广东省广州市越秀区2020-2021学年高一上学期期末考试数学试题(Word答案版)

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2022-2023学年广东省广州市越秀区执信中学高一(上)期末数学试卷(含答案解析)

2022-2023学年广东省广州市越秀区执信中学高一（上）期末数学试卷1. 已知角α的终边经过点(8,6)，则cosα的值为( ) A. 34B. 43C. 45D. −352. cos17∘cos43∘+sin17∘sin223∘=( ) A. −12 B. −√32 C. 12 D. √323. 如图，I 为全集，M 、P 、S 是I 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是( )A. (M ∩P)∩SB. (M ∩P)∪SC. (M ∩P)∩C I SD. (M ∩P)∪C I S4. 下列函数既是奇函数又在(−1,1)上是增函数的是( ) A. y =sinx B. y =−2x C. y =2x +2−x D. y =lg(x +1)5. 设a =tan92∘，b =(1π)2，c =log π92，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A. c >a >b B. c >b >a C. a >b >c D. b >a >c 6. 函数f(x)=cos(x−π2)|x|的部分图像大致是( )A.B.C.D.7. 已知定义在[a−1,2a]上的偶函数f(x)，且当x∈[0,2a]时，f(x)单调递减，则关于x的不等式f(x−1)>f(2x−3a)的解集是( )A. (0,23)B. [16,5 6 ]C. (13,2 3 )D. (23,5 6 ]8. 一半径为2m的水轮，水轮圆心O距离水面1m；已知水轮按逆时针做匀速转动，每3秒转一圈，且当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间．如图所示，建立直角坐标系，将点P距离水面的高度ℎ(单位：m)表示为时间t(单位：s)的函数，记ℎ=f(t)，则f(t)+ f(t+1)+f(t+2)=( )A. 0B. 1C. 3D. 49. 已知a ，b ，c 是实数，则下列不等关系的表述，一定正确的有( ) A. a 2+b 2≥(a+b)22B. 若ab ≠0，则|a||b|+|b||a|≥2 C. 若a 1bD. 若a bc10. 先将函数f(x)=sinx 的图像向右平移π6个单位长度后，再将横坐标缩短为原来的12，得到函数g(x)的图像，则关于函数g(x)，下列说法正确的是( )A. 在(0,π4)上单调递增 B. 图像关于直线x =5π6对称 C. 在(π4,π2)上单调递减D. 最小正周期为π，图像关于点(π12,0)对称11. 已知函数f(x)={x +2,x ≤0|lgx|,x >0，方程f 2(x)−mf(x)−1=0有4个不同的实数根，则下列选项正确的为( )A. 函数f(x)的零点的个数为2B. 实数m 的取值范围为(−∞,32] C. 函数f(x)无最值D. 函数f(x)在(0,+∞)上单调递增12. 已知函数f(x)满足对任意的x ∈R 都有f(x +2)=−f(x)，f(1)=3，若函数y =f(x −1)的图象关于点(1,0)对称，且对任意的x 1，x 2∈(0,1)，x 1≠x 2，都有x 1f(x 1)+x 2f(x 2)>x 1f(x 2)+x 2f(x 1)，则下列结论正确的是( )A. f(x)是偶函数B. f(x)的图象关于直线x =1对称C. f(2022)−f(2023)=3D. f(−52)<f(54)13. 已知集合M ={x||x −1|≤3}，N ={x|3x ≥1}，则M ∩N =______.(用区间作答) 14. 若sin(π6−α)=√33，则cos(π3+α)=______.15. 设f(x)是定义域为R 的奇函数，且f(1+x)=f(−x).若f(−12)=1，则f(20212)=______.16. 函数y =sinx +cosx +2sinxcosx +2的值域是______.17. 已知α为第三象限角，且f(α)=sin(3π2−α)cos(π2−α)tan(−α+π)sin(π2+α)tan(2π−α).(1)化简f(α)； (2)若f(α)=2√65，求cos(π+α)的值． 18. 已知函数f(x)=2(√3cosx −sinx)sinx ，x ∈R.(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期与单调增区间； (Ⅰ)求函数f(x)在[0,π4]上的最大值与最小值．19. 2020年12月17日凌晨，经过23天的月球采样旅行，嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆预定区域，我国首次对外天体无人采样返回任务取得圆满成功，成为时隔40多年来首个完成落月采样并返回地球的国家，标志着我国探月工程“绕，落，回”圆满收官．近年来，得益于我国先进的运载火箭技术，我国在航天领域取得了巨大成就．据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式v =v 0⋅ln Mm 计算火箭的最大速度vm/s ，其中v 0m/s 是喷流相对速度，mkg 是火箭(除推进剂外)的质量，Mkg 是推进剂与火箭质量的总和，Mm称为“总质比”，已知A 型火箭的喷流相对速度为1000m/s. (1)当总质比为200时，利用给出的参考数据求A 型火箭的最大速度；(2)经过材料更新和技术改进后，A 型火箭的喷流相对速度提高到了原来的32倍，总质比变为原来的13，若要使火箭的最大速度至少增加500m/s ，求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值．参考数据：ln200≈5.3，2.718<e <2.719.20. 在①A ={x|2x−2x+1<1}，②A ={x||x −1|<2}，③A ={x|y =log 23−xx+1}这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并回答下列问题．设全集U =R ，_____，B ={x|x 2+x +a −a 2<0}.(1)若a =2，求(∁U A)∪(∁U B)；(2)若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．21. 设函数f(x)=sin(ωx −π3)+2cos(ωx −π6)(0<ω<3)，将该函数的图象向左平移π6个单位长度后得到函数g(x)的图象，函数g(x)的图象关于y 轴对称．(1)求ω的值；(2)在给定的坐标系内，用“五点法”列表、画出函数f(x)在一个周期内的图象；(3)设关于x 的方程mf(x2)+g(x +π6)+√3(m +1)=0在区间[−7π6,0]上有两个不相等的实数根，求实数m 的取值范围．22. 已知函数f(x)=ax 2+2(a −2)x +1，其中a ∈R.(1)若对任意实数x 1，x 2∈[2,4]，恒有f(x 1)≥9sin2x 2，求a 的取值范围；(2)是否存在实数x 0，使得ax 0<0且f(x 0)=|2x 0−a|+2？若存在，则求x 0的取值范围；若不存在，则加以证明．答案和解析1.【答案】C【解析】解：角α的终边经过点(8,6)，则cosα=√8+6=45.故选：C.由已知利用任意角的三角函数的定义即可求解．本题考查了任意角的三角函数的定义，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：cos17∘cos43∘+sin17∘sin223∘=cos17∘cos43∘+sin17∘sin(180∘+43∘)=cos17∘cos43∘−sin17∘sin43∘=cos(17∘+43∘)=cos60∘=1 2.故选：C.利用诱导公式，再利用两角和的余弦公式求解即可．本题考查诱导公式与两角和的余弦公式，属基础题．3.【答案】C【解析】解：图中的阴影部分是：M∩P的子集，不属于集合S，属于集合S的补集即是C I S的子集则阴影部分所表示的集合是(M∩P)∩∁I S故选：C.先根据图中的阴影部分是M∩P的子集，但不属于集合S，属于集合S的补集，然后用关系式表示出来即可．本题主要考查了Venn图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y=sinx，是正弦函数，既是奇函数又在(−1,1)上是增函数，符合题意，对于B，y=−2x，是反比例函数，其定义域为{x|x≠0}，在(−1,1)上不具有单调性，不符合题意，对于C，y=2x+2−x，不是奇函数，不符合题意，对于D，y=lg(x+1)，其定义域为(−1,+∞)，不是奇函数，故选：A.根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性和单调性，综合可得答案．本题考查函数奇偶性和单调性的判断，注意常见函数的奇偶性和单调性，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：因为92∘是第二象限角，所以a =tan92∘<0，因为指数函数y =(1π)x 在R 上为减函数，且0<2<3，所以0<(1π)3<(1π)2<(1π)0=1，所以01，所以c >b >a. 故选：B.根据正切函数，指数函数，对数函数性质估计a ，b ，c 的大小，由此确定它们的大小关系．本题主要考查了正切函数，指数函数以及对数函数性质的应用，考查了函数思想，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：因为f(x)=cos(x−π2)|x|=sinx|x|，f(−x)=sin(−x)|−x|=−sinx |x|=−f(x).所以f(x)为奇函数，故AB 选项错；x ∈(0,π)，sinx >0，即f(x)>0，故D 选项错；故选：C.根据函数基本性质及函数图像特征分别判断即可．本题考查函数基本性质及函数图像特征，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：f(x)是偶函数，则a −1+2a =0，得a =13，即函数的定义域为[−23,23]，当x ∈[0,23]时，f(x)单调递减，则不等式f(x −1)>f(2x −1)等价为不等式f(|x −1|)>f(|2x −1|)，则|x −1|<|2x −1|，平方得x 2−2x +1<4x 2−4x +1，得3x 2−2x >0，得x >23或x <0，又{−23⩽x −1⩽23−23⩽2x −1⩽23x >23或x <0，得{13⩽x ⩽5316⩽x ⩽56x >23或x <0，得，23<x ≤56，即不等式的解集为(23,56], 故选：D.根据函数奇偶性的对称性求出a 的值，然后利用函数单调性进行转化求解即可．本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，根据进行和单调性的性质进行转化是解决本题的关键，是中档题．8.【答案】C【解析】解：根据题意，设ℎ=f(t)=Asin(ωt +φ)+k ，(−π2<φ<0)，则A =2，k =1，因为T =3，所以ω=2πT =2π3，所以ℎ=2sin(2π3t +φ)+1，又因为t =0时，ℎ=0，所以0=2sinφ+1，所以sinφ=−12，又因为−π2<φ<0，所以φ=−π6，所以ℎ=f(t)=2sin(2π3t −π6)+1；所以f(t)=√3sin2π3t −cos 2π3t +1， f(t +1)=2sin(2π3t +π2)+1=2cos 2π3t +1，f(t +2)=2sin(2π3t +7π6)+1=−√3sin 2π3t −cos 2π3t +1，所以f(t)+f(t +1)+f(t +2)=3. 故选：C.根据题意设ℎ=f(t)=Asin(ωt +φ)+k ，求出φ、A 、T 和k 、ω的值，写出函数解析式，计算f(t)+f(t +1)+f(t +2)的值．本题考查了三角函数模型的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．9.【答案】ABD【解析】解：对于A ，∵a 2+b 2−(a+b)22=(a−b)22≥0，当且仅当a =b 时，等号成立，∴a 2+b 2≥(a+b)22，故A 正确，对于B ，|a||b|+|b||a|≥2√|a||b|⋅|b||a|=2，当且仅当|a|=|b|时，等号成立，故B 正确，对于C ，令a =−1，b =1，满足a 0，即a c >b c，故D 正确．故选：ABD.对于AD ，结合作差法，即可求解，对于B ，结合基本不等式的性质，即可求解，对于C ，结合特殊值法，即可求解．本题主要考查不等式的性质，掌握作差法和特殊值法是解本题的关键，属于基础题．10.【答案】ABD【解析】解：先将函数f(x)=sinx 的图象向右平移π6个单位后，可得y =sin(x −π6)的图象，再将横坐标缩短为原来的12，得到函数g(x)=sin(2x −π6)的图象，则当x ∈(0,π4)时，2x −π6∈(−π6,π3)，故g(x)单调递增，故A 正确；当x =5π6时，g(x)=−1，为最小值，故g(x)的图象关于直线x =5π6对称，故B 正确；当x ∈(π4,π2)时，2x −π6∈(π3,5π6)，故g(x)没有单调性，故C 不正确；由题意可得g(x)的周期为π，当x =π12时，g(x)=0，故g(x)的图象关于点(π12,0)对称，故D 正确．故选：ABD.由题意利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，可得g(x)的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．11.【答案】ABC【解析】解：函数f(x)={x +2,x ≤0|lgx|,x >0，作出f(x)的图象如图所示，由图象可知，f(x)=0有x =−2和x =1两个零点，故选项A 正确；方程f 2(x)−mf(x)−1=0有4个不同的实数根，令f(x)=a ，f(x)=b ，a ≠b ，则{a <002或{a >2b >2，因为方程x 2−mx −1=0必有一正一负两个根，所以{a <00<b ≤2，且ab =−1，所以a =−1b ≤−12，所以f(x)≤−12或0<f(x)≤2，则m =f 2(x)−1f(x)=f(x)−1f(x)，令t =f(x)，则m =t −1t ，t ∈(−∞,−12]∪(0,2], 因为函数m =t −1t在(−∞,−12]和(0,2]上单调递增，当t =−12时，m =32，当t =2时，m =32，所以m ≤32，故选项B 正确； f(x)无最值，故选项C 正确；f(x)在(0,+∞)上不单调，故选项D 错误．故选：ABC.利用分段函数的解析式，作出f(x)的图象，由图象即可判断选项A ，C ，D ，将方程f 2(x)−mf(x)−1=0有4个不同的实数根，转化为x 2−mx −1=0必有一正一负两个根，从而得到f(x)的取值范围，利用m 与f(x)的关系，结合不等式求解即可得到m 的取值范围，从而判断选项B.本题考查了函数的零点与方程的根的综合应用，解决函数零点或方程根的问题，常用的方法有：(1)方程法(直接解方程得到函数的零点)；(2)图象法(直接画出函数的图象分析得解)；(3)方程+图象法(令函数为零，再重新构造两个函数，数形结合分析得解).属于中档题．12.【答案】BCD【解析】解：A 选项：由函数f(x −1)的图象关于点(1,0)对称，可得函数f(x)的图象关于点(0,0)对称，所以函数f(x)为奇函数，故A 不正确； B 选项：由函数f(x)为奇函数可得f(x +2)=−f(x)=f(−x)，故函数f(x)的图象关于直线x =1对称，故B 正确；C 选项：由函数f(x)满足对任意的x ∈R 都有f(x +2)=−f(x)，可得f(x +4)=−f(x +2)=f(x)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数．因为f(x)，x ∈R 为奇函数，所以f(0)=0，由f(x +2)=−f(x)得f(0+2)=−f(0)，故f(2)=0，则f(2022)=f(505×4+2)=f(2)=0，f(2023)=f(505×4+3)=f(3)=f(−1)=−f(1)=−3，所以f(2022)−f(2023)=0−(−3)=3，故C 正确；D 选项：由对任意x 1，x 2∈(0,1)，x 1≠x 2，都有x 1f(x 1)+x 2f(x 2)>x 1f(x 2)+x 2f(x 1)，即对任意的x 1，x 2∈(0,1)，x 1≠x 2，都有(x 1−x 2)(f(x 1)−f(x 2))>0，可得函数f(x)在区间(0,1)上单调递增．因为f(−52)=f(−52+4)=f(32)=f(2−32)=f(12)，f(54)=f(2−54)=f(34)，且12<34，所以f(12)<f(34)，即f(−52)<f(54)，故D 正确，故选：BCD.对于A选项：根据函数f(x−1)的图象关于点(1,0)对称，则函数f(x)的图象关于点(0,0)对称，即可判断；对于B选项：由A选项可知函数f(x)为奇函数，可推得f(x+2)=f(−x)，即可判断图象关于直线x=1对称；对于C选项：由f(x+2)=−f(x)可推出函数f(x)是周期为4的周期函数，结合函数奇偶性可推得f(2022)=0，f(2023)=−3，即可判断C；对于D选项：由x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1)可得(x1−x2)(f(x1)−f(x2))>0，推出函数f(x)在区间(0,1)上单调递增，结合函数性质求得f(−52)=f(12)，f(54)=f(34)，即可得f(−52)<f(54).本题主要考查抽象函数及其应用，考查函数的奇偶性与周期性，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题．13.【答案】[0,4]【解析】解：∵M={x|−3≤x−1≤3}={x|−2≤x≤4}，N={x|x≥0}，∴M∩N=[0,4].故答案为：[0,4].可求出集合M，N，然后进行交集的运算即可．本题考查了集合的描述法和区间的定义，绝对值不等式的解法，指数函数的单调性，交集及其运算，考查了计算能力，属于容易题．14.【答案】√33【解析】解：因为sin(π6−α)=√33，则cos(π3+α)=sin(π6−α)=√33，故答案为：√33.由已知结合诱导公式进行化简即可求解．本题主要考查了诱导公式在三角化简求值中的应用，属于基础题．15.【答案】−1【解析】解：因为f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(−x)=−f(x)，又因为f(1+x)=f(−x)，所以f(1+x)=−f(x)，所以f(2+x)=−f(1+x)=f(x)，则f(x)是周期为2的周期函数，所以f(20212)=f(1010+12)=f(12)=−f(−12)=−1.故答案为：−1.先由f(x)的奇偶性与题设条件推得f(1+x)=−f(x)，从而证得f(x)是周期函数，进而利用f(x)的周期性与奇偶性求得f(20212).本题考查函数的周期性，属于中档题．16.【答案】[34,3+√2]【解析】解：令t=sinx+cosx=√2sin(x+π4)∈[−√2,√2]，t2=1+2sinxcosx，所以y=t+t2−1+2=t2+t+1，t∈[−√2,√2]，对称轴t=−12，所以y∈[34,3+√2]，即函数y=sinx+cosx+2sinxcosx+2的值域是[34,3+√2].换元法，令t=sinx+cosx=√2sin(x+π4)∈[−√2,√2]，把函数换元成二次函数，利用二次函数求得值域．本题考查三角函数求最大值和最小值，属于中档题目．17.【答案】解：(1)由已知得f(α)=−cosα⋅sinα⋅tan(−α)cosα⋅tan(−α)=−sinα；(2)由已知得sinα=−2√65，因为α为第三象限角，故cosα=−√1−sin2α=−15，故cos(π+α)=−cosα=15.【解析】(1)利用诱导公式直接化简即可；(2)根据平方关系求出cosα，再利用诱导公式求解．本题考查利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式求值的问题，属于基础题．18.【答案】解：由题意得，f(x)=2√3sinxcosx−2sin2x=√3sin2x+cos2x−1=2(√32sin2x+12cos2x)−1=2sin(2x+π6)−1，(Ⅰ)f(x)的最小正周期为：T=2π2=π，令−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ(k∈Z)得，−π3+kπ≤x≤π6+kπ(k∈Z)，所以函数f(x)的单调增区间是[−π3+kπ,π6+kπ](k∈Z)；(Ⅰ)因为0≤x ≤π4，所以π6≤2x +π6≤2π3，所以12≤sin(2x +π6)≤1，即0≤2sin(2x +π6)−1≤1，所以0≤f(x)≤1，当且仅当x =0时，f(x)取最小值f(x)min =f(0)=0，当且仅当2x +π6=π2时，即x =π6时最大值f(x)max =f(π6)=1.【解析】根据题意、二倍角的正弦、余弦公式、两角和的正弦公式运算化简f(x)， (Ⅰ)由三角函数的周期公式求出周期，再由正弦函数的单调递增区间求出此函数的增区间； (Ⅰ)由x 的范围求出求出2x +π6的范围，再由正弦函数的性质求出次函数的最大值、最小值．本题考查正弦函数的单调性、最值，以及三角恒等变换的公式的应用，考查了整体思想的应用．19.【答案】解：(1)当总质比为200时，v =1000⋅ln200，由参考数据得v ≈1000×5.3=5300m/s ，∴当总质比为200时，A 型火箭的最大速度约为5300m/s ；(2)由题意，经过材料更新和技术改进后，A 型火箭的喷流相对速度为1500m/s ，总质比变为M 3m，要使火箭的最大速度至少增加500m/s ，则需1500⋅ln M3m −1000⋅ln Mm ≥500，化简，得3ln M 3m −2ln M m ≥1，∴ln(M 3m)3−ln(M m)2≥1，整理得lnM 27m≥1，∴M 27m≥e ，则M m≥27×e ，由参考数据，知2.718<e <2.719， ∴73.386<27×e <73.413，∴材料更新和技术改进前总质比的最小整数值为74.【解析】(1)当总质比为200时，v =1000⋅ln200，结合已知数据求解得答案；(2)由题意，经过材料更新和技术改进后，A 型火箭的喷流相对速度为1500m/s ，总质比变为M3m ，要使火箭的最大速度至少增加500m/s ，则需1500⋅ln M3m −1000⋅ln Mm ≥500，求出Mm 的范围，即可求得在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值．本题主要考查了函数的实际运用，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：(1)选①，A ={x|2x−2x+1<1}={x|x−3x+1<0}={x|−1<x <3}；选②，A ={x||x −1|<2}={x|−2<x −1<2}={x|−1<x <3}；选③，A ={x|y =log 23−xx+1}={x|3−xx+1>0}={x|−1<x <3}. a =2时，B ={x|x 2+x −2<0}={x|−2<x <1}，所以A ∩B ={x|−1<x <1}，(∁U A)∪(∁U B)=∁U (A ∩B)={x|x ≤−1或x ≥1}；(2)因为A ={x|−1<x <3}，B ={x|x 2+x +a −a 2<0}={x|(x +a)(x +1−a)<0}，当−a =a −1，即a =12时，B =⌀；当−a >a −1，即a <12时，B ={x|a −1<x <−a}；当−a <a −1，即a >12时，B ={x|−a <x <a −1}. 若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，即有A ⫋B ，所以B ≠⌀，则{a <12a −1≤−1−a ≥3或{a >12−a ≤−1a −1≥3，解得a ≤−3或a ≥4，即a 的取值范围是(−∞,−3]∪[4,+∞).【解析】(1)选①②③，运用对数不等式的解法和绝对值不等式的解法、对数的真数大于0，化简可得集合A ；由a =2，运用二次不等式的解法，可得集合B ，再由交集和补集的性质，可得所求集合；(2)由题意可得A ⫋B ，对a 讨论，化简集合B ，再解a 的不等式组可得所求取值范围．本题考查不等式的解法和集合的混合运算，以及充分必要条件的判断，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)f(x)=sin(ωx −π3)+2cos(ωx −π6)=sinωxcos π3−coxsin π3+2(cosωxcos π6+sinωxsin π6) =32sinωx +√32cosωx =√3sin(ωx +π6)，所以f(x)=√3sin(ωx +π6)，将该函数的图象向左平移π6个单位后得到函数g(x)，则g(x)=√3sin[ω(x +π6)+π6]=√3sin(ωx +ωπ6+π6)，该函数的图象关于 y 轴对称，可知该函数为偶函数，故ωπ6+π6=π2+kπ，k ∈Z ，解得ω=2+6k ，k ∈Z ，因为0<ω<3，所以得到ω=2.(2)由(1)可得函数f(x)=√3sin(2x +π6)，列表：x −π12 π6 5π12 2π3 11π122x +π6 0 π2π 3π22π y 0√3−√3作图如下：(3)由(1)得到√3msin(x +π6)+√3cos(2x +π3)+√3(m +1)=0，化简得msin(x +π6)+1−2sin 2(x +π6)+m +1=0，令t =sin(x +π6)，x ∈[−7π6,0]，则t ∈[−1,12]，关于t 的方程−2t 2+mt +m +2=0，即(t +1)(2t −m −2)=0，解得t 1=−1，t 2=m+22，当t 1=−1时，由sin(x +π6)=−1，x ∈[−7π6,0]，可得x =−2π3，要使原方程在[−7π6,0]上有两个不相等的实数根，则−1<m+22≤0，解得−4<m ≤−2，故实数m 的取值范围为(−4,−2].【解析】(1)化简f(x)解析式，通过三角函数图象变换求得g(x)，结合g(x)关于y 轴对称即可求得ω；(2)利用五点法作函数y =Asin(ωx +φ)的图象即可得解；(3)化简方程mf(x2)+g(x +π6)+√3(m +1)=0，利用换元法，结合一元二次方程根的分布求得m 的取值范围．本题考查五点法作函数y=Asin(ωx+φ)的图象，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换，考查数形结合思想和学生的运算能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)∵x2∈[2,4]，∴2x2∈[4,8]，sin2x2∈[−1,1]，∴[sin2x2]max=1，∴[9sin2x2]max=9，∴原问题⇔f(x)≥9对任意x∈[2,4]成立，即ax2+2(a−2)x+1≥9对任意x∈[2,4]成立，即a≥4x对任意x∈[2,4]成立，∴a≥[4x]max=2.故a的范围是：[2,+∞).(2)①若a>0，∵ax0<0，∴x0<0，2x0−a<0，∴f(x0)=|2x0−a|+2⇔ax02+2(a−2)x0+1=a−2x0+2⇔a=2x0+1x02+2x0−1>0，⇒(2x0+1)(x02+2x0−1)>0⇒(2x0+1)[x0−(√2−1)][x0−(−√2−1)]>0，∵x0<0，∴x0−(√2−1)<0，∴不等式变为2(x0+1)[x0−(−√2−1)]<0，∴x0∈(−√2−1,−12)；②若a>0，∵ax0<0，∴x0>0，∴2x0−a>0，∴f(x0)=|2x0−a|+2⇔ax02+2(a−2)x0+1=2x0+2−a⇔ax02+2ax0−4x0+1+a=2x0+2⇔a(x02+2x0+1)=6x0+1⇔a=6x0+1x02+2x0+1<0⇒6x0+1<0⇒x0<−16，∵x0>0，∴此时无解．综上所述，存在x0∈(−√2−1,−12)满足题意．【解析】(1)首先求出9sin2x2在x2∈[2,4]上的最大值，问题转化为f(x)≥[9sin2x2]max对任意x∈[2,4]成立，然后化简不等式，参变分离构造a≥[4x]max即可．(2)分a>0和a<0两种情况讨论，去掉绝对值符号，转化为解不等式的问题．本题考查了分类讨论思想、转化思想及分式不等式的解法，也考查了学生的分析问题、解决问题及计算能力，属于中档题．。

2020-2021学年广东省广州市广附高一上学期期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年广东省广州市广附高一上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.扇形的半径是6cm，圆心角为15°，则扇形面积是()A. π2cm2 B. 3πcm2 C. πcm2 D. 3π2cm22.A={(x,y)|y≤√4−x2,y≥0}，B={(x,y)|x+y≥2}，则A∩B所对应区域面积为()A. 2πB. π−2C. πD. π+23.在△ABC中，若sinA>sinB，则A与B的大小关系为()A. A、B的大小关系不确定B. A=BC. A<BD. A>B4.函数y=2sinωx(ω>0)的部分图象如图所示，点A、B是最高点，点C是最低点．若△ABC是直角三角形(C为直角)，则ω的值为()A. π4B. π2C. π3D. π5.已知定义域为R的函数f(x)不是奇函数，给定下列4个命题：①函数g(x)=f(−x)−f(x)是奇函数；②∀x∈R，f(−x)≠−f(x)；③∀x∈R，f(−x)=f(x)；④∃x0∈R，f(−x0)≠−f(x0).其中为真命题的命题是()A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④6.等比数列{a n}中，a7=10，q=−2，则a10=()A. 4B. 40C. 80D. −807.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且m⃗⃗⃗ =(a+c,b)，n⃗=(b,a−c)，m⃗⃗⃗ //n⃗，则△ABC的形状为()A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能判定8.若0<a <1，在[0,2π]上满足sinx ≥a 的x 的范围是( )A. [0,arcsina]B. [arcsina,π−arcsina]C. [π−arcsina,π]D. [arcsina,π2+arcsina]二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9.已知函数f(x)=2x +x ，若0<m <1<n ，则下列不等式一定成立的有( )A. f(1−m)<f(n −1)B. f(2√mn)<f(m +n)C. f(log m n)<f(log n m)D. f(m n )<f(n m )10. 将函数y =cos2x 的图象上所有点向左平移π6个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数y =f(x)的图象，则( )A. f(x)的图象的对称轴方程为x =−π6+kπ2(k ∈Z)B. f(x)的图象的对称中心坐标为(kπ2+π12,0)(k ∈Z) C. f(x)的单调递增区间为[−2π3+kπ,−π6+kπ)(k ∈Z)D. f(x)的单调递减区间为[π6+kπ,2π3+kπ](k ∈Z)11. 在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =AD =1，AA 1=2，P 是线段BC 1上的一动点，则下列说法正确的是( )A. A 1P//平面AD 1CB. A 1P 与平面BCC 1B 1所成角的正切值的最大值是2√55C. A 1P +PC 的最小值为√1705D. 以A 为球心，√2为半径的球面与侧面DCC 1D 1的交线长是π312. 若函数f(x)对∀a ，b ∈R ，同时满足：①当a +b =0时，有f(a)+f(b)=0；②当a +b >0时，有f(a)+f(b)>0，则称f(x)为Ω函数．下列函数中是Ω函数的有( )A. f(x)=e x +e −xB. f(x)=e x −e −xC. f(x)=x −sinxD. f(x)={0,x =0−1x ,x ≠0三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设α∈(0,π)，且α≠π2，当∠xOy =α时，定义坐标系xOy 为α−仿射坐标(如图)，在α−仿射坐标系中，任意一点P 的坐标这样定义“e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 分别是与x 轴，y 轴方向同向的单位向量，若向量OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x e 1⃗⃗⃗ +y e 2⃗⃗⃗ ，则记OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y)，下列结论正确的是______ (写上所有正确结论的序号) ①设向量α⃗ =(m,n)，b ⃗ =(s,t)，若α⃗ =b ⃗ ，则有m =m ，s =t ； ②设向量α⃗ =(m,n)，则|α⃗ |=√m 2+n 2；③设向量α⃗ =(m,n)b ⃗ =(s,t)，若α⃗ //b ⃗ ，则有mt −ns =0； ④设向量α⃗ =(m,n)b ⃗ =(s,t)，若α⃗ ⊥b ⃗ ，则有mt +ns =0； ⑤设向量α⃗ =(1,2)b ⃗ =(2,1)，若α⃗ 与b ⃗ 的夹角为π3，则有α=2π3．14. 下列命题：①y =cos(2017π2+x)是偶函数；②y =tan(x +π4)的一个对称中心是(π4,0)；③若α，β是第一象限角，且α<β，则tanα<tanβ； ④cos1<sin1<tan1．其中所有正确命题的序号是______ ．15. 下列命题中，真命题的有______ 。

广东实验中学2020-2021学年高一上学期期末考试数学试题(含答案)

令 h(t) 3t 2 ,t [1,0) ， h(t) 2 6 当且仅当 t 6 时取等号，∴ k 2 6
t
3
t∈(0,4]时，不等式（*）等价于 k 3t 2 恒成立， t
10 分
令(t) 3t 2 ,t (0,4]，(t) 2 6当且仅当t 6 时取等号，k 2 6
t
17.解：（1）原式＝
﹣1﹣
+ ＝ ﹣1﹣ + ＝．
（2）原式＝3+2lg5+2lg2+2＝5+2（lg5+lg2）＝5+2＝7．
评分标准:每一个问 5 分.每个数计算正确各给 1 分,最后结果 1 分
18.解：（1）∵函数是幂函数，
∴m2+2m﹣2＝1，即 m2+2m﹣3＝0，解得 m＝1 或 m＝﹣3，
＝ t ＞，＞与 ൌ t ݊ o o t可供选择．（1）试判断哪个函数模型更合适并说明理由，求出该模型的解析式；（2）求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积 10 倍以上的最小月份．（参考数据：lg2 ≈0.3010，lg3≈0.4711）．
21．(本题满分 12 分)
已知定义域为
的函数
f
（2）若 t 在，5 上单调，求的最大值． 18 36
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广东实验中学 2020—2021 学年（上）高一级期末考试数学
答案及说明
题号 1
23
4
5 6 78 9
10 11 12
答案 C A D C A D C B BC ABC CD BC
13.
2、 -
5 12
k , 12
12
63
2
25

2020-2021学年高一上学期期末考试数学卷及答案

2020-2021学年高一上学期期末考试数学卷及答案1.集合A和B分别表示y=x+1和y=2两个函数的图像上所有的点，求A和B的交集。

答案：A={(-∞,1]}。

B={2}。

A∩B=A={(-∞,1]}2.已知函数y=(1-x)/(2x^2-3x-2)，求函数的定义域。

答案：分母2x^2-3x-2=(2x+1)(x-2)，所以函数的定义域为x∈(-∞,-1/2]∪(2,∞)。

3.如果直线mx+y-1=0与直线x-2y+3=0平行，求m的值。

答案：两条直线平行，说明它们的斜率相等，即m=2.4.如果直线ax+by+c=0经过第一、第二，第四象限，求a、b、c应满足的条件。

答案：第一象限中x>0.y>0，所以ax+by+c>0；第二象限中x0，所以ax+by+c0.y<0，所以ax+by+c<0.综上所述，应满足ab<0.bc<0.5.已知两条不同的直线m和n，两个不同的平面α和β，判断下列命题中正确的是哪个。

答案：选项A是正确的。

因为如果m与α垂直，n与β平行，那么m和n的夹角就是α和β的夹角，所以m和n垂直。

6.已知圆锥的表面积为6π，且它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆锥的底面半径。

答案：设底面半径为r，侧面的母线长为l，则圆锥的侧面积为πrl。

根据题意，πrl=6π，所以l=6/r。

而侧面展开图是一个半圆，所以底面周长为2πr，即底面直径为2r，所以侧面母线长l=πr。

将上述两个式子代入公式S=πr^2+πrl中，得到r=2.7.已知两条平行线答案：两条平行线的距离等于它们的任意一点到另一条直线的距离。

我们可以先求出l2上的一点，比如(0,7/8)，然后带入l1的方程，得到距离为3/5.8.已知函数y=ax-1/(3x^2+5)，如果它的图像经过定点P，求点P的坐标。

答案：点P的坐标为(1,2)。

因为当x=1时，y=a-1/8，所以a=17/8.又因为当x=2时，y=1/13，所以17/8×2-1/13=2，解得a=17/8，所以y=17x/8-1/(3x^2+5)，当x=1时，y=2.9.已知a=3/5，b=1/3，c=4/3，求a、b、c的大小关系。

2020-2021学年广东省广州市高一(上)期末数学试卷人教新课标A版

2020-2021学年广东省广州市高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共有8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若扇形的弧长为2cm ，半径为1cm ，则其圆心角的大小为（） A.2π B.4π C.2 D.42. 设集合A ={x ∈N|−2≤x ≤4}，B ={x|y =ln (x 2−3x)}，则集合A ∩B 中元素的个数是（） A.1 B.2 C.3 D.43. 已知向量a →=(sin θ,−2)，b →=(1,cos θ)，且a →⊥b →，则sin 2θ+cos 2θ的值为( ) A.1 B.2C.12D.34. 周期为π的函数y =cos (ωx +φ)(ω>0, 0<φ<π)的部分图象如图所示，则φ=（）A.−π3B.2π3C.π6D.5π65. 已知函数y =f(x)在[−1, 1]上单调递减，且函数f(x)的图象关于直线x =1对称，设a =f(−12)，b =f(2)，c =f(3)，则a ，b ，c 的大小关系为（） A.a 0,n >0），若a →与b →共线，则4m+12n的最小值为（）A.94B.3C.4615D.98. 已知函数f(x)=2sin (ωx −π6)(ω>12，x ∈R ），若f (x )的图象的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标均不属于区间(3π,4π)，则ω的取值范围是（）A.(12,23)∪[89,76] B.(12,1724]∪[1718,2924] C.[59,23]∪[89,1112]D.[1118,1724]∪[1718,2324]二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，选对但不全的得3分．）若0<a <1，则（）A.log a (1−a)<log a (1+a)B.log a (1+a)<0C.(1−a)13<(1−a)12D.a 1−a <1将函数f(x)=2sin x 的图象向左平移π6个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到g(x)的图象，下列四个结论中不正确的是（） A.函数g(x)在区间[0,2π3]增函数B.将函数g(x)的图象向右平移2π3个单位长度后得到的图象关于y 轴对称C.点(−π6，0)是函数g(x)图象的一个对称中心 D.函数g(x)在[π, 2π]上的最大值为1设a →，b →是两个非零向量，则下列描述正确的有（） A.若|a →+b →|=|a →|−|b →|，则存在实数λ使得a →=λb →B.若a →⊥b →，则|a →+b →|=|a →|−|b →| C.若|a →+b →|=|a →|+|b →|，则a →=b →D.若a →与b →的方向相反，则|a →+b →|=|a →|−|b →|已知函数f(x)=x|x|，则下列命题中正确的是（） A.函数f(sin x)是奇函数，且在(−12，12)上是减函数 B.函数sin （f(x)）是奇函数，且在(−12，12)上是增函数 C.函数f(cos x)是偶函数，且在(0, 1)上是减函数 D.函数cos （f(x)）是偶函数，且在(−1, 0)上是增函数二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）已知向量a →=(1,√3)，b →=(−1,0)，则|a →+3b →|=________.若函数f(x)=cos (ωx)cos (π2−ωx)(ω>0)的最小正周期为π2，则ω的值为________．已知命题p ：(x −m)2<9，命题q:log 4(x +3)<1，若p 是q 的必要不充分条件．则实数m 的取值范围是________．设函数f (x )={|ln x|,0<x <2，f (4−x ),2<x <4，方程f(x)=m 有四个不相等的实数根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 12+x 22+x 32+x 42的取值范围为________．四、解答题（本大题共6小题，第17题10分，其余各题分别12分，共70分，解答应写出必买的文字说明、证明过程或演算步骤．）解答.(1)计算：(log 43+log 83)⋅(log 32+log 92)； (2)求cos 17π6+sin (−16π3)−tan (−4π3)的值．已知函数已知函数f (x )=sin ωx +√3cos ωx (ω>0) f (x )图象的相邻两对称轴之间的距离为π2 (1)求ω的值；(2)若f (α)=23，求sin (5π6−4α)的值．已知向量a →=(cos x, sin x)，b →=(sin x, sin x),x ∈[0,π4].(1)若x =π6，向量c →=(−1,1)，求c →在a →上投影；(2)若函数f (x )=λ(a →⋅b →−12)的最大值为12，求实数λ的值．已知函数f(x)=m ⋅2x +2⋅3x ，m ∈R ．(1)当m =−9时，求满足f(x +1)>f(x)的实数x 的范围；(2)若f(x)≤(92)x对任意的x∈R恒成立，求实数m的范围．已知二次函数f(x)=x2−16x+q+3.(1)若函数在区间[−1, 1]上存在零点，求实数q的取值范围；(2)问：是否存在常数t(t≥0)，当x∈[t, 10]时，f(x)的值域为区间D，且D的长度为12−t．已知函数f(x)=ln(√1+x2+x).(1)证明f(x)为奇函数；(2)判断y=f(x)的单调性并写出证明过程；(3)当a≥1时，关于x的方程f[√2a sin(x+π4)−12sin2x−a2+√2a]=0在区间[0,π]上有唯一实数解，求a的取值范围．参考答案与试题解析2020-2021学年广东省广州市高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共有8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【答案】C【考点】弧长公式【解析】利用弧长公式即可得出．【解答】解：设扇形的圆心角的弧度数为α，由已知及弧长公式可得：2=1⋅α，解得α=2．故选C.2.【答案】A【考点】交集及其运算【解析】求出集合A，B，利用交集定义求出A∩B，由此能求出集合A∩B中元素的个数．【解答】解：∵集合A＝{x∈N|−2≤x≤4}={0, 1, 2, 3, 4}，B＝{x|y=ln(x2−3x)}={x|x<0或x>3}，∴A∩B={4}，则集合A∩B中元素的个数为1．故选A.3.【答案】A【考点】三角函数的恒等变换及化简求值数量积判断两个平面向量的垂直关系二倍角的正弦公式【解析】由题意可得a→⋅b→=0，即解得tanθ=2，再由sin2θ+cos2θ=2sinθcosθ+cos2θcosθ+sin2θ=2tanθ+11+tan2θ，运算求得结果．【解答】解：由题意可得：a→⋅b→=sinθ−2cosθ=0，即tanθ=2．∴sin2θ+cos2θ=2sinθcosθ+cos2θcos2θ+sin2θ=2tanθ+11+tan2θ=1，故选A．4.【答案】C【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式【解析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．【解答】解：根据函数y=cos(ωx+φ)(ω>0, 0<φ<π)的部分图象，可得A＝1．再根据它的周期为π=2πω，∴ω=2．再根据五点法作图，可得2×π6+φ=π2，∴φ=π6.故选C.5.【答案】D【考点】函数单调性的性质与判断抽象函数及其应用【解析】根据题意，由函数的对称性可得f(x)在[1, 3]上递增且f(−）＝f（），结合函数的单调性分析可得答案．【解答】解：根据题意，函数f(x)的图象关于直线x =1对称，则f(−12)=f(52)，又由函数y =f(x)在[−1, 1]上单调递减，则f(x)在[1, 3]上递增，则有f(2)<f(52)=f(−12)<f(3)，即b <a <c .故选D . 6.【答案】 B【考点】等比数列的通项公式【解析】利用半衰期公式，建立不等式，求出解集即可得出结论．【解答】解：根据题意，(12)n <11000，即2n>1000，n ∈N ；所以n 的最小值是10．故选B ． 7.【答案】 B【考点】基本不等式及其应用平面向量共线（平行）的坐标表示【解析】根据平面向量共线的坐标表示求出m +2n ＝3，再利用基本不等式求出的最小值．【解答】解：由a →， b →共线得： 2n +m −3=0， ∴ m +2n =3，4m +12n =13(4m +12n )(m +2n ) =13(5+8n m +m 2n) ≥1×(5+2√4) =3. 当且仅当8n m=m 2n即m =4n 时“=”成立．故选B ． 8.【答案】 C【考点】正弦函数的奇偶性和对称性正弦函数的图象【解析】先利用正弦函数的周期性、图象的对称性求得ω的范围，再根据kπ+≤3ωπ−，且 kπ+π+≥4ωπ−，分类讨论k ，求得ω的具体范围．【解答】解：AB ．函数f(x)=2sin (ωx −π6)(ω>12 ，x ∈R ），若f (x )的图象的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标均不属于区间 (3π,4π)，则12⋅2πω≥4π−3π, 12<ω≤1, ，故AB 错误；CD ．由f (x )的图象的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标均不属于区间(3π,4π)，可得kπ+π2≤3ωπ−π6,且kπ+π+π2≥4ωπ−π6,k ∈Z ，解得3k+29≤ω≤3k+512,k ∈Z ，当k =0时，29≤ω≤512，不符合12<ω≤1，当k =1时，59≤ω≤23，符合题意，当k =2时，89≤ω≤1112，符合题意，当k=3时，119≤ω≤149，不符合12<ω≤1，故C正确，D错误．故选C．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，选对但不全的得3分．）【答案】B,D【考点】对数函数的单调性与特殊点指、对数不等式的解法【解析】由题意利用指数函数、对数函数的性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】解：若0<a<1，则1+a>1−a>0，loga (1−a)>loga (1+a)，故A错误；若0<a<1，则1+a>1，则loga(1+a)<0，故B正确；若0<a<1，则1>1−a>0，(1−a)13>(1−a)12，故C错误；若0<a<1，a1−a<a0＝1，故D正确.故选BD.【答案】B,C,D【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】首先利用函数的关系式的平移变换和伸缩变换求出函数的关系式，进一步利用函数的性质的应用判断A、B、C、D的结论．【解答】解：函数f(x)=2sin x的图象向左平移π6个单位长度，得到y=2sin(x+π6)的图象，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到g(x)=2sin(12x+π6)）的图象，对于A：由于x∈[0,2π3]，所以12x+π6∈[π6,π2]，故函数g(x)在区间[0,2π3]是增函数，故A正确；对于B：函数g(x)=2sin(12x+π6)）向右平移2π3个单位，得到ℎ(x)=2sin(12x−π6)的图象，故该图象关于y轴不对称，故B错误；对于C：当x=−π6时，g(−π6)=2sin(π12)≠0，故C错误；对于D：由于x∈[π, 2π]，所以12x+π6∈[2π3,7π6]，当x=π时，函数取最大值g(π)=2sin2π3=√3，故D错误．故选BCD.【答案】A,B【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系向量的概念与向量的模命题的真假判断与应用【解析】四个选项都出现了向量模之间的加减运算，所以考虑平方处理，整理后即可得出答案．【解答】解：|a→+b→|=|a→|−|b→|，两边平方可得a→2+2a→⋅b→+b→2=a→2−2|a→||b→|+|b→|2所以a→⋅b→=−|a→||b→|，而a→⋅b→=|a→||b→|cos⟨a→,b→⟩所以−|a→||b→|=|a→||b→|cos⟨a→，b→⟩，所以cos⟨a→,b→⟩=−1，所以⟨a→,b→⟩=180∘所以a→=b→共线且反向，所以λ<0时，a→=λb→，故A正确；因为a→⊥b→，所以a→⋅b→=0，⇒a→2+2a→⋅b→+b→2=a→2−2a→⋅b→+b→2⇒|a→+b→|2=|a→−b→|2⇒|a→+b→|=|a→−b→|，故B正确；对|a →+b →|=|a →|+|b →|两边平方可得a →2+2a →⋅b →+b →2=a →2+2|a →||b →|+|b →|2 所以cos ⟨a →,b →⟩=1，即<a →,b →>=0∘所以a →=b →同向，但a →不一定等于b ，故C 错误；由A 选项可知，只有当λ<0，|a →|≥|b →|时，才有|a →+b →|=|a →|−|b →|，故D 不正确．故选AB ．【答案】 B,C,D 【考点】函数单调性的性质与判断复合函数的单调性函数奇偶性的性质与判断【解析】根据题意，由f(x)的解析式分析f(x)的奇偶性和单调性，由此依次分析选项中函数的奇偶性和单调性，综合可得答案．【解答】解：f (−x )=−x|−x|=−x|x|=−f (x )，∴ f (x )是奇函数， y =sin x 是奇函数，y =cos x 是偶函数，∴ f (sin x )和sin (f (x ))是奇函数，f (cos x )和cos (f (x ))是偶函数， f (x )=x|x|={x 2,x ≥0，−x 2,x <0，∴ f (x )在R 上是增函数，∴ y =sin x 在(−12,12)上是增函数，y =cos x 在(0,1)上是减函数， ∴ f (sin x )在(−12,12)上是增函数，f (cos x )在(0,1)上是减函数，故A 错误；C 正确；当x ∈(−12,12)时，f (x )∈(−14,14)，．y =sin x 在（ −14,14) 上单调速增，∴ sin (f (x ))在（ −12,12）上单调递增，故B 正确；当x ∈(−1,0)时，f (x )∈(−1,0)， y =cos x 在(−1,0)上单调递增，∴ cos (f (x ))在(−1,0)上单调递增，故D 正确．故选BCD ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）【答案】√7【考点】平面向量数量积坐标表示的应用【解析】根据平面向量的坐标运算与数量积运算，计算模长即可．【解答】解：向量a →=(1,√3)，b →=(−1,0) 则a →+3b →=(−2,√3)，所以(a →+3b →)2=4+3=7，所以|a →+3b →|=√7.故答案为：√7. 【答案】 2【考点】三角函数的周期性【解析】利用倍角公式变形，再由周期公式列式即可求得ω的值．【解答】解：∵ f(x)=cos (ωx)cos (π2−ωx)(ω>0)， ∴ f(x)=cos ωx ⋅sin ωx =12sin 2ωx ，∴ 最小正周期T =2π2ω=π2，∴ 解得ω=2．故答案为：2. 【答案】 (−2, 0) 【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】根据一元二次不等式和对数不等式的解法分别求出p 、q 的范围，然后根据p 是q 的必要不充分条件，可得两范围的关系，建立关系式，解之即可．【解答】解：因为命题p ：(x −m)2<9，所以m −3<x <m +3，因为命题q:log 4(x +3)<1=log 44，所以0<x +3<4，即−3<x <1，因为p 是q 的必要不充分条件，所以{m −3<−3,m +3>1,解得−2<m <0，所以实数m 的取值范围是(−2, 0)．故答案为：(−2, 0)．【答案】 (20, 20.5) 【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】不防令x 1<x 2<x 3<x 4，由题意f(x)的图象是关于x ＝2对称的，可得x 1+x 4＝x 2+x 3＝4．助于|ln x|的图象可以得到x 1，x 2之间的关系，最终将x 12+x 22+x 32+x 42表示成x 2的函数，再借助于换元法最终将问题转化为二次函数的最值问题．【解答】解：函数f(x)={|ln x|，0<x ≤2，f(4−x)，2<x <4，的图象如图所示：由题意得x 1x 2=1, x 1+x 4=x 2+x 3=4， ∴ x 1+x 2+x 3+x 4=8, x 1=1x 2.则x 12+x 22+x 32+x 42=x 12+(4−x 1)2+x 22+(4−x 2)2 =2(x 1+x 2)2−8(x 1+x 2)2+28=2(x 1+x 2−2)2+20=2(x 2+1x 2−2)2+20.∵ x 2+1x 2在(1, 2)上单调递增，∴x 12+x 22+x 32+x 42∈(20, 412).故答案为：(20,20.5).四、解答题（本大题共6小题，第17题10分，其余各题分别12分，共70分，解答应写出必买的文字说明、证明过程或演算步骤．）【答案】解：(1)(log 43+log 83)⋅(log 32+log 92) =(log 6427+log 649)⋅(log 94+log 92) =log 64243⋅log 98 =lg 243lg 64⋅lg 8lg 9=54.(2)cos17π+sin (−16π)−tan (−4π) =cos (3π−π6)−sin (5π+π3)+tan (π+π3)=−cos π6+sin π3+tan π3=tan π3.【考点】对数的运算性质【解析】（1）利用对数的性质、运算法则直接求解．（2）利用诱导公式直接求解．【解答】解：(1)(log 43+log 83)⋅(log 32+log 92) =(log 6427+log 649)⋅(log 94+log 92) =log 64243⋅log 98 =lg 243lg 64⋅lg 8lg 9=54.(2)cos17π6+sin (−16π3)−tan (−4π3) =cos (3π−π6)−sin (5π+π3)+tan (π+π3)=−cos π6+sin π3+tan π3=tan π3. 【答案】解：(1)f (x )=2(12sin ωx +√32cos ωx)=2sin (ωx +π3)∵ f (x )图象的相邻两对称轴之间的距离为π2即T 2=π2，即T =π=2πω.得ω=2.(2)ω=2 ，f (x )=2sin (2x +π3)∵ f (α)=23， 2sin (2α+π3)=23得sin (2α+π3)=13. 设θ=2α+π3，则sin θ=13，且2α=θ−π3 则sin (5π6−4α)=sin (5π6−2θ+2π3)=sin (3π2−2θ)=−sin (π2−2θ)=−cos 2θ=−(1−2sin 2θ)=−1+2×19=−79.【考点】两角和与差的三角函数【解析】（1）利用辅助角公式进行化简，结合对称性求出周期和ω即可．（2）利用换元法，结合三角函数的倍角公式进行转化即可．【解答】解：(1)f (x )=2(12sin ωx +√32cos ωx)=2sin (ωx +π3)∵ f (x )图象的相邻两对称轴之间的距离为π2即T2=π2，即T =π=2πω.得ω=2.(2)ω=2 ，f (x )=2sin (2x +π3)∵ f (α)=23， 2sin (2α+π3)=23得sin (2α+π3)=13. 设θ=2α+π3，则sin θ=13，且2α=θ−π3 则sin (5π6−4α)=sin (5π6−2θ+2π3)=sin (3π2−2θ)=−sin (π2−2θ)=−cos 2θ=−(1−2sin 2θ)=−1+2×19=−79.【答案】解：(1)当x =π6时， a →=(cos π6,sin π6)=(√32,12)，因为向量c →=(−1,1)，所以|a →|=√(√32)2+(12)2=1，所以c →在a →上投影为a →⋅c →|a →|=−√32+121=1−√32.(2)f (x )=λ(a →⋅b →−12)=λ(sin x cos x +sin 2x −12)=λ(12sin 2x −12cos 2x)=√22λsin (2x −π4). 因为x ∈[0,π4]，所以2x −π4∈[−π4,π4] 又λ>0,所以当2x −π4=π4，即x =π4时，f (x )取得最大值为√22λ×√22=12，所以λ=1.【考点】平面向量数量积的性质及其运算向量的投影三角函数中的恒等变换应用【解析】（1）求出当时，的坐标，然后求出的模，利用向量投影的定义求解即可；（2）利用向量数量积的坐标表示以及二倍角公式的辅助角公式化简f(x)的解析式，根据x 的取值范围，结合正弦函数的性质求出f(x)的最值，得到关于λ的等式，求解即可．【解答】解：(1)当x =π6时， a →=(cos π6,sin π6)=(√32,12)，因为向量c →=(−1,1)，所以|a →|=√(√32)2+(12)2=1，所以c →在a →上投影为a →⋅c →|a →|=−√32+121=1−√32.(2)f (x )=λ(a →⋅b →−12)=λ(sin x cos x +sin 2x −12)=λ(12sin 2x −12cos 2x)=√22λsin (2x −π4). 因为x ∈[0,π4]，所以2x −π4∈[−π4,π4]又λ>0,所以当2x −π4=π4，即x =π4时，f (x )取得最大值为√22λ×√22=12，所以λ=1.【答案】解：(1)当m =−9时，f(x)=−9⋅2x +2⋅3x ，f(x +1)>f(x)，即为2⋅3x+1−9⋅2x+1>2⋅3x −9⋅2x ，化简可得，2x−2<3x−2，即为(32)x−2>1=(32)0，即有x −2>0，解得，x >2.(2)由f(x)≤(92)x 恒成立，即为m ⋅2x +2⋅3x ≤(92)x ，可得m ≤(32)2x −2(32)x ，令t =(32)x >0，即有m ≤t 2−2t 的最小值，由(t 2−2t)min =−1，可得m ≤−1，即实数m 的范围是(−∞, −1]．【考点】函数恒成立问题函数单调性的性质【解析】（1）由题意可得2⋅3x+1−9⋅2x+1+>2⋅3x −9⋅2x ，化简可得，2x−2<3x−2，即为(32)x−2>1=(32)0，再由指数函数的单调性，解不等式即可得到所求范围；（2）由题意可得m ≤(32)2x −2(32)x ，令t =(32)x >0，即有m ≤t 2−2t 的最小值，运用配方可得最小值，即可得到所求范围．【解答】解：(1)当m =−9时，f(x)=−9⋅2x +2⋅3x ，f(x +1)>f(x)，即为2⋅3x+1−9⋅2x+1>2⋅3x −9⋅2x ，化简可得，2x−2<3x−2，即为(32)x−2>1=(32)0，即有x −2>0，解得，x >2.(2)由f(x)≤(92)x 恒成立，即为m ⋅2x +2⋅3x ≤(92)x ，可得m ≤(32)2x −2(32)x ，令t =(32)x >0，即有m ≤t 2−2t 的最小值，由(t 2−2t)min =−1，可得m ≤−1，即实数m 的范围是(−∞, −1]．【答案】解：(1)∵ 二次函数f(x)=x 2−16x +q +3的对称轴是x =8， ∴ 函数f(x)在区间[−1, 1]上单调递减，∴ 要使函数f(x)在区间[−1, 1]上存在零点，须满足f(−1)⋅f(1)≤0．即(1+16+q +3)⋅(1−16+q +3)≤0，解得−20≤q ≤12．∴ 使函数f(x)在区间[−1, 1]上存在零点的实数q 的取值范围是[−20, 12]. (2)当{t <8,8−t ≥10−8,t ≥0时，即0≤t ≤6时，f(x)的值域为：[f(8), f(t)]，即[q−61, t2−16t+q+3]．∴t2−16t+q+3−(q−61)=t2−16t+64=12−t．∴t2−15t+52=0，∴t=15±√172．经检验t=15±√172不合题意，舍去．当{t<8,8−t<10−8,t≥0时，即6≤t<8时，f(x)的值域为：[f(8), f(10)]，即[q−61, q−57]．∴q−57−(q−61)=4=12−t．∴t=8,经检验t=8不合题意，舍去．当t≥8时，f(x)的值域为：[f(t), f(10)]，即[t2−16t+q+3, q−57]∴q−57−(t2−16t+q+3)=−t2+16t−60=12−t∴t2−17t+72=0，∴t=8或t=9．经检验t=8或t=9满足题意，∴存在常数t(t≥0)，当x∈[t, 10]时，f(x)的值域为区间D，且D的长度为12−t．【考点】二次函数的性质函数的零点【解析】（1）求出二次函数的对称轴，得到函数f(x)在[−1, 1]上为单调函数，要使函数在区间[−1, 1]上存在零点，则f(−1)⋅f(1)≤0，由此可解q的取值范围；（2）分t<8，最大值是f(t)；t<8，最大值是f(10)；8≤t<10三种情况进行讨论，对于每一种情况，由区间长度是12−t求出t的值，验证范围后即可得到答案．【解答】解：(1)∵二次函数f(x)=x2−16x+q+3的对称轴是x=8，∴函数f(x)在区间[−1, 1]上单调递减，∴要使函数f(x)在区间[−1, 1]上存在零点，须满足f(−1)⋅f(1)≤0．即(1+16+q+3)⋅(1−16+q+3)≤0，解得−20≤q≤12．∴使函数f(x)在区间[−1, 1]上存在零点的实数q的取值范围是[−20, 12].(2)当{t<8,8−t≥10−8,t≥0时，即0≤t≤6时，f(x)的值域为：[f(8), f(t)]，即[q−61, t2−16t+q+3]．∴t2−16t+q+3−(q−61)=t2−16t+64=12−t．∴t2−15t+52=0，∴t=15±√172．经检验t=15±√172不合题意，舍去．当{t<8,8−t<10−8,t≥0时，即6≤t<8时，f(x)的值域为：[f(8), f(10)]，即[q−61, q−57]．∴q−57−(q−61)=4=12−t．∴t=8,经检验t=8不合题意，舍去．当t≥8时，f(x)的值域为：[f(t), f(10)]，即[t2−16t+q+3, q−57]∴q−57−(t2−16t+q+3)=−t2+16t−60=12−t∴t2−17t+72=0，∴t=8或t=9．经检验t=8或t=9满足题意，∴存在常数t(t≥0)，当x∈[t, 10]时，f(x)的值域为区间D，且D的长度为12−t．【答案】解：(1)因为√1+x2>|x|≥−x，所以1√1+x2+x>0恒成立，故函数定义域R，f(−x)+f(x)=ln(√1+x2−x)+ln(√1+x2+x)=ln1=0，故f(−x)=−f(x)，所以f(x)为奇函数.(2)函数的定义域为R，设x1>x2≥0，则√1+x12>√1+x22，所以x1+√1+x12>√1+x22+x2，所以f(x1)>f(x2)，所以f(x)在R上单调递增.(2)由(1)得f(√2a sin(x+π4)−12sin2x−a2+√2a)=f(0)，且y＝f(x)在R上递增．∴√2a sin(x+π4)−12sin2x−a2+√2a=0,整理得a(sin x+cos x)−sin x cos x−a2+√2a=0，在x∈[0, π]上有唯一实数解,构造ℎ(x)=a(sin x+cos x)−sin x cos x−a2+√2a，x∈[0, π]，a≥1．令t＝sin x+cos x，则t∈[−1,√2]，sin x cos x=t2−12，∴L(t)=−12(t−a)2−12a2+√2a+12(a≥1)，在t∈[−1,1)∩{√2}内有且只有一个零点，[1,√2)无零点．又∵a≥1，∴L(t)在[−1, 1)上为增函数；①若L(t)在[−1, 1)内有且只有一个零点，[1,√2)无零点．则{L(1)>0，L(−1)≤0，L(√2)>0，∴1≤a<√2+1，②若√2为L(t)的零点，[1,√2)无零点，则−a2+2√2a−12=0，a=√2±√62，又∵a≥1，经检验a=√2+√62符合题意．综上所述：1≤a<√2+1或a=√2+√62．【考点】奇偶性与单调性的综合函数单调性的性质与判断函数奇偶性的性质与判断【解析】（1）根据题意，只要证明f(−x)+f(x)＝0即可判断函数为奇函数，（2）先设x1>x2≥0，然后比较f(x1)与f(x2)的大小即可判断，（3）y由已知结合函数的单调性进行转化得a(sin x+cos x)−sin x cos x−a2＝0，然后利用换元法，结合三角函数的性质可转化为二次函数闭区间上零点存在问题，结合函数性质及零点判定定理分类讨论即可求解．【解答】解：(1)因为√1+x2>|x|≥−x，所以1√1+x2+x>0恒成立，故函数定义域R，f(−x)+f(x)=ln(√1+x2−x)+ln(√1+x2+x)=ln1=0，故f(−x)=−f(x)，所以f(x)为奇函数.(2)函数的定义域为R，设x1>x2≥0，则√112>√1+x22所以x1+√1+x12>√1+x22+x2，所以f(x1)>f(x2)，所以f(x)在R上单调递增.(2)由(1)得f(√2a sin(x+π4)−12sin2x−a2+√2a)=f(0)，且y＝f(x)在R上递增．∴√2a sin(x+π4)−12sin2x−a2+√2a=0,整理得a(sin x+cos x)−sin x cos x−a2+√2a=0，在x∈[0, π]上有唯一实数解,构造ℎ(x)=a(sin x+cos x)−sin x cos x−a2+√2a，x∈[0, π]，a≥1．令t＝sin x+cos x，则t∈[−1,√2]，sin x cos x=t2−12，∴L(t)=−12(t−a)2−12a2+√2a+12(a≥1)，在t∈[−1,1)∩{√2}内有且只有一个零点，[1,√2)无零点．又∵a≥1，∴L(t)在[−1, 1)上为增函数；①若L(t)在[−1, 1)内有且只有一个零点，[1,√2)无零点．则{L(1)>0，L(−1)≤0，L(√2)>0，∴1≤a<√2+1，②若√2为L(t)的零点，[1,√2)无零点，则−a2+2√2a−12=0，a=√2±√62，又∵a≥1，经检验a=√2+√62符合题意．综上所述：1≤a<√2+1或a=√2+√62．。

2023-2024学年广东省广州市越秀区高一上学期期末质量检测数学试题(含解析)

2023-2024学年广东省广州市越秀区高一上册期末数学试题一、单选题1．设全集{}1,2,3,5,8U =，集合M 满足{}1,8U M =ð，，则（）A ．1M ∈B ．2M∉C ．3M∈D ．5M∉【正确答案】C【分析】根据补集的定义求出{}235M =，，，即可得到结果.【详解】因为{}1,8U M =ð，所以{}235M =，，，则3M ∈，所以C 正确.故选：C.2．对于实数,,a b c ，“a b >”是“22ac bc >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】B【详解】试题分析：由于不等式的基本性质，“a ＞b”⇒“ac ＞bc ”必须有c ＞0这一条件．解：主要考查不等式的性质．当c=0时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边．故选B 不等式的性质点评：充分利用不等式的基本性质是推导不等关系的重要条件．3．不等式26190x x --<的解集是（）A ．∅B ．RC ．13⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【正确答案】D【分析】由一元二次不等式的解法求解即可.【详解】不等式26190x x --<可化为29610x x -+>，即2(31)0x ->，解得13x ≠，故原不等式的解集为11,,33⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D.4．某企业为了响应落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备．在过滤过程中，污染物含量M （单位：mg/L ）与时间t （单位：h ）之间的关系为0e ktW M -=（其中0M ，k 是正常数）．已知经过1h ，设备可以过滤掉50%的污染物，则过滤掉90%的污染物需要的时间约为（结果精确到0.1h ，参考数据：lg 20.3010≈）（）A ．3.0hB ．3.3hC ．6.0hD ．6.6h【正确答案】B【分析】由题意可得e 0.5k -=，进而得()0.10.5t=，利用指数与对数的关系可得0.5log 0.1t =，再用换底公式结合对数的运算性质求解即可.【详解】由题意可知()00150%e kM M --=，所以e 0.5k -=，设过滤90%的污染物需要的时间为t ，则()00190%e ktM M --=，所以()()0.1e e 0.5ttkt k --===，所以0.5lg 0.1111log 0.1 3.3lg 0.5lg 20.311200lg t -====≈≈.故选：B.5．已知函数log ,log ,log ,log a b c d y x y x y x y x ====①②③④的大致图象如图所示，则（）A ．a c b a +<+B ．a d b c +<+C ．b c a d +<+D ．b d a c+<+【正确答案】A【分析】作直线1y =，则由log 1a a =，可得01c d a b <<<<<，进而由不等式性质可以判断A 正确，由不等式可加性可判断BCD 错误.【详解】作直线1y =，则由log 1a a =，可得01c d a b <<<<<，则由不等式性质可得a c b a +<+，所以A 正确.由不等式可加性可得a c b d +<+，故D 错误，不能推出B 、C ，故B 、C 错误.故选：A.6．方程e 410x x -+=的实数解所在的一个区间是（）A ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【正确答案】C【分析】利用函数零点存在定理即可求解.【详解】设()e 41xf x x =-+，1211e 41022f -⎛⎫-=+⨯+> ⎪⎝⎭，()00e 40120f =-⨯+=>，1211e 411022f ⎛⎫=-⨯+=> ⎪⎝⎭，()1e 41e 30f =-+=-<，3233e 41022f ⎛⎫=-⨯+= ⎪⎝⎭，所以()1102f f ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，所以存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()00f x =，所以方程e 410x x -+=的实数解所在的一个区间是1,12⎛⎫⎪⎝⎭.故选：C.7．下列函数中，最小正周期为π2，且在π(,0)4-上单调递减的是（）A ．)πsin(42y x =+B ．)πcos(42y x =-C ．tan(π2)y x =+D ．|sin(π2)|y x =+【正确答案】D【分析】利用诱导公式化简函数的解析式，根据周期公式及三角函数的性质进行求解判断.【详解】c πsin(4)os 42y x x =+=，函数的最小正周期为π2；当)π(,04x ∈-时，4(π,0)x ∈-，则此函数在区间π(,0)4-上单调递增，故A 错误；s πcos(4)in 42y x x =-=，函数的最小正周期为π2；当)π(,04x ∈-时，4(π,0)x ∈-，则此函数在区间(,π48)π--上是单调递减，在区间()π8,0-上是单调递增，故B 错误；tan(π2)tan 2y x x =+=，函数的最小正周期为π2；当)π(,04x ∈-时，π2(,0)2x ∈-，则此函数在区间π(,0)4-上单调递增，故C 错误；|sin(π2)||sin 2||sin 2|y x x x =+=-=，因为sin 2y x =的最小正周期为π，则此函数的最小正周期为π2；当)π(,04x ∈-时，π2(,0)2x ∈-，|sin 2|sin 2y x x ==-，则此函数在区间π(,0)4-上单调递减，故D 正确.故选：D.8．设3log 2a =，5log 3b =，8log 5c =，则A ．b a c <<B ．a b c<<C ．b<c<aD ．c<a<b【正确答案】B【分析】根据对数函数的性质，结合基本不等式，即可得出结果.【详解】由对数性质，可得：(),,0,1a b c ∈，2255555l g 3l g 8l g 24log 3log 8122o o o +⎛⎫⎛⎫⋅<=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，5851log 3log 5log 8∴<=，即b c <；而3332log 2log log 3a ==，5552log 3log log 3b ==>=，综上所述，a bc <<.故选：B.本题主要考查比较对数式的大小，熟记对数函数的性质即可，涉及基本不等式的应用，属于常考题型.二、多选题9．已知命题2:R,10p x x x ∀∈-+>，则（）A ．命题p 是真命题B ．命题p 的否定是“2R,10x x x ∀∈-+=”C ．命题p 是假命题D ．命题p 的否定是“2R,10x x x ∃∈-+≤”【正确答案】AD【分析】利用配方法可判断命题的真假，根据全称命题的否定是特称命题写出命题的否定．【详解】2213R,1024x x x x ⎛⎫∀∈-+=-+> ⎪⎝⎭，则命题p 是真命题；命题p 的否定是“2R,10x x x ∃∈-+≤”，故A 、D 正确．故选：AD ．10．已知幂函数()y f x =的图象过点(，则（）A ．()12f x x =B ．()f x 的值域是[0,)+∞C ．()f x 是偶函数D ．()f x 在(0,)+∞上是减函数【正确答案】AB【分析】求出幂函数的解析式，然后根据幂函数的性质判断即可.【详解】设()f x x α=，∵()y f x =的图象过点(，∴1233α==，∴12α=，∴12()f x x =，从而可得，()f x 的定义域为[0,)+∞，值域是[0,)+∞，()f x 既不是奇函数也不是偶函数，在[0,)+∞上是增函数，故A 、B 正确；C 、D 错误.故选：AB.11．已知5sin 13π3x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，且ππ32x <<，则（）A ．5sin 13π6x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭B ．12cos 132π3x ⎛⎫+=-⎪⎝⎭C ．tan 12π53x ⎛⎫= ⎪⎝-⎭D ．5cos 135π6x ⎛⎫-=⎪⎝⎭【正确答案】BCD【分析】根据角的范围及三角函数同角关系式求得cos 3x ⎛⎫- ⎪⎝⎭π，tan π3x -⎛⎫⎪⎝⎭．由sin sin 2πππ63x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦结合诱导公式计算求解可判断A ；由πc c 2ππ3s 3o os x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦结合诱导公式计算求解可判断B ；由tan tan ππ33x x ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝-⎭-⎝⎭结合诱导公式计算求解可判断C ；由πc 2os 5ππ6s 3co x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦结合诱导公式计算求解可判断D.【详解】由ππ32x <<得ππ063x -<-<，则12cos 13π3x -⎛⎫== ⎪⎝⎭，tan 12π53x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭-.12sin sin cos 213ππππ633x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故A 错误；12cos cos cos 132ππππ333x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故B 正确；tan ta 2ππ533n 1x x ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--，故C 正确；5cos cos sin 135ππππ6233x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=--= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故D 正确.故选：BCD.12．已知01a b <<<，则（）A ．b aa b C ．log log 2a b b a +>D ．sin(sin )sin a b<【正确答案】ACD【分析】由x y a =的单调性可得b a a a <，由a y x =的单调性可得a a a b <，从而可判断A ；由log ,log a b y x y x ==的单调性可得log log ,log log a a b b a b a b ∴>>，从而可判断B ；由基本不等式可判断C ；利用结论：当π(0,)2x ∈时，sin x x <，可判断D.【详解】0< 1,x a y a <∴=在(0,)+∞上单调递减，又,b a a b a a <∴<，0,a a y x >∴= 在(0,)+∞上单调递增，由a b <得a a a b <，b a a b ∴<，故A 正确；由01a b <<<可知log ,log a b y x y x ==在(0,)+∞上均单调递减，log log ,log log a a b b a b a b ∴>>，log 1log a b b a ∴<<，故B 错误；由01a b <<<，可知lg lg log 0,log 0lg lg a b b a b a a b =>=>，因此lg lg log log 2lg lg a b b a b a a b +=+≥=，当且仅当a b =取等号，但已知01a b <<<，故等号不成立，从而得log log 2a b b a +>，故C 正确；当π(0,)2x ∈时，sin x x <．π012a b <<<< ，π0sin 2a ab ∴<<<<，又sin y x =在π(0,)2单调递增，所以sin(sin )sin sin a a b <<，故D 正确．故选：ACD ．三、填空题13．若函数()f x =的定义域为A ，函数()()lg 2g x x =-的定义域为B ，则A ∩B =______.【正确答案】()1,2-【分析】先求得集合A B 、，再利用交集定义即可求得A B ⋂.【详解】()f x =的定义域为()1,-+∞；函数()()lg 2g x x =-的定义域为(),2-∞，则A B = ()1,2-.故()1,2-14．已知tan 2a =，则()2sin cos αα-=__________.【正确答案】15##0.2【分析】利用同角三角函数的基本关系，构造齐次式求解即可．【详解】()2222222sin cos 2sin cos tan 12tan sin cos sin cos 1tan 51ααααααααααα+-+--===++．故答案为.15四、双空题15．函数1101x y a a a -=+>≠(，)的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是_____；若点P 在直线100)mx ny m n +=>>(，上，则21m n+的最小值为______.【正确答案】(1,2)；8【分析】利用指数幂的运算即可求得点P 的坐标，利用均值定理即可求得21m n+的最小值.【详解】当1x =时，1112a -+=，则函数1101x y a a a -=+>≠(，)的图象恒过定点(1,2)P ，点P 在直线100)mx ny m n +=>>(，上，可得2100)m n m n +=>>(，，则21214(2)4448n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（当且仅当122m n ==时等号成立）故(1,2)；8五、填空题16．数学中处处存在着美，莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法如下：先画等边三角形ABC ，再分别以点A ，B ，C 为圆心，线段AB 长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形（如图所示）．若莱洛三角形的周长为π2，则其面积是___________.【正确答案】π8-【分析】根据图形分析，利用扇形面积和三角形的面积公式，即可求解.【详解】莱洛三角形的周长为π2，可得弧长6πA BCB AC===，则等边三角形的边长π16π23AB BC AC====，分别以点A、B、C为圆心，圆弧,,AB BC AC所对的扇形面积均为1π1π26224⨯⨯=，等边ABC的面积1122416S=⨯⨯=，所以莱洛三角形的面积是ππ3224168⨯-⨯.故答案为六、解答题17．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点34,55P⎛⎫-⎪⎝⎭(1)求sin cosαα+的值；(2)求sin(π)cos(π)πtan(2π)sin()2αααα--+++的值.【正确答案】(1)15-；(2)14【分析】（1）先利用三角函数定义求得sin cos αα、的值，进而求得sin cos αα+的值；（2）先求得tan α的值，再利用三角函数诱导公式即可求得该式的值.【详解】（1）角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则43sin ,cos 55αα=-=，则431sin cos 555αα+=-+=-；（2）由（1）得43sin ,cos 55αα=-=，则4tan 3α=-，则sin(π)cos(π)sin cos πtan cos tan(2π)sin()2αααααααα--++=++41sin cos tan 1134sin tan 43ααααα-+++====-18．已知函数()a f x x x=+.(1)若()15f =，判断()f x 的奇偶性，并说明理由；(2)若()43f =，判断()f x 在(0,)+∞上的单调性，并加以证明.【正确答案】(1)()f x 是奇函数，理由见解析(2)()f x 在(0,)+∞上的单调递增，证明见解析【分析】（1）由(1)5f =求出a ，从而得()f x ，由函数奇偶性的定义求解即可；（2）由()43f =求出a ，从而得()f x ，由函数单调性的定义进行判断证明即可.【详解】（1）()f x 是奇函数，理由如下：∵()af x x x=+，且()15f =，∴15a +=，解得4a =∴4()f x x x=+，定义域为(,0)(0,)-∞+∞ 又44()()()()f x x x f x x x-=-+=-+=--所以()f x 为奇函数.（2）()f x 在(0,)+∞上的单调递增，理由如下：∵()af x x x=+，且()43f =，∴434a +=，解得4a =-，∴4()f x x x=-设120x x <<，则2121212112()()()()4(14)4f x f x x x x x x x x x --=-=-+-∵120x x <<，∴21x x -0>，12410x x +>故21()()0f x f x ->，即21()()f x f x >所以()f x 在(0,)+∞上的单调递增.19．已知函数1π()sin(0,R)23f x x x ωω=->∈的最小正周期为π.(1)求()f x 的单调递减区间；(2)求()f x 在区间π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值.【正确答案】(1)5π11ππ,π(Z)1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(2)()f x 在区间π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为4，最小值为14-.【分析】（1）根据周期可以求出2ω=，进而求出()f x 的单调递减区间；（2）根据π3π,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦求出π2π7π2,336x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，进而求出()f x 在区间π3π,24⎡⎤⎢⎣⎦上的最大值与最小值.【详解】（1）由题意可得2πT==πω，则2ω=，则1π()sin(2)23f x x =-，所以()f x 的单调递减区间需要满足：ππ3π2π22π(Z)232k x k k +≤-≤+∈，解得5π11πππ(Z)1212k x k k +≤≤+∈，所以()f x 的单调递减区间为.5π11ππ,π(Z)1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）由（1）知1π()sin(2)23f x x =-，因为π3π,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则π2π7π2,336x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以π1sin(2),32x ⎡-∈-⎢⎣⎦，则1(),4f x ⎡∈-⎢⎣⎦，所以()f x 在区间π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦14-.20．已知函数||1()()2x f x a b =+的图象过点()0,2，且无限接近直线1y =但又不与该直线相交．(1)求函数()y f x =的解析式：(2)解关于x 的不等式3(ln )2f x <．【正确答案】(1)()||112x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)()10,e,e ⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据图象过点()0,2得,a b 的关系，根据图象无限接近直线1y =但又不与该直线相交求出b ，从而得解；（2）利用指数函数和对数函数的单调性求解即可．【详解】（1）由图象过点()0,2，得()02f a b =+=，∵函数||1()()2x f x a b =+无限接近直线1y =，但又不与该直线相交，∴1b =，从而1a =，∴()||112x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（2）由3(ln )2f x <得|ln |13122x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，即|ln |1122x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，则ln 1x >，所以ln 1x <-或ln 1x >，解得10ex <<或e x >．所以不等式3(ln )2f x <的解集为()10,e,e ⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭．21．某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售人员的销售利润不低于10万元时，按其销售利润进行奖励，且奖金y （单位：万元）随销售人员的销售利润x （单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过其销售利润的25%．现有三个奖励模型：80.2, 1.02,log 1x y x y y x ===+，请分别判断这三个模型是否符合公司的要求？并说明理由．（参考数据： 1.028log 581.274,log 1000 3.322≈≈，当8x ≥时，8log 10.25x x +≤恒成立）【正确答案】奖励模型8log 1y x =+符合公司的要求，理由见解析【分析】由题意，符合公司要求的模型需同时满足：当[10,1000]x ∈时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③25%y x ≤⋅，根据函数的性质一一验证即可．【详解】由题意，符合公司要求的模型需同时满足：当[10,1000]x ∈时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③25%y x ≤⋅．对于0.2y x =，易知满足①，但当25x >时，>5y ，不符合公司的要求；对于 1.02x y =，易知满足①，但当82x ≥时， 1.02o 82l g 51.0251.02y >≥=，不符合公司的要求；对于8log 1y x =+，函数在[10,1000]上单调递增，而且函数的最大值8log 1000 3.3225≈<，因而满足①②，因为当8x ≥时，8log 10.25x x +≤恒成立，所以当[10,1000]x ∈时，8log 125%x x +<⋅，满足③，故符合公司的要求．综上，奖励模型8log 1y x =+符合公司的要求．22．对于定义在I 上的函数()f x ,若存在实数0x I ∈,使得()00f x x =,则称0x 是函数()f x 的一个不动点,已知2()2(0)f x ax x a =-+≠有两个不动点12,x x ,且122x x <<(1)求实数a 的取值范围；(2)设[]()log ()a F x f x x =-，证明：()F x 在定义域内至少有两个不动点.【正确答案】(1)10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)证明见解析【分析】（1）由题意，得到210ax x -+=的两个实数根为12,x x ，设2()1p x ax x =-+，根据二次函数的图象与性质，列出不等式即可求解；（2）把()F x x =可化为()2log 22a ax x x -+=，设2()220p x ax x =-+=的两个实数根为,m n ，根据1x =是方程()g x x =的实数根，得出()2()220n n h n a an n a =--+=>，结合函数()h x 单调性，即可求解．【详解】（1）因为函数()f x 有两个不动点12,x x ，所以方程()f x x =，即2220ax x -+=的两个实数根为12,x x ，记2()22p x ax x =-+，则()p x 的零点为1x 和2x ，因为122x x <<，所以(2)0a p ⋅<，即(42)0a a -<，解得102a <<，所以实数a 的取值范围为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．（2）因为()2()log [()]log 22a a F x f x x ax x =-=-+方程()F x x =可化为()2log 22a ax x x -+=，即2222220x a ax x ax x ⎧=-+⎨-+>⎩设2()22p x ax x =-+，因为10,4(12)02a a <<∆=->，所以()0=p x 有两个不相等的实数根．设2()220p x ax x =-+=的两个实数根为,m n ，不妨设m n <．因为函数2()22p x ax x =-+图象的对称轴为直线1x a =，且1112(1)0,2,20,20p a p p a a a a ⎛⎫⎛⎫=>>=-=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以121m n a a <<<<．记()2()22x h x a ax x =--+，因为(1)0h =，且(1)0p a =>，所以1x =是方程()F x x =的实数根，所以1是()F x 的一个不动点，()2()220n n h n a an n a =--+=>，因为102a <<，所以24024,222a h a a a a ⎛⎫>=-<-< ⎪⎝⎭，且()h x 的图象在2,n a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象是不间断曲线，所以0,2x n a ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x =，又因为()p x 在2,n a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()0()0p x p n >=，所以0x 是()F x 的一个不动点，综上，()F x 在(,)a +∞上至少有两个不动点．。

2021-2022学年广东省广州市越秀区高一(上)期末数学试卷

2021-2022学年广东省广州市越秀区高一（上）期末数学试卷试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）已知集合A={x|x+1＞0}，B={x|-2≤x≤3}，则A∩B=（）A.{-1＜x≤3}B.{-1＜x＜3}C.{x|-1＜x≤3}D.{x|-1＜x＜3}2.（单选题，5分）若tanθ=-2，则sinθ(1+sin2θ)sinθ+cosθ=（）A.- 65B.- 25C. 25D. 653.（单选题，5分）已知a=log312，b=ln3，c=2-0.99，则a，b，c的大小关系为（）A.b＞a＞cB.a＞b＞cC.c＞a＞bD.b＞c＞a4.（单选题，5分）下列说法中，错误的是（）A.若a2＞b2，ab＞0，则1a ＜1bB.若ac2＞bc2，则a＞bC.若b＞a＞0，m＞0，则a+mb+m ＞abD.若a＞b，c＜d，则a-c＞b-d5.（单选题，5分）为了得到函数y=sin(2x−π6)的图象，可以将函数y=cos2x的图象（）个单位A.向右平移π6B.向右平移π3C.向左平移π6D.向左平移π36.（单选题，5分）下列全称量词命题与存在量词命题中：① 设A、B为两个集合，若A⊆B，则对任意x∈A，都有x∈B；② 设A、B为两个集合，若A⊈B，则存在x∈A，使得x∉B；③ ∀x∈{y|y是无理数}，x2是有理数；④ ∀x∈{y|y是无理数}，x3是无理数．其中真命题的个数是（）A.1B.2C.3D.47.（单选题，5分）某人去上班，先快速走，后中速走．如果y表示该人离单位的距离，x表示出发后的时间，那么下列图象中符合此人走法的是（）A.B.C.D.8.（单选题，5分）关于x的不等式（ax-b）（x+3）＜0的解集为（-∞，-3）∪（1，+∞），则关于x的不等式ax+b＞0的解集为（）A.（-∞，-1）B.（-1，+∞）C.（-∞，1）D.（1，+∞）9.（多选题，5分）下列四个命题中为真命题的是（）A.“x＞2”是“x＜3”的既不充分也不必要条件B.“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要不充分条件C.关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）有实数根的充要条件是Δ=b2-4ac≥0D.若集合A⊆B，则x∈A是x∈B的充分不必要条件10.（多选题，5分）下列式子中成立的是（）A.log 12 4＜log 126B.（12）0.3＞（13）0.3C.（12）3.4＜（12）3.5D.log32＜log2311.（多选题，5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中ω＞0，A＞0，|φ|＜π2）的图象如图所示，下列说法正确的是（）A.为了得到g（x）=sin2x的图象，只要将f（x）的图象向右平移π6个单位长度B.函数f（x）的图象的一条对称轴为x=7π12C.函数f（x）在区间(0，π10)上单调递增D.方程f（x）=0在区间[0，2020]上有1285个实数解12.（多选题，5分）已知函数f（x）=sinx|cosx|，x∈[−π2，3π2]，有以下结论（）A.f（x）的图象关于直线y轴对称B.f（x）在区间[3π4，5π4]上单调递减C.f（x）的图象关于直线x=π2轴对称D.f（x）的最大值为1213.（填空题，5分）计算sin330°=___ ．14.（填空题，5分）函数y=（m2-m-1）x m2−2m−1是幂函数，且在x∈（0，+∞）上是减函数，则实数m=___ ．15.（填空题，5分）若m＞0，n＞0，m+n=3，则1m +4n的最小值为 ___ ．16.（填空题，5分）已知定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数f（x），当x＞0时，f(x)={3|log2x|，0＜x≤2x2−8x+15，x＞2，若直线y=a（a∈R）与函数y=f（x）的图象恰有八个交点，其横坐标分别为x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，则x1•x2•x3•x4•x5•x6•x7•x8的取值范围是 ___ ．17.（问答题，10分）已知全集U=R，集合A={x|x2-4x＜0}，B={x|m≤x≤3m-2}．（1）当m=2时，求∁U（A∩B）；（2）如果A∪B=A，求实数m的取值范围．18.（问答题，12分）已知角α的终边落在直线y=4√3x上，且cosα=−17．（Ⅰ）求tan2α的值；（Ⅱ）若cos(α+β)=1114，β∈(0，π2)，求β的值．19.（问答题，12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+ π6）（A＞0，ω＞0）的图象在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x0，2）和（x0+ π2，-2）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求sin（x0+ π4）的值．20.（问答题，12分）已知f(x)=a•2x+a−2是定义在R上的奇函数．2x+1（Ⅰ）求实数a和f（1）的值；（Ⅱ）根据单调性的定义证明：f（x）在定义域上为增函数．21.（问答题，12分）某化工企业致力于改良工艺，想使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少．设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为r0mg/m3，首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为r1mg/m3，第n次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为r n mg/m3，则可建立函数模型r n=r0-（r0-r1）•50.5n+P（P∈R，n∈N*），其中n是指改良工艺的次数．已知r0=2，r1=1.94（参考数据：lg2≈0.3）．（Ⅰ）试求该函数模型的解析式；（Ⅱ）若该地环保部门要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过0.08mg/m3，试问至少进行多少次改良工艺才能使该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标？22.（问答题，12分）设a为实数，函数f（x）=x2-2ax．（Ⅰ）当a=1时，求f（x）在区间[0，2]上的最大值；（Ⅱ）设函数g（x）=|f（x）|，h（a）为g（x）在区间[0，2]上的最大值，求h（a）的解析式；（Ⅲ）求h（a）的最小值．2021-2022学年广东省广州市越秀区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）已知集合A={x|x+1＞0}，B={x|-2≤x≤3}，则A∩B=（）A.{-1＜x≤3}B.{-1＜x＜3}C.{x|-1＜x≤3}D.{x|-1＜x＜3}【正确答案】：C【解析】：由集合交集的定义求解即可．【解答】：解：因为集合A={x|x+1＞0}={x|x＞-1}，B={x|-2≤x≤3}，则A∩B={x|-1＜x≤3}．故选：C．【点评】：本题考查了集合的运算，主要考查了集合交集的求解，解题的关键是掌握交集的定义，属于基础题．2.（单选题，5分）若tanθ=-2，则sinθ(1+sin2θ)sinθ+cosθ=（）A.- 65B.- 25C. 25D. 65【正确答案】：C【解析】：由题意化简所给的三角函数式，然后利用齐次式的特征即可求得三角函数式的值．【解答】：解：由题意可得：sinθ(1+sin2θ)sinθ+cosθ=sinθ(sin2θ+cos2θ+2sinθcosθ)sinθ+cosθ= sinθsinθ+cosθ•sin2θ+cos2θ+2sinθ•cosθsin2θ+cos2θ= tanθtanθ+1•tanθ2+2tanθ+1tan2θ+1= 25．故选：C．【点评】：本题主要考查同角三角函数基本关系，三角函数式的求值等知识，sin2A+cos2A=1是解题的关键，属于中等题．3.（单选题，5分）已知a=log312，b=ln3，c=2-0.99，则a，b，c的大小关系为（）A.b＞a＞cB.a＞b＞cC.c＞a＞bD.b＞c＞a【正确答案】：D【解析】：利用对数函数和指数函数的性质求解．【解答】：解：∵ log312＜log31=0，∴a＜0，∵ln3＞lne=1，∴b＞1，∵0＜2-0.99＜20=1，∴0＜c＜1，∴b＞c＞a，故选：D．【点评】：本题主要考查了三个数大小的比较，合理利用指数函数和对数函数的性质是本题的解题关键，属于基础题．4.（单选题，5分）下列说法中，错误的是（）A.若a2＞b2，ab＞0，则1a ＜1bB.若ac2＞bc2，则a＞bC.若b＞a＞0，m＞0，则a+mb+m ＞abD.若a＞b，c＜d，则a-c＞b-d【正确答案】：A【解析】：由特值法可判断A；由不等式的性质可判断BD；利用作差法可判断C．【解答】：解：对于A，若a2＞b2，ab＞0，取a=-4，b=-2，则1a ＞1b，故A错误；对于B，若ac2＞bc2，则1c2＞0，所以a＞b，故B正确；对于C，若b＞a＞0，m＞0，则b-a＞0，则a+mb+m −ab= m(b−a)b(b+m)＞0，所以a+mb+m＞ab，故C正确；对于D，若a＞b，c＜d，则-c＞-d，所以a-c＞b-d，故D正确．故选：A．【点评】：本题主要考查不等式的基本性质，考查特值法的应用，属于基础题．5.（单选题，5分）为了得到函数y=sin(2x−π6)的图象，可以将函数y=cos2x的图象（）个单位A.向右平移π6B.向右平移π3C.向左平移π6D.向左平移π3【正确答案】：B【解析】：将y=cos2x转化为y=sin（2x+ π2），再由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律即可求得答案．【解答】：解：∵y=cos2x=sin（2x+ π2），∴y=sin（2x+ π2）向右平移π3个单位得到y=sin[2（x- π3）+ π2）]=sin（2x- π6），故选：B．【点评】：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，将y=cos2x转化为y=sin（2x+ π2）是关键，属于基础题．6.（单选题，5分）下列全称量词命题与存在量词命题中：① 设A、B为两个集合，若A⊆B，则对任意x∈A，都有x∈B；② 设A、B为两个集合，若A⊈B，则存在x∈A，使得x∉B；③ ∀x∈{y|y是无理数}，x2是有理数；④ ∀x∈{y|y是无理数}，x3是无理数．其中真命题的个数是（）A.1B.2C.3D.4【正确答案】：B【解析】：利用子集的定义、反例法逐项判断．【解答】：解：根据A⊆B 的定义可知，任意x∈A ，都有x∈B ，故 ① 正确；若A⊈B ，则存在x∈A ，使得x∉B ，故 ② 正确；对于 ③ ④ ，π， √33是无理数，而π2是无理数， (√33)3=3 是有理数，故 ③ ④ 错误．故选：B ．【点评】：本题考查命题真假的判断以及集合的概念和性质，属于基础题．7.（单选题，5分）某人去上班，先快速走，后中速走．如果y 表示该人离单位的距离，x 表示出发后的时间，那么下列图象中符合此人走法的是（）A.B.C.D.【正确答案】：D【解析】：根据行走过程速度的变化和距离变化的关系进行判断即可．【解答】：解：当x=0时，距离学校最远，不可能是0，排除A，C，先快速走，距离学校的距离原来越近，而且变化速度较快，排除B，故选：D．【点评】：本题主要考查函数图象的识别和判断，根据速度和距离的变化关系是解决本题的关键，是基础题．8.（单选题，5分）关于x的不等式（ax-b）（x+3）＜0的解集为（-∞，-3）∪（1，+∞），则关于x的不等式ax+b＞0的解集为（）A.（-∞，-1）B.（-1，+∞）C.（-∞，1）D.（1，+∞）【正确答案】：A【解析】：根据不等式的解集可得a＜0，且1，-3是方程（ax-b）（x+3）=0的两根，得到a=b，即可求解．【解答】：解：由题意可得a＜0，且1，-3是方程（ax-b）（x+3）=0的两根，∴x=1为方程ax-b=0的根，∴a=b，则不等式ax+b＞0可化为x+1＜0，即x＜-1，∴不等式ax+b＞0的解集为（-∞，-1）．故选：A．【点评】：本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及根与系数的关系，属于基础题．9.（多选题，5分）下列四个命题中为真命题的是（）A.“x＞2”是“x＜3”的既不充分也不必要条件B.“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要不充分条件C.关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）有实数根的充要条件是Δ=b2-4ac≥0D.若集合A⊆B，则x∈A是x∈B的充分不必要条件【正确答案】：ACD【解析】：直接利用命题真假的判定，充分条件和必要条件的应用对各选项进行判断得出结论．【解答】：解：对于A，“x＞2”是“x＜3”的既不充分也不必要条件，故A正确；对于B，“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的充分不必要条件，故B错误；对于C，ax2+bx+c=0（a≠0）有实数根⇔Δ=b2-4ac≥0，故C正确；对于D，若集合A⊆B，则x∈A是x∈B的充分不必要条件，故D正确．故选：ACD．【点评】：本题考查的知识要点：命题真假的判定，充分条件和必要条件，主要考查学生对基础知识的理解，属于基础题．10.（多选题，5分）下列式子中成立的是（）A.log 12 4＜log 126B.（12）0.3＞（13）0.3C.（12）3.4＜（12）3.5D.log32＜log23【正确答案】：BD【解析】：根据对数函数指数函数的性质判断即可．【解答】：解：根据对数函数的性质，当0＜a＜1时，对数函数为减函数，故A错误，根据幂函数的性质，当幂指数大于0时，函数在第一象限单调递增，∵ 12＞13，∴（12）0.3＞（13）0.3，故B正确，根据指数函数的性质，当0＜a＜1时，为减函数，C错误．∵log32＜log33=1，log23＞log22=1∴log32＜log23，故D正确．故选：BD．【点评】：本题主要考查对数函数和指数函数的性质，属于基础题．11.（多选题，5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中ω＞0，A＞0，|φ|＜π2）的图象如图所示，下列说法正确的是（）A.为了得到g（x）=sin2x的图象，只要将f（x）的图象向右平移π6个单位长度B.函数f（x）的图象的一条对称轴为x=7π12C.函数f（x）在区间(0，π10)上单调递增D.方程f（x）=0在区间[0，2020]上有1285个实数解【正确答案】：AB【解析】：由图知，A=1，T=π，由ω= 2πT 求得ω的值，再将点（7π12，-1）代入函数解析式中，求得φ的值后，即可知f（x）的解析式，选项A，根据函数图象的平移法则，即可判断；选项B，由图可知，f（x）在x= 7π12取到最小值，是一条对称轴；选项C，离y轴右侧最近的最高点对应的横坐标为π3 - π4= π12，再根据函数图象，即可得解；选项D，f（x）在一个周期[0，π]内有2个零点，而区间[0，2020]重复了643个周期的函数图象，得解．【解答】：解：由图知，A=1，最小正周期T=4×（7π12 - π3）=π，所以ω= 2πT=2，所以f（x）=sin（2x+φ），将点（7π12，-1）代入函数解析式中，得-1=sin（2• 7π12+φ），所以7π6+φ=- π2+2kπ，k∈Z，即φ=2kπ- 5π3，k∈Z，因为|φ|＜π2，所以当k=1时，φ= π3，所以函数f（x）的解析式为f（x）=sin（2x+ π3），选项A，将f（x）=sin（2x+ π3）=sin2（x+ π6）的图象向右平移π6个单位可得到g（x）=sin2x，即A正确；选项B，由图可知，x= 7π12是f（x）图象的一条对称轴，即B正确；选项C，离y轴右侧最近的最高点对应的横坐标为π3 - π4= π12＜π10，所以函数f（x）在区间（0，π12）上单调递增，在（π12，π10）上单调递减，即C错误；选项D，f（x）在一个周期[0，π]内有2个零点，而643π≈2019.02＜2020，即区间[0，2020]重复了643个周期的函数图象，所以方程f（x）=0在区间[0，2020]上有643×2=1286个实数解，即D错误．故选：AB．【点评】：本题考查三角函数的图象与性质，理解y=Asin（ωx+φ）中每个参数的含义，以及三角函数的图象与性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．12.（多选题，5分）已知函数f（x）=sinx|cosx|，x∈[−π2，3π2]，有以下结论（）A.f（x）的图象关于直线y轴对称B.f（x）在区间[3π4，5π4]上单调递减C.f（x）的图象关于直线x=π2轴对称D.f（x）的最大值为12【正确答案】：BCD【解析】：根据条件结合绝对值以及三角函数的倍角公式进行化简，作出函数的图象，利用数形结合分别进行判断即可．【解答】：解：当x∈[- π2，π2]时，f（x）=sinx|cosx|=sinxcosx= 12sin2x，当x∈（π2，3π2]时，f（x）=sinx|cosx|=-sinxcosx=- 12sin2x，作出函数f（x）的图象如图：则函数关于y轴不对称，故A错误，区间[ π2，π]的中点坐标为3π4，区间[π，3π2]的中点坐标为5π4，则f（x）在区间[ 3π4，5π4]上单调递减，故B正确，由图象知f（x）关于x= π2对称；故C正确，当x∈[- π2，π2]时，2x∈[-π，π]，当2x= π2时，f（x）取得最大值12，故D正确，故正确的是BCD，故选：BCD．【点评】：本题主要考查命题的真假判断，结合绝对值以及三角函数的倍角公式，利用数形结合是解决本题的关键．13.（填空题，5分）计算sin330°=___ ．【正确答案】：[1]- 12【解析】：所求式子中的角变形后，利用诱导公式化简即可得到结果．【解答】：解：sin330°=sin （360°-30°）=-sin30°=- 12 ．故答案为：- 12【点评】：此题考查了诱导公式的作用，熟练掌握诱导公式是解本题的关键． 14.（填空题，5分）函数y=（m 2-m-1） x m 2−2m−1是幂函数，且在x∈（0，+∞）上是减函数，则实数m=___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：由幂函数的定义知，其系数值应为1，又在x∈（0，+∞）上是减函数，故其幂指数为负，由此即可转化出参数的所满足的条件．【解答】：解：由题设条件及幂函数的定义知 {m 2−m −1=1①m 2−2m −1＜0②由 ① 解得m=2，或m=-1，代入 ② 验证知m=-1不合题意故m=2 故答案为2【点评】：本题考点是幂函数的性质，考查对幂函数定义的理解与把握，幂函数的定义为：形如y=a x （a ＞0且a≠1）即为幂函数，其系数为1，这是幂函数的一个重要特征． 15.（填空题，5分）若m ＞0，n ＞0，m+n=3，则 1m +4n 的最小值为 ___ ．【正确答案】：[1]3【解析】：由m+n=3，可得 13 （m+n ）=1，然后由 1m + 4n = 13 （m+n ）（ 1m + 4n ）= 53 + 4m3n +n3m，利用基本不等式进行求解．【解答】：解：由m+n=3，得 13（m+n ）=1，又m ＞0，n ＞0，所以 1m + 4n = 13 （m+n ）（ 1m + 4n ）= 53 + 4m3n + n3m ≥ 53 +2 √4m3n •n3m =3，当且仅当 4m3n = n3m ，即m=1，n=2时等号成立，所以 1m + 4n 的最小值为3．故答案为：3．【点评】：本题主要考查基本不等式的应用，考查运算求解的能力，属于基础题．16.（填空题，5分）已知定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数f（x），当x＞0时，f(x)={3|log2x|，0＜x≤2x2−8x+15，x＞2，若直线y=a（a∈R）与函数y=f（x）的图象恰有八个交点，其横坐标分别为x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，则x1•x2•x3•x4•x5•x6•x7•x8的取值范围是 ___ ．【正确答案】：[1]（144，225）【解析】：作出f（x）的图象，得x1+x8=0，x2+x7=0，且x3x4=x5x6=1，可得x1•x2•x3•x4•x5•x6•x7•x8= (x7x8)2，再由根与系数的关系求解．【解答】：解：作出函数f（x）的图象如下图所示，由图可知，0＜a＜3，由对称性可知，x1+x8=0，x2+x7=0，且x3x4=x5x6=1，∴x1•x2•x3•x4•x5•x6•x7•x8= (x7x8)2，∵x7，x8是方程x2-8x+15-a=0的两个根，由根与系数的关系可得，x7x8=15-a∈（12，15），∴ (x7x8)2∈（144，225），即x1•x2•x3•x4•x5•x6•x7•x8的取值范围为（144，225）．故答案为：（144，225）．【点评】：本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想，属于中档题．17.（问答题，10分）已知全集U=R，集合A={x|x2-4x＜0}，B={x|m≤x≤3m-2}．（1）当m=2时，求∁U（A∩B）；（2）如果A∪B=A，求实数m的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）可求出A={x|0＜x＜4}，m=2时，可求出集合B，然后进行交集和补集的运算即可；（2）根据A∪B=A可得出B⊆A，然后可讨论B是否为空集：B=∅时，m＞3m-2；B≠∅时，{m≤3m−2m＞03m−2＜4，从而解出m的范围即可．【解答】：解：（1）A={x|0＜x＜4}，m=2时，B={x|2≤x≤4}，∴A∩B={x|2≤x＜4}，且U=R，∴∁U（A∩B）={x|x＜2或x≥4}；（2）∵A∪B=A，∴B⊆A，① B=∅时，m＞3m-2，解得m＜1；② B≠∅时，{m≤3m−2m＞03m−2＜4，解得1≤m＜2；综上，实数m的取值范围为（-∞，2）．【点评】：本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集、并集和补集的定义及运算，全集的定义，考查了计算能力，属于基础题．18.（问答题，12分）已知角α的终边落在直线y=4√3x上，且cosα=−17．（Ⅰ）求tan2α的值；（Ⅱ）若cos(α+β)=1114，β∈(0，π2)，求β的值．【正确答案】：【解析】：（I）由已知结合同角基本关系先求出tanα，再结合二倍角的正切公式可求；（II）由已知结合同角平方关系先求出sin（α+β），然后由cosβ=cos[（α+β）-α]，结合两角差的余弦公式展开求cosβ，进而可求．【解答】：解：（I）由题意得，α的终边在第三象限，因为cosα=−17，所以sinα= −4√37，tanα=4 √3，所以tan2α= 2tanα1−tan2α = 8√31−48=- 8√347；（II）因为α∈(π+2kπ，3π2+2kπ)，k∈Z，β∈(0，π2)，所以α+β∈（π+2kπ，2π+2kπ），k∈Z，又cos(α+β)=1114，所以sin（α+β）=- 5√314，所以cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα= 1114×(−17)+(−5√314)×(−4√37) = 12，所以β=π3．【点评】：本题主要考查了同角基本关系，二班角公式及和差角公式在求解三角函数值中的应用，属于中档题．19.（问答题，12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+ π6）（A＞0，ω＞0）的图象在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x0，2）和（x0+ π2，-2）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求sin（x0+ π4）的值．【正确答案】：【解析】：（1）根据条件求出振幅以及函数的周期，即可求函数f（x）的解析式；（2）根据函数的最值，求出x0的大小，结合两角和差的正弦公式进行求解即可．【解答】：解：（1）∵图象在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x 0，2）和（x 0+ π2 ，-2）． ∴A=2， T2 =x 0+ π2 -x 0= π2 ，即函数的周期T=π，即T= 2πω=π ，解得ω=2，即f （x ）=2sin （2x+ π6 ）．（2）∵函数的最高点的坐标为（x 0，2）， ∴2x 0+ π6 = π2 ，即x 0= π6 ，则sin （x 0+ π4）=sin （ π6+ π4）=sin π6cos π4+cos π6sin π4= √22 （sin π6 +cos π6 ）= √22 （ 12+√32 ）= √2+√64．【点评】：本题主要考查三角函数的解析式的求解，以及三角函数值的计算，利用两角和差的正弦公式是解决本题的关键． 20.（问答题，12分）已知 f (x )=a•2x +a−22x +1是定义在R 上的奇函数．（Ⅰ）求实数a 和f （1）的值；（Ⅱ）根据单调性的定义证明：f （x ）在定义域上为增函数．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）根据奇函数的定义和性质建立方程进行求解即可．（Ⅱ）根据函数单调性的定义进行证明即可．【解答】：解：（Ⅰ）∵f （x ）是R 上是奇函数， ∴f （0）=0，即f （0）=a+a−22 =0，得a=1，此时f （x ）=2x −12x +1，则f （-x ）= 2−x −12−x +1 = 1−2x1+2x=-f （x ），则f （x ）为奇函数，满足条件，则f （1）= 2−12+1 = 13 ．证明：（Ⅱ）f （x ）= 2x −12x +1 = 2x +1−22x +1 =1- 22x +1 ，设x 1＜x 2，则f （x 1）-f （x 2）= 22x 2+1 - 22x 1+1 = 2(2x 1+1)−2(2x 2+1)(2x 1+1)(2x 2+1) = 2(2x 1−2x 2)(2x 1+1)(2x 2+1) ，∵x 1＜x 2，∴ 2x 1 ＜ 2x 2 ，则f （x 1）-f （x 2）＜0，即f （x 1）＜f （x 2），即f （x ）在R 上是增函数．【点评】：本题主要考查奇偶性和单调性的应用，利用奇偶性和单调性的定义是解决本题的关键，是中档题．21.（问答题，12分）某化工企业致力于改良工艺，想使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少．设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为r 0mg/m 3，首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为r 1mg/m 3，第n 次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为r n mg/m 3，则可建立函数模型r n =r 0-（r 0-r 1）•50.5n+P （P∈R ，n∈N *），其中n 是指改良工艺的次数．已知r 0=2，r 1=1.94（参考数据：lg2≈0.3）．（Ⅰ）试求该函数模型的解析式；（Ⅱ）若该地环保部门要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过0.08mg/m 3，试问至少进行多少次改良工艺才能使该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标？【正确答案】：【解析】：（I ）将r 0=2，r 1=1.94代入函数模型解解得答案；（II ）结合题意，解出指数不等式即可．【解答】：解：（I ）根据题意，1.94=2-（2-1.94）⋅50.5+P ⇒P=-0.5，所以该函数模型的解析式为 r n =2−0.06⋅50.5n−0.5(n∈N∗)．（II ）由（I ），令 r n =2−0.06⋅50.5n−0.5≤0.08⇒50.5n−0.5≥32 ，故(0.5n −0.5)lg5≥5lg2，得n ≥10lg2lg5+1 ，则 n ≥10×0.30.7+1，10×0.30.7+1≈5.3 ，而n∈N *，则n≥6．综上：至少进行6次改良工艺才能使该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标．【点评】：本题考查函数的实际应用，考查学生的运算能力，属于中档题．22.（问答题，12分）设a为实数，函数f（x）=x2-2ax．（Ⅰ）当a=1时，求f（x）在区间[0，2]上的最大值；（Ⅱ）设函数g（x）=|f（x）|，h（a）为g（x）在区间[0，2]上的最大值，求h（a）的解析式；（Ⅲ）求h（a）的最小值．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x2-2x=x（x-2）=（x-1）2-1，再利用二次函数的性质即可求出结果．（Ⅱ）函数f（x）x2-2ax的对称轴为x=a，对a的范围分情况讨论，分别求出g（x）在区间[0，2]上的最大值，最后写成分段函数的形式，即可得到h（a）的解析式．（Ⅲ）根据h（a）的解析式，求出每一段上的最小值，再比较即可．【解答】：解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x2-2x=x（x-2）=（x-1）2-1，∵x∈[0，2]，∴当x=1或2时，f（x）取得最大值0，即f（x）在区间[0，2]上的最大值为0．（Ⅱ）g（x）=|f（x）|=|x（x-2a）|，① 当a≤0时，g（x）=x2-2ax在[0，2]上单调递增，∴h（a）=g（2）=4-4a；② 当0＜a＜1时，g（x）在[0，a）上是单调递增，在[a，2a）上单调递减，在[2a，2]上单调递增，而g（a）=a2，g（2）=4-4a，∵g（a）-g（2）=a2+4a-4=（a-2 √2 +2）（a+2 √2 +2），∴当0＜a＜2 √2 -2时，h（a）=g（2）=4-4a；当2 √2 - √2≤a＜1时，h（a）=g（a）=a2，③ 当1≤a＜2时，g（x）在[0，a）上是单调递增，在[a，2]上单调递减，∴h（a）=g（a）=a2，④ 当a≥2时，g（x）在[0，2]上是单调递增，∴h（a）=g（2）=4a-4，综上所述，h （a ）= {4−4a ，a ＜2√2−2a 2，2√2−2≤a ＜24a −4，a ≥2，（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当a ＜2 √2 -2时，h （a ）单调递减，无最小值，当2 √2−2 ≤a ＜2时，h （a ）=a 2单调递增，∴h （a ）的最小值为h （2 √2 -2）=12-8 √2 ，当a≥2时，h （a ）=4a-4单调递增，最小值为h （2）=4，比较可知，h （a ）的最小值为h （2 √2 -2）=12-8 √2 ．【点评】：本题主要考查了二次函数的图象和性质，考查了分段函数求最值，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．。

2020-2021学年广东省广州市高一上期末考试数学试卷

2020-2021学年广东省广州市高一上期末考试数学试卷一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．已知集合A＝{x|x2﹣4x+3＞0}，B＝{x|m＜x≤m+4}，若A∪B＝R，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．[﹣1，+∞）C．[﹣1，2）D．[﹣1，1）【解答】解：∵A＝{x|x2﹣4x+3＞0}＝{x|x＞3或x＜1}，B＝{x|m＜x≤m+4}，若A∪B＝R，∴，解得：﹣1≤m＜1，故选：D．2．已知p：|m+1|＜1，q：幂函数y＝（m2﹣m﹣1）x m在（0，+∞）上单调递减，则p是q 的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：p：|m+1|＜1等价于﹣2＜m＜0，∵幂函数y＝（m2﹣m﹣1）x m在（0，+∞）上单调递减，∴m2﹣m﹣1＝1，且m＜0，解得m＝﹣1，∴p是q的必要不充分条件，故选：B．3．不等式x2﹣1＞0的解集是（）A．（﹣1，1）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【解答】解：∵x2﹣1＞0，∴（x+1）（x﹣1）＞0，∴或，解不等式组得x＞1或x＜﹣1，故选：D．4．设f（x）＝则f（17）＝（）A．2B．4C．8D．16【解答】解：根据题意，f（x）＝则f（17）＝f（9）＝f（1）＝21＝2；故选：A．5．设a＝0.74，b＝40.7，c＝log40.7，则a，b，c的大小关系为（）A．b＜a＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．c＜a＜b【解答】解：∵a＝0.74＜0.70＝1，b＝40.7＞40＝1，c＝log40.7＜log41＝0，∴c＜a＜b，故选：D．6．今有一组实验数据如下：x 2.00 3.00 4.00 5.10 6.12y 1.5 4.07.51218.1现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（）A．y＝2x﹣2B．C．y＝2x﹣1D．y＝log2x【解答】解：由表格数据可知y随x的增大而增大，且增加速度越来越快，排除A，D，又由表格数据可知，每当x增加1，y的值不到原来的2倍，排除C，故选：B．7．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，为了得到g（x）＝sin2x的图象，可将f（x）的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位【解答】解：根据函数的图象，，所以T＝π，则ω＝2，所以φ＝kπ（k∈Z），解得φ＝．由于|φ|＜，所以当k＝1时，解得φ＝．所以f（x）＝sin（2x+）．为了得到g（x）＝sin2x的图象，可将f（x）的图象向右平移个单位即可．故选：A．8．已知函数f（x）＝sin2x﹣cos2x，则（）A．f（x）的最小正周期为B．曲线y＝f（x）关于对称C．f（x）的最大值为2D．曲线y＝f（x）关于对称【解答】解：函数f（x）＝sin2x﹣cos2x＝sin（2x﹣），所以函数的最小正周期T＝＝π，所以A不正确；f（x）的最大值为，所以C不正确；函数的对称中心满足2x﹣＝kπ，所以x＝+，k∈Z，可得B不正确；函数的对称轴满足2x﹣＝kπ+，k∈Z，解得x＝+，k∈Z，当k＝0时，x ＝，所以D正确．故选：D．二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分）9．分析给出的下面四个推断，其中正确的为（）A．若a，b∈（0，+∞），则≥2B．若xy＜0，则≤﹣2C．若a∈R，a≠0，则+a≥4D．若x，y∈（0，+∞），则lgx+lgy≥2【解答】解：选项A，因为a，b∈（0，+∞），所以≥2＝2，当且仅当a＝b 时，等号成立，即选项A正确；选项B，因为xy＜0，所以﹣＞0，﹣＞0，所以＝﹣[（﹣）+（﹣）]≤﹣2＝﹣2，当且仅当x＝﹣y时，等号成立，即选项B正确；选项C，当a＜0时，+a≤﹣4，即选项C错误；选项D，当x，y∈（0，1）时，lgx，lgy∈（﹣∞，0），不适用于基本不等式，即选项D 错误．故选：AB．10．下列函数中，既是奇函数又在区间（0，1）上单调递增的是（）A．y＝2x3+4x B．y＝x+sin（﹣x）C．y＝log2|x|D．y＝2x﹣2﹣x【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝2x3+4x，有f（﹣x）＝﹣（2x3+4x）＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，又由y′＝6x2+4，在区间（0，1）上，有y′＝6x2+4＞0，为增函数，符合题意；对于B，y＝x+sin x，有f（﹣x）＝﹣（x+sin x）＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，又由y′＝1+cos x，在区间（0，1）上，有y′＝1+cos x＞0，为增函数，符合题意；对于C，y＝log2|x|，有f（﹣x）＝log2|x|＝﹣f（x），y＝log2|x|为偶函数，不符合题意；对于D，y＝2x﹣2﹣x，有f（﹣x）＝﹣（2x﹣2﹣x）＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，又由y′＝（2x+2﹣x）ln2，在区间（0，1）上，有y′＝（2x+2﹣x）ln2＞0，为增函数，符合题意；故选：ABD．11．函数f（x）＝A cos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜0）的部分图象如图所示，已知函数f（x）在区间[0，m]有且仅有3个极大值点，则下列说法正确的是（）A．函数|f（x）|的最小正周期为2B．点为函数f（x）的一个对称中心C．函数f（x）的图象向左平移个单位后得到y＝A sin（ωx+φ）的图象D．函数f（x）在区间上是增函数【解答】解：由题意可知，函数f（x）过（，0），（，﹣1），所以＝﹣＝，可得T＝＝2，解得ω＝π，因为f（x）的最小值为﹣1，所以A＝1，将（，﹣1）代入f（x）＝cos（πx+φ）中，可得cos（π+φ）＝﹣1，所以π+φ＝2kπ+π，k∈Z，因为＜φ＜0，所以k＝0时，φ＝﹣，所以f（x）＝cos（πx），T＝2，所以|f（x）|的最小正周期为＝1，故A错误，将（﹣，0）代入f（﹣）＝cos（﹣π﹣）＝cos（﹣）＝0，故B正确，f（x）向左移个单位即f（x+）＝cos[π（x+）﹣]＝cos（πx+）＝cos[π+（πx ﹣）]＝sin（），故C正确，由f（x）在区间[0，m]有且仅有3个极大值点，所以m∈[，），f（x）的增区间为[2k，2k+]，k∈z，﹣∈[﹣，﹣]，所以[﹣，0]⊂[﹣，]，故D正确．故选：BCD．12．已知正实数x，y满足，则下列结论正确的是（）A．B．x3＜y3C．ln（y﹣x+1）＞0D．2x﹣y＜【解答】解：∵正实数x，y满足，∴＜﹣．当x＞y时，＞1，＞0，而＜，∴﹣＜0，故＜﹣不可能成立．当x＝y时，＝0＜﹣＝0，不可能成立．故x＜y，∴＞，x3＜y3，故A不正确、B正确；∴y﹣x＞0，y﹣x+1＞1，ln（y﹣x+1）＞0，故C正确；2x﹣y＜20＝1，故D不一定正确，故选：BC．三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．已知5x2y2+y4＝1（x，y∈R），则x2+y2的最小值是．【解答】解：方法一、由5x2y2+y4＝1，可得x2＝，由x2≥0，可得y2∈（0，1]，则x2+y2＝+y2＝＝（4y2+）≥•2＝，当且仅当y2＝，x2＝，可得x2+y2的最小值为；方法二、4＝（5x2+y2）•4y2≤（）2＝（x2+y2）2，故x2+y2≥，当且仅当5x2+y2＝4y2＝2，即y2＝，x2＝时取得等号，可得x2+y2的最小值为．故答案为：．14．已知函数，则f（x）+f（2﹣x）＝2．【解答】解：．15．已知函数f（x）＝a x﹣2﹣4（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，则A的坐标为（2，﹣3）．【解答】解：由x﹣2＝0得x＝2，此时f（2）＝a0﹣4＝1﹣4＝﹣3，即函数f（x）过定点A（2，﹣3），故答案为：（2，﹣3）16．若将函数f（x）＝sinωx（ω＞0）图象上所有点的横坐标向右平移个单位长度（纵坐标不变），得到函数g（x）＝sin（ωx﹣）的图象，则ω的最小值为．【解答】解：将函数f（x）＝sinωx（ω＞0）图象上所有点的横坐标向右平移个单位长度（纵坐标不变），可得y＝sinω（x﹣）的图象；又已知得到函数g（x）＝sin（ωx﹣）的图象，∴＝+2kπ，k∈Z，则ω的最小值为，故答案为：．四．解答题（共6小题，第17题10分，18-22每小题12分，共70分）17．已知集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|x2﹣2mx+m2﹣1≤0}．（1）命题p：x∈A，命题q：x∈B，且p是q的必要非充分条件，求实数m的取值范围；（2）若∀x∈A，都有x2+m≥4+3x，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）B＝{x|x2﹣2mx+m2﹣1≤0}＝{x|（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）≤0}⇒{x|m﹣1≤x≤m+1}．由p是q的必要非充分条件知：B⫋A，∴，解得0≤m≤1．（2）由∀x∈A，都有x2+m≥4+3x，得m≥﹣x2+3x+4，x∈[﹣1，2]，令y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣）2+，x∈[﹣1，2]，∴当x＝时，y取最大值为，∴m≥．18．（1）用定义法证明：函数是（﹣1，+∞）上的增函数；（2）判断函数的奇偶性并证明．【解答】解：（1）设x1＞x2＞﹣1，则f（x1）﹣f（x2）＝x1+﹣（x2+）＝（x1﹣x2）+＝（x1﹣x2）（1﹣），由x1＞x2＞﹣1，可得x1+2＞1，x2+2＞1，∴（x1+2）（x2+2）＞1；0＜＜1，∴1﹣＞0；又∵x1﹣x2＞0，可得f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）．即f（x）在区间（﹣1，+∞）上是增函数．（2）设x＞0，则﹣x＜0；∴g（﹣x）＝（﹣x）﹣﹣1＝﹣（x﹣+1）＝﹣g（x），设x＜0，﹣x＞0，∴g（﹣x）＝（﹣x）﹣+1＝﹣（x﹣﹣1）＝﹣g（x），则g（x）为奇函数．19．已知二次函数f（x）的值域为[﹣9，+∞），且不等式f（x）＜0的解集为（﹣1，5）．（1）求f（x）的解析式；（2）求函数y＝f（）的值域．【解答】解：（1）函数f（x）是二次函数，设为f（x）＝ax2+bx+c，不等式f（x）＜0的解集为（﹣1，5），则有：﹣1和5是对应方程ax2+bx+c＝0的两不等实根，且a＞0；所以：由根与系数关系可得：①：﹣1+5＝﹣；②：（﹣1）×5＝；因为二次函数f（x）的值域为：[﹣9，+∞），则有：＝﹣9；函数的对称轴为：x＝﹣＝2；即函数的顶点坐标为：（2，﹣9）；即4a+2b+c＝﹣9；③由①②③可得：a＝1，b＝﹣4，c＝﹣5；所以：二次函数f（x）＝x2﹣4x﹣5，（2）函数y＝f（）中，令t＝，则t∈[0，3]；所以函数y＝f（t）＝t2﹣4t﹣5＝（t﹣2）2﹣9，当t＝2时，f（t）取得最小值为f（2）＝﹣9，当t＝0时，f（t）取得最大值为f（0）＝﹣5，所以f（t）的值域为[﹣9，﹣5]，即函数y的值域为[﹣9，﹣5]．20．设函数f（x）＝．（1）求函数f（x）的对称中心；（2）求函数f（x）在[0，π]上的单调递减区间．【解答】解：因为函数f（x）＝2sin x cos x+2cos2x﹣＝sin2x+cos2x＝2sin（2x+），（1）令2x+＝kπ，k∈Z，解得x＝﹣，k∈Z，故函数的对称中心为（﹣，0），k∈Z；（2）令2x+，解得x，又因为x∈[0，π]，所以令k＝0，解得x，故函数的单调递减区间为[]．21．已知函数f（x）＝2sin x cos x﹣2sin2x+，g（x）＝sin x．（Ⅰ）若x∈[0，]，求函数f（x）的值域；（Ⅱ）将函数f（x）图象向右平移个单位，再将图象上每一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到函数h（x）的图象，并设F（x）＝h（x）+t（g（x）+g（x+））．若F（x）＞0在[0，]上有解，求实数t的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝2sin x cos x﹣2sin2x+＝sin2x﹣2•+＝sin2x+cos2x＝2sin（2x+），∵x∈[0，]，∴2x+∈[，π]，∴sin（2x+）∈[0，1]，∴f（x）＝2sin（2x+）∈[0，2]，函数f（x）的值域为[0，2]…4分（Ⅱ）∵由题意可得h（x）＝4sin2x，…6分∴F（x）＝4sin2x+t[sin x+sin（x+）]＝4sin2x+t（sin x+cos x），（0≤x≤），设u＝sin x+cos x＝sin（x+），∵x∈[0，]，∴u∈[1，]，且sin2x＝u2﹣1，∴F（x）＞0在[0，]上有解，等价于不等式4（u2﹣1）+tu＞0在u∈[1，]时有解，即存在u∈[1，]使得﹣t＜4（u﹣）成立，∵y＝4（u﹣）在u∈[1，]时单调递增，∴y＝4（u﹣）≤4（）＝2，∴﹣t＜2，即t＞﹣2，即实数t的取值范围为（﹣2，+∞）…12分22．新冠肺炎是近百年来人类遭遇的影响范围最广的全球性大流行病．面对前所未知、突如其来、来势汹汹的疫情天灾，习近平总书记亲自指挥、亲自部署，强调把人民生命安全和身体健康放在第一位，明确坚决打赢疫情防控的人民战争、总体战、阻击战．随着疫情防控形势好转，中央出台了一系列助力复工复产好政策．城市快递行业运输能力迅速得到恢复，市民的网络购物也越来越便利．根据大数据统计，某条快递线路运行时，发车时间间隔t（单位：分钟）满足：4≤t≤15，t∈N，平均每趟快递车辆的载件个数p（t）（单位：个）与发车时间间隔t近似地满足p（t）＝，其中t∈N．（1）若平均每趟快递车辆的载件个数不超过1500个，试求发车时间间隔t的值；（2）若平均每趟快递车辆每分钟的净收益为q（t）＝﹣80（单位：元），问当发车时间间隔t为多少时，平均每趟快递车辆每分钟的净收益最大？并求出最大净收益．【解答】解：（1）当9≤t≤15时，p（t）＝1800超过1500，不合题意；当4≤t＜9，p（t）＝1800﹣15（9﹣t）2，载件个数不超过1500，即1800﹣15（9﹣t）2≤1500，解得t≤9﹣或t，∵4≤t＜9，t∈N，∴t＝4；（2）当4≤t＜9时，p（t）＝﹣10t2+200t+200，q（t）＝﹣80＝﹣80＝＝1520﹣（），∵≥＝1260，当且仅当90t＝，即t＝7时取等号．∴q（t）max＝260；当9≤t≤15，q（t）＝﹣80＝是单调减函数，∴当t＝9时，q（t）max＝240＜260．即发车时间间隔为7分钟时，平均每趟快递车辆每分钟的净收益最大，最大净收益为260元．。

2019-2020学年广东省广州市越秀区高一上学期期末考试数学试卷及答案解析

2019-2020学年广东省广州市越秀区高一上学期期末考试
数学试卷
一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．已知集合A＝{x∈N|﹣1＜x＜4}，则集合A中的元素个数是（）
A．3B．4C．5D．6
2．如果点P（sinθ，cosθ）位于第四象限，那么角θ所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．若幂函数f（x）的图象过点（4，2），则f（a2）＝（）
A．a B．﹣a C．±a D．|a|
4．（）﹣2+log22等于（）
A ．B．3C．4D．5
5．（）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b
6．若函数在区间（1，e）上存在零点，则常数a的取值范围为（）A．0＜a＜1B ．C ．D ．
7．函数的最小正周期为（）
A ．B．πC．2πD．4π
8．已知α∈（π，π），cosα＝﹣，则tan （﹣α）等于（）
A．7B ．C ．﹣D．﹣7
9．如图所示，函数f（x）＝sin（2x+φ）（|φ|＜π）的图象过点，若将f（x）的图象上所有点向右平移个单位长度，然后再向上平移1个单位长度，所得图象对应的函数为g（x），则g（0）＝（）
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2020-2021学年广州市越秀区高一(上)期末数学复习卷1(解析版)

2020-2021学年广州市越秀区高一(上)期末数学复习卷1一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={1,3,5,7}，B ={2,3,4,5}，则A ∩B = ( )A. {1,2,3,4,5,7}B. {5}C. {3}D. {3,5}2. log 223+log 26等于( )． A. 1 B. 2C. 5D. 6 3. 设a =lg0.2，b =log 32，c =5 12，则( )A. a 0)3x (x ≤0)，则f[f(12)]的值是( ) A. 3 B. 13 C. log 2√3 D. 06. 直线l 过点(−1,2)且与直线2x −3y +4=0平行，则直线l 的方程是( )A. 3x +2y −1=0B. 3x +2y +7=0C. 2x −3y +5=0D. 2x −3y +8=07. 如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是( )A. 4√33π B. 12πC. √36π D. √33π8.以下命题：①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．其中正确命题的个数为()A. 0B. 1C. 2D. 39.用与球心距离为2的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为()A. 20π3B. 20√5π3C. 20√5πD. 100π310.圆x2+y2=4与圆x2+y2−4x+4y−12=0的公共弦所在直线的方程为()A. x−y+2=0B. x−y−2=0C. x+y+2=0D. x+y−2=011.直线l过圆(x−2)2+(y+2)2=25内一点M(2,2)，则l被圆截得的弦长恰为整数的直线共有()A. 8条B. 7条C. 6条D. 5条12.已知0<a<1，则函数f(x)=a|x|−|log a x|的零点的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.直线x+2y−3=0与直线2x+ay−1=0垂直，则a的值为_____________．14.长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为______．15.经过点(2,0)且圆心是直线x=2与直线x+y=4的交点的圆的标准方程为__________．16.α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n//β，那么α⊥β.②如果m⊥α，n//α，那么m⊥n．③如果α//β，mα，那么m//β.④如果m//n，α//β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题有____.(填写所有正确命题的编号)三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.求直线l：2x−y−2=0，被圆C：(x−3)2+y2=9所截得的弦长．18.如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，E、F分别为BB1、AC的中点．求证：(1)BF//平面A1EC；(2)平面A1EC⊥平面ACC1A1．19.某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过500件．(1)设一次订购量为x件，服装的实际出厂单价为P元，写出函数P=f(x)的表达式；(2)当销售商一次订购多少件服装时，该服装厂获得的利润最大？并求出最大值．AA1，D是棱20.如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=12 AA1的中点．(1)证明：平面BDC1⊥平面BDC；(2)平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．21.求满足下列条件的圆的方程：(1)经过点P(5,1)，圆心为点C(8,−3)；(2)经过三点A(0,0)，B(1,1)，C(4,2)．22.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=2x−1．(Ⅰ)求f(3)+f(−1)；(Ⅱ)求f(x)的解析式；(Ⅲ)若x∈A，f(x)∈[−7,3]，求区间A．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：本题主要考查了交集及其运算，考查学生的计算能力，属于基础题．根据交集的运算即可得到A∩B．解：∵集合A={1,3,5,7}，B={2,3,4,5}，∴A∩B={3,5}，故选D．2.答案：B解析：本题考查了对数运算性质，属于基础题．利用对数运算性质即可得出．×6)=log222=2．解：原式=log2(23故选B．3.答案：A解析：本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．解：a=lg0.2<0，b=log32∈(0,1)，c=5 12>1．∴a<b<c．故选A．4.答案：D解析：。

2020-2021学年广东省广州市越秀区高一上学期期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年广东省广州市越秀区高一上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1.设M 和N 是两个集合，定义集合M −N ={x|x ∈M ，且x ∉N}，如果M ={x|log 2x <1}，N ={x||x −2|<1}，那么M −N =( )A. {x|0<x <1}B. {x|0<x ≤1}C. {x|1≤x <2}D. {x|2≤x <3}2.下列4个命题：①命题“若x 2−x =0，则x =1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2−x ≠0”； ②若“¬p 或q ”是假命题，则“p 且¬q ”是真命题；③若p ：x(x −2)≤0，q ：log 2x ≤1，则p 是q 的必要不充分条件； ④若命题p ：存在x ∈R ，使得2x <x 2，则¬p ：任意x ∈R ，均有2x ≥x 2；其中正确命题的个数是( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个3.是( )A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角4.sin4π3cos5π6=( )A. −14B. 34C. −√34D. √345.函数y =e x +e −xe x −e−x 的图象大致为( )A.B.C.D.6.已知函数f(x)={x +2,x <0√x,x ≥0，若函数g(x)=f(x)−m(x +1)有三个零点，则实数m 的取值范围是( )A. (12,1) B. (13,1) C. (0,12) D. (0,13)7.函数()A. 在上递增，B. 在上递减C. 在上递增，D. 在上递减8.今有一组实验数据如表所示：t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12u 1.5 4.047.51218.01则体现这些数据关系的最佳函数模型是()A. u=log2tB. u=2t−2C. u=t2−12D. u=2t−2二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 已知幂函数f(x)=xα的图象经过点(16,4)，则下列命题正确的有()A. 函数是偶函数B. 函数是增函数C. 当x>1时，f(x)>1D. 当0<x1<x2时，f(x1)+f(x2)2<f(x1+x22)10. 如图所示为函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)图象的一部分，对任意的x1，x2∈[a,b]，且x1≠x2，若f(x1)=f(x2)，有f(x1+x2)=1，则φ的值可能为()A. π12B. π6C. π4D. 5π611. 下列说法正确的有()A. 在△ABC中，a：b：c=sinA：sinB：sinCB. 在△ABC 中，若sin2A =sin2B ，则△ABC 为等腰三角形C. △ABC 中，sinA >sinB 是A >B 的充要条件D. 在△ABC 中，若sinA =12，则A =π612. 在南方不少地区，经常看到人们头戴一种用木片、竹篾或苇蒿等材料制作的斗笠，用来遮阳或避雨，随着旅游和文化交流活动的开展，斗笠也逐渐成为了一种时尚旅游产品．有一种外形为圆锥形的斗笠，称为“灯罩斗笠”，根据人的体型、高矮等制作成大小不一的型号供人选择使用，不同型号的斗笠大小经常用帽坡长(母线长)和帽底宽(底面圆直径长)两个指标进行衡量，现有一个“灯罩斗笠”，帽坡长20厘米，帽底宽20√3厘米，关于此斗笠，下面说法正确的是( )A. 若每100平方厘米的斗笠面需要价值1元的材料，此斗笠的制作费为2√3π元B. 用此斗笠盛水，则需要1000π立方厘米的水才能将斗笠装满C. 斗笠轴截面(过顶点和底面中心的截面图形)的顶角为120°D. 过斗笠顶点和斗笠侧面上任意两母线的截面三角形的最大面积为100√3平方厘米三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 函数y =log a (2x −3)+8的图象恒过定点P ，P 在幂函数f(x)的图象上，则f(3)=______． 14. cos70°cos40°+sin70°sin40°=______． 15. 若函数f(x)={x,x <1x 2−2x −5,x ≥1，则不等式f(x)≥−2的解集为______⋅16. 某电信公司推出手机两种收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间(分钟)与打出电话费s(元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差______ 元．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知函数f(x)=x 2+x +ln 1x−a 在x =0处取得极值．(1)求实数a 的值；(2)若关于x 的方程f(x)=52x −b 在区间[0,2]上恰有两个不同的实数根，求实数b 的取值范围． (3)证明：对任意的正整数n ，不等式2+34+49+⋯+n+1n 2>ln(n +1)都成立．18. 已知f(x)=[sin(π2−x)tan(π+x)−cos(π−x)]2−14sin(3π2+x)+cos(π−x)+cos(2π−x)．(1)求f(−10π3)；(2)若关于x的方程f2(x)+(1+12a)sinx+2a=0在x∈[π6,3π4]上有两实根，求实数a的范围；(3)求函数y=4af2(x)+2cosx(a∈R)的最大值．19. 已知函数f(x)=sin2x−cos2x+sin2x.(Ⅰ)求f(π4)的值；(Ⅱ)求函数f(x)的最小正周期；(III)当x∈[0,π2]时，求f(x)的取值范围．20. 已知函数f(x)=ax2+1bx+c(a,b,c∈Z)是奇函数，且f(1)=2，f(2)<3．(1)求a，b，c的值．(2)判断函数f(x)在[1,+∞)上的单调性，并用定义证明你的结论．(3)解关于t的不等式：f(−t2−1)+f(|t|+3)>0．21. 为丰富市民的文化生活，市政府计划在一块半径为200m，圆心角为120°的扇形地上建造市民广场．规划设计如图：内接梯形ABCD区域为运动休闲区，其中A，B分别在半径OP，OQ上，C，D在圆弧P^Q上，CD//AB；△OAB区域为文化展示区，AB长为50√3m；其余空地为绿化区域，且CD长不得超过200m．(1)试确定A，B的位置，使△OAB的周长最大？(2)当△OAB的周长最大时，设∠DOC=2θ，试将运动休闲区ABCD的面积S表示为θ的函数，并求出S的最大值．22. 已知函数f(x)=lg[(m2−3m+2)x2+2(m−1)x+5]，(1)若函数f(x)的定义域为R，求实数m的取值范围；(2)若函数f(x)的值域为R，求实数m的取值范围．参考答案及解析1.答案：B解析：↵解：集合M={x|log2x<1}={x|0<x<2}，集合N={x||x−2|<1}={x|1<x<3}，因为两个集合M与N之差记作“M−N”，定义为：M−N={x|x∈M，且x∉N}，那么M−N= {x|0<x≤1}．故选：B．由题意通过对数的基本运算求出集合M，解绝对值不等式求出集合N，利用新定义直接求出M−N即可．本题是中档题，正确利用新定义，求出集合的解集是解题的关键，考查计算能力．2.答案：D解析：解：①命题“若x2−x=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2−x≠0”，故正确；②若“¬p或q”是假命题，则p真，q假，则“p且¬q”是真命题，故正确；③若p：x(x−2)≤0⇔x∈[0,2]，q：log2x≤1⇔(0,2]，则p是q的必要不充分条件，故正确；④若命题p：存在x∈R，使得2x<x2，则¬p：任意x∈R，均有2x≥x2，故正确；故选：D．写出原命题的逆否命题，可判断①；根据复合命题真假判断的真值表，可判断②；根据充要条件的定义，可判断③；写出原命题的否定命题，可判断④本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，四种命题，充要条件，命题的否定，难度中档．3.答案：C解析：试题分析：因为第一象限角的范围为;第二象限角的范围为;第三象限角的范围为;第四象限角的范围为；是第三象限角，故选C．考点：象限角的概念．4.答案：B解析：解：sin4π3cos5π6=sin(π+π3)cos(π−π6)=−sinπ3·(−cosπ6)=−√32×(−√32)=34．故选B．利用诱导公式和特殊角的三角函数值解题．本题主要考察了同角三角函数关系式和特殊角的三角函数值，属于基本知识的考查．5.答案：A解析：试题分析：欲判断图象大致图象，可从函数的定义域{x|x≠0}方面考虑，还可从函数的单调性(在函数当x>0时函数为减函数)方面进行考虑即可．解析：函数有意义，需使e x−e−x≠0，其定义域为{x|x≠0}，排除C，D，又因为y=e x+e−xe x−e−x =e2x+1e2x−1=1+2e2x−1，所以当x>0时函数为减函数，故选A答案：A．6.答案：C解析：解：函数g(x))=f(x)−m(x+1)有三个零点，等价于f(x)的图像和y=m(x+1)的图像有3个交点，两个函数的图像如图示：∵y=m(x+1)的图像恒过(−1,0)，故图像有3个交点即左边1个，右边2个，设直线y =m(x +1)与f(x)相切于点(x 0,y 0)，f′(x)=12√x ，则{m(x 0+1)=√x 0m =12√x 0，解得：{x 0=1m =12，故0<m <12时，两个函数图像有3个交点，故实数m 的取值范围是(0,12)，故选：C ．函数g(x)有3个零点，等价于f(x)的图像和y =m(x +1)的图像有3个交点，画出函数的图像，结合图像求出m 的范围即可．本题考查了函数图像的交点问题，考查数形结合思想，转化思想，是中档题．7.答案：A解析：试题分析：，当或时，此时函数在和上单调递增;或时，，此时函数在和上单调递减.综上可知A 正确．考点：正切函数的单调性．8.答案：C解析：本题考查最佳体现数据关系的函数模型的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意排除法的合理运用．把(t,u)的值分别代入A ，B ，C ，D 中，能够找到最佳体现这些数据关系的函数模型．解：把(t,u)的值分别代入u =log 2t 中，不成立，故A 不能最佳体现这些数据关系；把(t,u)的值分别代入u =2t −2中，不成立，故B 不能最佳体现这些数据关系；把(t,u)的值分别代入u =t 2−12中，基本成立，故C 能最佳体现这些数据关系；把(t,u)的值分别代入u =2t −2中，不成立，故D 不能最佳体现这些数据关系．故选C．9.答案：BCD解析：求出幂函数f(x)的解析式，再判断选项中的命题是否正确．本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题，也考查了函数思想．解：幂函数f(x)=xα的图象经过点(16,4)，所以16α=4，解得α=12，所以f(x)=x12=√x；所以f(x)是非奇非偶的函数，是定义域[0,+∞)上的增函数；当x>1时，f(x)>f(1)=1；画出f(x)在[0,+∞)上的图象，如图所示：由图象知，当0<x1<x2时，f(x1)+f(x2)2<f(x1+x22)；所以正确的选项是BCD．故选：BCD．10.答案：BD解析：解：由题意，从图看出A=2，x1，x2∈[a,b]，f(x1)=f(x2)，可知x1，x2关于函数的对称轴是对称的．即x=x1+x22是其中一条对称轴，且f(x1+x22)=2，∴函数f(x1+x22)=2，可得：2sin[ω(x1+x22)+φ]=2，可得：ω(x1+x22)+φ=π2+2kπ，k∈Z，…①．∵f(x1+x2)=1，∴函数f(x1+x2)=2Asin[ω(x1+x2)+φ]=1，可得：ω(x 1+x 2)+φ=π6+2kπ，或5π6+2kπ，k ∈Z ，…②．令k =0，由①②解得：φ=π6，或5π6， ∵0<φ<π， ∴φ=π6.或5π6．故选：BD ．由题意，从图看出x 1，x 2∈[a,b]，f(x 1)=f(x 2)，可知x 1，x 2关于函数的对称轴是对称的．即x =x 1+x 22时其中一条对称轴，且f(x 1+x 22)=2，f(x 1+x 2)=1，即可求解φ的值．本题主要考查三角函数的图象和性质的运用，考查了数形结合思想的应用，属于中档题．11.答案：AC解析：本题考查的知识要点：正弦定理，三角函数的关系式的变换，三角函数的值，充分条件和必要条件，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．直接利用正弦定理，三角函数的关系式的变换，三角函数的值，充分条件和必要条件的应用判断A 、B 、C 、D 的结论．解：对于A ：在△ABC 中，利用正弦定理得： a ：b ：c =sinA ：sinB ：sinC ，故A 正确；对于B ：在△ABC 中，若sin2A =sin2B ，所以2A =2B 或2A =π−2B ，整理得A =B 或A +B =π2，即A =B 或C =π2，则△ABC 为等腰三角形或直角三角形，故B 错误；对于C ：△ABC 中，当sinA >sinB ⇒2RsinA >2RsinB ⇒a >b ⇒A >B ；当A >B ⇒a >b ⇒2RsinA >2RsinB ⇒sinA >sinB ，故sinA >sinB 是A >B 的充要条件，故C 正确；对于D ：在△ABC 中，若sinA =12，则A =π6或5π6，故D 错误．故选：AC ．12.答案：ABCD解析：解：如图所示：，由题意可知，PA=20，AB=20√3，对于选项A：由圆锥的侧面积公式可知，斗笠面的面积为π×20×10√3=200√3π，所以若每100平方厘米的斗笠面需要价值1元的材料，此斗笠的制作费为2√3π元，故选项A正确，对于选项B：由圆锥的体积公式可知，V=13π(10√3)2×PO=100π×√202−(10√3)2=1000π，所以用此斗笠盛水，则需要1000π立方厘米的水才能将斗笠装满，故选项B正确，对于选项C：因为PA=20，AO=10√3，所以sin∠APO=AOAP =√32，所以∠APO=60°，所以∠APB=120°，故选项C正确，对于选项D：由图可知过斗笠顶点和斗笠侧面上任意两母线的截面三角形中，轴截面面积最大，最大面积为12×20×20×sin120°=100√3(平方厘米)，故选项D正确．故选：ABCD．利用圆锥的侧面积公式和体积公式可知A，B正确，由圆锥的轴截面图形可知C，D正确．本题主要考查了圆锥的侧面积公式、体积公式，以及圆锥的轴截面，是基础题．13.答案：27解析：解：对于函数y=log a(2x−3)+8，令2x−3=1，解得x=2，此时y=8，因此函数y=log a(2x−3)+8的图象恒过定点P(2,8)．设幂函数f(x)=xα，∵P在幂函数f(x)的图象上，∴8=2α，解得α=3．∴f(x)=x3．∴f(3)=33=27．故答案为27．利用y=log a1=0可得定点P，代入幂函数f(x)=xα即可．本题考查了对数函数的性质和幂函数的定义，属于基础题．14.答案：√32解析：解：cos70°cos40°+sin70°sin40°=cos(70°−40°)=cos30°=√32，故答案为：√32．直接根据两角差的余弦公式计算即可．本题考查了两角差的余弦公式，属于基础题．15.答案：{x|−2≤x <1或x ≥3}解析：解：由已知，f(x)≥−2得到{x <1x ≥−2①和{x ≥1x 2−2x −5≥−2②，解不等式组①得−2≤x <1，解不等式组②得x ≥3，所以不等式f(x)≥−2的解集为{x|−2≤x <1或x ≥3}；故答案为：{x|−2≤x <1或x ≥3}．由题意，根据自变量的范围分别建立两个不等式组解之．本题考查了分段函数与不等式组得解法相结合得问题；关键是明确自变量范围对应得解析式，正确建立不等式组．16.答案：10解析：解：如题图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费差为线段BD 的长度，根据相似三角形的性质可得：BD20=50100， ∴BD =10．故答案为：10元．欲求两种方式电话费相差的数字，结合函数的图象可得，只须求出当x =150时，图中BD 的长度即可，利用平面几何中的相似三角形的性质即可．本题考查了函数模型的选择与应用，以及函数与方程的思想，属于基础题．17.答案：解：(1)f(x)=x 2+x +ln 1x−a =x 2+x −ln(x −a)∴f′(x)=2x +1−1x−a 当x =0时，f(x)取得极值， ∴f′(0)=0，故1−1x−a =0，解得a =−1，经检验a =−1符合题意，则实数a 的值为−1；(2)由a =−1知f(x)=x 2+x −ln(x +1) 由f(x)=52x −b ，得ln(x +1)−x 2+32x −b =0 令φ(x)=ln(x +1)−x 2+32x −b ，则f(x)=52x −b 在区间[0,2]上恰有两个不同的实数根等价于φ(x)=0在区间[0,2]上恰有两个不同的实数根．φ′(x)=1x+1−2x +32=−(4x+5)(x−1)2(x+1)，当x ∈[0,1]时，φ′(x)>0，于是φ(x)在[0,1)上单调递增；当x ∈(1,2]时，φ′(x)<0，于是φ(x)在(1,2]上单调递减，依题意有φ(0)=−b ≤0， φ(1)=ln(1+1)−1+32−b >0， φ(2)=ln(1+2)−4+3−b ≤0 解得，ln3−1≤b <ln2+12，故实数b 的取值范围为：[ln3−1,ln2+12)；(3)：f(x)=x 2+x −ln(x +1)的定义域为{x|x >−1}，由(1)知f′(x)=2x +1−1x+1=x(2x+3)x+1，令f′(x)=0得，x =0或x =−32(舍去)， ∴当−1<x <0时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x >0时，f′(x)>0，f(x)单调递增． ∴f(0)为f(x)在(−1,+∞)上的最小值．∴f(x)≥f(0)，故ln(x +1)−x 2−x ≤0(当且仅当x =0时，等号成立) 对任意正整数n ，取x =1n >0得，ln(1n +1)<1n +1n 2， ∴ln(n+1n)<n+1n 2，故2+34+49+⋯+n+1n2>ln2+ln32+ln43+⋯+ln n+1n=ln(n+1)．解析：(1)函数f(x)=x 2+x+ln1x−a=x2+x−ln(x−a)，对其进行求导，在x=0处取得极值，可得f′(0)=0，求得a值；(2)关于x的方程f(x)=52x−b在区间[0,2]上恰有两个不同的实数根，将问题转化为φ(x)=0，在区间[0,2]上恰有两个不同的实数根，对φ(x)对进行求导，从而求出b的范围；(3)f(x)=x2+x−ln(x+1)的定义域为{x|x>−1}，利用导数研究其单调性，可以推出ln(x+1)−x2−x≤0，令x=1n ，可以得到ln(n+1n)<n+1n2，利用此不等式进行放缩证明．本题考查利用导数研究函数的极值及单调性，解题过程中用到了分类讨论的思想，分类讨论的思想也是高考的一个重要思想，要注意体会其在解题中的运用，第三问难度比较大，利用了前两问的结论进行证明，此题是一道中档题．18.答案：解：(1)f(x)=(cosxtanx+cosx)2−1−4cosx−cosx+cosx =2sinxcosx−4cosx=−12sinx，则f(−10π3)=12sin10π3=12sin(3π+π3)=−12sinπ3=−√34；(2)把f2(x)+(1+12a)sinx+2a=0，整理得：14sin2x+(1+12a)sinx+2a=0，即sin2x+(4+2a)sinx+8a=0，分解因式得：(sinx+4)(sinx+2a)=0，∴sinx=−2a或sinx=−4(舍去)，当x∈[π6,3π4]时，sinx∈[√22,1]，∴√22≤−2a<1，解得：−12<a<−√24；(3)y=−acos2x+2cosx+a，1°当a=0时，y=2cosx，y max=2；令cosx=t，则y=−at2+2t+a，t∈[−1,1]；2°当a>0时，−a<0，对称轴为t=1a；①若1a>1，即0<a<1时，y max=−a+2+a=2；②若0<1a ≤1，即a≥1时，y max=−a×1a2+2×1a+a=a+1a；3°当a<0时，−a>0，对称轴t=1a<0，y max=−a+2+a=2，综上所述，当a<1时，y max=2，当a≥1时，y max=a+1a．解析：(1)f(x)解析式利用诱导公式化简，约分得到最简结果，把x=−1860°代入计算即可求出值；(2)由确定出的f(x)解析式，代入已知等式，整理求出sinx的值，根据sinx的范围确定出a的范围即可；(3)把确定出的f(x)解析式代入函数解析式中整理，分a=0，a>0与a<0三种情况求出y的最大值即可．此题考查了运用诱导公式化简求值，以及三角函数的最值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．19.答案：解：(Ⅰ)f(π4)=sinπ2−cos2π4+sin2π4=1−12+12=1.(4分)(Ⅱ)f(x)=sin2x−cos2x+sin2x=sin2x−(cos2x−sin2x)=sin2x−cos2x(5分) =√2sin(2x−π4).(7分)T=2πω=2π2=π.(8分)(III)因为x∈[0,π2]，所以2x−π4∈[−π4,3π4].(9分)则sin(2x−π4)∈[−√22,1].(11分)则√2sin(2x−π4)∈[−1,√2]．即f(x)的取值范围是[−1,√2].(12分)解析：(Ⅰ)直接代入π4，即可求f(π4)的值；(Ⅱ)利用二倍角公式与两角差的正弦函数化简函数的表达式，直接利用周期公式，求函数f(x)的最小正周期；(III)当x∈[0,π2]时，求出2x−π4的范围，然后求出sin(2x−π4)∈[−√22,1]，即可求f(x)的取值范围．本题是中档题，考查三角函数的化简，周期的求法两角差的正弦函数的应用，三角函数的最值的求法，考查计算能力，常考题型．20.答案：解：(1)∵f(x)为奇函数，∴f(−x)+f(x)=ax2+1−bx+c +ax2+1bx+c=0，得−bx+c=−bx−c，解得c=0，又f(1)=a+1b=2，化为2b=a+1．∵f(2)=4a+12b <3，∴4a+1a+1<3，化为a−2a+1<0，⇔(a+1)(a−2)<0，解得−1<a<2，∵a∈Z，∴a=0或1．当a=0时，解得b=12，与b∈Z矛盾，舍去．当a=1时，b=1，综上：a=b=1，c=0．(2)f(x)=x2+1x，函数f(x)在[1,+∞)上为增函数．任取x1，x2∈[1,+∞)，且x1<x2．则f(x1)−f(x2)=x12+1x1−x22+1x2=(x1−x2)(x1x2−1)x1x2，∵x1，x2∈[1,+∞)，且x1<x2．∴x1−x2<0，x1x2>1，∴f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)<f(x2).∴函数f(x)在[1,+∞)上为增函数．(3)∵f(−t2−1)+f(|t|+3)>0，∴f(|t|+3)>−f(−t2−1)=f(t2+1)．∵函数f(x)在[1,+∞)上为增函数，∴t2+1<|t|+3，化为(|t|−2)(|t|+1)<0，解得0≤|t|<2，解得−2<t<2．解析：本题考查了函数的奇偶性与单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(1)由f(x)为奇函数，可得f(−x)+f(x)=0，解得c=0，又f(1)=a+1b=2，化为2b=a+1.f(2)=4a+12b<3，即可得出．(2)f(x)=x2+1x，函数f(x)在[1,+∞)上为增函数．利用证明单调函数的方法即可证明．(3)利用函数的奇偶性与单调性即可解出．21.答案：解：(1)设OA=m，OB=n，m，n∈(0,200]，在△OAB中，AB2=OA2+OB2−2OA⋅OB⋅cos2π3，即(50√3)2=m2+n2+mn，所以，(50√3)2=(m+n)2−mn≥(m+n)2−(m+n)24=34(m+n)2，所以m+n≤100，当且仅当m=n=50时，m+n取得最大值，此时△OAB周长取得最大值．答：当OA、OB都为50m时，△OAB的周长最大．(2)当△AOB的周长最大时，梯形ACBD为等腰梯形．过O作OF⊥CD交CD于F，交AB于E，则E、F分别为AB，CD的中点，所以∠DOE=θ，由CD≤200，得θ∈(0,π6]．在△ODF中，DF=200sinθ，OF=200cosθ．又在△AOE中，OE=OAcosπ3=25，故EF=200cosθ−25．所以，S=12(50√3+400sinθ)(200cosθ−25)=625(√3+8sinθ)(8cosθ−1)=625(8√3cosθ−8sinθ+64sinθcosθ−√3)，θ∈(0,π6]．令f(θ)=8√3cosθ−8sinθ+64sinθcosθ−√3，θ∈(0,π6],f′(θ)=−8√3sinθ−8cosθ+64cos2θ=−16sin(θ+π6)+64cos2θ,θ∈(0,π6]，又y=−16sin(θ+π6)及y=cos2θ在θ∈(0,π6]上均为单调递减函数，故f′(θ)在θ∈(0,π6]上为单调递减函数．因f′(π6)=−16(√32−4×12)>0，故f′(θ)>0在θ∈(0,π6]上恒成立，于是，f(θ)在θ∈(0,π6]上为单调递增函数．所以当θ=π6时，f(θ)有最大值，此时S有最大值为625(8+15√3)．答：当θ=π6时，梯形ABCD面积有最大值，且最大值为625(8+15√3)m2..解析：(1)设OA=m，OB=n，m，n∈(0,200]，在△OAB中，利用余弦定理，结合基本不等式，即可得出结论；(2)利用梯形的面积公式，结合导数，确定函数的单调性，即可求出S 的最大值．本题考查余弦定理，考查基本不等式的运用，考查利用导数知识解决最值问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22.答案：解：函数f(x)=lg[(m 2−3m +2)x 2+2(m −1)x +5]，(1)∵f(x)的定义域为R ，∴g(x)=(m 2−3m +2)x 2+2(m −1)x +5的图象恒在x 轴上方， (m 2−3m +2)x 2+2(m −1)x +5>0恒成立，当m =1时，5>0恒成立，当m =2时2x +5>0不恒成立，当{m 2−3m +2>0△<0时，不等式恒成立．即m >94或m <1，所以实数m 的取值范围为：m >94或m ≤1， (2)∵f(x)的值域为R ，∴g(x)=(m 2−3m +2)x 2+2(m −1)x +5图象不能在x 轴下方，当m =2时g(x)=2x +5，符合题意，当{m 2−3m +2>0△≥0时，即2<m ≤94 实数m 的取值范围：2≤m ≤94解析：(1)(m 2−3m +2)x 2+2(m −1)x +5>0恒成立，运用二次函数求解． (2)g(x)=(m 2−3m +2)x 2+2(m −1)x +5图象不能在x 轴上方．本题考察了对数函数的图象和性质，借助二次函数性质求解．。

广东省广州市越秀区2020-2021学年高一上学期期末考试数学试题(Word答案版)

2020学年越秀区第一学期学业水平调研测试高一年级数学试卷全卷满分150分考试试卷120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设U = {1,2,34,5}, A = {1,2}, B = {1,4,5},则 AU（C“B）=（）A.{1}B. {2}C. {1,2,3}D. {124,5}2.命题"e （0,+cx））, hx = l-x ”的否定是（）A.Vx g （0,+s）, liix = l-xB. Vx e （0,+s）, In x H 1 -xC. 3.v g (0,+s) , Inx = 1 -£>. 3xe (O,+8), In xH 1 -x x3•在平而直角坐标系中，角&的顶点与原点重合，角&的始边与兀轴非负半轴重合，角&的终边经过点P（—34）,则cos 8=（c-~l54. sin—的值等于（）35•为了得到函数y = cos（3x-l）的图像，只需把y = cos3x的图像上的所有点（）A.向左平移1个单位B.向右平移1个单位C.向左平移-个单位D.向右平移-个单位3 36.函数/（A）= hix + 2x-3的零点所在的一个区间是（）A・（°G）（pl）C・（h?）D・（；,2）2 2 2 27•设a = log3 0.6 , b = log（）3 0.6 ♦贝ij （）A. ab<Za + b<G B・ a+b<0<ab C. ab<G<.a+b D. a + b<ab<G8.当生物死后，它体内的碳14含量会按确怎的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730 年衰减为原来的一半。

2010年考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料草裹泥）上提取的草茎遗存进行碳14检测，检测出碳14的残留量约为初始虽的55.2%,以此推断此水坝建成的年代大概是公元前（）（参考数据:logo 5 0.552 « 0.8573 f log05 0.448 «1.1584 ）二、选择题：本题共4小题，每小题5分.共20分•在每小题给出的四个选项中.有多项符合题目要求.全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分. 9•设。

2020越秀区高一上数学期末考

2020学年越秀区高一上学期期末教学质量检查高一数学（B ）考生注意：本卷共三大题，20小题，满分150分，时间120分钟.不准使用计算器.参考公式：锥体的体积公式ShV31=（其中S为底面面积，h为高），球的表面积公式24RSπ=，球的体积公式334RVπ=（其中R为球的半径）.一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题各有四个选项，仅有一个选项正确．）1．下列函数中，是偶函数的是（）A．2)(xxf=B．xxf=)(C．xxf1)(=D．3)(xxxf+=2．下列各式正确的是（）A．3334< B. 6log4log5.05.0< C. 33)21()21(>- D. 4.1lg6.1lg<3．直线01234=+-yx在y轴上的截距是（）A．4 B．－4 C．3 D．－34．如图为几何体的三视图，根据三视图可以判断这个几何体为（）A．圆锥B．三棱锥C．三棱柱D．三棱台5．函数xexf x+=)(的零点所在一个区间是（）A．（-2,-1）B．（-1,0）C．（0,1）D．（1,2）6．下列四组函数，表示同一函数的是（）A．xxgxxf==)(,)(2B．332)(,2log)(xxgxf x==C．xxgxxf==)(,)()(2D．xxxgxxf2)(,)(==7．与直线3450x y++=关于x轴对称的直线的方程为（）A．3450x y-+=B．0543=-+yx C．0534=-+yx D．0534=++yx8．已知α是平面，ba,是直线，且a//b，a⊥平面α，则b与平面α的位置关系是（）A．b⊂平面αB．b⊥平面αC．//b平面αD．b与平面α相交但不垂直9．已知()xf x a=，()log(01)ag x x a a=≠>且，若0)2()1(<⋅gf，那么()f x与()g x在同一坐标系内的图像可能是（）（第4题图）10．已知偶函数)(x f y =在区间(,0]-∞上是增函数，下列不等式一定成立的是（）A ．(3)(2)f f >-B ．()(3)f f π->C ．2(1)(23)f f a a >++ D ．22(2)(1)f a f a +>+二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡中相应的位置上．） 11．直线01=+-y x 的倾斜角是．12．已知⎩⎨⎧>-≤+=0,20 ,1)(2x x x x x f ，则=))1((f f ．1314．15．16．程：G,是如图，正方形ABCD的边长为1，正方形ADEF所在平面与平面ABCD互相垂直，H DF,的中点．FCGH平面CDE；（1）求证：//⊥平面；（2）求证：BC CDEG-的体积．（3）求三棱锥ABC（第17题图）18．（本小题满分12分）如图：A、B两城相距100km，某天燃气公司计划在两地之间建一天燃气站D给A、B两城供气．已知D地距A城x km，为保证城市安全，天燃气站距两城市的距离均不得少于10km．已知建设费用y (万元)与A、B两地的供气距离(km)的平方和成正比，当天燃气站D距A城的距离为40km设费用为1300万元．（供气距离指天燃气站距到城市的距离）（1）把建设费用y(万元)表示成供气距离x (km)的函数，并求定义域；（2）天燃气供气站建在距A城多远，才能使建设供气费用最小，最小费用是多少？DA（第18题图）已知函数1)(+-=x cx x f ，其中c 为常数，且函数)(x f 图像过原点．（1）求c 的值；（2）证明函数)(x f 在[0,2]上是单调递增函数；（3）已知函数31)()(-=xe f x g ，求函数)(x g 的零点．20．12()2x x+，2010—2011学年度第一学期期末教学质量检查高一数学B 答案一、选择题ACACB BABCC16.（本小题满分14分）解：由⎩⎨⎧=--=-+0103y x y x 得⎩⎨⎧==12y x ,所以)1,2(M . …………………2分(1)依题意，可设所求直线为：)0(02≠=++c c y x . …………………4分因为点M 在直线上，所以0122=++⨯c ,解得：5-=c . ………………7分所以所求直线方程为：052=-+y x . …………………9分 (2)依题意，设所求直线为：02=+-c y x . …………………10分因为点M 在直线上，所以0122=+⨯-c ,解得：0=c …………12分所以所求直线方程为：02=-y x . …………………14分（3）解：依题意: 点G 到平面ABCD 的距离h 等于点F 到平面ABCD 的一半, ………11分即: 21=h . …………………12分 ∴12121112131=⋅⋅⋅⋅=-ABCC V . ………………14分 (求底面积对的有1分) 18.（本小题满分12分）解：（1）设比例系数为k ,则])100([22x x k y -+=)9010(≤≤x . ……………3分(不写定义域扣1分)又1300,40==y x , 所以)6040(130022+=k ,即41=k , ……………5分所以)5000100(21])100([41222+-=-+=x x x x y )9010(≤≤x . ………7分（2）由于2500)50(21)5000100(2122+-=+-=x x x y , ………………10分所以当x ＝50时，y 有最小值为1250万元. …………………11分所以当供气站建在距A 城50km, 电费用最小值1250万元. ……12分 19.（本小题满分14分）解：(1) Θ函数)(x f 图像过原点,∴ 0)0(=f ,即0=c . …………………3分(3)令031131)()(=-+=-=xx xe e ef xg , …………………12分 21=∴x e , …………………13分即2ln -=x . …………………14分 20.（本小题满分14分）解:(1)因为()f x 为偶函数,所以0=c .22212121212()()()()2222f x f x x x x x x xf ++++-=- …………………4分=2121()04x x ->, …………………5分 1212()()()22f x f x x xf ++∴>，即()f x 为H 函数. …………………6分(3)例:2()log g x x =. ……………8分 2x -理由:当121,2x x ==时,1222()()11(log 1log 2)222g x g x +=+=, …………………10分122221231()log log log 22222x x g ++==>=, …………………12分显然不满足1212()()()22g x g x x xg ++>, 所以该函数2()log g x x =不为H 函数. …………………14分。

2019-2020学年广州市越秀区高一上期末数学试卷((有答案))

2019-2020 学年广东省广州市越秀区高一（上）期末数学试卷一、选择题：（本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分 . 在每题给出的四个选项中，选择一个切合题目要求的选项涂在答题卡相应的地点. ）1．（5分）已知会合 M={x∈ Z|x （ x﹣ 3）≤ 0} ， N={x|lnx ＜1} ，则 M∩N=（）A．{1 ，2} B．{2 ，3} C．{0 ，1，2} D．{1 ，2，3}2．（5分）函数 f （ x） =lnx ﹣的零点所在的大概区间是（）A．B．（1，2） C．（2，3） D．（e，+∞）3．（5 分）若 m，n 是两条不一样的直线，α，β，γ是三个不一样的平面，下些说法正确的选项是（）A．若 m? β，α⊥β，则 m⊥αB．若 m⊥β， m∥α，则α⊥βC．若α∩γ =m，β∩γ =n， m∥n，则α∥β D．若α⊥γ，α⊥β，，则γ⊥β4．（5分）已知函数，设，则有（）A． f （ a）＜ f （ b）＜ f （c ）B．f （a）＜ f （c）＜ f （b）C．f （b）＜ f （ c）＜ f （a）D．f （b）＜ f （a）＜ f （c）5．（5 分）将正方体（如图 1 所示）截去两个三棱锥，获取图 2 所示的几何体，则该几何体的左视图为（）A．B．C．D．6．（5 分）一种特意侵犯内存的计算机病毒，开机时占有内存2KB，而后每 3 分钟自己复制一10次，复制后所占内存是本来的 2 倍，若该病毒占有 64MB内存（1MB=2KB），则开机后经过（）分钟．A． 45 B．44C． 46D． 477．（5 分）若当 x∈R 时，函数 f （ x） =a|x|一直知足 0＜|f （x）| ≤1，则函数 y=log a|| 的图象大概为（）A．B．C．D．8．（5 分）在平面直角坐标系中，以下四个结论：①每一条直线都有点斜式和斜截式方程；②倾斜角是钝角的直线，斜率为负数；③方程与方程y+1=k（x﹣2）可表示同向来线；90°，则其方程为x=x°；④直线 l 过点 P（ x0，y0），倾斜角为此中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．49．（5 分）以下图，圆柱形容器的底面直径等于球的直径 2R，把球放在在圆柱里，注入水，使水面与球正好相切，而后将球拿出，此时容器中水的深度是（）A． 2R B．C． D ．10．（5 分）一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：2m）．（）A．B．C．D．11．（5 分）如图，正方体 AC1的棱长为 1，过点 A 作平面 A1BD的垂线，垂足为点H，则以下命题中，错误的命题是（）A．点H是△ A1 BD的垂心B． AH垂直平面CB1D1C． AH的延伸线经过点C1D．直线AH和BB1所成角为45°12．（5 分）已知函数 y=f （x）是定义域为 R 的偶函数．当 x≥0 时，f （x）=若对于 x 的方程 [f （x）] 2+af （x）+b=0，a，b∈R 有且仅有 6 个不一样实数根，则实数a 的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分 . 答案填在答卷上 . ）13．（5分）计算的结果是．14．（5分）已知 4a=2，lgx=a ，则 x=．15．（5分）过点（ 1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程．16．（5 分）已知：在三棱锥 P﹣ABQ 中， D，C，E，F 分别是 AQ， BQ，AP， BP 的中点， PD与EQ 交于点 G，PC与 FQ交于点 H，连结 GH，则多面体 ADGE﹣ BCHF的体积与三棱锥 P﹣ABQ体积之比是．三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并写在答题卷相应地点 . ）17．（10 分）如图，在平行四边形OABC中，点 C（ 1，3）．（1）求 OC所在直线的斜率；（2）过点 C作 CD⊥AB于点 D，求 CD所在直线的方程．18．（12 分）如图，正方形ABCD所在平面与三角形 CDE所在平面订交于CD，AE⊥平面 CDE，且 AE=1，AB=2．（Ⅰ）求证： AB⊥平面 ADE；（Ⅱ）求凸多面体 ABCDE的体积．19．（12 分）已知函数为奇函数，（1）求 a 的值；（2）当 0≤ x≤1 时，对于 x 的方程 f （x）+1=t 有解，务实数 t 的取值范围；220．（12 分）某家庭进行理财投资，依据长久利润率市场检查和展望，投资债券等稳键型产品A 的利润 f （x）与投资本额 x 的关系是 f （x）=k1x，（f （x）的部分图象如图1）；投资股票等风险型产品B 的利润 g（x）与投资本额 x 的关系是，（g（x）的部分图象如图2）；（利润与投资本额单位：万元）．（1）依据图 1、图 2 分别求出 f （x）、g（x）的分析式；（2）该家庭现有 10 万元资本，并所有投资债券等稳键型产品 A 及股票等风险型产品 B 两种产品，问：如何分派这10 万元投资，才能使投资获取最大利润，其最大利润为多少万元？21．（12 分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中， AC⊥ BC，AC=BC=CC1=2，M，N 分别为 AC， B1C1的中点．（Ⅰ）求线段 MN的长；（Ⅱ）求证： MN∥平面 ABB1A1；（Ⅲ）线段 CC1上能否存在点 Q，使 A1B⊥平面 MNQ？说明原因．22．（12 分）已知函数 f （ x） =ax2+bx+c（ a， b，c∈R）．（1）若 a＜ 0， b＞ 0， c=0，且 f （x）在 [0 ，2] 上的最大值为，最小值为﹣2，试求a， b的值；（2）若 c=1，0＜ a＜ 1，且 || ≤2 对随意 x∈ [1 ，2] 恒建立，求 b 的取值范围．（用 a 来表示）2019-2020 学年广东省广州市越秀区高一（上）期末数学试卷参照答案与试题分析一、选择题：（本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分 . 在每题给出的四个选项中，选择一个切合题目要求的选项涂在答题卡相应的地点. ）1．（5 分）已知会合M={x∈ Z|x （ x﹣ 3）≤ 0} ， N={x|lnx＜1} ，则M∩N=（）A．{1 ，2} B．{2 ，3} C．{0 ，1，2}D．{1 ，2，3}【解答】解：会合 M={x∈Z|x （ x﹣ 3）≤ 0}={x ∈Z|0 ≤ x≤ 3}={0 ，1，2，3} ，N={x|lnx ＜1}={x|0 ＜x＜e} ，则 M∩N={1，2} ．应选： A．2．（5 分）函数 f （ x） =lnx ﹣的零点所在的大概区间是（）A．B．（1，2） C．（2，3） D．（e，+∞）【解答】解：∵函数，∴f （2）=ln2 ﹣ 1＜ 0， f （ 3） =ln3 ﹣＞0，故有 f （ 2） f （3）＜ 0，依据函数零点的判断定理可得函数的零点所在的大概区间为（2，3），应选： C．3．（5 分）若 m，n 是两条不一样的直线，α，β，γ是三个不一样的平面，下些说法正确的选）项是（A．若 m? β，α⊥β，则m⊥αB．若 m⊥β， m∥α，则α⊥βC．若α∩γ =m，β∩γ =n， m∥n，则α∥βD．若α⊥γ，α⊥β，，则γ⊥β【解答】解：若 m? β，α⊥β，则m与α平行、订交或 m? α，故 A 不正确；若 m⊥α， m∥β，则α⊥β，由于m∥β依据线面平行的性质在β 内起码存在一条直线与m平行，依据线面垂直的判断：假如两条平行线中的一条垂直于这个平面，那么另一条也垂直于该平面，故 B 正确；若αl γ=m，β l γ=n， m∥n，则α∥β或α与β订交，故 C不正确；若α⊥γ，α⊥β，则γ 与β 订交或平行，故D不正确．应选 B．4．（5 分）已知函数，设，则有（）A． f （ a）＜ f （ b）＜ f （c ）B．f （a）＜ f （c）＜ f （b）C．f （b）＜ f （ c）＜ f （a）D．f （b）＜ f （a）＜ f （c）【解答】解：由复合函数的单一性可得函数又，，f （x）在（﹣1， +∞）上单一递加，，所以 b＞ c＞ a，∴ f （ b）＞ f （c）＞ f （a）．应选： B．5．（5 分）将正方体（如图 1 所示）截去两个三棱锥，获取图 2 所示的几何体，则该几何体的左视图为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知几何体前面在右边的射影为线段，上边的射影也是线段，后边与底面的射影都是线段，轮廓是正方形，AD1在右边的射影是正方形的对角线，B1 C在右边的射影也是对角线是虚线．如图 B．应选 B．6．（5 分）一种特意侵犯内存的计算机病毒，开机时占有内存2KB，而后每 3 分钟自己复制一10）次，复制后所占内存是本来的 2 倍，若该病毒占有 64MB内存（1MB=2KB），则开机后经过（分钟．A． 45 B．44 C． 46D． 47【解答】解：由于开机时占有内存 2KB，而后每 3 分钟自己复制一次，复制后所占内存是本来的 2倍，所以 3 分钟后占有内存 22KB，两个 3 分钟后占有内存 23KB，三个 3 分钟后占有内存 24KB，故 n 个 3 分钟后，所占内存是本来的 2n+1倍，n+11016则应有 2=64× 2 =2 ，∴ n=15， 15×3=45，7．（5 分）若当 x∈R 时，函数 f （ x） =a|x|一直知足 0＜|f （x）| ≤1，则函数 y=log a|| 的图象大概为（）A．B．C．D．【解答】解：∵当 x∈R时，函数 f （x）=a|x|一直知足 0＜ |f （x）| ≤1．所以，必有 0＜a＜1．先画出函数 y=log a|x| 的图象：黑颜色的图象．而函数 y=log a| |= ﹣log a|x| ，其图象如红颜色的图象．应选 B．8．（5 分）在平面直角坐标系中，以下四个结论：①每一条直线都有点斜式和斜截式方程；②倾斜角是钝角的直线，斜率为负数；③方程与方程 y+1=k（x﹣2）可表示同向来线；④直线 l 过点 P（ x0，y0），倾斜角为 90°，则其方程为 x=x°；此中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：对于①，斜率不存在的直线无点斜式和斜截式方程，故错；对于②，由倾斜角与斜率的关系知，倾斜角是钝角的直线，斜率为负数，正确；对于③，方程（ x≠ 2）与方程 y+1=k（x﹣2）（x∈R）不表示同向来线，故错；对于④，直线 l 过点 P（ x0，y0），倾斜角为 90°，则其方程为 x=x0，正确；应选： B．9．（5 分）以下图，圆柱形容器的底面直径等于球的直径2R，把球放在在圆柱里，注入水，使水面与球正好相切，而后将球拿出，此时容器中水的深度是（）A．2R B．C．D．【解答】解：由题意，水的体积==，∴容器中水的深度h==，应选： C．10．（5 分）一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：2m）．（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图能够看出，此几何体是一个侧面与底面垂直且底面与垂直于底面的侧面全等的三棱锥由图中数据知此两面皆为等腰三角形，高为2，底面边长为 2，故它们的面积皆为=2，由极点在底面的投影向另双侧面的底边作高，由等面积法能够算出，此二高线的长度相等，为，将垂足与极点连结起来即得此双侧面的斜高，由勾股定理能够算出，此斜高为2，同理可求出侧面底边长为，可求得此双侧面的面积皆为=，故此三棱锥的全面积为2+2+ + =，应选 A．11．（5 分）如图，正方体 AC1的棱长为 1，过点 A 作平面 A1BD的垂线，垂足为点H，则以下命题中，错误的命题是（）A．点H是△ A1 BD的垂心B． AH垂直平面CB1D1C． AH的延伸线经过点C1D．直线AH和BB1所成角为45°【解答】解：由于三棱锥 A﹣A1BD是正三棱锥，所以极点 A 在底面的射影 H是底面中心，所以选项 A 正确；易证面 A1BD∥面 CB1D1，而 AH垂直平面 A1BD，所以 AH垂直平面 CB1D1，所以选项 B 正确；连结正方体的体对角线AC1，则它在各面上的射影分别垂直于BD、A1B、A1D 等，所以 AC1⊥平面A1 BD，则直线 A1C与 AH重合，所以选项C 正确；应选 D．12．（5 分）已知函数 y=f （x）是定义域为 R 的偶函数．当 x≥0 时，f （x）=若对于 x 的方程 [f （x）] 2+af （x）+b=0，a，b∈R 有且仅有 6 个不一样实数根，则实数a 的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：依题意 f （ x）在（﹣∞，﹣ 2）和（ 0，2）上递加，在（﹣ 2， 0）和（ 2，+∞）上递减，当 x=±2 时，函数获得极大值；当 x=0 时，获得极小值 0．要使对于 x 的方程 [f （ x）] 2+af （x）+b=0，a，b∈R有且只有 6 个不一样实数根，设 t=f （ x），则则有两种状况切合题意：（1），且，此时﹣ a=t 1+t 2，则；（2）t 1∈（ 0，1] ，，此时同理可得，综上可得 a 的范围是．应选答案 C．二、填空题：（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分 . 答案填在答卷上 . ）13．（5 分）计算的结果是2．【解答】解：运算 =1﹣+ +lg2+lg5=1 ﹣0.4+0.4+1=2 ．故答案为 2．14．（5 分）已知 4a=2，lgx=a ，则 x=．【解答】解：∵ 4a =2，∴22a=2，即 2a=1解得 a=∵l gx=a ，∴lgx=∴x=，故答案为：．15．（5 分）过点（ 1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程 2x﹣ y=0 或 x+y﹣3=0【解答】解：①当所求的直线与两坐标轴的截距不为 0 时，设该直线的方程为 x+y=a，把（ 1，2）代入所设的方程得： a=3，则所求直线的方程为 x+y=3 即 x+y﹣3=0；②当所求的直线与两坐标轴的截距为 0 时，设该直线的方程为 y=kx，把（ 1，2）代入所求的方程得：k=2，则所求直线的方程为y=2x 即 2x﹣ y=0．综上，所求直线的方程为：2x﹣y=0 或 x+y﹣3=0．故答案为： 2x﹣ y=0 或 x+y﹣3=016．（5 分）已知：在三棱锥 P﹣ABQ 中， D，C，E，F 分别是 AQ， BQ，AP， BP 的中点， PD与EQ交于点 G，PC与 FQ交于点 H，连结 GH，则多面体 ADGE﹣ BCHF的体积与三棱锥 P﹣ABQ体积之比是．【解答】解：∵ D， C， E， F 分别是 AQ， BQ，AP，BP的中点，∴EF∥ AB，DC∥ AB，则 EF∥ DC，又 EF?平面 PCD，DC? 平面 PCD，∴ EF∥平面 PCD，又 EF? 平面 EFQ，平面 EFQ∩平面 PCD=GH，∴ EF∥ GH，设三棱锥 P﹣ABQ体积为 V，则 V P﹣DCQ=，，=．∴=．∴多面体 ADGE﹣BCHF的体积与三棱锥P﹣ ABQ体积之比是．故答案为：．三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并写在答题卷相应地点 . ）17．（10 分）如图，在平行四边形OABC中，点 C（ 1，3）．（1）求 OC所在直线的斜率；（2）过点 C作 CD⊥AB于点 D，求 CD所在直线的方程．【解答】解：（1）∵点 O（0，0），点 C（1，3），∴OC所在直线的斜率为．（2）在平行四形OABC中， AB∥OC，∵CD⊥ AB，∴CD⊥ OC．∴ CD所在直的斜率．∴CD所在直方程，即x+3y10=0．18．（12 分）如，正方形ABCD所在平面与三角形 CDE所在平面订交于CD，AE⊥平面 CDE，且 AE=1，AB=2．（Ⅰ）求： AB⊥平面 ADE；（Ⅱ）求凸多面体 ABCDE的体．【解答】明：（Ⅰ）∵ AE⊥平面 CDE，CD? 平面 CDE，∴AE⊥ CD，又在正方形 ABCD中， CD⊥ AD，AE∩AD=A，∴CD⊥平面 ADE，又在正方形 ABCD中， AB∥ CD，∴AB⊥平面 ADE．⋯（ 6 分）解：（Ⅱ）接 BD， B 到平面 CDE的距离 h，∵AB∥ CD，CD? 平面 CDE，∴AB∥平面 CDE，又 AE⊥平面 CDE，∴h=AE=1，又=，∴=，又==，∴凸多面体 ABCDE的体 V=V B﹣CDE+V B﹣ADE=．⋯（12分）19．（12 分）已知函数奇函数，（1）求 a 的；（2）当 0≤ x≤1 ，对于 x 的方程 f （x）+1=t 有解，求数 t 的取范；2【解答】解：（1）∵ x∈R，∴ f （ 0） =0，∴ a= 1⋯．（3 分）（2）∵，∵ 0≤x≤1，∴ 2≤3x+1≤4⋯．（5分）∴⋯．（ 7 分）∴⋯．（8分）（3）在R上减，⋯．（9分）f （ x2mx）≥ f （ 2x 2m）x2mx≤2x 2m⋯．（10 分）x2（ m+2） x+2m≤0（x 2）（x m）≤ 0⋯．（11 分）①当 m＞ 2 ，不等式的解集是 {x|2 ≤x≤m}②当 m=2，不等式的解集是 {x|x=2}③当 m＜ 2 ，不等式的解集是 {x|m ≤x≤2} ⋯．（14 分）20．（12 分）某家庭行理投，依据期利润率市和，投券等型品A 的利润 f （x）与投金 x 的关系是 f （x）=k1x，（f （x）的部分象如1）；投股票等型品 B 的利润 g（x）与投金 x 的关系是，（g（x）的部分象如2）；（利润与投金位：万元）．（1）依据 1、 2 分求出 f （x）、g（x）的分析式；（2）家庭有 10 万元金，并所有投券等型品 A 及股票等型品 B 两种品，：怎分派10 万元投，才能使投得最大利润，其最大利润多少万元？【解答】解：（1）投 x 万元，由意，知 f （1.8 ） =0.45 ，g（4）=2.5 ；解得 k1=，k2=，∴f （x）= x， x≥ 0． g（x）=，x≥0；（2）股票等型品 B 投 x 万元，券等型品 A 投（ 10 x）万元，家庭行理投取的利润y 万元， y=，x≥0．=t ， x=t 2，0≤t ≤∴y=，当 t=，也即x=，y取最大．答：股票等型品 B 投万元，券等型品 A 投万元，可最大收益万元．21．（12 分）如，直三棱柱ABC A1B1C1中， AC⊥ BC，AC=BC=CC1=2，M，N 分 AC， B1C1的中点．（Ⅰ）求段 MN的；（Ⅱ）求： MN∥平面 ABB1A1；（Ⅲ）段 CC1上能否存在点 Q，使 A1B⊥平面 MNQ？明原因．【解答】解：（Ⅰ）接 CN，因 ABC A1B1 C1是直三棱柱，所以 CC1⊥平面 ABC，所以 AC⊥CC1，⋯（ 2 分）因⋯（3 分）AC⊥BC，所以 AC⊥平面 BCC1B1．因 MC=1，CN= = ，所以 MN=⋯（4分）（Ⅱ）明：取AB中点 D，接 DM，DB1⋯（5分）在△ ABC中，因 M AC中点，所以 DM∥BC， DM= BC．在矩形 B1BCC1中，因 N B1C1中点，所以 B1N∥BC，B1N= BC．所以 DM∥B1N，DM=B1N．所以四形 MDB1N 平行四形，所以MN∥DB1．⋯（7分）因 MN?平面 ABB1A1，DB1? 平面 ABB1A1⋯（ 8 分）所以 MN∥平面 ABB1A1．⋯（9分）（Ⅲ）解：段CC1上存在点 Q，且 Q CC1中点，有 A1B⊥平面 MNQ．⋯（ 11 分）明以下：接BC1，在正方形 BB1C1 C中易 QN⊥ BC1．又 A1C1⊥平面 BB1C1C，所以 A1C1⊥QN，进而 NQ⊥平面 A1BC1．⋯（ 12 分）所以 A1B⊥ QN．⋯（13分）同理可得 A1B⊥MQ，所以 A1 B⊥平面 MNQ．故段 CC1上存在点 Q，使得 A1B⊥平面 MNQ．⋯（ 14 分）22．（12 分）已知函数 f （ x） =ax2+bx+c（ a， b，c∈R）．（1）若 a＜ 0， b＞ 0， c=0，且 f （x）在 [0 ，2] 上的最大，最小2，求a，b的；（2）若 c=1，0＜ a＜ 1，且 || ≤2 随意 x∈ [1 ，2] 恒建立，求 b 的取范．（用 a 来表示）【解答】（ 1）抛物的称，①当，即 b＞ 4a ，当，，f（x）min=f（2）=4a+2b+c=2，∴，∴a= 2， b=3．②当，即b≥ 4a ， f （x）在 [0 ，2] 上增函数， f （x）min=f（0）=0 与 f （x）min=﹣2 矛盾，无解，综合得： a=﹣2，b=3．（2）对随意x∈ [1，2]恒建立，即对随意x∈[1，2]恒建立，即对随意 x∈[1 ，2] 恒建立，令，则，∵0＜a＜1，∴，（ⅰ）若，即时， g（x）在 [1 ，2] 单一递减，此时，即，得，此时，∴∴．（ⅱ）若，即时， g（x）在单一递减，在单一递加，此时，，只需，当时，，当时，，．综上得：①时，；②时，；③时，．。

广东省广州市越秀区高一数学上学期期末试卷(含解析)-人教版高一全册数学试题

2015-2016学年某某省某某市越秀区高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（3，2），则直线AB的倾斜角大小（）A．30° B．45° C．135°D．150°2．已知函数f（x）=x n的图象过点（3，），则n=（）A．B．C．D．3．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与直线A1B是异面直线的是（）A．直线AB1B．直线CD1C．直线B1C D．直线BC14．下列函数中，与函数y=|x|表示同一函数的是（）A．y=（）2B．y=C．y=D．y=log22|x|5．已知函数f（x）=2x+1，则（）A．f（x）的图象经过点（0，1）B．f（x）在R上的增函数C．f（x）的图象关于y轴对称 D．f（x）的值域是（0，+∞）6．若m＞n，则（）A．0.2m＜0.2n B．log0.3m＞log0.3nC．2m＜2n D．m2＞n27．如图所示，一个空间几何体的正视图和俯视图都是边长为2的正方形，侧视图是一个直径为2的圆，则该几何体的表面积是（）A．4πB．6πC．8πD．16π8．在空间在，设m，n，l是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若m⊥l，n⊥l，则m∥n B．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m⊥α，m⊥β，则α∥βD．若m∥α，m∥β，则α∥β9．圆（x﹣3）2+（y+2）2=1与圆（x﹣7）2+（y﹣1）2=36的位置关系是（）A．外离 B．外切 C．相交 D．内切10．若x0是函数f（x）=lgx与g（x）=的图象交点的横坐标，则x0属于区间（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，+∞）11．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=log2（x+1），则函数f （x）的大致图象是（）A． B． C．D．12．已知函数f（x）=，则下列关于函数y=f[f（x）]+1的零点个数是（）A．当a＞0时，函数F（x）有2个零点B．当a＞0时，函数F（x）有4个零点C．当a＜0时，函数F（x）有2个零点D．当a＜0时，函数F（x）有3个零点二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．函数f（x）=lg（4﹣x）+的定义域是．14．在空间直角坐标系中，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的其中四个顶点的坐标分别是D（0，0，0），A（6，0，0），C（0，6，0），D（0，0，6），若一个球与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的六个面都相切，则该球的体积是．15．圆x2+y2﹣2x﹣2y=0上的点到直线x+y﹣8=0的距离的最小值是．16．里氏地震M的计算公式为：M=lgA﹣lgA0，其中A测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅，则7级地震的最大振幅是4级地震最大振幅的倍．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤、17．设全集是实数集R，集合A={x|x（x﹣3）＜0}，B={x|x≥a}．（1）当a=1时，求∁R（A∪B）；（2）若A∩B≠∅，某某数a的取值X围．18．在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别是A（5，﹣1），B（7，3），C （2，8）．（1）求直线AB的方程；（2）求AB边上高所在的直线l的方程；（3）求△ABC的外接圆的方程．19．如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O圆周上异于A，B的一点，AD⊥⊙O所在的平面PAB，四边形ABCD是边长为2的正方形，连结PA，PB，PC，PD．（1）求证：平面PBC⊥平面PAD；（2）若PA=1，求四棱锥P﹣ABCD的体积．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，点E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（1）求证：PA∥平面BDE；（2）求证：PB⊥平面DEF．21．已知圆0：x2+y2=r2（r＞0）与直线x+2y﹣5=0相切．（1）求圆O的方程；（2）若过点（﹣1，3）的直线l被圆0所截得的弦长为4，求直线1的方程；（3）若过点A（0，）作两条斜率分别为k1，k2的直线交圆0于B、C两点，且k1k2=﹣，求证：直线BC恒过定点．并求出该定点的坐标．22．已知函数f（x）的定义域为R，对任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＜0时，f（x）＞0．（1）求证：f（x）是奇函数；（2）判断f（x）在R上的单调性，并加以证明；（3）解关于x的不等式f（x2）+3f（a）＞3f（x）+f（ax），其中常数a∈R．2015-2016学年某某省某某市越秀区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（3，2），则直线AB的倾斜角大小（）A．30° B．45° C．135°D．150°【考点】直线的倾斜角．【专题】方程思想；综合法；直线与圆．【分析】先求出直线AB的斜率，从而求出直线AB的倾斜角．【解答】解：∵A（1，0），B（3，2），∴k AB==1，则直线AB的倾斜角大小是45°，故选：B．【点评】本题考查了直线的倾斜角问题，是一道基础题．2．已知函数f（x）=x n的图象过点（3，），则n=（）A．B．C．D．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】对应思想；待定系数法；函数的性质及应用．【分析】根据幂函数f（x）的图象过点（3，），代入点的坐标，求出n的值．【解答】解：函数f（x）=x n的图象过点（3，），∴3n=，解得n=．故选：A．【点评】本题考查了利用函数图象上的点的坐标求函数解析式的问题，是基础题．3．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与直线A1B是异面直线的是（）A．直线AB1B．直线CD1C．直线B1C D．直线BC1【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】根据异面直线的定义结合长方体的性质，可得A1B与B1C的位置关系是异面．【解答】解：∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，D1C∥A1B∴A1B∥平面DCC1D1，而D1C1与B1C是相交直线，∴A1B与B1C的位置关系是异面．故选：C．【点评】本题考查异面直线的判定，是基础题．4．下列函数中，与函数y=|x|表示同一函数的是（）A．y=（）2B．y=C．y=D．y=log22|x|【考点】判断两个函数是否为同一函数．【专题】对应思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是同一函数．【解答】解：对于A，y==x，x≥0，与函数y=|x|（x∈R）的定义域不同，对应关系也不同，不是同一函数；对于B，y==x，x∈R，与函数y=|x|（x∈R）的对应关系不同，不是同一函数；对于C，y==|x|，x≠0，与函数y=|x|（x∈R）的定义域不同，不是同一函数；对于D，y=log22|x|=|x|，x∈R，与函数y=|x|（x∈R）的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数．故选：D．【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，是基础题目．5．已知函数f（x）=2x+1，则（）A．f（x）的图象经过点（0，1）B．f（x）在R上的增函数C．f（x）的图象关于y轴对称 D．f（x）的值域是（0，+∞）【考点】指数函数的图象变换．【专题】探究型；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】把指数函数y=2x的图象向上平移1个单位，然后再结合y=2x的性质可得函数f（x）=2x+1的性质，则答案可求．【解答】解：函数f（x）=2x+1的图象是把y=2x的图象向上平移1个单位得到的．∴f（x）=2x+1的图象过点（1，1），在R上是增函数，图象不具有对称性，值域为（1，+∞）．综上可知，B正确．故选：B．【点评】本题考查指数函数的性质，考查了指数函数的图象平移，是基础题．6．若m＞n，则（）A．0.2m＜0.2n B．log0.3m＞log0.3nC．2m＜2n D．m2＞n2【考点】函数单调性的性质．【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，进行判断即可．【解答】解：∵y=0.2x为减函数，∴若m＞n，则0.2m＜0.2n正确，∵y=log0.3x为减函数，∴若m＞n，则log0.3m＜log0.3n，或对数函数不存在，错误∵y=2x为增函数，∴若m＞n，则2m＞2n，错误当m=1，n=﹣1时，满足m＞n，但m2＞n2不成立，故选：A【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据指数函数和对数函数的单调性是解决本题的关键．比较基础．7．如图所示，一个空间几何体的正视图和俯视图都是边长为2的正方形，侧视图是一个直径为2的圆，则该几何体的表面积是（）A．4πB．6πC．8πD．16π【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；方程思想；综合法；立体几何．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱体，根据数据求出它的表面积．【解答】解：根据几何体的三视图，知该几何体是底面直径为2，高为2的圆柱体；∴该圆柱体的表面积是S=2S底+S侧=2π×12+2π×1×2=6π．故选：B．【点评】本题考查了三视图的应用问题，解题时应根据三视图，得出几何体的形状与数据特征，从而求出答案，是基础题．8．在空间在，设m，n，l是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若m⊥l，n⊥l，则m∥n B．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m⊥α，m⊥β，则α∥βD．若m∥α，m∥β，则α∥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】对应思想；空间位置关系与距离．【分析】由线面位置关系逐个判断即可：选项A，可得m∥n，m与n相交或m与n异面；选项B，可得α∥β或α与β相交；选项C，同一个平面成立，在空间不成立；选项D，垂直于同一条直线的两个平面平行【解答】解：选项A，由m⊥l，n⊥l，在同一个平面可得m∥n，在空间不成立，故错误；选项B，由m∥α，n∥α，可得m∥n，m与n相交或m与n异面，故错误；选项C，由垂直于同一条直线的两个平面平行可知结论正确；选项D，m∥α，m∥β可得α∥β或α与β相交，故错误；故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，涉及空间中的线面位置关系，属基础题．9．圆（x﹣3）2+（y+2）2=1与圆（x﹣7）2+（y﹣1）2=36的位置关系是（）A．外离 B．外切 C．相交 D．内切【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】根据题意，算出两圆的圆心分别为C1（3，﹣2）、C2（7，1），得到|C1C2|=5即得圆心距等于两圆半径之差，从而得到两圆相内切．【解答】圆（x﹣3）2+（y+2）2=1的圆心为C1（3，﹣2），半径r=1同理可得圆（x﹣7）2+（y﹣1）2=36的圆心为C2（7，1），半径R=6∴|C1C2|==5，可得|C1C2|=R﹣r，两圆相内切故选：D．【点评】本题给出两圆方程，求它们的位置关系，着重考查了圆的方程、圆与圆的位置关系等知识，属于基础题．10．若x0是函数f（x）=lgx与g（x）=的图象交点的横坐标，则x0属于区间（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，+∞）【考点】对数函数的图象与性质．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】令h（x）=f（x）﹣g（x），使用零点的存在性定理进行判断．【解答】解：令h（x）=f（x）﹣g（x）=lgx﹣．则当x∈（0，1）时，lgx＜0，，∴h（x）＜0；h（1）=﹣1，h（2）=lg2﹣＜lg﹣=0，h（3）=lg3﹣＞lg﹣=0，∴h（2）h（3）＜0．h（x）在（2，3）上有零点．故选C．【点评】本题考查了函数零点的存在性定理，属于基础题．11．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=log2（x+1），则函数f （x）的大致图象是（）A． B． C．D．【考点】函数的图象．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由题意可得函数f（x）的图象关于原点对称，函数在R上单调递增，且增长比较缓慢，从而结合选项得出结论【解答】解：由函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=log2（x+1），可得函数f（x）的图象关于原点对称，函数在R上单调递增，且增长比较缓慢，结合所给的选项，故选：A．【点评】本题主要考查函数的奇偶性、单调性的应用，函数的图象特征，属于中档题．12．已知函数f（x）=，则下列关于函数y=f[f（x）]+1的零点个数是（）A．当a＞0时，函数F（x）有2个零点B．当a＞0时，函数F（x）有4个零点C．当a＜0时，函数F（x）有2个零点D．当a＜0时，函数F（x）有3个零点【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题；分类讨论；函数的性质及应用．【分析】讨论a，再由分段函数分别代入求方程的解的个数，从而确定函数的零点的个数即可．【解答】解：当a＞0时，由af（x）+1+1=0得，f（x）=﹣＜0，故ax+1=﹣或log3x=﹣，故有两个不同的解，由log3f（x）+1=0得，f（x）=，故ax+1=或log3x=，故有两个不同的解，故共有四个解，即函数有4个零点；当a＜0时，af（x）+1+1=0无解，由log3f（x）+1=0得，f（x）=，故ax+1=（无解）或log3x=，故有﹣个解，故共有一个解，故选B．【点评】本题考查了分类讨论的思想应用及方程的根与函数的零点的关系应用．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．函数f（x）=lg（4﹣x）+的定义域是（2，4）．【考点】对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据对数函数以及二次根式的性质得到关于x的不等式组，解出即可．【解答】解：由题意得：，解得：2＜x＜4，故答案为：（2，4）．【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数二次根式的性质，是一道基础题．14．在空间直角坐标系中，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的其中四个顶点的坐标分别是D（0，0，0），A（6，0，0），C（0，6，0），D（0，0，6），若一个球与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的六个面都相切，则该球的体积是36π．【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；方程思想；综合法；立体几何．【分析】求出正方体的棱长为6，利用一个球与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的六个面都相切，可得球的半径为3，即可求出球的体积．【解答】解：由题意，正方体的棱长为6，∵一个球与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的六个面都相切，∴球的半径为3，∴球的体积是=36π．故答案为：36π．【点评】本题考查球的体积，考查学生的计算能力，正确求出球的半径是关键．15．圆x2+y2﹣2x﹣2y=0上的点到直线x+y﹣8=0的距离的最小值是2．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】根据题意可知，当Q为过圆心作直线的垂线与圆的交点的时候，Q到已知直线的距离最短，所以利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，然后减去半径即可求出最短距离．【解答】解：把圆的方程化为标准式方程得：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，所以圆心A（1，1），圆的半径r=，则圆心A到直线x+y﹣8=0的距离d==3，所以动点Q到直线距离的最小值为3﹣=2．故答案为：2．【点评】此题要求学生会将圆的方程化为标准式方程并会根据圆的标准式方程找出圆心坐标和半径，灵活运用点到直线的距离公式化简取值，是一道中档题．此题的关键是找出最短距离时Q的位置．16．里氏地震M的计算公式为：M=lgA﹣lgA0，其中A测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅，则7级地震的最大振幅是4级地震最大振幅的103倍．【考点】对数的运算性质．【专题】应用题；方程思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】根据题意，列出方程lgA7﹣lgA0=7①，lgA4﹣lgA0=4②，组成方程组求出的值．【解答】解：根据题意，得；lgA7﹣lgA0=7①，lgA4﹣lgA0=4②；由①得，A7=A0•107，由②得，A4=A0•104；∴=103，即7级地震的最大振幅是4级地震最大振幅的103倍．故答案为：103．【点评】本题考查了对数运算的性质与应用问题，是基础题目．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤、17．设全集是实数集R，集合A={x|x（x﹣3）＜0}，B={x|x≥a}．（1）当a=1时，求∁R（A∪B）；（2）若A∩B≠∅，某某数a的取值X围．【考点】交集及其运算；交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】（1）化简集合A，根据并集和补集的定义即可求出，（2）根据交集的定义，及A∩B≠∅即可求出a的X围．【解答】解：（1）集合A={x|x（x﹣3）＜0}=（0，3），B={x|x≥1}=[1，+∞），∴A∪B=（0，+∞），∴∁R（A∪B）=（﹣∞，0]；（2）由B={x|x≥a}=[a，+∞），A=（0，3），∵A∩B≠∅，∴a＜3，∴a的取值X围为（﹣∞，3）．【点评】本题考查了集合的交并补运算，关键是掌握运算法则，属于基础题．18．在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别是A（5，﹣1），B（7，3），C （2，8）．（1）求直线AB的方程；（2）求AB边上高所在的直线l的方程；（3）求△ABC的外接圆的方程．【考点】待定系数法求直线方程；圆的标准方程．【专题】方程思想；综合法；直线与圆．【分析】（1）求出直线AB的斜率，代入直线的点斜式方程即可；（2）求出直线l的斜率，代入点斜式方程整理即可；（3）设出圆的标准方程，根据待定系数法求出即可．【解答】解：（1）∵K AB==2，∴直线AB的方程是：y+1=2（x﹣5），即2x﹣y﹣11=0；（2）∵AB⊥l，∴K AB•K l=﹣1，解得：K l=﹣，∴过C（2，8），斜率是﹣的直线方程是：y﹣8=﹣（x﹣2），即x+2y﹣18=0；（3）设三角形外接圆的方程是（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，（r＞0），由题意得：，解得：a=2，b=3，r=5，∴△ABC的外接圆的方程是（x﹣2）2+（y﹣3）2=25．【点评】本题考查了求直线和圆的方程问题，考查求直线的斜率问题，是一道中档题．19．如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O圆周上异于A，B的一点，AD⊥⊙O所在的平面PAB，四边形ABCD是边长为2的正方形，连结PA，PB，PC，PD．（1）求证：平面PBC⊥平面PAD；（2）若PA=1，求四棱锥P﹣ABCD的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】（1）证明PB⊥平面PAD，即可证明平面PBC⊥平面PAD；（2）若PA=1，在平面PAB内过P作PE⊥AB于E，证明PE⊥平面ABCD，即可求四棱锥P﹣ABCD的体积．【解答】（1）证明：∵AD⊥⊙O所在的平面PAB，PB⊂⊙O所在的平面PAB，∴AD⊥PB，∵PA⊥PB，PA∩AD=A，∴PB⊥平面PAD，∵PB⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAD；（2）解：在平面PAB内过P作PE⊥AB于E，∵AD⊥⊙O所在的平面PAB，PE⊂⊙O所在的平面PAB，∴AD⊥PE，∵AD∩AB=A，∴PE⊥平面ABCD，直角△PAB中，AB=2，PA=1，∴PB=，∴PE==，∴四棱锥P﹣ABCD的体积V==．【点评】本题考查线面垂直、平面与平面垂直的判定，考查四棱锥P﹣ABCD的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，点E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（1）求证：PA∥平面BDE；（2）求证：PB⊥平面DEF．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】证明题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】（1）连结AC，设AC交BD于O，连结EO，则PA∥EO，由此能证明PA∥平面EO．（2）由已知得PD⊥BC，CD⊥BC，从而BC⊥平面PDC，进而BC⊥DE，再由DE⊥PC，DE⊥PB，由此能证明PB⊥平面DEF．【解答】证明：（1）连结AC，设AC交BD于O，连结EO，∵底面ABCD中矩形，∴点O是AC的中点，又∵点E是PC的中点，∴PA∥EO，∵EO⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，∴PA∥平面EO．（2）PD⊥底面ABCD，BC⊂底面ABCD，∴PD⊥BC，∵底面ABCD中矩形，∴CD⊥BC，∵PD∩CD=D，∴BC⊥平面PDC，∵DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE，∵PD=DC，E是PC的中点，∴DE⊥PC，∵PC∩BC=C，∴DE⊥PB，又∵EF⊥PB，DE∩EF=E，DE⊂平面DEF，EF⊂平面DEF，∴PB⊥平面DEF．【点评】本查线面平行的证明，考查线面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．21．已知圆0：x2+y2=r2（r＞0）与直线x+2y﹣5=0相切．（1）求圆O的方程；（2）若过点（﹣1，3）的直线l被圆0所截得的弦长为4，求直线1的方程；（3）若过点A（0，）作两条斜率分别为k1，k2的直线交圆0于B、C两点，且k1k2=﹣，求证：直线BC恒过定点．并求出该定点的坐标．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】综合题；分类讨论；综合法；直线与圆．【分析】（1）由已知条件利用点到直线的距离公式求出圆的半径，由此能求出圆的方程．（2）直线l被圆0所截得的弦长为4，圆心到直线的距离d==1，分类讨论，即可求直线1的方程；（3）根据题意，设出直线AB的解析式，与圆方程联立消去y得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理表示出两根之积，将A的横坐标代入表示出B的横坐标，进而表示出B的纵坐标，确定出B坐标，由题中k1k2=﹣，表示出C坐标，进而表示出直线BC的解析式，即可确定出直线BC恒过一个定点，求出定点坐标即可．【解答】解：（1）∵圆0：x2+y2=r2（r＞0）与直线x+2y﹣5=0相切，∴r==，∴圆O的方程为x2+y2=5；（2）∵直线l被圆0所截得的弦长为4，∴圆心到直线的距离d==1，斜率不存在时，x=﹣1，满足题意；斜率存在时，设方程为y﹣3=k（x+1），即kx﹣y+k+3=0，圆心到直线的距离d==1，∴k=，∴直线1的方程为4x﹣3y+13=0，综上所述，直线1的方程为4x﹣3y+13=0或x=﹣1；（3）由题意知，设直线AB：y=k1x+，与圆方程联立，消去y得：（1+k12）x2+2k1x=0，∴x B=﹣，y B=，即B（﹣，），∵k1k2=﹣，用﹣代替k2得：C（，），∴直线BC方程为y﹣=（x+），令x=0，可得y=3则直线BC定点（0，3）．【点评】此题考查了圆的标准方程，以及直线与圆的位置关系，涉及的知识有：韦达定理，直线的两点式方程，点到直线的距离公式，以及恒过定点的直线方程，利用了分类讨论的思想，是一道综合性较强的试题．22．已知函数f（x）的定义域为R，对任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＜0时，f（x）＞0．（1）求证：f（x）是奇函数；（2）判断f（x）在R上的单调性，并加以证明；（3）解关于x的不等式f（x2）+3f（a）＞3f（x）+f（ax），其中常数a∈R．【考点】抽象函数及其应用；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质．【专题】函数思想；转化思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】（1）利用赋值法即可求f（0），根据函数f（x）的奇偶性的定义，利用赋值法即可得到结论；（2）根据函数单调性的定义即可判断f（x）的单调性；（3）将不等式进行等价转化，结合函数的奇偶性和单调性的性质即可得到结论．【解答】解：（1）∵f（x）对一切x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），令x=y=0，得：f（0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0，令y=﹣x，得f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x）=f（0）=0，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）是奇函数．（2）∵f（x）对一切x，y∈RR都有f（x+y）=f（x）+f（y），当x＜0时，f（x）＞0．令x1＞x2，则x2﹣x1＜0，且f（x2﹣x1）=f（x2）+f（﹣x1）＞0，由（1）知，f（x2）﹣f（x1）＞0，∴f（x2）＞f（x1）．∴f（x）在R上是减函数．（3）f（2x）=f（x）+f（x）=2f（x），f（3x）=f（2x+x）=f（2x）+f（x）=3f（x），则不等式f（x2）+3f（a）＞3f（x）+f（ax），等价为f（x2）+f（3a）＞f（3x）+f（ax），即f（x2+3a）＞f（3x+ax），∵f（x）在R上是减函数，∴不等式等价为x2+3a＜3x+ax，即（x﹣3）（x﹣a）＜0，当a=0时，不等式的解集为∅，当a＞3时，不等式的解集为（3，a），当a＜3时，不等式的解集为（a，3）．（12分）【点评】本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法结合函数单调性和奇偶性的定义是解决本题的关键．。

【区级联考】广东省广州市越秀区2020-2021学年高一(上)期末数学试题答案和解析

【区级联考】广东省广州市越秀区【最新】高一（上）期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}A x x 2018=，a 2019=，则下列关系中正确的是( ) A ．a A ∈ B ．a A ∉ C ．a A ⊆ D ．a A = 2．若cos θ0>，sin θ0<，则角θ是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角3．已知幂函数()n f x x =的图象经过点(，则()f 9的值为( )A ．3B ．3±C ．12D ． 4．设0.7a log 1.7=，0.7b log 1.8=， 1.8c 0.7=，则( )A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．c b a <<5．函数()x f x 23x 7=+-的零点所在的一个区间是( )A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭6．函数()()sin cos sin cos y x x x x =+-的最小正周期是（）A ．2πB ．πC ．2πD ．4π7．已知向量()()cos ,,2,1a sin b θθ==-，且a b ⊥，则tan 4πθ⎛⎫-⎪⎝⎭的值是（） A ．13 B ．3- C ．3 D ．13- 8．为了得到函数1πy 2sin x 36⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数1y 2sin x 3=的图象上所有点( ) A ．向左平移π6个单位长度 B ．向右平移π6个单位长度 C ．向左平移7π2个单位长度 D ．向右平移π2个单位长度 9．已知()f x 是偶函数，且在[)0,∞+上是减函数，若()()f lnx f 1>，则x 的取值范围是( )A ．()()1,00,1-⋃B ．()0,eC ．()()e,00,e -⋃D ．1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭10．若一系列函数的解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为2y x 2x 1=-+，值域为{0,4，16}的“孪生函数”共有( )A ．4个B ．5个C ．8个D ．9个11．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元，不享受任何折扣；如果顾客购物总金额超过800元，则超过800元部分享受一定的折扣优惠，并按下表折扣分别累计计算：若某顾客在此商场获得的折扣金额为50元，则此人购物实际所付金额为( )A ．1500元B ．1550元C ．1750元D ．1800元二、解答题12．已知向量()a 1,2=，()b 3,4=-，()c 5,k =． ()1若()()a b a c 10+⋅-=-，求实数k 的值； ()2若向量m 满足m //a ，且m =m ．13．设全集U =R ，集合2A={x|x -4x-12<0}，B={x|(x-a)(x-2a)<0}．（1）当a=1时，求集合U A B ⋂；（2）若B A ⊆，求实数a 的取值范围．14．如图，现要在一块半径为r(r 0)>，圆心角为60的扇形纸板POQ 上剪出一个平行四边形OABC ，使点B 在弧PQ 上，点A 在半径OP 上，点C 在半径OQ 上．设αBOA ∠=()1求S 关于α的函数关系式；()2求S 的最大值及相应的α值．15．阅读下面材料：()()()()22233sin3θsin 2θθsin2θcos θcos2θsin θ2sin θcos θ12sin θsin θ2sin θ1sin θsin θ2sin θ3sin θ4sin θ=+=+=+-=-+-=-解答下列问题：()1证明：3cos3θ4cos θ3cos θ=-；()2若函数()πcos 3x π4f x msin x 5π4cos x 4⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭=++- ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭在πx 0,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上有零点，求实数m 的取值范围．参考答案1．A【解析】【分析】根据集合A 中元素满足的性质2018,2019x a >=，我们可以判断出元素a 与集合A 的关系．【详解】因为集合{}|2018,2019A x x a =>=，所以a A ∈．故选A ．【点睛】本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，其中正确理解集合元素与集合关系的实质，即元素满足集合中元素的性质，是解答本题的关键．2．D【分析】利用三角函数的定义，可确定0,0y x <>，进而可知θ在第四象限．【详解】根据三角函数的定义有()sin ,cos 0y x r r r θθ==>，所以0,0x y ><，所以θ在第四象限，故选D ．【点睛】当θ的终边在不同象限的时候，其三个三角函数值的符号也发生变化，记忆的口诀是“全正切余”即：第一象限全为正，第二象限正弦正，第三象限切为正，第四象限余弦正． 3．A【分析】推导出()12f x x=，由此能求出()9f ．【详解】代入点(，则有3n =，故12n =，所以()93f =，故选A ．【点睛】本题考查幂函数解析式的求法，属于基础题．4．C【解析】【分析】根据对数函数的单调性及中间数0可得三个数的大小关系．【详解】因为0.70.70.7log 1.8log 1.7log 10<<=且 1.80.70>，故b a c <<，选C ．【点睛】对数的大小比较，可通过寻找合适的单调函数来构建大小关系，如果底数不统一，可以利用对数的运算性质统一底数.不同类型的数比较大小，应找一个中间数，通过它实现大小关系的传递.5．C【分析】利用零点存在定理可判断零点所在的区间.【详解】()f x 为R 上的增函数，又()35120, 2.8 2.50.3022f f ⎛⎫=-=-=> ⎪⎝⎭，故零点所在对的区间为 31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，选C ．【点睛】不可解方程的零点所在区间应该通过零点存在定理来寻找，一般地要先考虑函数的单调性，再选择合适的区间(),a b ，使得()()0f a f b <，其中,a b 要依据解析式的形式来选取（()(),f a f b 要容易计算）.6．B【分析】利用二倍角公式化简可得cos2x y =-，再利用公式求最小正周期．【详解】22sin cos cos 2y x x x =-=-，故最小正周期为22T ππ==，选B ．【点睛】本题考查三角函数最小正周期的求法，是基础题．7．A【分析】由已知求得tan θ，然后展开两角差的正切求解．【详解】解：由(cos ,sin ),(2,1)a b θθ==-，且a b ⊥，得2cos sin 0θθ-=，即tan 2θ=．tan tan 2114tan 412131tan tan 4πθπθπθ--⎛⎫∴-=== ⎪+⨯⎝⎭+⋅，故选A ．【点睛】本题考查数量积的坐标运算，考查两角差的正切，是基础题．8．C【分析】把函数12sin 36y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭化成172sin 32y x π⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦即可得平移的方向及其大小．【详解】函数12sin 36y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭可化简为1172sin 2sin 3636y x x πππ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，也就是172sin 32y x π⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故只需把12sin 3y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭向左平移72π个单位即可得到12sin 36y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的图像，故选C ．【点睛】三角函数的图像往往涉及振幅变换、周期变换和平移变换，找寻两个不同函数的图像的变换时，首先它们的函数名要相同，其次两者之间的周期变换看ω，左右平移看φω．注意周期变换和平移变换（左右平移）的次序对函数解析式的影响，比如sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，它可以由sin y x =先向左平移3π个单位，再纵坐标不变，横坐标变为原来的12，也可以先保持纵坐标不变，横坐标变为原来的12，再向左平移6π. 9．D【分析】利用偶函数的性质()()f x fx =把原不等式转化为()()ln 1f x f >，再根据[)0,+∞上是减函数得到ln 1x <可得1x e e<<．【详解】因为()f x 为偶函数且在[)0,+∞上是减函数，原不等式转化为()()ln 1f x f >，故ln 1x <即1ln 1x -<<，解得1x e e<<，故选D ．【点睛】对于偶函数()f x ，其在对称两侧的单调性是相反的，并且()()()f x f x f x ==-，对于奇函数()g x ，其在对称两侧的单调性是相同的．另外解函数不等式要利用函数的单调性去掉对应法则f ．10．D【解析】【分析】根据值域可得定义域中应该含有的元素，分类列出可得不同函数的种数．【详解】令0y =，则1x =；令4y =，则1x =-或3x =；令16y =，则3x =-或5x =；设定义域为A ，A 中的自变量x 对于的函数值为0，则x 可取1，共有1种情况；同理A 中的自变量x 对于的函数值为4，则x 可取1-，也可取3，也可以取1,3-，共有3种情况，A 中的自变量x 对于的函数值为16，则x 可取3-，也可取5，也可以取3,5-，共有3种情况，故不同的定义域的个数为9种，它们分别为：{}1,1,3--．{}1,1,5-，{}1,3,3-，{}1,3,5；{}1,1,3,3--．{}1,1,3,5-，{}1,3,3,5-，{}1,3,3,5-；{}1,1,3,3,5--，故不同函数的种数为9．【点睛】函数有三要素即函数的定义域、对应法则和值域，如果知道前两者，则值域是唯一确定的，如果知道值域和对应法则，则定义域不确定，需结合对应法则考虑原像的不同情况． 11．A【分析】设此商场购物总金额为x 元，可以获得的折扣金额为y 元，可得到获得的折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式，结合5025y =>，代入可得某人在此商场购物总金额，减去折扣可得答案．【详解】设此商场购物总金额为x 元，可以获得的折扣金额为y 元，由题设可知：()()0,08000.05800,80013000.1130025,1300x y x x x x ⎧<≤⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩，因为5025y =>，所以1300x >，所以()0.113002550x ⨯-+=，解得1550x =，故此人购物实际所付金额为1550501500-=（元），故选A ．【点睛】本题为数学应用题，应依据题意构建数学模型（其数学模型为分段函数）后解一元一次不等式可得实际问题的解，注意利用不同范围上的函数值的范围构建需要的不等式．12．（1）5k =；（2）()m 3,6=或()3,6--.【分析】（1）利用坐标运算可得()()246210k -⨯-+⨯-=-，解这个方程可得5k =；（2）因向量共线故可设m a λ=，利用已知的模长可得λ的值从而得到所求的向量．【详解】（1）由题设有()2,6a b +=-，()4,2a c k -=--，因为()a b +()10a c -=-，故()()246210k -⨯-+⨯-=-，所以5k =．（2）因为m a ，故(),2m a λλλ==，所以22445λλ+=，解得3λ=±，所以()3,6m =或()3,6m =--．【点睛】如果()()1122,0,,a x y b x y =≠=，那么：（1）若//a b ，则存在实数λ使得b a λ= 且1221x y x y =；（2）若a b ⊥，则12120x x y y +=；13．（1）(][)2,12,6-；（2）[]1,3-. 【分析】（1）求出集合,A B 后可得到(][)2,12,6U A C B =-；（2）就0,0a a =≠分类讨论，再根据B A ⊆建立不等式组，解这个不等式组可得要求的范围．【详解】（1）当1a =时，()1,2B =，所以(][),12,U C B =-∞+∞，而()2,6A =-，故(][)2,12,6U A C B =- ．（2）当0a =时，B φ=，符合；当0a ≠时，因为B A ⊆，所以26226a a -≤≤⎧⎨-≤≤⎩，解得13a -≤≤且0a ≠．综上，13a -≤≤．【点睛】含参数的一元二次不等式，其一般的解法是：先考虑对应的二次函数的开口方向，再考虑其判别式的符号，其次在判别式大于零的条件下比较两根的大小，最后根据不等号的方向和开口方向得到不等式的解．注意解B 中的不等式时可根据包括关系直接得到两个不等根满足的不等式组．14．（1）22S r sin 2αr 366π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，03απ<<；（2）最大值是2r 6，相应α的值是6π. 【分析】（1）过B 作BM OP ⊥，垂足为M ，则可用α的三角函数来表示平行四边形OABC 的面积S .（2）利用α的范围求出S 的最大值即可.【详解】（1）过B 作BM OP ⊥，垂足为M则sin ,cos BM r OM r αα==，cos sin 3OA OM AM r r αα=-=-，设平行四边形OABC 的面积为S ，则cos sin sin S OA BM r r ααα⎛⎫=⨯=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭22cos sin 3r ααα⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭21sin 22266r αα⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭22sin 2366r πα⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，其中03πα<<，因52666πππα<+<，所以1sin 2126πα⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，当6πα=时，2max S r = .【点睛】非直角三角形中边、角的关系，可通过作高线把非直角三角形转化为直角三角形来考虑．另外对于形如()22sin sin cos cos f x A x B x x C x ωωωω=++的函数，可以利用降幂公式和辅助角公式将其化为()()'sin 2'f x A x B ωϕ=++的形式，再根据复合函数的讨论方法求该函数的单调区间、最值等.15．（1）详见解析；（2）(⎤⎦.【分析】（1）依据sin3θ的公式推导过程推导即可.（2）利用诱导公式和cos3θ的公式把函数()f x 化为()24cos cos 244f x x m x ππ⎛⎫⎛⎫=--+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再利用换元法和参变分离法得到方程24m t t =+在,12⎛⎤ ⎥ ⎝⎦上有解，利用函数()24g t t t=+可得m 实数的取值范围．【详解】（1）证明：()cos3cos 2cos2cos sin 2sin θθθθθθθ=+=-()()222cos 1cos 21cos cos θθθθ=---34cos 3cos θθ=-（2）()3cos 34sin 54cos 4x f x m x x πππ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭=++- ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭ 24cos cos 244x m x ππ⎛⎫⎛⎫=--+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令cos 4t x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则2t ⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦，所以2240t mt --+=在2⎛⎤ ⎥ ⎝⎦有解，参变分离可得24m t t =+在2⎛⎤ ⎥ ⎝⎦上有解，令()24g t t t =+，设1212t t <<<，则12112t t <<，故()()()121212240g t g t t t t t ⎛⎫-=--< ⎪⎝⎭，所以()24g t t t =+在2⎛⎤ ⎥ ⎝⎦上是增函数，所以()g t的值域为(⎤⎦即(m ⎤∈⎦．【点睛】（一）三角函数的化简求值问题，可以从四个角度去分析：（1）看函数名的差异；（2）看结构的差异；（3）看角的差异；（4）看次数的差异．对应的方法是：弦切互化法、辅助角公式（或公式的逆用）、角的分拆与整合（用已知的角表示未知的角）、升幂降幂法．（二）方程的有解问题可通过参变分离把问题转化为不含参数的函数的值域问题．。

广东省广州市越秀区2020-2021学年高一上学期期末数学试题

广东省广州市越秀区2020-2021学年高一上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}1,2,3,4,5,6,7U =，{}2,3,4,5A =，{}2,3,6,7B =，则()⋃=UB A （）A ．{}1,2,3,6,7B ．{}6,7C ．{}1,2,3,4,6,7D ．{}1,2,3,4,5,6,72．cos75︒=（） AB．2C．4D3．三个数3log 0.3a =，0.33b =，0.30.3c =的大小顺序是（） A ．a b c << B ．c a b <<C ．a c b <<D ．b c a <<4．已知3cos 5α=，则3sin 2πα⎛⎫+=⎪⎝⎭（） A ．45 B ．45-C ．35D ．355．函数()21sin cos 2f x x x x =-可以化简为（） A ．()sin 23πf x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭6．在ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EC =（） A ．3144AB AC B ．1344AB AC -+ C ．3144AB AC D ．1344AB AC 7．函数()11142xxf x ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在区间[]2,2-上的最小值为（）A ．14B ．34C ．1316D ．138．已知函数()cos2sin 2f x x x =-，将()y f x =的图象向左平移a （0a >）个单位长度可以得到一个奇函数的图象，将()y f x =的图象向右平移b （0b >）个单位长度可以得到一个偶函数的图象，则a b -的最小值等于（）A ．0B ．8π C ．4π D ．2π 9．已知平面向量OA 、OB 的夹角是60︒，且1OA =，2OB =.点C 满足2BC AC =，则OB OC ⋅=（） A ．1B ．1-C ．2D ．2-10．若函数()y g x =的图象与ln y x =的图象关于直线2x =对称，则()g x =（） A ．()ln 2x +B ．()ln 2x -C ．()ln 4x -D ．()ln 4x +11．已知函数(),0ln ,0x e x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，()()g x f x a =+，若()g x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是（） A ．()1,0-B ．[)1,0-C ．()0,1D ．(]0,112．定义在R 上的奇函数()f x 满足()10f =，且对任意的正数a 、b （ab ），有()()0f a f b a b -<-，则不等式()202f x x -<-的解集是（）A ．()()1,12,-+∞B ．()(),13,-∞-+∞C ．()(),13,-∞+∞D ．()(),12,-∞-+∞二、填空题13．已知平面向量()2,2a =-，()1,b m =-，若a b ⊥，则b =______.14．2346181log 362-⎛⎫+-= ⎪⎝⎭______. 15．已知集合193xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，{}2log 0B x x =<，则A B =______.16．已知定义在R 上的函数()f x 满足：()()2f x f x π+=，且当[]0,x π∈时，()sin f x x =.若对任意的(],x m ∈-∞，都有()2f x ≤，则实数m 的取值范围是______.三、解答题17．已知α为第二象限角，且sin 2cos 0αα+=. （1）求cos α，tan2α的值；（2. 18．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（0A >，0>ω，02πϕ<<）的部分图象如图所示.（1）求()f x 的解析式；（2）若将()y f x =的图象向左平移12π个单位长度，得到y g x 的图象，求函数y g x 的单调递增区间.19．已知平面非零向量a ，b 的夹角是23π. （1）若1a =，27a b +=，求b ；（2）若()2,0a =，(),3b t =，求t 的值，并求与a b -共线的单位向量e 的坐标. 20．如图，在扇形OAB 中，23AOB π∠=，半径2OA =.在弧AB 上取一点C ，向半径OA 、OB 分别作垂线，与线段OA 、OB 分别相交于D 、E ，得到一个四边形CDOE .（1）设COD x ∠=，将四边形CDOE 的面积S 表示成x 的函数；（2）求四边形CDOE 的面积S 的最大值.21．碳14是碳的一种具有放射性的同位素，它常用于确定生物体的死亡年代，即放射性碳定年法.在活的生物体内碳14的含量与自然界中碳14的含量一样且保持稳定，一旦生物死亡，碳14摄入停止，生物体内的碳14会按指数函数的规律衰减，大约经过5730年衰减为原来的一半，通过测定生物遗体内碳14的含量就可以测定该生物的死亡年代.设生物体内的碳14的含量为P ，死亡年数为t . （1）试将P 表示为t 的函数；（2）不久前，科学家发现一块生物化石上的碳14的含量为自然界中碳14的含量的8%，请推算该生物死亡的年代距今多少年？（参考数据：lg 20.3≈）22．已知函数())lnf x x =.（1）判断函数()f x 的奇偶性；（2）若对任意的[]13,x ∈-，不等式()()240f x ax f -+≤均成立，求实数a 的取值范围.参考答案1．A 【分析】根据补集和并集的定义求解即可. 【详解】∵{}1,2,3,4,5,6,7U =，{}2,3,4,5A =，{}2,3,6,7B =， ∴{}1,6,7UA =，(){}1,2,3,6,7UB A ⋃=.故选：A . 【点睛】本题考查集合的并集和补集的计算，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于常考题. 2．C 【分析】根据753045︒︒︒=+，利用两角和的余弦公式及特殊角的三角函数值求解. 【详解】()cos75cos 3045︒︒︒+=cos30cos45sin30sin45︒︒︒︒=-12222=⨯-⨯4=故选：C 【点睛】本题主要考查了两角和的余弦公式，特殊角的三角函数，属于容易题. 3．C 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性以及借用常数1进行比较，可得结果. 【详解】解：∵33log 0.3log 10<=，0.30331>=，0.5000.30.31<<=，∴a c b <<. 故选：C . 【点睛】本题考查指数式以及对数式的大小，考查分析能力，属基础题. 4．D 【分析】利用诱导公式计算3πsin 2α⎛⎫+ ⎪⎝⎭即可. 【详解】 ∵3cos 5α=， ∴33sin cos 25παα⎛⎫+=-=-⎪⎝⎭.故选：D . 【点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式，熟记口诀：“奇变偶不变，符号看象限”为解题的关键，属于简单题. 5．B 【分析】利用二倍角降幂公式结合辅助角公式可化简函数()y f x =的解析式. 【详解】()221211cos 21sin cos 22cos 22222x f x x x x x x x -=+-=+-=-sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故选：B. 【点睛】本题考查利用三角恒等变换思想化简函数解析式，考查计算能力，属于基础题. 6．B 【分析】首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，向量减法的三角形法则，用基底AB AC ，表示EC ，从而求得结果. 【详解】由D 为BC 中点，根据向量的运算法则，可得()12AD AB AC =+，131244EC AC AE AC AD AC AB =-=-=- 故选：B.【点睛】本题考查了平面向量基本定理，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量减法的三角形法则，考查了转化能力，属于基础题. 7．B 【分析】先令12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得()21g t t t =-+，再根据范围结合二次函数的性质，即可得解. 【详解】解：令12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1,44t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则原函数等价于()21g t t t =-+，1,44t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，又二次函数g t 的对称轴为11,424t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，故最小值是13=24g ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即()f x 的最小值为34. 故选：B. 【点睛】本题考查了指数函数的性质和二次函数的最值的求法，属于基础题.8．A 【分析】先整理函数，再根据平移后函数的奇偶性得到a ,b 的值，即可得结果. 【详解】解：函数()cos 2sin 224f x x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，函数()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移a 个单位得到()224g x x a π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，又因为函数为奇函数，则242a k πππ+=+（k Z ∈），整理得28k a ππ=+（k Z ∈）；函数()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移b 个单位得到()224h x x b π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由于得到的函数的图象为偶函数，2=4b k ππ-+-，=,()82k b k Z ππ+∈；当0k =时，min 0a b -= 故选：A. 【点睛】本题考查了三角函数的平移变换和奇偶性，属于中档题. 9．D 【分析】由2BC AC =可知点A 为线段BC 的中点，可得2BC BA =，由向量的运算法则可得OC OB BC =+，BA OA OB =-，然后可得22OB OC OA OB OB ⋅=⋅-，最后根据向量的数量积公式计算即可得解. 【详解】 ∵2BC AC =，∴点A 为线段BC 的中点， ∴2BC BA =，∴()OB OC OB OB BC ⋅=⋅+()2OB OB BA =⋅+()2OB OB OA OB ⎡⎤=⋅+-⎣⎦()2OB OA OB =⋅-22OA OB OB =⋅-22cos 60OA OB OB ︒=-2121222=⨯⨯⨯-2=-，故选：D . 【点睛】本题考查向量的运算法则，考查向量的数量积公式，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题. 10．C 【分析】在函数()y g x =的图象上任取一点(),x y ，由对称性的知识可知，点(),x y 关于直线2x =的对称点在函数ln y x =的图象上，然后计算即可得解. 【详解】在函数()y g x =的图象上任取一点(),x y ，则点(),x y 关于直线2x =对称的点为()4,x y -，且点()4,x y -在函数ln y x =的图象上，所以()ln 4y x =-. 故选：C . 【点睛】本题考查函数的对称性的应用，考查逻辑思维能力和分析能力，属于常考题. 11．B 【分析】利用数形结合的方法，作出函数()f x 的图象，简单判断即可. 【详解】依题意，函数()y f x =的图象与直线y a =-有两个交点，作出函数图象如下图所示，由图可知，要使函数()y f x =的图象与直线y a =-有两个交点，则01a <-≤，即10a -≤<.故选：B . 【点睛】本题考查函数零点问题，掌握三种等价形式：函数零点个数等价于方程根的个数等价于两个函数图象交点个数，属基础题. 12．C 【分析】易知函数()f x 在()0,∞+上单调递减，令2t x =-，将不等式()0f t t <等价为()00t f t >⎧⎨<⎩或()00t f t <⎧⎨>⎩，进一步求出答案.【详解】∵对任意的正数a 、b （ab ），有()()0f a f b a b-<-，∴函数()f x 在()0,∞+上单调递减， ∴()f x 在(),0-∞上单调递减. 又∵()10f =，∴()()110f f -=-= 令2t x =-所以不等式()0f t t <等价为()00t f t >⎧⎨<⎩或()00t f t <⎧⎨>⎩∴1t >或1t <-，∴21x ->或21x -<-，∴3x >或1x <，即不等式的解集为()(),13,-∞⋃+∞.故选：C.【点睛】本题考查抽象函数的单调性和奇偶性以及不等式的知识点，考查逻辑思维能力，属于基础题.13【分析】根据向量垂直的坐标运算列关系求参数即可.【详解】解：∵a b ⊥，∴220a b m ⋅=--=，解得1m =-，()1,1b ∴=--，∴2b =..【点睛】本题考查了利用向量坐标运算求参数，属于基础题.14．29【分析】根据指数、对数的运算性质可得结果.【详解】解：原式32643log 6427229=+-=+-=.故答案为：29.【点睛】本题考查指数、对数的计算，属基础题.15．0,1【分析】先求解指数不等式和对数不等式，再利用交集运算即得结果.【详解】解：∵集合{}1923x A x x x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<=>-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，{}{}2log 001B x x x x =<=<<，故{}01A x x B =<<. 故答案为：0,1.【点睛】本题考查了指数不等式和对数不等式和集合的交集运算，属于基础题.16．13,6π⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 【分析】根据()()2f x f x π+=，且当[]0,x π∈时，()sin f x x =，类比周期函数的性质，求出函数的解析式，然后作出图象，利用数形结合法求解.【详解】当[]0,x π∈时，()sin f x x =；当(],2x ππ∈时，(]0,x ππ-∈，()()()2si 22n sin ππ--=-==f x x f x x ，当(]2,3x ππ∈时，(],2x πππ-∈，()()()2sin 44sin ππ--===-f x x f x x ，当(],0x π∈-时，(]0,x ππ+∈，()()()1sin 1122sin 2ππ=++==-f x x f x x ，则函数()f x 的图象如图所示：当(]2,3x ππ∈时，()si 24n ==f x x ，解得136x π=，若对任意的(],x m ∈-∞，都有()2f x ≤，则136π≤m ，故答案为：13,6π⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 【点睛】本题主要考查三角函数解析式的求法，三角函数的图象和性质的应用，还考查了数形结合的思想好推理求解问题的能力，属于中档题.17．（1）cos α=,4tan 23α=；（2）4. 【分析】（1）根据22sin cos 1αα+=，解出cos α，sin α，求出tan α，根据正切的二倍角公式求出tan2α；（22tan α=-，从而求出答案. 【详解】（1）因为sin 2cos 0αα+=且22sin cos 1αα+=，解方程组得到cos α=，sin α=（舍去）或cos α=，sin α= 所以tan 2α()()22222tan 4tan 21tan 312ααα⨯-===---；（22sin 2tan cos ααα===-=4. 【点睛】主要是考查了三角函数的化简与求值的运用，属于基础题。

广东省广州市越秀区执信中学2022年高一上数学期末监测试题含解析

ac bc
对于 C：因为 c 0 ，所以 1 0 ，又 a b 0，所以 a b ，故 C 正确；
c
cc
对于 D：因为 a b 0， c 0 ，所以 ac bc 0 ，所以 ac bc ，故 D 错误.
故选：C
8、C
【解析】直接利用已知条件，转化求解弦所对的圆心角即可．
【详解】圆的一条弦长等于半径，故由此弦和两条半径构成的三角形是等边三角形，所以弦所对的圆心角为． 3
【详解】函数 f（x）=sin（2x+φ）为 R 上的偶函数，则 φ= π +kπ，k∈Z；所以 φ 的值可以是 π .故选 C.
.2
2
【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，属于基础题
3、B
【解析】由 tan 的值及 α 为第四象限角，利用同角三角函数间的基本关系求出 cosα 的值，即可确定出 sin 的值
3
9．函数
f
x
x
3sin x 1
x
的部分图象大致是
A.
B.
C.
D.
10．已知命题“ x R ， x2 ax 1 0 ”是假命题，则实数 a 的取值范围为（）
A. (, 2]
B.[2, )
C. [2, 2]
D. (, 2] [2, )
二、填空题（本大题共 5 小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
4
故选：B.
5、A
【解析】由函数的奇偶性质可知函数为偶函数，再结合 x 时函数的符号即可得答案. 2
【详解】解：由题知函数的定义域为 R ，关于原点对称，
f
x
x sin x cosx 2
x sin x cos x 2

2020-2021学年广州市越秀区高一(上)期末数学复习卷2(解析版)

2020-2021学年广州市越秀区高一(上)期末数学复习卷2一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|x >2018}，a =2019，则下列关系中正确的是( )A. a ∈AB. a ∉AC. a ⊆AD. a =A2. 若角θ满足条件sinθcosθ<0，且cosθ−sinθ<0，则θ在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知幂函数y =f(x)的图象经过点(16,4)，则f(164)的值为( )A. 3B. 13C. 18D. 144. 已知f(x)=log 5x ，则对于任意的a ，b ∈(0,+∞)，下列关系中成立的是( )A. f(a +b)=f(a)+f(b)B. f(ab)=f(a)+f(b)C. f(a +b)=f(a)f(b)D. f(ab)=f(a)f(b)5. 若a =log 21.5,b =log 20.1 , c =20.2，则( )A. c <b <aB. b <c <aC. a <b <cD. b <a <c6. 函数f(x)=2x +3x −7的零点所在的一个区间是( )A. (0,12)B. (12,1)C. (1,32)D. (32,2)7. 函数y =sin2xcos2x 是( )A. 周期为π2的奇函数B. 周期为π2的偶函数C. 周期为π的奇函数D. 周期为π的偶函数8. 设向量a ⃗ =(cosα,−1)，b ⃗ =(2,sinα)，若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则tan (α−π4)=( )A. −13B. 13C. −1D. 09. 为了得到函数=3sin(12x −π5)的图象，只要把y =3sin 12x 上所有点( )A. 向右平移π5个单位长度B. 向左平移π5个单位长度C. 向右平移2π5个单位长度D. 向左平移2π5个单位长度10. 已知偶函数f(x)在[0,+∞)单调递增，若f(2)=−2，则满足f(x −1)≥−2的x 的取值范围是( )A. (−∞,−1)∪(3,+∞)B. (−∞,−1]∪[3,+∞)C. [−1,3]D. (−∞,−2]∪[2,+∞)11. 若一系列的函数解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”.那么函数解析式为y =2x 2+1，值域为{3,19}的“孪生函数”共有( )A. 15个B. 12个C. 9个D. 8个12. 某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元，不享受任何折扣;如果顾客购物总金额超过800元，则超过800元的部分享受一定的折扣优惠，并按下表的折扣率累计计算．若某顾客在此商场获得的折扣金额为50元，则该顾客购物实际所付金额为( )A. 1500元B. 1550元C. 1750元D. 1800元二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知扇形的圆心角为π6，面积为π3，则扇形的弧长等于________．14. f(x)={log 2(2x −8),x >3f(x +2),x ≤3，则f(2)= ______ ． 15. 设a >0，角α的终边经过点P(−3a,4a)，那么sinα+2cosα的值等于__________．16. 已知向量a ⃗ =(0,1)，b ⃗ =(2,1)，则向量b ⃗ 与向量a⃗ 夹角的余弦值为__________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知向量a ⃗ =(λ,1)，b ⃗ =(λ+2,1)，若|a ⃗ +b ⃗ |=|a ⃗ −b ⃗ |，则实数λ= ______ ．18.已知集合A={x|x2+(5−a)x−5a≤0}，集合B={x|−3≤x≤6}，全集为R．(1)设a=5时，求A∩(∁R B)；(2)若A∩(∁R B)=A，求实数a的取值范围．19.已知函数f(x)=log a(x+1)−log a(1−x)，其中a>0且a≠1．(1)判断f(x)的奇偶性并予以证明；(2)若a>1，解关于x的不等式f(x)>0.20.已知函数f(x)=4tanxsin(π2−x)cos(π3−x)−√3(Ⅰ)求f(x)的定义域与最小正周期；(Ⅱ)求f(x)在区间[−π4,π4]上的单调增区间．21. 已知tanα=−13，cosβ=√55，α，β∈(0,π)，求函数f(x)=√2sin(x −α)+cos(x +β)的最大值．22. 已知θ∈(π2,π)，sinθ=45，求cosθ及sin(θ+π3)的值．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：本题考查元素与集合的关系，由2019>2018即可得a ∈A ．解：因为集合A ={x|x >2018}，a =2019，2019>2018，所以a ∈A ．故选A ．2.答案：B解析：本题考查了由三角函数值判断角的终边所在的象限，考查了象限角的概念，是基础题．由sinθcosθ<0可知θ是第二或第四象限的角，然后再由cosθ−sinθ<0进一步加以判断．解：由sinθcosθ<0可知θ是第二或第四象限的角，又cosθ−sinθ<0，可知，k ∈Z ，所以θ在第二象限．故选B ． 3.答案：C解析：解：∵幂函数y =f(x)=x a 的图象经过点(16,4)，∴16a =4，解得a =12，∴f(x)=x 12， ∴f(164)=(164)12=18．故选：C ．由已知条件求出f(x)=x 12，由此能求出f(164)的值．本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意幂函数性质的合理运用．。

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2020学年越秀区第一学期学业水平调研测试高一年级数学试卷全卷满分150分考试试卷120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设{}{}{}5412154321，，，，，，，，，===B A U ，则=)(B C A U （） .A {}1 .B {}2 .C {}321，， .D {}5421，，， 2.命题“),0(+∞∈∃x ，x x -=1ln ”的否定是（）.A ),0(+∞∉∀x ，x x -=1ln .B ),0(+∞∈∀x ，x x -≠1ln .C ),0(+∞∉∃x ，x x -=1ln .D ),0(+∞∈∃x ，x x -≠1ln3.在平面直角坐标系中，角θ的顶点与原点重合，角θ的始边与x 轴非负半轴重合，角θ的终边经过点)43(，-P ，则=θcos （） .A 53- .B 54 .C 253- .D 254 4.316sinπ的值等于（） .A 21 .B 23 .C 21- .D 23-5.为了得到函数)13cos(-=x y 的图像，只需把x y 3cos =的图像上的所有点（） .A 向左平移1个单位 .B 向右平移1个单位 .C 向左平移31个单位 .D 向右平移31个单位 6.函数32ln )(-+=x x x f 的零点所在的一个区间是（）.A )210(， .B )121(， .C )231(， .D )223(， 7.设6.0log 3=a ，6.0log 3.0=b ，则（）.A 0＜＜b a ab + .B ab b a ＜＜0+ .C b a ab +＜＜0 .D 0＜＜ab b a +8.当生物死后，它体内的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730 年衰减为原来的一半。

2010年考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料草裹泥）上提取的草茎遗存进行碳14检测，检测出碳14的残留量约为初始量的%2.55，以此推断此水坝建成的年代大概是公元前（）（参考数据：8573.0552.0log 5.0≈,1584.1448.0log 5.0≈).A 2919年 .B 2903年 .C 4928年 .D 4912年二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分. 9.设1＞a ，在下列函数中，图像经过定点)11(，的函数有（） .A ax y = .B 1-=x a y .C 1log +=x y a .D 13+=ax y10.已知函数)63sin(2)(π-=x x f ，则（）.A )(x f 的最大值是2 .B )(x f 的最小正周期为3π.C )(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡60π，上是增函数 .D )(x f 的图像关于点)06(，π对称11.下列命题中是真命题的是（）.A “A x ∈”是“B A x ∈”的充分条件.B “b a ＞”是“22bc ac ＞”的必要条件.C “n m ＞”是“nm2.02.0＞”的充要条件.D “βα＞”是“βαtan tan ＞”的充要条件12.一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经市场调查了解到下列信息：每月土地占地费1y （单位：万元）与仓库到车站的距离x （单位：km ）成反比，每月库存货物费2y （单位：万元）与x 成正比，若在距离车站10km 处建仓库，则1y 为1万元，2y 为4万元，下列结论正确的是（） .A xy 11=.B x y 4.02= .C 21y y +有最小值4 .D 21y y -无最小值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13.函数xx x f -+-=21)1lg()(的定义域是____________. 14.函数ϕϕcos sin 4)sin(2)(x x x f +-=的最大值是____________.15.已知函数⎩⎨⎧+≥=2)2(23)(＜，，x x f x x f x 则)2(log 3f 的值等于____________.16.为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”.计费方式如下表：若某户居民本月交纳水费为66元，则此户居民本月用水量为____________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤 17.（本小题满分10分）已知1与2是三次函数)()(3R b a b ax x x f ∈++=，的两个零点.（1）求b a ，的值；（2）求不等式012＞+-bx ax 的解集.18.（本小题满分12分）问题：是否存在二次函数)0()(2R c b a c bx ax x f ∈≠++=，，同时满足下列条件：3)0(=f ，)(x f 的最大值为4，______?若存在，求出)(x f 的解析式；若不存在，请说明理由。

在①)1()1(x f x f -=+对任意R x ∈都成立，②函数)2(+=x f y 的图像关于y 轴对称，③函数)(x f 的单调递减区间是⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，21这三个条件中任选一个，补充在上面问题中作答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.每户每月用水量水价不超过123m 的部分 3元/3m超过123m 但不超过183m 的部分 6元/3m超过183m 的部分 9元/3m已知2)4tan(-=-απ.（1）求ααtan 2tan 的值；（2）求ααα2cos 12sin cos 12-+-的值.20.（本小题满分12分）已知函数)(132)(R a a x f x∈-+=. （1）判断)(x f 在R 上的单调性，并证明你的结论；（2）是否存在a ，使得)(x f 是奇函数？若存在，求出所有a 的值；若不存在，请说明理由。

如图1，摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.如图2，某摩天轮最高点Q 距离地面高度AQ 为110m ，转盘直径为100m ，设置有48个座舱，开启时按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置P 进舱，转一周需要30min .（1）求游客甲坐在摩天轮的座舱后，开始转到10min 后距离地面的高度；（2）以轴心O 为原点，与地面平行的直线为x 轴，PQ 所在的直线为y 轴建立直角坐标系，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动min t 后距离地面的高度为y m ，求在转动一周的过程中，y 关于t 的函数解析式；（3）若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h （单位：m ）关于t 的函数解析式，并求高度差的最大值（结果精确到0.1m ）. 参考公式：2sin2cos 2sin sin ϕθϕθϕθ-+=-.参考数据：2079.015sin≈π，0654.048sin≈π.图1 图222.（本小题满分12分）已知函数x x f a log )(=（0＞a ，且1≠a ）. （1）若210x x ＜＜，试比较)2(21x x f +与2)()(21x f x f +的大小，并说明理由；（2）若1＞a ，且))((t f t A ，，))2(2(++t f t B ，，))4(4(++t f t C ，)2(≥t 三点在函数)(x f y =的图像上，记ABC ∆的面积为S ，求)(t g S =的表达式，并求)(t g 的值域。

2020学年越秀区第一学期学业水平调研测试高一年级数学试卷参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 2 3 4 5 6 7 8C B AD D C A B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9 10 11 12ABC AC ACD BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（1，2）∪（2，+∞）．14．．15．18．16．17m3．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤17．解：（1）由函数的零点可得f（x）＝0的两个根为1、2，则有，解得．（2）由（1）知a＝﹣7，b＝6，代入不等式ax2﹣bx+1＞0，得﹣7x2﹣6x+1＞0⇒7x2+6x﹣1＜0⇒（7x﹣1）（x+1）＜0，解得﹣1＜x＜．故不等式ax2﹣bx+1＞0的解集为（﹣1，）．18．解：由f（0）＝3，可得c＝3，则f（x）＝ax2+bx+3，若选择①f（1+x）＝f（1﹣x）对任意x∈R都成立，可得f（x）的对称轴为x＝1，所以﹣＝1，又f（x）的最大值为4，可得a＜0且f（1）＝4，即a+b+3＝4，解得a＝﹣1，b＝2，此时f（x）＝﹣x2+2x+3；若选择②函数y＝f（x+2）的图象关于y轴对称，可得f（x）关于x＝2对称，则﹣＝2，又f（x）的最大值为4，可得a＜0且f（2）＝4，即4a+2b+3＝4，解得a＝﹣，b＝1，此时f（x）＝﹣x2+x+3；若选择③函数f（x）的单调递减区间是，可得f（x）关于x＝对称，则﹣＝，又f（x）的最大值为4，可得a＜0且f（）＝4，即a+b+3＝4，解得a＝﹣4，b＝﹣4，此时f（x）＝﹣4x2﹣4x+3．19．解：（1）因为，可得＝﹣2，可得tanα＝﹣3，tan2α＝＝，可得＝＝﹣；（2）＝＝＝．20．解：（1）函数在R上是单调减函数．证明如下：①在R上任取x1，x2，令x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）＝（）﹣（）＝＝，∵x1＜x2，∴2（）＞0，＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＝＞0，∴函数在R上是单调减函数．（2）存在a，使得f（x）是奇函数．∵函数，∴f（﹣x）＝﹣f（x），即﹣a＝﹣（），整理得：+＝2a，解得a＝1．21．解：（1）设t＝0min时，游客甲位于P（0，﹣50），以OP为终边的角为，根据摩天轮转一周大约需要30min，可知座舱转动的速度约为，由题意可得，（0≤t≤30），当t＝10时，，所以游客甲坐在摩天轮的座舱后，开始转到10min后距离地面的高度为80米；（2）由（1）可得，y＝；（3）如图，甲，乙两人的位置分别用点A，B表示，则∠AOB＝，经过tmin后，甲距离地面的高度为，点B相对于A始终落后rad，此时乙距离地面的高度为+55，则甲、乙高度差为h＝，利用sinθ﹣sinφ＝2cos sin，可得，当，即t ≈7.8或22.8，所以h 的最大值为米，所以甲乙两人距离地面的高度差的最大值约为6.5米．22．解：（1）当a ＞1时，画出函数f （x ）=log a x 的图象：如图：A （x 1、f （x 1）），B （x 2，f （x 2）），连结AB 取中点为D ，过D 做x 轴的垂线交图象与点C ，则C （221x x +，)2(21x x f +）， D （221x x +，)]()([2121x f x f +），因为函数的图象是上凸的，所以)2(21x x f +＞)]()([2121x f x f +；当0＜a ＜1时，同上画出函数的图象，因为函数的图象是下凸的，所以)2(21x x f +＜)]()([2121x f x f +．（2）ABC ∆的面积为)(t g S ==22)2()(⨯++t f t f 22)4()2(⨯++++t f t f 22)4()2(⨯++++t f t f 42)4()(⨯++-t f t f =)4()(2(2+--+t f t f t f ）=)4()2(log 2++t t t a （t ≥2）∵ a ＞1，所以函数x y a log = 单调递增11 ∴ 求)(t g S =的值域，即变为求函数)4()2()(2++=t t t t h 在t ≥2时的最大值和最小值 )4()2()(2++=t t t t h tt 4412++= 当t ≥2时，函数t t y 42+= 单调递增，所以当t =2时，函数)(t h 有最大值，为34，此时)(t g S =有最大值，为34log a 当t =+∞时，函数)(t h 有最小值，为1，此时)(t g S =有最大值，为0所以)(t g S =的值域为（0，34log a]。

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