球面正弦,余弦定理证明

§4球面余弦定理和正弦定理

平面几何中的三角形全等判定条件说明了平面三角形的唯一性，到了平面三角学，把这种唯一性定理提升到有效能算的角边函数关系。其中最基本的就是三角形的余弦定理：设三角形 ABC 的三条边分别是 a 、 b 、 c ，它们的对角分别是、、，则

其中，分别表示的余弦。

三角形的正弦定理：设三角形 ABC 的三条边分别是 a 、 b 、 c ，它们的对角分别是、、，则

。

类似地，球面三角形也有有效能算的边角函数关系，其中最主要的结果就是球面三角的正弦定理和余弦定理。

为证明球面三角余弦定理，我们介绍有关向量的另一种乘积—外积。

两向量a与b的外积是一个矢量，记做a×b，它的模是|a×b|=|a||b|(a,b),

它的方向与a,b都垂直，并且按a,b,a×b这个顺序构成右手标架。

对于向量的外积，有拉格朗日恒等式成立。

a×b）·(a’×b’)=(a·a’)·(b·b’)－(a·b’)·(b·a’)

定理4.1（球面三角余弦定理）在单位球面上，对于任给球面三角形，其三边和三角恒满足下述函数关系

（证法一）证明：如图4-1所示，

图4-1

是单位球面上的三点，以a,b,c分别表示单位长向量,则球面三角形的三角角度和三边边长分别可以用空间向量a,b,c表达如下：

是b,c之间夹角的弧度，所以cos=b·c,同理有cos=a·c, cos=a·b。

是“a,b所张的平面”和“a,c所张的平面”之间的夹角，所以也等于a×b和a×c之间的夹角，即

（a×b）·(a×c)=| a×b|·|a×c|cosA=

同理亦有（b×c）·(b×a)=

（c×a）·(c×b)=

由（a×b）·(a×c)==cos－

所以

同理可证

当单位球面上的球面三角形三边都小于时，可以用平面三角余弦定理证明球面三角余弦定理。证明如下：

取球面三角形，将各顶点与球心O连接，过顶点A作b,c边的切线，分别交OC,OB的延长线于N,M,由此得到两个平面直角三角形和两个平面三角形。在中，根据平面三角形的余弦定理，有

。

同理在中

因此

即

即

即得

同理可证

（证法2）证明：设球心为O，连接OA、OB、OC，则

。

图4-2

过点A做的切线交直线OB于D，过点A做的切线，交直线OC于E，连接DE（如图4-2所示）。

显然，AD AO，AE AO，在直角三角形OAD中， AO=1，

AD=，

OD=。

在直角三角形OAE中，

AE=，

OE=。

注意。在三角形ODE中，利用平面三角形的余弦定理（定理3.1），

(1)

在三角形ADE中， (2)

因为（1）式与（2）式左端相等，所以右端也相等，经化简整理，即得

。

类似地可以得到另外两式。

当三角形有一个内角为直角时，比如，则由球面三角余弦定理有

。这恰好是平面几何中的勾股定理在球面几何中的对应物，但

形式上有了很大差别。我们称之为球面勾股定理。

定理4.2（球面三角正弦定理）在单位球面上，对于任给球面三角形，其三边和三角恒满足下述函数关系

证明：因为上述三个比值都是正的，所以我们只要证明

恒成立。

由球面三角余弦定理，得

同理可证，所以。

一般地，易证在半径为r的球面上，对于任给球面三角形，其三边

和三角恒满足下述函数关系

和

当时，上述关系式会变成什么形式呢？如图，当时，球面三角

形的三边可以看作直线段，所以

,,

所以,,

,,

代入上述关系式，当时对式子取极限，整理得：

这恰好是平面三角余弦定理和正弦定理。

在实际使用时，考虑到所给条件的不同及计算的方便，我们常常需要不同形式的球面三角公式，这些公式本质上都能以球面正弦定理和余弦定理加以变换而得到。前面通过研究极对偶三角形的关系我们证明了球面几何中特有的全等条件AAA,

在球面三角中有反映这一特有全等条件的三角公式。

定理4.3（角的余弦公式）在单位球面上，对于任给球面三角形，其三边和三角恒满足下述函数关系

证明：由的极对偶三角形的余弦定理

利用上节定理3.1将中相应的元素代入上式即有

乘以－1，化简得

同理可证其他两式。