贝塞尔函数

n阶第一类贝塞尔函数()

J x

n

第二类贝塞尔函数，或称Neumann函数()

Y x

n

第三类贝塞尔函数汉克尔（Hankel）函数，(1)()

H x

n

第一类变形的贝塞尔函数()

I x

n

开尔文函数（或称汤姆孙函数）n阶第一类开尔文（Kelvin）第五章贝塞尔函数

在第二章中，用分离变量法求解了一些定解问题。从§2.3可以看出，当我们采用极坐标系后，经过分离变量就会出现变系数的线性

常微分方程。在那里，由于只考虑圆盘在稳恒状态下的温度分布，所以得到了欧拉方程。如果不是考虑稳恒状态而是考虑瞬时状态，就会得到一种特殊类型的常微分方程。本章将通过在柱坐标系中对定解问题进行分离变量，引出在§2.6中曾经指出过的贝塞尔方程，并讨论这个方程解的一些性质。下面将看到，在一般情况下，贝塞尔方程的解不能用初等函数表出，从而就导入一类特殊函数，称为贝塞尔函数。贝塞尔函数具有一系列性质，在求解数学物理问题时主要是引用正交完备性。

§5.1 贝塞尔方程的引出

下面以圆盘的瞬时温度分布为例推导出贝塞尔方程。设有半径

其侧面绝缘，若圆盘边界上的温度恒保持为零摄氏度，且初始温度为已知，求圆盘内瞬时温度分布规律。

这个问题可以归结为求解下述定解问题：

用分离变量法解这个问题，先令

或

（5.4）

（5.5） 从（5.4）得

方程（5.5）称为亥姆霍兹（Helmholtz ）方程。为了求出这个方程满足条件

（5.6）

的非零解，引用平面上的极坐标系，将方程（5.5）与条件（5.6）写成极坐标形式得

再令

代入（5.7）并分离变量可得

（5.9）

（5.10）

5.10）得

（5.11）

这个方程与（2.93）相比，仅仅是两者的自变量和函数记号有差别，

若再作代换

并记

则得

由条件（5.8

（5.12）

因此，原定解问题的最后解决就归结为求贝塞尔方程（5.11）在条件

（5.12）下的特征值与特征函数（（5.12

。在下一节先讨论方程（5.11）的解法，然后在§5.5中再回过头来讨论这个特征值问题。

§5.2 贝塞尔方程的求解

在上一节中，从解决圆盘的瞬时温度分布问题引出了贝塞尔方程，本节来讨论这个方程的解法。按惯例，

（5.13）

设方程（5.13）有一个级数解，其形式为

（5.14）

可以通过把y 和它的导数（5.13）来确定。

将（5.14）及其导数代入（5.13）后得

化简后写成

1

2

3

由1

2

3°得

4

由4示，即

024(22)(2n + 246(22)(2n + 0

2462(22)(24)

(22)1)(2)()m n n n m n n m ++++

+由此知（5.14）的一般项为

2)()

n m

+

就得（5.13）得一个特解。

2下列恒等式：

使分母简化，从而使（5.14）中一般项的系数变成

（5.15）

这样就比较整齐、简单了。

以（5.15）代入（5.14）得到（5.13）的一个特解

用级数的比率判别法（或称达朗贝尔判别法）可以判定这个级数在整个数轴上收敛。这个无穷级数所确定的函数，称为n阶第一类贝塞尔函数。记作

（5.16）

（5.17）

5.13）的另一特解

（5.18）

比较（5.16）式与（5.18）式可见，只要在（5.16

即可得到（5.18 5.16）统一地表达第一类贝塞尔函数。

次线性常微分方程的通解的结构定理知道，（5.13）的通解为

（5.19）

5.13）的通解除了可以写成（5.19）式以外还可以写成其它的形式，只要能够找到该方程另一个

5.13）的通解，这样

的特解是容易找到的。例如，在（5.19

则得到（5.13）的一个特解

5.20）

（5.13）的通解可以写成

（5.21）

由（5.20

第二类贝塞尔函数，或称Neumann函数。

§5.3 当n为整数时贝塞尔方程的通解

上一节说明，

贝塞尔方程（5.13）的通解由（5.19）或

（5.21）式确定，

（5.13）的通解应该是什么样子呢？

到同样的结果），这在（5.18

5.18）可以写成

无关的特解。

数时（5.20）的右端没有意义，要想把整数阶贝塞尔方程的通解也写成（5.21

数的情况，我们定义第二类贝塞尔函数为

（5.22）

限为形式的不定型的极限，应用洛必达法则并经过冗长的推导，最后得

（5.23）

n

+-

欧拉常数。

根据这个函数的定义，它确是贝塞尔方程的一个特解，而且与

大）

。

5.13）的通解都可表示为

§5.4贝塞尔函数的递推公式

不同阶的贝塞尔函数之间不是彼此鼓孤立的，而是有一定的联系，本节来建立反映这种联系的递推公式。

先考虑零阶与一阶贝塞尔函数之间的关系。

在（5.17