新人教A版高中数学必修1 函数的单调性

函数的基本性质1．3.1单调性与最大(小)值第一课时函数的单调性[新知初探]1．定义域为I的函数f(x)的增减性[点睛]定义中的x1，x2有以下3个特征(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；(2)有大小，通常规定x1<x2；(3)属于同一个单调区间．2．单调性与单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．[点睛]一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”连接．如函数y＝1x在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，却不能表述为：函数y＝1x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝x2在R上是增函数．()(2)所有的函数在其定义域上都具有单调性．()(3)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”．()答案：(1)×(2)×(3)×2.函数y＝f(x)的图象如图所示，其增区间是()A．[－4,4]B．[－4，－3]∪[1,4]C．[－3,1]D．[－3,4]答案：C3．下列函数f(x)中，满足对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)的是()A．f(x)＝x2B．f(x)＝1 xC．f(x)＝|x| D．f(x)＝2x＋1答案：B4．函数f(x)＝－x2－2x的单调递增区间是________．答案：(－∞，－1][例1]求证：函数f(x)＝1x2在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数．[证明]对于任意的x1，x2∈(－∞，0)，且x1<x2，有f(x1)－f(x2)＝1x21－1x22＝x22－x21x21x22＝(x2－x1)(x2＋x1)x21x22.∵x1<x2<0，∴x2－x1>0，x1＋x2<0，x21x22>0.∴f (x1)－f (x2)<0，即f (x1)<f (x2)．∴函数f (x)＝1x2在(－∞，0)上是增函数．对于任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，有f (x1)－f(x2)＝(x2－x1)(x2＋x1)x21x22.∵0<x1<x2，∴x2－x1>0，x2＋x1>0，x21x22>0. ∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．∴函数f(x)＝1x2在(0，＋∞)上是减函数．利用定义证明函数单调性的4个步骤函数单调性的判定与证明[活学活用]1．证明函数f (x )＝x ＋1x 在(0,1)上是减函数．证明：设x 1，x 2是区间(0,1)上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫x 1＋1x 1－⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2＝(x 1－x 2)＋⎝⎛⎭⎫1x 1－1x 2＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1－1x 1x 2＝(x 1－x 2)(－1＋x 1x 2)x 1x 2. ∵0<x 1<x 2<1，∴x 1－x 2<0,0<x 1x 2<1，则－1＋x 1x 2<0， ∴(x 1－x 2)(－1＋x 1x 2)x 1x 2>0，即f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )＝x ＋1x 在(0,1)上是减函数.[例2] 画出函数y ＝－x 2＋2|x |＋1的图象并写出函数的单调区间．[解] y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －1)2＋2，x ≥0，－(x ＋1)2＋2，x <0. 函数的大致图象如图所示，单调增区间为(－∞，－1]，[0,1]，单调减区间为(－1,0)，(1，＋∞)．求函数的单调区间2．如图所示为函数y ＝f (x )，x ∈[－4,7]的图象，则函数f (x )的单调递增区间是________．解析：由图象知单调递增区间为[－1.5,3]和[5,6]． 答案：[－1.5,3]和[5,6] 3．求函数f (x )＝1x －1的单调减区间． 解：函数f (x )＝1x －1的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)， 设x 1，x 2∈(－∞，1)，且x 1<x 2，则 f (x 1)－f (x 2)＝1x 1－1－1x 2－1＝x 2－x 1(x 1－1)(x 2－1). 因为x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0， 所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)．所以函数f (x )在(－∞，1)上单调递减，同理函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减． 综上，函数f (x )的单调递减区间是(－∞，1)，(1，＋∞).题点一：利用单调性比较大小1．若函数f (x )在区间(－∞，＋∞)上是减函数，则下列关系式一定成立的是( ) A ．f (a )>f (2a ) B ．f (a 2)<f (a ) C ．f (a 2＋a )<f (a )D ．f (a 2＋1)<f (a 2)解析：选D 因为f (x )是区间(－∞，＋∞)上的减函数，且a 2＋1>a 2，所以f (a 2＋1)<f (a 2)．故选D.题点二：利用单调性解不等式2．已知函数y ＝f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，且f (2x －3)>f (5x ＋6)，求实数x 的取值范围．解：∵函数y ＝f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，且f (2x －3)>f (5x ＋6)，∴2x －3>5x ＋6，解得x <－3.∴x 的取值范围为(－∞，－3)．题点三：已知单调性求参数范围3．已知函数f (x )＝x －a x ＋a2在(1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围．解：设1<x 1<x 2，∴x 1x 2>1.∵函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数，函数单调性的应用∴f (x 1)－f (x 2)＝x 1－a x 1＋a2－⎝⎛⎭⎫x 2－a x 2＋a 2 ＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1＋a x 1x 2<0.∵x 1－x 2<0，∴1＋ax 1x 2>0，即a >－x 1x 2.∵1<x 1<x 2，x 1x 2>1，∴－x 1x 2<－1，∴a ≥－1. ∴a 的取值范围是[－1，＋∞)．层级一 学业水平达标1．如图是函数y ＝f (x )的图象，则此函数的单调递减区间的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 由图象，可知函数y ＝f (x )的单调递减区间有2个．故选B. 2．下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是( ) A ．y ＝|x | B ．y ＝3－x C ．y ＝1xD ．y ＝－x 2＋4解析：选A 因为－1<0，所以一次函数y ＝－x ＋3在R 上递减，反比例函数y ＝1x 在(0，＋∞)上递减，二次函数y ＝－x 2＋4在(0，＋∞)上递减．故选A.3．函数y ＝1x 的单调递减区间是( ) A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(－∞，0)和(0，＋∞)D ．(－∞，0)∪(0，＋∞)解析：选C 函数y ＝1x 的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．由函数的图象可知y ＝1x 在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上分别是减函数．4．若函数f (x )＝(2a －1)x ＋b 在R 上是单调减函数，则有( ) A ．a ≥12B ．a ≤12C ．a >12D ．a <12解析：选D 函数f (x )＝(2a －1)x ＋b 在R 上是单调减函数，则2a －1<0，即a <12.故选D.5．函数f (x )＝|x |，g (x )＝x (2－x )的递增区间依次是( ) A ．(－∞，0]，(－∞，1] B ．(－∞，0]，(1，＋∞) C ．[0，＋∞)，(－∞，1]D ．[0，＋∞)，[1，＋∞)解析：选C 分别作出f (x ) 与g (x )的图象得：f (x )在[0，＋∞)上递增，g (x )在(－∞，1]上递增，选C.6．若f (x )在R 上是减函数，则f (－1)________f (a 2＋1)(填“>”或“<”或“≥”或“≤”)． 解析：∵f (x )在R 上是减函数，∴对任意x 1，x 2，若x 1<x 2均有f (x 1)>f (x 2)．又∵－1<a 2＋1，∴f (－1)>f (a 2＋1)．答案：>7．已知函数f (x )为定义在区间[－1,1]上的增函数，则满足f (x )<f ⎝⎛⎭⎫12的实数x 的取值范围为________．解析：由题设得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x <12，解得－1≤x <12.答案：⎣⎡⎭⎫－1，12 8．如果二次函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝⎛⎭⎫12，1上是增函数，则实数a 的取值范围为________．解析：∵函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5的对称轴为x ＝a －12且在区间⎝⎛⎭⎫12，1上是增函数， ∴a －12≤12，即a ≤2.答案：(－∞，2]9．判断并证明函数f (x )＝－1x ＋1在(0，＋∞)上的单调性．解：函数f (x )＝－1x＋1在(0，＋∞)上是增函数．证明如下：设x 1，x 2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫－1x 1＋1－⎝⎛⎭⎫－1x 2＋1＝x 1－x 2x 1x 2， 由x 1，x 2∈(0，＋∞)，得x 1x 2>0， 又由x 1<x 2，得x 1－x 2<0， 于是f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， ∴f (x )＝－1x ＋1在(0，＋∞)上是增函数．10．作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，(x －2)2＋3，x >1的图象，并指出函数f (x )的单调区间． 解：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，(x －2)2＋3，x >1的图象如图所示．由图可知，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，(x －2)2＋3，x >1的单调减区间为(－∞，1]和(1,2)，单调增区间为[2，＋∞)．层级二 应试能力达标1．若函数f (x )在区间(a ，b )上是增函数，在区间(b ，c )上也是增函数，则函数f (x )在区间(a ，b )∪(b ，c )上( )A ．必是增函数B ．必是减函数C ．是增函数或减函数D ．无法确定单调性解析：选D 函数在区间(a ，b )∪(b ，c )上无法确定单调性．如y ＝－1x 在(0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上也是增函数，但在(－∞，0)∪(0，＋∞)上并不具有单调性．2．下列四个函数在(－∞，0)上为增函数的是( ) ①y ＝|x |＋1；②y ＝|x |x ；③y ＝－x 2|x |；④y ＝x ＋x|x |.A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④解析：选C ①y ＝|x |＋1＝－x ＋1(x <0)在(－∞，0)上为减函数；②y ＝|x |x ＝－1(x <0)在(－∞，0)上既不是增函数也不是减函数；③y ＝－x 2|x |＝x (x <0)在(－∞，0)上是增函数；④y ＝x ＋x|x |＝x －1(x <0)在(－∞，0)上也是增函数． 3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －3)x ＋5，x ≤1，2a x ，x >1是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．(0,3]C ．(0,2)D ．(0,2]解析：选D 依题意得实数a 满足⎩⎪⎨⎪⎧a －3<0，2a >0，(a －3)＋5≥2a ，解得0<a ≤2.4．若函数f (x )＝8x 2－2kx －7在[1,5]上为单调函数，则实数k 的取值范围是( ) A ．(－∞，8]B ．[40，＋∞)C ．(－∞，8]∪[40，＋∞)D ．[8,40]解析：选C 由题意知函数f (x )＝8x 2－2kx －7的图象的对称轴为x ＝k8，因为函数f (x )＝8x 2－2kx －7在[1,5]上为单调函数，所以k 8≤1或k8≥5，解得k ≤8或k ≥40，所以实数k 的取值范围是(－∞，8]∪[40，＋∞)．故选C.5．若函数y ＝－bx 在(0，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是________．解析：设0<x 1<x 2，由题意知 f (x 1)－f (x 2)＝－b x 1＋b x 2＝b (x 1－x 2)x 1x 2>0.∵0<x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1x 2>0， ∴b <0.答案：(－∞，0)6．设f (x )是定义在R 上的增函数，f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，则不等式f (x )＋f (－2)>1的解集为________．解析：由条件可得f (x )＋f (－2)＝f (－2x )，又f (3)＝1，∴不等式f (x )＋f (－2)>1，即为f (－2x )>f (3)．∵f (x )是定义在R 上的增函数，∴－2x >3，解得x <－32.故不等式f (x )＋f (－2)>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－32.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－32 7．已知y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，且f (1－a )<f (2a －1)，求a 的取值范围．解：由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－a <1，－1<2a －1<1，解得0<a <1.①又f (x )在(－1,1)上是减函数，且f (1－a )<f (2a －1)，∴1－a >2a －1，即a <23，②由①②可知，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，23.8．设函数f (x )＝x ＋ax ＋b(a >b >0)，求f (x )的单调区间，并说明f (x )在其单调区间上的单调性． 解：在定义域内任取x 1，x 2，且使x 1<x 2， 则f (x 2)－f (x 1)＝x 2＋a x 2＋b －x 1＋ax 1＋b＝(x 2＋a )(x 1＋b )－(x 2＋b )(x 1＋a )(x 1＋b )(x 2＋b )＝(b －a )(x 2－x 1)(x 1＋b )(x 2＋b ). ∵a >b >0，x 1<x 2，∴b －a <0，x 2－x 1>0.只有当x 1<x 2<－b 或－b <x 1<x 2时，函数才单调． 当x 1<x 2<－b 或－b <x 1<x 2时，f (x 2)－f (x 1)<0.∴y ＝f (x )在(－∞，－b )上是单调减函数，在(－b ，＋∞)上也是单调减函数． ∴y ＝f (x )的单调减区间是(－∞，－b )和(－b ，＋∞)，无单调增区间．。