小学奥数之数阵图解题方法(完整版)
(小学奥数)数阵图(二)
1. 瞭解數陣圖的種類2. 學會一些解決數陣圖的解題方法3. 能夠解決和數論相關的數陣圖問題.一、數陣圖定義及分類：1. 定義：把一些數字按照一定的要求，排成各種各樣的圖形，這類問題叫數陣圖.2. 數陣是一種由幻方演變而來的數字圖.數陣圖的種類繁多，這裏只向大家介紹三種數陣圖：即封閉型數陣圖、輻射型數陣圖和複合型數陣圖.3.二、解題方法：解決數陣類問題可以採取從局部到整體再到局部的方法入手： 第一步：區分數陣圖中的普通點(或方格)和關鍵點(或方格)；第二步：在數陣圖的少數關鍵點(一般是交叉點)上設置未知數，計算這些關鍵點與相關點的數量關係，得到關鍵點上所填數的範圍；第三步：運用已經得到的資訊進行嘗試．這個步驟並不是對所有數陣題都適用，很多數陣題更需要對數學方法的綜合運用．複合型數陣圖【例 1】 由數字1、2、3組成的不同的兩位數共有9個，老師將這9個數寫在一個九宮格上，讓同學選數，每個同學可以從中選5個數來求和．小剛選的5個數的和是120，小明選的5個數的和是111．如果兩人選的數中只有一個是相同的，那麼這個數是_____________．例題精講知識點撥教學目標5-1-3-2.數陣圖313233212223131211【考點】複合型數陣圖 【難度】3星 【題型】填空 【關鍵字】迎春杯，中年級，決賽，3題【分析】 這9個數的和：111213212223313233++++++++10203031233198=++⨯+++⨯=（）（）由小剛和小明選的數中只有一個是相同的，可知他們正好把這9個數全部都取到了，且有一個數取了兩遍．所以他們取的數的總和比這9個數的和多出來的部分就是所求的數．那麼，這個數是12011119833+-=．【答案】33【例 2】 如圖1，圓圈內分別填有1，2，……，7這7個數。
如果6個三角形的頂點處圓圈內的數字的和是64，那麼，中間圓圈內填入的數是 。
【考點】複合型數陣圖 【難度】3星 【題型】填空 【關鍵字】希望杯，五年級，復賽，第5題，5分【解析】 2【答案】2【例 3】 如下圖（1）所示，在每個小圓圈內填上一個數，使得每一條直線上的三個數的和都等於大圓圈上三個數的和.（1）17894【考點】複合型數陣圖 【難度】3星 【題型】填空【解析】 為敘述方便，先在每個圓圈內標上字母，如圖（2），（2）a cb49817則有a+4+9=a+b+c （1）b+8+9=a+b+c （2）c+17+9=a+b+c （3）（1）+（2）+（3）：（a+b+c ）+56=3（a+b+c ），a+b+c=28，則 a=28－（4+9）=15，b=28－（8+9）=11，c=28-（17+9）=2解：見圖.1789411215【答案】1789411215【例 4】 請你將數字1、2、3、4、5、6、7填在下面圖（1）所示的圓圈內，使得每個圓圈上的三個數之和與每條直線上的三個數之和相等.應怎樣填？【考點】複合型數陣圖 【難度】3星 【題型】填空【解析】 為了敘述方便，將各圓圈內先填上字母，如圖（2）所示.設A+B+C=A+F+G=A+D+E=B+D+F=C+E+G=k （A+B+C ）+（A+F+G ）+（A+D+E ）+（B+D+F ）+（C+E+G ）=5k ，3A+2B+2C+2D+2E+2F+2G=5k ，2（A+B+C+D+E+F+G ）+A=5k ，2（1+2+3+4+5+6+7）+A=5k ，56+A=5k.，因為56+A 為5的倍數，得A=4，進而推出k=12，因為在1、2、3、5、6、7中，1+5+6=7+3+2=12，不妨設B=1，F=5，D=6，則C=12-（4+1）=7，G=12-（4+5）=3，E=12-（4+6）=2.，解：得到一個基本解為：（見圖）7654321【答案】7654321【例 5】 在左下圖的每個圓圈中填上一個數，各數互不相等，每個圓圈有3個相鄰(即有線段相連的圓圈)的圓圈。
三年级奥数.计算综合.数阵图与幻方(B级).学生版
一、数阵图定义及分类：定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.数阵：是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．三、幻方起源：幻方也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方．幻方起源于我国，古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，知识框架数阵图与幻方这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻方．如下图：987654321我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久．三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆．”幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们．四、幻方定义：幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的33⨯的数阵称作三阶幻方，44⨯的数阵称作四阶幻方，55⨯的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，98765432113414151612978105113216。
奥数知识点 简单数阵图
简单数阵图一、辐射型数阵图从一个中心出发，向外作若干条射线，在每条射线上安放同样多个数，使其和是一个不变的数。
突破关键：确定中心数，多算的次数，公共的和。
先求重叠数。
数总和+中心数×重复次数＝公共的和×线数重叠部分=线总和-数总和/线总和=公共的和×线数数和：指所有要填的数字加起来的和中心数：指中间那数字，即重复计算那数字（重叠数）重复次数：中心数多算的次数，一般比线数少1公共的和：指每条直线上几个数的和线数：指算公共和的线条数例1、把1-5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数与竖列三数之和都等于9。
例2、把1～5这五个数填入下页左上图中的○里(已填入5)，使两条直线上的三个数之和相等。
分析与解：中间方格中的数很特殊，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做“重叠数”。
也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次。
因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于9，所以：总和数=(1+2+3+4+5)+重叠数=9+9，重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3。
分析与解：与例1不同之处是已知“重叠数”为5，而不知道两条直线上的三个数之和都等于什么数。
所以，必须先求出这个“和”。
根据例1的分析知，两条直线上的三个数相加，只有重叠数被加了两遍，其余各数均被加了一遍，所以两条直线上的三个数之和都等于[(1+2+3+4+5)+5]÷2=10。
例3、把1~5这五个数填入右图中的○里，使每条直线上的三个数之和相等例4、将1~7这七个自然数填入左下图的七个○内，使得每条边上的三个数之和都等于10。
分析与解：例1是知道每条直线上的三数之和，不知道重叠数；例2是知道重叠数，不知道两条直线上的三个数之和；本例是这两样什么都不知道。
但由例1、例2的分析知道，(1+2+3+4+5)+重叠数=每条直线三数之和×2，每条直线上三数之和=(15+重叠数)÷2。
小学奥数：5-1-3-3 数阵图(三).教师版
1. 了解数阵图的种类2. 学会一些解决数阵图的解题方法3. 能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类：1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．数阵图与数论【例 1】 把0—9这十个数字填到右图的圆圈内，使得五条线上的数字和构成一个等差数列，而且这个等差数列的各项之和为55，那么这个等差数列的公差有 种可能的取值．【考点】数阵图与数论 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，三年级，初赛，第8题 【解析】 设顶点分别为A 、B 、C 、D 、E ，有45+A +B +C +D +E =55，所以A +B +C +D +E =10，所以A 、B 、C 、D 、E 分别只能是0-4中的一个数字.则除之外的另外5个数（即边上的）为45-10=35.设所形成的等差数列的首项为a 1，公差为d .利用求和公式5（a 1＋a 1+4d ）2=55， 得a 1+2d =11，故大于等于0+1+5=6，且为奇数，只能取7、9或11，而对应的公差d 分别为2、1和0.经试验都能填出来所以共有3中情况，公差分别为2、1、0.【答案】2种可能【例 2】 将1~9填入下图的○中，使得任意两个相邻的数之和都不是3，5，7的倍数．例题精讲知识点拨教学目标5-1-3-3.数阵图【考点】数阵图与数论【难度】4星【题型】填空【解析】根据题意可知1的两边只能是3与7；2的两边只能是6与9；3的两边只能是1、5或8；4的两边只能是7与9．可以先将3—1—7--写出来，接下来7的后面只能是4，4的后面只能是9，9的后面只能是2，2的后面只能是6，可得：3—1—7—4—9—2—6--，还剩下5和8两个数．由于6814+=是7的倍数，所以接下来应该是5，这样可得：3—1—7—4—9—2—6—5—8—3．检验可知这样的填法符合题意．【答案】3—1—7—4—9—2—6—5—8—3【例3】在下面8个圆圈中分别填数字l，2，3，4，5，6，7，8(1已填出)．从1开始顺时针走1步进入下一个圆圈，这个圆圈中若填n(n≤8)。
四年级奥数基础教程第17讲 数阵图(二)
第17讲数阵图（二）例1在右图的九个方格中填入不大于12且互不相同的九个自然数（其中已填好一个数），使得任一行、任一列及两条对角线上的三个数之和都等于21。
解：由上一讲例4知中间方格中的数为7。
再设右下角的数为x，然后根据任一行、任一列及每条对角线上的三个数之和都等于21，如下图所示填上各数（含x）。
因为九个数都不大于12，由16－x≤12知4≤x，由x+2≤12知x≤10，即4≤x≤10。
考虑到5，7，9已填好，所以x只能取4，6，8或10。
经验证，当x＝6或8时，九个数中均有两个数相同，不合题意；当x＝4或10时可得两个解（见下图）。
这两个解实际上一样，只是方向不同而已。
例2将九个数填入右图的空格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则一定有证明：设中心数为d。
由上讲例4知每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于3d。
由此计算出第一行中间的数为2d——b，右下角的数为2d-c（见下图）。
根据第一行和第三列都可以求出上图中★处的数由此得到3d-c-（2d-b）＝3d-a-（2d-c），3d-c-2d＋b＝3d-a-2d＋c，d——c＋b＝d——a＋c，2c＝a＋b，a＋bc＝2。
值得注意的是，这个结论对于a和b并没有什么限制，可以是自然数，也可以是分数、小数；可以相同，也可以不同。
例3在下页右上图的空格中填入七个自然数，使得每一行、每一列及每一条对角线上的三个数之和都等于90。
解：由上一讲例4知，中心数为90÷3＝30；由本讲例2知，右上角的数为（23＋57）÷2＝40（见左下图）。
其它数依次可填（见右下图）。
例4在右图的每个空格中填入个自然数，使得每一行、每一列及每条对角线上的三个数之和都相等。
解：由例2知，右下角的数为（8＋10）÷2=9；由上一讲例4知，中心数为（5＋9）÷2=7（见左下图），且每行、每列、每条对角线上的三数之和都等于7×3=21。
小学奥数第23讲 数阵图(含解题思路)
23、数阵图【方阵】例1 将自然数1至9，分别填在图5.17的方格中，使得每行、每列以及两条对角线上的三个数之和都相等。
（长沙地区小学数学竞赛试题）讲析：中间一格所填的数，在计算时共算了4次，所以可先填中间一格的数。
（l+2+3+……+9）÷3=15，则符合要求的每三数之和为15。
显然，中间一数填“5”。
再将其它数字顺次填入，然后作对角线交换，再通过旋转（如图5.18），便得解答如下。
例2 从1至13这十三个数中挑出十二个数，填到图5.19的小方格中，使每一横行四个数之和相等，使每一竖列三个数之和又相等。
（“新苗杯”小学数学竞赛试题）讲析：据题意，所选的十二个数之和必须既能被 3整除，又能被 4整除，（三行四列）。
所以，能被12整除。
十三个数之和为91，91除以12，商7余7，因此，应去掉7。
每列为（91—7）÷4=21而1至13中，除7之外，共有六个奇数，它们的分布如图5.20所示。
三个奇数和为21的有两种：21=1＋9+11=3＋5+13。
经检验，三个奇数为3、5、13的不合要求，故不难得出答案，如图5.21所示。
例3 十个连续自然数中，9是第三大的数，把这十个数填到图5.22的十个方格中，每格填一个，要求图中三个2×2的正方形中四数之和相等。
那么，这个和数的最小值是______。
（1992年全国小学数学奥林匹克初赛试题）讲析：不难得出十个数为:2、3、4、5、6、7、8、9、10、11。
它们的和是65。
在三个2×2的正方形中，中间两个小正方形分别重复了两次。
设中间两个小正方形分别填上a和b，则（65＋a＋b）之和必须是 3的倍数。
所以，（a＋b）之和至少是7。
故，和数的最小值是24。
【其他数阵】例1 如图5.23，横、竖各12个方格，每个方格都有一个数。
已知横行上任意三个相邻数之和为20，竖列上任意三个相邻数之和为21。
图中已填入3、5、8和“×”四个数，那么“×”代表的数是______。
小学奥数数阵图
第十七周数阵图把一些数字按照一定的要求，排列成各种各样的图形，叫做数阵图。
数阵是由幻方演化出来的另一种数字图。
幻方一般均为正方形。
图中纵、横、对角线数字和相等。
数阵则不仅有正方形、长方形，还有三角形、圆、多边形、星形、花瓣形、十字形，甚至多种图形的组合。
变幻多姿，奇趣迷人。
一般按数字的组合形式，将其分为三类，即辐射型数阵、封闭型数阵、复合型数阵。
【解题技巧】数阵的分类：封闭型：封闭型数阵图的解题突破口，是确定各边顶点所应填的数。
为确定这些数，采用的方法是建立有关的等式，通过以最小值到最大值的讨论，来确定每条边上的几个数之和，再将和数进行拆分以找到顶点应填入的数，其余的数再利用和与顶点的数就容易被填出。
（1—6）辐射型：辐射型数阵图，解法的关键是确定中心数。
具体方法是：通过所给条件建立有关等式，通过整除性的讨论，确定出中心数的取值，然后求出各边上数的和，最后将和自然数分拆成中心数的若干个自然数之和，确定边上其他的数。
复合型：复合型数阵图，解题的关键是要以中心数和顶点数为突破口。
数阵的特点：每一条直线段或由若干线段组成的封闭线上的数字和相等。
它的表达形式多为给出一定数量的数字，要求填入指定的图中，使其具备数阵的特点。
解数阵问题的一般思路是：1.求出条件中若干已知数字的和。
2.根据“和相等”，列出关系式，找出关键数——重复使用的数。
3.确定重复用数后，对照“和相等”的条件，用尝试的方法，求出其他各数。
有时，因数字存在不同的组合方法，答案往往不是唯一的。
【铜牌例题】将2、3、4、5、6、7、8、9、10填入下图中的9个方格中，使每行、每列及对角线之和相等，小明已经填了5个数，请将其余4个数填入。
【答案】【解析】先根据最左边一列求出幻和，然后根据这个和和给出的数字逐步推算。
3+8+7=18；第二行中间的数是：18-8-4=6；第三行中间的数是：18-7-9=2；第一行第一个数是：18-4-9=5；第一行中间的数是：18-3-5=10；【举一反三1】（第十届走美杯初赛）小华需要构造一个3×3的乘积魔方，使得每行、每列、每条对角线上三个正整数的乘积都相等；现在他已经填入了2，3，6三个数，那当小华的乘积魔方构造完毕后，x等于______。
三年级奥数教程第13讲 数阵图
三年级奥数教程第13讲数阵图例1、把1～6这六个数字分别填入图13一l的六个圈内，使得每个正方形顶点上的数的和都为13．分析从1到6这六个数的和是21．而两个正方形8个顶点上的数之和是26(＝13×2)，比六个数的总和大5．这是因为中间两个圈内的数，都被算了两次，所以，多出来的5就是中间两个圈内的数的和．解在1到6六个数中，两个数的和为5，只可能是1+4、2+3．当中间两个圈内填1与4时，剩下的四个数，3与5、2与6配对即可以满足条件．当中间两个圈内填2与3时，剩下的四个数无法组成和相等的两对，因而无法满足条件．所以，得到如图13—2的填法．随堂练习1将3、4、6这三个数填入图13—3的三个圆圈内，使得每条边上的三个数的和等于11．例2、将2到7这六个数，填入图13—4的圈中，使得每条线上的三个数的和相等．分析与解将三条线上的三个数都相加，中间的1被加了3次，所以三条线上三个数的和为1+2+…+6+7+1+1＝30．从而每条线上的和是10(＝30÷3)，即每条线上剩余两个圆圈内数的和是9(＝10—1)．由 2+7＝4+5＝3+6＝9．可以得到如图13—5的解．随堂练习2 将1到7这七个数填入图13—6，使得每条线上的三个数的和相等．例3、将1到9这九个数填入图13—7，使得从中心出发的每条线段上的三个数的和相等．分析与解先来确定中心的数．设这个数为a，则4条线上12个数(中心的数出现4次，其余的数各出现一次)的和1+2+…+9+a+a+a是4的倍数，即45+3×a是4的倍数．所以a只可能是1、5、9．(1)当a＝1时，2与9、4与7、8与3、5与6两两搭配填入同一条线的两个圈内即可．(2)当a＝5时，l与9、2与8、3与7、4与6搭配．(3)当a＝9时，1与8、2与7、3与6、4与5搭配．这样得到如图13—8所示的三个解．随堂练习3 将1～8填入图13—9，使两个正方形顶点上的数的和相等，并且用斜线连接的4对数的和也都相等．例4、将1到5这五个数填入图13-10，使得圆周上四个数的和与每条直线上的三个数的和都相等．分析与解设处于中心圈内的数是a，因为竖线上的三个数的和等于圆周上的四个数的和，所以a等于它左、右两个数的和．同理，a等于它上、下两个数的和．从而a是最大的数5．其余四个数，2与3搭配，1与4搭配，写在同一条线上．得到的解如图13—11所示．随堂练习4 在图13一12中圆圈内填上7、8、10、12，使得每个圆内的四个数的和相等．例5、将1～6这六个数填入图13～13的六个圆圈内，使得每条边上的三个数的和相等．分析与解用字母a、b、c表示三个顶点上的数．如果l、6都在边上，那么a、b、c中有两个数的差是5(＝6—1)．这不可能．所以可设以a＝1或6．如果a＝1，那么由2+6＝3+5．3+6＝4+5．可得图13—14的(1)，(2)．如果a＝6，同样可得图13—14的 (3)，(4)．随堂练习5 将l到16填入图13—15，使得每条线段上四个数的和相等，两个八边形八个顶点上的数的和也相等．例6、将1～16填入图13—16的正方形，使每行、每列、每条对角线的和都相等．图13—16分析与解本题也就是造一个四阶幻方．四阶幻方的造法很多，解也不惟一．下面介绍一种最简的做法，可以称为调整法．先将1～16依照次序先左后右，先上后下逐一填入图13—17(1)中得1234114154115144 567896712126799101112510118810115 13141516132316133216⑴⑵⑶图13—17四阶幻方中每行和、每列和、每条对角线的和都是 (1+2+…+16)÷4＝(1+16)×16÷2÷4＝34．现在图13—17(1)的两条对角线的和都已经是34，合乎要求．所以对角线上的数不要再动．先来调整行．将第一行的2、3分别与第四行的14、15对调，第二行的5、8分别与第三行的9、12对调，得图13—17(2)，这个图中，不但每条对角线的和是34，每一行的和也都是34．再调整列．将图13—17(2)第一列的9、5分别与第四列的12、8对调，第二列的14、2分别与15、3对调，得图13—17(3)，这个图就是一个合乎要求的幻方．随堂练习6 比较例6所得的幻方与随堂练习5的答案．有何联系?读一读……………………………………………………可能与必然上节末，说到一个游戏“数独”．数独怎么填呢?比如先看第一行，在上节末的图中，有6个空格，应填1、2、4、7、8、9这6个数字．每个空格填的数有6种可能，难以确定．如果看第二列，只有2个空格，应填2、7，每个空格有2种可能，但还不能惟一确定．可能性太多，需要逐个枚举讨论，比较麻烦．所以应先考虑可能较小的方格．最好能发现一些方格，只有一种填法，也就是说这些方格填什么数是必然的．将这些方格先填好，对填其他方格会有帮助．同时考虑几个方面的要求，可以得到必然的填法．比如中间的3×3的正方形，只有3个空格，应填2、6、8．再结合第四行已经有8，第六行也已经有8，所以8必须填在中央．接下去，因为第四行已经有6，所以6必须填在第六行，2填在第四行．现在再看第四行，只剩2个空格，应填9与3．第九列有9，所以第四行的9只能(必然)在第三列，3在第九列．同样，右中3×3的正方形中，9必然在第六行．第六行第一列必填2．左中3×3的正方形中，5必在第一列，7在第三列．第八列3必填在第九行，9必填在第二行．右上3×3的正方形中，7必填在第七列．右下3×3的正方形中，5必在第八行第七列，2必在第八行，1在第九列第七行，6在第七行第七列．右中3×3的正方形中，6在第九列，2在第七列．左下3×3的正方形中，2、3、8、6的填法都是必然的．左上3×3的正方形中，按行依次填2、1、4、7、6．右上3×3的正方形中，填4、8．中上3×3的正方形中填8、9、6、2、7、4．中下3×3的正方形中填9、3、6、4、1、7．填法都是必然的。
小学奥数考点知识精讲之5-1-3-3 数阵图(三)
1. 了解数阵图的种类2. 学会一些解决数阵图的解题方法3. 能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类：1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．数阵图与数论【例 1】 把0—9这十个数字填到右图的圆圈内，使得五条线上的数字和构成一个等差数列，而且这个等差数列的各项之和为55，那么这个等差数列的公差有 种可能的取值．【考点】数阵图与数论 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，三年级，初赛，第8题 【解析】 设顶点分别为A 、B 、C 、D 、E ，有45+A +B +C +D +E =55，所以A +B +C +D +E =10，所以A 、B 、C 、D 、E 分别只能是0-4中的一个数字.则除之外的另外5个数（即边上的）为45-10=35.设所形成的等差数列的首项为a 1，公差为d .利用求和公式5（a 1＋a 1+4d ）2=55， 得a 1+2d =11，故大于等于0+1+5=6，且为奇数，只能取7、9或11，而对应的公差d 分别为2、1和0.经试验都能填出来所以共有3中情况，公差分别为2、1、0.【答案】2种可能【例 2】 将1~9填入下图的○中，使得任意两个相邻的数之和都不是3，5，7的倍数．例题精讲知识点拨教学目标5-1-3-3.数阵图【考点】数阵图与数论【难度】4星【题型】填空【解析】根据题意可知1的两边只能是3与7；2的两边只能是6与9；3的两边只能是1、5或8；4的两边只能是7与9．可以先将3—1—7--写出来，接下来7的后面只能是4，4的后面只能是9，9的后面只能是2，2的后面只能是6，可得：3—1—7—4—9—2—6--，还剩下5和8两个数．由于6814+=是7的倍数，所以接下来应该是5，这样可得：3—1—7—4—9—2—6—5—8—3．检验可知这样的填法符合题意．【答案】3—1—7—4—9—2—6—5—8—3【例 3】在下面8个圆圈中分别填数字l，2，3，4，5，6，7，8(1已填出)．从1开始顺时针走1步进入下一个圆圈，这个圆圈中若填n(n≤8)。
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第三讲数阵图一、知识点：一些数按照一定的规则，填在某一特定图形的规定位置上，这种图形，我们称它为“数阵图”，数阵图的种类繁多，绚丽多彩，这里只向大家介绍三种数阵图，即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图。
在解答这类问题时，要善于确定所求的和与关键数字间的关系式，用试验的方法，找到相等的和与关键数字：要会对基本解中的数进行适当调整，得到其他的解，从而培养自己的观察能力，思维的灵活性和严密性。
例（1）将1~6分别填在图中，使每条边上的三个O内的数的和都等于9.5、6填入另外的三个圈即可。
把1~8个数分别填入O中，使每条边上三个数的和相等典例剖析:分析: 因为 1 + 2+ 3 + 4 + 5+ 6 = 21 ，而每条边上的三个数的和为9,则三条边上的和为9 X 3 = 27 , 27 —21 = 6 这个6就是由于三个顶点都被重复算了一次。
所以三个顶点的和为 6 ,在1-----6中，只能选1、2、3填入三个顶点中，再将4、解:-1—.5—6解： a .例（2 ）把1〜7填入下图中,使每条线段上三个O 内的数的和相等分析：中心圆填入的数设为x , x 参与3条线的连加，设每条线数字和都 为S.由题意:1+2+3+…+7+2x=3S 即 28+2x=3S 或 28+2x 三 0 ( mod 3)借用同余工具，是在两个未知数的不定方程中先缩小 x 应该取值的范围.在mod3情况下，只要试探x = 0, 1, 2三个值，很轻松地解出：x = 1 （mod3，回复到x 取值范围为1, 2,…，7.有X 1=1, X 2=4, X 3=7, 得到：X 1=1, S=10; X 2=4, 9=12; X 3=7, S3=14; 由此看出关键在求S （公共和）及x （参与相加次数最多的圆中值）71练一练: 把1~11填入图中,使每条线上三个数的和相等例（3）把20以内的质数分别填入下图的一个。
中，使得图中用箭头连接起 来的四个数之和都相等。
(完整版)小学三年级奥数--数阵图
数阵图(一)在神奇的数学王国中，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙无穷。
它就是数阵，一座真正的数字迷宫，它对喜欢探究数字规律的人有着极大的吸引力，以至有些人留连其中，用毕生的精力来研究它的变化，就连大数学家欧拉对它都有着浓厚的兴趣。
那么，到底什么是数阵呢？我们先观察下面两个图：左上图中有3个大圆，每个圆周上都有四个数字，有意思的是，每个圆周上的四个数字之和都等于13。
右上图就更有意思了，1～9 九个数字被排成三行三列，每行的三个数字之和与每列的三个数字之和，以及每条对角线上的三个数字之和都等于15，不信你就算算。
上面两个图就是数阵图。
准确地说，数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵。
要排出这样巧妙的数阵图，可不是一件容易的事情。
我们还是先从几个简单的例子开始。
例1 把1～5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。
同学们可能会觉得这道题太容易了，七拼八凑就写出了右上图的答案，可是却搞不清其中的道理。
下面我们就一起来分析其中的道理，只有弄懂其中的道理，才可能解出复杂巧妙的数阵问题。
分析与解：中间方格中的数很特殊，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做“重叠数”。
也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次。
因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于9，所以(1+2+3+4+5)+重叠数=9+9，重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3 。
重叠数求出来了，其余各数就好填了（见右上图）。
试一试：练习与思考第1 题。
例2 把1～5 这五个数填入下页左上图中的○里（已填入5），使两条直线上的三个数之和相等。
分析与解：与例1 不同之处是已知“重叠数”为5，而不知道两条直线上的三个数之和都等于什么数。
所以，必须先求出这个“和”。
根据例1 的分析知，两条直线上的三个数相加，只有重叠数被加了两遍，其余各数均被加了一遍，所以两条直线上的三个数之和都等于[（1+2+3+4+5）+5] ÷2=10。
(完整版)奥数知识点-简单数阵图
简单数阵图一、辐射型数阵图
从一个中心出发，向外作若干条射线，在每条射线上安放同样多个数，使其和是一个不变的数。
突破关键：确定中心数，多算的次数，公共的和。
先求重叠数。
数总和 + 中心数×重复次数＝公共的和×线数
重叠部分 = 线总和 - 数总和 / 线总和 = 公共的和×线数
数和：指所有要填的数字加起来的和
中心数：指中间那数字，即重复计算那数字（重叠数）
重复次数：中心数多算的次数，一般比线数少1
公共的和：指每条直线上几个数的和
线数：指算公共和的线条数
二、封闭型数阵图
多边形的每条边放同样多的数，使它们的和都等于一个不变的数。
突破关键：确定顶点上的数字，公共的和。
数和+重叠数的和＝公共的和×边数
数和：指所有要填的数字加起来的和
公共的和：指每条直线上几个数的和
重叠数和：指数阵图顶角重复算的数全加起来的和
边数：指封闭图形的边数。
a小学数学奥赛5-1-3-3 数阵图(三).教师版
1. 了解数阵图的种类2. 学会一些解决数阵图的解题方法3. 能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类：1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．数阵图与数论【例 1】 把0—9这十个数字填到右图的圆圈内，使得五条线上的数字和构成一个等差数列，而且这个等差数列的各项之和为55，那么这个等差数列的公差有种可能的取值．【考点】数阵图与数论 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，三年级，初赛，第8题 【解析】 设顶点分别为A 、B 、C 、D 、E ，有45+A +B +C +D +E =55，所以A +B +C +D +E =10，所以A 、B 、C 、D 、E 分别只能是0-4中的一个数字.则除之外的另外5个数（即边上的）为45-10=35.设所形成的等差数列的首项为a 1，公差为d .利用求和公式5（a 1＋a 1+4d ）2=55， 得a 1+2d =11，故大于等于0+1+5=6，且为奇数，只能取7、9或11，而对应的公差d 分别为2、1和0.经试验都能填出来所以共有3中情况，公差分别为2、1、0.【答案】2种可能【例 2】 将1~9填入下图的○中，使得任意两个相邻的数之和都不是3，5，7的倍数．例题精讲知识点拨教学目标5-1-3-3.数阵图【考点】数阵图与数论【难度】4星【题型】填空【解析】根据题意可知1的两边只能是3与7；2的两边只能是6与9；3的两边只能是1、5或8；4的两边只能是7与9．可以先将3—1—7--写出来，接下来7的后面只能是4，4的后面只能是9，9的后面只能是2，2的后面只能是6，可得：3—1—7—4—9—2—6--，还剩下5和8两个数．由于6814+=是7的倍数，所以接下来应该是5，这样可得：3—1—7—4—9—2—6—5—8—3．检验可知这样的填法符合题意．【答案】3—1—7—4—9—2—6—5—8—3【例 3】在下面8个圆圈中分别填数字l，2，3，4，5，6，7，8(1已填出)．从1开始顺时针走1步进入下一个圆圈，这个圆圈中若填n(n≤8)。
二年级奥数：数阵图
二年级奥数：数阵图渣渣兔摆棋子，它想让每行每列的三个数相加都等于 15.现在摆了 4 个，剩下的应该摆哪几个数呢？数阵图——把数按照一定的规律要求排起来方法：找准要求和填数的突破口庆祝渣渣兔的生日，微微老师给它做了一个蛋糕.现在往蛋糕上插上数字蜡烛，希望每条线上的三个数相加和都等于 12.你来帮帮我！辐射型数阵图关键点：重叠数如果所填的数是连续数，可以尝试重叠数为最大的、最小的、中间数其余的：大手拉小手请把 1、2、3、4、5、6、7 这七个数分别填入圆圈里，使每条直线上的三个数相加的和都是 12.请把 1~9 这九个数字分别填入圆圈内，使每条横线、竖线、斜线上的三个数相加的和都是12.请你把 1、2、3、5、7、9、11 这 7 个数分别填入圆圈里，使每条直线上的三个数相加的和都是 14.辐射型数阵图（一个重叠点）如果所填的数不是连续数，用拆数法，将总数拆成几个数相加的形式.请你把 1、2、3、4、5、7 分别填入圆圈里，使每一个大椭圆上的四个数之和等于 13.封闭型数阵图（多个重叠数）方法：有序的拆数（重复的数就是数阵图中的重叠数）数阵图，关键点是找出重叠数1、辐射型——连续的数：尝试法：头、尾、中间数；其余大手拉小手不连续的数：拆数法2、封闭型——拆数法【练习 1】在圆圈内填上适当的数，使每条线上的三个数之和都为 12.你能做到吗？【练习 2】把 4~8 这 5 个数填入圆圈中（左下图），使两条直线上三个数之和等于 18.【练习 3】将 1-7 这 7 个数填入右上图中，使每条线上的数之和都未 14.【练习 4】请将 3、4、5、6、7、8、9 填入下面的圆圈里，并使每条直线上三个数字之和都相等.（同一图片中不能出现相同的数；不同图片中数字可以重复使用.）【练习 5】请你把 1、2、3、4、5、6 分别填入圆圈里，使每一个大椭圆上的四个数之和等于 14.。
三年级奥数数阵图与幻方
数阵图与幻方知识框架一、数阵图定义及分类：定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.数阵：是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手：第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．三、幻方起源：幻方也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方．幻方起源于我国，古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻方．如下图：987654321我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久．三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆．”幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们．四、幻方定义：幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的33⨯的数阵称作三阶幻方，44⨯的数阵称作四阶幻方，55⨯的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，98765432113414151612978105113216。
(完整版)四年级奥数第三讲数阵图含答案
第三讲 数阵图一、知识点：一些数按照一定的规则，填在某一特定图形的规定位置上，这种图形，我们称它为“数阵图”，数阵图的种类繁多，绚丽多彩，这里只向大家介绍三种数阵图，即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图。
在解答这类问题时，要善于确定所求的和与关键数字间的关系式，用试验的方法，找到相等的和与关键数字：要会对基本解中的数进行适当调整，得到其他的解，从而培养自己的观察能力，思维的灵活性和严密性。
二、典例剖析：例（1） 将1~6分别填在图中,使每条边上的三个○内的数的和都等于9.分析： 因为 1＋2＋3＋4＋5＋6 = 21 ，而每条边上的三个数的和为9，则三条边上的和为 9×3 = 27 ， 27－21 = 6 ， 这个 6 就是由于三个顶点都被重复算了一次。
所以三个顶点的和为 6 ，在 1-----6中，只能选1、2、3 填入三个顶点中，再将4、5、6填入另外的三个圈即可。
解：a b . c .d .e .f .练一练：把1~8个数分别填入○中,使每条边上三个数的和相等.答案:例（2 ）把1~7填入下图中,使每条线段上三个○内的数的和相等.分析：中心圆填入的数设为x，x参与3条线的连加，设每条线数字和都为S.由题意：1+2+3+…+7+2x=3S 即28+2x=3S或28+2x≡0（mod 3）借用同余工具，是在两个未知数的不定方程中先缩小x应该取值的范围.在mod3情况下，只要试探x≡0，1，2三个值，很轻松地解出：x≡1（mod3），回复到x取值范围为1，2，…，7.有x1=1，x2=4，x3=7，得到：x1=1，S1=10；x2=4，S2=12；x3=7，S3=14；由此看出关键在求S（公共和）及x（参与相加次数最多的圆中值）. 解：a. b练一练：把1~11填入图中,使每条线上三个数的和相等.答案:例（3）把20以内的质数分别填入下图的一个○中，使得图中用箭头连接起来的四个数之和都相等。
五年级上册数学培优奥数讲义-第23讲数阵图
第23讲数阵图知识与方法数阵图问题千变万化，需要综合运用各种数学知识来解决问题，而往往同学们喜欢毫无顺序的“瞎试”，本讲要介绍一些通用的方法。
所以，一般是先用公式法分析出重复数，再用尝试法进行试填。
方法一：尝试法：所给的是一个等差数列，并且每条线上的数是奇数个时，中间数只能填最大数、最小数或中间数，因此可以依据这个规律进行尝试。
方法二：公式法：线和×线数＝数字和＋重复数×重复次数初级挑战1将1～7分别填入下图的7个○内，使每条线段上三个○内数的和相等。
思维点拨：观察发现，每条线上的三个数之和相等，而这三条线相交刚好重复了一个数，我们叫做重复数。
除去重复数，三条线上其他两数之和应相等。
1～7中，找出三组和相等的六个数即可，剩下的一个数填中间。
答案：（答案不唯一）能力探索1把1～11分别填入下图的○内，使每条线段上3个○内数的和相等。
答案：中间重复数为1或6或11。
给出一种填法：（答案不唯一）初级挑战2将数字1～8填入图中，使横行方框中的数之和与竖列方框中的数之和相等且为19。
思维点拨：本题的关键在于先确定中间重复数。
横行和竖列的和为19×2＝38，而实际上所有方框中的数之和为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36，38－36＝2，多出来的2正好是中间重复的数。
答案：（答案不唯一）能力探索2将2～8填入下图的方框中，使横行、竖列的和相等且为20。
答案：中间重复数：20×2－（2＋3＋4＋…＋8）＝5。
（答案不唯一）中级挑战1将1～10这十个自然数填入下图的○中，使每个圆上六个数的和为29。
思维点拨：两个大圆圈的和为29×2＝58，而圆圈上所有的数之和为：1＋2＋3＋…＋10＝55，因此中间两个圆圈数（重复数）的和为58－55＝3，而3＝1＋2，由此可先填出中间的两个圆圈数分别为1和2，再两两配对填出其它数即可。
答案：（答案不唯一）把数字1～8分别填入下图的小圆圈内，使每个五边形上5个数的和都等于20。
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小学奥数之数阵图解题方法1. 了解数阵图的种类2. 学会一些解决数阵图的解题方法3. 能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类：1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．模块一、封闭型数阵图【例 1】 把1～8的数填到下图中，使每个四边形中顶点的数字和相等。
【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，3年级，第6题 【解析】5-1-3-1.数阵图教学目标知识点拨例题精讲【答案】【例 2】 将1～8这八个自然数分别填入下图中的八个○内，使四边形每条边上的三个数之和都等于14，且数字1出现在四边形的一个顶点上.应如何填？【考点】封闭型数阵图 【难度】2星 【题型】填空 【解析】 为了叙述方便，先在各圆圈内填上字母，如下图（2）.由条件得出以下四个算式：a+b+c=14（1） c+d+e=14 （2） e+f+g=14 （3）a+h+g=14 （4）由（1）+（3），得：a+b+c+e+f+g=28，（a+b+c+d+e+f+g+h ）-（d+h ）=28，d+h=（1+2+3+4+5+6+7+8）-28=8，由（2）+（4），同样可得b+f=8， 又1，2，3，4，5，6，7，8中有1+7=2+6=3+5=8.又1要出现在顶点上，d+h 与b+f 只能有2+6和3+5两种填法. 又由对称性，不妨设b=2，f=6，d=3，h=5. a ，c ，e ，g 可取到1，4，7，8若a=1，则c=14-（1+2）=11，不在1，4，7，8中，不行.若c=1，则a=14-（1+2）=11，不行. 若e=1，则c=14-（1+3）=10，不行. 若g=1，则a=8，c=4，e=7. 说明：例题为封闭型数阵，由它的分析思考过程可以看出，确定各边顶点所应填的数为封闭型数8765432187654321（）（2）h gf ed c ba阵的解题突破口.【答案】【例 3】 在如图6所示的○内填入不同的数，使得三条边上的三个数的和都是12，若A 、B 、C 的和为18，则三个顶点上的三个数的和是 。
【考点】封闭型数阵图 【难度】1星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，复赛，第11题，5分 【解析】 设三个顶点为D ,E ,F ，求D ,E ,F 。
观察容易发现，三条边的和为36，即D +A +E +E +C +F +F +B +D =3618+2( D +E +F )=36，所以D +E +F =9 【答案】9【例 4】 将1至6这六个数字填入图中的六个圆圈中(每个数字只能使用一次)，使每条边上的数字和相等．那么，每条边上的数字和是 ．【考点】封闭型数阵图 【难度】2星 【题型】填空 【解析】 如图，用字母表示各个圆圈中的数，那么每条边上的数字和为()1293153a b ca b c ++++++++÷=+，由于a b c ++最小为1236++=，最大为 45615++=，所以每条边上的数字和最小为17，最大为20，如下两图为每条边上的数字和分别为17和20时的填法．而每条边上的数字和能否为18或19呢？答案是否定的，现说明如下． 如果每条边上的数字和为18，那么()181539a b c ++=-⨯=，而918a b d +++=，即9a b d ++=，得到c d =，与题意不符，所以每条边上的数字和不能为18．如果每条边上的数字和为19，类似分析可得到b e =，也与题意不符，所以每条边上的数字和不能为19． 所以每条边上的数字和为17或20．【答案】17或20【例 5】 将1到8这8个自然数分别填入如图数阵中的8个圆圈，使得数阵中各条直线上的三个数之和都相等，那么A 和B 两个圆圈中所填的数之差(大数减小数)是______．CBA789fedcba 789598712436598712436【考点】封闭型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】2008年，学而思杯，五年级，4年级，第4题 【解析】 方法一：如图用字母来表示各个圆圈中的数字，设各条直线上的三个数之和都为s ，那么2a b c d e f s +++++=，3a A e b A d c B f s ++++++++=，所以2A B s +=， 253a b c d e f A B s A B A B +++++++=++=+，而 12836a b c d e f A B +++++++=+++=，所以5336A B +=，那么A 是3的倍数.如果3A =，得7B =；如果6A =，得2B =，这两种情况下A 和B 的差都为4，所以A 和B 两个圆圈中所填的数之差(大数减小数)是4.方法二：设各条直线上的三个数之和都为s ，2(1238)5B s ++++-=，即725B s -=，所以214B s =⎧⎨=⎩，713B s =⎧⎨=⎩，由于(1238)3A s +++++=，即363A s +=，因此有146s A =⎧⎨=⎩,133s A =⎧⎨=⎩,综合有2146B s A =⎧⎪=⎨⎪=⎩，7133B s A =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以A 和B 两个圆圈中所填的数之差(大数减小数)是4.【答案】4【例 6】 如图所示，圆圈中分别填人0到9这10个数，且每个正方形顶点上的四个数之和都是18，则中间两个数A 与B 的和是________。
【考点】封闭型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，六年级，二试，第5题，4分 【解析】 若每个正方形中数的和都是18，那么总和为54，而这10个数的和为45，其中A 、B 各多算了一次，故A +B =9。
【答案】9【例 7】 把2～11这10个数填到右图的10个方格中，每格内填一个数，要求图中3个22⨯的正方形中的4个数之和相等．那么，这个和数的最小值是多少？f e cdb aBABA【考点】封闭型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 第一步：首先确定数阵图中的关键方格，即相邻两个正方形相交的两个方格；第二步：计算三个22⨯正方形内4个数之和的和，显然这个和能被3整除，其中有两个数被重复计算了两次，而231165+++=，除以3余2，因此被重复计算的两个数的和被3除余1，这两个数取2、5时，这个和取得最小值；第三步，由已知的两个方格中的数，得到每个22⨯正方形中的4个数之和的最小值为24，构造各个正方形中其他几个数使每个正方形中的数的和为24，如图，所以所求的最小值是24．【答案】24【例 8】 下图中有五个正方形和12个圆圈，将1~12填入圆圈中，使得每个正方形四角上圆圈中的数字之和都相等．那么这个和是多少?【考点】封闭型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 设每个正方形四角上圆圈中的数字之和为x ，则由5个正方形四角的数字之和，相当于将1～12相加，再将中间四个圆圈中的数加两遍，可得：()121225x x ++++=，解得26x =，即这个和为26．具体填法如右上图。
【答案】26【例 9】 如图，大、中、小三个正方形组成了8个三角形，现在把2、4、6、8四个数分别填在大正方形的四个顶点；再把2、4、6、8分别填在中正方形的四个顶点上；最后把2、4、6、8分别填在小正方形的四个顶点上．⑴能不能使8个三角形顶点上数字之和都相等？⑵能不能使8个三角形顶点上数字之和各不相同？如果能，请画图填上满足要求的数；如果不能，请说明理由．【考点】封闭型数阵图 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 ⑴不能．如果这8个三角形顶点上数字之和都相等，设它们都等于S ．考察外面的4个三角形，每个三角形顶点上的数的和是S ，在它们的和4S 中，大正方形的2、4、6、8各出现一次，中正方形的2、4、6、8各出现二次，即()42468360S =+++⨯=．得到60415S =÷=，但是三角形每个顶点上的数都是偶数，和不可能是奇数15，因此这8个三角形顶点上的数字之和不可能都相等．⑴由于三角形3个顶点上的数字之和最小为2226++=，最大为88824++=，可能为6、8、10、……22、24，共有10个可能的值，而三角形只有8个，所以是有可能做到8个三角形的顶点上数字之和互不相同的．根据对称性，不妨舍去这10个可能值的首尾两个，把剩下8个值(8、10、12、14、16、18、20、22)作为8个三角形的顶点上数字之和进行尝试，可以得到满足条件的填法，右上图就是一种填法．111098765432861102912311457246824688642【答案】【例 10】 将1～16分别填入下图（1）中圆圈内，要求每个扇形上四个数之和及中间正方形的四个数之和都为34，图中已填好八个数，请将其余的数填完.【考点】封闭型数阵图 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 为了叙述方便，将圆圈内先填上字母，如图（2）所示：9+15+a+c=34，5+10+e+g=34，7+14+b+d=34，11+8+f+h=34，c+d+e+f=34， 化简得：a+c=10 4+6=10.e+g=19 3+16=19，6+13=19 b+d=13 1+12=13，f+h=15 2+13=15，3+12=15.a ，b ，c ，d ，e ，f ，g ，h 应分别从1，2，3，4，6，12，13，16中选取.因为a+c=10，所以只能选a+c=4+6； b+d=13，只能选b+d=13；e+g=19，只能选e+g=3+16；f+h=15，只能选f+h=2+13 若d=1，c=4，则e+f=34-1-4=29，有e=16，f=13.若d=1，c=6，则e+f=34-1-6=27，那么e 、f 无值可取，使其和为27. 若d=12，c=4，则e+f=34-12-4=18，有e=16，f=2. 若d=12，c=6，则e+f=34-12-6=16，有e=3，f=13. 解：共有三个解（见图）.246824688642【答案】【例 11】一个3⨯3的方格表中，除中间一格无棋子外，其余梅格都有4枚一样的棋子，这样每边三个格子中都有12枚棋子，去掉4枚棋子，请你适当调整一下，使每边三格中任有12枚棋子，并且4个角上的棋子数仍然相等（画图表示）。