算法设计与分析课程设计说课材料

算法设计与分析课程设计算法设计与分析课程设计一、课程题目零钱问题贪心算法实现二、课程摘要1）题目描述使用贪心算法设计思想设计算法实现找零钱问题。

例题13-4 一个小孩买了价值少于1美元的糖，并将1美元的钱交给售货员。

售货员希望用数目最少的硬币找给小孩。

假设提供了数目不限的面值为2 5美分、1 0美分、5美分、及1美分的硬币。

售货员分步骤组成要找的零钱数，每次加入一个硬币。

选择硬币时所采用的贪婪准则如下：每一次选择应使零钱数尽量增大。

为保证解法的可行性（即：所给的零钱等于要找的零钱数），所选择的硬币不应使零钱总数超过最终所需的数目。

1）在给定钱币面值的前提下，实现找回尽量少硬币的输出方案2）分析算法性能2）贪心算法简述在求最优解问题的过程中，依据某种贪心标准，从问题的初始状态出发，直接去求每一步的最优解，通过若干次的贪心选择，最终得出整个问题的最优解，这种求解方法就是贪心算法。

从贪心算法的定义可以看出，贪心法并不是从整体上考虑问题，它所做出的选择只是在某种意义上的局部最优解，而由问题自身的特性决定了该题运用贪心算法可以得到最优解。

贪心算法所作的选择可以依赖于以往所作过的选择，但决不依赖于将来的选择，也不依赖于子问题的解，因此贪心算法与其它算法相比具有一定的速度优势。

如果一个问题可以同时用几种方法解决，贪心算法应该是最好的选择之一。

本文讲述了贪心算法的含义、基本思路及实现过程，贪心算法的核心、基本性质、特点及其存在的问题。

并通过贪心算法的特点举例列出了以往研究过的几个经典问题，对于实际应用中的问题，也希望通过贪心算法的特点来解决。

三、课程引言首先，证明找零钱问题的贪婪算法总能产生具有最少硬币数的零钱。

证明：（1）找零钱问题的最优解必以一个贪心选择开始，当总金额为N,硬币面值为25，10，5，1时。

设最大容许的硬币面值为m,最优解必包含一个面值为m的硬币:设A是一个最优解，且A中的第i个硬币面值为f(i)。

当f(1)=m（此处为25）,得证；若f(1)<m,则：A中若存在Ak,使f(k)=m,将第i个硬币与第1个调换位置，硬币数目不变，仍是一个最优解。

A中若不存在Ak使f(k)=m,则必有n个硬币(n>1)之和<m,用m代替它们后得到一个最优解B,因B的数目小于A,这与A是最优解矛盾。

故此问题总有最优解始于贪心选择。

（2）已证明A 是最优解且A 始于贪心选择。

则A'=A-{1}是找出总额为M-f(1)零钱的一个最优解。

若有解B'使找零钱数少于A',则将m 加入B'中，得到一个原问题的最优解且优于A ，这与A 是最优解矛盾。

可见每步所作的贪心选择都将原问题简化为一个规模较小的子问题，对贪心步数归纳,得证此问题贪心必有最优解。

四、课程正文1） 算法设计、分析解决找零钱问题用动态规划来解，归结到动态规划上面就变成了无限背包问题（因为收银台的硬币默认是无穷的，但一种改进版本可以考察有限硬币的情况）。

区别在于，现在我们需要求一个最少的硬币数而不是最大值。

但是选择的情况也是相同的，即每次选择都可以选择任何一种硬币。

首先，找零钱问题具有最优子结构性质：兑换零钱问题的最优子结构表述：对于任意需要找的钱数j ，一个利用T[n]中的n 个不同面值钱币进行兑换零钱的最佳方案为P(T(1),j)，P(T(2),j),...,P(T(n),j)，即此时的最少钱币个数，则P(T(2),j),...,P(T(n),j)一定是利用T[n]中n 个不同的面值钱币对钱数j=j-P(T(1),j)* T(1)进行兑换零钱的最佳方案。

其次，找零钱问题具有重叠于问题性质：a)当n=1时，即只能用一种钱币兑换零钱，钱币的面值为T[0]，有b)当n>1时，若j>T[n],即第n 种钱币面值比所兑换零钱数小,因此有。

当k 为时，C(n,j)达到最小值，有P(T(k0),j)=P(T()，j-T())+1若j=T[n]，即用n 种钱币兑换零钱，第n 种钱币面值与兑换零钱数j 相等，此时有C(n,j)=C(n,T[n])=1；若j<T[n]，即第n 种钱币面值比所兑换零钱数大，因此兑换零钱只需考虑前n-1种钱币即可，故有C(n,j)=C(n-1,j)，且P(T(n-1),j)=0。

从以上讨论可知该问题具有重叠子问题性质。

（1） 根据分析建立正确的递归关系。

答：∑==n 1j)P(T(k),),(k j n C }1])[,({),(min 1+-=≤≤k T j n C j n C n k n)i (1k 0≤≤0k 0k {][,1][,0])[,(),(n T i n T i n T i P j i P =≠=={ T[i];j 0 j)1,-C(i T[i]j 1)T[i])-j C(i,j),1,-min(C(i j)C(i,<≤≥+=0]1[%0]1[%≠=T j T j {∞=]1[/),1(T j j C 0]1[%0]1[%≠=T j T j {∞=]1[/),1(T j j C（2） 分析利用你的想法解决该问题可能会有怎样的时空复杂度。

答：算法的时间复杂度主要取决于程序的两个循环，所以算法的时间复杂度为；算法执行过程中引入了一个二维数组，随着输入规模的增大，所需要的空间复杂度为：考虑例1 3 - 4的找零钱问题，假设售货员只有有限的2 5美分， 1 0美分， 5美分和1美分的硬币，给出一种找零钱的贪婪算法。

这种方法总能找出具有最少硬币数的零钱吗？证明结论。

源代码如下：# include <iostream>using namespace std;const int C=33;const int M=100; //小孩给的钱数const int twentyfnum=3; //25美分硬币const int tennum=3; //10美分硬币const int fivenum=3; //5美分硬币const int onenum=3; //1美分硬币const int tnum=twentyfnum+tennum+fivenum+onenum; //硬币的总数量int main(){int a[tnum],i; //数组初始化,数组中的元素由大到小排列int *p=a;for(i=0;i<twentyfnum;i++) *p++=25;for(i=0;i<tennum;i++) *p++=10;for(i=0;i<fivenum;i++) *p++=5;for(i=0;i<onenum;i++) *p++=1;bool b[tnum];q,int n,int c);if(findmoney(a,b,tnum,M-C))int c[4]={0}; //存放应找个各面值硬币的数量bool findmoney(int *p,bool *{for(i=0;i<tnum;i++)if(b[i]==true)switch(a[i]){case 25: c[0]++;break;case 10: c[1]++;break;case 5: c[2]++;break;case 1: c[3]++;break;})O(n 2)O(n 2cout<<"找钱方案:"<<endl;cout<<"25美分:"<<c[0]<<"枚,"<<"10美分:"<<c[1]<<"枚,"<<"5美分:"<<c[2]<<"枚,"<<"1美分:"<<c[0]<<"枚"<<endl;}else cout<<"零钱不够";system("pause");return 0;}bool findmoney(int *p,bool *q,int n,int c){for(int i=0;i<n;i++)if(p[i]<=c&&c!=0){q[i]=true;c-=p[i];if(c==0) break;}if(c==0) return true;else return false;}在此程序中，程序没有实现输入和输出的模块，但是具有了找零钱问题的贪心算法解决模块，所以需要在此程序的基础上进一步优化，改进后的代码如下：#include<iostream>using namespace std;void Zl(double num){int leave=0;double a[8];leave = (int)(num*10)%10;a[1] = leave/5;a[0] = (leave%5)/1;a[7] = num/50;a[6] = ((int)num%50)/20;a[5] = (((int)num%50)%20)/10;a[4] = ((((int)num%50)%20)%10)/5;a[3] = (((((int)num%50)%20)%10)%5)/2;a[2] = ((((((int)num%50)%20)%10)%5)%2)/1;if(a[0]!=0)cout<<"需要找的0.1元个数为："<<a[0]<<endl;if(a[1]!=0)cout<<"需要找的0.5元个数为："<<a[1]<<endl;if(a[2]!=0)cout<<"需要找的1元个数为："<<a[2]<<endl; if(a[3]!=0)cout<<"需要找的2元个数为："<<a[3]<<endl; if(a[4]!=0)cout<<"需要找的5元个数为："<<a[4]<<endl; if(a[5]!=0)cout<<"需要找的10元个数为："<<a[5]<<endl; if(a[6]!=0)cout<<"需要找的20元个数为："<<a[6]<<endl; if(a[7]!=0)cout<<"需要找的50元个数为："<<a[7]<<endl; }int main(){double num;cout<<"请输入你需要找的零钱数："<<endl;cin>>num;Zl(num);cout<<endl;return 0;}2）实验结果比较上一步骤中两个源代码运行结果分别如下：第一个的运行结果第二个运行结果比较上面两个算法，第二个算法在第一个的基础上增加了输入输出功能，方便得到任意数值零钱问题的最优解。