第三章_正弦交流电路和向量法

20 j5
解
原式
180.2
j126.2
19.2427.9 7.21156.3 20.6214.04
180.2 j126.2 6.72870.16
180.2 j126.2 2.238 j6.329 182.5 j132.5 225.536 Im
A• ej
(3) 旋转因子：
复数 ej =cos +jsin =1∠
(2) i1(t) 10cos(100 t 300 ) i2(t) 10sin(100 t 150 )
(3) u1(t) 10cos(100 t 300 ) u2(t) 10cos(200 t 450 )
(4) i1(t) 5cos(100 t 300 ) i2(t) 3cos(100 t 300 )
•
2U1
e jwt
2
•
U
2
e jwt
)
Re(
2
•
(U
1
•
U
2
)e
jwt
)
可得其相量关系为： U U1 U 2
U
故同频正弦量相加减运算变 成对应相量的相加减运算。
i1 i2 = i3
I1 I2 I3
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例 u1(t) 6 2cos(314t 30 ) V
U1 630o V
u2(t) 4 2cos(314t 60o ) V
•
I
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4. 相量法的应用
(1) 同频率正弦量的加减
u1(t)
2 U1 cos(w t Ψ 1) Re(
2
•
U
1
e
jw
t
)
u2(t)
2 U2 cos(w t Ψ 2) Re(
2
•
U
2
e
jw
t
)
u(t) u1(t) u2(t) Re(
2
•
U
1
e
jwt
)
Re(
2
•
U
2
e
jwt
)
Re(
| A1 | | A2 |
θ1 θ2
除法：模相除，角相减。
例1. 547 10 25 ?
解 547 10 25 (3.41 j3.657) (9.063 j4.226)
12.47 j0.569 12.48 2.61
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例2. 220 35 (17 j9) (4 j6) ?
常用角度表示。
yy/w
Im O
2 twt
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同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。
i
一般规定：|y | 。
0
t
y =0 y =－/2
y =/2
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例
i
100
50
0 t1
已知正弦电流波形如图，w＝103rad/s， （1）写出 i (t) 表达式；
（2）求最大值发生的时间t1
t 解 i(t) 100cos(103 t y )
f1 T
周期T ：重复变化一次所需的时间。 单位：s，秒
频率f ：每秒重复变化的次数。 单位：Hz，赫(兹)
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正弦电流电路
激励和响应均为正弦量的电路 （正弦稳态电路）称为正弦电路 或交流电路。
研究正弦电路的意义：
（1）正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域占有十分重 要的地位。
优点： 1）正弦函数是周期函数，其加、减、求导、积分 运算后仍是同频率的正弦函数
j 3 4 ( 2) 5 4 0 j 2 5 4 3 4
i2(t) 10cos(100t 1050 )
j 300 (1050 ) 1350
w1 w2
不能比较相位差
i2(t) 3cos(100t 1500 )
j 300 (1500 ) 1200
两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符 号，且在主值范围比较。
有效值也称均方根值 (root-meen-square)
T0
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同样，可定义电压有效值： 正弦电流、电压的有效值
def
U
1 T u2 (t )dt
T0
设 i(t)=Imcos(w t+ )
I
1 T
T 0
I
2 m
cos 2 (
w
t
Ψ
)
dt
T cos2( w t Ψ ) dt
T 1 cos 2(w t Ψ ) 1
则 相位差 ：j = (w t+y u)- (w t+y i)= y u-y i
等于初相位之差
规定： |j | (180°)。
• j >0， u超前i j 角，或i 落后u j 角(u 比i先到达最大值)；
u, i u i
O
wt
yuyi
j
• j <0， i 超前 u j 角，或u 滞后 i j 角,i 比 u 先到达最大值。
(1) 幅值 (amplitude) (振幅、 最大值)Im
反映正弦量变化幅度的大小。
(2) 角频率(angular frequency)ω
相位变化的速度， 反映正弦量变化快慢。
w 2 f 2 T
单位： rad/s ，弧度 / 秒
(3) 初相位(initial phase angle) y
i
T
反映正弦量的计时起点，
故 +j, –j, -1 都可以看成旋转因子。
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3. 正弦量的相量表示
无物理意义
造一个复函数 A(t ) 2Iej(wt)
是一个正弦量 有物理意义
2Icos(wt ) j 2Isin(wt Ψ )
对A(t)取实部： Re[A(t)] 2Icos(w t Ψ ) i(t)
对于任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数
相量的模表示正弦量的有效值 相量的幅角表示正弦量的初相位
同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：
•
u(t) 2U cos(w t θ ) U Uθ
例1 已知
i 141.4cos(314t 30o )A u 311.1cos(314t 60o )V
试用相量表示i, u .
解
•
I
10030o
A
0
Re
A• ej 相当于A逆时针旋转一个角度 ，而模不变。
故把 ej 称为旋转因子。
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几种不同值时的旋转因子
,
2
j
e 2 cos j sin j
2
2
Im
jI
I
0
Re
I
jI
j
, e 2 cos( ) j sin( ) j
2
2
2
, e j cos() j sin() 1
| A |
a2 b2
θ arctg b
a
或
a | A | cosθ
b | A | sinθ
图解法
复数运算
Im
(1)加减运算——采用代数形式
A2
若 A1=a1+jb1， A2=a2+jb2
0
则 A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)
A1 Re
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(2) 乘除运算——采用极坐标形式
U 2 460o V
U U1 U 2 630 460 5.19 j3 2 j3.46
7.19 j6.46 9.6441.9o V
u(t) u1(t) u2(t) 9.64 2cos(314t 41.9o ) V
也可借助相量图计算
Im
U 2
U
U 1
41.9
60 30
Re
首尾相接
2）正弦信号容易产生、传送Leabharlann Baidu使用。
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（2）正弦信号是一种基本信号，任何变化规律复杂的信号 可以分解为按正弦规律变化的分量。
n
f (t) Ak cos(kwt k ) k 1
对正弦电路的分析研究具有重要的理论 价值和实际意义。
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2. 正弦量的三要素
i(t)=Imcos(w t+y)
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第二节 正弦量的相量表示
1. 问题的提出：
电路方程是微分方程：
+i R u
C L
LC
d 2uC dt
RC
duC dt
uC
u(t )
_
两个正弦量的相加：如KCL、KVL方程运算。
i1 2 I1 cos(w t y 1 ) i2 2 I2 cos(w t y 2 )
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ui1, i
若 A1=|A1| 1 ，A2=|A2| 2
则:
A1 A2
A1 e j1
A2 e j2
A1
A e j(1 2 ) 2
A1 A2 1 2 乘法：模相乘，角相加。
A1 A2
| A1 |θ 1 | A2 |θ 2
| A1 | ejθ1 | A2 | ejθ 2
| A1 | ej(θ1θ 2 ) | A2 |
w
i1
i2
w
角频率： I1 0
i2 I2
有效值： 1
2
初相位：
i1+ii23wi3
wI3t 3
因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只 要确定初相位和有效值(或最大值)就行了。因此，
正弦量
复数
实际是变 换的思想
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2. 复数及运算
A=a+jb
复数A的表示形式
Im
b
A
0
a Re
A a jb
U
Im
U 2
U 1
60
41.9
30
Re
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2 . 正弦量的微分，积分运算
i 2 I cos(w t y i ) I Iy i
微分运算:
di d Re 2 Ie jw t
dt dt
Re 2I jw e jw t
di dt
jw
I
w
I
yi
2
积分运算:
idt Re 2Ie jw t dt
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特殊相位关系：
j = (180o ) ，反相：
j ＝ 0， 同相：
u, i
u, i
u
0
i
0
wt
u, i
u
j=± /2，正交
i
0
u
iw t
wt
同样可比较两个电压或两个电流的相位差。
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例 计算下列两正弦量的相位差。 解
(1) i1(t) 10cos(100 t 3 4) i2(t) 10cos(100 t 2)
第3章 正弦交流电路和相量法
重点： 1. 正弦量的表示、相位差； 2. 正弦量的相量表示 3. 电路定理的相量形式；
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第一节 正弦量
1. 正弦量
瞬时值表达式：
i
T
波形：
i(t)=Imcos(w t+y)
y/w O
t
正弦量为周期函数 f(t)=f ( t+kT)
周期T (period)和频率f (frequency) :
U=380V，
Um537V。
i , I m , I 注 （1）工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备
铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的 是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值 考虑。
（2）测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读数一 般为有效值。
（3）区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。
A
•
U 220 60o V
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例2
•
已知I
5015
A,
f
50Hz .
试写出电流的瞬时值表达式。
解 i 50 2cos(314t 15 ) A
相量图
•
U
在复平面上用向量表示相量的图
i(t) 2Icos(ω t ) I I
u(t) 2Ucos(w t θ ) U Uθ
i
2Icos(w t Ψ)
A(t)
j(w tΨ)
2Ie
A(t)还可以写成
A(t ) 2Ie jy ejwt 2Ie jwt
复常数
A(t)包含了三要素：I、 、w ，复常数包含了I , 。
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称
•
I
I为Ψ正弦量 i(t) 对应的相量。
•
i(t) 2I cos(w t Ψ) I IΨ
dt t
T
1 T
0
0
2
20 2
I
1 T
I
2 m
T 2
Im 2
0.707Im
Im 2I
i(t) Im cos(w t Ψ ) 2I cos(w t Ψ )
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同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：
1 U 2 Um
或 Um 2U
若一交流电压有效值为U=220V，则其最大值为Um311V；
(j 1 为虚数单位)
Im
b
A
|A|
0
a Re
A | A | e j
A | A | e j | A | (cos j sin ) a jb
A | A | e j | A |
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两种表示法的关系：
A=a+jb
A=|A|ej =|A|
直角坐标表示 极坐标表示
Im
b
A
|A|
0
a Re
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4. 周期性电流、电压的有效值
周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其平 均效果工程上采用有效值来表示。
周期电流、电压有效值(effective value)定义
直流I R
物
交流i R
理
意
义 W RI 2T
W T Ri2(t)dt 0
电流有效 值定义为
def
I
1
T i 2 (t )dt
t 0 50 100cosy
由于最大值发生在计时起点右侧
i(t) 100cos(103 t )
3 当 103 t1 3 有最大值
y 3 y
3
t1＝1033 ＝1.047ms
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3. 同频率正弦量的相位差 (phase difference)。
设 u(t)=Umcos(w t+y u), i(t)=Imcos(w t+y i)
Re
2
I
jw
e
jw
t
idt
I
jw
I
w
yi
2
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例 i(t) R
i(t) 2 I cos(w t y i )
+
u(t) -C
L
u(t) Ri L di 1 idt dt C
用相量运算：
U RI jwLI I jwC
相量法的优点：
（1）把时域问题变为复数问题； （2）把微积分方程的运算变为复数方程运算； （3）可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路；