胡海岩机械振动基础第三章课件
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机械振动基础第三章PPT
2015年11月28日
模态函数
i i ( x) ci sin( x), i 1,3,5,... 2l
19
3.2 杆的纵向振动 例： 一均质杆，左端固 定，右端与一弹簧 连接。
k
0
x
l
推导系统的频率方程。
2015年11月28日
20
3.2 杆的纵向振动 解：
边界条件：
0
k
l
x
u (l , t ) u (0, t ) 0 ku (l , t ) ES x (0) 0 k (l ) ES (l , t ) x l l k sin ES cos 得出： c2 0 a0 a0 a0
连续系统的振动
• 实际的振动系统都是连续体，它们具有连续分布的质量 与弹性，因而又称连续系统或分布参数系统。 • 由于确定连续体上无数质点的位置需要无限多个坐标， 因此连续体是具有无限多自由度的系统。
• 连续体的振动要用时间和空间坐标的函数来描述，其运 动方程不再像有限多自由度系统那样是二阶常微分方程组 ，它是偏微分方程。
ia0 , l ix i ( x) ci sin l
(i 0,1,2,)
(i 0,1,2,)
3.2 杆的纵向振动
（2）两端自由
特征：自由端的轴向力为零 边界条件 ： ES 得： 得出：
u (l , t ) u (0, t ) ES 0 0 x x (l ) 0 (0) 0
虽然它们在运动表现形式上并不相同，但它们的运动微 分方程是类同的，都属于一维波动方程 。
10
2015年11月28日
2015年11月28日
11
3.2 杆的纵向振动 • 固有频率和模态函数
模态函数
i i ( x) ci sin( x), i 1,3,5,... 2l
19
3.2 杆的纵向振动 例： 一均质杆，左端固 定，右端与一弹簧 连接。
k
0
x
l
推导系统的频率方程。
2015年11月28日
20
3.2 杆的纵向振动 解：
边界条件：
0
k
l
x
u (l , t ) u (0, t ) 0 ku (l , t ) ES x (0) 0 k (l ) ES (l , t ) x l l k sin ES cos 得出： c2 0 a0 a0 a0
连续系统的振动
• 实际的振动系统都是连续体，它们具有连续分布的质量 与弹性，因而又称连续系统或分布参数系统。 • 由于确定连续体上无数质点的位置需要无限多个坐标， 因此连续体是具有无限多自由度的系统。
• 连续体的振动要用时间和空间坐标的函数来描述，其运 动方程不再像有限多自由度系统那样是二阶常微分方程组 ，它是偏微分方程。
ia0 , l ix i ( x) ci sin l
(i 0,1,2,)
(i 0,1,2,)
3.2 杆的纵向振动
（2）两端自由
特征：自由端的轴向力为零 边界条件 ： ES 得： 得出：
u (l , t ) u (0, t ) ES 0 0 x x (l ) 0 (0) 0
虽然它们在运动表现形式上并不相同，但它们的运动微 分方程是类同的，都属于一维波动方程 。
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2015年11月28日
2015年11月28日
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3.2 杆的纵向振动 • 固有频率和模态函数
振动第3章(1)
这是一个二阶线性常系数齐次微分方程组，式中
M
m11 m21
m12 m22
，
K
k 11 k 21
k12
k
22
（4）
分别称为系统的质量矩阵和刚度矩阵。其中 mij 为质量影响系数， k ij 为刚度影响系数。
x
x1 x2
，
x
xx21
分 别 是 系 统 的 坐 标 列 阵 和 加 速 度 列 阵 。 本 方 程 中 m11 m1 ， m22 m2 ， m12 m21 0 ，
m2 x2 k 2 x1 k 2 x2 0
这就是两自由度系统的自由振动微分方程。
（1）
将振动微分方程写成矩阵形式 。式（1）的矩阵形式是
m1
0
0 m2
x1 x2
k
1 k
k
2
2
k k2
2
x1
x
2
0 0
（2）
为了使讨论具有一般的性质，将式（2）改写为
Mx Kx 0
（3）
d
c p12
2
A22 A12
a
p
2 2
b
d
c
p
2 2
（12）
系统作主振动时，任意瞬时的位移比和其振幅比相同，即
x
1
2
x11
1
,
x
2
2
x1 2
2
这表明，在振动过程中，振幅比1 、2
（13） 决定了整个系统的相对位置。
式中的1 表征了以第一固有频率作同步谐振动时，即作第一主振动时系统的型 态，称为第一固有振型或第一主振型； 2 表征系统作第二主振动时系统的型态，
胡海岩机械振动基础第三章课件
3.1.1 振动微分方程 直杆的纵向振动微分方程
设有长度为 l 的直杆，取杆的轴线作为 x 轴。记杆在坐标 x
的横截面积为A(x)、材料弹性模量为E(x)、密度为(x)，用u(x, t)
表示坐标为 x 的截面在时刻 t 的纵向位移，f (x, t) 是单位长度杆上 分布的纵向作用力。取长为dx的杆微段为分离体，其受力分析如图。
多自由度
大自由度
无限自由度
ox
u(x,t)
dx l
f (x,t)
f
u
u+
u x
dx
x N dx N+ Nx dx
实际振动系统的惯性、弹性和阻尼都是连续分布的，因而称 为连续系统或分布参数系统。确定连续系统中无数个质点的运 动形态需要无限多个广义坐标，因此连续系统又称为无限自由 度系统。
研究对象: 限于由均匀的、各向同性线弹性材料制成的弦、
N
ku
N
k(0 u ,t) Eu A (0 ,t) 0 , k(l,u t) Eu A (l,t) 0
x
x
u (0 ,t)
u (l,t)
k u (0 ,t) E Ax , k u (l,t) E Ax
u(x,t)U (x)q(t)
k U ( 0 ) E A U ( 0 ) , k U ( l ) E A U ( l )
U (x)a1cosxa2sinx
a10, a2cosl0
由
cos l 0
rl (r1)
2
求出无穷多个固有频率: r(r2 1)l r1,2,
U r(x ) a 2 sirx n a 2 s( i2 r n 2 1 l)x , r 1 ,2 ,
这一函数给出了杆各截面的振幅，即杆的振动形态，故称为
推荐-机械振动讲课课件 精品
T 2
（3）旋转矢量法
§2 谐振动的旋转矢量投影表示法
当t 0时
A
o
x0 x
x0 Acos
A
以 o为
t t 时
o
t
x Acos(t )
原点的 旋转
矢量A在 x
x 轴上的投影 点的运动为
简谐运动.
以 o为 原点的 旋转
矢量A在 x
轴上的投影
点的运动为
简谐运动.
x Acos(t )
用旋转矢量图画简谐运动的 x t 图
3 相位 t
x Acos(t )
1） t ( x, v) 存在一一对应的关系;
物理意义：可据以描述物体在任一时刻的运动状态.
2）相位在 0 ~ 2π 内变化，质点无相同的运动状态； 相差 2nπ (n为整数)质点运动状态全同.（周期性）
4 初相位 (t 0) 描述质点初始时刻的运动状态.
4）加速度与位移成正比而方向相反 a 2 x
三 描述简谐振动的物理量(三要素) x Acos(t )
1 振幅
A xmax
2 周期、频率
x Acos(t )
x xt图
A
o
Tt
T
A
2
Acos[(t T ) ]
周期 T 2π
频率 1
弹簧振子周期
T 2π m k
单摆周期
T 2 l
2 单摆 mg sin mat
ml
ml
d 2
••
ml
dt 2
••
g
sin
0
l
5 时 ,sin 令 2 g
l
••
2 0
m cos(t )
转动
（3）旋转矢量法
§2 谐振动的旋转矢量投影表示法
当t 0时
A
o
x0 x
x0 Acos
A
以 o为
t t 时
o
t
x Acos(t )
原点的 旋转
矢量A在 x
x 轴上的投影 点的运动为
简谐运动.
以 o为 原点的 旋转
矢量A在 x
轴上的投影
点的运动为
简谐运动.
x Acos(t )
用旋转矢量图画简谐运动的 x t 图
3 相位 t
x Acos(t )
1） t ( x, v) 存在一一对应的关系;
物理意义：可据以描述物体在任一时刻的运动状态.
2）相位在 0 ~ 2π 内变化，质点无相同的运动状态； 相差 2nπ (n为整数)质点运动状态全同.（周期性）
4 初相位 (t 0) 描述质点初始时刻的运动状态.
4）加速度与位移成正比而方向相反 a 2 x
三 描述简谐振动的物理量(三要素) x Acos(t )
1 振幅
A xmax
2 周期、频率
x Acos(t )
x xt图
A
o
Tt
T
A
2
Acos[(t T ) ]
周期 T 2π
频率 1
弹簧振子周期
T 2π m k
单摆周期
T 2 l
2 单摆 mg sin mat
ml
ml
d 2
••
ml
dt 2
••
g
sin
0
l
5 时 ,sin 令 2 g
l
••
2 0
m cos(t )
转动
胡海岩机械振动基础课件
由柔度系数的定义和线性系统的可叠加性质，第i个自由度的位移是
N
N && N &
ui (t) dij [ f j (t) m jk uk (t) c jkuk (t)]
j 1
k 1
k 1
&&
&
DM u (t) DCu(t) u(t) Df (t)
15
第16页/共131页
两种方法的特点
而 ui 0, i j 需在第 i 个自由度上施加的力。类似地，定义阻尼
系数为 cij , i, j 1,, N ，cij 是为克服系统阻尼，使系统产生速度u j 1
而 ui 0, i j 需在第 i 个自由度上施加的力。
当系统受动载荷 fi (t), i 1,, N 作用时，根据上述质量系数、 阻尼系数、刚度系数的定义和达朗贝尔原理，可写出各自由度上的
坐标 1 u [u1 uN ]T 坐标 2 q [q1 q N ]T
坐标 线性变换 u q
q 1u
称作线性变换矩阵。
24
第25页/共131页
多自由度系统的能量
mi
质点的位置矢量: ri ri (q), i 1,, n
ri
系统的动能 T 是各质点动能之和
o
T
1 2
n k 1
rk qi
rk q j
r r(q1, q2,qN ),
dr
r q1
dq1
r q2
dq2
r q1
dqN
r dr
dt
r q1
dq1 dt
r q2
dq2 dt
r qN
dqN dt
N r i1 qi
qi
机械振动基础CH0
❖ 课程安排按自由度由简至繁 单——二(多)——无限……（大自由度）
（尽量与教学平行进行试验）
2020年9月2日9时24分
振动工程研究所
23
课程内容体系（续1）
❖ 第一章：
介绍概念，复习和在高层次上学习质点 动力学有关内容，是全课基础。
2020年9月2日9时24分
振动工程研究所
24
课程内容体系（续2）
随机振动，模态分析，动力学建 模与动态设计 （复杂本构、结构、载荷）
2020年9月2日9时24分
振动工程研究所
6
考试（察）办法
❖ 闭卷考试（约占总成绩70%） ❖ 作业（约占总成绩10%）
但缺两次作业，不允许考试。 ❖ 试验考察（约占总成绩20%） ❖ 缺席处理（缺席一次扣10分）
2020年9月2日9时24分
❖ 第二章：
介绍多自由度系统振动。引入矩阵和解 耦技术，介绍振动方程组的求解。是全课重 点。并引伸出隔振、吸振理论。
2020年9月2日9时24分
振动分析与测试
(机械振动基础)
Vibration analysis & measument in Mechanical Engineering
教材主编：胡海岩 教授
学习目的
❖目的
（1）解决机械工程中的振动问题。 核心是简化问题（基础）
（2）培养分析问题、解决问题能力。 学习创造性思维方法（迁移）
（3）为进一步深造打基础 （考研、研究生阶段学习）。
❖ 试验方案 ❖ 试验步骤 ❖ 试验仪器 ❖ 试验结果 ❖ 试验结论
理论与试验的关系
2020年9月2日9时24分
振动工程研究所
20
振动问题解决途径（综合）
（尽量与教学平行进行试验）
2020年9月2日9时24分
振动工程研究所
23
课程内容体系（续1）
❖ 第一章：
介绍概念，复习和在高层次上学习质点 动力学有关内容，是全课基础。
2020年9月2日9时24分
振动工程研究所
24
课程内容体系（续2）
随机振动，模态分析，动力学建 模与动态设计 （复杂本构、结构、载荷）
2020年9月2日9时24分
振动工程研究所
6
考试（察）办法
❖ 闭卷考试（约占总成绩70%） ❖ 作业（约占总成绩10%）
但缺两次作业，不允许考试。 ❖ 试验考察（约占总成绩20%） ❖ 缺席处理（缺席一次扣10分）
2020年9月2日9时24分
❖ 第二章：
介绍多自由度系统振动。引入矩阵和解 耦技术，介绍振动方程组的求解。是全课重 点。并引伸出隔振、吸振理论。
2020年9月2日9时24分
振动分析与测试
(机械振动基础)
Vibration analysis & measument in Mechanical Engineering
教材主编：胡海岩 教授
学习目的
❖目的
（1）解决机械工程中的振动问题。 核心是简化问题（基础）
（2）培养分析问题、解决问题能力。 学习创造性思维方法（迁移）
（3）为进一步深造打基础 （考研、研究生阶段学习）。
❖ 试验方案 ❖ 试验步骤 ❖ 试验仪器 ❖ 试验结果 ❖ 试验结论
理论与试验的关系
2020年9月2日9时24分
振动工程研究所
20
振动问题解决途径（综合）
机械振动培训课件
被动控制技术具有简单、可靠、低能耗等优点，但减振效果可能不如主动控制技术。
混合控制技术是将主动控制技术和被动控制技术结合起来，以实现更好的减振效果。
该技术可以综合利用主动控制技术的快速响应和被动控制技术的可靠性，提高减振效果并降低能耗。
混合控制技术需要复杂的系统设计和集成，但其在实际工程中的应用越来越广泛。
03
02
01
利用振动的原理，使物料在输送管道或设备中产生连续的抛掷运动，从而实现物料的定向输送。
振动输送
利用不同物质在振动过程中产生的不同运动轨迹，将物料分成不同粒度的组分。
振动筛分
通过施加周期性的激振力，使被压实材料内部产生交变应力，从而使材料颗粒之间发生相对位移，达到紧密排列的效果。
振动压实
利用振动原理使物料在模具中产生周期性的压力和位移，从而实现制品的成型和脱模。
振动成型
机械振动理论
02
描述一个自由度系统在振动时的运动规律和特性。
总结词
单自由度系统振动是机械振动中最基本的模型之一，它描述了一个单一自由度（如弹簧-质量系统）在振动时的运动规律和特性。通过分析系统的质量和阻尼，可以确定系统的固有频率、振型等参数，进而研究系统在不同激励下的响应。
详细描述
总结词
机械振动培训课件
汇报人：
2024-01-01
机械振动基础机械振动理论机械振动分析方法机械振动控制技术机械振动实验技术机械振动案例研究
目录
机械振动基础
01
机械振动是指物体在一定位置附近所做的往复运动。它具有周期性，即物体在振动过程中会不断重复相同或相似的运动轨迹。
机械振动定义
描述物体离开平衡位置的最大距离，通常用正弦或余弦函数表示。
数据处理
混合控制技术是将主动控制技术和被动控制技术结合起来，以实现更好的减振效果。
该技术可以综合利用主动控制技术的快速响应和被动控制技术的可靠性，提高减振效果并降低能耗。
混合控制技术需要复杂的系统设计和集成，但其在实际工程中的应用越来越广泛。
03
02
01
利用振动的原理，使物料在输送管道或设备中产生连续的抛掷运动，从而实现物料的定向输送。
振动输送
利用不同物质在振动过程中产生的不同运动轨迹，将物料分成不同粒度的组分。
振动筛分
通过施加周期性的激振力，使被压实材料内部产生交变应力，从而使材料颗粒之间发生相对位移，达到紧密排列的效果。
振动压实
利用振动原理使物料在模具中产生周期性的压力和位移，从而实现制品的成型和脱模。
振动成型
机械振动理论
02
描述一个自由度系统在振动时的运动规律和特性。
总结词
单自由度系统振动是机械振动中最基本的模型之一，它描述了一个单一自由度（如弹簧-质量系统）在振动时的运动规律和特性。通过分析系统的质量和阻尼，可以确定系统的固有频率、振型等参数，进而研究系统在不同激励下的响应。
详细描述
总结词
机械振动培训课件
汇报人：
2024-01-01
机械振动基础机械振动理论机械振动分析方法机械振动控制技术机械振动实验技术机械振动案例研究
目录
机械振动基础
01
机械振动是指物体在一定位置附近所做的往复运动。它具有周期性，即物体在振动过程中会不断重复相同或相似的运动轨迹。
机械振动定义
描述物体离开平衡位置的最大距离，通常用正弦或余弦函数表示。
数据处理
机械振动基础知识培训(ppt 86页)实用资料
7 隔振
PAG 4
§4-1 单自由度系统的自由振动
一、自由振动微分方程
模型：弹簧质量系统
（弹簧原长l0,刚性系数k）
l0
在重力作用下弹簧变形δst为
st
静变形，该位置为平衡位置。
Ox
平衡
Fst kst mgkst
st
mg k
x
Fst F mg mg
取重物平衡位置O点为坐标原点，x 轴铅直向下为正;
阻尼类型
介质阻尼 内阻尼 干摩擦阻尼
粘性阻尼：当振动速度不大时，介质粘性引起的阻力 与速度一次方成正比（较多）
设振动质点的速度为v
粘性阻尼力
Fcv
负号表示方向
c ：粘性阻尼系数
PAG 30
§4-3 单自由度系统的有阻尼自由振动 一、阻尼 — 振动过程中的阻力
振动系统中存在粘性阻尼时,常用阻尼元件c表示
§4-1 单自由度系统的自由振动
例4-1 如图所示，质量为m = 0.5kg的物块沿光滑斜面无初速度 滑下。当物块下落高度h = 0.1m时撞于无质量的弹簧上并与弹
簧不再分离。弹簧刚度k = 0.8 kN/m，倾角β= 30°，求此系统振
动的固有频率和振幅，并给出物块的运动方程。
解:⑴ 取质量弹簧系统为研究对象
一般的机械振动系统都可简化为： 由惯性元件（m） 弹性元件（k） 阻尼元件（c）组成的系统
k
c
m
上节研究的振动是不受阻力作用的，振动的振幅是不随时间改变 的，振动过程将无限地进行下去。实际中的振动系统由于存在阻力， 而不断消耗着振动的能量，使振幅不断地减小，直到最后振动停止。
PAG 31
§4-3 单自由度系统的有阻尼自由振动 二、振动微分方程
PAG 4
§4-1 单自由度系统的自由振动
一、自由振动微分方程
模型：弹簧质量系统
（弹簧原长l0,刚性系数k）
l0
在重力作用下弹簧变形δst为
st
静变形，该位置为平衡位置。
Ox
平衡
Fst kst mgkst
st
mg k
x
Fst F mg mg
取重物平衡位置O点为坐标原点，x 轴铅直向下为正;
阻尼类型
介质阻尼 内阻尼 干摩擦阻尼
粘性阻尼：当振动速度不大时，介质粘性引起的阻力 与速度一次方成正比（较多）
设振动质点的速度为v
粘性阻尼力
Fcv
负号表示方向
c ：粘性阻尼系数
PAG 30
§4-3 单自由度系统的有阻尼自由振动 一、阻尼 — 振动过程中的阻力
振动系统中存在粘性阻尼时,常用阻尼元件c表示
§4-1 单自由度系统的自由振动
例4-1 如图所示，质量为m = 0.5kg的物块沿光滑斜面无初速度 滑下。当物块下落高度h = 0.1m时撞于无质量的弹簧上并与弹
簧不再分离。弹簧刚度k = 0.8 kN/m，倾角β= 30°，求此系统振
动的固有频率和振幅，并给出物块的运动方程。
解:⑴ 取质量弹簧系统为研究对象
一般的机械振动系统都可简化为： 由惯性元件（m） 弹性元件（k） 阻尼元件（c）组成的系统
k
c
m
上节研究的振动是不受阻力作用的，振动的振幅是不随时间改变 的，振动过程将无限地进行下去。实际中的振动系统由于存在阻力， 而不断消耗着振动的能量，使振幅不断地减小，直到最后振动停止。
PAG 31
§4-3 单自由度系统的有阻尼自由振动 二、振动微分方程
《振动基础》PPT课件
s2 n2 0
xs2est x est
通解
s1,2 in
xce 精选PPs1 Tt 1
c2es2t
44
xc1 eintc2e in t
c1co sntisinntc2co sn tisinn t
引入： b 1 c 1 c 2 ,b 2 i( c 1 c 2 )
x (t 0 ) x 0 ,x (t 0 ) x 0 x b 1 c o sn t b 2 s inn t
模型。由了机器人结构的复杂性，机器人的动力学模型也常
常很复杂，因此很难实现基于机器人动力学模型的实时控制。
精选PPT
3
3、Application
Mars e精xp选lPoPrTation
4
3、Application
Special Purpose Dex精t选eProPTus Manipulator
xAsint
T
2
1）振幅A的物理含义？ 与哪些因素有关？
A
x02
x0
n
2）初始相位的物理含义 与哪些因素有关？
tg1 nx0
x0
精选PPT
47
六、单自由度扭转振动
I k
K
d精4G选PPT 32l
48
七、固有频率的计算
1）静变形法 (Static Deformation Method)
对于单自由度振动系统，当系统处于平衡时，其重力应
定系统由此发生的无阻尼自由振动。
精选PPT
54
精选PPT
22
①第i关节的有效惯量： D i i
D 11m 1m 2 l1 2m 2l2 22m 2l1l2cos2
D 22m 2l2 2
《机械振动教学》课件
质量块
质量块。质量块的质量大小和分布对系统的动态特性有 重要影响。
阻尼器
阻尼器是机械振动系统中的阻尼元件，它能够吸收和消耗 振动的能量，从而减小振动的幅值。常见的阻尼器有油阻 尼器、橡胶阻尼器等。
02
机械振动的数学模型
建立振动方程
确定振动系统的自由度
振动应用领域的拓展
航空航天领域
随着航空航天技术的不断发展，振动控制在航空航天领域的应用将得到进一步拓展，涉及结构健康监测、减振降噪等 方面的应用。
新能源领域
新能源领域如风能、太阳能等涉及到大量机械振动问题，未来振动控制将在新能源领域发挥重要作用，涉及风力发电 机组振动控制、太阳能电池板减振等领域。
混合控制法
总结词
结合主动和被动控制方法的优点，以提高振 动控制的效率和效果。
详细描述
混合控制法综合了主动和被动控制法的优点 ，既通过主动施加控制力来抵消原始振动， 又通过改变系统结构或增加阻尼来降低系统 的振动响应。这种方法可以实现更好的振动 控制效果，但同时也需要更高的成本和更复 杂的控制系统。
描述机械振动的物理量
描述机械振动的物理量包括位移、速度、加速度、角频率、周期等。这些物理 量在振动分析中具有重要意义，可以帮助我们了解振动的特性和规律。
机械振动的分类
自由振动和受迫振动
根据外界对振动系统的影响，机械振动 可分为自由振动和受迫振动。自由振动 是指系统在没有外界干扰力作用下的振 动，其振动的频率和振幅只取决于系统 本身的物理性质；受迫振动则是在外界 周期性力的作用下产生的振动，其频率 和振幅取决于外界力和系统本身的物理 性质。
振型
描述系统在不同频率下的振动形态。
模态分析
通过分析系统的模态参数，了解系统的动态特性。
质量块。质量块的质量大小和分布对系统的动态特性有 重要影响。
阻尼器
阻尼器是机械振动系统中的阻尼元件，它能够吸收和消耗 振动的能量，从而减小振动的幅值。常见的阻尼器有油阻 尼器、橡胶阻尼器等。
02
机械振动的数学模型
建立振动方程
确定振动系统的自由度
振动应用领域的拓展
航空航天领域
随着航空航天技术的不断发展，振动控制在航空航天领域的应用将得到进一步拓展，涉及结构健康监测、减振降噪等 方面的应用。
新能源领域
新能源领域如风能、太阳能等涉及到大量机械振动问题，未来振动控制将在新能源领域发挥重要作用，涉及风力发电 机组振动控制、太阳能电池板减振等领域。
混合控制法
总结词
结合主动和被动控制方法的优点，以提高振 动控制的效率和效果。
详细描述
混合控制法综合了主动和被动控制法的优点 ，既通过主动施加控制力来抵消原始振动， 又通过改变系统结构或增加阻尼来降低系统 的振动响应。这种方法可以实现更好的振动 控制效果，但同时也需要更高的成本和更复 杂的控制系统。
描述机械振动的物理量
描述机械振动的物理量包括位移、速度、加速度、角频率、周期等。这些物理 量在振动分析中具有重要意义，可以帮助我们了解振动的特性和规律。
机械振动的分类
自由振动和受迫振动
根据外界对振动系统的影响，机械振动 可分为自由振动和受迫振动。自由振动 是指系统在没有外界干扰力作用下的振 动，其振动的频率和振幅只取决于系统 本身的物理性质；受迫振动则是在外界 周期性力的作用下产生的振动，其频率 和振幅取决于外界力和系统本身的物理 性质。
振型
描述系统在不同频率下的振动形态。
模态分析
通过分析系统的模态参数，了解系统的动态特性。
课导论机械振动基本概念课件
▪ 材料力学研究结构的静力学，它考虑了材料的弹性 性质（变形）；
▪ 机械振动研究结构振动的一般规律，是材料力学在 动力学方向扩展，它与材料力学一样，是讨论材料 的强度问题。
1.3机械振动与先行、后继课程的关系(2)
理论力学：平衡方虚程位（移原理、 基础材料力学达：朗物伯理原方本理程 L构a、（ g方 ra程 n方 g， e程虎）克定律
Tacoma大桥风振坍塌事故
Tacoma大桥风振坍塌事故
▪ １９４０年美国华盛顿州建成了一座当时位 居世界第三的Ｔａｃｏｍａ大桥，大桥中央 跨距为８５３米，为悬索桥结构，设计可以 抗６０米／秒的大风，但不幸的是大桥刚建 成４个月就在１９米／秒的微风吹拂下整体 塌毁。
▪ 后来分析Ｔａｃｏｍａ大桥遭风塌毁的原因 就是气流与大桥的共振所引起的。(冯.卡门)
▪ 对于试验测试只向大家做简单介绍。
1.5 本课程的内容安排
章节 第一章 导论 第二章 单自由度系统
第三章 多自由度系统
实验 第四章 随机振动
学时 备注 2
10
将第三态空间响应计算方法 以及试验模态分析知识，补充Matlab应
用基础。
4
多自由度系统响应数值计算实验
1. 1 机械振动的含义(1)
▪ 所谓振动，广义地讲，指一个物理量在它的 平均值附近不停地经过极大值和极小值而反 复变化。
▪ 机械振动指机械或结构在它的静平衡位置附 近的往复弹性运动。
▪ 一般来说，任何具有弹性和惯性的力学系统 均可能产生机械振动。
1. 1 机械振动的含义(2)
▪ 振动系统发生振动的原因是外界对系统的激 励或作用。
Tacoma大桥风振坍塌事故
▪ 冯•卡门1954年在《空气动力学的发展》一书中写道：塔科 玛海峡大桥的毁坏，是由周期性旋涡的共振引起的。设计的 人想建造一个较便宜的结构，采用了平钣来代替桁架作为边 墙。不幸，这些平钣引起了涡旋的发放，使桥身开始扭转振 动。这一大桥的破坏现象，是振动与涡旋发放发生共振而引 起的。
▪ 机械振动研究结构振动的一般规律，是材料力学在 动力学方向扩展，它与材料力学一样，是讨论材料 的强度问题。
1.3机械振动与先行、后继课程的关系(2)
理论力学：平衡方虚程位（移原理、 基础材料力学达：朗物伯理原方本理程 L构a、（ g方 ra程 n方 g， e程虎）克定律
Tacoma大桥风振坍塌事故
Tacoma大桥风振坍塌事故
▪ １９４０年美国华盛顿州建成了一座当时位 居世界第三的Ｔａｃｏｍａ大桥，大桥中央 跨距为８５３米，为悬索桥结构，设计可以 抗６０米／秒的大风，但不幸的是大桥刚建 成４个月就在１９米／秒的微风吹拂下整体 塌毁。
▪ 后来分析Ｔａｃｏｍａ大桥遭风塌毁的原因 就是气流与大桥的共振所引起的。(冯.卡门)
▪ 对于试验测试只向大家做简单介绍。
1.5 本课程的内容安排
章节 第一章 导论 第二章 单自由度系统
第三章 多自由度系统
实验 第四章 随机振动
学时 备注 2
10
将第三态空间响应计算方法 以及试验模态分析知识，补充Matlab应
用基础。
4
多自由度系统响应数值计算实验
1. 1 机械振动的含义(1)
▪ 所谓振动，广义地讲，指一个物理量在它的 平均值附近不停地经过极大值和极小值而反 复变化。
▪ 机械振动指机械或结构在它的静平衡位置附 近的往复弹性运动。
▪ 一般来说，任何具有弹性和惯性的力学系统 均可能产生机械振动。
1. 1 机械振动的含义(2)
▪ 振动系统发生振动的原因是外界对系统的激 励或作用。
Tacoma大桥风振坍塌事故
▪ 冯•卡门1954年在《空气动力学的发展》一书中写道：塔科 玛海峡大桥的毁坏，是由周期性旋涡的共振引起的。设计的 人想建造一个较便宜的结构，采用了平钣来代替桁架作为边 墙。不幸，这些平钣引起了涡旋的发放，使桥身开始扭转振 动。这一大桥的破坏现象，是振动与涡旋发放发生共振而引 起的。
胡海岩版机械振动基础课后题答案第3章习题
1
1
φ2
0
1
1
φ3
2
1
P140,3-5: 图示系统中各质量只能沿ui，i 1, 4方向运动，试分析其固有模态。
M 0 0 0
M
0
m
0
0
0 0 m 0
0
0
0 m
3k k k k
K k k
0
0
k 0 k 0
k 0M )φ 0
3k 2M 系统固有频率满足的方程： k
q1 (t )
2 n n
qn (t)
0
0]T
n r 1
2 r r
φr qr (t)
u(t)
K
1
f
(t)
n r 1
2 r r
φr qr
(t)
n r 1
1 r2 φr qr
(t)
感谢下 载
qn (t) / n2 0
0]T
n1
2
r 1 r
φr qr (t)
n
n
K 1C
φr
qr
(t
)
Φ
diag[
K
1 r
]ΦT
C
φr
qr
(t )
Φ
diag[
K
1 r
][C1q1
(t
)
Cnqn (t) 0
0]T
r 1
1r N
r 1
1r N
Φ[
C1 K1
q1 (t )
Cn Kn
qn (t)
0
0]T
Φ[ 21 1
r 1
n
n
u(t) K 1 f (t) K 1M φr qr (t) K 1C φr qr (t)
1
φ2
0
1
1
φ3
2
1
P140,3-5: 图示系统中各质量只能沿ui，i 1, 4方向运动，试分析其固有模态。
M 0 0 0
M
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m
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0
0 0 m 0
0
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0 m
3k k k k
K k k
0
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k 0 k 0
k 0M )φ 0
3k 2M 系统固有频率满足的方程： k
q1 (t )
2 n n
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0
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n r 1
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u(t)
K
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n r 1
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(t)
感谢下 载
qn (t) / n2 0
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n1
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n
n
K 1C
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Φ
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(t
)
Cnqn (t) 0
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r 1
1r N
r 1
1r N
Φ[
C1 K1
q1 (t )
Cn Kn
qn (t)
0
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Φ[ 21 1
r 1
n
n
u(t) K 1 f (t) K 1M φr qr (t) K 1C φr qr (t)
机械振动基础培训讲义课件
解：取静平衡位置为其坐标原点，
由动量矩定理，得
F
JO
d 2
dt 2
mgl cos
Fa cos
mg
F k( st a sin )
考虑到微转角,则 cos 1, sin
在静平衡位置处，有
mgl k sta
JO
d 2
dt 2
mgl k( st
a)a
ka2
l
JO ka2 0
n a
1. 阻 尼
阻尼－系统中存在的各种阻力：干摩擦力，润滑
表面阻力，液体或气体等介质的阻力、材料内部的 阻力。
物体运动沿润滑表面的阻力与速度的关系
Fc cv
C－粘性阻尼系数或粘阻系数
2. 振动微分方程
取平衡位置为坐标原点，在建 立此系统的振动微分方程时， 可以不再计入重力的影响。
Fk kx 弹性恢复力 Fc cx 粘性阻尼力
my ky 0 meq keq＝F0sin( t)
非线性振动－系统的刚度呈非线性特性时，将得到非 线性运动微分方程，这种系统的振动称为非线性振动。
按系统的自由度划分：
单自由度振动－一个自由度系统的振动。
多自由度振动－两个或两个以上自由度系统的振动。
连续系统振动－连续弹性体的振动。这种系统具有无 穷多个自由度。
物块的运动微分方程为
m
d2x dt 2
kx
c
dx dt
令:
2 n
k m
,
n c 2m
Fk Fc k
O
m v
x
c m
d2 dt
x
2
2n
dx dt
2 n
x
0
d2 dt
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研究对象: 限于由均匀的、各向同性线弹性材料制成的弦、
杆、轴、梁、膜以及板，简称为弹性体。
3
3.1 弹性杆的纵向振动
y
杆的纵向振动
EI, l, M
圆轴的扭转振动
x
弦的横向振动
同类型的振动：圆轴的扭转振动
弦的横向振动
* 振动微分方程、解法、特性相同 *
4
弹性杆、轴和弦的振动微分方程形式相同， 可用相同的方法分析。具体的步骤是：
def
其中
E 是杆内弹性纵波沿杆纵向的传播速度
8
杆的自由振动
2 2 u( x , t ) u( x , t ) 2 2 t x2
（1）固有振动的形式 分离变量法:
u( x , t ) U ( x ) q ( t )
(t ) 2 q(t )U ( x) U ( x )q
Dynamic ( x, t ) E
杆的纵向应变和轴向力分别为
u ( x, t ) ( x, t ) x
根据Newton 第二定律
u ( x, t ) N ( x, t ) E ( x) A( x) ( x, t ) E ( x) A( x) x
N ( x, t ) 2 u( x, t ) ( x) A( x)dx [ N ( x , t ) dx] N ( x, t ) f ( x, t )dx 2 x t
( x) U s ( x)U r ( x) U r ( x)U s ( x)dx U s ( x)dU r 0
l 0 0
l
l
固定边界: U (0) U (l ) 0
自由边界:
U ' (0) U ' (l ) 0
r 2 l ( ) U r ( x)U s ( x)dx 0
u(x,t) o x dx l
f (x,t) x
f N
u dx
u u+ x d x N+ N x dx
6
u(x,t) o x dx l
Static ( x) E E du ( x) dx
f (x,t) x
f N
u dx
u u+ x d x N+ N x dx
u ( x, t ) x
u ( x, t ) U ( x)q(t )
2 q(t ) q(t )
m 2U (0) EAU (0),
m 2U (l ) EAU (l )
16
例4.1.2 均匀材料等截面直杆的 x 0 端固定、 x l 端 具有集中质量m，求其固有频率。
解：问题的边界条件为
mu
mu
2u(0, t ) u(0, t ) 2u(l , t ) u(l , t ) m EA 0, m EA 0 2 2 t x t x
2 u(0, t ) u(0, t ) m EA , 2 x t
u(l , t ) 2 u(l , t ) m EA 2 x t
U (0) 0, m 2U (l ) EAU (l )
y
EI, l
m
x
U ( x) a1 cos x a2 sin x
a1 0,
l l 2 m sin EA cos
固有频率方程
def
Al
m
,
l
def
tan
l l
而两端自由杆的固有频率和固有振型函数为
(r 1)v r , l (r 1)x U r ( x) cos , l r 1, 2,
上式在 r 1 时恰好对应自由杆零固有频率和刚体运动振型。 此时，杆的运动有别于
u( x, t ) (a1 cos x a 2 sin x)(b1 cos t b2 sin t )
r 1,2,
它们的大小取决于如何对 固有振型函数归一化，但 其比值总满足:
2 r
Kr , Mr
r 1, 2,
22
对于端点固定或自由的非均匀变截面直杆，其固有 振型的加权正交关系式为
l 0 ( x ) A( x )U r ( x )U s ( x ) dx M r rs l E ( x ) A( x )U r ( x )U s ( x ) dx K r rs 0
描述了杆纵向振动幅值沿杆长的分布 杆的边界条件是杆两端对变形和轴向力的约束 条件，又称作几何边界条件和动力边界条件。
10
简单边界条件 a. 在固定端：
u0
U 0
; 。
u b. 在自由端： N EA 0 x
U 0
例 ：试求 x 0 端固定, x l 端自由的等截面直杆
纵向固有振动。
U r ( x) a2 sin
r x (2r 1) x a2 sin , r 1, 2, 2l
这一函数给出了杆各截面的振幅，即杆的振动形态，故称为 第r阶固有振型函数。像多自由度系统的固有振型一样，固有 振型函数的值具有相对性，即 a 2 可以是任意常数。不妨取式 中 a 2 1 ，则有 (2r 1)x U r ( x) sin , r 1, 2, 2l
cos2 x
固有振型曲线与坐标轴的交点为节点，系统固有振动幅值 在节点处为零。对于简单边界条件的杆，第 r 阶固有振型 有 r-1 个节点。
14
复杂边界条件
--反映了杆端的轴力与弹性力（或惯性力）间平衡关系
a. 一端装有刚度系数为k的拉压弹簧时
ku
N
N
ku
u (0, t ) u (l , t ) ku(0, t ) EA 0, ku(l , t ) EA 0 x x
U ( x)U ( x)dx 0
r s
杆的固有振型函数正交关系，它们分别反映了不同阶 次固有振动间既无动能交换又无势能交换. 当
rs
时，定义杆的第r阶模态质量和模态刚度为
2 r
def
Mr
def
l 0
AU ( x)dx K r
l 0
EA[U r ( x)] 2 dx,
1 0
(t ) 2 q(t ) 0 0 q
q1 (t ) b1 b2 t
13
杆的运动为
u1 ( x , t ) b1 b2 t
三种边界条件下杆的前3阶固有振型
sin x
sin x 2
cos 0=1
r 1
sin2 x
sin 3x 2
cos x
sin3 x
sin 5x 2
U (x)U (x)dx
0 r s
l
(a)
20
r 2 l ( ) U r ( x)U s ( x)dx 0
U (x)U (x)dx
0 r s
l
(a)
同理可得
s 2 l ( ) U s ( x)U r ( x)dx 0
l
0
( x)U r ( x)dx (b) Us
(a)-(b)
2 2 r s
2
l
l 0
U r ( x)U s ( x)dx 0
杆的固有频率互异
rs
U
0 l 0
r ( x)U s ( x)dx
0
rs rs
21
U ( x)U ( x)dx 0
r s
U
0 l 0
l
r ( x)U s ( x)dx
0
rs rs
17
t an
是杆的质量与杆端
集中质量的比值。
2
1
1
1/ 2 3.426 tan
3
6.437
g 0
0.860
r r / l
1 0860 . /l
-2
2 3.426 / l 3 6.437 / l
1
l
0
2
4
6
8
19
3.1.2 固有振型函数的正交性
r 2 U r( x) ( ) U r ( x) 0
r 2 ( ) U s ( x)U r ( x) U s ( x)U r( x)
l r 2 l ( x)dx ( ) U s ( x)U r ( x)dx U s ( x)U r 0 0
10
a. 如果杆的质量相对于集中质量 很小，即 1
Al
m
EA ml
k m
tan 2
与将弹性杆视为无质量弹簧得到 的单自由度系统固有频率一致。
18
其中 k EA / l 是整根杆的静拉压刚度。
b. 若杆质量小于集中质量，但比值
1
不是非常小，
可取Taylor展开 tan 3 / 3 ，将频率方程写作
7
u( x , t ) 2 u( x , t ) ( x ) A( x ) [ E ( x ) A( x ) ] f ( x, t ) 2 x x t
直杆纵向受迫振动微分方程
对于均匀材料的等截面直杆， E(x) A(x)为常数
2 2 u( x , t ) u( x , t ) 1 2 f ( x, t ) 2 2 A t x
2 (1
2
3
)
2 解出 1 并Taylor展开至二次项
2 3 4 2 1 ( 1 1) 2 3 3 1 / 3
1
1