量子力学考试题

量子力学考试题

（共五题，每题20分）

1、扼要说明：

（a ）束缚定态的主要性质。

（b ）单价原子自发能级跃迁过程的选择定则及其理论根据。 2、设力学量算符（厄米算符）∧

F ，∧

G 不对易，令∧K ＝i （∧F ∧G -∧G ∧

F ），试证明：

（a ）∧

K 的本征值是实数。

（b ）对于∧

F 的任何本征态ψ，∧

K 的平均值为0。

（c ）在任何态中2F +2

G ≥K

3、自旋 /2的定域电子（不考虑“轨道”运动）受到磁场作用，已知其能量算符为

S H ˆˆω=

∧

H ＝ω∧

z S +ν∧

x S （ω，ν>0，ω»ν）

（a ）求能级的精确值。

（b ）视ν∧

x S 项为微扰，用微扰论公式求能级。

4、质量为m 的粒子在无限深势阱（0

5、某物理体系由两个粒子组成，粒子间相互作用微弱，可以忽略。已知单粒子“轨道”态只有3种：a ψ(→

r )，b ψ(→

r )，c ψ(→

r )，试分别就以下两种情况，求体系的可能（独立）状态数目。 （i ）无自旋全同粒子。

（ii ）自旋 /2的全同粒子（例如电子）。

量子力学考试评分标准

1、（a ），（b ）各10分

（a ）能量有确定值。力学量（不显含t ）的可能测值及概率不随时

间改变。 （b ）（n l m m s ）→（n’ l’ m’ m s ’）

选择定则：l ∆＝1±，m ∆＝0,1±，s m ∆＝0 根据：电矩m 矩阵元-e →

r n’l’m’m s ’，n l m m s ≠0 2、（a ）6分（b ）7分（c ）7分 （a ）∧

K 是厄米算符，所以其本征值必为实数。

（b ）∧

F ψ＝λψ，ψ∧

F ＝λψ K ＝ψ∧

K ψ＝i ψ∧F ∧

G -∧

G ∧F ψ ＝i λ｛

ψ∧

G ψ-ψG ψ｝＝0 （c ）(∧F +i ∧G )(∧F -i ∧G )=∧

F 2

+∧

G 2-∧

K

ψ(∧F +i ∧G )(∧F -i ∧G )ψ=︱(∧

F -i ∧

G )ψ︱2≥0 ∴<∧

F 2

+∧

G 2

-∧

K >≥0，即2F +2

G ≥K 3、(a)，(b)各10分

(a) ∧

H ＝ω∧

z S +ν∧

x S ＝2 ω［1001-］+2 ν［0110］＝2 ［ων

ν

ω

-］

∧

H ψ＝E ψ，ψ＝［b a ］，令E ＝2

λ，则

［λωννλω---］［b a ］＝0，︱λων

ν

λω---︱ ＝2λ-2ω-2ν＝0 λ＝±22νω+，E 1＝-2 2

2νω+，E 2＝2

22νω+ 当ω»ν，22νω+＝ω（1+22ων）1/2≈ω（1+2

22ων）＝ω+ων22

E 1≈-2 ［ω+ων22］，E 2 ＝2

［ω+ων22］

（b ）∧

H ＝ω∧z S +ν∧

x S ＝∧H 0+∧H ’

，∧

H 0＝ω∧

z S ，∧

H ’

＝ν∧

x S

∧

H 0本征值为ω 21±

，取E 1（0）＝-ω 21，E 2（0）

＝ω 21

相当本征函数（S z 表象）为ψ1(0)＝[10]，ψ2(0)＝[01

]

则∧

H ’之矩阵元（S z 表象）为

'11H =0，'22H =0，'12H ＝'

21H ＝ν 21

E 1＝E 1

（0）+'

11H +

)0(2)0(12'21

E E H

-＝-ω 21+0-ων

2241＝-ω

21-ων241 E 2＝E

2

（0）

+'

22H +)0(1)0(2

2

'

12

E E H -＝ω 21+ων241

4、E 1＝2

22

2ma π，)(1x ψ＝⎪⎩⎪⎨⎧0sin 2a x

a π a x x a x ≥≤<<,00

x ＝dx x a ⎰02

1

ψ＝2sin 20

2a dx a x x a a

=⎰π x p ＝-i ⎰=a dx dx d

011ψψ-i ⎰=a

a x d a 020)sin 21(2π x xp ＝-i ⎰⎰-=a

a

a x d a x x a i dx dx d x 00

11)(sin sin 2ππψψ ＝

⎰-a a x xd a i 02)

(sin 1π ＝0sin [12a a x x a i π --⎰a

dx a x 02]sin π

＝0+⎰=a

i dx ih 0

2

122 ψ 四项各5分

5、（i ），（ii ）各10分

（i ）s ＝0，为玻色子，体系波函数应交换对称。

),(21→

→r r ψ有：)(1→

r a ψ→

)(2r a ψ，)(1→

r b ψ→

)(2r b ψ，)(1→

r c ψ→

)(2r c ψ，

)]

()()()([21

2121→

→→→+r r r r a b b a ψψψψ a c c a b c c b 共6种。

（ii ）s ＝21

，单粒子态共6种：

⎥

⎦⎤⎢⎣⎡0

1a ψ，

⎥

⎦⎤⎢⎣⎡1

0a ψ，

⎥

⎦⎤⎢⎣⎡0

1b ψ，

⎥

⎦⎤⎢⎣⎡1

0b ψ，

⎥

⎦⎤

⎢⎣⎡0

1c ψ，

⎥

⎦⎤⎢⎣⎡1

0c ψ。

任取两个，可构成体系（交换）反对称态，如