2021小学奥数六年级下册数学工程问题分类讲解含解析

2021小学奥数六年级下册数学工程问题分类讲解含解析工程问题是小学数学应用题教学中的重点，是分数应用题的引申与补充，是培养学生抽象逻辑思维能力的重要工具。

工程问题是把工作总量看成单位“1”的应用题，它具有抽象性，学生认知起来比较困难。

在教学中，让学生建立正确概念是解决工程应用题的关键。

一．工程问题的基本概念定义：工程问题是指用分数来解答有关工作总量、工作时间和工作效率之间相互关系的问题。

工作总量：一般抽象成单位“1”工作效率：单位时间内完成的工作量三个基本公式：工作总量=工作效率×工作时间，工作效率=工作总量÷工作时间，工作时间=工作总量÷工作效率；二、为了学好分数、百分数应用题，必须做到以下几方面：①具备整数应用题的解题能力，解决整数应用题的基本知识，如概念、性质、法则、公式等广泛应用于分数、百分数应用题；②在理解、掌握分数的意义和性质的前提下灵活运用；③学会画线段示意图．线段示意图能直观地揭示“量”与“百分率”之间的对应关系，发现量与百分率之间的隐蔽条件，可以帮助我们在复杂的条件与问题中理清思路，正确地进行分析、综合、判断和推理；④学会多角度、多侧面思考问题的方法．分数、百分数应用题的条件与问题之间的关系变化多端，单靠统一的思路模式有时很难找到正确解题方法．因此，在解题过程中，要善于掌握对应、假设、转化等多种解题方法，不断地开拓解题思路．三、利用常见的数学思想方法：如代换法、比例法、列表法、方程法等抛开“工作总量”和“时间”，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，最后再利用先前的假设“把整个工程看成一个单位”，求得问题答案．一般情况下，工程问题求的是时间．熟练掌握工程问题的基本数量关系与一般解法；（1）工程问题中常出现单独做，几人合作或轮流做，分析时一定要学会分段处理；（2）根据题目中的实际情况能够正确进行单位“1”的统一和转换；（3）工程问题中的常见解题方法以及工程问题算术方法在其他类型题目中的应用．一、 周期性工程问题【例 1】 一件工程，甲单独做要6小时，乙单独做要10小时，如果接甲、乙、甲、乙．．．顺序交替工作，每次1小时，那么需要多长时间完成？【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 甲1小时完成整个工程的16，乙1小时完成整个工程的110，交替干活时两个小时完成整个工程的11461015+=，甲、乙各干3小时后完成整个工程的443155⨯=，还剩下15，甲再干1小时完成整个工程的16，还剩下130，乙花13小时即20分钟即可完成．所以需要7小时20分钟来完成整个工程． 【答案】7小时20分钟【巩固】 一项工程，甲单独完成需l2小时，乙单独完成需15小时。

甲乙合做1小时后，由甲单独做1小时，再由乙单独做1小时，……，甲、乙如此交替下去，则完成该工程共用________小时。

【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】2008年，希望杯，第六届，五年级，一试 【解析】 甲乙合做1小时后，还剩下：11171151220--=，甲乙单独做2小时，共做113151220+=，还需要做2×5=10小时，还剩下110，需要甲做1小时，还有111101260-=，乙还需要做11160154÷=小时，一共需要1+10+1+ 0.25=12.25小时【答案】8.5天【例 2】 一项工程，乙单独做要17天完成．如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做，那么恰好用整天数完成；如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，那么比上次轮流的做法多用半天完工．问：甲单独做需要几天？【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答【解析】 甲、乙轮流做，如果是偶数天完成，那么乙、甲轮流做必然也是偶数天完成，且等于甲、乙轮流做的天数，与题意不符；所以甲、乙轮流做是奇数天完成，最后一天是甲做的．那么乙、甲轮流做比甲、乙轮流做多用半天，这半天是甲做的．如果设甲、乙工作效率分别为1V 和2V ，那么12112V V V =+，所以122V V =，乙单独做要用17天，甲的工作效率是乙的2倍，所以甲单独做需要例题精讲1728.5÷=天．【答案】8.5天【巩固】规定两人轮流做一个工程，要求第一个人先做1个小时，第二个人接着做一个小时，然后再由第一个人做1个小时，然后又由第二个人做1个小时，如此反复，做完为止．如果甲、乙轮流做一个工程需要9.8小时，而乙、甲轮流做同样的工程只需要9.6小时，那乙单独做这个工程需要多少小时？【考点】工程问题【难度】4星【题型】解答【解析】根据题意，有：10.8 10.6++甲乙甲乙甲小时乙小时乙甲乙甲乙小时甲小时，可知，甲做10.60.4-=小时与乙做10.80.2-=小时的工作量相等，故甲工作2小时，相当于乙1小时的工作量．所以，乙单独工作需要9.85527.3-+÷=小时．【答案】7.3小时【例 3】蓄水池有一条进水管和一条排水管．要灌满一池水，单开进水管需5小时；排光一池水，单开排水管需3小时．现在池内有半池水，如果按进水，排水，进水，排水……的顺序轮流各开1小时．问：多长时间后水池的水刚好排完？(精确到分钟)【考点】工程问题【难度】4星【题型】解答【解析】法一：1小时排水比1小时进水多1123515-=，121321510÷=，说明排水开了3小时后（实际加上进水3小时，已经过去6小时了），水池还剩一池子水的110，再过1小时，水池里的水为一池子水的113 10510+=，把这些水排完需要31910310÷=小时，不到1小时，所以共需要996171010++=小时7=小时54分．法二：1小时排水比1小时进水多1123515-=，211415230⨯-=，说明8小时以后，水池的水全部排完，并且多排了一池子水的130，排一池子需要3小时，排一池子水的130需要1133010⨯=小时，所以实际需要19871010-=小时7=小时54分． 【答案】7小时54分【巩固】 蓄水池有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管，要灌满一池水，单开甲管需3小时，单开丙管需要5小时，要排光一池水，单开乙管需要4小时，单开丁管需要6小时，现在池内有16的水，若按甲、乙、丙、丁、甲、乙、丙、丁……的顺序轮流打开1小时，问多少时间后水开始溢出水池？【考点】工程问题 【难度】5星 【题型】解答【解析】 甲乙丙丁顺序循环各开1小时可进水：11117345660-+-=，循环5次后水池还空：171156604--⨯=，14的工作量由甲管注水需要：113434÷=(小时)，所以经过33452044⨯+=小时后水开始溢出水池． 【答案】3204二、 水管问题【例 4】 一池水，甲、乙两管同时开，5小时灌满；乙、丙两管同时开，4小时灌满．现在先开乙管6小时，还需甲、丙两管同时开2小时才能灌满．乙单独开几小时可以灌满？【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 由于甲、乙和乙、丙的工作效率之和都知道了，根据“现在先开乙管6小时，还需甲、丙两管同时开2小时灌满”，我们可以把乙管的6小时分成3个2小时，第一个2小时和甲同时开，第二个2小时和丙同时开，第三个2小时乙管单独开．这样就变成了甲、乙同时开2小时，乙、丙同时开2小时，乙单独开2小时，正好灌满一池水．可以计算出乙单独灌水的工作量为1111225410-⨯-⨯=，所以乙的工作效率为：11(622)1020÷--=，所以整池水由乙管单独灌水，需要112020÷=（小时）． 【答案】20小时【巩固】 某水池可以用甲、乙两个水管注水，单开甲管需12小时注满，单开乙管需24小时注满，若要求10小时注满水池，且甲、乙两管同时打开的时间尽量少，那么甲、乙最少要同时开放 小时．【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】要想同时开的时间最小，则根据工效，让甲“满负荷”地做，才可能使得同时开放的时间最小．所以，乙开放的时间为1111041224⎛⎫-⨯÷=⎪⎝⎭(小时)，即甲、乙最少要同时开放4小时．【答案】4小时【例 5】一个蓄水池，每分钟流入4立方米水.如果打开5个水龙头，2小时半就把水池水放空，如果打开8个水龙头，1小时半就把水池水放空.现在打开13个水龙头，问要多少时间才能把水放空？【考点】工程问题【难度】3星【题型】解答【解析】先计算1个水龙头每分钟放出水量.2小时半比1小时半多60分钟，多流入水4 × 60= 240（立方米）.时间都用分钟作单位，1个水龙头每分钟放水量是240 ÷（5× 150- 8 × 90）= 8（立方米），8个水龙头1个半小时放出的水量是8 × 8 × 90，其中90分钟内流入水量是4 × 90，因此原来水池中存有水8 × 8 × 90-4 × 90= 5400（立方米）.打开13个水龙头每分钟可以放出水8×13，除去每分钟流入4，其余将放出原存的水，放空原存的5400，需要5400 ÷（8 × 13- 4）=54（分钟）.所以打开13个龙头，放空水池要54分钟.水池中的水，有两部分，原存有水与新流入的水，就需要分开考虑，解本题的关键是先求出池中原存有的水.这在题目中却是隐含着的.【答案】54分钟【巩固】一个蓄水池有1个进水口和15个出水口，水从进水口匀速流入．当池中有一半的水时，如果打开9个出水口，9小时可以把水排空．如果打开7个出水口，18小时可以把水排空．如果是一满池水，打开全部出水口放水，那么经过时分水池刚好被排空．【考点】牛吃草问题【难度】3星【题型】填空【关键词】对比思想方法【解析】本题是牛吃草问题的变形．设每个出水口每小时的出水量为1，则进水口每小时的进水量为：(71899)(189)5⨯-⨯÷-=，半池水的量为：(95)936-⨯=，所以一池水的量为72．如果打开全部15个出水口，排空水池所需要的时间为72(155)7.2÷-=小时，即7小时12分钟．【答案】7小时12分钟【例 6】一个水箱，用甲、乙、丙三个水管往里注水．若只开甲、丙两管，甲管注入18吨水时，水箱已满；若只开乙、丙两管，乙管注入27吨水时，水箱才满．又知，乙管每分钟注水量是甲管每分钟注水量的2倍．则该水箱最多可容纳多少吨水？【考点】工程问题【难度】4星【题型】解答【解析】由于乙管每分钟注水量是甲管每分钟注水量的2倍．那么甲管注入18吨水的时间是乙管注入18236⨯=吨水的时间，则甲管注入18吨水的时间与乙管注入27吨水的时间比是36:274:3=．那么在这两种情况下丙管注水的时间比为4:3，而且前一种情况比后一种情况多注入27189-=吨水，则甲管注入18吨水时，丙管注入水9(43)436÷-⨯=吨． 所以该水箱最多可容纳水183654+=吨．【答案】54吨【巩固】 一个水箱有甲、乙、丙三根进水管，如果只打开甲、丙两管，甲管注入30吨水时，水箱已满；如果只打开乙、丙两管，乙管注入40吨水时，水箱才满．已知乙管每分钟注水量是甲管的1.5倍，则该水箱注满时可容纳 吨水．【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 方法一：乙注入40吨水的时间相当于甲注入401.5吨水的时间，甲注入30吨水，丙可注水量为x ，那么，乙注40吨水丙可注水量为4011.530x ⨯，所以4013040 1.530x x +=+⨯，解得90x =，9030120+=（吨）为水箱容量。