矩形的折叠问题(专题)87245ppt精选课件
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矩形中的折叠问题.pptx
1.将一张矩形纸条ABCD按如 图所示折叠，若折叠角 ∠FEC=64°，则∠1= 52 度。
2.把一张矩形纸片（矩 形ABCD）按如图所示 的方式折叠，使点B和 点D重合，折痕为EF， 若AB=3cm，BC=5cm， （1）求DE的长。
（2）求重叠部分△DEF 的面积为多少cm2？
谢谢 再见
畅所欲言
矩形ABCD沿EF折 叠，使点A，D分别 落在点A′、D′ 处，你能发现 什么？
若AB=12cm，BC=6cm,则整个阴影部分
图形的周长为（36 ）cm.
动手探究(一)
如图，将矩形 纸片ABCD沿对 角线BD折叠， 使点C落在C′ 处，BC′交AD 于点E，（1） 你能发现什么？ 为什么？
探究(二)
（2）△BDE是什么三角形， 说明理由。
（2）解：方法一 ∵AD//BC ∴∠DBC=∠EDB 又∵∠EBD=∠DBC， ∴∠EBD=∠EC=25° 求∠EDC′为多少度？
解：方法一 ∵AD//BC∴∠DBC=∠EDB 又∵∠DBC= ∠EBD ∴∠EDB=∠DBC =25° 在Rt△BC ′D中，∠C ′DB= 90°-25°=65° ∴∠C ′DE=65°-25°=40°
? 25°
探究(四)求边长
(4)若AB=6,AD=8, 求AE的长.
探究(五)
(5)求重合部分 的面积和周长。
总结收获
1.折叠过程实质上是一个轴对称变换，折痕就 是对称轴，变换前后两个图形全等。 2.在矩形的折叠问题中，若求角度常用平行线 和重合的角找等角，若求边长问题，常设未知 数，找到相应的直角三角形，用勾股定理建立 方程，利用方程思想解决问题。
《矩形中的折叠问题》公开课教学PPT课件(终稿)
初三数学专题复习
例2:(2011·四川宜宾)如图,矩形纸片
D ABCD中,已知AD=8,折叠纸片使AB边与对角
线AC重合,点B落在点F处,折痕为AE,且EF=3,
则AB的长为( D )
C A.3
B.4
C.5
D.6
变式拓展 A
初三数学专题复习
DA
F DA
F
D F
B
E
C B 图① E C B
EB B' 图3
互动探究二
初三数学专题复习
DF
A
E
矩形ABCD中，AD=5，AB=3.若点E、C 图4 A' B
F分别是边AB、AD上的点，将△AEF沿 D
F
A
EF对折，使A点的对应点A'落在边BC上.
观察图形，回答下列问题：
（1）如图2，BA'= 3 。 5 （2）如图5，BA'= 1 ，AE= 3 。
；
。C A'
EB B'
互动探究一
初三数学专题复习
D
F
A
若矩形ABCD中，AD=5，AB=3.
（1）如图2，BA'= 3 。
C D
A' 图1 F
E B'
B A
（2）如图3，BA'= 5 . C
（3）设BA'=m,当m的取值范围是
D
3≤m≤5 时，四边形AEA'F是菱形。
A'图2 B(E)
F
A
(A') C
E 图② C
如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,点E是BC边上一点,连
接AE,把△ABE沿AE折叠,使点B落在点F处,当△CEF直角三
例2:(2011·四川宜宾)如图,矩形纸片
D ABCD中,已知AD=8,折叠纸片使AB边与对角
线AC重合,点B落在点F处,折痕为AE,且EF=3,
则AB的长为( D )
C A.3
B.4
C.5
D.6
变式拓展 A
初三数学专题复习
DA
F DA
F
D F
B
E
C B 图① E C B
EB B' 图3
互动探究二
初三数学专题复习
DF
A
E
矩形ABCD中，AD=5，AB=3.若点E、C 图4 A' B
F分别是边AB、AD上的点，将△AEF沿 D
F
A
EF对折，使A点的对应点A'落在边BC上.
观察图形，回答下列问题：
（1）如图2，BA'= 3 。 5 （2）如图5，BA'= 1 ，AE= 3 。
；
。C A'
EB B'
互动探究一
初三数学专题复习
D
F
A
若矩形ABCD中，AD=5，AB=3.
（1）如图2，BA'= 3 。
C D
A' 图1 F
E B'
B A
（2）如图3，BA'= 5 . C
（3）设BA'=m,当m的取值范围是
D
3≤m≤5 时，四边形AEA'F是菱形。
A'图2 B(E)
F
A
(A') C
E 图② C
如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,点E是BC边上一点,连
接AE,把△ABE沿AE折叠,使点B落在点F处,当△CEF直角三
人教版八级下册 矩形折叠 课件ppt(精选文档)
它对折，折痕为EF，展开后再折成如图所示，
使点B落在EF上的点B’处，求第二次的折痕
CG的长； 延长GB′交DC于点P，指出三
角形CGP的形状。
A
D
DP
C
B’
O
30
F
E
F6
BE C
A
GB
感悟和收获
1、折叠过程实质上是一个轴对称变换，折痕 就是对称轴，变换前后两个图形全等。
2、在矩形的折叠问题中，若有求边长问题， 常设未知数，找到相应的直角三角形，用勾股定 理建立方程，利用方程思想解决问题。
A．4
B．6
C．8
D．10
用一条宽相等的足够长的纸条,打一个结,如图（1）所示,然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示的正五边形ＡＢＣＤＥ,其中∠
ＢＡＣ＝ 度
6
（2）请你自己提出一个问题，自己解决。
（1）找出图中所有相等的线段（不包括矩形的对边）
把矩形沿对角线BD折叠，点C落在C′处。 （1）找出图中所有相等的线段（不包括矩形的对边）
分析：根据点E、F分别在AB、AD上移动，可画出两个极端位置时的图形。 有时还可采用动手操作，通过折叠观察得出问题的答案。
对角线BD上的点E处，此时折痕DF的长是多少？ 如图,有一矩形纸片ABCD,AB=10,AD=6,将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交
●求重叠部分△BED的面积。
A．4
B．6
C．8
D．10
在图中你能求出∠1，∠2，∠3的度数吗？
先把它对折，折痕为EF，展开后再折成如图所示，使点B落在EF上的点B’处，求第二次的折痕CG的长；
●找出图中的全等三角形，并说明你的理由.
矩形的折叠问题(专题)PPT课件
感谢你的到来与聆听
学习并没有结束，希望继续 努力
Thanks for listening, this course is expected to bring you value and help
E
D
C
B →x
C
B →x
在直角三角形AED中，ED= ，AE= ，故OE= 。
故点D的坐标为（3/2√3 ，- 3/2）。
练习8 如图，在直角三角形ABC中， ∠C=90º，沿着B点的一条直线BE折
C E
叠这个三角形，使C点与AB边上的
一点D重合。当∠A满足什么条件时，
点D恰好是AB的中点？写出一个你 BDA
B
C
答案：△ABD≌△CDB, △CDB≌△EDB, △EDB≌△ABD, △ABF≌△EDF.
练习6 如图，矩形纸片ABCD， D F
C
若把ABE沿折痕BE上翻，使 A点恰好落在CD上，此时，
E
AE:ED=5:3，BE=55，求矩形
的长和宽。
A
B
答案：矩形的长为10，宽为8。
4、求线段与面积间的变化关系
线段的长，角的度数，图形的周长与面积的变化关 系等问题。
1、求线段与线段的大小关系
例1 如图，AD是ABC的中线，
ADC=45º，把ADC沿AD对
折，点C落在点C'的位置，求
BC'与BC之间的数量关系。
B
C' A
D
C
解 由轴对称可知 ADC ≌ ADC' , ADC'=ADC=45º, C'D=CD=BD BC´D为Rt BC’=2 BD= 2 BC
矩形的折叠问题
（复习课）
矩形中的折叠.ppt
折叠部分的图形在折叠前后关 于折痕成轴对称，两图形全等
折叠的问题是 把一个图形一部分沿某条直
线折叠后，所形成的问题
【折叠问题】
例题 ：如图所示，在 （1）折叠后出现的相等线段有哪些?
矩形ABCD中，把
相等的角有哪些?
△ACD沿AC折叠到
△ACF，AF与BC交于 点E.
（2）图中全等的三角形有哪些？
4、若A5、若AD＝3，AB＝9，求EF的长．
拓展提升
如图，正方形ABCD
（1）若BE∶EC＝2∶1，则 线段CH的长是多少？
的边长为9，将正方形折
叠，使顶点D落在BC边
上的点E处，折痕为GH
。
（2）过点E作EM平行CD交GH于点M，链接
DM，四边形EHDM是什么四边形？什么理由
课堂小结
对同学说：你有什么收获？ 对老师说：你还有什么困惑？
（3）图中有什么特殊的三角形吗？说明理由。
（4）当AB=3,BC=4时，重合部分的面积是多少？
归纳
折叠的关键是
相等的边
翻折 相等的角
综合应用
有一矩形纸片ABCD， 1、若∠EFD＝75°，求∠AED ．
按如图方式折叠，使点B 与点D重合，折痕为EF.
2、若AD＝3，AB＝9，求BE的长．
3、链接BF,四边形DEBF是哪个 特殊四边形？说明理由。
作品展示
展示你的作品，并说说你的折叠方法。
折纸有什么特点？
观察与猜想
猜想下图，它的另一面是什么样子？
说说你的依据是什么？
归纳
对称性
折叠的本质 轴对称
全等形
观察矩形
你能说出 矩形的性质吗？
对边平行且相等 四个角都是直角
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B →x
过点D作Y轴垂线，垂足为E，
E
D
在直角三角形AED中，ED= ，AE= ，故OE= 。
故点D的坐标为（3/2√3 ，-.3/2）。
练习8 如图，在直角三角形ABC中，
∠C=90º，沿着B点的一条直线BE折 C E
叠这个三角形，使C点与AB边上的
一点D重合。当∠A满足什么条件时，
点D恰好是AB的中点？写出一个你 B
C
以O为坐标原点，OB、OA分别
在x轴，y轴上，点A坐标为(0,3)， O
∠OAB=60º，以AB为轴对折后， 使C点落在D点处，求D点坐标。
B →x
D
↑y
解由题意知，OA=3，∠OAB=60º， A
C
∴OB=3tan60º=3√3 .
∵Rt△ACB≌Rt△ADB, ∴AD=AC=OB=3√3 .
O
线段的长，角的度数，图形的周长与面积的变化关 系等问题。
1、求线段与线段的大小关系
例1 如图，AD是ABC的中线，
ADC=45º，把ADC沿AD对
折，点C落在点C'的位置，求
BC'与BC之间的数量关系。
BC' A源自DC解 由轴对称可知 ADC ≌ ADC' , ADC'=ADC=45º, C'D=CD=BD BC´D为Rt BC’=2 BD= 2 BC
折痕为EF。若CD=3，EF=4，
则AD¹+BC¹=
。2
A
D'
C F
C' B
练习3 如图，将矩形ABCD纸片
对折，设折痕为MN，再把B点叠 B E
C
在痕折AE痕的线长M为N（上，C 若）A。B=3，则折M G
B'
N
(A) 33/2
(B) 33/4
(C ) 2
(D) 23
A
D
.
2、求角的度数
例3 将长方形ABCD的纸片， A
认为适当的条件，并利用此条件证明
DA
D为AB中点。
条件：∠A=30º
证明：由轴对称可得，△BCE≌△BDE，∴ BC=BD ，
在△ABC中，∵ ∠C=90º，∠A=30º，∴ BC= ½ AB ，
∴ BD = ½ AB ，即点D为AB的中点。
.
1、如图，将矩形ABCD沿AE折叠，使点D落 在BC边上的F点处。
（1）若∠BAF＝60°，求∠EAF的度数；
（2）若AB＝6cm， AD＝10cm， 求线段CE的 长及△AEF的 面积.
.
练习7 如图，把一张边长为a的正 A E
方问形B点的落纸在进A行D折的叠什，么使位B置点时落，在折A起D上的，M
面积最小，并求出这最小值。
B
解： 如图，设MN为折痕，折起部
分为梯形EGNM，B、E关于MN对
AE
称，所以BE⊥MN，且BO=EO，设
AE=x，则BE= 。
MO
由Rt△MOB∽
，得：
，F
F
D
沿EF折成如图所示；已知
EFG=55º，则FGE= 70º。
B
G
E
C
D' C'
练习4 如图，矩形ABCD沿
B
BE折叠，使点C落在AD边上
的F点处，如果ABF=60º，
则CBE等于（ A ）。
(A)15º (B)30º
A
(C )45º (D)60º
.
C E
FD
3、求图形的全等、相似和图形的周长
例4 如图，折叠矩形ABCD一边AD，A
1、线段与线段的位置关系
例6 将长方形ABCD的纸片， A
FH D
沿EF折成如图所示，延长C`E 交AD于H，连结GH。求证：
B
G
E
C
EF与GH互相垂直平分。
D'
证明：由题意知FH∥GE，FG∥HE，∴
C'
。
又
，
∴四边形 是
，∴FE与GH互相垂直平分。
.
2、点的位置的确定
↑y
例7 已知：如图，矩形AOBC， A
∴BM=
=
=
.B
D G N
C D G N C
作NF⊥AB于F，则有Rt△MNF≌ ,∴FM=AE=x,从
而CN=BM-FM= = 。∴S梯形BCNM=
。
=½(x-a/2)2+3/8 a2 . ∴当x=.a∕2 时，Smin=(3∕8 )a2.
二、在“位置”方面的应用
由于图形折叠后，点、线、面等相应的位置 发生变化，带来图形间的位置关系重新组合。
2
.
练习1 如图，有一块直角三角形
纸片，两直角边AC=6，BC=8， A
现将直角边AC沿直线AD折叠，
E
使它落在斜边AB上，且与AE重 合，则CD等于（ B ）
C
D
B
(A)2 (B)3 (C )4 (D)5
例2 如图，折叠矩形的一边AD，点D落在BC边上点F 处，已知AB=8，BC=10，则EC的长是 。
使点D落在BC边的一点F处，已知折
痕AE=55 cm，且tanEFC=3/4.
(1)求证：AFB∽FEC；
(2)求矩形ABCD的周长。
B
D E
FC
.
练习5 如图，将矩形纸片ABCD
E
沿一对角线BD折叠一次（折痕 A
D
与折叠后得到的图形用虚线表
F
示），将得到的所有的全等三角
形（包括实线、虚线在内）用符 号写出来。
A 解 设EC=x，则DE=8-x，由轴对称可 知：EF=DE=8-x，AF=AD=10，又因 AB=8，故BF=6，故FC=BC-BF=4。在 RtFCE中，42+x2=(8-x)2，解之得x=3 B
.
D
E FC
练习2 如图，在梯形ABCD中，
DCAB，将梯形对折，使点D、
D
C分别落在AB上的D¹、C¹处， E
例5 已知一三角形纸片ABC，面积为25，BC的长为 10，B和C都为锐角，M为AB上的一动点(M与A、B 不重合)，过点M作MN∥BC，交AC于点N，设MN=x.
(1)用x表示△AMN的面积SΔAMN。
(2)ΔAMN沿MN折叠，设点A关于ΔAMN对称的点为A¹， ΔA¹MN与四边形BCMN重叠部分的面积为y.①试求出 y与x的函数关系式，并写出自变量X的取值范围； ②当x为何值时，重叠部分的面积y最大，最大为多 少？
矩形的折叠问题
（复习课）
.
几何研究的对象是：图形的形状、大小、 位置关系；
主要培养三方面的能力：思维分析能力、 空间想象能力和逻辑推理能力；
折叠型问题的特点是：折叠后的图形具有 轴对称图形的性质；
两方面的应用：一、在“大小”方面的应 用；二、在“位置”方面的应用。
.
一、在“大小”方面的应
用 折叠型问题在“大小”方面的应用，通常有求
B
C
答案：△ABD≌△CDB, △CDB≌△EDB, △EDB≌△ABD, △ABF≌△EDF.
练习6 如图，矩形纸片ABCD， D F
C
若把ABE沿折痕BE上翻，使 A点恰好落在CD上，此时，
E
AE:ED=5:3，BE=55，求矩形
的长和宽。
A
B
答案：矩形的长为10，宽为8.。
4、求线段与面积间的变化关系