新人教A版高中数学必修1 函数的单调性

函数的基本性质

1．3.1单调性与最大(小)值

第一课时函数的单调性

[新知初探]

1．定义域为I的函数f(x)的增减性

[点睛]定义中的x

1

，x2有以下3个特征

(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；

(2)有大小，通常规定x1

(3)属于同一个单调区间．

2．单调性与单调区间

如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．

[点睛]一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”

连接．如函数y＝1

x在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，却不能表述为：函数y＝

1

x在(－∞，0)∪(0，

＋∞)上单调递减．

[小试身手]

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数y＝x2在R上是增函数．()

(2)所有的函数在其定义域上都具有单调性．()

(3)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”．()

答案：(1)×(2)×(3)×

2.函数y＝f(x)的图象如图所示，其增区间是()

A．[－4,4]

B．[－4，－3]∪[1,4]

C．[－3,1]

D．[－3,4]

答案：C

3．下列函数f(x)中，满足对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1f(x2)的是()

A．f(x)＝x2B．f(x)＝1 x

C．f(x)＝|x| D．f(x)＝2x＋1

答案：B

4．函数f(x)＝－x2－2x的单调递增区间是________．

答案：(－∞，－

1]

[例1]求证：函数f(x)＝1

x2在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数．

[证明]对于任意的x

1，x2∈(－∞，0)，且x1

1

x21－

1

x22＝

x22－x21

x21x22＝

(x2－x1)(x2＋x1)

x21x22.

∵x1

∴x2－x1>0，x1＋x2<0，x21x22>0.

∴f (x1)－f (x2)<0，即f (x1)

∴函数f (x)＝1

x2在(－∞，0)上是增函数．

对于任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1

f (x1)－f(x2)＝(x2－x1)(x2＋x1)

x21x22.

∵00，x2＋x1>0，x21x22>0. ∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．

∴函数f(x)＝1

x2在(0，＋∞)上是减函数．

利用定义证明函数单调性的4个步骤函数单调性的判定与证明

[活学活用]

1．证明函数f (x )＝x ＋1

x 在(0,1)上是减函数．

证明：设x 1，x 2是区间(0,1)上的任意两个实数，且x 1

⎛⎭⎫x 1＋1x 1

－⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2＝(x 1－x 2)＋⎝⎛⎭⎫1x 1－1x 2＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2

＝

(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1－1x 1x 2＝(x 1－x 2)(－1＋x 1x 2)

x 1x 2. ∵0

∴x 1－x 2<0,0

x 1x 2>0，即f (x 1)>f (x 2)，

∴f (x )＝x ＋1

x 在(0,1)上是减函数.

[例2] 画出函数y ＝－x 2＋2|x |＋1的图象并写出函数的单调区间．

[解] y ＝⎩⎪⎨⎪⎧

－x 2＋2x ＋1，x ≥0，

－x 2－2x ＋1，x <0，

即y ＝⎩

⎪⎨⎪⎧

－(x －1)2＋2，x ≥0，－(x ＋1)2

＋2，x <0. 函数的大致图象如图所示，单调增区间为(－∞，－1]，[0,1]，单调减区间为(－1,0)，(1，＋∞)．

求函数的单调区间

2．如图所示为函数y ＝f (x )，x ∈[－4,7]的图象，则函数f (x )的单调递增区间是________．

解析：由图象知单调递增区间为[－1.5,3]和[5,6]． 答案：[－1.5,3]和[5,6] 3．求函数f (x )＝1

x －1

的单调减区间． 解：函数f (x )＝

1

x －1

的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)， 设x 1，x 2∈(－∞，1)，且x 1

1x 1－1－1

x 2－1＝x 2－x 1(x 1－1)(x 2－1)

. 因为x 10，x 1－1<0，x 2－1<0， 所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)．

所以函数f (x )在(－∞，1)上单调递减，同理函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减． 综上，函数f (x )的单调递减区间是(－∞，1)，(1，＋∞).

题点一：利用单调性比较大小

1．若函数f (x )在区间(－∞，＋∞)上是减函数，则下列关系式一定成立的是( ) A ．f (a )>f (2a ) B ．f (a 2)

D ．f (a 2＋1)

解析：选D 因为f (x )是区间(－∞，＋∞)上的减函数，且a 2＋1>a 2，所以f (a 2＋1)

题点二：利用单调性解不等式

2．已知函数y ＝f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，且f (2x －3)>f (5x ＋6)，求实数x 的取值范围．

解：∵函数y ＝f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，且f (2x －3)>f (5x ＋6)，∴2x －3>5x ＋6，解得x <－3.∴x 的取值范围为(－∞，－3)．

题点三：已知单调性求参数范围

3．已知函数f (x )＝x －a x ＋a

2在(1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围．

解：设11.

∵函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数，

函数单调性的应用