胡海岩机械振动基础第三章课件

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a. 如果杆的质量相对于集中质量 很小，即 1
Al
m

EA ml
k m
tan 2
与将弹性杆视为无质量弹簧得到 的单自由度系统固有频率一致。
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其中 k EA / l 是整根杆的静拉压刚度。
b. 若杆质量小于集中质量，但比值
1
不是非常小，
可取Taylor展开 tan 3 / 3 ，将频率方程写作
（1）分离变量将偏微分方程转化为常微分方程组; （2）由边界条件得出固有振动; （3）利用固有振型的正交性将系统解耦;
（4）用振型叠加法得到系统的自由振动或受迫振动。
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3.1.1 振动微分方程 直杆的纵向振动微分方程
设有长度为 l 的直杆，取杆的轴线作为 x 轴。记杆在坐标 x 的横截面积为 A(x)、 材料弹性模量为 E(x)、密度为 ( x)，用 u(x, t) 表示坐标为 x 的截面在时刻 t 的纵向位移，f (x, t) 是单位长度杆上 分布的纵向作用力。取长为dx的杆微段为分离体，其受力分析如图。
描述了杆纵向振动幅值沿杆长的分布 杆的边界条件是杆两端对变形和轴向力的约束 条件，又称作几何边界条件和动力边界条件。
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简单边界条件 a. 在固定端：
u0
U 0
; 。
u b. 在自由端： N EA 0 x
U 0
例 ：试求 x 0 端固定, x l 端自由的等截面直杆
纵向固有振动。
1 0
(t ) 2 q(t ) 0 0 q
q1 (t ) b1 b2 t
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杆的运动为
u1 ( x , t ) b1 b2 t
三种边界条件下杆的前3阶固有振型
sin x
sin x 2
cos 0=1
r 1
sin2 x
sin 3x 2
cos x
sin3 x
sin 5x 2
U (0) 0, m 2U (l ) EAU (l )
y
EI, l
m
x
U ( x) a1 cos x a2 sin x
a1 0,
l l 2 m sin EA cos
固有频率方程

def
Al
m
,
l
def
tan
( x) U s ( x)U r ( x) U r ( x)U s ( x)dx U s ( x)dU r 0
l 0 0
l
l
固定边界: U (0) U (l ) 0
自由边界:
U ' (0) U ' (l ) 0
r 2 l ( ) U r ( x)U s ( x)dx 0
( t ) q 2 U ( x ) q (t ) U ( x)
两端必同时等于一 常数。可以证明， 该常数不会为正数.
( x) (t ) q 2 U 2 q(t ) U ( x)
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2 U ( x ) ( ) U ( x ) 0 2 q ( t ) q (t ) 0

U (x)U (x)dx
0 r s
l
(a)
20
r 2 l ( ) U r ( x)U s ( x)dx 0

U (x)U (x)dx
0 r s
l
(a)
同理可得
s 2 l ( ) U s ( x)U r ( x)dx 0


l
0
( x)U r ( x)dx (b) Us
U ( x ) a1 cos x a 2 sin x q ( t ) b1 cos t b2 sin t
u( x, t ) (a1 cos x a 2 sin x)(b1 cos t b2 sin t )
（2）固有振动的确定
u( 0, t ) ku( 0, t ) EA , x
u( x , t ) U ( x ) q ( t )
kU (0) EAU (0), kU (l ) EAU (l )
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u( l , t ) ku( l , t ) EA x
b. 一端装有集中质量m时 N N
def
其中
E 是杆内弹性纵波沿杆纵向的传播速度
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杆的自由振动
2 2 u( x , t ) u( x , t ) 2 2 t x2
（1）固有振动的形式 分离变量法:
u( x , t ) U ( x ) q ( t )
(t ) 2 q(t )U ( x) U ( x )q
杆的固有振动解:
(2r 1)x ur ( x, t ) sin (b1r cos r t b2r sin r t ), 2l r 1, 2,
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对于两端固定杆，类似地可求出其固有频率和固有 振型函数为 r rx r , U r ( x) sin , r 1, 2,
u(x,t) o x dx l
f (x,t) x
f N
u dx
u u+ x d x N+ N x dx
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u(x,t) o x dx l
Static ( x) E E du ( x) dx
f (x,t) x
f N
u dx
u u+ x d x N+ N x dx
u ( x, t ) x
l l
而两端自由杆的固有频率和固有振型函数为
(r 1)v r , l (r 1)x U r ( x) cos , l r 1, 2,
上式在 r 1 时恰好对应自由杆零固有频率和刚体运动振型。 此时，杆的运动有别于
u( x, t ) (a1 cos x a 2 sin x)(b1 cos t b2 sin t )
7
u( x , t ) 2 u( x , t ) ( x ) A( x ) [ E ( x ) A( x ) ] f ( x, t ) 2 x x t
直杆纵向受迫振动微分方程
对于均匀材料的等截面直杆， E(x) A(x)为常数
2 2 u( x , t ) u( x , t ) 1 2 f ( x, t ) 2 2 A t x
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3.1.2 固有振型函数的正交性
r 2 U r( x) ( ) U r ( x) 0
r 2 ( ) U s ( x)U r ( x) U s ( x)U r( x)
l r 2 l ( x)dx ( ) U s ( x)U r ( x)dx U s ( x)U r 0 0
2 (1
2
3
)
2 解出 1 并Taylor展开至二次项
2 3 4 2 1 ( 1 1) 2 3 3 1 / 3
1
1
l

EA / l m Al / 3
k m Al / 3
STOP
相当于将弹性杆视为有质量的弹簧，并用Rayleigh法 计入弹簧质量后的单自由度系统固有频率。
mu
mu
2u(0, t ) u(0, t ) 2u(l , t ) u(l , t ) m EA 0, m EA 0 2 2 t x t x
2 u(0, t ) u(0, t ) m EA , 2 x t
u(l , t ) 2 u(l , t ) m EA 2 x t
研究对象: 限于由均匀的、各向同性线弹性材料制成的弦、
杆、轴、梁、膜以及板，简称为弹性体。
3
3.1 弹性杆的纵向振动
y
杆的纵向振动
EI, l, M
圆轴的扭转振动
x
弦的横向振动
同类型的振动：圆轴的扭转振动
弦的横向振动
* 振动微分方程、解法、特性相同 *
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弹性杆、轴和弦的振动微分方程形式相同， 可用相同的方法分析。具体的步骤是：
解：写出边界条件 U (0) 0,
U (l ) 0
U ( x) a1 cos x a 2 sin x
a1 0,
a 2 cos l 0
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由 cos l 0

求出无穷多个固有频率:
r l 1 (r ) 2
1 r (r ) 2 l r 1, 2,
U ( x)U ( x)dx 0
r s
杆的固有振型函数正交关系，它们分别反映了不同阶 次固有振动间既无动能交换又无势能交换. 当
rs
时，定义杆的第r阶模态质量和模态刚度为
2 r
def
Mr
def

l 0
AU ( x)dx K r

l 0
EA[U r ( x)] 2 dx,
第3章 无限自由度系统的振动
1
多自由度 大自由度
无限自由度
u(x,t) o x dx l
f (x,t) x
f N
u dx
u u+ x d x N+ N x dx
2
实际振动系统的惯性、弹性和阻尼都是连续分布的，因而称 为连续系统或分布参数系统。确定连续系统中无数个质点的运 动形态需要无限多个广义坐标，因此连续系统又称为无限自由 度系统。
r 1,2,
它们的大小取决于如何对 固有振型函数归一化，但 其比值总满足:
2 r
Kr , Mr
r 1, 2,
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对于端点固定或自由的非均匀变截面直杆，其固有 振型的加权正交关系式为
l 0 ( x ) A( x )U r ( x )U s ( x ) dx M r rs l E ( x ) A( x )U r ( x )U s ( x ) dx K r rs 0
Dynamic ( x, t ) E
杆的纵向应变和轴向力分别为
u ( x, t ) ( x, t ) x
根据Newton 第二定律
u ( x, t ) N ( x, t ) E ( x) A( x) ( x, t ) E ( x) A( x) x
N ( x, t ) 2 u( x, t ) ( x) A( x)dx [ N ( x , t ) dx] N ( x, t ) f ( x, t )dx 2 x t
(a)-(b)
2 2 r s
2
l

l 0
U r ( x)U s ( x)dx 0
杆的固有频率互异
rs
U
0 l 0
r ( x)U s ( x)dx
0
rs rs
21
U ( x)U ( x)dx 0
r s
U
0 l 0
l
r ( x)U s ( x)dx
0
rs rs
u ( x, t ) U ( x)q(t )
2 q(t ) q(t )
m 2U (0) EAU (0),
m 2U (l ) EAU (l )
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例4.1.2 均匀材料等截面直杆的 x 0 端固定、 x l 端 具有集中质量m，求其固有频率。
解：问题的边界条件为
U r ( x) a2 sin
r x (2r 1) x a2 sin , r 1, 2, 2l
这一函数给出了杆各截面的振幅，即杆的振动形态，故称为 第r阶固有振型函数。像多自由度系统的固有振型一样，固有 振型函数的值具有相对性，即 a 2 可以是任意常数。不妨取式 中 a 2 1 ，则有 (2r 1)x U r ( x) sin , r 1, 2, 2l
cos2 x
固有振型曲线与坐标轴的交点为节点，系统固有振动幅值 在节点处为零。对于简单边界条件的杆，第 r 阶固有振型 有 r-1 个节点。
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复杂边界条件
--反映了杆端的轴力与弹性力（或惯性力）间平衡关系
a. 一端装有刚度系数为k的拉压弹簧时
ku
N
N
ku
u (0, t ) u (l , t ) ku(0, t ) EA 0, ku(l , t ) EA 0 x x
17
t an
是杆的质量与杆端
集中质量的比值。
2
1
1பைடு நூலகம்
1/ 2 3.426 tan
3
6.437
g 0
0.860
r r / l
1 0860 . /l
-2
2 3.426 / l 3 6.437 / l
1
l
0
2
4

6
8