弯矩曲率计算示例

弯矩曲率计算示例

(现代预应力混凝土结构，杜拱辰，1986年，中国建筑工业出版社，P254)

弯矩曲率分析一般分两个阶段进行：梁未开裂；梁已开裂。第一阶段一般假定为弹性阶段。第二阶段材料的应力应变关系是非线性的。

如图所示的梁截面尺寸，2mm 784=p A ，2mm 402=s A ，混凝土的应

力应变关系为二次抛物线，即 ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2002εεεεσc c f ；为简化计算及说明过程，假定预应力高强高筋的极限强度和其屈服强度相等，即

MPa 15402.0==p pu f f ；普通钢筋的屈服强度为MPa 400=y f ；预应力筋

的有效应力为MPa 1000=pe f ；MPa 1025⨯==s p E E ；MPa 35=c f ；

MPa 7.3=t f ；MPa 108.24⨯=c E ,求下列各个阶段的弯矩及曲率：

（1） 初始阶段，即外弯矩为零，MPa 1000=pe f ； （2） 预应力筋水平处混凝土的应变为零；

（3） 裂缝出现，即混凝土达到其抗拉强度MPa 7.3=t f ；

（4） 梁截面顶纤维混凝土压应变达到＝0.001 （5） 梁截面顶纤维混凝土压应变达到＝0.002 （6） 梁截面顶纤维混凝土压应变达到＝0.003

并将各阶段的弯矩、曲率、预应力及非预应力筋的应力列表并绘制出截面在加载直到破坏为止全过程的弯矩曲率图。 求解过程如下 （1）初始阶段：

采用毛截面特征值和pe p e f A P =来计算截面的应力和应变，截面几何特征：23mm 10180⨯=A ，49mm 104.5⨯=I ，kN 7841000784=⨯==pe p e f A P 有效预加力kN 784=e P 及偏心矩mm 180=e 对截面引起的应力和相应的应变如图所示：

当外力矩（包括自重）0=M 时，截面曲率：

600

10)436.0123.0(3-⨯+-=ϕ=-0.993rad/mm 106-⨯

非预应力筋的压应力＝MPa 8.77389.010235-=⨯⨯-=-s s E ε

预应力筋在有效应力下的应变3105200000/1000-⨯===p pe pe E f ε

（2）预应力筋水平处混凝土应变为零阶段：一个对应预应力筋水平处产生拉应变为310324.0-⨯的外加力矩将使混凝土应变为零，并使预应力筋产生同样的拉伸应变，因此预应力筋的应变将增加到：

33310324.510324.0105---⨯=⨯+⨯=+=ce pe ps εεε

相应的预应力筋中的应力为：

MPa 8.106410324.510235=⨯⨯⨯==-ps p ps E εσ

预应力筋中的拉力为：

kN 8.8348.1064784=⨯==ps p A P σ

在kN 8.834=P 作用下，截面混凝土的应力分布如下图所示。

为使预应力筋水平处混凝土应力由MPa 64.9-降到零，需要增加的外弯矩为：

kNm 0.289180

64.9104.53=⨯⨯==e I M σ

在这一外力矩M 作用下，混凝土截面应力及曲率如下图所示：

非预应力筋的应力：

MPa 7.12100636.010235=⨯⨯⨯==-s s s E εσ

rad/m m 10917.0600

10)109.0441.0(63

--⨯=⨯+-=ϕ

（3）开裂阶段：

截面开裂点将为截面弯矩曲率线弹性关系的终点。在阶段（2），截面底纤维已经存在3.06MPa 的拉应力，由于混凝土出现裂缝的抗拉强度为 3.7MPa, 为产生拉应力MPa 64.006.37.3=-=∆σ，所需要增加的

弯矩kNm 5.1130064

.0104.59=⨯⨯∆=

∆y I M σ。因此开裂弯矩为： kNm 5.3005.11289=+=cr M

由M ∆对预应力筋产生的拉应力为：

MPa 7.2104.5180

105.1114.79

6=⨯⨯⨯==∆=∆I Me n n p c p ps

σσ

因此开裂弯矩下，预应力筋中的应力为：

MPa 8.10677.28.1064=+=ps σ

由M ∆对非预应力筋产生的拉应力为：

MPa 8.3104.5250

105.1114.79

6=⨯⨯⨯==∆I My n s s σ

因此开裂弯矩下，非预应力筋中的拉应力为：

MPa 5.168.37.12=+=s σ

由纤维应力0.64MPa 而增加的曲率如下图所示：

在开裂弯矩作用下，截面的开裂曲率等于阶段（2）的曲率与开裂增加曲率之和，也就是：

rad/mm 10993.010)076.0917.0(66--⨯=⨯+=cr ϕ

（4）截面顶纤维混凝土压应变 001.0=c ε

截面开裂时的压应变是（2）和（3）两个阶段的计算结果之和，

34310464.010229.010441.0---⨯-=⨯-⨯-=c ε，小于0.001, 因此应采用开裂

截面分析。

顶纤维混凝土的应力为：

MPa 25.26002.0001.0002.0001.023522200=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=εεεεσc c f

dx x x bf dx b C c

c c

c c ⎰⎰⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛-==02022002εφεφσ

积分简化：

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=02031εφεφc c bf C c

c