5.1 函数与它的表示法(1、2)
示范教案(函数的表示法
示范教案（函数的表示法）第一章：函数的概念与定义1.1 函数的引入介绍函数的概念理解函数的定义：函数是一种关系，使得每个输入值都唯一对应一个输出值。
1.2 函数的表示方法解析式表示法：例如f(x) = ax + b图像表示法：绘制函数的图像来表示其输出值。
第二章：函数的图像2.1 图像的基本特征了解图像的横轴和纵轴的含义学习如何读取图像上的点2.2 常见函数的图像绘制和识别y = x, y = -x, y = 2x等基本函数的图像。
第三章：函数的性质3.1 单调性学习函数的单调性概念判断函数的单调递增或单调递减。
3.2 奇偶性理解奇函数和偶函数的定义判断给定函数的奇偶性。
第四章：函数的变换4.1 平移学习如何通过平移改变函数的图像掌握平移的规则：左加右减，上加下减。
4.2 缩放学习如何通过缩放改变函数的图像掌握缩放的规则：横轴缩放（左扩右缩），纵轴缩放（下扩上缩）。
第五章：函数的表示法综合应用5.1 实际问题与函数表示将实际问题转化为函数问题选择合适的函数表示法来解决实际问题。
5.2 综合练习练习判断给定函数的表示方法练习解决实际问题，应用函数的表示法。
第六章：反函数的概念与性质6.1 反函数的定义介绍反函数的概念：如果一个函数f将x映射到y，它的反函数将y映射回x。
理解反函数的性质：如果f是双射（一一对应），则存在唯一的反函数f^-1。
6.2 反函数的求法学习如何求一个给定函数的反函数。
掌握反函数的求法：交换x和y的位置，解出y，解出x。
第七章：反函数的图像7.1 反函数图像的特点理解反函数图像与原函数图像的关系：反函数图像关于直线y=x对称。
掌握反函数图像的画法：通过对原函数图像进行对称得到。
7.2 实际问题中反函数的应用将实际问题转化为求反函数的问题应用反函数解决实际问题。
第八章：复合函数的概念与性质8.1 复合函数的定义理解复合函数的概念：一个函数的输出作为另一个函数的输入。
掌握复合函数的表示法：f(g(x)) 或g(f(x))。
八上5.1函数(2)
5.1 函数（2）教案班级姓名学号学习目标1．能根据图象对简单实际问题中的函数关系进行分析。
2．能根据实际问题的意义以及函数关系式，确定函数的自变量取值范围，并会求函数值。
学习难点根据实际问题的意义以及函数关系式，确定函数自变量取值范围。
教学过程一、自主预习：1．自学课本142～144页，知道“函数的三种表示方法、函数的图象”。
2那么弹簧总长y(㎝)与所挂物体质量x(㎏)之间的函数关系式为。
3．等腰三角形中顶角的度数y与底角的度数x之间的函数关系式是，自变量x的取值范围是。
4．小王于上午8时从甲地出发去相距50千米的乙地．下图中，折线OABC是表示小王离开甲地的时间t（时）与路程S（千米）之间的函数关系的图象．根据图象给出的信息，下列判断中，错误的是（）A．小王11时到达乙地B．小王在途中停了半小时C．与8:00－9:30相比，小王在10:00－11:00前进的速度较慢D．出发后1小时，小王走的路程少于25千米二、合作研讨：1．问题情境：以小丽乘车旅游为情境，体验函数的三种常用表示法，并给出“函数关系式”和的“函数图象”的名称。
知识点：（1）通常，表示2个变量之间的关系可用3种方法：、、。
（2）通常称为函数关系式。
2．例题讲解：例1：温度的变化，是人们经常谈论的话题，请你根据下图，与同伴交流讨论某地某天的温度变化的情况。
（1）上午9时的温度是多少？12时呢？（2）这一天的最高温度是多少？是在几时达到的？最低温度是多少？（3）这一天的的温差是多少？从最低温度到最高温度经过了多少时间？（4）在什么时间范围内温度在上升？在什么时间范围内温度在下降？（5）图中的A 点表示的是什么？B 点呢？你能预测次是凌晨1时的温度吗？说说你的理由.例2、求下列函数的自变量取值范围：①y=13x -4；②y=21-x ；③y=3+y ；例3、求下列函数当x =3时的函数值： ①y=6x -4； ②y= -5x 2； ③y=361+x3．自主练习：P144练习1、2、3、4 4．自主小结：（1）这一节课你学到了什么？ （2）你还存在哪些疑问？。
青岛版数学九年级下册5.1《函数与它的表示法》教案
四．课堂小结
想想本课学习了哪些知识.
(2)第一批产品A上市后，哪一天这家公司市场日销售利润最大？最大利润是多少万元？
分组讨论：
图像信息
1.从折线图你能得到什么哪些信息？
2.各阶段的解析式分别是什么？对应的取值范围是什么？
3.如何求产品的日销售利润，应如何分类？
三.拓展练习
1、为增强公民的节约意识，合理利用天然气资源，某市自1月1日起对市区民用管道天然气价格进行调整，实行阶梯式气价，调整后的收费价格如表所示
(2)用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式.用数学式子表示函数的方法叫做解析法.用表格表示函数关系的方法，叫做列表法.用图象表示函数关系的方法，叫做图像法.
(3)两个变量之间的函数关系，可以有不同的表示方法，上面的三种方法在解决具体问题时，都有着广泛的应用.
(三)、达标测评
1．常用来表示函数的方法有_______法．_________法和________法．
每月用气量
单价(元/m3)
不超出75m3的部分
2.5
超出75m3不超出125m3的部分
a
超出125m3的部分
a+0.25
(1)若甲用户3月份的用气量为60m3，则应缴费多少元；
(2)若调价后每月支出的燃气费为y(元)，每月的用气量为x(m3)，y与x之间的关系如图所示，求a的值及y与x之间的函数关系式；
2
3
4
5
行驶路程y/km
(2)写出y与x之间的函数解析式．
四、课堂小结
5.1函数的概念和图象(第1课时函数的概念)课件高一上学期数学(1)
【课标要求】1.会用集合语言和对应关系刻画函数.2.理解函数的概念，了解构成函数的要素.3.会求简单函数的定义域与值域.
要点深化·核心知识提炼
知识点1. 函数的概念
概念
给定两个非空实数集合 和 ，如果按照某种对应关系 ，对于集合 中的每一个实数 ，在集合 中都有唯一的实数 和它对应，那么就称 为从集合 到集合 的一个函数
跟踪训练1（1） 下列图形中不是函数图象的是( )
A
A. B. C. D.
（2）下列各组函数表示同一个函数的是( )
BCD
D
C
4
5
6
7
7
6
4
5
3
4
5
6
4
6
5
4
C
A.3 B.4 C.5 D.7
BCD
1
2
3
4
5
2
3
4
2
3
BCD
A.2 B.3 C.4 D.5
（1）函数的表示：与用哪个字母表示无关；
（2）解析式的化简：在化简解析式时，必须是等价变形.
题型分析·能力素养提升
【题型一】函数的概念
例1（1） 下列各组函数是同一个函数的是( )
C
规律方法 1.判断一个对应关系是否为函数的方法
2.判断两个函数是否为同一个函数的注意点 （1）先求定义域，定义域不同则不是同一个函数; （2）若定义域相同，再看对应关系是否相同.
0
2
B
4.（多选题）下列四个对应关系，构成函数的是( )
AD
A. B. C. D.
4
（1）求函数的定义域；
B层 能力提升练
第5章 单向函数
分大的 n(n n0 )有
Pr
M ' ( f (U n )) f 1 ( f (U n ))
1 p(n)
（一）随机猜测算法 M1
无论输入那个 y f (x)，x 0,1，n M1总是输出n次扔硬币结
果r，作为对x的猜测。将M1代入（5.1）。因U n与r统计
独立，故得 Pr M1( f (U n )) f 1( f (U n )) 2n 2n (r, x) 2（n 5.2）
Pr M 2 ( f (U n )) f 1 ( f (U n )) Pr x' f 1 ( f (U n ))
2n (x' , x) f 1( f (x' )) 2n 2n
（5.4）
x
其中 (x', x)由（5.3）给出，（5.4）中第二个
等式是由于 ， x' f 1 ( f (x)) x f 1( f (x' )) f 1( f (x' ))
（5.9）
In
n
定理 5.1 任一单向函数 f : 0,1* 0,1* 可表示 为一个单向函数族，反之任一单向函数族
fi : Di 0,1*;i I 也可表示为一单向函数
f : E 0,1，* 其中E为{0,1} 的* 一个无穷子集。
5.2.2 候选单向函数族
例 5.4 RSA函数族 例 5.5 Rabin函数族 例 5.6 Rabin－Blum函数族 例 5.7 离散对数函数族
5．4．2 单向函数的硬核函数
定义 5.10 设 h : 0,1* 0,1*是一个多项式时间可计 算函数，满足h(x) h(y)，对一切 y x ，记
l(n) h(1n ) (l n)。h称为f的硬核函数，若对每一多项式 时间概率算法 M ' ，每一正多项式p(n)和一切充分 大的n有
青岛版数学九年级下册5.1《函数与它的表示法》随堂练习
5.1 函数与它的表示法
1.请你说一说
下列各题中分别有几个变量？你能将其中某个变量看成另一个变量的函数吗？
①②
图1 图2 ③
2.请你想一想：
下列各题中，哪些是函数关系，哪些不是函数关系：
（1）在一定的时间内，匀速运动所走的路程和速度.
（2）在平静的湖面上，投入一粒石子，泛起的波纹的周长与半径.
（3）x+3与x.
（4）三角形的面积一定，它的一边和这边上的高.
（5）正方形的面积和梯形的面积.
（6）水管中水流的速度和水管的长度.
（7）圆的面积和它的周长.
（8）底是定长的等腰三角形的周长与底边上的高.
3. 请你答一答
图3是弹簧挂上重物后，弹簧的长度y（厘米）与所挂物体的质量x（千克）之间的变化关系图.根据图象，回答问题：
图3
（1）不挂重物时，弹簧长多少厘米？
（2）当所挂物体的质量分别为5千克，10千克，15千克，20千克时弹簧的长度分别是多少厘米？
（3）当物体的质量x取0千克至20千克之间任一确定的值时，相应的弹簧的长度y能确定吗？反过来，弹簧的长度y是15~25之间一个确定的值，你能确定所挂重物的质量是多少吗？
（4）弹簧长度y可以看成是物体质量x的函数吗？。
《函数与它的表示法》第一课时教案
5.1函数与它的表示法(1)教材分析：函数的三种表示方法有利于学生理解作函数图象的三个步骤．此外，在图象法的认识中，学生初步学习了从图象中获得信息，为后面的学习做了准备．学生分析：函数的初步知识学生在七年级已经学过，本节课在此基础上继续引导学生进一步认识函数的三种表示方法．学习目标：知识与技能：1、通过实例了解函数的三种表示法.2、能根据三种表示方法的优缺点确定不同的表示方法.过程与方法：经历探索函数的三种表示方法，进一步发展学生的观察、归纳能力；让学生接触并解决一些现实生活中的问题．情感态度和价值观：通过真实的、贴近学生生活的素材和适当的问题情境，激发学生学习数学的热情和兴趣，操作活动中，培养学生的合作精神．学习重难点：重点：函数的三种表示方法.难点：根据具体情境确定简单的函数表示方法.课前准备教具准备 PPT课件教学过程：情景导入：同学们，你还记得什么是函数吗?在现实生活中，函数关系是处处存在的．你知道表示函数关系的方法有哪几种吗?你能举出一些例子吗?【设计意图】：教师启发学生说出现实生活中遇到的函数的例子，鼓励学生多发言，使学生意识到函数其实在我们的生活中是处处存在的．知识回顾:1．在某一问题中，保持的量叫常量，可以取的量，叫做变量．2．函数：在同一变化过程中，有两个变量x和y，如果对于x的每—个值，y都有______与之对应，我们就把y叫做x的函数，其中x叫做自变量.如果自变量x取a时，y的值是b，就把b叫做x=a时的函数值．【设计意图】：回顾七年级所学函数的初步知识有利于本节课的学习．合作探究一: 函数的三种表示方法阅读课本第4－5页，“观察与思考”讨论：函数的三种表示方法是什么?归纳：函数的三种表示方法是图象法、列表法、解析法．【设计意图】：学生观察例子后可以小组合作，试着用语言总结函数的表示方法，活动中要注意学生是否积极参与，培养学生的参与意识．合作探究二: 函数不同表示方法的特点小组合作交流，各抒己见，只要有道理，都要给予肯定，这样可以锻炼学生的发散思维．归纳：图象法的优点是直观，能够形象地反映出当自变量的值变化时函数值的变化趋势，所以常用来研究函数的性质和变化趋势．不足之处是不能准确地由已知自变量的值求出函值．列表法的优点是已知表中给出的部分自变量的值时，可以不通过计算直接查出对应的函数值．不足之处是只能表示出自变量的有限个离散值及其函数值．解析法的优点是全面、准确、方便，对于自变量在可以取值的范围内任取一个确定的值，都可以通过表达式计算求出它的函数值．不足之处是不够形象直观，而且不是每一个函数都可以写出它的表达式．当堂检测：1．小明今天到学校参加初中毕业会考，从家里出发走10分到离家500米的地方吃早餐，吃早餐用了20分；再用10分赶到离家1000米的学校参加考试．下列图象中，能反映这一过程的是（）2．李华和弟弟进行百米赛跑，李华比弟弟跑得快，如果两人同时起跑，李华肯定赢．现在李华让弟弟先跑若干米，图中，分别表示两人的路程与李华追赶弟弟的时间的关系，由图中信息可知，下列结论中正确的是（）A．李华先到达终点B．弟弟的速度是8米／秒C．弟弟先跑了10米D．弟弟的速度是10米／秒3．甲，乙两同学骑自行车从Ａ地沿同一条路到Ｂ地，已知乙比甲先出发．他们离出发地的距离s／km和骑行时间t/h之间的函数关系如图所示，给出下列说法：A.他们都骑了２０km；B.乙在途中停留了０.５h；C.甲和乙两人同时到达目的地；D.相遇后，甲的速度小于乙的速度．根据图象信息，以上说法正确的是4．给出下列说法：①学校到景点的路程为55 km；②甲组在途中停留了5 min；③甲、乙两组同时到达景点；④相遇后，乙组的速度小于甲组的速度．根据图象信息，以上说法正确的有．5．观察这条曲线，思考下列问题：（1）从放水开始到放水10s时，饮料瓶内水面下降的高度是多少？从放水后10s到放水后20s呢？（2）随着放水时间t的逐渐增大，饮料瓶内水面下降的高度L的变化趋势是怎样的？（3）t每增大10s，L的变化情况相同吗（4）估计当t=55s，L的值是多少？你是怎样估计的？（5）你发现在水面下降高度L和放水时间t的变化过程中,L是t的函数吗？哪一个变量是自变量？它们之间的函数关系是如何表达的？6．小亮步行从家去书店，用一段时间选择自己需要的书籍，然后回家.小亮和家的距离与他离开家之后的时间之间的函数关系如图所示，根据图像回答下列问题：（1）小亮用多少时间走到书店？小亮家距书店多远？（2）小亮在书店停留多长时间？回家用了多长时间？（3）小亮去书店和回家的步行速度各是多少？（4）小亮从家里走出10分钟离家多远？走出50 分钟离家多远？课堂小结:本节课学习了1. 函数的三种表示法.2. 三种表示方法的优缺点作业:课本 P.6第1题板书设计:5.1函数与它的表示法(1)函数的三种表示方法1图象法2列表法3解析法三种表示方法的优缺点。
5.1.1直函数与它的表示法
5.1直函数与它的表示法班级姓名组号学习目标1．理解并掌握函数的三种表示法，并能理解它们之间的联系；2．正确理解函数的三种表示法所体现的实际意义。
学习重点：函数三种表示法之间的联系学习难点：函数图像的信息表达【课前预习学案】（时间：15分钟）等级一、旧知回顾：1.什么叫做函数？举例说明。
2.已知变量x 与 y 有如下关系：y=x，y=|x|，|y|=x，y=x2，y2=x，其中y是x的函数的有____个3.某城市居民用的天然气，1 m3收费2.88元，使用x m3天然气应交纳的费用为y元，用含x的式子表示y为其中，是常量，是变量，是自变量，是的函数4、下列说法中，不正确的是（）A、函数不是数，而是一种关系B、矩形的周长是18 cm ,它的长ycm是宽x cm的函数C、一天中时间是温度的函数D、一天中温度是时间的函数5.用描点法画函数的图像有几个步骤，在直角坐标系中如何找到图像上的点？画函数y=2x+1的图像二、教材助读（要求：认真阅读教材P4-5,对每个概念和例题形成自己的见解。
如果有疑问随时记录，待课堂上小组交流解决。
）表达函数关系的方法有几种？自学后完成下表。
三、自我检测（自测题体现一定的基础，又有一定的思维含量，只有“细心才对，思考才会”）四、预习反思—请你将预习中未能解决的问题和疑惑写下来，待课堂上与老师和同学探究解决。
【课内探究学案】一、自主学习（千里之行，始于足下，相信自己，你能行）要求：5分钟独立完成以下题目，小组交流3分钟，体会总结图像法和列表法、解析法的优势和缺点1.小明从家里出发，外出散步，到一个公共阅报栏前看了一会报后，继续散步了一段时间，然后回家.下面的图描述了小明在散步过程中离家的距离s（米）与散步所用时间t（分）之间的函数关系.你能根据图象说出小明散步过程中的至少两条信息。
2.2011年7月中国工商银行为“整存整取”的存款方式规定的利率（如下表）y ()3.一辆校车在宽阔的公路上以每小时50公里的速度匀速行驶，该车行驶的路程s与行驶时间t之间的函数关系式为以上三个题目表示函数关系的方法分别为、、。
初中数学青岛版九年级下册高效课堂资料5.1(3)函数与它的表示法 教学设计
初中数学青岛版九年级下册高效课堂资料5.1函数与它的表示法教学设计第三课时教学目标1.理解分段函数的概念，会求不同取值范围内的函数的解析式.2.会用分段函数解决实际问题.3.通过对实例的分析，进一步理解函数的建模思想，并在学习过程中体验成功的喜悦.教学重难点重点：会求不同取值范围内的函数的解析式.难点：会用分段函数解决实际问题.教学过程一、导入环节（一）导入新课，板书课题1.导入语：上一节课我们学习了函数的概念和表示方法，这节课我们一起来学习分段函数.同学们来看本节课的学习目标.2.教师板书课题.（二）出示学习目标1.理解分段函数的概念，会求不同取值范围内的函数的解析式.2.会用分段函数解决实际问题.3.通过对实例的分析，进一步理解函数的建模思想，并在学习过程中体验成功的喜悦.过渡语：让我们带着目标、带着问题进入自主学习环节.二、教学过程（一）出示自学指导自学课本9-10页例2上面的内容，仔细阅读，完成以下内容.1.分段函数的概念 .（二）自学检测反馈过渡语：请同学们结合自学情况完成下列练习，做题要细心、规范.1.如图所示中的折线ABC为甲地向乙地打长途电话需付的电话费y（元）与通话时间t（分钟）2.做课本11页练习1.点拨：1.2.4元；4.4元；1元；2.2天；y=12.5x(0≤x≤2)，y=6.25x+12.5（2＜x≤6);12.5m;6.25m解题时要看清题目，图意结合实际理解题意.（三）合作探究探究：某校住校生放学后到学校锅炉房水箱打水，每人接水2 L.开始时水箱中有水96 L，两个龙头同时放水，经过2min后，水箱内的余水量为80 L.此时其中一个龙头因故障而关闭.如果前后两人接水间隔时间忽略不计，且不发生泼洒，水箱内的余水量y(L)与放水时间x(min)的函数图象如图所示.已知放水4min时，水箱中的余水量为72 L.（1）写出水箱的余水量y与放水时间x 之间的函数表达式；（2）前15位同学接水共用了多少时间？点拨：正确理解题意，利用分段函数结合实际解决问题。
第五章一次函数5.1函数(2)
主备人：备课组成员签名：课题：§5.1函数(2)教学目标1、知道函数的三种表示方法。
2、知道什么是函数的图象。
3、能根据实际问题的意义以及函数关系式，确定函数的自变量取值范围，并会求出函数值。
教学过程：一、创设问题情境小丽乘汽车去旅游。
见书P181（3）汽车行使时间t（h）与路程s（km）可用图表示：问题：变量s是变量t的函数吗？为什么？二、新课讲解1、通常，表示2个变量之间的关系可用3种方法：、、。
2、通常称为函数关系式。
例1、书P182例1：3、叫做这个函数的图象。
例2、书P183例2：4、函数的自变量取值范围，函数值。
例题3：温度的变化，是人们经常谈论的话题，请你根据下图，与同伴交流讨论某地某天的温度变化的情况。
（1） 上午9时的温度是多少？12时呢？（2） 这一天的最高温度是多少？是在几时达到的？最低温度是多少？（3） 这一天的的温差是多少？从最低温度到最高温度经过了多少时间？（4） 在什么时间范围内温度在上升？在什么时间范围内温度在下降？（5） 图中的A 点表示的是什么？B 点呢？你能预测次是凌晨1时的温度吗？说说你的理由例4、求下列函数的自变量取值范围：y=13x-4；21-x ；3+y ；351-a ；让学生总结：求函数自变量取值范围的两个方法：（1）要使函数的解析式有意义。
①函数的解析式是整式时，自变量可取全体实数；②函数的解析式是分式时，自变量的取值应使分母≠0；③函数的解析式是二次根式时，自变量的取值应使被开方数≥0。
④函数的解析式是三次根式时，自变量的取值应是一切实数。
（2）对于反映实际问题的函数关系，应使实际问题有意义。
例5、求下列函数当x=3时的函数值：（1）y=6x-4； （2）y=--5x 2； （3）y=361+x课堂小结：（1）表示两个变量间的关系的方法（2）从图象中获得信息并能用语言合理的表示，并能结合具体的情境理解图象上的点所表示的数学意义。
(3)能根据实际问题的意义以及函数关系式，确定函数的自变量取值范围，并会求出函数值。
2019最新第5章-函数物理
命题1 每个无穷集必包含一个可数无穷子 集。
证：设H是无穷集合，取a1∈H， a2∈H{a1}，a3∈H-{a1, a2}，…, an∈H-{a1, a2, …, an1}，…
如此继续下去，可得到H的一个可数无穷
集合。
定义：若集合A和B之间存在双射(一一对 应)，我们称A和B是等势的或等浓的。
例 实数集R与(0,1)等势。
定义5.1.2 设f: AB，g: CD，若A=C， B=D，且对每一xA都有f(x)=g(x)，则称函数f 和g相等，记为f=g。
本定义表明了，两函数相等，它们必须有 相同的定义域、陪域和有序对集合。
有时需要缩小所给函数的定义域，或扩大 所给函数的定义域以创建新的函数，为此有下 面定义。
定 义 5.1.3 设 f: AB ， 且 CA ， 若 有 g=f∩(CB), 则称g是f 到C的缩小或限制，记为 f|c，即g为C到B的函数：
5.2 函数类型
根据函数具有的不同性质，可以将函数分 成不同的类型。本节将定义这些函数，并给出 相应的术语。
定义5.2.1 设f: AB是函数，若R(f)=B，或 对任意bB，存在aA，使得f(a)=b，或形式表为：
(y)(yB(x)(xAf(x)=y))
则称f: AB是满射函数，或称函数f: AB 是满射的。
定 理 5.3.5 设 f: AB 是 双 射 函 数 ， 则 f -1of=IA，fof -1=IB
定理5.3.6 若f: AB是双射，则(f -1)-1=f。
5.4 基 数
1．基数定义
首先选取一个“标准集合”Nn={0,1,2,···,n-1}，称 它为N的<截段n；再用双射函数为工具，给出集合基数 的定义如下：
A称为函数F的定义域，即D(F)=A，B称为 函 数 F 的 陪 域 ， R(F) 称 为 函 数 F 值域，即 F(A)=R(F)={y|yB(x)(xAy=F(x))} 并称F(A)为函数F的像。 对于F: AB来说，若<x,y>F，则称x为 函数的自变元，称y为函数因变元，因为y值依 赖于x所取的值，或称y是F在x处的值，或称y为 F下x的像。通常把<x,y>F记作F(x)=y。
5_1 函数的概念与图像(课件)-高一数学(苏教版2019必修第一册)
x 1
令 x 0 ，可得 f 2 0 .故选：D.
D．0
）
讲授新课
知识点四 求函数值
【变式 4-1】函数 = − 1 + 1 的值域为 ( )
A. (0,+∞)
B. (1,+∞)
C. [0,+∞)
【答案】D 【解析】解：因为 − 1 ≥ 0，所以 − 1 + 1 ≥ 1，
A． [1,3]
B． [1, 4]
C． [2,5]
【答案】A
【解析】∵函数 f ( x 1) 的定义域为 [1,5] ，
∴ 1≤x≤5 ，则 2 x 1 6 ，
即 f ( x) 的定义域为 [2, 6] ，
由 2 2 x 6 ，得1 x 3 ，
∴ f (2 x) 的定义域是 [1,3] ，故选：A
解题导引 函数是一种特殊的对应，要检验给定的两个变量之间是否具有函数关系，
只需要检验：①定义域和对应法则是否给出；②根据给出的对应法则，自变量在其定义域中的
每一个值，是否都有唯一确定的函数值．
答案
(2)
解析 由于(1)中集合 P 中元素 0 在集合 Q 中没有对应元素，并且(3)中集合 P 不是数集，
所以(1)和(3)都不是集合 P 上的函数．由题意知，(2)正确．
讲授新课
知识点一
函数定义的理解
【例 1】下列两个变量之间的关系，不是函数关系的是（
）
A．角度和它的余弦值
B．正方形的边长和面积
C．正 n 边形的边数和内角和
D．母亲的身高与子女的身高
【答案】D
【解析】A 中的任意一个角总对应唯一的一个余弦值，是函数关系；
青岛版九年级下册数学《函数与它的表示法》研讨说课复习课件拔高
第3课时
课件
目 Contents 录
01 学习目标 02 合作探究
03 知识讲解
04 例题演示
05 分层练习
06 课堂小结
学习目标
认识分段函数，会根据简单分段函 数的表达式或图象求出函数值.
合作探究
为了鼓励节约用电，某市按以下标准对居民用户收费： 当一户居民月用电量不超过200kw•h时，按0.5元/kw•h收费。 当一户居民月用电量超过200kw•h时，超过部分按0.7元 /kw•h收费。
（2）分段函数的自变量取值范围是各分段取值范 围的全体；
（3）每段函数表达式自变量的取值范围之间没有 公共点。
6.7 利用画树状图和列表计算概率
第1课时
课件
1.会用画树状图的方法求简单事件的概率； 2.会用列表的方法求简单事件的概率.
引例 甲、乙两同学各拿一枚完全相同的硬币进行投掷实验 ，规定国徽为正面.两人同时掷出硬币为一次实验，在 进行200次实验后，他们将向上一面的结果汇总如下表：
3.某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示:
(1)y是x的函数吗？若是请写出该函数解析式？ (2)分别求当x=10,16,20时的函数值．
答案：函数解析式为：
2x;(0 x 12)
y
2
12
2.5( x
12)
2.5x
6; (12
x
18)
212 2.5 6 3(x 18) 3x 15.(x 18)
1 3·
利用树状图或表格可以清晰地表示出某个事件 发生的所有可能出现的结果，从而较方便地求出某 些事件发生的概率.
解：画树状图
从树状图可以看出，两张卡片 上的数字之积共有4个等可能 结果，从中可找出“两数之积 为0”这一事件的结果有3个.
5.1(2)函数与它的表示法 2
心动
不如行动
1、判断下列问题中的变量y是不是x的函数？
（1）在 y = 2x 中的y与x； 是 （2）在 y = x 中的y与x； 是
2
（3）在 y = x 中的y与x； 不是
2
2.下列各曲线中不表示 y 是 x 的函数的是(
4 )
合作与探究
建议与要求： 1、每个同学先独立思考整理出自己的答案 2、然后以小组为单位先纠正答案， 3、针对自己拿不定的题目以小组为单位进行 讨论 4、在教师的指导下，以班级为单位对讨论结 果予以汇总统计
x 2 0 x 1 0
创设情境
列车以90千米/小时的速度从A地开往B地 （1）填写下表：
行驶时间x小时 行驶路程y千米
1
ห้องสมุดไป่ตู้
2
3
4
（2）写出y与x之间的函数关系式；
（3）x可以取全体实数吗？
1．进一步加深理解函数的概念．会 根据简单的函数解析式和问题情境确 定自变量的取值范围． 2．能利用函数知识解决有关的实际 问题。
具体题目见导学案
2.一枝蜡烛长20厘米，点燃后每小时燃烧掉5厘 米。 1.写出蜡烛剩余长度h（cm）与点燃时间t（h） 之间的函数解析式； 2.求出自变量t（h）可以取值的范围； 3.蜡烛点燃2h后还剩多长？ 4.能够描述蜡烛剩余长度h（cm）与点燃时间t （h）之间函数关系的图像是（）
记一记
☞
练习
• 建议与要求： • 1、要求每个人独立完成本环节所有题目 • 2、完成后以小组为单位纠正答案，组内互 评 • 3、针对小组内不能解决的疑惑和问题，以 班级为单位集体讨论
练习1: 求下列函数中自变量x可以取值的范围:
3x 1 (1) y= 2
青岛版数学九年级下册5.1《函数和它的表示方法》教学设计3
青岛版数学九年级下册5.1《函数和它的表示方法》教学设计3一. 教材分析青岛版数学九年级下册5.1《函数和它的表示方法》是本册教材的重要内容，主要让学生理解函数的概念，了解函数的表示方法，包括列表法、解析法、图象法等。
通过本节的学习，为学生进一步学习函数的性质、函数的图像等知识打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经学习了代数、几何等基础知识，具备一定的逻辑思维能力和抽象思维能力。
但是对于函数这一概念，可能还比较陌生，需要通过具体实例来理解和掌握。
同时，学生对于函数的表示方法可能也比较困惑，需要通过大量的练习来熟练掌握。
三. 教学目标1.让学生理解函数的概念，了解函数的表示方法。
2.让学生能够运用函数的表示方法解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和抽象思维能力。
四. 教学重难点1.函数的概念的理解。
2.函数的表示方法的掌握。
五. 教学方法采用讲授法、实例分析法、练习法等多种教学方法，通过具体的实例来引导学生理解函数的概念，通过大量的练习来让学生掌握函数的表示方法。
六. 教学准备1.准备相关的教学PPT。
2.准备一些具体的函数实例。
3.准备一些练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个具体的实例，引出函数的概念，让学生初步理解函数的含义。
2.呈现（10分钟）讲解函数的表示方法，包括列表法、解析法、图象法等，通过具体的例子让学生理解每种方法的含义和应用。
3.操练（10分钟）让学生分组合作，运用函数的表示方法解决一些实际问题，比如计算一些函数的值，画出一些函数的图象等。
4.巩固（10分钟）讲解学生练习中出现的问题，再次强调函数的表示方法，让学生加深理解。
5.拓展（10分钟）让学生思考除了列表法、解析法、图象法之外，还有没有其他的表示方法，激发学生的创新思维。
6.小结（5分钟）对本节课的内容进行小结，让学生明确本节课的重点和难点。
7.家庭作业（5分钟）布置一些相关的练习题，让学生课后巩固所学知识。
5.1函数与它的表达式
5.1函数与它的表达式（第一课时）学习目标：1、通过实例，让学生进一步了解函数的三种方法。
2、能确定简单的函数解析式。
重点：函数的三种表示法难点根据具体情境确定简单的函数关系式教学过程：【温故知新】回顾函数的定义，以及初一学习的联系两个自变量的几种形式【创设情境】在现实生活中，函数关系处处存在，你能举例说明如何表示这些函数关系吗？【探索新知】交流与发现1）在图5-2中，河水水位与时间的函数关系是用什么方法表示的？在图5-2中，河水水位与时间的函数关系是用什么方法表示的？2）一根弹簧原长15cm，在弹性限度内，每增加10N的拉力，弹簧就伸长2cm，请你填（3）物体自由下落的高度h(m)与时间t(s)之间的函数关系是h=4.9t2h与t之间的函数关系是用什么方法表示的？当t=0(s)和t=1(s)时，对应的h值分别是多少？总结;表示函数关系的方法（1）用数学式子表示函数的方法叫做解析法（2）用表格表示函数关系的方法叫做列表（3）用图象表示函数关系的方法叫做图像法[巩固提升]1.一辆汽车在行驶中，速度v随时间t变化的情况如图所示.1）在这个问题中，速度y与时间t之间的函数关系是用哪种方法表示的？2）时间t的取值范围是什么？（3）当时间t为何值时，汽车行驶的速度最大？最大速度是多少？当时间t取何值时，速度为0？4)在哪一时间段汽车的行驶速度逐渐增加？在哪一时间段汽车的行驶速度逐渐减少？在那一时间段按匀速运动行驶?2.如图，正三角形ABC内接与圆O，设圆的半径为r。
试写出图中阴影部分的面积S与r的函数关系，它们之间的函数关系是用哪种方法表示的？【课堂小结】1.表示函数关系的方法共有三种：（1）解析法（2）列表法（3）图像法2、课本P8 A组 1、2题【达标检测】1、棱长为2x的立方体体积V与x之间的函数关系式是_ ，2、如图，图象（折线OEFPMN）描述了某汽车在行驶过程中速度与时间的函数关系，求（１）．第3分时汽车的速度是多少？（２）．第９分时汽车的速度是多少？（３）．从第3分到第6分，汽车行驶了多少？/分O5.1函数与它的表达式（第二课时）学习目标：1.会根据实际问题构建数学模型并列出函数解析式；掌握根据函数自变量的值求对应的函数值，或是根据函数值求对应自变量的值；2.会在简单的情况下根据实际背景对自变量的限制求出自变量的取值范围.3.使学生在探索、归纳求函数自变量取值范围的过程中，增强数学建模意识；重点：求函数解析式是重点．难点：根据实际问题求自变量的取值范围并化归为解不等式(组)学生不易理解教学过程：【温故知新】：１．坐标平面内的点与_________________一一对应．２．根据点所在位置填表３．X轴上的点______坐标为0,y轴上的点______坐标为0.４．P(x,y)关于X轴对称的点坐标为___________,关于Y轴对称的点坐标为___________,关于原点对称的点坐标为___________.５．描点法画函数图象的一般步骤是__________、__________、__________．６．函数的三种表示方法分别是__________、__________、__________．【创设情境】：问题：试写出等腰三角形中顶角的度数y与底角的度数x之间的函数关系式．【探索新知】思考：因为三角形内角和是180°所以等腰三角形的底角的度数x不可能大于或等于90°在用解析式表示函数时，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义．在确定函数中自变量的取值范围时，如果遇到实际问题，必须使实际问题有意义．例如，函数解析式S＝πR2中自变量R的取值范围交流反思：1.求函数自变量取值范围的两个依据：(1)要使函数的解析式有意义．(2)对于反映实际问题的函数关系，应使实际问题有意义．2.求函数值的方法：跟求代数式的值的方法一样就是把所给出的自变量的值代入函数解析式中，即可求出相应的函数值．[巩固提升].分别写出下列各问题中的函数关系式，并指出式中的自变量与函数以及自变量的取值范围：(1)一个正方形的边长为3 cm，它的各边长减少x cm后，得到的新正方形周长为y cm．求y和x间的关系式； (2)寄一封重量在20克以内的市内平信，需邮资0.60元，求寄n封这样的信所需邮资y（元）与n间的函数关系式； (3)矩形的周长为12 cm，求它的面积S(cm2)与它的一边长x(cm)间的关系式，并求出当一边长为2 cm时这个矩形的面积．【课堂小结】1.求函数自变量取值范围的两个依据：(1)要使函数的解析式有意义：①函数的解析式是整式时，自变量可取全体实数；②函数的解析式分母中含有字母时，自变量的取值应使分母≠0；③函数的解析式是二次根式时，自变量的取值应使被开方数≥0．(2)对于反映实际问题的函数关系，应使实际问题有意义．2.求函数值的方法：跟求代数式的值的方法一样就是把所给出的自变量的值代入函数解析式中，即可求出相应的函数值．作业布置 P8习题5。
5.1.2函数与它的表示法第二课时课件
一、旧知回顾： 1.说出画函数图像的一般步骤 2.函数关系有哪些表示方法？ 3.指出下列代数式中字母可以表示的实数的范围 1 2x2＋7
同学们, 再见!
函数定义 在同一个变化过程中,有两个变量x,y. 如果 对于变量x在可以取值的范围内每取 一个确定 值,变量y都有一个惟一确定的值与它对应,那么 就说y是x的函数.
结论:
三、自我检测（自测题体现一定的基础，又 有一定的思维含量，只有“细心才对，思 考才会”） 1.写出函数 自变量的取值范围 2. 已知等腰三角形的周长为12cm，若底边长 为y cm，一腰长为x cm. 写出y与x的函数关系式；
求自变量x的取值范围；
四、预习反思 —请你将预习中未能解决的问题和疑惑写下 来，待课堂上与老师和同学探究解决。
（一）问题探究 1求出下列函数中自变量的取值范围，由代数 式的特点总结自变量的取值范围 （1） y＝3x－1； （2）y＝2x2＋7；
• 2．用边长为1的等边三角形拼成图形，如图所示,用Y 表示拼成的图形的周长，用n表示其中等边三角形的数 目，显然拼成的图形的周长y是n的函数。 （1）填写下表
• 1．对于代数式2x+1，它的值是随x的改变而 改变，对于x的每一个值，代数式2x+1也有 唯一的值与它对应，所以代数式2x+1的值是 x的函数。设y=2x+1，即y是2x+1的函数。 这里的x可以的取值范围是 • 2.张老师到商店买了x千克白菜和一个袋子， 每千克白菜2元，每个袋子1元，张老师花了 y元，显然y是x的函数，写出它的关系式为 。函数中x可以取值的范围是 。 • 3．求下列函数的自变量可以取值的范围
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(3)蜡烛点燃2h后还剩多长? 10cm
方法归纳：
通过学习，对于确定函数自变量的取值范围你有什么认识？
（1）确定函数中自变量的取值范围时，自变量的取值必须使 __函__数__的__解__析__式__有__意__义__；在解决实际问题时，还要使 ___实__际__问__题__有__意__义____。
(4)在问题中，自变量可以取值的范围是什么?
9≤t≤21
2.一根弹簧原长15cm，在弹簧一端所受到的拉力不超过40N的弹性
限度内，每增加10N的拉力，弹簧就伸长2cm。在这个问题中,弹
簧的长度y与拉力x之间的函数关系是
拉力x/N 弹簧长度y/cm
0 10 20 30 40 0 17 19 21 23
(2) 在问题中，自变量可以取值的范围是什么?
0≤t≤10
跟踪练习
1.一辆汽车在行驶中，速度v随时间t变化的情况如 图所示.
（1）在这个问题中，速度y与时间t之间的函 数关系是用哪种方法表示的？ 图象法
（2）时间t的取值范围是什么？ 0≤t≤7
（3）当时间t为何值时，汽车行驶的速度最大？最
大速度是多少？当时间t取何值时，速度为0？
t=4 v=30km/h t=0或t=7
（4）在哪一时间段汽车的 行驶速度逐渐增加？在哪一时间段汽车的行
驶速度逐渐减少？在那一时间段按匀速运动行驶?
0≤t<1， 2≤t<4
4≤t<7
1≤t<2
结论:
函数定义 在同一个变化过程中,有两个变量x，y. 如果对于变
量x在可以取值的范围内每取 一个确定的值，变量y都 有唯一确定的值与它对应，那么就说y是x的函数.
（1）表达式为整式，自变量取全体实数； （2）表达式为分式，要考虑分母不为零； （3）表达式为二次根式，要考虑被开方数应为非负数； （4）表达式为以上综合式子时，要充分考虑以上三种情况 。
当堂检测 1. 下列函数中，自变量x的取值范围错误的是（ B ）
A. y=2x2中，x取全体实数；
B. y=
中，x取x≥－3的实数;
观察图(1)~(4)，你认为它们表示的变量y与变量x之间的对应关系都 是函数关系吗？如果y是x的函数，请指出自变量x的取值范围；如 果y不是x的函数，请说明理由。
(1)
(2)
(3)
(4)
点拨：根据图像判断是否存在函数关系，只要过图像上任意一
点作x轴的垂线，若垂线与函数图像只有一个交点，说明是函数，
一、函数定义 在同一个变化过程中,有两个变量x,y. 如果对于变量x在可以
取值的范围内每取 一个确定得值,变量y都有一个唯一确定的值与 它对应,那么就说y是x的函数. 注意（1）自变量“可以取值的范围”；
（2）对应关系：自变量每一个确定的值，对应一个唯一 确定的函数值。
二、函数自变量取值范围的确定
（1）y与x之间的函数关系是用什么方法表示的？ 列表法
（2）此问题中，自变量x可以取值的范围是什么?
0≤x≤40
3.物体从490m的高度处自由下落，物体距离地面的高 度h（m）与物体下落的时间t (s) 之间的关系满足表 达式 h=490-4.9t2。
（1）h与t之间的函数关系是用什么方法表示的？ 解析法
（2）确定解析式中自变量的取值范围，主要考虑以下几种情况： 解析式为整式，自变量的取值范围是_全__体__实__数___； 解析式为分式，要考虑_分__母__不__能__为__零___； 解析式为二次根式，要考虑_被__开__方__数__应__为__非__负__数___。 解析式为混合型，要考虑____________________。
5.1 函数与它的表示法 （1、2）
学习目标
❖ 1.通过实例，进一步了解函数的概念和表示方法，能用适当的函 数表示法刻画实际问题中变量之间的关系；
❖ 2.通过自学例1，能根据函数表达式和问题情境，确定自变量的取 值范围。
目标1：函数的概念及表示方法
1.某日，陕西省内黄河支流清涧河的上游突降暴雨，图52是清涧河下游延川水文站记录的当天9时至21时河水 水位的变化情况. （1）在图中，河水水位与时间的函数关系 是用什么方法表示的？ 图象法 （2）哪一时刻河水的水位最高？11时 最高水位是多少？ 93m （3）当天17时的河水水位是多少？ 85m
拓展1 2x
m
中自变量x可以取值的范围
是全体实数，你能确定m的取值范围吗？
解析：由题意可知当x为任意实数时，x2 2x m 0；
则有一元二次方程x x m 无解，故
4 - 4m 0 ，解得 m 1
课后作业： A组： B组：
C. y=
中，x取x≠－1的实数；
D. y=
中，x取x≥2的实数
2、在函数 是________.
中,自变量x的取值范围
3.等腰三角形的周长为10cm，底边长为 y (cm), 腰长为x（cm） (1)写出y与x之间的函数解析式;
y=10-2x
(2)指出自变量x可以取值的范围.
2.5＜x＜5
x
x
y
否则不是。
目标2：求函数自变量的取值范围
自学例1
思考：如何求函数中自变量的取值范围？
函数 y x 1 的自变量x的取值范围是____________. x3
点拨：如果自变量x有多方面的限制条件， 应列出不等式组求解。
考虑问题要全面，注意不要漏掉条件。
例2 一根蜡烛长20cm，每小时燃掉5cm. (1)写出蜡烛剩余的长度y（cm）与燃烧时间x（h）