第四章补充习题

4.1 如题4.1图所示为两平行无限大导体平面，距离为b ，其间有一极薄的导体片由y d =到y b =()z -∞<<∞。

上板和薄片保持电位0U ，下板保持零电位，求板间电位的解。

设在薄片平面上，从0y =到y d =，电位线性变化，0(0,)y U y d ϕ=。

题4.1图4.2 求在上题的解中，除开0U y b 一项外，其他所有项对电场总储能的贡献。

并按22f e C W U =定出边缘电容。

4.3 一长、宽、高分别为a 、b 、c 的长方体表面保持零电位，体积内填充密度为()sin()sin()xzy y b ac ππρ=-的电荷。

求体积内的电位ϕ。

4.4 如题4.4图所示的一对无限大接地平行导体板，板间有一与z 轴平行的线电荷l q ，其位置为(0,)d 。

求板间的电位函数。

题4.4图4.5 如题4.5图所示的矩形导体槽的电位为零，槽中有一与槽平行的线电荷l q 。

求槽内的电位函数。

bo题4.5图4.6 如题4.6图所示，在均匀电场00x E =E e 中垂直于电场方向放置一根无限长导体圆柱，圆柱的半径为a 。

求导体圆柱外的电位ϕ和电场E 以及导体表面的感应电荷密度σ。

E 0题4.6图4.7 在介电常数为ε的无限大的介质中，沿z 轴方向开一个半径为a 的圆柱形空腔。

沿x 轴方向外加一均匀电场00x E =E e ，求空腔内和空腔外的电位函数。

4.8 一个半径为b 、无限长的薄圆柱面导体被分割成四个四分之一圆柱面，如题4.8图所示。

第二象限和第四象限的四分之一圆柱面接地，第一象限和第三象限分别保持电位0U 和0U -。

求圆柱面内部的电位函数。

题4.8图4.9如题 4.9图所示，一无限长介质圆柱的半径为a 、介电常数为ε，在距离轴线)(00a r r >处，有一与圆柱平行的线电荷密度l ρ，计算空间各部分的电位。

x题4.9图4.10 将题4.9中的介质圆柱改为导体圆柱，重新计算圆柱外空间的电位。

4.11 如题4.11图所示，空心导体球壳的内、外半径分别为1r 和2r ，球的中心放置一个电偶极子p ，球壳上的电荷量为Q 。

试计算球内、外的电位分布和球壳上的电荷分布。

题4.11图4.12 欲在一个半径为a 的球上绕线圈使在球内产生均匀场，问线圈应如何绕（即求绕线的密度）？2e r题4.12图4.13 一个半径为R 的均匀介质球，其极化强度P 。

（1）证明：球内的电场是均匀的，等于0(3)ε-P ；（2）证明：球外的电场与一个位于球心的偶极子τP 产生的电场相同，343R τπ=。

题4.13图4.14 半径为a 的接地导体球，离球心11()r r a >处放置一个点电荷q ，如题4.14图所示。

用分离变量法求电位分布。

题4.14图4.15 一根线电荷密度为l ρ、长为2a 的线电荷沿z 轴放置，中心在原点上。

证明：对于区域r a >的点，有3524350(,)(cos )(cos )235la a a r P P r r r ρϕθθθπε⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦P (r , )θ题4.15图4.16 一个半径为a 的细导线圆环，环与xy 平面重合，中心在原点上，环上总电荷量为Q ，如题4.16图所示。

证明：空间任意点电位为()()241240131cos cos ...()428Qr r P P r a a a a ϕθθπε⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++≤⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()()242240131cos cos ...()428Qr r P P r a r a a ϕθθπε⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++≤⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦题4.16图4.17 一个点电荷q 与无限大导体平面距离为d ，如果把它移到无穷远处，需要作多少功？4.18 一个电荷量为q 、质量为m 的小带电体，放置在无限大导体平面下方，与平面相距为h 。

求q 的值以使带电体上受到的静电力恰与重力相平衡（设3210kg m -=⨯，0.02m h =）。

4.19 一个半径为R 的导体球带有电荷量为Q ，在球体外距离球心为D 处有一个点电荷q 。

（1）求点电荷q 与导体球之间的静电力；（2）证明：当q 与Q 同号，且D R R D RD q Q --<2223)(成立时，F 表现为吸引力。

4.20 两个点电荷Q 和Q -，在一个半径为a 的导体球直径的延长线上，分别位于导体球的两侧且距球心为D 。

（1）证明：镜像电荷构成一个电偶极子，位于球心，电偶极矩为232D Q a p =（2）令D 和Q 分别趋于无穷，同时保持2Q D 不变，计算球外的电场。

4.21 一根与地面平行架设的圆截面导线，半径为a ，悬挂高度为h 。

证明：单位长度上圆柱导线与地面间的电容为02arccosh()C h a πε=。

4.22在上题中设导线与地面间的电压为0U 。

证明：地面对导线单位长度的作用力[]200022212arccosh()()U F h a h a πε=-。

02arccosh()C h a πε=。

4.1 (,)x y ϕ=0022121sin()sin()e n x bn U bU n d n y y b d n b b ππππ∞-=+∑ 4.2 022210241sin()e f n W b n d C U d n bεππ∞===∑ 4.3 2532221,3,5,081(,,)sin()sin()sin()11[()()()]n b x n y zx y z n a b c n a b cπππϕπε∞==-++∑4.4 1101(,)sin()sin()l n n x a q n d n yx y e n a aπππϕπε∞=-=∑ (0)x > 2101(,)sin()sin()ln n x a q n d n y x y e n a aπππϕπε∞==∑ (0)x < 4.5101021(,)sinh[()]sinh()l n q n x y a x n n a b b πϕπεπ∞==-∑ 0sin()sinh()sin()n y n x n y b b bπππ⋅ )0(0x x <<021021(,)sinh()sinh()l n q n x x y n n a b bπϕπεπ∞==∑ 0sin()sinh[()]sin()n y n n y a x b b bπππ⋅- )(0a x x <<若以0y y =为界将场空间分割为00y y <<和0y y b <<两个区域，则可类似地得到101021(,)sinh[()]sinh()ln q n x y b y n n b a a πϕπεπ∞==-∑ 0sin()sinh()sin()n x n y n x a a aπππ⋅ 0(0)y y <<021021(,)sinh()sinh()l n q n y x y n n b a aπϕπεπ∞==∑ 0sin()sinh[()]sin()n x n n x b y a a aπππ⋅- 0()y y b <<4.6 220022(1)cos (1)sin a a e E e E ρϕϕϕρρ=++-+E000()2cos s a E ρρρεεφ==⋅=e E4.7 1002(,)cos ()r E r r a εϕφφεε=-≤+ 20200(,)[1()]cos ()a r E r r a rεεϕφφεε-=-+≥+4.8321,3,5,21(,)()[sin (1)cos ]()n nn U r r n n r b n bϕφφφπ+∞==+-≤∑4.9 001000002()1(,)ln ln 22()l l q q r R r εεεϕφπεεεπεεε-=--++00200000()()11(,)ln ln ln 222ll lq q q r R R r εεεεϕφπεπεεεπεεε---'=---++4.10 00000(,)ln ln ln ln 2222l l l l q q q qr R R r C r ϕφπεπεπεπε'=-+-++ 由此可见，导体圆柱外的电位相当于三根线电荷所产生，它们分别为：位于0(,0)r 的线电荷l q ；位于20(,0)a r 的线电荷l q -；位于0=r 的线电荷l q 。

4.111230211(,)()cos 44Q p r r r r r ϕθθπεπε=+-， 20()4Qr rϕπε= 21113103d cos 2sin d 04Sp q S r r πσθπθθπ==-⋅=⎰⎰ 4.12 0sin S H φθ=J e这表明球面上的绕线密度正比于sin θ，则将在球内产生均匀场。

4.13 略。

4.14 2110001(,)(cos )44()n nn n qqa r P R rr ϕθθπεπε+∞+==-∑ 4.15 略。

4.16 略。

4.17 ==c a W W dq0216πε-4.18C mg h q 80109.54-⨯==πε4.19（1）()()212222222000444R Q q q Q q q q q RqD D F D D R D R D D πεπεπε⎡⎤+⎢⎥+⋅=+=-⎢⎥⎛⎫-⎢⎥- ⎪⎣⎦⎝⎭ （2）略。

4.20（1）略。

（2）1()rr r θϕϕϕθ∂∂=-∇=-+∂∂E e e 3300(2cos sin )44zr p p arθθθπεπε=++e e e。