中考数学辅导之—简单的二元二次方程组

中考数学辅导之—简单的二元二次方程组

一、学习目标

1、 了解二元二次方程、二元二次方程组的概念。

2、 把握由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组、由一个二元二次方程和一个能够分解为两个二元一次方程的方程组成的方程组的解法。

3、 通过解简单的二元二次方程组，进一步明白得“消元、降次”的数学方法，获得对事物能够相互转化的进一步认识。

二、基础知识及应注意的问题

1、 关于二元二次方程、二元二次方程组的概念的学习，应注意联系二元一次方程、二元一次方程组的意义，在对比中加深对概念的明白得。

2、 解二元二次方程组确实是求方程组中两个方程的公共解(或者说明那个方程组无解)；解二元二次方程组的差不多思想是消元和降次，消元确实是把二元化为一元，降次确实是把二次降为一次；其目的确实是把二元二次方程组转化为二元一次方程组、一元二次方程甚至一元一次方程来解。

3、 关于由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，通常用“代入消元法”进行消元、降次，这是把二元方程转化为一元方程的差不多途径。

4、 关于形如 x ＋y ＝a 的方程组，不仅能够用代入法来解，而且能够联系 xy ＝b

已学过的一元二次方程的根与系数的关系，把x 、y 看作是一个一元二次方程的两个根，通过解一元二次方程来求得二元二次方程组的解。

5、 关于由一个二元二次方程和一个能够分解为两个二元一次方程的方程组成的方程组，求解时应注意把握如下三点：

(1)分析方程组，找出能够分解因式的那个二元二次方程的特点，并把它变形为两个二元一次方程。

(2)把两个二元一次方程分别与另一个二元二次方程组成两个二元二次方程组。

(3)用代入法分别解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的这两个二元二次方程组。

三、例题

例1：解方程组 x 2＋y 2＝25 …①

4x －3y ＝0 …②

分析：

(1)这是一个由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组，与解二元一次方程组类似，能够用代入法来解。

(2)方程②是一个二元一次方程，把那个方程变形为x y =34

，就可把未知数x 用未知数y 的代数式来表示。

(3)把x y =34

代入方程①，即可消去未知数x ，得到一个关于y 的一元二次方程，解那个方程即可得y 的值，再把y 的值代入x y =34

，就可求出未知数x

的值，从而得到方程组的解。 解：由②得：x y =34

…③ 把③代入①得，(34

y )2＋y 2＝25 解那个方程得：y 1＝4, y 2＝-4

把y 1代入③得：x 1＝3

把y 2代入③得：x 2＝-3

∴原方程组的解为： x 1＝3 x 1＝-3

y 1＝4， y 1＝-4；

例2 x ＋y ＝12 …①

xy ＝7 …②

(解法一)由①得：x ＝12－y …③ 把③代入②得：y(12－y)＝7 即：y 2－12y ＋7=0 解得：y y 12629629=+=-,

把y 1629=+代入③得：x 1629=-

把y 2629=-代入③得：x 2629=+

∴原方程组的解为 x 1629=- x 2629=+

y 1629=+， y 2629=-；

(解法二)依照一元二次方程根与系数的关系

可把x 、y 看成一元二次方程z z 21270-+=的两根

解得；z z 12629629=+=-,

∴原方程组的解为 x 1629=+ x 2629=-

y 1629=-， y 2629=+；

例3：解方程组 x y 2225+= …①

xy ＝12 …②

(解法一)：①＋2×②得：(x ＋y)2＝49 ∴x ＋y ＝±7 …③

①－2×②得：(x －y)2＝1 ∴x －y ＝±1 …④

由③④可组成以下四个二元一次方程组

x ＋y ＝7 x ＋y ＝7 x ＋y ＝－7 x ＋y ＝－7

x －y ＝1 x －y ＝－1 x －y ＝1 x －y ＝－1

解这四个方程组得原方程组的解为：x 1＝4 x 2＝3 x 3＝－3 x 4＝－4 y 1＝3 y 2＝4 y 3＝－4 y 4＝－3

(解法二)：①＋2×②得：(x ＋y)2＝49 ∴x ＋y ＝±7 …③

由②③可组成以下两个方程组： x ＋y ＝7 和 x ＋y ＝-7

xy ＝12 xy ＝12

以下如例2的(解法二)，分别解出这两个方程组可得出原方程组的四组解(下略)

(解法三)由②得x y

=

12，代入①消去x 可得关于y 的专门的四次方程，用换元法解得y 的各值再分别代入x y

=12即可求得原方程组的四组解(只写了思路，具体解题过程略)

(解法四)由②得：x y 22144⋅=，令u ＝x 2，v ＝y 2

则有 u ＋v ＝25

u v ⋅=144

再如例2的(解法二)求出u 、v ；最后再求出原方程组的四组解。

(只写了思路，具体解题过程略)

例4、 解方程组 3434022x xy y x y ---+= …①

x y 2225+= …②

解：由①得()()3410x y x y -+-=

∴34010x y x y -=+-=或

∴原方程组可化为以下两个方程组： 340x y -= x y +-=10 x y 2225+= x y 2225+= 分别解这两个方程组得原方程组的解为 x 1＝4 x 2＝-4 x 3＝-3 x 4＝4 y 1＝3 y 2＝－3 y 3＝4 y 4＝-3

例5：解方程组： x xy y 2229-+= …①

x xy y x y 224422++++= …② 解：由①得：()x y -=29 ∴x －y ＝±3

由②得：(x+2y+2)(x+2y-1)=0

即：x+2y+2=0或x+2y-1=0

∴原方程组可化为以下四个方程组：

x-y=3 x-y=3 x-y=-3 x-y=-3

x+2y+2=0 x+2y-1=0 x+2y+2=0 x+2y-1=0

解这四个方程组，得原方程组的解为： x y 114353==- x y 227323==- x y 338313=-= x y 443543

=-=

例题注释：解二元二次方程组的差不多思想方法是“降次”和“消元”。初中时期要紧是熟练把握由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的解法，由一个二元二次方程和一个能够分解为两个二元一次方程的方程组成的方程组的解法。前者由上述例1、例2说明用代入消元法解；后者由上述例3、例4、例5说明用降次化为几个二元一次方程组或前者形式的方程再消元求解。有一种常用的降次方法是利用分解二次多项式为两个一次式乘积而把一个二元二次方程化为两个二元一次方程的，这种降次方法一定要熟悉，对其它的降次方法如例3的(解法一)、(解法二)、(解法四)也需了解并能使用。例2的(解法二)是利用根与系数关系构造一新未知数的一元二次方程求解的简便方法，对此专门解法也需熟悉。总之，消元和降次是数学中两种重要的常见的转化方法，利用消