沪教版(五四制)八年级数学上册 第十九章几何证明提高讲义【无答案】

几何证明提高学生姓名 授课日期 教师姓名授课时长【本讲内容】通过“倍长中线”、“截长补短”、“图形旋转”等添加辅助线的方法，构造全等三角形，实现边与角的转化及转移，最终得到证明结果。

【重点难点】添加合适的辅助线，解决证明问题知识梳理1.倍长中线法几何是初中数学的重要组成部分，在中考中占有相当的比例，在证明举例中，主要学习了以下几种题型：题型一：证明两条线段相等；（等腰三角形，三角形全等） 题型二：证明两线平行；（利用两条直线平行的判定定理） 题型三：证明两线垂直（证明角90度）；题型四：证明两角相等（等腰三角形，三角形全等）； 题型五：证明线段或角的和差倍；有一部分题目，只要应用我们的一些定理公理即可证明，但有部分题需要做出辅助线才能完成。

有的时候，做不出恰当的辅助线，或者做不出辅助线，就没有办法完成该题的解答。

为了能够更好的让学生在做几何题时得心应手，现在将八年级数学中几何题的辅助线添加方法总结如下。

倍长中线法：1.线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点。

2.若点C 是线段AB 的中点，则：① 从线段来看：12AC BC AB ==；② 从点与点的相对位置来看：点C 在点A B 、之间，且点A B 、关于点C 对称。

3.三角形的中线：连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点所得的线段叫做三角形的中线。

① 一个三角形有三条中线； ② 每条中线平分三角形的面积；③ 三角形的三条中线交于一点，每条中线被该点（重心）分成1:2的两段；④ 三角形的三条中线把三角形分成六个面积相等的小三角形。

如何延长三角形的中线 1.延长1倍的中线：如图，线段AD 是ABC ∆的中线，延长线段AD 至E ，使DE AD =（即延长1倍的中线），再连接BE CE 、。

①总的来说，就可以得到一个平行四边形ABCD 和两对（中心选转型）全等三角形ABD ECD ∆≅∆、ACD EBD ∆≅∆，且每对全等三角形都关于点D 中心对称；②详细地说，就是可以转移角：BAD CED ∠=∠，CAD BED ∠=∠，ABD ECD ∠=∠，ACD EBD ∠=∠，ADB ECD ∠=∠，ADC EDB ∠=∠；可以移边：AB EC =，AC EB =；可以构造平行线：AB ∥EC ，AC ∥EB ；可以构造边长与AB 、AC 、AD 有关的三角形：ABE ∆、ACE ∆。

（1）延k 长倍的中线：（0k >且1k ≠） 如左（右）下图，点E 为ABC ∆中线AD （DA 延长线）上的点，延长AD 至F ，使ED FD =，连接BE 、CE 、BF 、CF .在平行四边形BFCE 中就可以得到类似（1）中的结论。

注意：通常在已知条件或结论中测及到与BE 、CE 有关的边与角时，会用这种辅助线.整体做题思路：⎧⇒⇒⎨⎩全等三角形中线倍长利用性质解决问题平行四边形知识梳理2. .截长法与补短法截长补短解题法简介有一类几何题其命题主要是证明三条线段长度的“和”或“差”及其比例关系。

这一类题目一般可以采取“截长”或“补短”的方法来进行求解。

所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段与已知线段相等，然后证明其中的另一段与已知的另一段的大小关系。

所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等。

然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系。

有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解。

几种截长补短解题法类型1.我们大致可把截长补短分为下面几种类型：类型① a b c ±= 类型② a b kc ±=对于类型①，可采取直接截长或补短，绕后进行证明。

或者化为类型②证明。

对于②，可以将a b ±与c 构建在一个三角形中，然后证明这个三角形为特殊三角形，如等边三角形，等腰直角三角形，或一个角为30的直角三角形等。

2.截长法：（1）过某一点作长边的垂线（2）在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。

3.补短法（1）延长短边。

（2）通过旋转等方式使两短边拼合到一起。

知识梳理3.平移、旋转构造全等三角形【试题来源】【题目】如图，ABC ∆中，AB AC <，AD 是中线. 求证：DAC DAB ∠<∠。

【试题来源】E【题目】如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，是AD 上一点，且BE AC =，延长BE 交 AC 于F .求证：AF EF =。

ADBCE图1A 12【试题来源】【题目】已知ABC ∆中，12AB =，30AC =，求BC 边上的中线AD 的范围。

【试题来源】【题目】.如图，在△ABC 中，AC=5，中线AD=7，则AB 边的取值 范围是( )【选项】A.2＜AB ＜12 B.4＜AB ＜12 C.9＜AB ＜19 D.10＜AB ＜19【试题来源】【题目】 如图2,在Rt ABC ∆中，AB AC =，90BAC ∠=︒，12∠=∠，CE BD ⊥的延长于E .求证：2BD CE =.【试题来源】【题目】如图，AD BC ∥，点E 在线段AB 上，ADE CDE ∠=∠，DCE BCE ∠=∠。

求证：CD AD BC =+。

【试题来源】【题目】如图示，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，且2C B ∠=∠。

求证：AB AC CD =+。

DAE F 12【试题来源】【题目】已知，正方形ABCD 中，射线AE 与射线BC 交于点E ，射线AF 与射线CD 交于点F ，45EAF ∠=。

（1）如图1，当点E 在线段BC 上时，试猜想线段EF 、BE 、DF 有怎样的数量关系？并证明你的猜想。

（2）当点E 在BC 延长线上时，线段EF 、BE 、DF 又有怎样的数量关系？请说明理由。

【试题来源】【题目】如图，⊿ABC 中，∠C=900，AC=BC ，P 是⊿ABC内的一点，且AP=3，CP=2，BP=1，求∠BPC 的度数。

【试题来源】【题目】如图，正方形ABCD 边长为1，点M 、N 分别在BCCD 上，使得CMN ∆的周长为2，则AMN ∆的面积的最小值为 .F'21图2GFEDC B A45°【试题来源】【题目】如图3所示，已知点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 与CD 上，并且AF 平分EAD ∠，求证：BE DF AE +=。

【试题来源】【题目】如图１所示，四边形ABCD 中，AC 平分DAB ∠，若AB AD >，DC BC =，求证：180B D ∠+∠=︒。

【试题来源】【题目】如图所示。

已知正方形ABCD 中，M 为CD 的中点，E 为MC 上一点，且2BAE DAM ∠=∠。

求证：AE BC CE =+。

【试题来源】 【题目】如图示，正方形ABCD 中，点E 在BC 边上，点F 在CD 边上，且FAD FAE ∠=∠。

求证：=AE BE DF +。

M ED CBAFCFEDCBA【试题来源】【题目】如图示，点M ，N 在等边三角形ABC 的AB 边上运动，BD DC =，120BAD ∠=，60MDN ∠=，求证：MN MB NC =+。

【试题来源】【题目】如图，已知CB 、CD 分别是钝角△AEC 和锐角△ABC 的中线，且AC=AB ，给出下列结论：①AE=2AC ；②CE=2CD ；③∠ACD=∠BCE ；④CB 平分∠DCE ，则以上结论正确的是（）【选项】A.①②④ B.①③④ C.①②③ D.①②③④【试题来源】【题目】如图，点E 是BC 的中点，∠BAE=∠CDE ，延长DE 到点F 使得EF=DE ，连接BF ，则下列说法正确的是（）①BF ∥CD ②△BFE ≌△CDE ③AB=BF ④△ABE 为等腰三角形 【选项】A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④【试题来源】4321ABCDMN【题目】如图，在△ABC中，点D、E为边BC的三等分点，则下列说法正确的有（）①BD=DE=EC②AB+AE＞2AD ③AD+AC＞2AE ④AB+AC＞AD+AE【选项】A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【试题来源】【题目】如图（1）已知：正方形ABCD中，∠BAC的平分线交BC于E，求证：AB+BE=AC．【试题来源】【题目】△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC 于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ．【试题来源】【题目】如图（7）AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=BE．求证：AC=BF【试题来源】【题目】已知四边形ABCD 中，AB AD ⊥，BC CD ⊥，AB BC =，120ABC ∠=，60MBN ∠=，MBN ∠绕B 点旋转，它的两边分别交AD 、DC （或它们的延长线）于E 、F 。

（1）当MBN ∠绕B 点旋转到AE CF =时（如图1），求证：AE CF EF +=； （2）当MBN ∠绕B 点旋转到AE CF ≠时，在 图2和 图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE 、CF 、EF 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明。

60MBN ∠=【试题来源】【题目】如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 边的中点，G 、F 分别为AD ，BC 边上的点，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，则GF 的长为（）【选项】A.1 B.2 C.3 D.4图1图2。