文献综述-小波变换(Wavelet-Transform)的概念是1984年法国地球-...电子教案
小波讲义
小波小波(Wavelet)这一术语，顾名思义，“小波”就是小区域的波，而且是长度有限、均值为0的波形。
所谓“小”是指它具有衰减性；而称之为“波”则是指它的波动性，其振幅正负相间的震荡形式。
如下图正弦波Meyer 小波Morlet小波202()t j t t ee ωψ-=或频域形式：20()/2()eωωψω--=⋅121210()110t t t others ψ≤<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩Haar小波简单来说，小波函数必须满足下列条件:（1）2|()|t dt ψ∞-∞⎰, 也即2()L R ψ∈ 并单位化 ，(2) |()|t dt ψ∞-∞<+∞⎰, 也即1()L R ψ∈(3) ()0t dt ψ+∞-∞=⎰， 小波变换的反变换及对基本小波的要求小波变换区别于某些常用变换（如傅里叶变换、拉氏变换）的一个特点是没有固定的核函数，但也不是任何函数都可用作小波变换的基本小波()t ψ。
任何变换都必须存在反变换才有实际意义，但反变换并不一定存在，对小波变换而言，所采用的小波必须满足所谓“容许条件”(admissible condition),反变换才存在。
容许条件：20|()|d ψωωω∞<∞⎰正规性条件（regularity condition ）本来满足容许条件的()t ψ便可用作基本小波，但实际上往往要求更高些，对()t ψ还要施加正规性条件，以便()ψω在频域上表现出较好的局域性能。
也就是要求()0pt t dt ψ∞-∞=⎰，1,2,,,p n =⋅⋅⋅ 且n 越大越好。
sin 2sin(2)cos(100)y x x x πππ=++sin 2sin(2)y x x ππ=+光滑紧支撑正交小波()t ϕ的构造满足（1）{()}k Z x k ϕ∈-是中的标准正交基；（2）()x ϕ满足双尺度方程(/2)()k kx a x k ϕϕ=-∑， （3）1()()x L R ϕ∈且ˆ(0)0ϕ≠ （4）()x ϕ是紧支撑的。
小波变换(wavelet transform)
其中，左上角的元素表示整个图像块的像素值的平均值，其余是该图像块的细节系数。 如果从矩阵中去掉表示图像的某些细节系数，事实证明重构的图像质量仍然可以接受。 具体做法是设置一个阈值，例如的细节系数δ≤5 就把它当作“0”看待，这样相比， Aδ 中“0”的数目增加了 18 个，也就是去掉了 18 个细节系数。这样做的好 处是可提高小波图像编码的效率。对矩阵进行逆变换，得到了重构的近似矩阵
7 50 42 31 39 18 10 63
57 16 24 33 25 48 56 1
使用灰度表示的图像如图 11.2 所示：
图 11.2 图像矩阵 A 的灰度图
一个图像块是一个二维的数据阵列， 可以先对阵列的每一行进行一维小波变换， 然后对 再行变换之后的阵列的每一列进行一维小波变换， 最后对经过变换之后的图像数据阵列进行 编码。 (1) 求均值与差值 利用一维的非规范化哈尔小波变换对图像矩阵的每一行进行变换， 即求均值与差值。 在 图像块矩阵 A 中，第一行的像素值为 R0: [64 2 3 61 60 6 7 57] 步骤 1：在 R0 行上取每一对像素的平均值，并将结果放到新一行 N0 的前 4 个位置， 其余的 4 个数是 R0 行每一对像素的差值的一半（细节系数） ： R0: [64 2 3 61 60 6 7 57] N0: [33 32 33 32 31 -29 27 -25] 步骤 2：对行 N0 的前 4 个数使用与第一步相同的方法，得到两个平均值和两个细节系 数，并放在新一行 N1 的前 4 个位置，其余的 4 个细节系数直接从行 N0 复制到 N1 的相应 位置上： N1: [32.5 32.5 0.5 0.5 31 -29 27 -25] 步骤 3：用与步骤 1 和 2 相同的方法，对剩余的一对平均值求平均值和差值， N2: [32.5 0 0.5 0.5 31 -29 27 -25] 3 0 0 1 V : V W W W2 其中，第一个元素是该行像素值的平均值，其余的是这行的细节系数。 (2) 计算图像矩阵 使用(1)中求均值和差值的方法，对矩阵的每一行进行计算，得到行变换后的矩阵：
小波变换发展史
小波变换发展史传统的信号理论，是建立在Fourier分析基础上的，而Fourier变换作为一种全局性的变化，其有一定的局限性。
在实际应用中人们开始对Fourier变换进行各种改进，小波分析由此产生了。
小波分析是一种新兴的数学分支，它是泛函数、Fourier分析、调和分析、数值分析的最完美的结晶；在应用领域，特别是在信号处理、图像处理、语音处理以及众多非线性科学领域，它被认为是继Fourier分析之后的又一有效的时频分析方法。
小波变换与Fourier变换相比，是一个时间和频域的局域变换因而能有效地从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺（Multiscale Analysis），解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题。
1.从傅立叶分析到小波分析1807年，法国学者Fourier指出任何周期函数都可以用一系列正弦波来表示，开创了傅立分析。
傅立叶分析揭示了时域与频域之间内在的联系，反映了“整个”时间范围内信号的“全部”频谱成分，是研究信号的周期现象不可缺少的工具。
建立在傅立叶分析基础上的采样定理和FFT技术奠定了现代数字化技术的理论基础。
尽管傅立叶变换具有很强的频域局域化能力，但是它明显的缺点，那就是无法反映非平稳信号在局部区域的频域特征及其对应关系，即FT在时域没有任何分辨率，无法确定信号奇异性的位置。
为了研究信号在局部时间范围内的频谱特征，1946年，Gabor提出了短时傅立叶变换（Short Time Fourier Transform，STFT），但是STFT的窗口宽度是固定的（和频率无关），这使得它无法同时兼顾信号的低频和高频特征，在分析时变信号时也有一定的局限性。
另外，STFT的窗口函数或核函数不能提供一组离散正交基，所以给数值计算带来了不便，这也是导致STFT 没有得到广泛应用的重要原因。
从傅立叶分析演变而来的小波分析的优点恰恰可以弥补傅立叶变换中存在的不足之处。
小波变换的基本原理
10.2小波变换的基本原理地质雷达的电磁波信号和地震波信号都是非平稳随机时变信号，长期以来，因非平稳信号处理的理论不健全，只好将其作为平稳信号来处理，其处理结果当然不满意。
近年来，随着科学技术的发展和进步，国内外学术界已将注意力转向非平稳随机信号分析与处理的研究上，其中非平稳随机信号的时频表示法是研究热点之一。
在这一研究中，戈勃展开、小波变换、维格纳分布与广义双线性时频分布等理论发展起来，这些方法既可以处理平稳信号过程，也可以处理非平稳随机时变信号。
小波变换是上世纪80年代中后期逐渐发展起来的一种数学分析方法。
1984年法国科学家J.M OLET在分析地震波的局部特性时首先使用了小波这一术语，并用小波变换对地震信号进行处理。
小波术语的含义是指一组衰减震动的波形，其振幅正负相间变化，平均值为零，是具有一定的带宽和中心频率波组。
小波变换是用伸缩和平移小波形成的小波基来分解（变换）或重构（反变换）时变信号的过程。
不同的小波具有不同带宽和中心频率，同一小波集中的带宽与中心频率的比是不变的，小波变换是一系列的带通滤波响应。
它的数学过程与傅立叶分析是相似的，只是在傅立叶分析中的基函数是单频的调和函数，而小波分析中的基函数是小波，是一可变带宽内调和函数的组合。
小波变换在时域和频域都具有很好的局部化性质，较好地解决了时域和频域分辨率的矛盾，对于信号的低频成分采用宽时窗，对高频成分采用窄时窗。
因而，小波分析特别适合处理非平稳时变信号，在语音分析和图象处理中有广泛的应用，在地震、雷达资料处理中将有良好的应用前景。
下边就小波分析的基本原理、主要作用及在雷达资料处理中的应用三方面作以介绍。
10.2.1小波分析的基本原理小波函数的数学表达正弦调和波形小波波形。
小波基础知识
1986年著名数学家Y.Meyer偶然构造出一个真正的 小波基，并与S.Mallat合作建立了构造小波基的 同样方法及其多尺度分析之后，小波分析才开始 蓬勃发展起来，其中比利时女数学家 I.Daubechies撰写的《小波十讲（Ten Lectures on Wavelets）》对小波的普及起了重要的推动作 用。它与Fourier变换、窗口Fourier变换（Gabor 变换）相比，这是一个时间和频率的局域变换， 因而能有效的从信号中提取信息，通过伸缩和平 移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析 （Multiscale Analysis），解决了Fourier变换 不能解决的许多困难问题，从而小波变化被誉为 “数学显微镜”，它是调和分析发展史上里程碑 式的进展。
简化
正如1807年法国的热学工程师 J.B.J.Fourier提出任一函数都能展开成 三角函数的无穷级数的创新概念未能得到 著名数学家grange，place 以及A.M.Legendre的认可一样。幸运的是， 早在七十年代，A.Calderon表示定理的发 现、Hardy空间的原子分解和无条件基的 深入研究为小波变换的诞生做了理论上的 准备，而且J.O.Stromberg还构造了历史 上非常类似于现在的小波基；
绪论
小波变换的历史：
小波分析是当前数学中一个迅速发展的新 领域，它同时具有理论深刻和应用十分广 泛的双重意义。
小波变换的概念是由法国从事石油信号处 理的工程师J.Morlet在1974年首先提出的， 通过物理的直观和信号处理的实际需要经 验的建立了反演公式，当时未能得到数学 家的认可。
1822年Fourier变换,在频域的定位最准确，无任 何时域定位能力。
小波分析的应用是与小波分析的理论研究紧 密地结合在一起地。现在，它已经在科技信 息产业领域取得了令人瞩目的成就。 电子 信息技术是六大高新技术中重要的一个领域， 它的重要方面是图象和信号处理。现今，信 号处理已经成为当代科学技术工作的重要部 分，信号处理的目的就是：准确的分析、诊 断、编码压缩和量化、快速传递或存储、精 确地重构（或恢复）。从数学地角度来看， 信号与图象处理可以统一看作是信号处理 （图象可以看作是二维信号），在小波分析 地许多分析的许多应用中，都可以归结为信 号处理问题。
小波变换
小波变换在现代的科学研究中有着广阔的应用。
作为一种近些年提出的新的数学概念，它的科学研究工具的作用正在被充分发掘。
1 小波变换的提出小波变换（wavelet transform ）是80年代后期发展起来的应用数学分支。
虽然从历史上往上追溯，在此之前已有一些学者零散地进行过一些工作，但在理论上构成较系统的构架则主要是法国数学家Y .Meyer 和地质物理学家J.Morlet 及理论物理学家A.Grossmanr 的贡献。
而把这一理论引入工程应用，特别是信号处理领域，法国学者 I.Daubechies 和 S.Mallat 则起着极为重要的作用。
因此人们有把小波分析的兴起归功于所谓‘法国学派’。
小波变换的含义是：把某一被称为基本小波[也叫母小波（mother wavelet ）]的函数()t ψ作位移τ后，再在不同尺度α下与待分析信号()x t 作内积：*(,)()(),0x t WT x t dt τατϕαα+∞-∞-=>等效的频域变化是：*(,)()()2j x WT x e d ωπατωϕαωωπ+∞+-∞=⎰其中()X t ，()ψω是()x t ()t ϕ的傅里叶变换。
2 小波变换的特点小波变换有以下特点：1、具有多分辨率（multi-resolution ）,也叫多尺度（multi-scale ）的特点，可以由粗及精地逐步观察信号。
2、也可以看成是用基本频率特性为()ψω的带通滤波器在不同尺度α下对信号作滤波。
由于傅里叶变换的尺度特性： 如果()t ψ的傅里叶变换是()ψω，则()t αϕ的傅里叶变换为()αψαω。
因此这组滤波器有品质因数恒定，即相对带宽（带宽与中心频率之比）恒定的特点。
注意，α愈大相当于频率愈低。
3、适当地选择基本小波，使()t ϕ在时域上为有限支撑，()ψω在频域上也比较集中，便可以使WT 在时频两域都有表征信号局部特征的能力，因此有利于检测信号的瞬态或奇异点。
小波变换详解
基于小波变换的人脸识别近年来，小波变换在科技界备受重视，不仅形成了一个新的数学分支，而且被广泛地应用于模式识别、信号处理、语音识别与合成、图像处理、计算机视觉等工程技术领域。
小波变换具有良好的时频域局部化特性，且其可通过对高频成分采取逐步精细的时域取样步长，从而达到聚焦对象任意细节的目的，这一特性被称为小波变换的“变聚焦”特性，小波变换也因此被人们冠以“数学显微镜”的美誉。
具体到人脸识别方面，小波变换能够将人脸图像分解成具有不同分辨率、频率特征以及不同方向特性的一系列子带信号，从而更好地实现不同分辨率的人脸图像特征提取。
4.1 小波变换的研究背景法国数学家傅立叶于1807年提出了著名的傅立叶变换，第一次引入“频率”的概念。
傅立叶变换用信号的频谱特性来研究和表示信号的时频特性，通过将复杂的时间信号转换到频率域中，使很多在时域中模糊不清的问题，在频域中一目了然。
在早期的信号处理领域，傅立叶变换具有重要的影响和地位。
定义信号(t)f 为在(-∞，+∞)内绝对可积的一个连续函数，则(t)f 的傅立叶变换定义如下：()()dt e t f F t j ωω-⎰∞-∞+= (4-1) 傅立叶变换的逆变换为：()()ωωπωd e F t f t j ⎰+∞∞-=21 (4-2)从上面两个式子可以看出，式（4-1）通过无限的时间量来实现对单个频率的频谱计算，该式表明()F ω这一频域过程的任一频率的值都是由整个时间域上的量所决定的。
可见，式（4-1）和（4-2）只是同一能量信号的两种不同表现形式。
尽管傅立叶变换可以关联信号的时频特征，从而分别从时域和频域对信号进行分析，但却无法将两者有效地结合起来，因此傅立叶变换在信号的局部化分析方面存在严重不足。
但在许多实际应用中，如地震信号分析、核医学图像信号分析等，研究者们往往需要了解某个局部时段上出现了哪个频率，或是某个频率出现在哪个时段上，即信号的时频局部化特征，傅立叶变换对于此类分析无能为力。
第3章小波变换简介共58页文档
小波母函数
设 为一平方可积函数，若其傅立叶变换 满足条件：
C 衰减）R| ()|d（容许性条件：频域也
称 为一个基本小波或者小波母函数。 特点：小（紧支撑，速降）；波动性（均值为
0， (t)dt0）；频域也衰减。 R
傅立叶变换
F() f(t)ejtdt
将信号分解为不同频率的正弦波的叠加
傅立叶变换
架起了时域和频域的桥梁
只有频率分辨率而没有时间分辨率。 可确定信号中包含哪些频率的信号，但不能确
定具有这些频率的信号出现在什么时候。
傅立叶变换
如果想要研究函数在区间(a,b)上的性质， 一个很自然的想法就是利用函数 乘f(t)
傅立叶变换
F( ) f(t)xI(t)ejtdt
这就是1945 Gabor提出的STFT (short time Fourier transform)。
但是，在t＝a，b处存在间断，这会使得傅立叶 变换附加新的高频成分。这种人为引入的高频 成分显然不是我们希望的。频谱“泄露”问题。
STFT的时间-频率关系图
f(t) F(
)ejtd
1
f (t)
C 0
Wf
(a,b)a,b(t)dbda2a
a,b(t)
1 (t b)
aa
小波系数的意义
Wf (a,b)表示信号与尺度为a小波的相关程 度。小波系数越大，二者越相似。
F() f(t)ejtdt
W f(a,b)f(t) a,b(t)dt
连续小波变换的简单步骤
称该函数为依赖于参数a,τ的 小波基函数。a 为尺度因子，b为位移因子 。
许多数缩放函数和小波函数以开发者的名 字命名的，例如，Moret小波函数是Grossmann 和Morlet在1984年开发的；db6缩放函数和db6 小波函数是Daubechies开发的
小波变换 文献综述
1、图像处理中正交变换的目的是什么？答：1、使图像处理问题简化2、有利于图像特征提取3、有助于从概念上增强对图像信息的理解图形变换主要用于哪些方面？答：图像变换广泛应用在图像增强、图像恢复、特征提取、图像压缩编码和形状分析等方面。
二维傅立叶变换有哪些性质？答：周期性、线性、可分离性、比例性质、位移性质、对称性质、共轭对称性、差分、积分、卷积、能量。
二维傅立叶变换的可分离性有何意义？答：分离性表明：二维离散傅立叶变换和反变换可用两组一维离散傅立叶变换和反变换来完成。
2、阅读有关小波变换的文献两篇（文献综述）高广春，熊凯等.自适应小波变换更新滤波器的优化研究[J].电路与系统学报.2011.16(3):81-86自适应和非线性小波变换能比传统小波变换以更稀疏的方式表示一幅图像。
随着JPEG2000图像标准中采用基于提升格式的小波变换，该种小波变换方法就越来越吸引研究者们的注意。
基于提升格式小波变换可以灵活构造线性和非线性滤波器。
最近，许多基于提升格式的自适应和非线性小波变换结构被提出。
基于提升格式的小波变换被称为第二代小波变换，该种结构提供了一种灵活构造非线性小波分解和重构的方法。
在先选定预测滤波器的基础上，对于给定信号，如何选取最优的滤波器系数，该论文根据最小均方误差准则，提出了优化的小波更新滤波器的设计方案。
并以来自MIT/BIH数据库样本100心电图信号为测试信号，设计了优化的更新小波变换滤波器，仿真过程证明了小波变换后的低频系数具有较好的能量集中特性，并可在信号重建过程中获得较好的线性近似，通过与其他不同结构的小波变换进行比较，验证了优化的小波更新滤波器的性能。
龚瑞昆.离散小波变换在传感器故障诊断中的应用[J].仪器仪表学报.2001.22(4):237-239近年来小波分析由于具有变时域和变频域特性而备受关注，它可以代替传统的傅立叶分析广泛地应用于故障诊断中。
小波网络由于可以逼近任意函数而广泛的应用于系统辨识中。
小波变换的发展简史
小波变换的发展简史从时频分析方法发展的角度出发（对比每种方法的优缺点），简述了小波变换的发展历史。
小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师J.Morlet在1974年首先提出的，通过物理的直观和信号处理的实际需要经验的建立了反演公式，当时未能得到数学家的认可。
幸运的是，1986年著名数学家Y.Meyer偶然构造出一个真正的小波基，并与S.Mallat合作建立了构造小波基的同一方法枣多尺度分析之后，小波分析才开始蓬勃发展起来。
与Fourier变换、窗口Fourier变换相比，它是一个时间和频率的局域变换，因而能有效的从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析，解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题，从而小波变化被誉为“数学显微镜”，它是调和分析发展史上里程碑式的进展，势必取代傅立叶分析的位置。
1．小波分析的3个特点：小波变换，既具有频率分析的性质，又能表示发生的时间。
有利于分析确定时间发生的现象。
（傅里叶变换只具有频率分析的性质）小波变换的多分辨度的变换，有利于各分辨度不同特征的提取（图象压缩，边缘抽取，噪声过滤等）小波变换比快速Fourier变换还要快一个数量级。
信号长度为M 时，Fourier变换（左）和小波变换（右）计算复杂性分别如下公式：2. 小波基表示发生的时间和频率：傅里叶变换（Fourier）基小波基时间采样基“时频局域性” 图解：Fourier变换的基（上）小波变换基（中）和时间采样基（下）的比较4.信号的时频分析：信号时频分析的重要性：时间和频率是描述信号的两个最重要的物理量。
信号的时域和频域之间具有紧密的联系。
信号时频分析的主要方法：3. 傅里叶变换（一）傅里叶变换伟大贡献及其局限性：傅立叶变换的理论是人类数学发展史上的一个里程碑，从1807年开始，直到1966年整整用了一个半世纪多才发展成熟，她在各个领域产生了深刻的影响得到了广泛的应用，推动了人类文明的发展。
小波变换
(
t a
)
x (t ) ——平方可积函数。
式中 a 0 是尺度因子， 反映位移，其值 可正可负。式中不但t是连续的 ，而且和a 和 也是连续变量，因此称为连续的小波 变换。
（2）频域变换
W Tx ( a , ) a 2
X ( ) ( a ) e
*
j
d
因此对数据实现高保真、大压缩比的 压缩非常必要。数据压缩主要包含无失真 压缩和有失真压缩两大类。无失真压缩是 指图像数据经压缩后可以完全地得到恢复， 复原后的图像和原始图像一致。而有失真 的压缩是指经过压缩后的图像数据在保持 原图像特征的前提下，不可避免地要丢失 一部分不重要的图像原始信息。目前基于 小波变换的图像压缩方法已经逐步取代基 于离散余弦或者其他子代编码技术，而成 为新的图像压缩国际标准的首选方法。
时才能由小波变换 WTx ( a , )
反演源函数 x (t ) 。此时可 得：
x (t )
1 c
da a
0
2
WTx ( a , ) a (t ) d
（4）几种常见的小波
i Morlet小波 ii Marr小波 iii DOG（difference of gaussian）小波 iv Harr小波
如果 ( ) 是幅频特性比较集中的带通函数， 则小波变换便具有表征待分析信号 X ( ) 频 域上局部性质的能力。
（3）反变换
一个有用的算法必须有其反变换，也就是 算法可将一种信号做变换，也可将其变换 回原信号，这样才可称得上是一种成功的 算法。 当
c
( )
d
随着小波理论的日趋成熟，人们对小波变换的 实际应用越来越重视，它已广泛地应用于信号处理、 图像处理、量子场论、地震勘探、语音识别与合成、 CT成像、彩色复印、流体湍流、模式识别、机械 故障诊断与监控以及数字电视等科技领域。在上述 的应用中，都可以归结为信号处理问题。在实际的 应用中，绝大部分信号是非稳定的，而特别使用于 非稳定信号的工具就是小波分析。
小波变换详解
第10章 小波变换与JPEG 2000编码之小波变换虽然基于DCT 的JPEG 标准的压缩效果已经很不错，但在较高压缩比时会出现明显的马赛克现象，且不能渐进传输。
为了适应网络发展的需要，JPEG 于2000年底推出了采用DWT (Discrete Wavelet Transform 离散小波变换)的JPEG 2000标准。
小波变换是1980年代中期发展起来的一种时频分析方法，比DCT 这样的傅立叶变换的性能更优越，被广泛应用于调和分析、语音处理、图像分割、石油勘探和雷达探测等等方面，也被应用于音频、图像和视频的压缩编码。
本章先介绍小波变换的来龙去脉，然后分别介绍连续小波变换、离散小波变换、Haar 小波变换和整数小波变换，最后介绍JPEG 2000的编码算法和标准。
10.1 小波变换小波变换(wavelet transform)是傅立叶变换的发展，中间经历了窗口傅立叶变换。
原始数据一般是时间或空间信号，在时空上有最大分辨率。
时空信号经傅立叶变换后得到频率信号，在频域上有最大分辨率，但其本身并不包含时空定位信息。
窗口傅立叶变换通过对时空信号进行分段或分块进行时空-频谱分析，但由于其窗口的大小是固定的，不适用于频率波动大的非平稳信号。
而小波变换可以根据频率的高低自动调节窗口大小，是一种自适应的时频分析方法，具有多分辨分析功能。
本节先讨论小波变换与（窗口）傅立叶变换的关系，然后依次介绍连续小波变换、离散小波变换、Haar 小波变换和第二代小波变换（整数小波变换）。
10.1.1 傅立叶变换与小波变换傅立叶变换(Fourier transform)是法国科学家Joseph Fourier 发表于1822年的他在用无穷三角级数求解热传导偏微分方程时所提出的一种数学方法，它可将时空信号变换成频率信号。
鉴于傅立叶变换不含时空定位信息，（1971年的诺贝尔物理学奖获得者）匈牙利人Dennis Gabor 于1946年提出窗口傅立叶变换（window Fourier transform ）。
小波变换
2015-7-29 小波变换wavelet | WangDingRainman的博客/rainman1984目录小波变换 (1)１学习小波变换所需的基础知识 (1)２信号的分解 (1)３小波变换的时频分析思想 (1)４小波变换的实质 (2)５连续小波变换，二进小波变换与离散小波变换的关系 (2)6 MALLA T算法的意义 (2)７小波变换的模极大值及其意义 (2)小波变换１学习小波变换所需的基础知识由于小波变换的知识涵盖了调和分析，实变函数论，泛函分析及矩阵论，所以没有一定的数学基础很难学好小波变换．但是对于我们工科学生来说，重要的是能利用这门知识来分析所遇到的问题．所以个人认为并不需要去详细学习调和分析，实变函数论，泛函分析及矩阵论等数学知识．最重要是的理解小波变换的思想！从这个意义上说傅里叶变换这一关必需得过！因为小波变换的基础知识在傅里叶变换中均有提及，我觉得这也就是很多小波变换的书都将傅里叶分析作为其重要内容的原因．所以我认为学习小波应从＜数字信号处理＞中的傅里叶分析开始．当然也可从＜信号与系统＞这本书开始．然后再看杨福生老师的小波变换书．个人觉得他的书最能为工科学生所接受．２信号的分解傅里叶级数将周期信号分解为了一个个倍频分量的叠加，基函数是正交的，也就是通常所说的标准正交基．通过分解我们就能将特定的频率成分提取出来而实现特定的各种需要，如滤波，消噪等．傅里叶变换则将倍频谱转换为了连续谱，其意义差不多．小波变换也是一种信号分解思想：只不过它是将信号分解为一个个频带信号的叠加．其中的低频部分作为信号的近似，高频部分作为信号的细节．所谓的细节部分就是一组组小波分量的叠加，也就是常说的小波级数．３小波变换的时频分析思想傅里叶变换将信号从时域变换到了频域，从整体上看待信号所包含的频率成分．对于某个局部时间点或时间段上信号的频谱分析就无能为力了，对于我们从事信号的奇异性检测的人来说，傅里叶变换就失去了意义（包括加窗傅里叶变换）．因为我们要找的是信号的奇异点（时域方面）和奇异点处所包含的频带（频域方面）也就是说需要一种时频分析方法．当然能有纯时域的分析方法更好！（据说数学形态学能达到这种效果）．小波变换之所以可以检测信号的奇异点，正在于它的＂小＂．因为用小的波去近似奇异信号要比正弦波要好的多．４小波变换的实质小波变换的公式有内积形式和卷积形式，两种形式的实质都是一样的．它要求的就是一个个小波分量的系数也就是＂权＂．其直观意义就是首先用一个时窗最窄，频窗最宽的小波作为尺子去一步步地＂量＂信号，也就是去比较信号与小波的相似程度．信号局部与小波越相似，则小波变换的值越大，否则越小！当一步比较完成后，再将尺子拉长一倍，又去一步步地比较，从而得出一组组数据．如此这般循环，最后得出的就是信号的小波分解（小波级数）．当然这只是一种粗略的解释．５连续小波变换，二进小波变换与离散小波变换的关系尺度及位移均作连续变化时，可以理解必将产生一大堆数据，作实际应用时并不需要这么多的数据，因此就产生了离散的思想．将尺度作二进离散就得到二进小波变换，同时也将信号的频带作了二进离散．当觉得二进离散数据量仍显大时，同时将位移也作离散就得到了离散小波变换！6 MALLAT算法的意义想必大家都注意到，小波变换是以内积或卷积的形式实现的，这给数值计算带来了不利之处，因为用计算机作数值积分其计算量大．MALLA T算法则解决了这一问题，它不涉及小波的具体形式，只是对系数进行操作！其计算也就是用高通及低通滤波系数与小波系数作卷积．因为作信号处理时，我们往往并不关心小波的具体形式，更为关心小波系数．需提出的是该算法仅适用于正交小波如果小波不是正交的（如Ｂ样条小波）则算法失效！７小波变换的模极大值及其意义对于我们搞信号奇异性检测的人来说，小波变换最重要的应用就是用模极大值定值奇异点．我觉得模极大值可以从两个方面去理解：第一，从直观角度，上文已说明小波变换的实质就是一种度量波形相似程度的方法．信号与小波越相似，则小波系数越大．这也就可理解为出现了小波变换的模极大值．因为当信号出现奇异点时，或是间断点，或是一阶导数不连续点，其在各个尺度下都将必然出现大的小波系数．从而可以定位奇异点！第二个方面从小波的取法来看，当小波取为光滑函数一阶导数或二阶导数时，从公式可以推导出小波变换将出现模极大值点或是过零点．也就是很多书上说的模极大值检测和零交叉检测．这些可以查书看！我只谈谈连续小波变换，对于离散的也有同样的argument。
小波变换简介
1 小波变换简要回顾小波变换是调和分析（包括函数空间、广义函数、傅里叶分析和抽象调和分析等）这一重要学科大半个世纪以来的工作结晶；小波变换又是计算机应用、信号处理、图像分析、非线性科学和工程技术近几年来在方法上的重大突破。
1从小波变换的发展过程来说，大致可分成三个阶段。
（1）孤立应用时期（1985年以前）（2）国际性研究热潮和统一构造时期（1986—1992）（3）全面应用时期（1992—）23（1）孤立应用时期1910年Harr 提出Harr 正交基1938年Paley-Littlewood 的按二进制频率成分分组1965年Calderon 的再生核公式1981年对Harr 系的改进1984/5年A Grossmann ，J Morlet展开的伸缩平移系按一个函数ψ{}Zk j j j kb x a a ∈−−−,2/)(ψ4（2）国际性研究热潮和统一构造时期1986年Meyer 构造出了具有一定衰减性质的光滑函数1988年I Daubechies)(x ψ{}构成使得Z k j k j x ∈,,)(ψ的规范正交基)(2R L Communication on Pure and Applied Math.，1988, 41:909~996Orthonormal Bases of Compactly Supported Wavelets 1989年S Mallat 1991年C K Chui ，J Z Wang 1992年I Daubechies 《Ten Lectures on Wavelets 》（3）全面应用时期1992年，《IEEE Transaction on Information Theory 》1993年，《Applied and Computational Harmonic Analysis》1993年，《IEEE Transaction on Signal Processing 》网络、软件、图书…52 小波变换与傅里叶变换1809年，J. Fourier（法）给出Fourier离散变换其想法是：用简单的函数表示复杂的周期函数1822年，——《热的解析理论》，提出Fourier变换1946年，D.Gabor引入窗口Fourier变换1965年，Cooley-Tukey（美）提出快速Fourier变换67D ．Gabor 变换或称为窗口傅里叶变换是Gaussian 函数，称为“窗口函数”.定义为的中的任何函数或信号FT t f R L )()(2∫−=Rt i dt e t f f ωω)()(ˆ∫−−=R t i a f dte b t g tf b G ωω)()(),(a t a e a tg 4/221)(−=π其中小波变换的定义∫∗−=R f dt ab t t f a b a W ))(1),(ψ>=<ψ,f。
小波变换
在小波的数学理论基础研究方面
• 针对具体实际问题，如何构造选择最优小波基 及框架的系统方法一直是人们关注的问题之 一． • 仿真和实验对小波分析是重要的，且取得了丰 硕的成果．如何让仿真和实验结果走出实验室， 向人们提供具有实用价值的小波分析技术，开 发以小波作为工具的高水平分析软件将吸引更 多学者来进行研究． • 小波应用的范围虽广, 但真正取得极佳效果的领 域并不多,人们也正在挖掘有前景的应用领域.
小波变换的一个重要性质是它在时域和频域均具有很好的局部化
特征，它能够提供目标信号各个频率子段的频率信息。这种信息对 于信号分类是非常有用的。
小波变换一个信号为一个小波级数，这样一个信号可由小波系 数来刻画。
小波的基本概念——什么是小波
小波是什么？ 小波可以简单的描述为一种函数，这种函数在有限时间范围内变化， 并且平均值为0。这种定性的描述意味着小波具有两种性质:A、具有有限 的持续时间和突变的频率和振幅；B、在有限时间范围内平均值为0。
•语音信号处理的目的是得到一些语音参数以便高效地传输或存储. •利用小波分析可以提取语音信号的一些参数, 并对语音信号进行处理. •小波理论应用在语音处理方面的主要内容包括: 清浊音分割;基音检测; 去噪、重建与数据压缩等几个方面. •小波应用于语音信号提取、语音合成、语音增加、波形编码已取得了 很好的效果.
信号奇异性检测
信号中的奇异点及不规则的突变部分经常带有比较重要的信息，它是信 号的重要特征之一。比如，在故障诊断中，故障通常表现为输出信号的突 变，因而对突变点的检测在故障诊断中有着重要的意义。由于傅里叶交换 将信号变换成纯频域中的信号，而使它不具有时间分辨的能力，故对信号 在时域中的突变点根本无法检测出来。而小波变换具有良好的空间局部化 性质，利用小波变换对信号的奇异性及奇异性位置和奇异度的大小都有比 较准确的判断。 小波分析检测信号突变点的一般方法是：对信号进行多尺度分析， 在信号出现突变时，其小波变换后的系数具有模量极大值，因而可以通 过对模量极大值点的检测来确定故障发生的时间点。
哈工大信号检测与处理第5章课程5-1新
积分区间是整个时间 范围和整个频率范围， 表达的是“全局”性 质，缺乏局部定位能 力。
5
x(t) cos(20t) cos(50t) cos(100t) cos(200t)
6
x(t) cos(20t) cos(50t) cos(100t) cos(200t)
7
x(t) cos(200 t), cos(100 t), cos(50 t), cos(20 t)
伊利诺依斯大学教授Y. Meyer 曾说：“若你记录1 小 时长的信息而在最后5 分钟出错，这一错误就会毁了 整个傅立叶变换。相位的错误是灾难性的，如果在相 位上哪怕犯了一个错误，你最后就会发现你所干的事 与最初的信号无关了。”
x j x t e jtdt
x t 1 x e jtd
量有限的信号 xt，其时宽和频宽的乘积总是满足不等式：
称为 Heisenberg 不等式。
1 D Dt 2
（5-5）
14
15
短时傅立叶变换的时频窗口特性 理想的时频窗口特性
16
矩形窗
x(t) cos0t
w(t
)
1(t
b) 2
1(t
b 2
)
X
b 2
sin
0
0
b 2
b 2
sin
,在 0 处有二阶零点，因此 Marr 小波是满足小波容许条件的。
图中给出当 0，尺度因子 a 0.5, 1, 2 时连续小波和相应的小波滤波器的频率特
性。
30
5.2.7 常用小波
1） 墨西哥帽子小波（Marr 马尔小波）
基本小波为：
t 1
1 t2
t2
e2
0.6
小波变换思想
8
STFT无能为力了! STFT无能为力了! 不能构成正交基 不能构成正交基,给数值计算带来不便. 正交基,
国
大学(华东): 学 控学 大学 控
小波信号隆重登场
9
登场原因: (1)继承和发展了STFT的局部化思想. )继承和发展了STFT的局部化思想. (2)克服了窗口大小不随频率变化,缺 乏离散正交基的缺点.
国
大学(华东): 学 控学 大学 控
正交基的解释
若一物体可用颜色和大小表示,我们称颜色和 若一物体可用颜色和大小表示,我们称颜色和 大小为特征基,构成此物体特征描述空间. 大小为特征基,构成此物体特征描述空间. 大小和颜色是互不相干的 大小和颜色是互不相干的2种描述,我们称其 为正交. 正交. 同时若这些基能够完全表示所有物体,我们称 同时若这些基能够完全表示所有物体,我们称 其为完备特征基. 其为完备特征基. 因为特征基表现了物体特征,因而可以用更简 因为特征基表现了物体特征,因而可以用更简 洁的描述表示物体.
t
f (t)=ψ (4t);scale =0.25
国
大学(华东): 学 控学 大学 控
基本小波函数ψ()的缩放和平移操作
小波的延迟或超前.在数学上, (2) 平移.小波的延迟或超前.在数学上,函数f(t)延 迟k的表达式为f(t-k),
18
小波的平移操作 (a) 小波函数ψ(t); (b) 位移后的小波函数ψ(t-k)
4
典型的地震记录
国 大学(华东): 学 控学 大学 控
5
实际采集的地震信号
它们的频域特性都随时间而变化.分析它需要提取某 一时间段的频域信息或某一频率段所对应的时间信息
国 大学(华东): 学 控学 大学 控
第四章_小波和小波变换(附作业)_8395_1004_20111010171130
JPEG2000 主要有以下特点
高压缩率 JPEG2000压缩性能比JPEG提高了30%～50%，也就是说 ，在同样的图像质量下，JPEG2000可以使图像文件的 大小比JPEG图像文件小30%～50%。同时，使用 JPEG2000的系统稳定性好，运行平稳，抗干扰性好， 易于操作。
同时支持有损和无损压缩 JPEG只支持有损压缩，而JPEG2000能支持无损压缩。 在实际应用中，诸如卫星遥感图像、医学图像、文物 照片等重要的图像都非常适合于采用JPEG2000压缩。
21
离散小波变换分析图
06:45
用滤波器执行离散小波变换
执行离散小波变换的有效方法是使用滤波器， 该 方法是Mallat于1988年提出的，称为Mallat算法。 这种方法实际上是一种信号分解的方法， 在数字 信号处理中常称为双通道子带编码。
22
06:45
• 用滤波器执行离散小波变换的概念如下图。
10
06:45
小波分析
信号分析一般是为了获得时间和频率域之间的 相互关系。傅立叶变换提供了有关频率域的信 息，但时间方面的局部化信息却根本丧失。
与傅立叶变换不同，小波变换通过平移母小波 (mother wavelet)可获得信号的时间信息，而通 过缩放小波的宽度(或者叫做尺度)可获得信号 的频率特性。对母小波的缩放和平移操作是为 了计算小波的系数，这些系数代表小波和局部 信号之间的相互关系
6
06:45
小波介绍-小波简史1
1909 年哈尔(Alfred Haar)发现了小波，并命名为哈尔 小波(Haar wavelets)，他最早发现和使用了小波。
20 世纪70 年代，当时在法国石油公司工作的年轻的 地球物理学家Jean Morlet 提出了小波变换WT(wavelet transform)的概念。
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文献综述
小波变换（Wavelet Transform）的概念是1984年法国地球物理学家J.Morlet在分析处理地球物理勘探资料时提出来的。
小波变换的数学基础是19世纪的傅里叶变换，其后理论物理学家A.Grossman采用平移和伸缩不变性建立了小波变换的理论体系。
1985年，法国数学家Y.Meyer第一个构造出具有一定衰减性的光滑小波。
1988年，比利时数学家I.Daubechies证明了紧支撑正交标准小波基的存在性，使得离散小波分析成为可能。
1989年S.Mallat提出了多分辨率分析概念，统一了在此之前的各种构造小波的方法，特别是提出了二进小波变换的快速算法，使得小波变换完全走向了实用性。
小波分析是建立在泛函分析、Fourier分析、样条分析及调和分析基础上的新的分析处理工具。
它又被称为多分辨率分析，在时域和频域同时具有良好的局部化特性，常被誉为信号分析的“数据显微镜”。
近十多年来，小波分析的理论和方法在信号处理、语音分析、模式识别、数据压缩、图像处理、数字水印、量子物理等专业和领域得到广泛的应用。
小波变换分析在数据处理方面的应用主要集中在安全变形监测数据和GPS观测数据的处理，应为他们都对精度用较高的要求，而小波变换分析方法的优势能满足这个要求。
在安全变形数据处理主要集中在去噪处理、识别变形的突变点，也包括提取变形特征、分离不同变形频率、估计观测精度、小波变换最佳级数的确定等。
在GPS数据处理方面包括：利用小波分析法来检测GPS相位观测值整周跳变的理论与方法，GPS粗差检测、GPS信号多路径误差分析、相位周跳检测、基于小波的GPS双差残差分析等。
国内有关学者和研究人员研究工作如下：
李宗春等研究了变形测量异常数据中小波变换最佳级数的确定，综合分析数据去噪效果的4 个分项评价指标，即数据的均方根差变化量、互相关系数、信噪比及平滑度，将各分项评价指标归化到[0, 1]后相加得到总体评价指标，将总体评价指标最大值所对应的级数定义为小波分解与重构的最佳级数。
贺跃光等研究了基于小波分析的隧道施工地表监测数据处理；基于小波分析原理，对某隧道地表监测数据进行快速去噪、提取变形特征、分离不同变形频率、估计其观测精度等处理分析，使监测结果的误差控制在±1 mm以内，并得出隧道施工对地表变形的影响规律，为隧道的安全施工和质量控制提供了依据。
周大华等研究了基于小波分析的隧道监测数据处理。
基于小波分析理论，对一组隧道洞内水平收敛监测数据进行了去噪重构。
实际分析结果表明，小波分析能够有效地去除监
测数据的噪声，识别数据中的突变点；从去噪后的数据曲线分析，得出水平收敛量的发展趋势，可以有效地指导隧道的安全施工。
袁德宝研究了GPS变形监测数据的小波分析与应用。
针对GPS变形监测数据中噪声的不同分布，对小波变换特性、小波消失矩阵、正则性、紧支性和对称性等特性进行了理论分析，研究了变形数据预处理时最优小波基的选择问题，采用多种不同的小波函数对变形观测序列中含有的高斯噪声、多种系统性干扰信号或突变信号等进行了实际应用效果试验，提出了小波变换模极大值的信号去噪新方法和非线性小波变换闽值去噪新算法，构建了闭值法均方误差估计和阖值自适应算法。
将小波分析的多分辨率(多尺度)特性同卡尔曼滤波、人工神经网络强有力的逼近能力有机地结合起来，充分发挥它们各自的优势，建立了小波多尺度卡尔曼滤波模型与小波神经网络模型及算法，实现了对非线性变形的预测。
采用VC++语言和MATLAB开发了RINEX级GPS变形监测数据处理系统，为GPS变形监测数据处理与变形预报提供了一种新的手段与方法。
国外有关学者和研究人员研究工作如下：
1995年，CollinF.和warantR利用小波研究了GPS数据的处理。
Chalermchon Satirapod等研究了通过合并小波分解进行GPS分析，应用基于小波的方法把GPS双差的残差分解成低频偏差项和高频噪声项，提取出来的偏差成分然后直接用于纠正GPS观测值的偏差。
主要表征的是GPS距离测量值和高频观测噪声的剩下的部分，被期望从最小二乘法处理中得到最好的线性无偏解决方案。
利用最小范数二次无偏估计得到的一个稳健的VCV估计，控制着随机模型的形式。
结果表明这种方法能够同时提高不确定性分辨率和估算基线的精确度。
Chalermchon Satirapod and Chris RizosGPS研究了基站上小波分析用于多路径效应消弱，应用小波分解技术从GPS观测值中提取多路径。
提取出来的多路径然后直接用于纠正GPS观测值中多路径效应。
结果表明在固定GPS基站上这种处理方法可以显著地削弱多路径效应。
K. Vijay Kumar, Kaoru Miyashita and Jianxin Li研究了针对日本中部长期的地壳变形，基于小波分析的GPS时间序列数据处理，应用小波技术分析来自连续GPS网站——地理网（GEONET），从1996年到1999年四年的日常坐标GPS时间序列。
在目前的分析中，用ARMA技术剔除了与地震有关的跳跃值和人为错误，同时应用小波技术剔除了季节性波动值和白噪声，从而来估计日本中部的长期地壳变形。
安全监测数据包括低频成分和高频成分，低频成分主要表现为误差。
而高频成分主要
表现实际监测情况，利用小波分解可以实现低频信号和高频信号的分离。
从而达到去噪的目的。
同时安全监测数据中可能存在粗差，也就会有奇异值，也就是频率会发生很大的变化，利用小波分析能准确地找到奇异值，并给予剔除，从而使安全监测数据更准确和有效。
将安全监测的数据系列视为由不同频率成分组成的数字信号序列，结合小波分析理论，对监测数据进行分析处理，包括奇异性检测、降噪处理和时效分量提取等。
参考文献：
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3. 贺跃光,刘莉淋,孟岩等. 基于小波分析的隧道施工地表监测数据处理[J]. 现代隧道技术, 2010, 47(2):19～23
4. 陈继光,李光东,刘中波. 大坝变形数据处理中的离散小波分析方法[J]. 水电能源科学, 2003, 21(4):11～12
5. 周大华,肜增湘,陈建平等. 基于小波分析的隧道监测数据处理[J]. 现代隧道技术, 2010, 47(4):58-61
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