(全国通用版)201X-201x高中数学 第二章 函数 2.2.3 待定系数法练习 新人教B版必修1

2.2.3 待定系数法

课时过关·能力提升

1反比例函数的图象经过点(-2,3),则其还经过点()

A.(-2,-3)

B.(3,2)

C.(3,-2)

D.(-3,-2)

解析设反比例函数为f(x)= (k≠0),

则3=,k=-6,即f(x)=,

故其还经过点(3,-2).

答案C

2二次函数y=x2+ax+b,若a+b=0,则它的图象必经过点()

A.(-1,-1)

B.(1,-1)

C.(1,1)

D.(-1,1)

解析当x=1时,y=12+a×1+b=a+b+1=1,因此图象一定经过定点(1,1).

答案C

3已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点坐标为(2,-1),与y轴的交点为(0,11),则()

A.a=1,b=-4,c=11

B.a=3,b=12,c=11

C.a=3,b=-6,c=11

D.a=3,b=-12,c=11

解析由已知可设二次函数f(x)=a(x-2)2-1(a≠0).

因为点(0,11)在二次函数f(x)=a(x-2)2-1的图象上,

所以11=4a-1,解得a=3.

所以f(x)=3(x-2)2-1=3x2-12x+11.

故a=3,b=-12,c=11.

答案D

4已知x3+2x2-5x-6=(x+a)(x+b)(x+c),则a,b,c的值分别为()

A.1,2,3

B.1,-2,-3

C.1,-2,3

D.1,2,-3

解析∵(x+a)(x+b)(x+c)=x3+(a+b+c)x2+(ab+bc+ca)x+abc=x3+2x2-5x-6,

∴

解得a=1,b=-2,c=3.

答案C

5设函数f(x)=若f(-1)=f(0),f(-2)=-2,则关于x的方程f(x)=x的解的个数为

()

A.1

B.2

C.3

D.4

解析由f(-1)=f(0),f(-2)=-2,

可得

解得

故f(x)=

令f(x)=x,解得x=2或x=-2.

答案B

6抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A与点B,与y轴相交于点C,如果OB=OC=OA,那么b的值为()

A.-2

B.-1

C.-

D.

解析由图象可知c>0,且B(c,0),A(-2c,0).

设f(x)=a(x-c)(x+2c),

则a(x-c)(x+2c)=ax2+bx+c,

即ax2+acx-2ac2=ax2+bx+c.

故即ac=-,b=-.

答案C

7已知一次函数的图象经过(5,-2)和(3,4),则这个函数的解析式为.

解析设一次函数为y=kx+b(k≠0),

则有解得

3x+13

8如图所示为二次函数y=ax2+bx+c的图象,则该函数的解析式为.

解析设二次函数为y=a(x+1)(x-3).

∵点(0,-2)在图象上,

∴-2=a(0+1)(0-3).∴a=.

∴y=(x+1)(x-3)=x2-x-2.

答案y=x2-x-2

9已知二次函数当x=4时有最小值-3,且它的图象与x轴的两交点间的距离为6,则这个二次函数

的解析式为.

解析由题意知,抛物线的对称轴为x=4,抛物线与x轴的两交点坐标是(1,0)与(7,0),如图所示.

设二次函数的解析式为f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由条件可得抛物线的顶点为(4,-3),且过点(1,0)和(7,0),将三个点的坐标代入,得

解得

故所求二次函数的解析式为f(x)=x2-x+.

答案f(x)= x2-x+

10抛物线经过点(2,-3),它与x轴交点的横坐标是-1和3.

(1)求出抛物线的解析式.

(2)用配方法求出抛物线的对称轴和顶点坐标.

(3)画出草图.

(4)观察图象,x取何值时,函数值y小于零?x取何值时,y随x的增大而减小?

解(1)设抛物线的解析式为f(x)=a(x+1)(x-3)(a≠0).

因为抛物线经过点(2,-3),

所以-3=a(2+1)(2-3),解得a=1.

故抛物线的解析式为f(x)=(x+1)(x-3)=x2-2x-3.

(2)f (x)=x2-2x-3=(x-1)2-4.

由此可知抛物线的对称轴为x=1,顶点坐标为(1,-4).

(3)抛物线的草图如图所示.

(4)由图象可知,当x∈(-1,3)时,函数值f(x)小于零;

当x∈(-∞,1]时,f(x)随x的增大而减小.

★11已知定义在[-6,6]上的奇函数f(x),在[0,3]上为一次函数,在[3,6]上为二次函数,且x∈[3,6]

时,f(x)≤f(5)=3,f(6)=2,求f(x)的解析式.

解当x∈[3,6]时,

∵f(x)≤f(5)=3,

∴设f(x)=a(x-5)2+3(a≠0).

又f(6)=2,

∴f(6)=a(6-5)2+3=2,解得a=-1.

∴f(x)=-(x-5)2+3,x∈[3,6].

∴f(3)=-(3-5)2+3=-1.

故x∈[0,3]和x∈[3,6]时,f(x)的图象均过点(3,-1).

∵当x∈[0,3]时,f(x)为一次函数,

∴设f(x)=kx+b(k≠0).

∵f(x)在[-6,6]上是奇函数,∴f(0)=0,

∴b=0,即f(x)=kx(k≠0).

将点(3,-1)代入,得-1=3k,即k=-.

故f(x)=-x,x∈[0,3].