(高考数学)2020届高三数学备考冲刺140分问题05函数中的识图与用图 附答案解析

问题05 函数中的识图与用图

一、考情分析

函数图象是高考热点,注意考查方式有二,一是根据图象确定函数解析式,二是借组图象研究函数图象交点个数或方程实根个数,此类问题一般常与函数性质交汇考查,综合性较强,能有效考查学生分析问题解决问题的能力,及数形结合思想,在高考中常以选择题形式出现,难度中等或中等以上.

二、经验分享

(1) 描点法作图的步骤：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；④描点连线,画出函数的图象．

(2) 函数图象平移变换八字方针

①“左加右减”,要注意加减指的是自变量．

②“上加下减”,要注意加减指的是函数值．

(3)图象变换法作函数的图象

①熟练掌握几种基本函数的图象,如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x＋1

的函数．

x

②若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到,可利用图象变换作出,但要注意变换顺序．

(4) 函数图象的识辨可从以下方面入手：

①从函数的定义域,判断图象的左右位置；从函数的值域,判断图象的上下位置；

②从函数的单调性,判断图象的变化趋势；

③从函数的奇偶性,判断图象的对称性；

④从函数的周期性,判断图象的循环往复；

⑤从函数的特征点,排除不合要求的图象．

(4) ①利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数,其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究,但一定要注意性质与图象特征的对应关系．

②利用函数的图象可解决某些方程和不等式的求解问题,方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标；不等式f(x)

(5)掌握以下两个结论,会给解题带来方便：

①f (x )为偶函数⇔f (x )＝f (|x |)．②若奇函数在x ＝0处有意义,则f (0)＝0. 三、知识拓展 1.图象变换 (1)平移变换

(2)对称变换

①y ＝f (x )―――――→关于x 轴对称

y ＝－f (x )； ②y ＝f (x )―――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )； ③y ＝f (x )―――――→关于原点对称y ＝－f (－x )；

④y ＝a x

(a >0且a ≠1)―――――→关于y ＝x 对称y ＝log a x (a >0且a ≠1)． (3)伸缩变换

()1

11

01a a a a

y f x ><<−−−−−−−−−−−−−→，横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变

，横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变

①＝y ＝f (ax )．

②y ＝f (x )y ＝af (x )． (4)翻折变换

①y ＝f (x )―――――――――→保留x 轴上方图象将x 轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|. ②y ＝f (x )y ＝f (|x |)． 2.函数对称的重要结论

(1)函数y ＝f (x )与y ＝f (2a －x )的图象关于直线x ＝a 对称． (2)函数y ＝f (x )与y ＝2b －f (2a －x )的图象关于点(a ,b )中心对称．

(3)若函数y ＝f (x )对定义域内任意自变量x 满足：f (a ＋x )＝f (a －x ),则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称． 四、题型分析

(一) 知式选图

【例1】函数f (x )＝2x －tan x 在(－π2,π

2

)上的图象大致为( )

【分析】利用函数的奇偶性及特殊点的函数值的符号排除不符合条件的选项.

【点评】函数图象问题主要包括3个方面的问题：作图、识图、用图,其中识图问题一直是高考中的热点,解决该类问题的关键是从图中读出有用的信息,根据这些信息排除不符合条件的选项.本题属于识图问题中的“知式选图”,常用方法是：

(1)从函数定义域、值域确定图象大致位置； (2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性；

(4)根据特殊点的位置或特殊函数值的正负,排除不符合条件的选项.

【小试牛刀】【2018届北京市东城区高三上学期期中】函数cos sin y x x x =+的图象大致为（ ）．

A. B.

C. D.

【答案】D

【解析】当πx =时, π0y =-<,排除A ；又()()()cos sin cos sin f x x x x x x x f x -=--=-+=-,故该

函数是奇函数,排除B ；又当π2x =时, π

0sin 102

y =+=>,排除C ,故选D ． (二) 知图选式

【例2】【2018届辽宁省葫芦岛市六校协作体月考】已知函数()f x 的图象如图所示,则函数()f x 的解析式可能是（ ）

A. ()(

)244log x x f x x -=+ B. ()(

)244log x x f x x -=-

C. ()()12

4

4log

x

x

f x x -=+ D. ()()4

4x

x

f x x -=+

【答案】A

【评注】知图选式一般采用逐个排除的方法.

【小试牛刀】【2018届山东省、湖北省部分重点中学12月联考】若函数()2

d

f x ax bx c

=

++ （a , b , c , d R ∈）的图象如图所示,则下列说法正确的是（ ）

A. 0,0,0,0a b c d >>>>

B. 0,0,0,0a b c d >>><

C. 0,0,0,0a b c d ><>>

D. 0,0,0,0a b c d ><>< 【答案】D

【解析】由渐近线是1,5x x ==得, 2

0ax bx c ++=的两根是1,5,由选项知, 0a >,则2

y ax bx c

=++