不等式与常用逻辑用语的章节复习
2025届高考数学一轮复习讲义集合、常用逻辑用语与不等式之 常用逻辑用语
不充分条件.故选B.
(2)[2023全国卷甲]设甲： sin 2α＋ sin 2β＝1，乙： sin α＋ cos β＝0，则(
B )
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
2025届高考数学一轮复习讲义
集合、常用逻辑用语与不等式之
常用逻辑用语
一、知识点讲解及规律方法结论总结
1. 充分条件、必要条件与充要条件
若p⇒q，则p是q的① 充分
条件，q是p的② 必要
条件
p是q的③
充分不必要 条件
p是q的④
必要不充分 条件
p⇒q且p⇐q
充要 条件
p⇔q
p是q的⑤
p是q的⑥
3. 已知命题 p ：所有的三角函数都是周期函数，则¬p 为
数 .
有些三角函数不是周期函
三、知识点例题讲解及方法技巧总结
命题点1
充分条件与必要条件
角度1 充分条件与必要条件的判断
例1 (1)[2023天津高考]“ a 2＝ b 2”是“ a 2＋ b 2＝2 ab ”的(
A. 充分不必要条件
由乙可以推导出甲，则甲是乙的必要条件.综上，选B.
角度2 充分条件、必要条件中的含参问题
例2 (1)若 x ＞0，则 x ＋
A. a＞80
2 025
≥ a 恒成立的一个充分条件是(
B. a＜80
[解析] 当 x ＞0时， x ＋
2 025
≥2
C. a＞100
高考数学一轮总复习第一章集合与常用逻辑用语不等式 4基本不等式课件
2
8
=
225
，
2
当且仅当 = 30 − ，即 = 15时等号成立，所以这个矩形的长为15 m时，菜园的最
225
大面积是
2
225
2
m .故填15； .
2
【巩固强化】
1.下列命题中正确的是(
)
1
A.当 > 1时， + 的最小值为2
C.当0 < < 1时， +
即 = 2时，等号成立.所以 ≤
=
1
9
+1
1
6−4
=
.
9
+1++1−4
≥2
+1 ⋅
1
1
.故填 .
2
2
9
+1
= 6,当且仅当 + 1 =
9
,
+1
命题角度2 常数代换法
例2 设正实数，满足 + =
3
A.
2
且
4
)
5
C.
4
1
+ 的最小值是(
2
√
5
B.
2
解：因为 + = 2，所以 +
−2=
1
2−4
1
2 −2
=−2+
，即 = 2 +
1
2 −2
+2≥2
2
时取等号.
2
所以 的最小值为2 + 2.故选A.
−2 ⋅
1
2 −2
+ 2 = 2 + 2，当且仅当
高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语、不等式第四节基本不等式课件
q2 4
(简记：和定积最大)．
注：1此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相 等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值， “三相等”指等号成立. 2连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立.
[小题查验基础]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)当a≥0，b≥0时，a＋2 b≥ ab.
解：(1)∵铝合金窗宽为 a cm，高为 b cm，a>0，b>0， ∴ab＝28 800.① 设上栏框内高度为 h cm，则下栏框内高度为 2h cm，则 3h＋ 18＝b，∴h＝b－318， ∴透光部分的面积 S＝(a－18)×2b－3 18＋(a－12)×b－318 ＝(a－16)(b－18)＝ab－2(9a＋8b)＋288＝28 800－2(9a＋8b) ＋288＝29 088－2(9a＋8b)．
B．77
C．81
D．82
( C)
2．设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是
(B )
A．a＜b＜ ab＜a＋2 b
B．a＜ ab＜a＋2 b＜b
C．a＜ ab＜b＜a＋2 b
D. ab＜a＜a＋2 b＜b
解析：因为0＜a＜b，所以a－ ab＝ a( a－ b)＜0，
故a＜ ab；b－a＋2 b＝b－2 a＞0，故b＞a＋2 b；由基本不等式
1 a
＋
1 b
的最小值为
___4_____．
[解析] 因为a＋b＝1， 所以1a＋1b＝1a＋1b(a＋b)＝2＋ba＋ab≥2＋2 ＝4.当且仅当a＝b＝12时，取等号．
ba·ab＝2＋2
[变式发散]
1．(变条件)将条件“a＋b＝1”改为“a＋2b＝3”，则
1 a
集合,常用逻辑用语与不等式知识点整理
集合,常用逻辑用语与不等式知识点整理一、逻辑用语1.假设2.推断3.因此4.由此可见5.举例说明6.反证法7.反推法8.只如果...才...9.除非...才...10.既然...就...11.与其...不如...12.既不是...也不是...二、不等式知识点1.不等式的定义不等式是数学中一个重要的概念，指的是两个表达式或数之间大小关系的一种表示方法。
不等式通常用符号<（小于）、>（大于）、≤（小于或等于）、≥（大于或等于）等来表示。
2.不等式的性质（1）两个相等数的和（或积）与它们的任一数的和（或积）相等。
即若a=b，则a+c=b+c，a×c=b×c。
（2）两个不等数的和（或积）与它们的任一数的和（或积）的大小关系与原不等式的大小关系相反。
即若a>b，则a+c>b+c，其中a,b,c都是实数。
（3）若a>b，则-a<-b；若a<b，则-a>-b。
（4）若a>0，b>0，则a>b与1/a<1/b之间存在着等价关系。
（5）若a>0，b>0，则a>b与1/a<1/b之间存在着等价关系。
（6）若a>0，则a²>0。
3.不等式的解法不等式的解法与方程式的解法有相似之处，但也有一些独特的地方。
解不等式问题时，需注意以下几个要点：（1）对不等式两边进行相同的变换；（2）如果要乘以负数，记得改变不等式的方向；（3）特殊要点：对分式不等式的解法有所不同，要先确定分母的正负性，并作出讨论。
文章在数学领域，逻辑推理和不等式是两个重要的知识点。
逻辑推理是数学中最基本的推理方法，通过假设、推断、举例等方式进行逻辑推理，以得出正确的结论。
而不等式是数学中表达数之间大小关系的一种重要形式，通过不等式可以描述数的大小关系。
下面我们将通过整理逻辑用语和不等式知识点，来探讨它们在数学中的应用和意义。
高考数学一轮复习第一章 《集合与常用逻辑用语、不等式》第5节二次函数与一元二次方程、不等式
第五节二次函数与一元二次方程、不等式课标要求1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式，了解一元二次不等式的现实意义.2.结合二次函数的图象，会判断一元二次方程根的个数，以及二次函数的零点与一元二次方程根的关系.3.掌握利用二次函数的图象解一元二次不等式.必备知识·整合〔知识梳理〕1.一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式，称为一元二次不等式，一元二次不等式的一般形式是ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0（a，b，c为常数，且a≠0）.提醒解不等式ax2+bx+c＞0(＜0)时,不要忘记讨论当a=0时的情况.2.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式Δ=b2−4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象一元二次方程ax2+ bx+c=0(a>0)的根有两个相异实根x1，x2(x1<x2)有两个相等实根x1=x2=−b2a没有实根ax2+bx+c>0(a> 0)的解集{x|x<x1或x>x2}{xx≠−b2a}Rax2+bx+c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}⌀⌀提醒a＞0时的一元二次不等式的解法口诀：大于取两边，小于取中间. 知识拓展1.简单分式不等式（1）f(x)g(x)≥0(≤0)⇔{f(x)g(x)≥0(≤0),g(x)≠0.（2）f(x)g(x)＞0(＜0)⇔f(x)g(x)＞0(＜0).2.不等式ax2+bx+c＞0(＜0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定.（1）不等式ax2+bx+c＞0对任意实数x恒成立⇔{a=b=0, c＞0或{a＞0,Δ＜0.（2）不等式ax2+bx+c＜0对任意实数x恒成立⇔{a=b=0,c＜0或{a＜0,Δ＜0.〔课前自测〕1. 概念辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）.（1）ax2+bx+c<0为一元二次不等式.( × )（2）若方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2+bx+c>0的解集为R.( × )（3）如果二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，那么不等式ax2+bx+ c<0的解集一定不是空集.( √ )（4）x−ax−b≥0等价于(x−a)(x−b)≥0.( × )2. [2020全国Ⅰ，1，5分]已知集合A={x|x2−3x−4<0}，B={−4,1,3,5}，则A∩B=( D )A. {−4,1}B. {1,5}C. {3,5}D. {1,3}[解析]由x2−3x−4<0解得−1<x<4，所以A={x|−1<x<4}，因为B={−4,1,3,5}，所以A∩B={1,3}.3. [2021辽宁大连质检]若不等式ax2+bx+2>0的解集为{x−12<x<13}，则a−b的值是( A )A. −10B. −14C. 10D. 144. 易错题不等式(x−2)(3−2x)≥0的解集为( B )A. (32,+∞) B. [32,2] C. [2,+∞) D. (−∞,32][解析]由(x−2)(3−2x)≥0，得(x−2)(2x−3)≤0，解得32≤x≤2，故原不等式的解集为[32,2].易错提醒本题容易忽视二次项的符号致错.5. （新教材改编题）若关于x的不等式x2−2ax+18>0恒成立，则实数a的取值范围为(−3√2,3√2).[解析]由题意得4a2−4×18<0，解得−3√2<a<3√2.关键能力·突破考点一一元二次不等式的解法角度1 简单分式不等式的解法例1≥0的解集为( C )（1）不等式1−x2+xA. [−2,1]B. (−∞,−2)∪(1,+∞)C. (−2,1]D. (−∞,−2]∪(1,+∞)≥2的解集为( B )（2）[2022山东烟台二中模拟]不等式3x−2x+3A. (−∞,−3]∪[8,+∞)B. (−∞,−3)∪[8,+∞)C. (−3,8]D. (−∞,−3)∪(8,+∞)−2≥0，[解析]原不等式可化为3x−2x+3≥0，即(x−8)(x+3)≥0且x+3≠0，即x−8x+3∴x<−3或x≥8.所以原不等式的解集为(−∞,−3)∪[8,+∞).方法感悟将分式不等式进行同解变形，利用不等式的同解原理将其转化为整式不等式（组）即可求解.角度2 不含参数的不等式的解法例2（1）[2022重庆八中模拟]已知集合A={3,8},B={x|x2−x−6≤0}，则A∩(∁R B)=( B )A. {3}B. {8}C. {−2,3,8}D. {−2}[解析]由x2−x−6≤0，得−2≤x≤3，则B ={x|x 2−x −6≤0}=[−2,3],∁R B ={x|x <−2或x >3} ，则A ∩(∁R B)={8} .（2） [2022广东潮州月考]不等式0<x 2−x −2≤4 的解集为{x|−2≤x < −1或2<x ≤3} .[解析]原不等式等价于{x 2−x −2>0，x 2−x −2≤4，即{x 2−x −2>0，x 2−x −6≤0，即{(x −2)(x +1)>0，(x −3)(x +2)≤0，解得{x >2或x <−1，−2≤x ≤3. 借助数轴，如图所示，原不等式的解集为{x|−2≤x <−1或2<x ≤3} .方法感悟解一元二次不等式的步骤角度3 含参数的不等式的解法例3 解关于x的不等式ax2−2≥2x−ax(a∈R).[答案]原不等式可化为ax2+(a−2)x−2≥0.①当a=0时，原不等式可化为x+1≤0，解得x≤−1.②当a>0时，原不等式可化为(x−2a )(x+1)≥0，解得x≥2a或x≤−1.③当a<0时，原不等式化为(x−2a)(x+1)≤0.当2a >−1，即a<−2时，解得−1≤x≤2a；当2a=−1，即a=−2时，解得x=−1；当2a <−1，即−2<a<0时，解得2a≤x≤−1.综上所述，当a=0时，不等式的解集为{x|x≤−1}；当a>0时，不等式的解集为{x|x≥2a 或x≤−1}；当−2<a<0时，不等式的解集为{x|2a≤x≤−1}；当a=−2时，不等式的解集为{−1}；当a<−2时，不等式的解集为{x|−1≤x≤2a}.方法感悟含参数的一元二次不等式的解题策略（1）二次项中若含有参数应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式；（2）当不等式对应方程的根的个数不确定时，需要讨论判别式Δ与0的关系；（3）确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，需要讨论两根的大小关系，从而确定解集的形式.1. [2023广东湛江模拟]已知全集U=R，集合A={x|2x2−3x−2<0,x∈R}，B={x12<x<3}，则(∁U A)∩B=( B )A. (12,1)∪(1,3) B. [2,3) C. {0,1} D. {1}[解析]由2x2−3x−2=(2x+1)(x−2)<0，得−12<x<2，所以A={x−12<x<2}，则∁U A={xx≤−12或x≥2}，又B={x12<x<3}，则(∁U A)∩B={x|2≤x<3}=[2,3).2. [2023山东济南一模]不等式x−12x+1≥0的解集为(−∞，−12)∪[1,+∞).[解析]x−12x+1≥0⇒{(x−1)(2x+1)≥0，2x+1≠0⇒x≥1或x<−12.3. 求不等式12x2−ax>a2(a∈R)的解集. [答案]原不等式可化为12x2−ax−a2>0，即(4x+a)(3x−a)>0，令(4x+a)(3x−a)=0，解得x1=−a4，x2=a3.当a>0时，不等式的解集为{x<x−a4或x>a3}；当a=0时，不等式的解集为{x|x≠0}；当a<0时，不等式的解集为{x|x<a3或x>−a4}.考点二三个两次的关系例4 [2021广东东莞高三期末]多选题若不等式ax2−bx+c>0的解集是(−1,2)，则( AD )A. 相应的一元二次函数的图象开口向下B. b >0 且c >0C. a +b +c >0D. 不等式ax 2−cx +b ≤0 的解集是R[解析]由题意知a <0 ，所以A 正确；由题意可得−1 ，2是方程ax 2−bx +c =0 的两个根，所以{−1+2=ba ，−1×2=c a ，所以{b =a,c =−2a ，得b <0,c >0 ，所以B 不正确；因为−1 是方程ax 2−bx +c =0 的根，所以把x =−1 代入方程得a +b +c =0 ，所以C 不正确；把b =a ，c =−2a 代入不等式ax 2−cx +b ≤0 ，可得ax 2+2ax +a ≤0 ，因为a <0 ，所以x 2+2x +1≥0 ，此时不等式的解集为R ，所以D 正确. 方法感悟（1）一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值.（2）给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应一元二次函数的图象开口方向及与x 轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数.4. 已知关于x 的不等式ax 2+bx +c >0(a ≠0) 的解集是{x|−1<x <2} ，则不等式cx 2+bx +a <0 的解集是( A ) A. {x −1<x <12} B. {x <x −1或x >12} C. {x −12<x <1}D. {x <x −12或x >1}[解析]因为ax 2+bx +c >0(a ≠0) 的解集是{x|−1<x <2} ，所以−1 ，2是方程ax 2+bx +c =0 的两实数根，且a <0 ，由根与系数的关系得{−1+2=−ba ，−1×2=ca ， 所以b =−a ，c =−2a ，所以不等式cx 2+bx +a <0⇒−2ax 2−ax +a <0 ，即2x 2+x −1<0 ，解得−1<x <12 ,故不等式cx 2+bx +a <0 的解集为{x −1<x <12} .考点三 一元二次不等式恒成立问题角度1 在R 上的恒成立问题例5 不等式ax(x +1)−1<0 对任意x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是 (−4,0] .[解析]由ax(x +1)−1<0 ，得ax 2+ax −1<0 .当a =0 时，−1<0 恒成立；当a ≠0 时，有{a <0，Δ=a 2+4a <0⇒−4<a <0 .综上所述，实数a 的取值范围是(−4,0] .角度2 在给定区间上的恒成立问题例6 [2022广东深圳月考]若对于任意的x ∈[0,2] ，不等式x 2−2x +a >0 恒成立，则a 的取值范围为( B ) A. (−∞,1)B. (1,+∞)C. (0,+∞)D. [1,+∞)[解析]不等式x 2−2x +a >0 可化为a >−x 2+2x ，设f(x)=−x 2+2x ，x ∈[0,2] ，则f(x)=−(x −1)2+1 ，当x =1 时，f(x)max =f(1)=1 ，所以实数a 的取值范围是(1,+∞) .角度3 给定参数范围的恒成立问题例7 若mx2−mx−1<0对任意m∈[1,2]恒成立，则实数x的取值范围是(1−32,1+32).[解析]设g(m)=mx2−mx−1=(x2−x)m−1，其图象是直线，当m∈[1,2]时，图象为一条线段，则{g(1)<0, g(2)<0,即{x2−x−1<0, 2x2−2x−1<0,解得1−√32<x<1+√32，故x的取值范围为(1−√32,1+√32).方法感悟（1）解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数.（2）一元二次不等式恒成立问题常见的类型有两种，一是在全集R上恒成立，二是在某给定区间上恒成立.对第一种情况，恒大于0就是相应的二次函数的图象全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象全部在x轴下方；对第二种情况，要充分结合函数图象进行分类讨论（也可采用分离参数的方法求解）.5. 函数f(x)=x2+ax+3.（1）当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；[答案]当x∈R时，x2+ax+3−a≥0恒成立，只需Δ=a2−4(3−a)≤0，即a2+4a−12≤0，解得−6≤a≤2，∴实数a的取值范围是[−6,2].（2）当x∈[−2,2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；[答案]由题意，可得x2+ax+3−a≥0在[−2,2]上恒成立，令g(x)=x2+ ax+3−a,则有①g(x)中Δ≤0或②{Δ>0,−a2<−2,g(−2)=7−3a≥0或③{Δ>0,−a2>2,g(2)=7+a≥0,解①得−6≤a≤2，解②得无实数解，解③得−7≤a<−6.综上可得，满足条件的实数a的取值范围是[−7,2].（3）当a∈[4,6]时，f(x)≥0恒成立，求实数x的取值范围. [答案]令ℎ(a)=xa+x2+3.当a∈[4,6]时，ℎ(a)≥0恒成立，只需{ℎ(4)≥0,ℎ(6)≥0,即{x2+4x+3≥0, x2+6x+3≥0,解得x≤−3−√6或x≥−3+√6.∴实数x的取值范围是(−∞,−3−√6]∪[−3+√6,+∞).考点四一元二次方程根的分布例8 [2023湖南益阳开学考]已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0. [解析]设函数f(x)=x2+2mx+2m+1.（1）若方程有两根，其中一根在区间(−1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的取值范围；[答案]易知f(x)的图象与x轴的交点分别在区间(−1,0)和(1,2)内，画出示意图，得{ f(0)=2m +1<0，f(−1)=2>0，f(1)=4m +2<0，f(2)=6m +5>0，∴{m <−12，m ∈R m <−12，m >−56，∴−56<m <−12 .（2） 若方程两根均在区间(0,1) 内，求m 的取值范围.[答案]易知f(x) 的图象与x 轴的交点在区间(0,1) 内，画出示意图，得{ f(0)>0，f(1)>0，Δ≥0，0<−m <1，∴{ m >−12，m >−12，m ≥1+√2或m ≤1−√2，−1<m <0，∴−12<m ≤1−√2 .方法感悟一元二次方程根的分布一般要考虑以下几点： （1）一元二次函数图象的开口方向； （2）一元二次函数对应方程的根的判别式；（3）一元二次函数图象的对称轴与区间的关系； （4）一元二次函数在区间端点处函数值的符号.6. [2023广东茂名期中]已知方程2x 2−(m +1)x +m =0 有两个不等的正实根，则实数m 的取值范围为(0,3−2√2)∪(3+2√2,+∞) . [解析]设f(x)=2x 2−(m +1)x +m ， 由{Δ>0，−−(m+1)2×2>0，f(0)>0，得{(m +1)2−8m >0，m >−1，m >0，∴{m <3−2√2或m >3+2√2，m >−1,m >0，∴0<m <3−2√2 或m >3+2√2 ，即实数m 的取值范围为(0,3−2√2)∪(3+2√2,+∞) .分层突破训练 基础达标练1. 不等式−x 2+3x +10>0 的解集为( A ) A. (−2,5) B. (−∞,−2)∪(5,+∞) C. (−5,2)D. (−∞,−5)∪(2,+∞)[解析]由x 2−3x −10<0 ，解得−2<x <5 .2. 多选题 下列不等式的解集为R 的是( BC ) A. x 2+2√5x +5>0 B. x 2+6x +10>0 C. −x 2+x −2<0D. 2x 2−3x −3<0[解析]对于A 选项，x 2+2√5x +5=(x +√5)2>0 ，故解集为{x|x ≠−√5} ； 对于B 选项，x 2+6x +10=(x +3)2+1>0 ，解集为R ； 对于C 选项，−x 2+x −2=−(x −12)2−74<0 ，解集为R ；对于D 选项，2x 2−3x −3<0 ，对应的二次函数图象开口向上，Δ=9−4×2×(−3)=33>0 ，故不等式的解集不是R .故选BC.3. [2023山东东营模拟]设x ∈R ，则“x ≤3 ”是“x 2≤3x ”的( B ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件[解析]由x 2≤3x ，得0≤x ≤3 ，所以“x ≤3 ”是“x 2≤3x ”的必要不充分条件.4. [2022江苏南通模拟]当x ∈R 时，不等式x 2−2x −1−a ≥0 恒成立，则实数a 的取值范围是( A ) A. (−∞,−2]B. (−∞,−2)C. (−∞,0]D. (−∞,0)[解析]当x ∈R 时，不等式x 2−2x −1−a ≥0 恒成立，故Δ=(−2)2+4(1+a)≤0 ，解得a ≤−2 ，故实数a 的取值范围是(−∞,−2] . 5. [2022湖北华中师大一附中模拟]不等式2x+1≤1 的解集是( A ) A. (−∞,−1)∪[1,+∞) B. (−∞,−1]∪[1,+∞) C. (−∞,−1)D. (−1,1)[解析]原不等式可化为2x+1−1≤0 ，即x−1x+1≥0 ，得(x −1)(x +1)≥0 且x +1≠0 ，得x <−1 或x ≥1 ，所以原不等式的解集为(−∞,−1)∪[1,+∞) . 6. [2022天津耀华中学模拟]对于任意实数x ，不等式(a −1)x 2−2(a −1)x −4<0 恒成立，则实数a 的取值范围是( D ) A. (−∞,3)B. (−∞,3]C. (−3,1)D. (−3,1][解析]当a =1 时，−4<0 恒成立； 当a ≠1 时，有{a −1<0,Δ<0, 解得−3<a <1 .综上，实数a 的取值范围是(−3,1] .7. 已知二次函数f(x)=(m +2)x 2−(2m +4)x +3m +3 的图象与x 轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，则实数m 的取值范围为(−2,−12) . [解析]由题意得，(m +2)⋅f(1)<0 ， 即(m +2)⋅(2m +1)<0 ， ∴−2<m <−12 ，即m 的取值范围为(−2,−12) .8. [2023辽宁丹东期末]某种杂志以每本2.5 元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，杂志的单价每提高0.1 元，销售量就可能减少2 000本.要使提价后的销售总收入不低于20万元，则定价的最大值为4元.[解析]设定价为x 元，销售总收入为y 元，由题意得，y =(80 000−x−2.50.1×2 000)x =−2 0000x 2+130 000x ，因为要使提价后的销售总收入不低于20万元，所以y =−20 000x 2+130 000x ≥200 000 ，解得52≤x ≤4 ，所以要使提价后的销售总收入不低于20万元，则定价的最大值为4元.9. [2023河北保定模拟]已知集合A ={x ∈R ||x +2|<3} ，集合B ={x ∈R ∣x−m x−2<0} ，且A ∩B =(−1,n) ，则m = −1 ，n = 1.[解析]A ={x ∈R ||x +2|<3}={x|−5<x <1} ，B ={x ∈R ∣x−m x−2<0}={x ∣(x −m)(x −2)<0} ，因为A ∩B =(−1,n) ，所以−1 是方程(x −m)(x −2)=0 的根，则−1−m =0 ，解得m =−1 ，所以B ={x|−1<x <2} ，A ∩B =(−1,1) ，则n =1 .10. [2022广东化州第三中学月考]已知集合A ={−5,−1,2,4,5} ，请写出一个一元二次不等式，使得该不等式的解集与集合A 有且只有一个公共元素，这个不等式可以是(x +4)(x −6)>0 （答案不唯一）.[解析]不等式(x +4)(x −6)>0 的解集为{x|x >6或x <−4} ，解集中只有−5 在集合A 中.11. [2021江西南昌莲塘第一中学模拟]已知f(x)=−3x 2+a(6−a)x +6 . （1） 解关于a 的不等式f(1)>0 ； [答案]∵f(x)=−3x 2+a(6−a)x +6 ， ∴f(1)=−3+a(6−a)+6=−a 2+6a +3 ， ∴ 原不等式可化为a 2−6a −3<0 ， 解得3−2√3<a <3+2√3 .∴ 原不等式的解集为{a|3−2√3<a <3+2√3} .（2） 若不等式f(x)>b 的解集为(−1,3) ，求实数a ,b 的值.[答案]f(x)>b 的解集为(−1,3) 等价于方程−3x 2+a(6−a)x +6−b =0 的两根为−1 ，3， 即{−1+3=a(6−a)3,−1×3=−6−b3,解得{a =3±√3,b =−3.能力强化练12. [2022重庆南开中学模拟]三位同学合作学习，对问题“已知不等式xy ≤ax 2+2y 2 对任意x ∈[1,2] ，y ∈[2,3] 恒成立，求a 的取值范围”提出了各自的解题思路.甲说：“可视x 为变量，y 为常量来分析.” 乙说：“寻找x 与y 的关系，再进行分析.” 丙说：“把字母a 单独放在一边，再进行分析.”参考上述思路，或自己的其他解法，可求出实数a 的取值范围是( B ) A. [1,+∞)B. [−1,+∞)C. [−1,4)D. [−1,6][解析]选择用丙的方法.因为xy ≤ax 2+2y 2 ，x ∈[1,2] ，y ∈[2,3] ， 所以xy −2y 2≤ax 2 等价于xy−2y 2x 2≤a ，即yx −2(yx )2≤a . 令y x =t ，则t ∈[1,3] .原式化为t −2t 2≤a 对任意t ∈[1,3] 恒成立，因为t −2t 2=−2(t −14)2+18 ，所以当t =1 时，(t −2t 2)max =−1 . 所以−1≤a ，即a ∈[−1,+∞) . 故选B.13. [2022重庆质量检测]若方程x 2+(m −2)x +6−m =0 的两根都大于2，则m 的取值范围是(−6,−2√5] .[解析]令f(x)=x 2+(m −2)x +6−m ，其图象的对称轴方程为x =2−m 2，由题意得，{2−m2>2，f(2)>0，Δ≥0，即{2−m2>2,4+2m −4+6−m >0,(m −2)2−4(6−m)≥0,解得−6<m ≤−2√5 ，故m 的取值范围是(−6,−2√5] .14. [2023江苏南京二模]已知定义在R 上的奇函数f(x) 满足f(1−x)+f(1+x)=2 ，当x ∈[0,1] 时，f(x)=2x −x 2 ，若f(x)≥x +b 对一切x ∈R 恒成立，则实数b 的最大值为−14 .[解析]因为f(1+x)+f(1−x)=2 ，所以f(x) 的图象关于点(1,1) 中心对称， 当x ∈[−1,0] 时，f(x)=−f(−x)=x 2+2x ，作出f(x) 的图象和直线y =x +b ，如图所示，结合图象可得，只需当x ∈[−1,0] 时，f(x)=x 2+2x ≥x +b 即可， 即b ≤(x +12)2−14 ， 故b ≤−14 .故b的最大值为−1.415. 某地区上年度电价为0.8元/kW⋅h，年用电量为a kW⋅h.本年度计划将电价降到0.55元/kW⋅h至0.75元/kW⋅h之间，而用户期望电价为0.4元/kW⋅h.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为k）.该地区电力的成本价为0.3元/kW⋅h.（1）写出本年度电价下调后，电力部门的收益y（元）与实际电价x（元/kW⋅h）的函数关系式；kW⋅h，∴下调电价后的总用电量为(a+ [答案]下调电价后新增的用电量为kx−0.4k)kW⋅h，x−0.4)(x−0.3)(0.55≤x≤0.75).∴y=(a+kx−0.4（2）设k=0.2a，问：电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%？注：收益＝实际用电量×（实际电价−成本价）.)(x−0.3)≥a×(0.8−0.3)×(1+20%)，0.55≤x≤[答案]由已知得(a+0.2ax−0.40.75，整理得x2−1.1x+0.3≥0,0.55≤x≤0.75,解得0.60≤x≤0.75.故电价最低定为0.60元/kW⋅h时，仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%.+b，关于x的不等式xf(x)<0的解集为(1,3). 16. 已知函数f(x)=x+ax（1）求实数a，b的值；[答案]因为关于x的不等式xf(x)<0的解集为(1,3)，所以不等式x2+bx+a<0的解集为(1,3)，所以{1+3=−b，1×3=a，解得{a=3,b=−4，所以f(x)=x+3x−4.（2）求关于x的不等式xf(x)<(m−3)(x−1)(m∈R)的解集；[答案]由xf(x)<(m−3)(x−1)(m∈R)，得x2+3−4x<(m−3)(x−1)，即x2−(m+1)x+m<0，即(x−1)(x−m)<0.所以当m<1时，不等式的解集为(m,1)；当m=1时，不等式无解；当m>1时，不等式的解集为(1,m).（3）若不等式f(2x)−k⋅2−x−2k≥0在R上恒成立，求实数k的取值范围.[答案]令t=2x(t>0)，则f(t)−kt−2k≥0在(0,+∞)上恒成立，即t+3t −4−kt−2k≥0在(0,+∞)上恒成立，即t 2−(2k+4)t+3−kt≥0在(0,+∞)上恒成立，即t2−(2k+4)t+3−k≥0在(0,+∞)上恒成立，令g(t)=t2−(2k+4)t+3−k.当2k+42≤0，即k≤−2时，g(t)图象的对称轴在y轴的左侧，所以g(0)=3−k≥0，即k≤3，所以k≤−2；当2k+42>0 ，即k >−2 时，g(t) 图象的对称轴在y 轴的右侧，则Δ=(2k −4)2−4(3−k)≤0 ，所以3−√52≤k ≤3+√52 .综上，k ≤−2 或3−√52≤k ≤3+√52 .素养综合练17. [2022河北石家庄二中模拟]若函数f(x) 满足对任意的x ∈[n,m](n <m) ，都有n k ≤f(x)≤km 成立，则称函数f(x) 在区间[n,m](n <m) 上是“被k 约束的”.若函数f(x)=x 2−ax +a 2 在区间[1a ,a](a >0) 上是“被2约束的”，则实数a 的取值范围是( A )A. (1,2]B. (1,√323]C. (1,√2]D. (√2,2] [解析]由题意得12a ≤x 2−ax +a 2≤2a 对任意的x ∈[1a ,a](a >0) 都成立.由a >1a 且a >0 ，得a >1 ，则f(1a )=1a 2−1+a 2>2−1=1>12a 恒成立. 由f(a)=a 2−a 2+a 2=a 2≤2a ，且a >1 ，得1<a ≤2 .因为a >1 ，所以f(1a )=1a 2−1+a 2<1−1+a 2=a 2 .f(x)=x 2−ax +a 2 图象的对称轴方程为x =a 2 ，由f(a 2)=3a 24≥12a ， 得a ≥√233 .因为√233<1 ，所以a 的取值范围为(1,2] .故选A.。
2023年高考数学一轮考点复习第一章集合、常用逻辑用语、不等式第6讲基本不等式
＝
x
＋
1 x－2
＝
(x
－
2)
＋
1 x－2
＋
2≥2 x－2·x－1 2＋2＝4，当且仅当 x－2＝x－1 2，即 x＝3 时，等号成
立．故 a＝3.
第一章 集合、常用逻辑用语、不等式
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题组三 走向高考
5．(多选题)(2022·新高考卷Ⅱ)若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则( BC )
第一章 集合、常用逻辑用语、不等式
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知识点三 利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)如果x，y∈(0，＋∞)，且xy＝P(定值)， 那么当___x_＝__y___时，x＋y 有最小值 2 P.(简记：“积定和最小”) (2)如果 x，y∈(0，＋∞)，且 x＋y＝S(定值)， 那么当 x＝y 时，xy 有最大值S42.(简记：“和定积最大”)
等号成立，所以 x＋1x≤－2.
第一章 集合、常用逻辑用语、不等式
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4．(必修 1P48 练习 T2 改编)若函数 f(x)＝x＋x－1 2(x>2)在 x＝a 处取最
小值，则 a＝( C ) A．1＋ 2
B．1＋ 3
C．3 [解析]
D．4
因为
x>2 ， 所 以
f(x)
第一章 集合、常用逻辑用语、不等式
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对于 C，D：由 x2＋y2－xy＝1，得 x2＋y2－1＝xy≤x2＋2 y2，当且仅当 x＝y 时取等号，所以 x2＋y2≤2，所以 C 正确，D 不正确．综上可知，选 BC.
第一章 集合、常用逻辑用语、不等式
集合、常用逻辑用语及等式与不等式知识清单课件-2025届高三数学一轮复习
充分、必要条件的三种判定方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p是否成立进行判断. (2)集合法：根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断. (3)等价转化法：对所给题目的条件进行一系列的等价转化，直到 转化成容易判断充分、必要条件是否成立为止.
求参数问题的解题策略 (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据 集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. (2)要注意区间端点值的检验.
(2)当 k＜a 时，f(x)＝x＋kx在区间[a，b]上单调递增，f(x)min ＝f(a)＝a＋ak； (3)当 k＞b 时，f(x)＝x＋kx在区间[a，b]上单调递减，f(x)min ＝f(b)＝b＋bk. 因此，只有当 k∈[a，b]时，才能使用基本不等式求最值，而当 k∉[a，b]
时只能利用对勾函数的单调性求最值.
利用不等式的性质求代数式的取值范围的注意点 (1)必须严格运用不等式的性质. (2)在多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围， 解决途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量 关系，然后通过“一次性”不等关系的运算求解范围.
知识点四 基本不等式
1.基本不等式： ab≤a＋2 b (1)基本不等式成立的条件： a>0，b>0 . (2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时，等号成立.
1.充分、必要条件与对应集合之间的关系 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}. (1)若p是q的充分条件，则A⊆B； (2)若p是q的充分不必要条件，则A B； (3)若p是q的必要不充分条件，则B A； (4)若p是q的充要条件，则A＝B. 2.含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”. 3.命题p与p的否定的真假性相反.
数学一轮复习第一章集合常用逻辑用语和不等式1.2充分条件与必要条件课件
INDEX
基础落实 回扣基础知识 训练基础题目
知识梳理
充分条件、必要条件与充要条件的概念
一般地，如果p⇒q，那么称p是q的 充分 条件，q是p的 必要 条件
p是q的 充分不必要 条件
p⇒q，且q⇏p
p是q的 必要不充分 条件
p⇏q，且q⇒p
p是q的 充要 条件
p⇔q
解析 q：(x－a)(x－a－1)≤0，∴a≤x≤a＋1. 由 p 是 q 的充要条件知aa＝ ＋11， ＝2， ∴a＝1.
x－1 (2)设 p：|2x＋1|<m(m>0)；q：2x－1>0.若 p 是 q 的充分不必要条件，则实数 m 的取值范围为___(_0_,2_]____.
解析 由|2x＋1|<m(m>0)，得－m<2x＋1<m， ∴－m＋2 1<x<m－2 1，且－m＋2 1<0， 由2xx－－11>0，得 x<12或 x>1. ∵p是q的充分不必要条件， ∴m－2 1≤12，∴0<m≤2.
√A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
解析 由 log2(2x－3)<1⇔0<2x－3<2⇔32<x<52，4x>8⇔2x>3⇔x>32， 所以“log2(2x－3)<1”是“4x>8”的充分不必要条件，故选A.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
7.(多选)若x2－x－2<0是－2<x<a的充分不必要条件，则实数a的值可以是
2025年高考数学一轮复习课件第一章集合与常用逻辑用语、不等式-1.2常用逻辑用语
记作_______且_______
充要
是的充分必要条件（简称______条
件）
是的既不充分也不必要条件
⇔
记作_______
⇏
⇏
记作_______且_______
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2.全称量词与存在量词
全称量词
（1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做__________，并用
故选C.
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（2）（2022年浙江卷）设 ∈ ，则“sin = 1”是“cos = 0”的(
A.充分不必要条件
√
)
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
π
2
π
2
解：（方法一）{ sin = 1} = { = + 2π ， ∈ } ⫋ {| = + π ，
第一章 集合与常用逻辑用语、不等式
1.2 常用逻辑用语
课程标准
必备知识
自主评价
核心考点
课外阅读
课时作业
1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件
的关系.
2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件
的关系.
3.通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件
A.充分不必要条件
√
C.充要条件
)
B.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
解：若: 2 − 3 < 1为真命题，则1 < < 2.若: − 3 < 0为真命题，则
0 < < 3.因为 1,2 ⫋ 0,3 ,所以是的充分不必要条件.故选A.
2023年高考数学一轮考点复习第一章集合、常用逻辑用语、不等式第2讲充分条件与必要条件
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[解析] (4)当 α＝β＝π2时，tan α、tan β 都无意义．因此不能推出 tan α ＝tan β，当 tan α＝tan β 时，α＝β＋kπ，k∈Z，不一定 α＝β，因此是既不 充分也不必要条件．
(5)在△ABC 中，由 A>B，则 a>b，由正弦定理 sin A>sin B，反之也 成立．
p 是 q 的__充__分__不__必__要___条件
p⇒q 且 q p
p 是 q 的__必__要__不__充__分___条件
p q 且 q⇒p
p 是 q 的__充__要___条件
p⇔q
p 是 q 的__既__不__充__分__也__不__必__要___条件
p q且q p
第一章 集合、常用逻辑用语、不等式
第一章 集合、常用逻辑用语、不等式
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题组一 走出误区 1．判断下列结论是否正确(请在括号内打“√”或“×”) (1)p是q的充分不必要条件等价于q是p的必要不充分条件．( √ ) (2)已知集合A，B，则(A∪B)⊆(A∩B)的充要条件是A＝B.( √ ) (3)若已知p：x>1和q：x≥1，则p是q的充分不必要条件．( √ ) (4)“α＝β”是“tan α＝tan β”的充分不必要条件．( × ) (5)在△ABC中，A>B是sin A>sin B的充要条件．( √ )
第一章 集合、常用逻辑用语、不等式
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[解析] 解法一：由 sin x＝1，得 x＝2kπ＋π2(k∈Z)，则 cos2kπ＋π2＝ cos π2＝0，故充分性成立；又由 cos x＝0，得 x＝kπ＋π2(k∈Z)，而 sinkπ＋π2 ＝1 或－1，故必要性不成立．所以“sin x＝1”是“cos x＝0”的充分不 必要条件，故选 A.
专题01 集合、常用逻辑用语、不等式(新定义,高数观点,压轴题)(学生版)-2024年高考压轴专题复
专题01 集合、常用逻辑用语、不等式（新定义，高数观点，压轴题）目录一、集合的新定义（高数观点）题 (2)①乘法运算封闭 (2)②“群”运算 (2)③“*”运算 (3)④“⊕”运算 (4)⑤戴德金分割 (4)⑥“类” (5)⑦差集运算 (6)⑧“势” (7)⑨“好集” (7)二、逻辑推理 (8)①充分性必要性 (8)②逻辑推理 (8)三、不等式 (9)①作差法 (9)②基本不等式 (9)一、集合的新定义（高数观点）题①乘法运算封闭②“群”运算1．（2022·全国·高三专题练习）“群”是代数学中一个重要的概念，它的定义是：设G 为某种元素组成的一个非空集合，若在G 内定义一个运算“*”，满足以下条件：①a ∀，b G ∈，有a b G*∈②如a ∀，b ，c G ∈，有()()a b c a b c **=**；③在G 中有一个元素e ，对a G ∀∈，都有a e e a a *=*=，称e 为G 的单位元；④a G ∀∈，在G 中存在唯一确定的b ，使a b b a e *=*=，称b 为a 的逆元．此时称（G ，*）为一个群．例如实数集R 和实数集上的加法运算“+”就构成一个群(),+R ，其单位元是0，每一个数的逆元是其相反数，那么下列说法中，错误的是（ ）A ．G Q =，则(),+G 为一个群B ．G R =，则(),G ⨯为一个群C ．{}1,1G =-，则(),G ⨯为一个群D ．G ={平面向量}，则(),+G 为一个群③“*”运算1．（2023·全国·高三专题练习）在R 上的定义运算*:*2a b ab a b =++，则满足*(2)0x x -<的解集为（ ）A ．(0,2)B ．(2,1)-C ．(,2)(1,)-∞-+∞D ．(1,2)-2．（2023·全国·高三专题练习）设U 为全集，对集合X ，Y ，定义运算“*”，()X Y X Y *= ．对于任意集合X ，Y ，Z ，则()X Y Z **=（ ）A ．()X Y ZB ．()X Y ZC ．()X Y Z ⋃⋃D ．()X Y Z3．（2023秋·高一课时练习）在实数集R 中定义一种运算“*”，具有以下三条性质：（1）对任意R a ∈，0*a a =；（2）对任意a ，R b ∈，**a b b a =；（3）对任意a ，b ，R c ∈，()()()()*****2a b c c ab a c b c c =++-.给出下列三个结论：①()2*0*20=；②对任意a ，b ，R c ∈，()()****a b c b c a =；③存在a ，b ，R c ∈，()()()***a b c a c b c +≠+；其中，所有正确结论的序号是（ ）A ．②B ．①③C ．②③D ．①②③④“⊕”运算⑤戴德金分割1．（多选）（2022秋·山西运城·高一山西省运城中学校期中）1872年德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称“戴德金分割”），并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了数学史上的第一次大危机.将有理数集Q⑥“类”⑦差集运算A ．已知{4,5,6,7,9}A =，B ．如果A B -=∅，那么C ．已知全集、集合A 、集合D ．已知{|1A x x =<-或x >2．（多选）（2022秋·贵州铜仁⑧“势”⑨“好集”二、逻辑推理①充分性必要性②逻辑推理三、不等式①作差法②基本不等式。
2023年高考数学一轮考点复习第一章集合、常用逻辑用语、不等式第3讲全称量词与存在量词
第一章 集合、常用逻辑用语、不等式
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否定全称量词命题和存在量词命题时，一是要改写量词，全称量词 改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般 命题的否定只需直接否定结论．
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[解析] (1)“所有”改为“存在”(或“有的”)，“都是”改为 “不都是”(或“不是”)，即綈p为有的正方形不是平行四边形．
(2)含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”，所以， 命 题 “ ∀ x ∈ [0 ， ＋ ∞) ， x3 ＋ x≥0” 的 否 定 是 “ ∃ x ∈ [0 ， ＋ ∞) ， x3 ＋ x<0”，故选C.
知，∀x∈R,2x>0，则D为真命题．故选C.
第一章 集合、常用逻辑用语、不等式
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4．(必修1P32T6改编)已知命题p：∀x∈R，sin x≥0，则下列说法正 确的是( A )
A．p的否定是存在量词命题，且是真命题 B．p的否定是全称量词命题，且是假命题 C．p的否定是全称量词命题，且是真命题 D．p的否定是存在量词命题，且是假命题 [解析] 命题p：∀x∈R，sin x≥0，该命题为假命题．p的否定是存 在量词命题，且是真命题．故选A.
第一章 集合、常用逻辑用语、不等式
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考点突破 · 互动探究
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考点一
含有一个量词的命题的否定——自主练透
例1 (1)(2022·青岛模拟)设命题p：所有正方形都是平行四边形，
2025版高考数学一轮总复习考点突破第一章集合与常用逻辑用语不等式1
1.5 二次函数与一元二次方程、不等式第2课时一元二次不等式考点一一元二次不等式的解法例1（1）设集合,,则（B）A. B. C. D.解：因为,,所以.故选.（2）解关于的不等式.解：原不等式可化为，即.当时，原不等式可化简为，原不等式的解集为.当时，原不等式的解集由和的大小确定，当时，;当时，；当时,；当时，.所以不等式的解集为：当时，；当时，；当时，；当时，；当时，.【点拨】①解一元二次不等式的步骤：第一步，将二次项系数化为正数；其次步，解相应的一元二次方程；第三步，依据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；第四步，写出不等式的解集.②对于含参一元二次不等式的求解，常须要分类探讨，分类标准有：二次项系数符号、不等式对应方程根的大小及判别式符号等.变式1（1）不等式的解集是（D）A. 或B.C. 或D.解：不等式可化为，解得.故选.（2）已知关于的不等式仅有一个整数解，求实数的取值范围.解：由，得.当时，不等式无实数解.当时，不等式的解为.要使不等式只有一个整数解，则，即.当时，不等式的解为.要使不等式只有一个整数解，则，即.综上，实数的取值范围是．考点二三个“二次”的关系例2 【多选题】已知关于的不等式的解集为，则（BD）A.B. 不等式的解集为C.D. 不等式的解集为,解：因为的解集为，所以解得错误.对于,将代入，得，解得，正确.对于,因为不等式的解集为，所以当时，，错误.对于,将代入，得，即，解得，正确.故选.【点拨】三个“二次”的关系前面已进行梳理，应用时要留意“心中有图”“数形结合”，并留意最高次幂系数的正负.变式2 已知不等式的解集为，则不等式的解集为（A）A. B.C. D. 或解：由题意，得解得所以不等式为，即，解集为.故选.考点三与一元二次不等式有关恒成立问题命题角度1 在R上的恒成立例3 对，不等式恒成立，则实数的取值范围是（A）A. B.C. D.解：依题意，当，即时，恒成立，满足题意.当时，要使不等式恒成立，需即解得.综上，实数的取值范围为.故选.【点拨】在上的恒成立，结合本节【常用结论】处理即可，留意探讨二次项系数. 变式3 若命题“，”是假命题，则实数的取值范围为. 解：由题意，知原命题的否定“，”为真命题.当时，不等式为，符合题意.当时，解得.综上，实数的取值范围为.故填.命题角度2 在给定区间上恒成立例4 若对随意，都有成立，则实数的取值范围是，. 解：当时，.当时，.而在上单调递减，所以.故填，.【点拨】在给定区间上的恒成立，常可用分别参数的方法转化为函数值域问题，很多时候都可以削减不必要的探讨.变式4（1）若不等式对一切都成立，则实数的取值范围是,．解：由题意，知对一切恒成立.令，可知成立.当时，函数单调递减，所以.所以.故填,.（2）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是．解：.依题意，知，，即恒成立.明显函数的图象是开口向上的抛物线，所以解得.所以实数的取值范围是.另解：分类探讨后分别参数.故填.命题角度3 给定参数范围的恒成立例5 对随意，函数的值恒大于零，则的取值范围是（B）A. B.C. D.解：设.由在上恒成立，得解得所以或.所以的取值范围是.故选.【点拨】给定参数范围的恒成立，常接受变更主元的方法,转化为一次函数在上恒成立问题：若恒成立即直线上两点的函数值均大于零，则由直线的特点可知，两点之间的全部点的函数值均大于零；同理，若恒成立变式5 已知集合，对于随意，使不等式恒成立的的取值范围为（B）A. 或B. 或C. D.解：（方法一）构造，由且,得或.（方法二）由，得，所以.不等式对恒成立，即不等式对恒成立，即不等式对恒成立.所以只需或对恒成立.所以只需或对恒成立.因为，所以或.故选.。
第一章集合和常用逻辑用语及不等式基础知识默写课件2025届高三数学一轮复习
性质7
同正可乘方性：a>b>0⇒
；
；
性质8（补）同正可开方性：a>b>0⇒
；a>b，c<0⇒
；
；
；
； (n∈N，n≥2).
； (n∈N，n≥2).
基本不等式
1.基本不等式：
(a>0,b>0)，当且仅当
等号成立.
2.利用基本不等式求最值的口诀？（提示：积定……，和定……）
应满足的三个条件是什么？（提示：一……二……三……）
1.柯西不等式的向量形式：
.
(当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立).
2.二维形式的柯西不等式
(a,b,c,d∈R，当且仅当
3.二维形式的柯西不等式的变式
(1)
≥|ac＋bd|;
(2)
≥|ac|＋|bd|;
(3) (a＋b)(c＋d)≥
以上均是(当且仅当
(a，b，c，d≥0).
时，等号成立).
数学基础知识
默写小纸条
第一章
集合、常用逻辑语言、不等式
集合
1. 集合中元素的三个特性：
2. A∩B＝A⇔A
，
B；A∪B＝A⇔B
，
A； A∩B
3. 若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有
个非空子集，
6. 空集是
个子集，
A； A∪B
，∁U(A∪B)＝(∁UA)
∁UB.
的子集，是
7. 含参子集问题，需要考虑哪些情况？
(1)
≥|ac＋bd|;
(2)
≥|ac|＋|bd|;
(3) (a＋b)(c＋d)≥
(a，b，c，d≥0).
高考数学一轮复习第一章《集合与常用逻辑用语不等式》第三节等式性质与不等式性质
性质内容
注意 可逆 同向 可逆
性质 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性
可开方性
性质内容
续表
注意 同向 同向，同正 同正 同正
〔课前自测〕
1. 概念辨析（正确的打“√”,错误的打“×”）.
√ ×
× ×
B
3. 易错题 多选题 下列命题一定为真命题的有( BD )
易错提醒 本题易忽视字母符号而致误. D
迁移应用
A A. 充分不必要条件 C. 充要条件
B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
A
考点三 不等式的性质的应用
例2 AC
方法感悟 利用不等式的性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点： （1）必须严格运用不等式的性质； （2）在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，解决的途径是先 建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，然后通过“一次性”不等关系的 运算求解范围.
关键能力·突破
考点一 比较两个数（式）的大小
D
B
方法感悟 比较大小的常用方法 （1）作差法：①作差；②变形；③判断差与0的大小关系；④得出结论. （2）作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论. （3）构造函数法：利用函数的单调性比较大小.
考点二 不等式的性质
CD
方法感悟 判断不等式的常用方法 （1）直接利用不等式的性质逐个验证，其中要特别注意前提条件. （2）利用特殊值法排除错误.
迁移应用
AC
B
第一章 集合与常用逻辑用语、不等式
第三节 等式性质与不等式性质
必. 2.会比较两个数（式）的大小. 3.理解不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用.
必备知识·整合
2023年高考数学一轮考点复习第一章集合、常用逻辑用语、不等式第4讲不等关系与不等式
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(3)解法一：易知a，b，c都是正数， ba＝34llnn 43＝log8164<1，所以 a>b； bc＝54llnn 45＝log6251 024>1，所以 b>c，即 c<b<a. 解法二：构造函数 f(x)＝lnxx， 则 f′(x)＝1－xl2n x，
第一章 集合、常用逻辑用语、不等式
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题组二 走进教材
2．(必修1P43T11改编)(2022·全国高中课时练习)大桥头竖立的“限重 40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车和货总重量T不
超过40吨，用不等式表示为( C )
A．T<40
B．T>40
C．T≤40
a2)>0，∴M>N. 解法二(特殊值法)：取 a1＝a2＝12，∴M＝14，N＝0，∴M>N.
(2)由题意知 p>0，q>0，则pq＝
·
.若 a>b>0，
则ab>1，a－b>0，则pq>1；若 0<a<b，则 0<ab<1，a－b<0，则pq>1；若 a＝b，
则pq＝1.综上，p≥q.
第一章 集合、常用逻辑用语、不等式
第一章 集合、常用逻辑用语、不等式
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题组三 走向高考
5．(2022·上海卷)已知实数a，b，c，d满足：a>b>c>d，则下列选项
中正确的是( B )
A．a＋d>b＋c
B．a＋c>b＋d
C．ad>bc
D．ac>bd
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不等式与常用逻辑用语的复习
一．选择题
1.下列不等式正确的是 A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则
D. 若 ，则
2.不等式2x ＋3－x 2
＞0的解集是( )
A ． {x |－1＜x ＜3}
B ．{x |－3＜x ＜1}
C ．{x |x ＜－1或x ＞3}
D ．{x |x ＜3} 3.不等式
的解集是
A. B. C. 或 D.
4.不等式a x 2
＋5x ＋c>0的解集为{x |31<x <2
1
}，则a 、c 的值( ) A ．a=6，c=1
B ．a=-6，c=-1
C ．a=1，c=1
D ．a=-1，c=-6
5.不等式 成立的一个必要不充分条件是 A.
B. 或
C.
D.
或
6.命题“ ， ”的否定是
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
7.已知命题p ：若 ，则 ；命题q ：若 ，则 ，在命题 ； ； ￢ ； ￢ 中，真命题是
A. B. C. D. 8.命题“若 ，则 且 ”的否命题为 A. 若 ，则 且 B. 若 ，则 且 C. 若 ，则 或 D. 若 ，则 或 9.命题：“若 ，则 ”的逆否命题是 A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 且 ，则
D. 若 或 ，则
10.原命题：“设a ，b ， ，若 ，则 ”，在原命题以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4
11.设变量x ，y 满足约束条件
，则目标函数 的最大值为
A.
B. 1
C.
D. 3
12.已知 ，则函数
的最小值是（ ）
A. 5
B. 4
C. 8
D. 6
13.设实数x ，y 满足不等式组 ， 是目标函数 取最大值的唯一 最优解，则实数a 的取值范围是
A. B. C. D.
二.填空题
14.已知 ，函数
的最小值是 .
15.若 ， ，且 ，则 的最小值为______.
16.若命题“ ， ”是假命题，则实数a 的取值范围是________． 17.若不等式
对任意正实数x 、y 恒成立，则正实数a 的最小值______． 三．解答题
18.已知命题p ： ，
；命题q ：方程
表示双曲线． 若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；
若命题“ ”为真命题，“ ”为假命题，求实数m 的取值范围.
19. 设命题实数满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中，命题实数满足.
（1）若，且为真，求实数的取值范围.
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
20. 在某经贸洽谈会上，甲、乙两种新型产品引起了某企业的关注，经了解和结合自身企业的自然条件，该企业策划出如下情况：生成每吨甲产品需占用场房400m2，水60t；生成每吨乙产品需占用场房150m2，水80t，销售每吨甲产品可获得利润5万元，销售每吨乙产品可获得利润3万元.且由于资源限制，场房最大使用面积为1800 m2，在一个生产周期内自来水厂最多供水500t.
如果在一个生产周期内，企业能获利25万元的话，企业就决定引进这两种产品生产，否则就放弃，请问这家企业最终会不会引进这两种新产品生产？21.某品牌电脑体验店预计全年购入360台电脑，已知该品牌电脑的进价为3 000元台，为节约资金决定分批购入，若每批都购入为正整数台，且每批需付运费300元，储存购入的电脑全年所付保管费与每批购入电脑的总价值不含运费成正比比例系数为，若每批购入20台，则全年需付运费和保管费7800元。
（1）记全年所付运费和保管费之和为y元，求y关于x的函数。
（2）若要使全年用于支付运费和保管费的资金最少，则每批应购入电脑多少台？
22.已知变量,x y满足约束条件
⎩⎪
⎨
⎪⎧
x－y＋2≥0
x＋y－4≥0
2x－y－5≤0
，求：(1) 221025
z x y y
=+-+的最小值；
(2)
21
1
y
z
x
+
=
+
的范围.
第3页（共4页）第4页（共4页）。