第一章：集合、函数的概念及基本性质复习(2课时)

第一章：集合、函数的概念 及基本性质复习（2课时）

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1.集合元素具有确定性、无序性和互异性. 在求有关集

合问题时，尤其要注意元素的互异性。 例：（1）设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合

P+Q={|,}a b a P b Q +∈∈，若{0,2,5}

P =

}6,2,1{=Q

，则P+Q 中元素的有________个。

（2）非空集合}5,4,3,2,1{⊆S ，且满足“若S a ∈，

则S a ∈-6”，这样的S 共有_____个

2.遇到

A B =∅ 时，注意“极端”情况：A =∅或

B =∅；同样当A B ⊆时，注意∅=A 的

情形？要注意到∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

实数p 的取值范围.

，则实

数a ＝______.

②已知集合

A={}{}

01m 2,02322

=-++=+-x x x B x x

x ，

若

B B A = ,求实数m 的取值范围。

③已知集合A={x ∣-2≤x ≤5},集合B={x ∣p+1≤x ≤2p-1},若A ∩B=B,求实数p 的取值范围.

3.对于含有n 个元素的有限集合M ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为 ，n 2，12-n ，12-n .22-n 例：满足{1,2}{1,2,3,4,5}M ⊂⊆≠集合M 有______个。

4.集合的运算性质: （设全集为U ） ⑴A B A B A =⇔⊆ ；⑵A B B B A =⇔⊆

⑶A B ⊆⇔B C A C u u ⊇

(4）B A U B A C U ⊆⇔=⋃)(； （5）()U C A B U U C A C B = ；

（6）()U U U C A B C A C B = . 5. 研究集合问题，一定要理解集合的意义――抓住集合

的代表元素。

如：{}

2

1x y x =+指函数的定义域；{}21y y x =+指函数的值域；{}

2

(,)1x y y x =+指函数图象上的点集。 例：设集合

{|}

M x y =，集合N ＝

{}2

|,y y x x M =∈，则M N = ___

6. 数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具，在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。 例：已知函数

12)2(24)(22+----=p p x p x x f 在区 间]1,1[-上至少存在一个实数c ，使0)(>c f ， 求实数p 的取值范围。

例：①集合{|10}A x ax =-=，

{}2|320B x x x =-+=，且A B B = ，则实 数a ＝______.

二、函数的概念

1.函数

f : A →B 是指对集合A 中任意一个数在f 的作用下，集合B 中都有唯一的数与之对应。注意：定义

域A 和值域B 都是非空数集！据此可知函数图像与x 轴的垂线至多有一个公共点，但与y 轴垂线的公共点可能没

有，也可能有任意个。

如已知函数()f x ，x F ∈，那么集合{(,)|(),}{(,)|1}x y y f x x F x y x =∈= 中所含元素的个数

有 个

2.映射

f : A →B 的概念。在理解映射概念时要注意：只是把函数中的集合A 、B 改为非空集合；因此函数

只是一种特殊的映射。 例:设集合A={}32,1，,集合B={}b a ,，①从A 到B 可以建立______个映射②从B 到A 又可以建立______个映射

3. 同一函数的概念。构成函数的三要素是定义域，值域和对应法则。而值域可由定义域和对应法则唯一确定，

因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，它们一定为同一函数。

4. 求函数定义域的常用方法（研究函数问题时要树立定义域优先的原则）：

（1）① 分式：()()

f x y

g x =

，则()0g x ≠；② 偶次根式：*

)y n N =∈，则()0f x ≥； ③ 零次幂式：0

[()]y f x =，则()0f x ≠. 例:（06广东）函数

2)13(13)(02

++++-=x x x

x x f 的定义域是______________

（2）简单的复合函数的定义域：若已知

()f x 的定义域为[,]a b ,其复合函数[()]f g x 的定义域由不等式

()a g x b ≤≤解出即可；

例:已知函数)(x f y =定义域是[]-23，，则y f x =-()21+)1(+x f 的定义域是____________

5.求函数值域（最值）的方法：

（1）配方法:二次函数（二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间[,]m n 上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系）.

例:当

]2,0(∈x 时，函数3)1(4)(2-++=x a ax x f 在2=x 时取得最大值，则a 的取值范围是

________

（2）换元法:通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型. 运用换元法时，要特别要注意新元t 的范围）

例:21y x =+_____

（4）单调性法:利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性. 例:求

1

(19)y x x x

=-<<的值域为____________