数学问题，把一个较复杂的问题转化、归结为一个简单的问题，这种化归思想不同于一般所讲的“转化”、“转换”，它具有不可逆转的单向性。
例1、 已知△ABC 中∠B=60°，∠C=45°，AB=4，求BC 的值。
评析：△ABC 为斜三角形，利用化归思想可通过化斜三角形为直角三角形，从而利用勾股定理得以解决。
过A 点作BC 边上的高AE ，将△ABC 分成两个特殊的直角三角形ABE 与ACE ，根据勾股定理由AB=4，∠B=60°，先分别求出BE=2，AE=22，再由∠C=45°得AE=CE ，求出CE=22，从而得到BC 的值为22+2。
本题将一个较复杂的问题转化归结为一个简单的基本的问题，从而得到解决。
例2、八（1）小刚同学代表学校在北京参加航模比赛，这天小刚与老师、同学兴冲冲来到机场，却遇到了一个大问题：机场规定旅客随机携带的物品的长、宽、高不得超过一米，而小刚的飞机模型却有1.6米长，飞机模型不能折断、拆卸，托运又来不及，怎么办呢？正当老师与同学们发愁的时候，小刚灵机一动，利用课堂上学到的知识将飞机模型完整地带上了飞机。
同样聪明的你，想到什么办法吗？并请你讲出其中的道理。
评析：这是一个生活实际问题，我们可以将它转化归结为一个数学问题。
先在底面ABCD 的直角三角形ABD 中利用勾股定理由AB=AD=1，求出对角线BD=2；再在对角平面D ’DBB ’的直角三角形DBD ’中，由DD ’=1, BD=2，求出BD ’=3，又因为3≈1.7＞1.6 ，因而便可判断能将飞机模型完整地带上了飞机。
勾股定理应用中的数学思想
勾股定理应用中的数学思想勾股定理是平面几何有关度量的最基本定理之一，它从边的角度进一步刻画了直角三角形的特征，揭示了直角三角形的一个重要的三边关系．在勾股定理的探索和应用过程中，蕴含着丰富的数学思想．下面试举几例：一、方程思想方程思想是初中数学中一种常用的数学思想，它通过设未知量、寻找相等关系建立方程模型，运用方程的有关知识沟通“已知”和“未知”之间关系的思想，即方程思想．例1、如图1，△ABC 中，AB=15，BC=14，AC=13，求BC 边上的高AD ．分析：本题的图形是由一条公共边AD 的两个直角三角形（Rt △ABD 和Rt △ACD ）组成的图形，我们一般称为复合三角形．求解复合三角形的基本思路是抓住公共边，利用公共边相等来建立方程．解析：设DC=x ，则BD=14- x ．根据勾股定理得 AD 2=152-（14- x ）2， AD 2=132- x 2∴152-（14- x ）2=132- x2225-（196-28x + x 2）=169- x 2225-196+28x -x 2=169- x 228x=169-225+196 28x=365-225 28x=140 x=5在Rt △ACD 中 AD 2= AC 2-CD 2=132-52= 144 ∴ AD=12 二、数形结合思想数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的．例1．如图2有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ，BC=8cm ，现将直角边AC•沿直DABC图1线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，求CD 长．解析：本题关键在于观察图形，明确折叠前、后的两个图形是全等的，特别要注意△DEB 仍是直角三角形．通过Rt △ABC ，∠C=90°，AC=6，BC=8 利用勾股定理可求出 AB=10．由题意知△ACD ≌△AED ⇒∠AED=∠C=90°⇒∠DEB=90°，且DE=CD ，AC=AE=6，设CD=x ，则DE=x ，而EB=10-6=4，抓住Rt △DEB 的三边关系，利用勾股定理就可以求出．在Rt △DEB 中，BD 2=DE 2+BE 2（8-x ）2=x 2+42， 64-16x+x 2=x 2+16， 16x=48， 解得x=3（cm ）． 即CD 的长是3 cm. 三、分类讨论思想在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法．分类讨论是一种逻辑方法，也是一种重要的数学思想．例3.在一个直角三角形中，已知有两条边的长分别为3和4，求以第三条边为边长的正方形的面积．解析：此题中并没有说明第三条边是直角边还是斜边，所以需要分类讨论，设第三条边的长为x ．（1）当x 为斜边时，根据勾股定理得x 2=32+42=52=25，所以第三条边为边长的正方形的面积是25．（2）当x 为直角边时，根据勾股定理得x 2=42-32=16-9=7，所以第三条边为边长的正方形的面积是7．因此，以第三条边为边长的正方形的面积是25或7. 四、转化思想转化思想是把未知的问题转化到在已有知识范围内可解问题的一种重要的思想方法．数学的解题过程，就是图3AMG C DEH FB从“未知”向“已知”、从“复杂”到“简单”的化归转换过程．在本章中，求长方体、圆柱等立体图形表面的最短距离时，通常都是把其侧面展开成平面图形，然后根据“两点之间，线段最短”，利用勾股定理求解．例4. 如图3是一个长8 m、宽6m、高5m的长方体形仓库，在其内壁的A（长的四等分点）处有一只壁虎、B（宽的三等分点）处有一只蚊子，请你帮壁虎设计爬到蚊子处的最短路线，并说明理由．解析：解决立体图形中最短距离问题的关键是把利用转化思想，把陌生的立体图形转化到熟悉的平面图形，再利用“两点之间，线段最短”求解，壁虎要从A点爬到B点，有两条路线可走：（1）如图a，经过CDEF面后进入CFGH面到达B点．在Rt△ABE中，BE=4+5=9m，AE=6m，根据勾股定理得AB2=AE2+BE2=62+92=117 .(2)如图b，经过CDEF面后进入EFGM面，在Rt△ABN中，EN=FB=4m，AN=AE+EN=6+4=10m， BN=FE=5m，所以AB2=AN2+BN2=102+52=125. 显然125＞117,所以壁虎趴到蚊子处的最短路线是沿着图a中的线段AB．图aHCD EFGAB图bG CDFAB。
勾股定理中的思想方法
勾股定理中的思想方法勾股定理及其逆定理是中学阶段两个非常重要的结论，它是数与形结合的一个典范．在本章的学习中不仅体现了数形结合的思想，还包含了其他的数学思想方法，现列举如下，供大家参考：(1)面积法．教材中证明勾股定理的几种方法均采用了面积法，即用不同的方式表示同一个图形的面积，从而列出等式解决问题．例1已知 △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5㎝．BC ＝3㎝，CD ⊥AB 于点D ，求CD的长．分析：由题意可知利用勾股定理可求得AC ，然后用不同的方式表示△ABC 的面积，进而求出CD 的长．解：如图1 ，∵△ABC 是直角三角形，∴AC 2＋BC 2＝AB 2，即AC 2＝52-32，∴AC =4（㎝），又S △ABC ＝12BC ×AC ＝12AB ×CD ，∴ CD ＝BC AC AB ⋅＝⨯345＝2.4（cm ）． (2)构造法．本章利用勾股定理的前提是在直角三角形中，若题中不具备这个条件，可考虑添加辅助线构造直角三角形．例2 如图2，已知△ABC 中， ∠B ＝30°， ∠C ＝45°， AB ＝4， AC＝△ABC 的面积．分析：要求面积需知道一边和这边上的高，题中不是直角三角形，不能用勾股定理来解决，可考虑作BC 边上的高，构造直角三角形来解决．解：过点A 作ACD ⊥BC ，垂足为D ，在Rt △ADB 中，∵AB ＝4， ∠B ＝30°∴AD ＝12AB ＝2，由勾股定理得，BD＝＝＝． 在Rt △ADC 中，∵AC＝， ∠C ＝45°由勾股定理得AD 2＋CD 2＝AC 2，即2AD 2＝() 2，∴AD ＝CD ＝2， ∴BC ＝BD ＋CD＝＋2，∴S △ABC ＝12BC ×AD ＝12(＋2)·2＝＋2． (3)转化思想．勾股定理是从形到数的转化，其逆定理是从数到形的转化．本章题目中还有把四边形转化为三角形的问题，把立体图形转化为平面图形的问题．这些都体现了转化的数学思想． 例3 如图3，已知四边形ABCD 中，∠B ＝90°， AB ＝3， BC ＝4，CD ＝12，AD ＝13．求四边形ABCD 的面积．分析：由题意联想勾股数，可连接AC 把四边形的问题转化为三角形的问题． 解：连接AC ，在Rt △ABC 中，AC 2＝AB 2＋BC 2＝32＋42＝25，∴AC ＝5．在△ACD 中，∵AC 2＋CD 2＝52＋122＝169， AD 2＝132＝169，∴AC 2＋CD 2＝AD 2，∴∠ACD ＝90°．∴S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD ＝12AB AC ⋅＋⋅12AC CD ＝1342⨯⨯＋15122⨯⨯＝6＋30＝36． (4)分类讨论思想．在计算中遇到直角边和斜边不能确定的时候，要考虑分类讨论． 例4 已知Rt △ABC 中，其中两边的长分别是3，5，求第三边的长．图1D C B A 图2 D C B A 图3D A B C分析：已知的两边可能是直角边，也可能一条是直角边而另一条是斜边，因此需要分类讨论．条边中有一条是直角边而另一条是斜边时，＝4．4．(5)方程思想．勾股定理中的直角三角形三边有222a b c +=，这本身就是一个等量关系，所以在有关的计算中设未知数列方程是我们解决问题的一种方法．例5 如图4，AB 为一棵大树，在树上距地面10米的D 处有两只猴子，它们同时发现C 处有一筐苹果，一只猴子从D 往上爬到树顶A 又沿滑绳AC 滑到C 处，另一只猴子从D 滑到B ，再由B 跑到C ．已知两只猴子所经路程都是15米．试求大树AB 的高度．分析：由题意不妨设AD ＝x ，则AC ＝15－x ，又BD ＝10米，所以BC ＝15-10＝5米，Rt △ABC 的三边满足购股定理，因此可列方程解得AD ，进而求AB 的长．解： 设AD ＝x ，则AC ＝15－x ，又BD ＝10，所以BC ＝15-10＝5(米)，在Rt △ABC 中，根据勾股定理得AB 2＋BC 2＝AC 2，∴()()22210515xx ++=-，解得2x =． ∴大树AB 的高度为10＋2＝12(米)． 图4C A。
勾股定理中的方程思想和参数方法复制
在一棵树的10米高的D处有两只猴子,其中一只 猴子爬下树走到离树20米的池塘A处,另一只爬到 树顶后直接跃向池塘A处,如果两只猴子所经过的 距离相等,试问这棵树有多高?
C
15米
D
10米
┏
20米
B
A
方程思想：
•方程的思想是分析问题中的变量间的等量关系，构建 方程或方程组，或利用方程的性质去分析、转换、解 决问题。
Δ ABC中，周长是24，∠C=90°，且AB=9，则三角 形的面积是多少？ 解：设BC=a,AC=b,依题意得：
B
c
A b a C
如图，小颖同学折叠一个直角三角形的纸片，使A与 B重合，折痕为DE，若已知AC=10cm，BC=6cm, 你能求出CE的长吗？
B D
A E
C
如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄， DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知：DA=15km， CB=10km，现在要在铁路AB上 建一个土特产品收购 站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在 离A站多少km 处？
B
x
8
D
C
如图，在正方形ABDC中，E是CD的中点，F为BD上一 点，且BF=3FD，试猜想线段AE,EF的位置关系并证明.
A C
解： ∠AEF=900,证明如下: 设ＦＤ＝a,则ＢＦ＝３a，ＢＤ＝ＡＢ＝ ＡＣ＝ＣＤ＝４a， ＤＥ＝ＣＥ＝２a, 在ＲtΔ ABF中，ＡＦ２＝ＡＢ２＋ＢF２＝２５a2
E
B
F
D
在ＲtΔ DEF中，ＥＦ２＝ＤＦ２＋ＤＥ２＝５a2
在RtΔ AEC,AE2=AC2+EC2=20 a2 ∴EF2+AE2=AF2 ∴∠AEF=900
勾股定理中四种重要的数学思想
勾股定理中四种重要的数学思想题的意识.而在勾股定理这一章节的学习过程中我们同样可以发现其中蕴含着多种的数学思想. 本文主要介绍其中主要的四种数学思想. 数学思想是数学的“灵魂”，数学思想遍及数学学习的各个角落，总结概括数学思想有利于摘要：本文主要针对勾股定理中的主要四种数学思想:方程思想、数形结合的思想、分类思想、转换思想，进行讨论、介绍.关键字：勾股定理方程思想数形结合思想分类思想转换思想勾股定理又称毕达哥拉斯定理，它是几何学中几个最重要的定理之一，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系——如果在直角三角形三边的两直角边长分别为a，b，斜边为c，那么a²+b²=c².它可以解决许多直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要依据之一.它不仅在数学中，而且在其他自然科学、实际的生产生活中也被广泛地使用. 解透彻地理解所学的知识,有利于在数学学习中提高我们分析问题和解决问题的能力,形成用数学决问1 方程思想“方程”历来是数学研究的重要内容之一，也是研究数学重要的工具.对于众多数学问题的求解，方程常常可以充当由已知探索未知的桥梁而发挥巨大的作用.运用方程的观点去考察问题，运用方程的思想去分析问题，能有效地沟通知识间的纵横联系，发现各种数量之间的关系.有助于解题思路的寻求与优化.勾股定理本身就是反应了直角三角形中三边的关系.所以在勾股定理的应用中最常见也是最基本的一类问题就在直角三角形中已知两边求第三边的问题，或是关于此类问题的变形题.而方程思想在勾股定理关于此类问题的求解过程中都得到了广泛的运用．1.1 求距离长度问题例１：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面.水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？分析：在Rt△ABC中，只有BC边的长度，利用勾股定理求一边的长度，还要知道另一边的长度.因此可以通过设立未知量，建立方程求解.解:设：水的深度为AB为x 尺，则芦苇的长度AC(AD)为（x+1）尺.依题意可以得到如图1所示的图形∵在Rt△ABC中，BC=5尺，根据勾股定理可得方程（x+1）²=x²+5²解得 x=12 ∴ x+1=13则水的深度为12尺，芦苇的长度为13尺. 图11.2 折纸问题例2 如图所示，把一个长方形（四个角都是直角，对边相等）折叠，恰好点D落边BC上，交BC与点F.已知AB=8cm，BC=10cm，求EC的长.分析：Rt△AEF,是Rt△AED沿边AE边折叠的，所以就可以通过折叠中对称的性质得到许多的等量，在矩形中的折叠可以得到许多的直角三角形.要求EC边长，构造直角三角形，找出EC边所在的直角三角形，在根据勾股定理，找出所需的量以及各个量之间的关系.在已知量与为质量之间建立方程关系.解：由题意，得AF=AD,DE=EF.在Rt△ABF中，AB=8cm，AF=AD=10cm，∴6==(cm).图2EDABCF∵BC=10cm，∴CF=10－6=4(cm).设CE=xcm，则DE=(8－x)cm，∴EF=DE=(8－x)cm，在Rt△CEF中，根据勾股定理可得方程4²+x²=（8－x）²解得 x=3，故EC的长为3cm2 数形结合思想数形结合是数学解题中常用的一种数学方法，它也是一种数学思想.使用数形结合的方法，很多问题都能迎刃而解，且解法简捷.所谓数形结合就是根据数与形之间的对应关系，通过“数”与“形”之间相互结合，相互渗透、相互转化,将反映问题的抽象数量关系与直观图形结合起来,也是将抽象思维与形象思维有机的结合起来的一种解决数学问题的重要思想方法.数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，将数量关系和空间形式巧妙结合，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，有助于把握数学问题的本质，发现问题中所隐含的条件。
例谈勾股定理应用中的数学思想方法
一次手，共握几次手？ 若 5 名同学呢？ n 名呢？ 在这些
基础上，你还能联想到什么？ 让学生在讨论交流中，联
想到实际生活中的循环比赛，平面上的 n 个点可确定的
线段、射线，平面上 n 条直线两两相交的交点个数，还联
想到角的数法等； 在学了三角形的内切圆后，想到如何
帮工人从一块三角形的余料中截取一个面积最大的圆
教学中要让 学 生 体 会“方 程 ”是 解 决 问 题 的 有 效 工
具，引导学生挖掘题目中的等量关系，构建方程（ 组） 解
决数学问题．
1． 3 分类讨论思想
在数学中，我 们 常 常 需 要 根 据 研 究 对 象 性 质 的 差
异，分各种不同情况予以考察． 这种分类思考的方法是
一种重要的数学思想方法，也是一种解题策略． 在分类
方图》，由四个全等的直角三角形和
一个小正方形拼成的大正方形（ 如 图1
图 1 所示） ． 如果大正方形的面积是
13，小正方形的面积是 1，直角三角形的较短直角边为 a，较长直角边为 b，那么（ a + b） 2 的值是
A． 13
B． 19
C． 25
D． 169
分析
结合图形，可得 a2
+ b2
= 13，4
易解决的问题的数学思想． 化归与转化思想是解决数学
问题的根本思想，解数学题的过程其实就是逐渐转化的
过程． 数学中的转化俯拾皆是，如： 未知向已知转化，命
题之间的转化，数与形的相互转化，多元向一元转化，高
次向低次转化，部分向整体转化，不规则向规则转化，生
活问题向数学问题转化等等，都是转化思想的体现．
·教学论坛·
设 CD 为 x，则有 BD2 = a2 － x2 根据勾股定理，得（ b + x） 2 + a2 － x2 = c2 ． 即 a2 + b2 + 2bx = c2 ． ∵ b ＞ 0，x ＞ 0， ∴ 2bx ＞ 0，∴ a2 + b2 ＜ c2 ． （ 锐角三角形证明略） 点评 勾股定理是我们非常熟悉的几何知识，对于 直角三角形三边具有： a2 + b2 = c2 的关系，那么锐角三角 形、钝角三角形的三边又是怎样的关系呢？ 通过类比， 我们可以利用作高这条辅助线，将一般三角形转化为直 角三角形来确定三边的关系． 类比思想是初中数学教学中常用的数学思想． 类比 思想是通过形式、结构的相似、内容相近等进行对比，找 出其内在联系，利用旧知识学习新知识的方法． 教师在 教学中要善于挖掘出类比思想，注意问题设计的结构具 有可比性，以启发引导学生达到探索学习的目的． 体验 类比思想的形式对把握知识之间的联系，运用联系的观 点看问题都有极大的好处． 1． 6 建模思想 数学建模是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建 立能近似刻画并“解决”实际问题的一种强有力的数学手 段． 用数学语言描述的事物或对象就称为数学模型． 例 7 如图 12 所示，15 只空油桶（ 每只油桶底面直 径均为 60cm） 堆在一起，要给它盖一个遮雨棚，遮雨棚 至少要多高？ （ 答案可保留根号）
“勾股定理”中的数学思想全接触
“勾股定理”中的数学思想全接触数学思想是数学中的“软件”， 是解决数学问题的灵魂，若能正确把握数学思想方法，在解题时可思路开阔，方法简便、快捷．尤其是在运用勾股定理解题时，更应注重思想方法的运用．现举例说明，供同学们参考．一、分类讨论思想例1 已知一个直角三角形的两边长是3㎝和4㎝，求第三边的长．分析：已知一个直角三角形的两边长，并没有指明是直角边还是斜边，因此要分类讨论． 解：当3㎝和4㎝是两条直角边时，根据勾股定理求得第三条边即斜边是54322=+㎝；当3㎝是直角边，4㎝是斜边时，根据勾股定理求得另一条直角边是73422=-． 点评：求解本题时往往会受勾3股4弦5影响造成思维定势，而误认为3㎝和4㎝就是直角三角形的两条直角边，斜边为5㎝，从而漏掉一解导致错误．二、整体思想例2 如图1，BC 长为3，AB 长为4，AF 长为13．求正方形CDEF 的面积． 分析：在Rt △ABC 和RtFAC 中，两次运用勾股定理即可求出． 解：在Rt △ABC 中，222223425AC AB BC =+=+=，所以5AC =． 在RtFAC 中，22222135194FC AF AC =+=+=，即正方形CDEF 的面积为194． 点评：一般的想法，要求出正方形的面积，先求出其边长CF ．而实际上我们只要求出FC 的平方这个“整体” 就可以了，不必再求CF 的长．三、转化思想例3 如图2，在公路AB 旁有一座山，现有一C 处需要爆破，已知点C 与公路上的停靠站A 距离为300m ，与公路上另一停靠站B 的距离为400m ，且C A ⊥CB ，为了安全起见，爆破点C 周围半径250m 范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB 段是否因有危险而需要暂时封锁？ 分析：要判断公路AB 段是否需要封锁，则需要计算点C 到AB 的距离与250m 的大小关系，可以借助勾股定理和三角形的面积计算点C 到AB 的距离．解：作CD ⊥AB 于D ，因为BC ＝400m ，AC ＝300m ，∠ACB ＝90°，根据勾股定理，得222AB BC AC =+，即222400300AB =+，所以AB ＝500m ． 由三角形的面积可知：AC BC CD AB ⋅=⋅2121，所以500CD ＝400×300，所以CD ＝240m ．因为240＜250，即点C 到AB 的距离小于250m ，所以有危险，公路AB 段需要暂时封锁． 点评：转化思想是一种重要的数学思想方法，它的应用十分广泛，如通过作高可以将非直角三角形的问题转化为直角三角形的问题来解决等．四、方程思想例4 如图3，已知某学校A 与直线公路BD 相距3000米，且与该公路上一个车站D 相距5000米．现要在公路边建一个超市C ，使之与学校A 及车站D 的距离相等，那么该超市与车站D 的距离是多少米？ A B C D EF 图1 图2分析：设CD ＝x 米，在R t △ABC 中，可利用勾股定理建立等量关系列方程，并解方程求解．解：设超市C 与车站D 相距x 米，则BC ＝B D －x ，在R t △ABD 中，BD ＝22AB AD -＝4000，所以BC ＝4000－x ．在R t △ABC 中，AC 2＝AB 2＋BC 2，即2x ＝30002＋(4000－x )2．解方程，得x ＝3125米．因此该超市与车站D 的距离是3125米．点评：方程思想就是从分析问题的数量关系入手，适当设出未知数，通过相等关系列出方程（组）来解决问题的一种数学思想，常用于求边长．五、数形结合思想例5 在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形．在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面（如图4）．，请问分析：由图4和题意，我们抽象出图5，在图5中AC 为水深，AB 为芦苇的长，BC 为水面宽的一半，△ABC 为直角三角形．解：设AC 为x 尺，则芦苇的长为（1+x ）尺，由勾股定理得：222)1(5+=+x x ，解得12=x ．所以水池的深度为12尺，芦苇长为13尺．点评：勾股定理的本身就是数形结合的体现，解决时先根据题意画出图形，再构建方程求解． B A C D图3 图4 图5。
巧思妙想 灵活运用——数学思想方法在“勾股定理”中的应用
进 而 可 定理 ， 它 的验 证 和 应 用 ， 都 体 现 了数 形 结 结 合 生 活 常 识 可 获 得 直 角 三 角 形 ， 求 边 长 或 面积 ． 数 形 结合 思 想 是 数 学 中 的 合 的思 想 ．
它 可 以 使 抽 象 的 知 识 转 化 例 １ 有 一直立标杆 ， 它的 上 部 被 风 吹 重 要 思 想 方 法 ，
条 重要 结论 ， 它有 着悠 久 的历史 ， 在 数 学 不 必 单 独 求 与Ｙ 的值 ． 发 展 中起 着 重要 的 作 用 ．数 学 思 想 是 数 学 解： 设第 —次吹折后 下段４ 日 的长为 ｃ ｍ，
的“ 灵魂 ” ， 在 运用 勾股 定 理解题 时 ， 若 能 上 段ＢＣ 的长 为Ｙ ｃ ｍ， 正 确 地 把 握 数学 思 想 方 法 ， 则 可 开 阔思 路 ， 第 二 次 吹折后下 段Ａ Ｄ的长 为（ 一 ５ ） ａ ｍ， 上段Ｄ 的 长为 （ ， ， ＋ ５ ） Ｃ ／ Ｔ ］ ， 依题意得 ，
： 意得 ，
角 三 角 形 的 直 角 边 与 ＡＣ、 ＢＣ 的 交 点 ． （ １ ）如 图 ２ ， 当 点 与 点 ４ 重 合 时 ， 求
Ｂ Ｎ 的 长．
【 分析】 依题 意作 图 如 图 １ ， 数 形 结 合
Ｅ
Ｃ
图 １
ｆ ） ， ２ 一 ＝ ２ ０ ，
①
‘
．
．
‘
．
‘
・ ．
’
ＭＯ垂 直 平 分 Ｅ Ｎ ． 删 ＝ ＭＮ ．
Ａ ＋ ＡＭ２ ＝ Ｅ＾ ， ＣＮ ＋ ＣＭ ＝ ＭＮ ．
图 ３
’
【 分析 】 （ １ ）Ｒ ｔ ＡＡ Ｂ Ｃ中， 已知 Ａ Ｂ ＝ １ ０ ， Ａ Ｃ ＝ ６ ， 可 由勾 股 定 理 直 接 求 出 Ｂ Ｃ ＝ ８ ． 不 难
勾股定理中的数学思想方法
勾股定理中的数学思想方法勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论，它有着悠久的历史，在数学发展中起着重要的作用．它揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系，把数与形统一起来，在现实世界中有着广泛的应用．勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a b c 222+=； 逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a b c 222+=，那么这个三角形是直角三角形．勾股定理揭示了直角三角形三边关系的重要性质；它的逆定理则是从三角形三边关系判定三角形是否是直角三角形的一个方法．学习《勾股定理》这一章，除了掌握上述两个定理之外，还应了解：这一章中蕴含着哪些重要的数学思想方法？在运用勾股定理解题时，若能正确地把握数学思想，则可思路开阔，方法简便快捷，下面举例说明，供同学们参考． 一、数形结合思想勾股定理本身就是数形结合的定理，它的验证和应用，都体现了数形结合的思想． 例1．如图1是一种“羊头”形图案，其做法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②′，…，然后依次类推，若正方形1的边长为64cm ，则正方形的边长为 cm ．析解：这是一类关于“勾股树”（国外叫做“毕达哥拉斯树”）的探讨题，主要考查灵活运用勾股定理解决问题的能力，这里只要由勾股定理的规律通过一系列的探索就可以得到答案是8．例2．有一直立标杆，它的上部被风吹折，杆顶着地，离杆脚20cm ，修好后又被风吹杆，因新断处比前次低了5cm ，且标杆顶着地处比前次远10cm ，求标杆的高．析解：依题意作图如2，数形结合求解，设第一次吹折后下段AB 的长为xcm ，上段BC 的长为ycm ，第二次折后下段AD 的长为（x-5）cm ，上段DE 的长为（y+5）cm ，依题意得⎪⎩⎪⎨⎧=--+=-22222230)5()5(20x y x y只要求出x+y 的值即求出标杆的高而不必单独求x 与y 的值．②-①得10（x+y ）=500∴x+y=50故标杆的高为50cm评析：利用三边的平方关系或辅助线或生活常识可获得直角三角形，进而可求边长或面积．数形结合思想是数学中的重要思想方法，它可以使抽象的知识转化为形象的图形，从而处理起来，更直观、容易，应引起同学们的重视．二、方程思想例3．在印度数学家拜·斯加罗的著作中，记载了一个有趣的“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，面上半尺声红莲；图1出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”，请你用学过的数学知识回答这个问题．析解：此诗的大意是：在平静的湖面上，有一朵荷花高出水面0.5尺，忽然一阵狂风把荷花吹在水中淹没了，最后荷花垂直落到湖底，到了秋天，渔翁发现，落到湖底的荷花离根部有2尺远，如图，你知道这个湖的水深是多少尺吗？解答过程应该是这个样子的：设水深为x 尺，根据勾股定理，可得2222(0.5)x x +=+，所以x=3.75，故这个湖的水深是3.75尺． 三、转化思想例4．如图3所示，有一根高为2m 的木柱，它的底面周长为0.3m ，为了营造喜庆的气氛，老师要求小明将一根彩带从柱底向柱顶均匀地缠绕7圈，一直缠到起点的正上方为止，问：小明至少需要准备多长的一根彩带？分析与解：（1）将一张直角三角形的纸片在铅笔上缠绕七圈，将纸片展开，发现彩带的长相当于直角三角形的斜边长（如图4），可以利用勾股定理求出彩带的长．∵BC 为木柱的高，∴2m BC =.又∵木柱的底面周长为0.3m ，∴AC 的长为0.37 2.1m ⨯=．在Rt ACB △中，由勾股定理，得222AB AC BC =+，因此彩带的长为 2.9m AB =．（2）在木柱上均匀地缠绕7圈，相当于将木柱分成相等的七段，在每一段木柱上由底向正上方缠绕一根彩带，其侧面展开图是一个矩形，对角线的长为每段彩带的长（如图5）．∵EF 为木柱的17，∴2m 7EF =. 又∵DE 为木柱展开后的底面周长，∴0.3m DF =. 在Rt DEF ∆中，由勾股定理，得222DE DF EF =+， ∴29m 70DE =，因此，彩带的长为7 2.9m DE ⨯=． 评析：遇到一些空间问题，通过动手实际操作一下，建立实物模型，这是建立空间概念的良好训练方法；而对实际问题进行分解、转化是数学解题中常用的思路．四、分类讨论思想例5．如图6是一块长、宽、高分别为6厘米、4厘米、3厘米的长方题木块．一只蚂蚁要从木块的一定点A 处，沿着长方体的表面到长方体上和A 相对的顶点B 处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（ ）．A .)323(+厘米B .97厘米C .85 厘米D .9厘米分析：这个问题是个空间问题，应该把他平面化．所以将长方体展开是解决本题的关键．分类一：我将长方体相邻两侧面展开可得图7，由图7，可得222310AB +==109． 分类二：我展开的图形和小敏的不一样，我的展开图如图8，根据图8可得22267AB +==85．分类三：我还有一种展开的方法，请大家看图9，这个时候我可得22294AB +==97． 评析：同学们思考的都非常有道理，通过比较我们可以发现沿图8的爬行路径路程最短，所以85=AB 厘米．故选C ．五、整体思想例6：（课本题）已知a 、b 、c 分别是Rt △ABC 的两条直角边和斜边，且a+b=14，c=10，则S △ABC =分析：一般的想法，要求直角三角形的面积，先求出其两条直角边a 、b ，则S △ABC 即可求出，但这样求a 、b 非常繁杂，甚至在现阶段不可能，如果注意到：S △ABC =ab 21，那么只要求出ab 这一整体就可以了．解、由a+b=14，两边平方得：a 2+2ab+b 2=196， 所以ab=()219622b a +- 根据勾股定理，a 2+b 2=c 2 所以，ab=21962c -=2101962-=48 因此S △ABC =ab 21=48例7：如图10，BC 长为3厘米，AB 长为4厘米，AF 长为13厘米．求正方形CDEF 的面积．分析：一般的想法，要求出正方形的面积，先求出其边长CF ；要求出CF ，先要求出AC ．好，现在我们就顺着这个思路来求．在Rt ABC △中，222223425AC AB BC =+=+=，所以5AC =，在Rt FAC △中，22222135194F C A F A C =+=+=，FC为多少？数不够用了！我们再去看一下题目，是让求正方形的面积，正方形的面积为2FC ，何必去求FC ，只要求出2FC 这个“整体”就可以，原来正方形的面积为194，我们已经求出来了！（解答过程请同学们完成） 评析：整体思想，有时可以便问题直奔主体，少走弯路，使问题的解决方便、快捷，在一定程度上，体现了解题者的目标意识．。
勾股定理中的数学思想方法
概 括 数 学 思 想 有 利 于 透 彻 地 理 解 所 学 知 识， 而 熟 练 地 运 用 这 些 思 想 则 可 提 高 独 立
分 析 问题 、 解 决 问题 的 能 力 ． 现 将 常 见 的 数 学思想列举如下 ．
一
Ａ Ｄ／ ／ ＢＣ， ． ・ ． ＡＡＤ Ｂ ＝Ａ Ｃ Ｂ Ｄ， 又 由折 叠 知 ， 曰 Ｄ Ａ ＬＡ Ｄ Ｂ，
Ｄ
・ ．
‘
在 △ＡＣ Ｄ中 ，
ｃ ２ ＋ ＡＤ２ ＿ ＤＣ ．
＝ ９ ０ 。 ，
图４
Ｂ Ｃ
ＢＤ Ｅ ＝ ＡＢ － Ａ Ｄ０ ＝１ ３ ２ ＿１ ２２ ＿ ２５．
’
． ．
．
ＢＤ＝５，
・
． ．
２ ０ ２ ＋ （ ＋ １ ０ ） ＝ （ ３ ０ 一 ） ，
，
而另一 只爬到树 顸后 直扑池 塘 ， 距 离以 直
由Ａ Ｄ／ ／ Ｂ Ｃ 得 出 Ａ Ｄ ＝ Ｃ Ｂ Ｄ， 即 可 得 出 线 计 算 ， 如 果 两 只 猴 子 经 过 的 距 离相 等 ， 问
＝ Ｃ Ｂ Ｄ。 从 而有Ｂ Ｅ ＝ Ｄ Ｅ． 若设 ｃ Ｅ ＝ 这 棵 树 有 多高 ？ 而Ｂ Ｅ ＝ Ｄ Ｅ， 在Ｒ ｔ ＡＤＥ Ｃ中 ， 由勾 股 定 理 很
瓣 ０ Ｇ Ｓ
ｌ 、 ｌ Ｇ Ｓ Ｈ ｌ Ｊ Ｉ Ｅ
勾 股 定 理 是 数 学 中 几 个 重 要 定 理 之 容易 得 到方程 ， 求 出Ｃ Ｅ 的值 ．
一
，
其 中蕴 含 了多 种数 学 思 想 方法 ， 总 结
解 ： ’ ． ‘ 在 矩 形ＡＢ Ｃ Ｄ中 。
Ｃ Ａ
∞ ２ － ＿ Ａ Ｃ
‘
中考数学--勾股定理中的数学思想
Ｃ子
（） ２ 由勾股定理可算 出 Ａ 的长 ， Ｃ ＇ 爬行速度 因而 可求 出 ， 略．
Ａ＇ Ｉ ｝
＂ Ｄ 数 学家大会 ． 会标形状如 图 ４所示 。 它是 由四个相 同 护‘ Ａ 一
明理 由．
磷羹 Ｉ５ｔ， ． ； ｔ粼黯韶｝渡 ７ ｋ ｝ ｆ ５？ ａ１ ａ ｔ －ｖ Ａ １ ｝ Ｃ ７ ｝ ： ｝０ ｌ １ ｔＵ ｝ ￥ Ｗ ３｝ ｀ ｝ ． １Ｔ ｈ ｋ Ｔ ： ７ ｒ
解 ：如图 ９所示 ，设 Ｏ为风暴中心 ，Ｐ为风暴 中心移动方 向 ， Ｏ 作
解 ：１可把礼盒的上底面 Ａ ＢＣＤ 竖起来 ， （） ＇＇＇ ‘ 如图 ３ 所示 ， 使它与立 方体礼盒的正面（ Ｂ ＇ ） （ ＢＡ＇处在同一平面内， Ａ 然后连接 Ａ Ｃ并交 Ａ＇’ ＇ Ｂ于
ｒ
暇居笙层弓 瓦理阻翻百淤用 八 年 级 ２０ １ ０６． ２
Ｅ， 根据“ 两点间线段最短” 可知 ， 线段 Ａ Ｅ和线段 Ｅ ＇ Ｃ Ｄ ＇
ｂ） ０ 即 （２ｂ） ｂ ２＝ ． ２＝ ， ａ－ ２（２ ２Ｃ ０ ａ＋ － ）
ａ－ ２ ０或 ａ＋ ２Ｃ＝ ． ａ ｂ或 ａ＋ ２Ｃ． ２ｂ ＝ ２ｂ－ Ｚ０ 即 ＝ ２ｂ＝ ２
此 三 角形 是 等 腰 三 角形 或 直 角三 角 形 ．
２ 设直 角三角形较 长的直角边长为 ａ 较短的直角边长为 ｂ 则小正 ． ， ，
口安 徽 李庆社
勾 股 定 理 是 平 面 几 何 知 识 中 的 “ 宝 ’在 运 用 勾 股 定 理 解 决 实 际 问 瑰 ， ．
往往可以使思路开阔 ， 方法简捷． 题时， 若能结合运用一些数学思想 ， １ ． 整体思想
勾股定理蕴含的数学思想方法等思政育人因素
勾股定理蕴含的数学思想方法等思政育人因素勾股定理是古希腊数学家毕达哥拉斯提出的一条基本几何定理，也被称为毕氏定理。
该定理表明，在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理的蕴含了很多重要的数学思想方法和思政育人因素，具体如下：
数学思想方法：勾股定理是通过几何图形的分析与推导得出的，它体现了数学思维的逻辑性和严谨性。
在证明过程中，需要运用到几何图形的构造、角度的计算、相似三角形的性质等数学方法。
这种推导证明方法强调了严密的逻辑推理和精确的数值计算，培养了学生的逻辑思维和数学推理能力。
抽象思维：勾股定理的应用不仅局限于直角三角形，而是可以推广到各种类型的三角形。
这要求学生在解决问题时具备抽象思维的能力，将具体情况进行抽象化，找出问题的共性并推导出普遍的结论。
通过运用勾股定理解决实际问题，学生能够培养抽象思维的能力，提高分析和解决问题的能力。
实用价值：勾股定理在日常生活中有很广泛的应用，如测量直角三角形边长、确定平面位置等。
通过学习勾股定理，学生可以掌握一种实用的数学工具，提高实际问题的解决能力，培养科学精神和实践能力。
合作与创新：在学习勾股定理的过程中，学生可以进行小组讨论和合作，共同研究问题，互相启发，提高解决问题的效率和质量。
勾股定理中的数学思想
勾股定理中的数学思想勾股定理是平面几何相关胸怀的最基本定理 ,它从边的角度进一步刻画了直角三角形的特点 .同学们在学习时 ,不单要灵巧运用该定理及逆定理 ,并且还要注意在解题中蕴涵着丰富的数学思想 .比方数形联合思想、转变思想、方程思想等 .现举出几例进行剖析 ,供同学们参照 .一、数形联合思想例 1. 在直线L上挨次摆放着七个正方形(如图1所示),已知斜搁置的三个正方形的面积分别是1、2、3, 正搁置的四个正方形的面积挨次是S1、S2、S3、S4 ,则 S1 +S2 +S3 +S4 =. 312S4 S2 S3S1L图 1剖析 :经过察看图形 ,能够看出正放着正方形面积与斜搁置的正方形之间关系为 : S 1 +S2 =1;S 2 +S3 =2; S 3 +S4 =3; 这样数形联合可把问题解决.解: S1代表的面积为 S1的正方形边长的平方 , S2代表的面积为S2的正方形边长的平方 , 所以 S1 +S2 =斜搁置的正方形面积为1; 同理 S3 +S4 =斜搁置的正方形面积为 3, 故 S1 +S2 +S3 +S4 =1+3=4.二、转变思想例 2. 如图 2,长方体的长为 15cm,宽为 10cm,高为 20cm,点 B 离点 C 的距离是5cm,一只蚂蚁假如要沿着长方体的表面从点 A 爬到点 C,需要爬行的最短路径是多少 ?剖析:蚂蚁其实是在长方体的侧面上爬行,假如将长方体的侧面睁开 (如图 2-1),依据“两点之间线段最短 .”所以求得的路径就是侧面睁开图中线段 AC 之长 ,但睁开方式有 3 种,这样经过侧面睁开图把立体图形转变为平面图形,结构成直角三角形,利用勾股定理即可求解 .解:如下图 ,把长方体睁开后获得如图 2-1、图 2-2 、图 2-3 三种情况 , 蚂蚁爬行的路径为睁开图中的 AC长 , 依据勾股定理可知 :2222 2在图 2-1 中 ,AC =AB BC =30 5 =925图 2-3 中, AC 2 = AD2CD 2=252102=725于是 , 依据上边三种睁开情况中的 AC长比较 , 最短的路径是在图 2-2 中, 故蚂蚁从 A 点爬行到点 C,最短距离为 25cm.三、方程思想例 3. 如图 3, 铁路上 A、B 两点相距 25km,C、 D两点为乡村， DA⊥AB于 A，CB ⊥AB于 B，已知 DA=15km， CB=10km。
勾股定理中的思想方法
《勾股定理》中的思想方法山东 程方岩数学思想是数学中的“软件”，若能正确把握数学思想方法，在解题时可思路开阔，方法简便、快捷．下面列举在应用勾股定理解题时用到的数学思想方法，供大家参考．一、方程思想例1 在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形．在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？分析：由图1-1和题意，我们抽象出图1-2，在图1-2中AC 为水深，AB 为芦苇的长，BC 为水面宽的一半，ABC △为直角三角形．解：设AC 为x 尺，则芦苇的长为（1x +）尺，由勾股定理得： 2225(1)x x +=+，解得12x =．所以水池的深度为12尺，芦苇长为13尺． 二、转化思想例2 如图2-1所示，有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米．在圆柱下底面的A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点处的食物，沿着圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（π的值取3）分析：这看上去是一个曲面上的路线问题，但实际上可通过圆柱的侧面展开图而转化为平面上的路线问题．如图2-2，我们把圆柱侧面展开成为长方形，显然，“两点之间线段最短”，蚂蚁走的最短路程为线段AB ．由题意知AC 为12厘米，长方形的另一边长等于圆柱的底面周长为2π318= 厘米，B 为其中点，所以BC 为９厘米，根据勾股定理可求出AB ．（解略）三、整体思想 例3 如图3，BC 长为3厘米，AB 长为4厘米，AF 长为13厘米．求正方形CDEF 的面积．分析：一般的想法，要求出正方形的面积，先求出其边长CF ；要求出CF ，先要求出AC ．好，现在我们就顺着这个思路来求．在Rt ABC △中，222223425AC AB BC =+=+=，所以5AC =，在图1（1）图1（2）B 图2（1）图2（2） A B C D E F 图3Rt FAC △中，22222135194FC AF AC =+=+=，FC 为多少？数不够用了！我们再去看一下题目，是让求正方形的面积，正方形的面积为2FC ，何必去求FC ，只要求出2FC 这个“整体”就可以，原来正方形的面积为194，我们已经求出来了！（解答过程请同学们完成）四、数形结合思想例4 用四个全等的直角三角形可以拼成如图4所示的图形，这个图形被称为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的．观察图4，你能验证222c a b =+吗？把你的验证过程写下来，并与同伴进行交流．分析：图4中以c 为边的正方形面积有两种不同表示形式．解：由图可知S 正方形=214()2ab b a ⨯+- =222222ab b a ab a b ++-=+．S 正方形=2c ，所以222a b c +=．图4。
勾股定理的数学思想
勾股定理中的数学思想《勾股定理》是欧氏几何中的瑰宝。
在运用勾股定理解决实际时，若能结合运用一些数学思想，则可使思路开阔、方法简捷。
下面举例说明。
1. 整体思想例1 如图1，已知Rt △ABC 的周长为62+，其中斜边2=AB ，求这个三角形的面积。
图1分析：若要直接求出a 与b 的值，要用二次方程求解较繁。
但由ab S 21=联想到运用整体思想（将ab 视为一个整体），问题便可顺利获解。
解：在Rt △ABC 中，根据勾股定理，得2222=+b a 即42)(2=-+ab b a 又由已知得6=+b a 所以42)6(2=-ab解得1=ab 所以2121==ab S 2. 转换思想例2 有一立方体礼盒如图2所示，在底部A处有壁虎，C’处有一蚊子，壁虎急于捕捉到蚊子充饥。
图2（1）试确定壁虎所走的最短路线；（2）若立方体礼盒的棱长为20cm，壁虎要在半分钟内捕捉到蚊子，求壁虎的每分钟至少爬行多少厘米（保留整数）分析：求几何体表面的最短距离时，通常可以将几何体表面展开，把立体图形转换成平面图形，于是问题可迎刃而解。
解：（1）若把礼盒的上底面A’B’C’D’竖立起来，如图3所示，使它与立方体的正面（ABB’A’）在同一平面内，然后连结AC’，根据“两点间线段最短”知，线段AC’就是壁虎捕捉蚊子所走的最短路线。
图3（2）由（1）得，△ABC’是直角三角形，且40'20==BC AB ，。
根据勾股定理，得22''BC AB AC +=)(7.44402022cm ≈+=壁虎要在半分钟内捕捉到蚊子，它至少每分钟爬行90厘米（只入不舍）。
3. 分类思想例3 在△ABC 中，AB=15，AC=20，BC 边上的高线AD=12。
试求BC 的长。
分析：由于三角形的高线随其形状的不同而改变，其中锐角三角形的高线在三角形的内部，钝角三角形的高线在三角形的外部，所以必须分两种情况讨论。
解：由于三角形的形状不确定，所以求BC 的长可以从以下两方面考虑：（1）如图4，当BC 边上的高线在△ABC 内部时，由勾股定理，得图4912152222=-=-=AD AB BD1612202222=-=-=AD AC CD所以25169=+=+=CD BD BC（2）如图5，当BC 边上的高线在△ABC 外部时，同理可得图5169==CD BD ，此时7916=-=-=BD CD BC综上所述，BC 的长为25或7。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
勾股定理中的数学思想方法
山东李敏
数学思想是数学知识的精髓，又是把知识转化为能力的桥梁，如果能正确把握数学思想方法, 在解题时可思路开阔，方法简便、快捷，下面就勾股定理屮的数学思想方法归纳如下，供同学们在复习时参考，
一、方程思想
例1、（课本题）在我国古代数学著作《九章算术》中记载看〈池葭出水〉的一道趣题：有一个正方形的池子，边长为1丈，池中心有一株芦苇，露出水面1尺，将芦苇拉至池边，它的末端正好与水面一样平，水有多深？芦苇有多长？求解此题（“丈”和“尺”都是旧制长度单位，现已停止使用，1丈二10尺，1米二3尺）
分析、由图1和题意，我们可抽象出图2,在图2屮AC为水深，BC为水面宽的一半，AD 和AB都等于芦苇的长度，AABC为直角三角形解、设水深AC=x尺，芦苇长为AB=（x+l）尺，
D 在RtAABC中，根据勾股定理得：
X2+52=（X+1）2
解得：x=12
所以水池的深度为12尺，芦苇长为13尺点评、
方程虽然是代数中的内容，但是很多儿何图形的计
算问题，都可以转化为方程问题来解决，本题虽然
只有一条直角三角形的边，但题意中包含看另二条
边的关系，因此我们可以从这一数量关系入手就可
以利用勾股定理列出方程，通过方程使问题得以解
决.
二、转化思想例2、如图3,有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米，在图柱下底面的A 处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A处相对的B处的食物，沿着圆柱的侧面爬行的最短距离是多少？（兀取3.）
分析、木题看上去是一个曲面上的路线最短问题，但实际上可通过圆柱的侧面展开图转化为平面上的路线最短问题，使曲转化为直，如图4是圆柱的侧面展开图，其一边长为圆柱的高, 另一边长为圆柱的底面周长，显然，蚂蚁沿AB线爬行时，其爬行的路线最短,
解、画出圆柱的侧面展开图，如图4, 根据题意，蚂蚁在A处，食物在B处，
AB为蚂蚁爬行的最短路线，IL AC=12,
1
BO- X2 n X3=9
2
在RtAABC中，根据勾股定理
AB2=AC2+BC2
=122+92
= 152
所以蚂蚁爬行的最短路线AC=15厘米点评、本
题将曲面上的问题，转化为平面上
的问题，充分体现了，转化思想在解题屮的应用.
三、整体思想
例3、(课本题)已知a 、b^ c 分别是RtAABC 的两条直角边和斜边，且a+b 二14, c=10,
贝§ S AABC = ____________
分析，一般的想法，耍求直角三角形的面积，先求出其两条直角边a 、b,则S AABC 即可求 出，但这样求a 、b 非常繁杂，甚至在现阶段不可能，如果注意到：S AABC =-^，那么只要
2
求出ab 这一整体就可以了.
解、由 a+b=14,两边平方得：a 2+2ab+b 2=196,
根据勾股定理，a 2+b 2=c 2
因此、S AABC 二—ab =48 2
点评、整体思想，有时可以便问题直奔主体，少走弯路，使问题的解决方便、快捷，在一定 程度上，体现了解题者的目标意识.
四、数形结合思想
例4、用四个全等的直角三角形可以拼成如图5所示的正方形，这个 图形
我们称之为“弦图”，利用这个“弦图”，你能验证:a 2+b 2=c 2 吗？把你的
验证过程写下来，并与同伴进行交流.
分析、显然，图5以c 为边长的正方形的面积有两种不同的表示方法
解、由图可知;S 正方形=4X —ab+ (b-a) 2=a 2+b 2
2 2 S 正方形二c 所以、a 2+b 2=c 2
点评、数形结合思想是数学中的重要思想方法，它可以使抽象的知识 转化
为形彖的图形，从而处理起来，更直观、容易，应引起同学们的重视. 所以ab= 196-（/+沪） 2
所以,"豊
=196-10； =48。