山东2020届高三模拟数学试题(含答案)

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山东省济宁市2024届高三下学期三模数学试题(解析版)

山东省济宁市2024届高三下学期三模数学试题注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则中元素的个数为（）A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】【分析】根据分式不等式解集合B ，结合交集的概念与运算即可求解.【详解】由，得且，解得，即，所以，有2个元素.故选：B2. 的展开式中的系数为（）A. B. C. 120 D. 160【答案】A 【解析】【分析】求出二项式展开式的通项公式，再由给定幂指数求解即得.【详解】二项式展开式的通项为，由，得，所以的展开式中的系数为.故选：A{}22,1,1,2,01x A B x x ⎧⎫+=--=≤⎨⎬-⎩⎭A B ⋂201x x +≤-(2)(1)0≤x x +-10x -≠21x -£<{21}B x x =-≤<{2,}1A B ⋂=--262()x x-3x 160-120-262(x x-261231662C ()()(2)C ,N,6r rr r r r r T x x r r x--+=-=-∈≤1233r -=3r =262()x x-3x 336(2)C 160-=-3. 若随机变量，随机变量，则（）A. 0 B.C.D. 2【答案】B 【解析】【分析】利用正态分布的两个参数就是随机变量的期望和方差，再利用两个线性随机变量之间的期望和方差公式，即，就可以求出结果.【详解】由可知：，又因为，所以，，则，故选：B.4. 已知数列中，，则（）A. B. C. 1D. 2【答案】C 【解析】【分析】利用数列的递推公式求出数列的周期，即可求解.【详解】由，得，，，，，，()2~32X N ，1(3)2Y X =-()1()1E Y D Y +=+1245()()(),E Y E kX b kE X b =+=+()2()()D Y D kX b k D X =+=()2~32X N ，()3,()4E X D X ==1(3)2Y X =-()131333()(0222222E Y E X E X =-=-=-=()131()(1224D Y D X D X =-==()1011()1112E Y D Y ++==++{}n a ()*1211212n n n a a a a a n n +-===-≥∈N ，，，2024a=2-1-()*12112,1,2,n n n a a a a a n n +-===-≥∈N3211a a a =-=-4322a a a =-=-4531a a a ==--6541a a a =-=7652a a a =-=8761a a a ==-则是以6为周期的周期数列，所以.故选：C5. 已知抛物线的焦点为，过且斜率为的直线交抛物线于，两点，若，则（）A.B. 1C.D. 2【答案】D 【解析】【分析】设，，，联立抛物线方程，利用韦达定理和抛物线的定义建立关于的方程，解之即可求解.【详解】由题意知，，设，联立直线与抛物线得，消去，得，所以.由抛物线的定义知.而，故，解得.故选：D.{}n a 20243376221a a a ⨯+===2:2(0)C y px p =>F F 2l C A B ||5AB =p =1232:22p l y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭()11,A x y ()22,B x y p ,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭()()1122:2(),,,,2p l y x A x y B x y =-22()22p y x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩y 22460x px p -+=1232x x p +=1212352222p p AB AF BF x x x x p p p p ⎛⎫⎛⎫=+=+++=++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5AB =552p =2p =6. 已知函数，若在区间上的值域为，则实数的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】D 【解析】【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再借助正弦函数的图象与性质求解即得.【详解】依题意，函数，当时，，显然，且正弦函数在上单调递减，由在区间上的值域为，得，解得，所以实数的取值范围是.故选：D7. 已知函数为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是（）A. B. C. D. 【答案】A 【解析】【分析】利用偶函数的性质求出的解析式，再利用导数的几何意义求出切线方程.【详解】函数为偶函数，当时，，则当时，，求导得，则，而，所以曲线在点处的切线方程是，即.故选：A1()cos )cos 2f x x x x =+-()f x π[,]4m -[m ππ[,62ππ[,62π7π[,612π7π,612⎡⎤⎢⎥⎣⎦()f x 211π()cos cos 2cos 2sin(2226f x x x x x x x =+-=+=+π[,]4x m ∈-πππ2[,2]636x m +∈-+π4ππsin(sin 1332-===sin y x =π4π[,]23()f x π[,]4m -[ππ4π2263m ≤+≤π7π612m ≤≤m π7π,612⎡⎤⎢⎥⎣⎦()f x 0x <2()ln()f x x x =-+()y f x =(1,(1))f 320x y --=320x y +-=320x y ++=320x y -+=0x >()f x 0x <2()ln()f x x x =-+0x >2()()ln f x f x x x =-=+1()2f x x x'=+(1)3f '=(1)1f =()y f x =(1,(1))f 13(1)y x -=-320x y --=8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，根据双曲线的光学性质可知，过双曲线上任意一点的切线平分.直线过交双曲线的右支于A ，B 两点，设的内心分别为，若与的面积之比为，则双曲线的离心率为（）A.B.C.D..【答案】C【解析】【分析】利用切线长定理求得直线的方程，再借助双曲线的切线方程求出点的横坐标，结合面积关系求解即得.【详解】令圆切分别为点，则，，令点，而，因此，解得，又，则点横坐标为，同理点横坐标为，即直线方程为，设，依题意，直线的方程分别为：，，联立消去得：，整理得，令直线的方程为，于是，即点的横坐标为，因此，所以双曲线的离心率.故选：C的2222:1(00)x y C a b a b-=>>，12,F F C ()00,P x y 0022:1(0,0)x x y yl a b a b-=>>12F PF ∠1l 2F C 12121,,AF F BF F ABF 12,,I I I 12II I 212F I I 35C 325312I I I 1I 1212,,AF AF F F ,,P Q T 1122||||,||||,||||AP AQ F P FT F Q F T ===121212||||||||||||2FT F T F P F Q AF AF a -=-=-=0(,0)T x 12(,0),(,0)F c F c -00()()2x c c x a ----=0x a =112I T F F ⊥1I a 2I a 12I I x a =1122(,),(,)A x y B x y ,AI BI 11221x x y y a b -=22221x x y y a b -=y 122122(1)(1)x x x x y y a a -=-2211221()a y y x x y x y -=-AB x my c =+22211221()()()a y y a x my c y my c y c -==+-+I 2a c12212235II I F I I a a S a c S c a c -===- C 53c e a ==【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：①定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率定义求解离心率；②齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9. 已知复数，则下列说法中正确的是（）A. B. C. “”是“”的必要不充分条件 D. “”是“”的充分不必要条件【答案】AC 【解析】【分析】根据复数加法、乘法、乘方运算，结合复数的几何意义计算，依次判断选项即可.【详解】A ：设，则，所以，则，故A 正确；B ：设，则，所以，，则，故B 错误；C ：由选项A 知，，，又，所以，不一定有，即推不出；的,a c e ,a c e 12,z z 1212z z z z =⋅1212z z z z +=+12z z ∈R 12z z =12=z z 2212z z =12i,i(,,,)z a b z c d a b c d =+=+∈R 12(i)(i)()()i z z a b c d ac bd ad bc =++=-++12z z ===1212z z z z =12i,i(,,,)z a b z c d a b c d =+=+∈R 12()()i z z a c b d +=+++1z +=12z z +=1212z z z z +≠+12(i)(i)()()i z z a b c d ac bd ad bc =++=-++2i z c d =-12z z ∈R 0ad bc +=a cb d =⎧⎨=-⎩12z z =由，得，则，则，即，所以“”是“”的必要不充分条件，故C 正确；D ：设，则，若，则，即，若，则，得，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故D 错误.故选：AC10. 已知数列的前项和为，且满足，数列的前项和为，且满足，则下列说法中正确的是（）A. B. 数列是等比数列C. 数列是等差数列 D. 若，则【答案】BC 【解析】【分析】由数列的前项和为求出判断B ；由递推公式探讨数列的特性判断C ；求出判断A ；由求出，再利用裂求和法求解即得.【详解】由，得，，当时，，满足上式，因此，数列是等比数列，B 正确；由，得，，解得，，A 错误；当时，，两式相减得，于是，两式相加得，整理得，因此数列是等差数列，C 正确；12z z =i i a b c d +=-a cb d=⎧⎨=-⎩0ad bc +=12z z ∈R 12z z ∈R 12z z =12i,i(,,,)z a b z c d a b c d =+=+∈R 22222212()2i,()2i z a b ab z c d cd =-+=-+12=z z =2222+=+a b c d 2212z z=2222()2i ()2i a b ab c d cd -+=-+222222a b c d ab cd⎧-=-⎨=⎩12=z z 2212z z ={}n a n n S 1233n nS +=-{}n b n n T 112n n T b n =+113=a b {}n a {}n b 23b =101319log 10na n nb ==∑{}n a n n S n a {}n b 1b 23b =n b 1233n nS +=-113322n n S +=⋅-113a S ==2n ≥111(33)32n nn n n n a S S +-=-=-=13a =3n n a ={}n a 112n n T b n =+2n n n T b n =+111112b T b ==+12b =113a b ≠2n ≥11112n n n T b n ---=+-121122n n n n b b ---+=11122n n n n b b +-=+112211222n n n n n n b b b -+---=+112n n n b b b -+=+{}n b当时，等差数列的公差为1，通项，，所以，D 错误.故选：BC11. 如图，在直三棱柱中，，，分别是棱，上的动点（异于顶点），，为的中点，则下列说法中正确的是（）A. 直三棱柱体积的最大值为B. 三棱锥与三棱锥的体积相等C. 当，且时，三棱锥外接球的表面积为D. 设直线，与平面分别相交于点，，若，则的最小值为【答案】BCD 【解析】【分析】A 选项：根据三棱柱体积公式，结合三角函数值域可得最值；B 选项：根据等体积转化可判断；C 选项：结合正弦定理确定正三角形外心，进而确定球心及半径；D选项：根据相似及基本不等式可得最值.【详解】A 选项：由已知可得，又，所以，即体积的最大值为，A 选项错误；B 选项：如图所示，23b ={}n b 1n b n =+31111log (1)1n a n b n n n n ==-++10131111111111011log 22391010111111na n nb ==-+-++-+-=-=∑ 111ABC A B C -2AB BC ==13AA =D E 1AA 1CC 1AD C E =F 11B C 111ABC A B C -1B DEF -A DEF -60ABC ∠=︒123AD AA =D ABC -28π3DF EF ABC P Q 1cos 4ABC ∠=AP CQ +111111sin 6sin 2ABC A B C ABC V S AA BA BC ABC AA ABC -=×=××Ð×=Ð()0,ABC π∠∈(]sin 0,1ABC ∠∈6由点为的中点，则，设点到平面的距离为，则，，又，所以，所以，B 选项正确；C 选项：如图所示，由已知为正三角形，设外接球球心为，中心为，中点为，则平面，且，，即，所以外接球半径为，外接球表面积为，C 选项正确；D 选项：如图所示，取中点，可知在的延长线上，在的延长线上，F 11B C 111B DEF C DEF F C DE V V V ---==F 11AA C C h 11113B DEF F C DE C DE V V S h --==×13B DEF F ADE ADE V V S h --==×1ADC E =1ADE C DE S S = 1F C DE F ADE V V --=ABC O ABC 1O AD M 1OO ⊥ABC 1111123OO AD AA ===12sin AB O A ACB ==∠1O A =R ==228π4π3R =BC N P NA Q BC则，即，设，，易知，，则，，则，,，所以，当且仅当，即时取等号，故D 选项正确；故选：BCD.三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知函数则____________.【解析】【分析】利用已知分段函数，可先求，再求.【详解】因为，所以.所以..13. 甲和乙两个箱子中各装有6个球，其中甲箱子中有4个红球、2个白球，乙箱子中有2个红球、4个白球，现随机选择一个箱子，然后从该箱子中随机取出一个球，则取出的球是白球的概率为____________.【答案】##05的.22212coc 4122144AN BA BN BA BN ABC =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=2AN =11AD C E AA λ==()0,1λ∈PAD PNF 1QCE FC E PA AD PN NF =11QC CEFC C E=()()2PA PN PA AN PA λλλ==+=+21PA λλ=-111QC FC λλλλ--==211AP CQ λλλλ-+=+≥-211λλλλ-=-1λ=410()2log 0xx f x x x ⎧⎛⎫⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩，，，…12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11(22f =-1122f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭410()2log 0xx f x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩，，，44111log =log 2222f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭11221112222f f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭12【解析】【分析】把所求概率的事件分拆成两个互斥事件的和，再利用互斥事件的概率公式及相互独立事件的概率公式求解即得.【详解】依题意，取出的球是白球的事件是取甲箱并取白球的事件与取乙箱并取白球的事件的和，显然事件与互斥，，，所以.故答案为：14. 已知，则的最小值为____________.【解析】【分析】根据平面向量的模求出数量积，利用向量的几何意义和运算律计算可得与点的距离之和，作出图形，确定的最小值，结合图形即可求解.【详解】由，得，即，解得.，与点的距离之和.如图，点关于x轴的对称点为，连接，A1A2A 1A2A1121()266P A=⨯=2141()263P A=⨯=121()()()2P A P A P A=+=126a a b=-=11()()23f x xa b xa b x=-+-∈Ra b⋅()f x=(,0)P x1111(,(,)2233A B----PA PB+6,a a b=-=222218a b a a b b-=-⋅+=1823618a b-⋅+=18a b⋅=-11()23f x ax b ax b=-+-=====(,0)P x1111(,(,)2233A B----A11(,)22A'-A B'则，当且仅当三点共线时等号成立，所以的最小值为与点的距离之和，结合图形，确定（当且仅当三点共线时等号成立）.四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15. 产品重量误差是检测产品包装线效能的重要指标.某食品加工厂为了检查一条新投入使用的全自动包装线的效能，随机抽取该包装线上的20件产品作为样本，并检测出样本中产品的重量（单位:克），重量的分组区间为.由此得到样本的频率分布直方图（如图），已知该产品标准重量为500克.（1）求直方图中的值；（2）若产品重量与标准重量之差的绝对值大于或等于5，即判定该产品包装不合格，在上述抽取的20件PA PB PA PB A B +=+≥=='',,A P B '()f x (,0)P x 1111(,(,)2233A B ----PA PB PA PB A B ++'=≥',,A P B '(485,490],(490,495],,(505,510] a产品中任取2件，求恰有一件合格产品的概率；（3）以样本的频率估计概率，若从该包装线上任取4件产品，设为重量超过500克的产品数量，求的数学期望和方差.【答案】（1）0.05；（2）；（3），.【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图中小矩形面积和为1求出的值.（2）求出抽取的20件产品中的不合格件数，再利用古典概率计算即得.（3）求出样本中，重量超过500克的产品数量及对应概率，利用二项分布的期望、方差公式计算得解.【小问1详解】依题意，，解得，所以直方图中的值是0.05.【小问2详解】样本中不合格产品数量为，记事件表示“在上述抽取的20件产品中任取2件，恰有一件合格产品”则，所以在上述抽取的20件产品中任取2件，恰有一件合格产品的概率为.小问3详解】根据该样本频率分布直方图，重量超过500克的产品数量为，则从包装线上任取一件产品，其重量超过500克的概率为所以，随机变量，因此，.16. 图1是由正方形ABCD 和两个正三角形组成的一个平面图形，其中，现将沿AD 折起使得平面平面，将沿CD 折起使得平面平面，连接EF ，BE ，BF ，如图2.【Y Y 4895652125a (0.010.060.070.01)51a ++++⨯=0.05a =a 20(0.010.060.01)58⨯++⨯=A 11812220C C 48()C 95P A ==489520(0.050.01)56⨯+⨯=632010=3~(4,)10Y B 36()4105E Y =⨯=3321()4(1)101025D Y =⨯⨯-=,ADE CDF △△2AB =ADE V ADE ⊥ABCD CDF CDF ⊥ABCD（1）求证:平面；（2）求平面与平面夹角的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取的中点，利用面面垂直的性质，结合平行四边形的性质、线面平行的判定推理即得.（2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用面面角的向量求法求解即得.【小问1详解】分别取棱的中点，连接，由是边长为2正三角形，得，又平面平面，平面平面，平面，则平面，同理平面，于是，即四边形为平行四边形，，而平面平面，所以平面.【小问2详解】//EF ABCD ADE BCF π6,CD AD ,O P O BCF ,CD AD ,O P ,,OF PE OP CDF ,OF CD OF ⊥=CDF ⊥ABCD CDF ⋂ABCD DC =OF ⊂CDF OF ⊥ABCD PE ⊥,ABCD PE =//,OF PE OF PE =OPEF //OP EF OP ⊂,ABCD EF ⊄ABCD //EF ABCD取棱的中点，连接，由四边形为正方形，得，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，设平面的一个法向量为，则，令，得，由，平面平面，平面平面平面，得平面，则为平面的一个法向量，设平面与平面的夹角为则，解得，所以平面与平面的夹角为.17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为，已知.（1）求证:；（2）若，求面积的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据两角和差的正弦公式、二倍角的余弦公式化简计算可得，结合诱导公式计算即可证明；（2）由（1）得且，根据正弦定理、三角形的面积公式和三角恒等变换化简可得，结合正切函数的性质即可求解.【小问1详解】，，，又，则，，AB Q OQ ABCD OQ CD ⊥O ,,OQ OC OF,,x y z (2,1,0),(0,1,0),(0,1,0)B C F D -(2,0,0),(0,CB CF ==-BCF (,,)n x y z = 200n CB x n CF y ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩1z =n =CD AD ⊥ADE ⊥ABCD ADE ,ABCD AD CD =⊂ABCD CD ⊥ADE (0,2,0)DC =ADE ADE BCF θ||cos |cos ,|||||DC n DC n DC n θ⋅=〈〉===π(0,]2θ∈π6θ=ADE BCF π6a b c ，，(1cos 2)(sin 1)cos sin 20C A A C -+-=π2B C =+ππ4,,86a C ⎛⎫=∈⎪⎝⎭ABC (4,2sin (sin cos )0C C B +=π22A C =-ππ64A <<4tan 2ABC S C = (1cos 2)(sin 1)cos sin 20C A A C -+-=sin 1cos 2sin cos 2cos sin 20A C A C A C +---=sin cos 21sin(2)0A C A C -+-+=πA CB +=-sin()cos 21sin()0BC C B C +-+--=2sin cos sin cos 12sin 1sin cos sin cos 0B C C B C B C C B +-++-+=，即，又，所以，即，又，所以；【小问2详解】由（1）知，，得，由，得，由正弦定理得，得，所以，又，所以，又在上单调递增，则，所以，即的面积我取值范围为.18. 已知椭圆的左焦点为，上顶点为，离心率，直线FB 过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线与椭圆相交于M ，N 两点（M 、N 都不在坐标轴上），若，求直线的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据给定条件，求出即得椭圆的标准方程.（2）根据给定条件，借助倾斜角的关系可得，设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理结合斜率的坐标公式求解即得.【小问1详解】22sin 2sin cos 0C C B +=2sin (sin cos )0C C B +=sin 0C >sin cos 0C B +=πcos sin cos()2B C C =-=+0π,0πB C <<<<π2B C =+π2B C =+πA B C ++=π22A C =-ππ86C <<ππ64A <<sin sin a c A C=sin sin 4sin πsin cos 2sin(2)2a C a C Cc A C C ===-2211sin π1sin 4sin 2sin 4sin()4cos 4tan 222cos 222cos 2cos 2ABC C C CS ac B C C C C C C==⨯⨯+=⨯⨯== ππ86C <<ππ243C <<tan y x =ππ(,22-tan 2C ∈4tan 2C ∈ABC (4,2222:1(0)x y E a b a b +=>>F B e =(1,2)P E F l E MPF NPF =∠∠l 2212x y +=550x y ++=,,a b c E 1MP NP k k ⋅=l令，由，得，则直线的斜率，由直线过点，得直线的方程为，因此所以椭圆的标准方程为.【小问2详解】设，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，由直线的斜率知直线的倾斜角为，于是，即有，显然均不等于，则，即直线的斜率满足，由题设知，直线的斜率不为0，设直线的方程为，由，消去x 并整理得，，显然，设，则，由，得，即，则，整理得，即，于是，而，解得，，所以直线的方程为，即.【点睛】关键点点睛：本题第2问，由，结合直线倾斜角及斜率的意义求得(,0)F c -c e a ==,a b c ==FB 1k =FB (1,2)P FB 1y x =+1,b c a ===C 2212x y +=MPF NPF θ∠=∠=MP βNP αFP 1k =FP π4ππ,44αθβθ=+=+π2αβ+=,αβπ2πsin()sin 2tan tan 1πcos cos()2αααβαα-=⋅=-,MP NP 1MP NP k k ⋅=l l 1,1x my m =-≠22122x my x y =-⎧⎨+=⎩22(2)210m y my +--=0∆>1122(,),(,)M x y N x y 12122221,22m y y y y m m +==-++1MP NP k k ⋅=121222111y y x x --⋅=--1212(1)(1)(2)(2)0x x y y -----=1212(2)(2)(2)(2)0my my y y -----=21212(1)(22)(0)m y y m y y ---+=2221(22)2022m m m m m --⋅--=++25410m m --=1m ≠15m =-l 115x y =--550x y ++=MPF NPF =∠∠是解题之关键.19. 已知.（1）判断在上的单调性；（2）已知正项数列满足.（i ）证明:；（ii ）若的前项和为，证明:.【答案】（1）单调递减；（2）（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，再判断时，导数值的正负即可得解.（2）（i ）利用（1）的结论，结合分析法可得，再利用分析法推理，构造函数借助导数确定单调性即可得；（ii ）利用（i ）的结论，借助放缩法及等比数列求和即得.【小问1详解】函数的定义域为，求导得，令，求导得，当时，，函数在上单调递减，则，即所以在上单调递减.【小问2详解】（i ）首先证明:，即证明，即证明，即证明，由及（1）知，，所以；要证明，即证，只需证，而，则只需证，，令，则，由，知，则，1MP NP k k ⋅=()(2)e x f x x x =--()f x (0,)+∞{}n a 1*1)1,e e 1(n n a a n a a n +=⋅=-∈N *112()n n n a a a n ++<<∈N {}n a n n S *112()2n n S n -≥-∈N ()f x 0x >1n n a a +<12n n a a +<()f x R ()(1)e 1x f x x '=--()(1)e 1x g x x =--()e x g x x '=-,()0x ∈+∞()0g x '<()g x (0,)+∞()(0)g x g <()0f x '<()f x (0,)+∞1n n a a +<1ee n na a +<e 1e n na a na -<(1e 10)n a n a --<0n a >((1)e 0)1n an n g a a =--<1n n a a +<12n n a a +<112n n a a +<112e e n n a a n n a a +<1*e e 1()n n a a n a n +⋅=-∈N 12e e 1n n aa na ⋅<-12e n a t =2ln n a t =111,n n a a a +=<01n a <≤t ∈只需证，即证，令，求导得，于是函数在上单调递减，，即，因此，所以.（ii ）由（i ）可知，，则当且时，，当时，，所以.【点睛】思路点睛：数列是一类特殊的函数某些数列问题，，准确构造相应的函数，借助函数导数研究其单调性是解题的关键，背景函数的条件，应紧扣题中的限制条件.22ln 1t t t ⋅<-12ln ,t t t t<-∈1()2ln (),h t t t t t =--∈222222121(1)()10t t t h t t t t t-+--'=--==-<()ht t ∈()(1)0h t h <=12ln t t t<-12n n a a +<112n n n a a a ++<<1213243231111111,,,222222a a a a a a a =>=>>>>541411111,,2222n n n a a a a -->>>> 2n ≥*n ∈N 1232111111112*********n n nn n S a a a a ---=++++>++++==-- 1n =11S =*112()2n n S n -≥-∈N。

山东省2023届高考考前押题卷数学试题(含解析)

山东省2023届高考考前押题卷数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A ．290mB ．420.25mC ．490m 5．定义两个向量u 与v 的向量积u v ⨯是一个向量，它的模方向与u 和v同时垂直，且以,,u v n 的顺序符合右手法则（如图）体ABCD 中，则()AB AD AC ⨯⋅=（）A ．42B ．46．已知5458<，设4log 5,a =A ．a c b >>C ．c b a>>A ．8081-B ．1698．已知非零数列{}123,n n n a b a a a a =⋅⋅ ()12n n n a b ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-⋅⎪⎪⎩⎭的前2023项的和为（）A ．12-二、多选题9．甲、乙两人6次模拟考试英语成绩（不含听力）的统计折线图如下图所示，下列说A．若甲、乙两组成绩的平均数分别为B．若甲、乙两组成绩的方差分别为C．甲成绩的中位数大于乙成绩的第三四分位数D．甲成绩的极差大于乙成绩的极差三、填空题15．设20a b >>，则()2212a ab a a b ++-的最小值为16．已知12,F F 分别为双曲线22221(0,x y a b a b -=>>直线与双曲线的右支交于,A B 两点，记AF F △的内切圆半径为(1)证明：GC //平面EDB ；(2)若ACG 为等边三角形，点求sin α的最小值．21．已知圆22:4,O x y O +=为坐标原点，点以L 为准线的拋物线恒过点F 为S ．参考答案：【详解】，sin,=⋅⋅AB AD AB ADABD的中心为O，连接COAB，AD⊂平面ABD，故223⨯⨯=，OC=AB【详解】选项，取1CD BB 、的中点分别为对于B 选项，取11B C 中点T ,把直线BET △中，213,BE BT TE ==5252425cos 25226TBE +-∠==⨯，故选项对于C 选项，当球与直四棱柱的上底面和当球与直四棱柱的下底面和4对于D 选项，设四边形1111D C B A 内切圆半径为1111314416,22A B C D S r r =⨯⨯=⨯⨯=由题可知在直四棱柱11ABCD A B C -心P ,如图建系，()(10,0,33,0,2,0P A 此时两球心的距离为31，【详解】由图可知：AB DE FG IJ JK=====AQC，∴30ACB∠=︒，∴BC十三边形的面积为316832⨯=．:83由122AF AF a -=，即1AM F +得122F M F N a -=，即1F E F -记C 点的横坐标为0x ，则(0,0E x 则()002x c c x a +--=，得0x a =（2）设底面圆的圆心为O ，过以O 为坐标原点，,,OA ON OG ()()(0,0,0,1,3,0,1,O B D --因为34AE AG =，所以由34AE =设()2π2cos ,2sin ,003F θθθ⎛≤≤ ⎝设平面BDE 的一个法向量为n ()30,23,0,,3,2DB BE ⎛==- ⎝ ∴2303333022y x y z ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩，所以可取23cos -4（2）设点()00,P x y ，过点P 的直线的斜率为联立方程组()002244y y k x x x y ⎧-=-⎨+=⎩，消y【点睛】关键点点睛：第二问，设切线方程，联立椭圆方程并整理，根据切线与椭圆的位置关系有Δ0=得到关于切线斜率的一元二次方程，求出直线的方程，利用根与系数的关系得到AB 12,d d ，则()1212PAOB S AB d d =+四边形，结合22．(1)1a <1x ∴>时，()()('0,h x p x h =<在1x =处取得极大值也是最大值存在两条切线重合等价于y =（2）因为12a =，由（1）知，取令()()'22ln 1,e x x x x ϕϕ=--当()0,e x ∈ 时，()'0,x ϕϕ<。

数学--山东省菏泽市2023届高三第一次模拟考试

保密★启用前2023年高三一模考试数学试题2023.2注意事项：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必将姓名､考生号等个人信息填写在答题卡指定位置.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}220A x x x =--<∣，则R A =ð（）A.{12}xx -<<∣ B.{}12xx -≤≤∣C.{1}{2}xx x x <-⋃>∣∣ D.{}{}12xx x x ≤-⋃≥∣∣2.设()i 2i z =-，则z =（）A.12i+ B.12i-+ C.12i- D.12i--3.2020年12月17日凌晨1时59分，嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆，这是我国首次实现了地外天体采样返回，标志着中国航天向前又迈出了一大步.月球距离地球约38万千米，有人说：在理想状态下，若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折n 次其厚度就可以超过地球到达月球的距离，那么至少对折的次数n 为（）()lg20.3,lg3.80.6-=A.40B.41C.42D.434.如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且,,,A B C D 四个顶点在同一平面内，下列结论：①AE ∥平面CDF ；②平面ABE ∥平面CDF ；③AB AD ⊥；④平面ACE ⊥平面BDF ，正确命题的个数为（）A.1B.2C.3D.45.过抛物线2:4C y x =焦点F 作倾斜角为30 的直线交抛物线于,A B ，则AB =（）A.13B.23C.1D.166.为了迎接“第32届菏泽国际牡丹文化旅游节”，某宣传团体的六名工作人员需要制作宣传海报，每人承担一项工作，现需要一名总负责，两名美工，三名文案，但甲，乙不参与美工，丙不能书写文案，则不同的分工方法种数为（）A.9种B.11种C.15种D.30种7.设实数,x y 满足1,0,0x y y x +=>≠，则2xx y+的最小值为（）A.2B.2+1-1+8.定义在实数集R 上的函数()y f x =，如果0x R ∃∈，使得()00f x x =，则称0x 为函数()f x 的不动点.给定函数()()cos ,sin f x x g x x ==，已知函数()()()()(),,f x f g x g f x 在()0,1上均存在唯一不动点，分别记为123,,x x x ，则（）A.312x x x >> B.231x x x >>C.213x x x >> D.321x x x >>二､多选题：共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.为了解学生的身体状况，某校随机抽取了100名学生测量体重，经统计，这些学生的体重数据（单位：千克）全部介于45至70之间，将数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则下列命题正确的有（）A.频率分布直方图中a 的值为0.04B.这100名学生中体重不低于60千克的人数为20C.这100名学生体重的众数约为52.5D.据此可以估计该校学生体重的75%分位数约为61.2510.已知圆22:4O x y +=，下列说法正确有（）A.对于m R ∀∈，直线()()211740m x m y m +++--=与圆O 都有两个公共点B.圆O与动圆22:()()4C x k y -+=有四条公切线的充要条件是2k >C.过直线40x y +-=上任意一点P 作圆O 的两条切线,PA PB （,A B 为切点），则四边形PAOB 的面积的最小值为4D.圆O 上存在三点到直线20x y +-=距离均为111.已知函数()()*sin cos nnn f x x x n N=+∈，下列命题正确的有（）A.()12f x 在区间[]0,π上有3个零点B.要得到()12f x的图象，可将函数y x =图象上的所有点向右平移8π个单位长度C.()4f x 的周期为2π，最大值为1D.()3f x 的值域为[]2,2-12.已知双曲线22:13y E x -=的左､右焦点分别为12F F ､，过点C ⎛ ⎝⎭的直线l 与双曲线E 的左､右两支分别交于P Q ､两点，下列命题正确的有（）A.当点C 为线段PQ 的中点时，直线lB.若()1,0A -，则222QF A QAF ∠∠=C.212||PF PF PO ⋅>D.若直线l的斜率为(B ，则11PF QF PB QB +=+三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知夹角为60的非零向量,a b 满足2a b = ，()2a tb b -⊥ ，则t =__________.14.定义在R 上的函数()(),f x g x ，满足()23f x +为偶函数，()51g x +-为奇函数，若()()113f g +=，则()()59f g -=__________.15.设,x y 均为非零实数，且满足sincos955tan 20cos sin 55x y x y πππππ+=-，则y x =__________.16.正三棱锥P ABC -的高为,PO M 为PO 中点，过AM 作与棱BC 平行的平面，将三棱锥分为上下两部分，设上､下两部分的体积分别为12V V ､，则12V V =__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（10分）如图，在平面四边形ABCD 中，(0),1ABC AB BC CD ∠θθπ=<<===，AC CD ⊥.（1）试用θ表示BD 的长；（2）求22AC BD +的最大值.18.（12分）为了促进学生德､智､体､美､劳全面发展，某校成立了生物科技小组，在同一块试验田内交替种植A ､B ､C 三种农作物（该试验田每次只能种植一种农作物），为了保持土壤肥度，每种农作物都不连续种植，共种植三次.在每次种植A 后会有13的可能性种植2,3B 的可能性种植C ；在每次种植B 的前提下再种植A 的概率为14，种植C 的概率为34，在每次种植C 的前提下再种植A 的概率为25，种植B 的概率为35.（1）在第一次种植B 的前提下，求第三次种植A 的概率；（2）在第一次种植A 的前提下，求种植A 作物次数X 的分布列及期望；19.（12分）如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -中，,,2,3AD CD AD BC AD CD BC ⊥===∥，11A C 与11B D 交于,E G 为棱1BB 上一点，且13BB BG =，点1C 到平面1A BD.（1）判断AG 是否在平面1AED 内，并说明理由；（2）求平面1AD E 与平面11AA D 所成角的余弦值.20.（12分）已知首项不为0的等差数列{}n a ，公差0,0t d a ≠=（t 为给定常数），n S 为数列{}n a 前n 项和，且(){}1212,m m n S S m m b =<为21m m -所有可能取值由小到大组成的数列.（1）求n b ；（2）设()()121(1),11nn n n n n c T b b ++=-++为数列{}n c 的前n 项和，证明：216n T ≤-.21.（12分）已知函数()22xf x me x x =--+.（1）若函数()f x 在R 上单调递增，求m 的取值范围；（2）若0m <，且()f x 有两个零点12,x x ，证明：1233mx x -<+.22.（12分）如图，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦点分别为())12,,F F A 为椭圆C 上一点，12F AF.（1）求椭圆C 的方程；（2）若B D ､分别为椭圆C 的上､下顶点，不垂直坐标轴的直线l 交椭圆C 于P Q ､（P 在上方，Q 在下方，且均不与,B D 点重合）两点，直线,PB QD 的斜率分别为12,k k ，且213k k =-，求PBQ 面积的最大值.2023.02高三一模数学参考答案一､单选题题号12345678答案DCDDACAC二､多选题题号9101112答案ACDBCBCBCD三､填空题13.214.115.116.421四､解答题17.解：因为ABC θ∠=（0θπ<<），1AB BC CD ===，AC CD ⊥，所以,22BCA πθ∠=-(,22222BCD BCA πππθθπ∠=+∠=+-=-在BCD ∆中，2222cos 22cos ,2BD BC CD BC CD BCD θ=+-∠=+（1）所以2cos ;4BD θ==（2）在ABC ∆中，2222cos 22cos ,AC AB BC AB BC ABC θ=+-∠=- 22222cos 22cos4cos 2cos6,222AC BD θθθθ-++=-+++=因为0θπ<<，所以0cos1,2θ<<当1cos24θ=时，取到最大值254.故22AC BD +的最大值是25.4-18.解：设i A ，i B ，i C 表示第i 次种植作物A ，B ，C 的事件，其中1i =，2，3.（1）在第一次种植B 的情况下，第三次种植A 的概率为32132()(|)(|)P A P C B P A C =3234510=⨯=；（2）由已知条件，在第1次种植A 的前提下：21()3P B =，321(|)4P A B =，323(|)4P C B =，22()3P C =，322(|)5P A C =，323(|)5P B C =，因为第一次必种植A ，则随机变量X 的可能取值为1，2，-2323322322323113(1)()()(|)()(|)()534320P X P C B P B C P B C P C P C B P B ==+=⋅+⋅=⨯+⨯=，232332232222117(2)()()(|)()(|)()534320P X P C A P B A P A C P C P A B P B ==+=⋅+⋅=⨯+⨯=，所以X 的分布列为：X 12P132072013727()12202020E X =⨯+⨯=.19.解：以A 为坐标原点，过A 作与AD 垂直的直线为x 轴，1,AD AA 所在的直线分别为y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设直四棱锥的高为m ，则()()0,2,0,2,1,0D B -，x()()112,2,,0,0,C m A m ，()12,1,A B m =- ，()112,2,0A C = ，()10,2,A D m =-，设平面1A BD 的一个法向量为()1111,,n x y z =，则111100n A B n A D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即111112020x y mz y mz --=⎧⎨-=⎩取()13,2,4n m m = .-所以点1C 到平面1A BD 的距离为1111n AC d n ⋅===令2m =.（1）设平面11AB D 的一个法向量为()2222,,n x y z =，由()12,1,2AB =- ，()10,2,2AD =，则212100n AB n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即222222+202+20x y z y z -=⎧⎨=⎩，取()23,2,2n =-- ，而22,1,3AG ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()()()222023+12+2=033AG n ⋅=⨯--⨯-⨯-≠ ，又1AB 与AE ，1AD 共面，故直线AG 不在平面1AED 内.说明：能判定正确的得一分，用不同的方法说明理由，只要正确，该问即可满分.（2）依（1）知平面1AED 的一个法向量为()23,2,2n =--，易知平面11AA D 的一个法向量为()31,0,0n =，设二面角11E AD A --的平面角为α，则1212cos n n n n α⋅=== 11E AD A --.20.解（1）由题意得，1(1)0t a a t d =+-=，得1(1),,a t d =-①由1212()m m S S m m =<，得112212(1)(1),,22m m m m m a d m a d --+=+②由①②，可得1221,m m t +=-且1121221,1,m m m t m t <+=-≤≤-所以1-由211221m m m t -=-+-，当111,m m t ≤≤-在1范围内取值时21m m -的所有取值为：23,25,.....,5,3,1.t t --所以21(1);6n b n n t =-≤≤------1分（说明：直接写出：由题意得21,n b n =-或由题意得21,n b n =-或由题意得21m m -得21m m -的所有取值为：1,3,5,7,.....得以21n b n =-的给.）（2）12121111(1)(1)(1),(1)(1)4(1)41nn n n n n n n c b b n n n n +++⎛⎫=-=-=-+ ⎪++++⎝⎭所以11111111111....1,41223212221421n T n n n n n ⎛⎫⎛⎫=--++---+=- ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭由于111421(1)n n t T n ⎛⎫=- ⎪+⎝≤≤-⎭1是递减的，所以11111.4216n T T ⎛⎫≤=-⎪⎭=- +⎝-21.解：（1）函数()f x 在R 上单调递增，因此'()210x f x me x =--≥，21xx m e+≥，记21()x x g x e +=，则12'()0x x g x e -==，得12x =.当12x <时，函数()g x 单调递增；当12x >时，函数单调递减，所以()g x 在12x =处取最大值122e -，因此122m e -≥；（2）不妨设12x x <，由121120x me x x --+=，222220x me x x --+=，即12,x x 为方程22xx x m e+-=的两根，由0m <，所以12,(2,1)x x ∈-，记22()x x x h x e +-=（21x -<<），则23'()0x x x h x e -++==，得x =()h x在⎛- ⎝⎭上单调递减，在⎫⎪⎪⎝⎭上单调递增，()h x 在2x =-处的切线方程为23(2)y e x =-+，记21()3(2)h x e x =-+（21x -<<），则1()h x 单调递减，则1()()h x h x -=22xx x e +-+223(2)(2)(31)0x x e x e x e x -++=++->，即()h x 1()h x >，()h x 过(1,0)处的切线方程为(1)y e x =-，记2()(1)h x e x =-（21x -<<），则2()h x 单调递增；又2()()h x h x -=22xx x e+--1(1)(1)(2)0x x e x e x e x -+-=---≥，即()h x 2()h x >，记y m =与1()y h x =和2()y h x =的交点横坐标分别为34,x x ，则113()()h x m h x ==，3223mx e =--，由1()h x 11()h x >，1()h x 单调递减，所以13x x >，224()()h x m h x ==，41mx e=+，由2()h x 22()h x >，2()h x 单调递增，所以24x x <，122143233m m x x x x x x e e -=-<-=++21111333327m m e e ⎛⎫⎛⎫=++<++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭33m <+.22.解：（1）1212F AF S b ∆=⋅=1b =2a ==，故椭圆的方程为2214x y +=；-（2）依题意设直线PQ 的方程为y kx m =+，()()1122,,,P x y Q x y ，联立方程组2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消元得：()222148440k x kmx m +++-=，2121222844,1414km m x x x x k k-∴ +=- = ++，()()()222222644144416140k m k m k m ∆=-+-=+->，-由213k k =-得：2121113y y x x +-=-⋅，两边同乘1x ，()()211221211111133=34141y y y x x x y y +--=-⋅-⋅=+-，即()()12123411+0x x y y -+=；-将1122,y kx m y kx m =+ =+代入上式得：()()()()()()()()()()()12121212221212222223411+341+1344141448=344141=0,1414x x y y x x kx m kx m k x x k m x x m m km k k m m k k -+=-+++=--++-+-⎛⎫--+--+ ⎪++⎝⎭整理得：220m m --=所以2m =或1m =-（舍），12112PQBS x x ∆=⋅⋅-===-1,2=≤当k =PQB 面积的最大值为12.。

山东省临沂市2024届高三下学期5月高考模拟考试(二模)数学试题

山东省临沂市2024届高三下学期5月高考模拟考试（二模）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知i 为虚数单位，()211i i 22z -⋅=+，则z =（）A ．14B ．12C ．4D ．22．若2Z08x A x x ⎧⎫-=∈≤⎨⎬-⎩⎭，{}5log 1B x x =<，则A B ⋂的元素个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．33．一组数据按从小到大的顺序排列为1,4,,12,14,21m ，若该组数据的中位数是极差25，则该组数据的第45百分位数是（）A ．4B ．6C ．8D ．124．若有2名女生和4名男生到“山东旅发”大会的两个志愿服务站参加服务活动，分配时每个服务站均要求既有女生又有男生，则不同的分配方案种数为（）A ．16B ．20C ．28D ．405．已知函数()()sin 2f x x ϕ=+（π2ϕ<）图象的一个对称中心为π,06⎛⎫⎪⎝⎭，则（）A ．()f x 在区间ππ,83⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增B ．5π6x =是()f x 图象的一条对称轴C ．()f x 在ππ,64⎡⎤-⎢⎣⎦上的值域为⎡-⎢⎣⎦D ．将()f x 图象上的所有点向左平移5π12个长度单位后，得到的函数图象关于y 轴对称6．若实数a ，b ，c 满足π2sin 12a =，37b =，310c =，则（）A ．a b c<<B ．b<c<aC ．a c b<<D ．b a c<<7．已知正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为1CC ，1C D 的中点，则（）A ．直线MN 与1ACB ．平面BMN 与平面11BCD C ．在1BC 上存在点Q ，使得11B Q BD ⊥D ．在1B D 上存在点P ，使得//PA 平面BMN8．椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆上第一象限内的一点，且12PF PF ⊥，1PF 与y 轴相交于点Q，离心率e =11QF PF λ= ，则λ=（）A ．38B ．58C ．13D ．23二、多选题9．已知{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，则下列命题为真命题的是（）A ．若349a a +=，7818a a +=，则125a a +=B ．若2134a a +=，则1428S =C ．若150S <，则78S S >D ．若{}n a 和{}1n n a a +⋅都为递增数列，则0n a >10．设()11,A x y ，()22,B x y 是抛物线C ：28x y =上两个不同的点，以A ，B 为切点的切线交于点()00,P x y .若弦AB 过焦点F ，则（）A ．1202x x x +=B ．若PA 的方程为210x y --=，则24x =-C ．点P 始终满足0PA PB ⋅=D ．PAB 面积的最小值为1611．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()132024f x f x f +++=，()()2f x f x -=+，且1124f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A ．()f x 的最小正周期为4B ．()20f =C ．函数()1f x -是奇函数D ．20241120242k k f k =⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭∑三、填空题12．()73111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中2x 项的系数为.13．若直线1y ax =+与曲线ln y b x =+相切，则ab 的取值范围为.14．根据统计数据，某种植物感染病毒之后，其存活日数X 满足：对于任意的*n ∈N ，1X n =+的样本在X n >的样本里的数量占比与1X =的样本在全体样本中的数量占比相同，均等于15，即()()1115P X n X n P X =+>===，则()P X n >=，设()n a nP X n ==，{}n a 的前n 项和为n S ，则n S =.四、解答题15．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知()cos sin cos cos c A B B C c C -=-．(1)求C ；(2)若点D 在线段AB 上，且2BD DA =，求22225CD a b +的最大值.16．“赶大集”出圈彰显了传统民俗的独特魅力.为了解年轻人对“赶大集”的态度，随机调查了200位年轻人，得到的统计数据如下面的不完整的2×2列联表所示（单位：人）.非常喜欢感觉一般合计男性3t100女性t 合计60(1)求t 的值，试根据小概率0.01α=的独立性检验，能否认为年轻人对“赶大集”的态度与性别有关；(2)从样本中筛选出5名男性和3名女性共8人作为代表，这8名代表中有2名男性和2名女性非常喜欢“赶大集”.现从这8名代表中任选3名男性和2名女性进一步交流，记X 为这5人中非常喜欢“赶大集”的人数，求X 的分布列及数学期望()E X .参考公式：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.α0.10.050.01…x α2.7063.8416.635…17．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒，BD ∥平面AMHN ，点M ，N ，H 分别在棱PB ，PD ，PC 上，且MN PC ⊥．(1)证明：PB PD =；(2)若H 为PC 的中点，PA PC =，PA 与平面PBD 所成角为60°，四棱锥P ABCD -被平面AMHN 截为两部分，记四棱锥P AMHN -体积为1V ，另一部分体积为2V ，求12V V .18．已知向量()0,1a =，()1,0b = ，点()1,0P ，()1,0Q -，直线PD ，QD 的方向向量分别为2a b λ+ ，2a b λ+ ，其中λ∈R ，记动点D 的轨迹为E .(1)求E 的方程；(2)直线l 与E 相交于A ，B 两点，（i ）若l 过原点，点C 为E 上异于A ，B 的一点，且直线AC ，BC 的斜率AC k ，BC k 均存在，求证：AC BC k k ⋅为定值；（ii ）若l 与圆O ：222x y r +=相切，点N 为AB 的中点，且2AB ON =，试确定圆O 的半径r .19．已知函数()()()ln 1e xf x ax a x =+--.(1)当1a =时，求证：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()02f x <-；(2)若()f x 存在两个零点，记较小的零点为1x ，t 是关于x 的方程()1ln 132cos x ax x ++=+的根，证明：1e 12e x t +>.参考答案：1．B【分析】借助复数的四则运算及复数模长计算公式计算即可得.【详解】()()()211i 11i 122i 212i 14i 4i i 4441i z ⨯======+⨯----⨯-，则1i 44z =--，故12z =.故选：B.2．C【分析】分别确定集合,A B ，再求交集.【详解】根据题意，可得集合{Z |2A x x =∈≤或8}x >，{}05B x x =<<，则{}1,2⋂=A B ，所以A B ⋂的元素个数为2个.故选：C 3．A【分析】根据题干中该组数据极差和中位数的关系列方程求出m ，然后根据百分位数的定义求解即可.【详解】根据中位数的定义，该组数据的中位数是122m +，根据极差的定义，该组数据的极差是21120-=，依题意得，1222025m +=⨯，解得4m =，60.45 2.7Ζ⨯=∉，根据百分位数的定义，该组数据的第45百分位数是从小到大排列的第3个数，即4.故选：A 4．C【分析】先分组后分配，分组时分一组2人一组4人和每组各3人两种情况.【详解】第一步，先分组，分为一组2人，另一组4人，有1124C C 8=种；分为每组各3人，有122422C C 6A =种，分组方法共有14种.第二步，将两组志愿者分配到两个服务站共有22A 2=种.所以，总的分配方案有14228⨯=种.故选：C 5．D【分析】借助整体代入法结合正弦函数的性质可得A 、B ；结合正弦函数最值可得C ；得到平移后的函数解析式后借助诱导公式即可得D.【详解】由题意可得()π2π6k k ϕ⨯+=∈Z ，解得()ππ3k k ϕ=-+∈Z ，又π2ϕ<，故π3ϕ=-，即()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；对A ：当ππ,83x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π7ππ2,3123x ⎡⎤-∈-⎢⎣⎦，由函数sin y x =在7ππ,123⎡⎤-⎢⎣⎦上不为单调递增，故()f x 在区间ππ,83⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上不为单调递增，故A 错误；对B ：当5π6x =时，π4π233x -=，由4π3x =不是函数sin y x =的对称轴，故5π6x =不是()f x 图象的对称轴，故B 错误；对C ：当ππ,64x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π2ππ2336x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，则()11,2f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，故C 错误；对D ：将()f x 图象上的所有点向左平移5π12个长度单位后，可得5πππsin 22sin 2cos 21232y x x x ⎛⎫⎛⎫=+⨯=+= ⎪⎝⎭⎝⎭，该函数关于y 轴对称，故D 正确.故选：D.6．A【分析】首先判断1a <，12b <<，且3log 10c =，根据对数函数的性质可得2>c ，即可判断.【详解】因为ππ2sin2sin 1126a =<=，又37b =，则b =12<<=，即12b <<，因为310c =，所以33log 10log 92c =>=，所以c b a >>.故选：A 7．C【分析】以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的边长为1，由空间向量计算异面直线所成角，二面角和线线垂直可判断ABC ；由,,,N M B A 四点共面，而A ∈平面BMN 可判断D.【详解】以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的边长为1，所以()()()()1,0,0,0,0,0,1,1,0,0,1,0A D B C ，()()()()11111,0,1,0,0,1,1,1,1,0,1,1A D B C ，1110,1,,0,,222M N ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，对于A ，10,,02MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()11,1,1AC =-- ，直线MN 与1AC所成角的余弦值为11112cos ,MN A C MN A C MN A C⋅= ，故A 错误；对于B ，10,,02MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，11,0,2BM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，设平面BMN 的法向量为(),,n x y z = ，则102102n MN y n BM x z ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩，取1x =，可得0,2y z ==，所以()1,0,2n =，()110,1,0C D =-，()11,0,1BC =- ，设平面11BC D 的法向量为()111,,m x y z = ，则1111110n C D y n BC x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，取11x =，可得110,1y z ==，所以()1,0,1m =，平面BMN 与平面11BC D夹角的余弦值为：cos ,m nm n m n ⋅=⋅，故B 错误；对于C ，因为Q 在1BC 上，设()00,1,Q x z ，所以11C Q C B λ=，01λ≥≤，则()()1001,0,1,1,0,1C Q x z C B =-=-，所以00,1x z λλ==-+，所以(),1,1Q λλ-+，()()111,0,,1,1,1B Q BD λλ=--=--，所以1110B Q BD λλ⋅=--= ，解得：12λ=.故1BC 上存在点11,1,22Q ⎛⎫⎪⎝⎭，使得11B Q BD ⊥，故C 正确；对于D ，因为////MN DC AB ，所以,,,N M B A 四点共面，而A ∈平面BMN ，所以1B D 上不存在点P ，使得//PA 平面BMN ，故D 错误.故选：C.【点睛】8．B【分析】设1PF m =、2PF n = ，结合椭圆定义及离心率可用c 表示1PF 、2PF ，结合勾股定理计算即可得解.【详解】设1PF m = 、2PF n = ，则有2224m n c +=，225m n a c +===，则()22223625m n m n mn c +=++=，即22236162455mn c c c =-=，则()2222221642455m n m n mn c c c -=+-=-=，即5m n -=，即552m ==，332n +==，则11QF PF m c λλ=== ，由12QF QF = ，则有22225555c c c λλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，整理得85λ=，即58λ=.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助椭圆定义及离心率，用c 表示1PF 、2PF ，再借助λ表示出2QF ，结合勾股定理计算即可得解.9．BC【分析】根据题意，求得98d =，结合()12344a a a a d +=+-，可判定A 错误；根据数列的求和公式和等差数列的性质，可判定B 正确；由150S <，求得80a <，可判定C 正确；根据题意，求得任意的2,0n n a ≥>，结合1a 的正负不确定，可判定D 错误．【详解】对于A 中，由349a a +=，7818a a +=，可得()()378489a a d a a ++-==，所以98d =，又由()12349949482a a a a d +=+-=-⨯，所以A 错误；对于B 中，由()()1142131414142822a a a a S ++===，所以B 正确；对于C 中，由11515815()1502a a S a +==<，所以80a <，又因为8780S S a -=<，则78S S >，所以C 正确；对于D 中，因为{}n a 为递增数列，可得公差0d >，因为{}1n n a a +为递增数列，可得211120n n n n n a a a a a d ++++⋅-=>，所以对任意的2,0n n a ≥>，但1a 的正负不确定，所以D 错误．故选：BC.10．ACD【分析】由导数的几何意义，求得可得A 处的切线方程，得出直线,AP BP 的方程，联立两直线方程可判定A ；根据已知和A 选项可得12x =，再设直线:2pAB y kx =+，联立方程组，根据根与系数的关系可求2x ，根据1PA PB k k ⋅=-，可判定B 错误，C 正确；取AB 的中点H ，化简得到PAB 的面积，可判定D 正确.【详解】依题意设()11,A x y ，()22,B x y ，由方程28x y =，可得218y x =，则14y x '=，由导数的几何意义知，直线AP 的斜率为114AP k x =，同理直线BP 的斜率为214BP k x =，可得A 处的切线方程为：()11114y y x x x -=-，即()2111184x y x x x -=-，化简可得21148x x y x =-，所以直线AP 的方程为21148x x y x =-，同理可得：直线BP 的方程为22248x x y x =-，联立两直线方程得，2211224848x x x x x x -=-，则()2212121488x x x x x -=-，因为12x x ≠，解得122x xx +=，128x x y =，即1202x x x +=，所以A 正确；若PA 的方程为210x y --=，根据直线AP 的方程为21148x x y x =-，可得12x =，设直线:2AB y kx =+，联立方程组228y kx x y=+⎧⎨=⎩，整理得28160x kx --=，则()22Δ(8)646410k k =-+=+>，且128x x k +=，1216x x =-，所以28x =-，02y =-，所以B 错误；因为21221PA PB x x p k k p p p-⋅=⋅==-，所以0PA PB ⋅= ，故C 正确；取AB 的中点H ，连接PH ，根据中点坐标公式得1212,22x x y y H ++⎛⎫⎝⎭，从而PH 平行y 轴，由前可知12,22x x P +⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以221212121212111882222222x x y y S PH x x x x x x ⎛⎫+ ⎪+⎛⎫=⋅-=+⋅-=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭22121212216x x x x ⎛⎫+=+⋅- ⎪⎝⎭因为128x x k +=，1216x x =-，所以()222212121226432x x x x x x k +=+-=+，12x x -==代入可得()()23222811643221612164k k S k +⎛⎫+=+⋅==+ ⎪⎝⎭，当0k =时，min 16S=，所以D 正确.故选：ACD【点睛】方法点睛：与圆锥曲线有关的最值问题的两种解法：（1）数形结合法：根据待求值的几何意义，充分利用平面图形的几何性质求解；（2）构建函数法：先引入变量，构建以待求量为因变量的函数，再求其最值，常用基本不等式或导数法求最值（注意：有时需先换元后再求最值）．11．AB【分析】据题意，通过赋值得到()()()22024f x f x f ++=，()()()242024f x f x f +++=，即可判断A ；令2021x =，可求出()20220f =，由周期性可判断B ；令0x =，得到()00f =，由周期性()20240f =，可证明()f x 是奇函数，假设函数()1f x -是奇函数，推出矛盾，判断C ；由周期性及对称性可计算D.【详解】对于A ，因为()()()132024f x f x f +++=，所以()()()22024f x f x f ++=，()()()242024f x f x f +++=，所以()()4f x f x +=，故()f x 的最小正周期为4，A 正确；对于B ，因为()()()132024f x f x f +++=，令2021x =，则()()()202220242024f f f +=，所以()20220f =，由A 可知，()()()20224505220f f f =⨯+==，故B 正确；对于C ，因为()()2f x f x -=+，①令0x =，则()()020f f ==，所以()()()2024450600f f f =⨯==，所以()()()220240f x f x f ++==，②由①②，所以()()0f x f x +-=，即()()f x f x -=-，故()f x 为奇函数，若函数()1f x -是奇函数，则()()11f x f x --=--，所以()()()111f x f x f x ⎡⎤--=-+=-+⎣⎦，即()()11f x f x -=+，所以()()()()21111f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤+=++=+-=⎣⎦⎣⎦，所以()f x 的最小正周期为2，与选项A 矛盾，故C 错误；对于D ，因为()f x 为奇函数，且1124f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以1124f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，又因为()f x 的最小正周期为4，所以711224f f ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()()2f x f x -=+所以311122224f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，53312224f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以4111357123422222k k f k f f f f =⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅-=⨯+⨯+⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑1111123414444⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯-+⨯-=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭，8519111315567822222k k f k f f f f =⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅-=⨯+⨯+⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑135756782222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111567814444⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯-+⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，以此类推，所以()20241150615062k k f k =⎛⎫⋅-=⨯-=- ⎪⎝⎭∑，故D 错误.故选：AB【点睛】方法点睛：本题以抽象函数为载体综合考查函数的性质，关键是根据已知条件判断出的周期.以下是抽象函数周期性质的一些总结，可以适当总结记忆：设函数()y f x =x ∈R ，0,a a b>≠（1）若()()f x a f x a +=-，则函数()f x 的周期为2a ；（2）若()()f x a f x +=-，则函数()f x 的周期为2a ；（3）若()()1f x a f x +=，则函数()f x 的周期为2a ；（4）若()()1f x a f x +=-，则函数()f x 的周期为2a ；（5）若()()f x a f x b +=+，则函数()f x 的周期为a b -.12．42【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可得.【详解】对()71x +，有17C r r r T x +=，则有()225525222277777311C C C C 2C 42x x x x x x ⨯+⨯=+==.故答案为：42.13．31,e ∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭【分析】利用导数求切点坐标，再由切点在直线上可得2ln b a =+，则()2ln 0ab a a a a =+>，构造()2ln g a a a a =+并研究单调性，进而求值域即可.【详解】函数ln y b x =+的导数为1y x '=，设切点为()00,1x ax +，所以01a x =，则01ax =，即01x a=又因为()00,1x ax +在ln y b x =+上，所以001ln ax b x +=+，所以0ln 2b x +=，即ln 2b a -=，所以2ln b a =+，所以()()2ln 2ln 0ab a a a a a a =+=+>，令()2ln g a a a a =+，1()2ln ln 3g a a a a a =++⋅=+'，令()0g a '>，可得31ea >，令()0g a '<，可得310e a <<，所以()g a 在310,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在31,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以min 33333331211231()ln e e ee e e e g a g ⎛⎫==+=-=- ⎪⎝⎭.当a 趋近正无穷时，()g a 趋近正无穷.所以ab 的取值范围为：31,e ∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭.故答案为：31,e ∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭.14．45n ⎛⎫ ⎪⎝⎭()4555nn ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭【分析】根据条件概率的计算以及递推法可得(1)4(2)()5P X n n P X n =+=≥=，根据等比数列的定义可得114()55n P X n -⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭，即可求解空1，根据错位相减法即可求解空2．【详解】()()1115P X n X n P X =+>===，因为(1)1(1|)()5P X n P X n X n P X n =+=+>=>，所以1(1)()5P X n X n =+=>，将n 换成n 1-，此时1()(1)5P X n P X n ==>-，两式相减可得()()()1111(1)()555P X n P X n P X n P X n P X n =-=+=>-->==，即(1)4(2)()5P X n n P X n =+=≥=，又114(2)(1)(1(1))(1)555P X P X P X P X ==>=⨯-===，所以(1)4()5P X n P X n =+==对任意*N n ∈都成立，此时{()}P X n =是首项为15，公比为45的等比数列，所以114()55n P X n -⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭，故144()5(1)5555n n P X n P X n ⎛⎫⎛⎫>==+=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()11455n n a nP X n n -⎛⎫===⨯ ⎪⎝⎭，01211444412(1)55555n n n S n n --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++-⨯+⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ，12141444412(1)555555n n n S n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++-⨯+⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，两式作差得1211144441555555n n n S n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦4115445(5)45515n n n n S n n ⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦=-⨯=-+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，故答案为：45n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，45(5)5nn ⎛⎫-+⨯ ⎪⎝⎭【点睛】关键点点睛：根据1(1)()5P X n P X n =+=>，即可利用数列的递推关系求解{()}P X n =是首项为15，公比为45的等比数列，11455n n a n -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，利用错位相减法即可求解和.15．(1)π3(2)19【分析】（1）利用()cos cos C A B =-+，结合和差公式化简，再利用正弦定理边化角可解；（2）根据平面向量线性运算可得2133CD CA CB =+ ，两边平方，然后利用重要不等式即可得解.【详解】（1）由()cos sin cos cos c A B B C c C -=-得()cos cos 2sin cos c A B c C B C -+=，∴()()()cos cos sin cos c A B A B B C --+=，即2sin sin sin cos c A B B C =，由正弦定理边化角得sin sin sin sin sin cos C A B A B C ，因为(),0,π,sin 0,sin 0A B A B ∈>>，所以sin C C =，∴tan C =又∵()0,πC ∈，∴π3C =.（2）∵D 点在线段AB 上，且2BD DA =，()2CD CB CA CD ∴-=- ，∴2133CD CA CB =+ ，∴222419499CD CA CB CA CB =++⋅ ()222222224124112599999999b a ab b a a b a b =++≤+++=+，当且仅当a b =时，等号成立．∴2222222251925259a bCDa b a b+=++≤．即22225CDa b+的最大值为19．16．(1)20t=，能；(2)分布列见解析，()3815E X=.【分析】（1）根据表中数据可知()360100t t+-=，求出t值完善列联表，然后计算2χ，对照临界值表即可得结论；（2）根据古典概型概率公式，结合排列组合求解可得分布列，再由期望公式求解即可.【详解】（1）由题意可知：()360100t t+-=，解得20t=，2×2列联表如下：非常喜欢感觉一般合计男性6040100女性8020100合计14060200()222006020804014060100100χ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯220020009.524 6.63514060100100⨯=≈>⨯⨯⨯.根据小概率值0.01α=的独立性检验，认为年轻人对“赶大集”的态度与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.01.（2）设进一步交流的男性中非常喜欢“赶大集”的人数为m，女性中非常喜欢“赶大集”的人数为n，则X m n=+，且X的所有可能取值为1，2，3，4.()()3113213253C C C2110,1C C3015P X P m n=======，()()()12113223213232325353C C C C C C1321,10,2C C C C30P X P m n P m n====+===+=，()()()2111122232123232325353C C C C C C C 12232,11,2C C C C 305P X P m n P m n ====+===+==，()()2122323253C C C 3142,2C C 3010P X P m n =======.所以X 的分布列为X1234P 115133025110所以()2131233812343030303015E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.17．(1)证明见解析(2)12【分析】（1）根据菱形性质知OB OD =，然后通过证明BD ⊥平面PAC ，可得BD PO ⊥，根据垂直平分线性质可证；（2）令2AB =，先证明OP ⊥平面ABCD ，MN ⊥平面PAC ，然后由13P ABCD ABCD V S OP -=⋅⋅和1123MAPH APH V V S MN -==⋅⋅ 可解.【详解】（1）连接AC 交BD 于点O ，连接OP ，∵BD ∥平面AMHN ，且平面PBD 平面AMHN MN =，BD ⊂平面PBD ，∴BD MN ∥．∵MN PC ⊥，∴BD PC ⊥，∵四边形ABCD 为菱形，∴BD AC ⊥，OB OD =，∵PC AC C ⋂=，且,PC AC ⊂平面PAC ，∴BD ⊥平面PAC ，又PO ⊂平面PAC ，∴BD PO ⊥，∴PB PD =．（2）∵PA PC =，且O 为AC 中点，∴OP AC ⊥，由（1）得OP BD ⊥，BD AC O ⋂= ，,BD AC ⊂平面ABCD ，∴OP ⊥平面ABCD ，令2AB =，又四边形ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒，AC BD ^，AO ∴1BO =．,,AO BD AO PO PO BD O ⊥⊥⋂= ，且都在平面PBD 内，AO ∴⊥平面PBD ，又PA 与平面PBD 所成角为60°，∴60APO ∠=︒，30PAC ∠=︒，∴13OP AO ==，∴133P ABCD ABCD V S OP -=⋅⋅=又H 为PC 中点，且2PA PC ==，∴112PH PC ==，在△PAC 中，记AH OP G = ，易知点G 在MN 上，且点G 为△PAC 重心，23PG PO =，又∵MN BD ∥，∴2433MN BD ==，由（1）知BD ⊥平面PAC ，∴MN ⊥平面PAC ，又11sin1202122APH S PA PH =⋅⋅︒=⨯⨯=∴1123M APH APH V V S MN -==⋅=∴21399P ABCD V V V -=-=-=，∴1212V V =．18．(1)2214y x -=；(2)（i ）证明见解析；（ii【分析】（1）设(),D x y ，根据向量,PD QD 分别与2a b λ+ ，2a b λ+ 平行列方程组，消去λ可得；（2）（i ）根据点A ，B 关于原点成中心对称，化简AC BC k k ⋅，结合点,A C 在双曲线上，由点差法化简可证；（ii ）分斜率存在和不存在讨论，当斜率存在时，设直线方程为y kx b =+，联立双曲线方程消去y ，利用韦达定理代入0OA OB ⋅= ，结合直线与圆相切可解.【详解】（1）设(),D x y ，则()1,PD x y =- ，()1,QD x y =+ ，又∵()0,1a = ，()1,0b = ，∴()21,2a b λλ+= ，()2,2a b λλ+= ，由已知得，()()210210x y x y λλ⎧--=⎪⎨+-=⎪⎩，消λ得：2214y x -=，∴点D 的轨迹方程为2214y x -=．（2）设直线l 与E 的两个交点为()11,A x y ，()22,B x y ，（i ）∵直线l 过原点，∴点A ，B 关于原点成中心对称．设(),C x y ，∴22121112212111AC BC y y y y y y y y y y k k x x x x x x x x x x ---+-⋅=⋅=⋅=---+-，由2211221414y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，得()2222114y y x x -=-，∴2212214AC BC y y k k x x -⋅==-．（ii ）∵N 为AB 的中点，且2AB ON =，∴0OA OB ⋅= .①当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x r =±，此时点A ，B 关于x 轴对称，不妨设点A 在第一象限，∴11x y r ==，∵221114x x -=，∴22143x r ==，∴3r =．②当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y kx b =+，由2214y kx b y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得()()2224240k x kbx b ---+=，∴12224kb x x k +=-，()212244b x x k -+=-，∵0OA OB ⋅= ，∴12120x x y y +=，即()()22121210k x x kb x x b ++++=，整理得：22344b k =+．又∵l 与圆相切，∴r =综上可得3r =，∴圆O19．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）求导，利用零点存在性定理判断()f x '存在零点，利用隐零点方程代入()02f x +化简，通过配方即可得证；（2）令()()ln 1e 0x ax a x +--=，同构函数()e x g x x =+，根据单调性转化为()ln x ax =的根，构造()()ln h x x ax =-，利用导数判断单调性，结合零点存在性定理判断零点范围，得11e x ax =，1>0x ,将()1ln 132cos x ax x ++=+转化为()ln 1cos 10t t +-+>.记()()ln 1cos 1t t t ϕ=+-+（1t >-），利用导数判断t 的范围，设()()e ln 1cos 2x m x x x =-++-，0x >，利用e 1,sin x x x x >+>判断()m x '的符号，由单调性可证.【详解】（1）当1a =时，()ln e x f x x =-，()0,x ∞∈+，∴()1e x f x x='-，易知()f x '在()0,∞+上单调递减，且1212e 02f ⎛⎫=-> ⎪'⎝⎭，()11e 0f ='-<，则01,12x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得当()00,x x ∈时，()0f x '>，当()0,x x ∞∈+时，()0f x '<，且()00f x '=，即001e x x =，即00ln x x =-，∴()f x 在()00,x 上单调递增，在()0,x ∞+上单调递减，∴()f x 存在唯一的极大值点0x ，而()()02000000112ln e 220x x f x x x x x -+=-+=--+=-<，∴()02f x <-．（2）令()()ln 1e 0x ax a x +--=，得()ln e x ax ax x +=+，设()e xg x x =+，显然()g x 在定义域上单调递增，而()()()ln ln eln ax ax ax ax +=+，则有()()()ln g ax g x =，∴()ln x ax =．依题意，方程()ln x ax =有两个不等的实根，即函数()()ln h x x ax =-在定义域上有两个零点，显然0a ≠，当a<0时，()h x 的定义域为(),0∞-，()h x 在(),0∞-上单调递增，()h x 最多一个零点，不合题意，∴0a >，()h x 的定义域为()0,∞+，∴求导，得()11h x x'=-，当01x <<时，()0h x '<，当1x >时，()0h x '>，∴()h x 在()0,1上单调递减，在()1,∞+上单调递增，()()min 11ln h x h a ==-，要使()h x 有两个零点，必有1ln 0a -<，即e a >，此时110h a a⎛⎫=> ⎪⎝⎭，即()h x 在()0,1有一个零点，()223ln h a a a =-，令()23ln u x x x =-，e x >，求导得()23u x x x ='-，显然()u x '在()e,∞+上单调递增，∴()()3e 2e 0eu x u >=-'>'，∴()u x 在()e,∞+上单调递增，()()2e e 30u x u >=->，∴()20h a >，则函数()h x 在()1,∞+上存在唯一零点．由1x 为()ln x ax =的两个根中较小的根，得11e x ax =，1>0x ，又由已知得()12ln 1cos 3ax t t =+-+，从而()12e ln 1cos 3x t t =+-+，∵1>0x ，∴12e 2x >，∴()ln 1cos 10t t +-+>．设()()ln 1cos 1t t t ϕ=+-+（1t >-），当0t >时，()ln 10t +>，1cos 1t -≤≤，则()0t ϕ>符合题意，当10t -<≤时，()1sin 01t t tϕ+'=>+，则()t ϕ在(]1,0-上单调递增，∴()()00t ϕϕ<=不合题意，∴0t >∴设()()e ln 1cos 2x m x x x =-++-，0x >．求导，得()1e sin 1x m x x x=--+'，当0x >时，令()e 1x p x x =--，()sin q x x x =-，则()e 10x p x ='->，()1cos 0q x x ='-≥，∴()p x ，()q x 在()0,∞+上单调递增，从而()()00p x p >=，()()00q x q >=，即e 1x x >+，sin x x >，从而()11110111x m x x x x x x>+--=-=++'>+，即()m x 在()0,∞+单调递增，则()()00m x m >=，于是()e 1ln 1cos 3x x x +>+-+，即()1e 1ln 1cos 32e x t t t +>+-+=，即1e 12e x t +>．【点睛】关键点睛：本题关键在于利用零点存在性定理判断零点范围，进而将条件方程转化为不等式，构造函数，利用导数讨论t 的范围，再通过e 1,sin x x x x >+>判断()()e ln 1cos 2x m x x x =-++-的单调性，利用单调性即可得证.。

专题5三角函数与解三角形(含答案解析)

数学理论的奠基人之一他在割圆术中提出的，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周
合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作，割圆术的核心思想是将一个圆的内接正 n 边形等分
成 n 个等腰三角形(如图所示)，当 n 变得很大时，这 n 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割
2
月月考）要得到
y
cos
2x
的图象
C1
,只要将
y
sin
2x
3
图象
C2
怎样变化得到( )
A．将
y
sin
2x
3
的图象
C2
沿
x
轴方向向左平移
12
个单位
B．将
y
sin
2
x
3
的图象 C2 沿
x
11
轴方向向右平移
12
个单位
C．先作 C2
f (x) 2m n 3 1，下列命题，说法正确的选项是（）
3
A．
f
6
x
2
f
(x)
B．
f
6
x
的图像关于
x
4
对称
C．若 0
x1
x2
2
，则
f
( x1 )
f
(x2 )
D．若 x1, x2 , x3
3
,
2
，则
f
(x1)
f
(x2 )
f
( x3 )
15．（2020
届山东省菏泽一中高三
CB 2CD, cos CDB 5 ，则（ 5
A． sin CDB 3 10
）
B． ABC 的面积为 8

山东省实验中学2020届高三第一次模拟考试数学（理）试卷含解析

山东省实验中学2020届高三第一次模拟考试数学（理）试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在直角坐标平面内，已知A（-2,0）,3（2,0）以及动点。

是AABC的三个顶点，且sin Asin B-2cosC=0,则动点C的轨迹曲线「的离心率是()\/2a/3A.2B.2 c.扬 D.右2.若函数f(x)=l+\x\+x\贝0/(lg2)+/flg|k/(lg5)+/flg^=()A.2b.4 C.6 D.83.在AA3C中，CA_CA AB.则sinA:sin3:sinC=（）543A.9:7:8b.c.6:8:7D何.3：由4.如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（）种A.120B.260C.340D.4205.已知直线y=kx-1与抛物线J=8y相切，则双曲线x2-k2y2=l的离心率为（）73A.打B.右C.D.26.已知数列｛%｝的前〃项和S"满足S"+a"=2n(nwN*),则％=()1_127321385A.3b.64 c.32d.64x+y>l,7.设x，y满足约束条件\x-y>-l,若目标函数z=ax+3y仅在点（1,0）处取得最小值，则。

的取值范围2x-y<2,为()A.(—6,3)B.(-6,-3)C.(。

，3)D.(-6,0]8.已知集合M=(x|y=log2(-4x-x2)},2V=(x|(-)x>4},则肱N=()A.d-2]b.[-2,0) c.(-4,2]D(-co,-4)9.如图，已知等腰梯形A3CD中，AB=2DC=4,AD=BC=^5,E是OC的中点，P是线段BC±的动点，则的最小值是（）_9_4A.5B.0C.5D.110.已知^A={x\a-l<x<a+2},B=(x|3<x<5},则能使A^B成立的实数。

2020届山东省滕州市第一中学高三3月线上模拟考试数学试题(解析版)

2020届山东省滕州市第一中学高三3月线上模拟考试数学试题一、单选题1．已知集合{|{|2,}A x N y B x x n n Z =∈===∈,则A B =I （）A ．[0,4]B ．{0,2,4}C ．{2,4}D ．[2,4]【答案】B【解析】计算{}0,1,2,3,4A =，再计算交集得到答案【详解】{}{|0,1,2,3,4A x N y =∈==,{|2,}B x x n n Z ==∈表示偶数，故{0,2,4}A B =I . 故选：B . 【点睛】本题考查了集合的交集，意在考查学生的计算能力.2．欧拉公式为cos sin ix e x i x =+,(i 虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，3i e π表示的复数位于复平面中的（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A【解析】计算31cossin 332πππ=+=i e i ，得到答案. 【详解】根据题意cos sin ixe x i x =+，故31cossin 3322πππ=+=+i e i i ，表示的复数在第一象限. 故选：A . 【点睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力和理解能力.3．已知不重合的平面,,αβγ 和直线l ，则“//αβ ”的充分不必要条件是（） A ．α内有无数条直线与β平行 B ．l α⊥ 且l β⊥C ．αγ⊥ 且γβ⊥D ．α内的任何直线都与β平行【答案】B【解析】根据充分不必要条件和直线和平面，平面和平面的位置关系，依次判断每个选项得到答案. 【详解】A. α内有无数条直线与β平行，则,αβ相交或//αβ，排除；B. l α⊥ 且l β⊥，故//αβ，当//αβ，不能得到l α⊥ 且l β⊥，满足；C. αγ⊥ 且γβ⊥，//αβ，则,αβ相交或//αβ，排除；D. α内的任何直线都与β平行，故//αβ，若//αβ，则α内的任何直线都与β平行，充要条件，排除. 故选：B . 【点睛】本题考查了充分不必要条件和直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的综合应用能力.4．已知角α的终边经过点P(00sin 47,cos 47)，则sin(013α-)=A ．12BC ．12-D．【答案】A 【解析】【详解】由题意可得三角函数的定义可知：22cos 47sin cos 47sin 47cos 47α==+o o o o ，22sin 47cos sin 47sin 47cos 47α==+o oo o，则： ()()sin 13sin cos13cos sin13cos 47cos13sin 47sin131cos 4713cos 60.2ααα-=-=-=+==o o o o o o o o o o本题选择A 选项.5．已知1(,1)x e -∈，ln a x =，ln 1()2x b =，ln x c e =，则,,a b c 的大小关系为（） A ．c b a >> B ．b c a >> C ．a b c >> D ．b a c >> 【答案】B【解析】试题分析：∵1(,1)x e -∈，∴ln (1,0)x ∈- ∴(1,0)a ∈-，(1,2)b ∈，1(,1)c e -∈∴b c a >>. 选B .【考点】利用函数图像比较大小. 6．函数()4sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期是3π，则其图象向左平移6π个单位长度后得到的函数的一条对称轴是（） A ．4x π=B ．3x π=C ．56x π=D ．1912x π=【答案】D【解析】由三角函数的周期可得23πω=，由函数图像的变换可得，平移后得到函数解析式为244sin 39y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再求其对称轴方程即可. 【详解】解：函数()4sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期是3π，则函数2()4sin 33f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，经过平移后得到函数解析式为2244sin 4sin 36339y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由24()392x k k πππ+=+∈Z ，得3()212x k k ππ=+∈Z ，当1k =时，1912x π=. 故选D. 【点睛】本题考查了正弦函数图像的性质及函数图像的平移变换，属基础题. 7．函数()()()2sin xx ee xf x x eππ-+=-≤≤的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由函数的解析式可得：()()f x f x -=-，则函数()f x 的图像关于坐标原点对称，据此可排除B 选项，考查函数()xxg x e e -=+，则()()21'x x x xe g x e e e--=-=，当0x >时，()g x 单调递增，则344g g ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，据此有：344f f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，据此可排除C 选项；当0πx <<时，0,sin 0xxe e x -+>>，则()0f x >，据此可排除D 选项；本题选择A 选项.点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．8．设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点是F ，左､右顶点分别是12,A A ，过F 作x轴的垂线与双曲线交于,B C 两点，若12A B A C ⊥，则双曲线的离心率为（）A ．2B ．23C 5D 5【答案】A【解析】先求出,B C 的坐标，再求出12,A B A C 的斜率，最后根据12A B A C ⊥得到,,a b c满足的等式关系，可从该关系式求得双曲线的离心率. 【详解】设双曲线的半焦距为c ，令x c =，则2by a =±，不妨设22,,,b b C c B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()()12222200,A BA C b b b b a a kk a c a a c a c a a c +-==-==---+--，因为12A B A C ⊥，故()()221b b a a c a a c ⎡⎤-⨯-=-⎢⎥+-⎣⎦，整理得到a b =，故离心率e ==. 故选：A. 【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，可根据题设条件构建,,a b c 的等量关系即可求出离心率，本题属于基础题.二、多选题9．（多选题）下列说法中，正确的命题是（） A ．已知随机变量ξ服从正态分布()22,N δ，()40.84P ξ<=，则()240.16P ξ<<=．B ．以模型kx y ce =去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设ln z y =，将其变换后得到线性方程0.34z x =+，则c ，k 的值分别是4e 和0.3．C ．已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为y a bx =+，若2b =，1x =，3y =，则1a =．D ．若样本数据1x ，2x ，…，10x 的方差为2，则数据121x -，221x -，…，1021x -的方差为16．【答案】BC【解析】根据正态分布性质求()24P ξ<<即可判断A;根据方程变形即可确定c ，k 的值，再判断B; 根据回归直线方程过样本中心，即可判断C;根据数据变化与方差变化关系判断D. 【详解】因为随机变量ξ服从正态分布()22,N δ，()40.84P ξ<=，所以()()2440.50.840.50.340.16P P ξξ<<=<-=-=≠，即A 错；ln ln()ln ln kx kx y ce y ce y kx c =∴=∴=+Q ，0.34ln 0.34z x y x =+∴=+Q ，从而40.3,ln 40.3,k c k c e ==∴==，即B 正确；y a bx =+Q 过(,)x y ， 321a b b a =+=∴=Q ，即C 正确；因为样本数据1x ，2x ，…，10x 的方差为2，所以数据121x -，221x -，…，1021x -的方差为222=8⨯，即D 错误；故选：BC 【点睛】本题考查正态分布、方差性质以及线性回归方程及其性质，考查基本分析求解能力，属基础题.10．甲、乙、丙三人在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7门学科中任选3门．若同学甲必选物理，则下列说法正确的是（） A ．甲、乙、丙三人至少一人选化学与全选化学是对立事件 B ．甲的不同的选法种数为15C ．已知乙同学选了物理，乙同学选技术的概率是16D ．乙、丙两名同学都选物理的概率是949【答案】BD【解析】根据对立事件的概念可判断A ；直接根据组合的意义可判断B ；乙同学选技术的概率是13可判断 C ；根据相互独立事件同时发生的概率可判断D . 【详解】甲、乙、丙三人至少一人选化学与全不选化学是对立事件，故A 错误；由于甲必选物理，故只需从剩下6门课中选两门即可，即2615C =种选法，故B 正确；由于乙同学选了物理，乙同学选技术的概率是2163=，故C 错误；乙、丙两名同学各自选物理的概率均为37，故乙、丙两名同学都选物理的概率是3397749⨯=，故D 正确；故选BD .【点睛】本题主要考查了对立事件的概念，事件概率的求法以及相互独立事件同时发生的概率，属于基础题.11．设定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x x -+=，且当0x ≤时，()f x x '<.己知存在()()()220111122x x f x x f x x ⎧⎫∈-≥---⎨⎬⎩⎭，且0x 为函数()x g x e a =-(,a R e ∈为自然对数的底数)的一个零点，则实数a 的取值可能是（）A ．12B C ．2e D【答案】BCD【解析】先构造函数，判断函数的奇偶性，求函数的导数，研究函数的单调性，结合函数零点的性质建立不等式关系进行求解即可．【详解】解：Q 令函数21()()2T x f x x =-，因为2()()f x f x x -+=，22211()()()()()()()022T x T x f x x f x x f x f x x ∴+-=-+---=+--=，()T x ∴为奇函数，当0x „时，()()0T x f x x '='-<， ()T x ∴在(],0-∞上单调递减， ()T x ∴在R 上单调递减．Q 存在0{|()(1)}x x T x T x ∈-…，∴得00()(1)T x T x -…，001x x -„，即012x „，()x g x e a =-Q ；1()2x „， 0x Q 为函数()y g x =的一个零点； Q当12x „时，()0x g x e '=-„， ∴函数()g x 在12x „时单调递减，由选项知0a >，取12x =<，又0g e⎛=> ⎝Q ，∴要使()g x 在12x „时有一个零点，只需使102g a ⎛⎫=-⎪⎝⎭„，解得a ，a ∴的取值范围为2⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭，故选：BCD ．【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，根据条件构造函数，研究函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，属于中档题． 12．已知数列{}{},n n a b 满足1111312,2ln(),0n n n n n n n a a b b a b n N a b n*+++=+=++∈+> 给出下列四个命题，其中的真命题是（） A ．数列{}n n a b -单调递增； B ．数列{}n n a b + 单调递增； C ．数{}n a 从某项以后单调递增； D ．数列{}n b 从某项以后单调递增.【答案】BCD【解析】计算得到2211ln 2a b a b -=--，A 错误，化简()1113ln -+=+⋅+n n n a b a b n ，B 正确，1111ln ()30n n n a a n a b -+-=++>，C 正确，1111ln(1)2ln ()3n n n b b n n a b -+-=+-++，D 正确，得到答案. 【详解】因为1112,2lnn n n n n n n a a b b a b n +++=+=++，所以1131ln n n n n n a b a b n+++-=--，当1n =时, 2211ln 2a b a b -=--,所以2211-<-a b a b ，所以A 错误；11313()lnn n n n n a b a b n++++=++，11ln(1)3(ln )n n n n a b n a b n +++-+=--，所以{ln }n n a b n +-是等比数列，()1113ln -+=+⋅+n n n a b a b n ，所以B 正确；11112ln ()3n n n n n a a b a n a b -+=+=+++，故1111ln ()30n n n a a n a b -+-=++>，C 正确；因为131lnn n n n n b b a b n++=+++，所以1111ln(1)2ln ()3n n n b b n n a b -+-=+-++，根据指数函数性质，知数列从某一项以后单调递增，所以D 正确. 故选：BCD . 【点睛】本题考查了数列的单调性，意在考查学生对于数列性质的综合应用.三、填空题13．已知函数2,0()(2),0x x f x f x x ⎧<=⎨-≥⎩，则()2log 3f =________．【答案】34【解析】根据分段函数2,0()(2),0x x f x f x x ⎧<=⎨-≥⎩，和2log 30>，利用()()2f x f x =-转化为()()2223log 3log 32log 4f f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭求解. 【详解】因为2,0()(2),0x x f x f x x ⎧<=⎨-≥⎩，2log 30>，所以()()2223log 3log 32log 4f f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，又223log log 104<=，所以()23log 42233log 3log 244f f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭．故答案为：34. 【点睛】本题主要考查分段函数的求值，还考查了转化问题求解的能力，属于基础题.14．已知向量(1,1)a x =+v，(,2)b x =v ，若满足a b v v P ，且方向相同，则x =__________．【答案】1【解析】由向量平行坐标表示计算．注意验证两向量方向是否相同．【详解】∵a b r rP ，∴(1)20x x +-=，解得1x =或2x =-，1x =时，(1,2),(1,2)a b ==r r满足题意，2x =-时，(1,1),(2,2)a b =-=-r r，方向相反，不合题意，舍去．∴1x =．故答案为：1．【点睛】本题考查向量平行的坐标运算，解题时要注意验证方向相同这个条件，否则会出错． 15．设a ∈Z ，且0≤a ＜13，若512012＋a 能被13整除，则a ＝__________．【答案】12【解析】由于512012+a ＝（52﹣1）2012+a ，按二项式定理展开，根据题意可得()2012201220121C ⋅-+a 能被13整除，再由0≤a ＜13，可得 a ＝12．【详解】由于512012+a ＝（52﹣1）2012+a()()()()()1232011201202012120112201032009201112012201220122012201220122012525215215215211C C C C C C =⋅+⋅⋅-+⋅⋅-+⋅⋅-++⋅⋅-+⋅-+L a ，除最后两项外，其余各项都有13的倍数52，故由题意可得 ()2012201220121C ⋅-+a 能被13整除，再由0≤a ＜13，可得 a ＝12，故答案为12．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于中档题．16．已知正三棱锥P-ABC ，Q 为BC 中点，PA =2AB =，则正三棱锥P-ABC的外接球的半径为________；过Q 的平面截三棱锥P-ABC 的外接球所得截面的面积范围为________．3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】根据正三棱锥P ABC -，PB PC PA ===2AC BC AB ===，有222PB PA AB +=，即PB PA ⊥，同理PB PC ⊥，PC PA ⊥，则此正三棱锥P-ABC为正方体的一角，根据球的直径为正方体的体对角线的长求解.根据当截面过球心时，截面面积最大，当球心与Q 的连线垂直截面时，截面面积最小求截面的面积范围.【详解】因为正三棱锥P ABC -，2PB PC PA ===，2AC BC AB ===，所以222PB PA AB +=，即PB PA ⊥，同理PB PC ⊥，PC PA ⊥，因此正三棱锥P-ABC 可看作正方体的一角，如图，记正方体的体对角线的中点为O ，由正方体结构特征可得，O 点即是正方体的外接球球心，所以点O 也是正三棱锥P-ABC 外接球的球心，记外接球半径为R ，则1622222R =++=，因为球的最大截面圆为过球心的圆，所以过Q 的平面截三棱锥P-ABC 的外接球所得截面的面积最大为2max 32S R ππ==；又Q 为BC 中点，由正方体结构特征可得1222OQ PA ==；由球的结构特征可知，当OQ 垂直于过Q 的截面时，截面圆半径最小为221r R OQ =-=，所以2min S r ππ==．因此，过Q 的平面截三棱锥P-ABC 的外接球所得截面的面积范围为3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故答案为：(1). 6(2). 3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题主要考查组合体问题以及球的截面的性质，还考查了空间想象和理解问题的能力，属于中档题.四、解答题17．在①()2223163c S b a+=-；②5cos 45b C c a +=，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设ABC V 的面积为S ，已知________．（1）求tan B 的值；（2）若42,S =10a =，求b 的值．【答案】（1）34；（2）【解析】（1）若选择条件①．()2223163c S b a+=-，由正弦定理得()2221316sin 32⨯+=-c ac B b a ，整理得：()2228sin 3ac B a c b =+-，再利用余弦定理有3cos 4sin 4sin B B B -=求解.若选择条件②．因为5cos 45b C c a +=，根据正弦定理得，5sin cos 4sin 5sin B C C A +=，即sin (45cos )0C B -=求解.（2）由（1）知3tan 4B =，再根据42,S =10a =，利用正弦定理1acsin 2S B =解得14c =，再将42,S =10,a =14c =代入()222261636c S c a =++-求解.【详解】（1）选择条件①．()2223163c S b a +=-，所以()2221316sin 32⨯+=-c ac B b a ，整理得：()2228sin 3ac B a c b=+-．即2224sin 32a c b B ac+-=⋅. 整理可得3cos 4sin B B =，又sin 0B >．所以cos 0B >，所以sin 3tan cos 4B B B ==. 选择条件②．因为5cos 45bC c a +=，由正弦定理得，5sin cos 4sin 5sin B C C A +=，5sin cos 4sin 5sin()B C C B C +=+，即sin (45cos )0C B -=，在ABC V 中，sin 0C ≠，所以cos 45B =，3sin 5B ==，所以3tan 4B =. （2）由3tan 4B =，得3sin 5B =，又42,S =10a =，则113acsin 1042225S B c ==⨯⨯=，解得14c =. 将42,S =10,a =14c =代入()222261636c S c a =++-中，得()2222614164231410b ⨯=⨯++-，解得b =【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理和两角和与差的三角函数的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，其前n 项和为n S ，若2822a a +=，且4712,,a a a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若12111n n T S S S =+++L ，证明：34n T <. 【答案】（1）21n a n =+；（2）证明见解析. 【解析】【详解】分析：（1）由题意可求得等差数列{}n a 的公差123d a ==，，从而可得21n a n =+．（2）由（1）可得()11111222n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，然后根据裂项相消法得到31114212n T n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭，由此可得结论成立．详解：（Ⅰ）∵数列{}n a 为等差数列，且2822a a +=，()5281112a a a ∴=+=． ∵4712,,a a a 成等比数列，∴27412a a a =⋅，即()()()211211117d d d +=-⋅+，又0,d ≠ ∴2d =，∴111423a =-⨯=，∴()()32121*n a n n n N =+-=+∈. （2）证明：由（1）得()()122n n n a a S n n +==+， ∴()11111222n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭． ∴12111n nT S S S =+++L 11111111111232435112n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L 111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭ 3111342124n n ⎛⎫=-+< ⎪++⎝⎭． ∴34n T <．点睛：对于通项公式是分式型的数列求和时一般用裂项法，解题时注意以下两点：（1）裂项时，一般是前边裂几项，后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止；（2）消项的规律为：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项，即剩余的项具有对称性．19．如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，ABCD 为直角梯形，AD BC ∥，AD AB ⊥，132AB BC AP AD ====，AC BD O =I ，过O 点作平面α平行于平面PAB ，平面α与棱BC ，AD ，PD ，PC 分别相交于点E ，F ，G ，H .(1)求GH 的长度；(2)求二面角B FH E --的余弦值.【答案】(1)5；(2)32929. 【解析】试题分析：（1）【法一】（Ⅰ）由面面平行的性质定理可得//EF AB ，//,//EH BP FG AP ，则BOC ∆∽DOA ∆，由相似三角形的性质计算可得5GH =【法二】由面面平行的性质定理可得//EF AB ，//,//EH BP FG AP ，则BOC ∆∽DOA ∆，由题意结合余弦定理可得5GH =.（2）建立空间直角坐标系，由题意可得平面BFH 的法向量为31,,22n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭v ,平面EFGH 的法向量()0,1,0m =v则二面角B FH E --的余弦值329,m n cosm n m n v vv v v v ⋅==.试题解析：（1）【法一】（Ⅰ）因为//α平面PAB ，平面α⋂平面ABCD EF =，O EF ∈，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，所以//EF AB ，同理//,//EH BP FG AP ，因为BC ∥,6,3AD AD BC ==，所以BOC ∆∽DOA ∆，且12BC CO AD AO ==，所以12EO OF =，11,23CE CB BE AF ====，同理13CH EH CO PC PB CA ===，连接HO ，则有HO ∥PA ，所以HO EO ⊥，1HO =，所以123EH PB ==223FG PA ==，过点H 作HN ∥EF 交FG 于N ，则225GH HN GN =+【法二】因为//α平面PAB ，平面α⋂平面ABCD EF =，O EF ∈, 平面PAB ⋂平面ABCD AB =，根据面面平行的性质定理，所以//EF AB ，同理//,//EH BP FG AP ，因为//,2BC AD AD BC =,所以BOC DOA ∆∆∽，且12BC CO AD OA ==, 又因为COE ∆∽AOF ∆，AF BE =,所以2BE EC =，同理2AF FD =,2PG GD =，123,2,233EF AB EH PB FG AP ======如图：作//,,//,HN BC HN PB N GM AD GM PA M ⋂=⋂=, 所以//,HN GM HN GM =，故四边形GMNH 为矩形，即GH MN =,在PMN ∆中,所以81222455MN cos ︒=+-⨯⨯=5GH =. （2）建立如图所示空间直角坐标系()()()()3,0,0,0,2,0,3,2,0,2,2,1B F E H ,()()1,2,1,2,0,1BH FH u u u v u u u v =-=,设平面BFH 的法向量为(),,n x y z =v, 2020n BH x y z n FH x z ⎧⋅=-++=⎨⋅=+=⎩u u u v v u u u v v ,令2z =-，得31,,22n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭v ,因为平面//EFGH 平面PAB ，所以平面EFGH 的法向量()0,1,0m =v33292,9144m n cosm n m n⋅===++v vv v v v ，二面角B FH E --329 20．随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台．已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，没售出1吨该商品可获利润0.5万元，未售出的商品，每1吨亏损0.3万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示．已知电商为下一个销售季度筹备了130吨该商品，现以x （单位：吨，100150x ≤≤）表示下一个销售季度的市场需求量，T （单位：万元）表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润．（Ⅰ）视x 分布在各区间内的频率为相应的概率，求()120P x ≥；（Ⅱ）将T 表示为x 的函数，求出该函数表达式；（Ⅲ）在频率分布直方图的市场需求量分组中，以各组的区间中点值（组中值）代表该组的各个值，并以市场需求量落入该区间的频率作为市场需求量取该组中值的概率（例如[)100,110x ∈，则取105x =的概率等于市场需求量落入[)100,110的频率），求T 的分布列及数学期望()E T ．【答案】（Ⅰ）0.7；（Ⅱ）0.839,10013065,130150x x T x -≤<⎧=⎨≤≤⎩；（Ⅲ）59.4.【解析】分析：（Ⅰ）根据频率分布直方图和互斥事件的概率公式求解．（Ⅱ）结合题意用分段函数的形式表示T 与x 的关系．（Ⅲ）先确定T 的所有可能取值为45,53,61,65，然后分别求出相应的概率，进而可得分布列，最后求出期望．详解：（Ⅰ）根据频率分布直方图及互斥事件的概率公式可得：()()()()120120130130140140150P x P x P x P x ≥=≤<+≤<+≤≤0.030100.025100.01510=⨯+⨯+⨯ 0.7=．（Ⅱ）当[)100,130x ∈时，()0.50.31300.839T x x x =--=-，当[]130,150x ∈时，0.513065T =⨯=．所以0.839,10013065,130150x x T x -≤<⎧=⎨≤≤⎩（Ⅲ）由题意及（Ⅱ）可得：当[)100,110x ∈时，0.81053945T =⨯-=，()450.010100.1P T ==⨯=；当[)110,120x ∈时，0.81153953T =⨯-=，()530.020100.2P T ==⨯=；当[)120,130x ∈时，0.81253961T =⨯-=，()610.030100.3P T ==⨯=；当[]130,150x ∈时，65T =，()()650.0250.015100.4P T ==+⨯=．所以T 的分布列为：∴()450.1530.2610.3650.459.4E T =⨯+⨯+⨯+⨯=万元．点睛：（1）求随机变量及其分布列的一般步骤①明确随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义；②利用相应的概率求出随机变量取每个可能值的概率；③按规范形式写出随机变量的分布列，并用分布列的性质验证．（2）解答此类问题的关键是读懂题意，合理选择合适的概率公式求解．21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，椭圆C 截直线1y =所得的线段的长度为（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，点D 是椭圆C 上的点，O 是坐标原点，若OA OB OD +=u u u v u u u v u u u v，判定四边形OADB 的面积是否为定值？若为定值，求出定值；如果不是，请说明理由.【答案】（Ⅰ）22142x y +=（Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）根据椭圆C 截直线1y =所得的线段的长度为)，结合离心率即可求得椭圆方程；（Ⅱ）分类讨论：当直线l 的斜率不存在时，四边形OADB ；当直线l 的斜率存在时，设出直线方程，与椭圆方程联立，由,OA OB OD +=u u u v u u u v u u u v得2242,1212D D km m x y k k-==++ ，代入曲线C ，整理出k ，m 的等量关系式，再根据OADB S AB d = 写出面积的表达式整理即可得到定值．【详解】(Ⅰ)由22222211c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得2,a b c ===得椭圆C 的方程为22142x y +=.（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，直线AB 的方程为1x =-或1x =，此时四边形OADB．当直线l 的斜率存在时，设直线l 方程是y kx m =+，联立椭圆方程22142y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ ()222124240k x kmx m ⇒+++-= ()228420k m∆=+->，2121222424,1212km m x x x x k k --+==++ ()121222212m y y k x x m k+=++=+AB =点O 到直线AB的距离是d =由,OA OB OD +=u u u v u u u v u u u v得2242,1212D Dkm mx y k k -==++ 因为点D 在曲线C 上，所以有2222421212142km m k k -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=整理得22122k m +=由题意四边形OADB 为平行四边形，所以四边形OADB 的面积为OADBS AB d === 由22122k m +=得OADB S 故四边形OADB．【点睛】本题考查了直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、点到直线距离公式、面积计算公式、向量数量积的关系等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，考查了分析问题和解决问题的能力，属于难题． 22．已知()ln f x x =，()()2102g x ax bx a =+≠，()()()h x f x g x =-. （Ⅰ）若3,2a b ==，求()h x 的极值；（Ⅱ）若函数()y h x =的两个零点为()1212,x x x x ≠，记1202x x x +=，证明：()00h x '<．【答案】（Ⅰ）极大值为5ln 36--，无极小值；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】分析：（Ⅰ）先判断函数()h x 在()0,+∞上的单调性，然后可得当13x =时，()h x 有极大值，无极小值．（Ⅱ）不妨设120x x <<，由题意可得()()()()2212121212ln ln 02a h x h x x x x xb x x -=-----=，即()()22121212ln ln 2a x x x xb x x -=-+-，又由条件得()1201222x x h x a b x x +⎛⎫=-+ +⎝'⎪⎭，构造()()()121211*********212ln 21x x x x x x x h x x x a b x x x x x ⎛⎫- ⎪⎛⎫+⎝⎭-=---=- ⎪+⎝⎭+'，令()1201x t t x =<<，则()()()21ln 011t r t t t t ，-=-<<+，利用导数可得()()10r t r >=，故得()()1200x x h x '->，又120x x -<，所以()00h x '<．详解：（Ⅰ）()()23ln 2,0,2h x x x x x Q =--∈+∞， ()()()2311132132x x x x h x x x x x--+--+='∴=--=，由()()()3110x x h x x--+'==得13x =，且当103x <<时，()0h x '>，即()h x 在10,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，当13x >时，()0h x '<，即()h x 在1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，∴当13x =时，()h x 有极大值，且()15=ln336h x h ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭极大值，无极小值．（Ⅱ）Q 函数()y h x =的两个零点为()1212,x x x x ≠，不妨设120x x <<，()21111ln 02a h x x x bx ∴=--=，()222222ln 02h x x x bx =--=． ()()2212111222ln ln 22a a h x h x x x bx x x bx ∴-=----- ()()22121212ln ln 02a x x x xb x x =-----=，即()()22121212ln ln 2a x x x xb x x -=-+-，又()()()()1h x f x g x ax b x ='=-''-+，1202x x x +=， ()1201222x x h x a b x x '+⎛⎫∴=-+ ⎪+⎝⎭， ()()()12120121222x x x x h x x x a b x x ⎛⎫+∴-=--- ⎪+⎝⎭' ()()()1222121212212x x a x x b x x x x -⎡⎤=--+-⎢⎥+⎣⎦ ()()1212122ln ln x x x x x x -=--+12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-+．令()1201x t t x =<<，则()()()21ln 011t r t t t t ，-=-<<+ ()()()()222141011t r t t t t t --∴=-=<++'， ()r t ∴在()0,1上单调递减，故()()10r t r >=，12112221ln 01x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴->+，即()()1200x x h x '->，又120x x -<，()00h x ∴'<．点睛：（1）研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大（小）值、函数的变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的大体图象，然后通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．（2）证明不等式时常采取构造函数的方法，然后通过判断函数的单调性，借助函数的最值进行证明．。

山东省济南市2024届高三下学期3月模拟考试数学试题(含答案与解析)_9045

绝密★启用并使用完毕前2024年3月山东省济南市高三模拟考试数学试题本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 记等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若57a =，102a =，则14S =（）A 49B. 63C. 70D. 1262. 已知(),1a m = ，()31,2b m =- ，若//a b r r，则m =（）A. 1B. 1-C.23D. 23-3. 某公司现有员工120人，在荣获“优秀员工”称号的85人中，有75人是高级工程师.既没有荣获“优秀员工”称号又不是高级工程师的员工共有14人，公司将随机选择一名员工接受电视新闻节目的采访，被选中的员工是高级工程师的概率为（） A.38B.1724C.45D.33404. 与抛物线22x y =和圆22(1)1x y ++=都相切的直线的条数为（） A. 0B. 1C. 2D. 35. 已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C的对边，且cos sin a C C b +=，则A =（） A.π6B.π4C.π3D.π26. 若sin1a =，()lg tan1b =，12c =，则（） A. c b a <<B. b a c <<.C. b<c<aD. a c b <<7. 已知复数1z ，2z 满足1212222z z z z ==-=，则1212z z +=（） A. 1B.C. 2D.8. 若不等式()ln e ,x a x b a b x ≤+≤∈R 对任意的31,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则a 的最小值为（） A. 323e -B. 325e 2-C33ln 22 D. 33e 3ln2- 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知椭圆C ：223448x y +=的两个焦点分别为1F ，2F ，P 是C 上任意一点，则（） A. CB. 12PF F △的周长为12C. 1PF 的最小值为3D. 22PF PF ⋅的最大值为1610. 已知函数()()πcos 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的图象在y 轴上的截距为12，π12是该函数的最小正零点，则（） A. π3ϕ=B. ()()2f x f x '+≤恒成立C. ()f x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D. 将()y f x =的图象向右平移π3个单位，得到的图象关于y 轴对称 11. 下列等式中正确的是（） A.8881C 2k k ==∑B.82392C C k k ==∑ .C. 82111!8!k k k =-=-∑ D. ()8828160C C k k ==∑三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知随机变量()2~1,2X N ，则()21D X +的值为__________.13. 在三棱柱111ABC A B C -中，2AM MB = ，111A N mA C =，且//BN 平面1A CM ，则m 的值为________.14. 已知集合()()(){}2,,R A u x u x ax a b x b a b ==-++∈，函数()21f x x =-.若函数()g x 满足：对任意()u x A ∈，存在,R λμ∈，使得()()()u x f x g x λμ=+，则()g x 的解析式可以是_______.（写出一个满足条件的函数解析式即可）四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，132a =且123n n S a +=-，令2n nn n b a +=.（1）求证：{}n a 为等比数列；（2）求使n b 取得最大值时的n 的值.16. 已知函数()2e e x xf x ax =+-.（1）当3a =时，求()f x 单调区间；（2）讨论()f x 极值点的个数.17. 抛掷甲、乙两枚质地均匀的骰子，所得的点数分别为a ，b ，记b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的取值为随机变量X ，其中b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦表示不超过ba的最大整数. （1）求在0X >的条件下，bX a=的概率；（2）求X 分布列及其数学期望.18. 已知双曲线C ：2214x y -=的左右顶点分别为1A ，2A ，过点()4,0P 的直线l 与双曲线C 的右支交于M ，N 两点.（1）若直线l 的斜率k 存在，求k 的取值范围；的的（2）记直线1A M ，2A N 的斜率分别为1k ，2k ，求12k k 的值；（3）设G 为直线1A M 与直线2A N 的交点，GMN ，12GA A △的面积分别为1S ，2S ，求12S S 的最小值. 19. 在空间直角坐标系O xyz -中，任何一个平面的方程都能表示成0Ax By Cz D +++=，其中,,,A B C D ∈R ，2220A B C ++≠，且(),,n A B C =为该平面的法向量.已知集合(){},,1,1,1P x y z x y z =≤≤≤，(){},,2Q x y z x y z =++≤，(){},,2,2,2T x y z x y y z z x =+≤+≤+≤.（1）设集合(){},,0M x y z z ==，记P M ⋂中所有点构成的图形的面积为1S ，Q M 中所有点构成的图形的面积为2S ，求1S 和2S 的值；（2）记集合Q 中所有点构成的几何体的体积为1V ，P Q 中所有点构成的几何体的体积为2V ，求1V 和2V 的值：（3）记集合T 中所有点构成的几何体为W . ①求W 的体积3V 的值；②求W 的相邻（有公共棱）两个面所成二面角的大小，并指出W 的面数和棱数.参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 记等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若57a =，102a =，则14S =（）A. 49B. 63C. 70D. 126【答案】B 【解析】【分析】利用等差数列的项的“等和性”得到1149a a +=，再运用等差数列的前n 项和公式计算即得. 【详解】因{}n a 是等差数列，故1145109a a a a +=+=，于是1141414()63.2a a S +==故选：B2. 已知(),1a m = ，()31,2b m =- ，若//a b r r，则m =（）A. 1B. 1-C.23D. 23-【答案】A 【解析】【分析】根据平面向量共线的充要条件即可得解.【详解】因为(),1a m = ，()31,2b m =- ，//a b r r ，所以()2310m m --=，解得1m =. 故选：A .3. 某公司现有员工120人，在荣获“优秀员工”称号的85人中，有75人是高级工程师.既没有荣获“优秀员工”称号又不是高级工程师的员工共有14人，公司将随机选择一名员工接受电视新闻节目的采访，被选中的员工是高级工程师的概率为（） A.38B.1724C.45D.3340【答案】C 【解析】【分析】求出没有荣获“优秀员工”称号高级工程师人数，得到公司的高级工程师总人数，从而得到概率. 【详解】由题意得，没有荣获“优秀员工”称号的高级工程师有120851421--=人，则公司共有高级工程师的人数为752196+=，故被选中的员工是高级工程师的概率为9641205=. 故选：C4. 与抛物线22x y =和圆22(1)1x y ++=都相切的直线的条数为（） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】D 【解析】【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义求出抛物线的切线方程，再由圆的切线性质列式计算即得.【详解】设直线与抛物线22x y =相切切点坐标为21(,)2t t ，由212y x =，求导得y x '=，因此抛物线22x y =在点21(,)2t t 处的切线方程为21()2y t t x t -=-，即2102tx y t --=，的的依题意，此切线与圆22(1)1x y ++=1=，解得0=t或t =±数为3. 故选：D5. 已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C的对边，且cos sin a C C b +=，则A =（） A.π6B.π4C.π3D.π2【答案】A 【解析】【分析】由题设条件和正弦定理化边为角，再利用和角公式进行拆角化简，即可得到tan A =角形内角范围即得.详解】由cos sin a C C b =以及正弦定理可得：sin cos sin sin A C A C B +=，因sin sin()sin cos cos sin B A C A C +A C =+=sin cos sin 0A C A C -=，因0π,sin 0C C <<>,则得tan A =，又因0πA <<，故π6A =.故选：A.6. 若sin1a =，()lg tan1b =，12c =，则（） A. c b a << B. b a c << C. b<c<a D. a c b <<【答案】C 【解析】【分析】利用三角函数和对数函数的单调性，放缩求解即可. 【详解】因为π1sin1sin 62>=，所以a c >，因为πtan1tan 3<=，所以()1lg tan1lg 2<<=，即b c <，综上b<c<a ，故选：C【7. 已知复数1z ，2z 满足1212222z z z z ==-=，则1212z z +=（）A. 1B.C. 2D.【答案】B 【解析】【分析】首先分析题意，设出复数，求出复数的模找变量之间的关系，整体代入求解即可.【详解】设12i,i, z a b z c d =+=+则2===所以221a b +=，224,c d +=484()ac bd -+=，即1ac bd +=，则1212z z +====故选：B. 8. 若不等式()ln e ,x a x b a b x ≤+≤∈R 对任意的31,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则a 的最小值为（） A. 323e -B. 325e 2-C.33ln 22 D. 33e 3ln2- 【答案】A 【解析】【分析】因为ln e x ax b x≤+≤，所以ln e x x x bx a x ≤+≤，即求直线y bx a =+的纵截距a 的最小值，设()e x f x x =，利用导数证明()f x 在31,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的图象上凹，所以直线与()f x 相切，切点横坐标越大，纵截距越小，据此即可求解. 【详解】因为ln e x ax b x≤+≤，所以ln e x x x bx a x ≤+≤，所以即求直线y bx a =+的纵截距a 的最小值，设()e x f x x =，所以()e (1)0x f x x '=+>，所以()f x 在31,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递增，所以()f x 在31,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的图象上凹，所以直线与()f x 相切，切点横坐标越大，纵截距越小，令切点横坐标为32，所以直线过点3233(,e )22，且直线y bx a =+斜率为325e 2所以y bx a =+的直线方程为3259e ()24y x =-，当1x =时，3322e 2.56 1.024ln 44y x x =>=>，即直线y bx a =+与()f x 相切时，直线y bx a =+与()f x 无交点，设()ln g x x x =，所以()ln 1g x x '=+，所以()g x 在32x =时斜率为3ln 12+，在1x =时斜率为1，均小于直线的斜率，所以可令直线y bx a =+在32x =处与()f x 相交，在1x =处与ln y x x =相交，所以直线方程为32323e 02(1)03e (1)312y x x -=-+=--，所以截距为323e -. 故选：A.【点睛】关键点点睛：本题关键在于ln e x ax b x≤+≤，ln e x x x bx a x ≤+≤，即求直线y bx a =+的纵截距a 的最小值的分析.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知椭圆C ：223448x y +=的两个焦点分别为1F ，2F ，P 是C 上任意一点，则（）A. CB. 12PF F △的周长为12C. 1PF 的最小值为3D. 22PF PF ⋅的最大值为16【答案】BD 【解析】【分析】首先分析题意，利用椭圆性质进行逐个求解，直接求出离心率判断A ，利益椭圆的定义求出焦点三角形周长判断B ，举反例判断C ，利用基本不等式求最大值判断D 即可.【详解】由椭圆22:3448,C x y +=得221,1612x y +=则4,2,a b c ===所以12c e a ==，故A 错误; 易知12PF F △的周长为121228412F c F PF PF a ++=+2=+=故B 正确；当P 在椭圆长轴的一个端点时，1PF 取得最小值，最小值为422a c -=-=，故C 错误；由基本不等式得122122PF PF PF PF +⋅≤()=16，当且仅当12PF PF =时取等，则12PF PF ⋅取得最大值16，故D 正确. 故选：BD.10. 已知函数()()πcos 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的图象在y 轴上的截距为12，π12是该函数的最小正零点，则（） A. π3ϕ=B. ()()2f x f x '+≤恒成立C. ()f x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D. 将()y f x =的图象向右平移π3个单位，得到的图象关于y 轴对称【答案】AC 【解析】【分析】由题意求出,ωϕ，然后由余弦型函数的性质判断即可.【详解】函数()()πcos 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭图象在y 轴上的截距为12，所以1cos 2ϕ=，因为π02ϕ<<，所以π3ϕ=.故A 正确；又因为π12是该函数的最小正零点，所以ππcos 0123ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以πππ1232ω+=，解得2ω=，所以()πcos 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，()π2sin 23f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭'，所以()()πππcos 22sin 22333f x f x x x x θ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-+=++≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭'，故B 错误；当π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()ππ2,π0,π33x ⎛⎫+∈∈ ⎪⎝⎭，故C 正确；将()y f x =的图象向右平移π3个单位，得到πππcos 2cos 2333y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，是非奇非偶函数，图象不关于y 轴对称，故D 错误. 故选：AC.11. 下列等式中正确的是（） A.8881C2kk ==∑B.82392CC k k ==∑C. 82111!8!k k k =-=-∑ D.()882816C C k k ==∑ 【答案】BCD 【解析】【分析】利用()81x +的展开式与赋值法可判断A ，利用组合数的性质2331C C C n n n ++=可判断B ，利用阶乘的裂项法可判断C ，构造()()()1688111x x x +=++求其含8x 的项的系数可判断D.【详解】对于A ，因为()801228888881C C C C x x x x +=++++ ，令1x =，得881288888121C C C 1Ck k ==++++=+∑ ，则88811C2k k ==-∑，故A 错误；的对于B ，因为2331C C C n n n ++=，所以8222223222234833482CC C C C C C C C kk ==++++=++++∑322323448889C C C C C C =+++==+= ，故B 正确；对于C ，因为()()()()()()!1!11!1111!!!1!!1!!k k k k k k k k k k k k ------===---，所以()882211111111111!1!!1!2!2!3!7!8!8!k k k k k k ==⎡⎤-=-=-+-++-=-⎢⎥-⎣⎦∑∑ ，故C 正确. 对于D ，()()()1688111x x x +=++，对于()161x +，其含有8x 的项的系数为816C ，对于()()8811x x ++，要得到含有8x 的项的系数，须从第一个式子取出()08,N k k k ≤≤∈个x ，再从第二个式子取出8k -个x ，它们对应的系数为()088288808C CC kk kk k =-==∑∑，所以()8828160C C k k ==∑，故D 正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题D 选项解决的关键是，利用组合的思想，从多项式()()8811x x ++中得到含有8x 的项的系数，从而得解.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知随机变量()2~1,2X N ，则()21D X +的值为__________.【答案】16 【解析】【分析】理解正态分布的均值、方差的含义即得()D X ，再利用随机变量的方差性质即可求得()21D X +. 【详解】由()2~1,2X N 可得2()24D X ==,则(21)4()16D X D X +==.故答案为：16 .13. 在三棱柱111ABC A B C -中，2AM MB = ，111A N mA C =，且//BN 平面1A CM ，则m 的值为________. 【答案】12 ##0.5 【解析】【分析】利用三棱柱模型，选择一组空间基底1,,AB a AC b AA c ===，将相关向量分别用基底表示，再利用//BN 平面1A CM ，确定1,,BN MA MC必共面，运用空间向量共面定理表达，建立方程组计算即得.【详解】如图，不妨设1,,AB a AC b AA c === ，依题意，1122,3233AM a MA MA AA c a AB +=-===-, 23MC AC AM b a =-=- ，因111A N mAC mb == ，则11,BN BA A N c a mb =+=-+又因//BN 平面1A CM ，故1,,BN MA MC必共面，即存在,R λμ∈，使1BN MA MC λμ=+，即22()()33c a mb c a b a λμ-+=-+-，从而有2()131m λμμλ⎧-+=-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，解得12m =.故答案为：12.14. 已知集合()()(){}2,,R A u x u x ax a b x b a b ==-++∈，函数()21f x x =-.若函数()g x 满足：对任意()u x A ∈，存在,R λμ∈，使得()()()u x f x g x λμ=+，则()g x 的解析式可以是_______.（写出一个满足条件的函数解析式即可）【答案】()1g x x =-（满足()10g =，且一次项系数不为零的所有一次或者二次函数解析式均正确）【解析】【分析】根据()10u =，求得()10g =，则满足()10g =的一次函数或二次函数均可. 【详解】()()2u x ax a b x b =-++，()21f x x =-，()()10u a a b b =-++=，()10f =，()()()u x f x g x λμ=+，()()()()11110u f g g λμμ=+==，所以()10g =，则()g x 的解析式可以为()1g x x =-. 经检验，()1g x x =-满足题意. 故答案为：()1g x x =-（答案不唯一）.【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据函数的形式，确定函数的关键特征和条件.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，132a =且123n n S a +=-，令2n n n nb a +=.（1）求证：{}n a 为等比数列；（2）求使n b 取得最大值时的n 的值. 【答案】（1）证明见解析（2）32081. 【解析】【分析】（1）结合已知，由2n ≥时1n n n a S S -=-化简得132n n a a +=，再由2132a a =及等比数列的定义证明即可；（2）先求得()223nn b n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用作商法判断数列{}n b 的单调性即可求得最值.【小问1详解】由123n n S a +=-，可得2n ≥时，1122n n n n n a S S a a -+=-=- 即2n ≥，132n n a a +=，又因为132a =，所以294a =，2132aa =，综上，1n ≥，132n n a a +=，所以{}n a 为首项和公比均为32的等比数列. 【小问2详解】由（1）可得32n n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()223nn b n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2n ≥时，()()()()221221313nn n n n b b n n n -++==--，令11n n b b ->，可得25n ≤<，（或令11nn b b -<，可得5n >），可知1234567b b b b b b b <<<=>>>⋅⋅⋅，综上，4n =或5n =时，n b 的取得最大值32081. 16. 已知函数()2e e x xf x ax =+-.（1）当3a =时，求()f x 的单调区间；（2）讨论()f x 极值点的个数.【答案】（1）单调递增区间为()0,∞+，单调递减区间为(),0∞-；（2）答案见解析. 【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间；（2）求出函数的导函数，分0a ≤、0a >两种情况讨论，分别求出函数的单调性，即可得到函数的极值点个数.小问1详解】当3a =时，()2e e 3x xf x x =+-定义域为R ，又()22e e 3x xf x '=+-，所以()()()2e 3e 1x xf x '=+-，由()0f x ¢>，解得0x >，此时()f x 单调递增；由()0f x '<，解得0x <，此时()f x 单调递减，【所以()f x 的单调递增区间为()0,∞+，单调递减区间为(),0∞-. 【小问2详解】函数()f x 的定义域为R ，由题意知，()22e e x xf x a '=+-，当0a ≤时，()0f x ¢>，所以()f x 在R 上单调递增，即()f x 极值点的个数为0个；当0a >时，易知180a +>，故解关于t 的方程220t t a +-=得，1t =，2t =所以()()()122e exxf x t t '=--，又21104t -+=>=，10t =<，所以当2ln x t >时，()0f x ¢>，即()f x 在()2ln ,t +∞上单调递增，当2ln x t <时，()0f x '<，即()f x 在()2,ln t -∞上单调递减，即()f x 极值点的个数为1个.综上，当0a ≤时，()f x 极值点的个数为0个；当0a >时，()f x 极值点的个数为1个.17. 抛掷甲、乙两枚质地均匀的骰子，所得的点数分别为a ，b ，记b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的取值为随机变量X ，其中b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦表示不超过ba的最大整数. （1）求在0X >的条件下，bX a=的概率；（2）求X 的分布列及其数学期望. 【答案】（1）23（2）分布列见解析，()4136E X = 【解析】【分析】（1）利用列举法结合条件概率公式即可得解；（2）写出随机变量的所有可能取值，求出对应概率，即可得出分布列，再根据期望公式求期望即可. 【小问1详解】记抛掷骰子的样本点为(),a b ，则样本空间为(){}Ω,16,16,Z,Z a b a b a b =≤≤≤≤∈∈，则()Ω36n =，记事件A =“0X >”，记事件B =“b bX a a ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦”，则(){},16,Z,Z A a b a b a b =≤≤≤∈∈，且()21n A =，又{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,2),(2,4),AB =}(2,6),(3,3),(3,6),(4,4),(5,5),(6,6)，则()14n AB =，所以()()()142213n AB P B A n A ===，即在0X >的条件下，b X a=的概率为23；【小问2详解】X 所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6.()3621503612P X -===，()1211363P X ===，()412369P X ===， ()2133618P X ===，()1436P X ==，()1536P X ==，()1636P X ==，所以X 的分布列为：X 01 2 3 4 5 6P512 13 19 118 136 136 136所以()511111141012345612391836363636E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 18. 已知双曲线C ：2214x y -=的左右顶点分别为1A ，2A ，过点()4,0P 的直线l 与双曲线C 的右支交于M ，N 两点.（1）若直线l 的斜率k 存在，求k 的取值范围；（2）记直线1A M ，2A N 的斜率分别为1k ，2k ，求12k k 的值；（3）设G 为直线1A M 与直线2A N 的交点，GMN ，12GA A △的面积分别为1S ，2S ，求12S S 的最小值. 【答案】（1）11,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）13-；（3）3. 【解析】【分析】（1）设直线l 的方程为4x my =+，联立方程组，结合题意列出不等式组，即可求解；（2）由（1）得到121222812,44m y y y y m m +=-=--，求得()121223my y y y =-+，结合斜率公式，准确运算，即可求解；（3）由（2）可知213k k =-，设1A M 与2A N 的方程分别为()12y k x =+和()132y k x =--，两两方程组，求得1G x =，结合三角形的面积公式和不等式的性质，即可求解. 【小问1详解】解：设()11,M x y ，()22,N x y ，直线l 的方程为4x my =+，联立方程组22414x my x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，整理得()2248120m y my -++=，因为直线l 与双曲线的右支交于,M N 两点，可得()()()2222122Δ8441216120401204m m m m y y m ⎧=--⨯=+>⎪⎪-≠⎨⎪⎪=<-⎩，解得22m -<<，又由直线l 的斜率为1k m =，可得k 的取值范围是11,,22∞∞⎛⎫⎛⎫--⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【小问2详解】解：由双曲线22:14x C y -=，可得()12,0A -，()22,0A ，由（1）可得12284my y m +=--，122124y y m =-，则()121223my y y y =-+. 所以()()()()1121211121222121122222222662y y x y my k x my y y y k y x y my my y y x -+++====+++- ()()12112122123132122233936222y y y y y y y y y y -++-===--++-+.【小问3详解】解：由（2）可知213k k =-，所以直线1A M 与直线2A N 的方程分别为()12y k x =+和()132y k x =--，联立两直线方程可得交点G 的横坐标为1G x =，于是()()1211221212121sin 331121313sin 2GM GN MGN my my S x x GM GN S GA GA GA GA A GA ⋅∠++--==⋅=⋅=⋅∠ ()221212223912161611334440m y y m y y m m m +++--===-+≥-+=---，故12S S 的最小值为3，当且仅当0m =时取等号成立.【点睛】方法技巧：求解圆锥曲线的最值问题的解答策略与技巧：1、几何方法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆、圆锥曲线的定义、图形，以及几何性质求解；2、代数方法：当题目给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个目标函数的最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式；③单调性法；④三角换元法；⑤导数法等，要特别注意自变量的取值范围.19. 在空间直角坐标系O xyz -中，任何一个平面的方程都能表示成0Ax By Cz D +++=，其中,,,A B C D ∈R ，2220A B C ++≠，且(),,n A B C =为该平面的法向量.已知集合(){},,1,1,1P x y z x y z =≤≤≤，(){},,2Q x y z x y z =++≤，(){},,2,2,2T x y z x y y z z x =+≤+≤+≤.（1）设集合(){},,0M x y z z ==，记P M ⋂中所有点构成的图形的面积为1S ，Q M 中所有点构成的图形的面积为2S ，求1S 和2S 的值；（2）记集合Q 中所有点构成的几何体的体积为1V ，P Q 中所有点构成的几何体的体积为2V ，求1V 和2V 的值：（3）记集合T 中所有点构成的几何体为W . ①求W 的体积3V 的值；②求W 的相邻（有公共棱）两个面所成二面角的大小，并指出W 的面数和棱数. 【答案】（1）14S =，28S =；（2）1323V =，2203V =；（3）①16；②2π3，共有12个面，24条棱.【解析】【分析】（1）首先分析题意进行解答，分别表示出集合,M P 代表的点，后得到P M ⋂的截面是正方形求出1S ，同理得到Q M 是正方形求出2S 即可.（2）首先根据（1）分析得出P Q '' 为截去三棱锥4123Q Q Q Q -所剩下的部分. 后用割补法求解体积即可.（3）利用题目中给定的定义求出法向量，结合面面角的向量求法求解，再看图得到面数和棱数即可. 【小问1详解】集合(){},,0M x y z z ==表示xOy 平面上所有的点，(){},,1,1,1P x y z x y z =≤≤≤表示()1,1,1±±±这八个顶点形成的正方体内所有的点，而P M ⋂可以看成正方体在xOy 平面上的截面内所有的点. 发现它是边长为2的正方形，因此14S =. 对于(){},,2Q x y z x y z =++≤，当,,0x y z >时，2x y z ++=表示经过(2,0,0)，(0,2,0)，(0,0,2)的平面在第一象限的部分.由对称性可知Q 表示2,0,0±()，0,2,0±()，0,0,2±() 这六个顶点形成的正八面体内所有的点.而Q M 可以看成正八面体在xOy 平面上的截面内所有的点.它是边长为28S =. 【小问2详解】记集合Q ，P Q 中所有点构成的几何体的体积分别为1V ，2V ；考虑集合Q 的子集(){},,2,0,0,0Q x y z x y z x y z =++≤≥≥≥'；即为三个坐标平面与2x y z ++=围成的四面体.四面体四个顶点分别为(0,0,0)，(2,0,0)，(0,2,0)，(0,0,2)，此四面体的体积为114222323Q V '⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭由对称性知，13283Q V V '== 考虑到P 的子集P '构成的几何体为棱长为1的正方体，即(){},,01,01,01P x y z x y z =≤≤≤≤≤≤'，(){},,2,0,0,0Q x y z x y z x y z =++≤≥≥≥'，显然P Q '' 为两个几何体公共部分，记()11,1,0Q ，()21,0,1Q ，()30,1,1Q ，()41,1,1Q .容易验证1Q ，2Q ，3Q 在平面2x y z ++=上，同时也在P '的底面上. 则P Q '' 为截去三棱锥4123Q Q Q Q -所剩下的部分.P '的体积1111P V '=⨯⨯=，三棱锥4123Q Q Q Q -的体积为()4123111111326Q Q Q Q V -=⨯⨯⨯⨯=. 故P Q '' 的体积412315166P Q P Q Q Q Q V V V '''-=-=-= . 当由对称性知，22083P Q V V ''==. 【小问3详解】如图所示，即为T 所构成的图形.其中正方体ABCD IJML -即为集合P 所构成的区域.E ABCD -构成了一个正四棱锥，其中E 到面ABCD 的距离为2，1412233E ABCD V -=⨯⨯⨯=，34686163P E ABCD V V V -=+=+⨯=.由题意面EBC 方程为20x z +-=，由题干定义知其法向量()11,0,1n =面ECD 方程为20y z +-=，由题干定义知其法向量()20,1,1n = 故1212121cos ,2n n n n n n ⋅==⋅ . 由图知两个相邻的面所成角为钝角.故H 相邻两个面所成角为2π3. 由图可知共有12个面，24条棱. 【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何新定义，解题关键是利用新定义求出法向量，然后利用向量求法得到所要求的二面角余弦值即可．。

山东省济宁市济宁一中2020届高三上学期10月阶段检测数学试题+Word版含答案

济宁一中2017级高三年级第一学期阶段检测数学试题2019.10出题人：杨涛审题人：张善举、曹雷注意事项：1.本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟。

2.选择题答案请填涂在答题卡的相应位置，非选择题答案必须用黑色签字笔写在规定的答题区域内，否则不得分。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则的子集个数为（）A．B．C．D．2．已知复数，则在复平面上对应的点所在象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．在等差数列中，若，，则（）A．B．C．D．4．下列函数中，既是奇函数又在定义域内递增的是（）A．B．C．D．5．，则的值为（）山东中学联盟A．B．C．D．6．已知向量，，则“”是为钝角的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．若向量，的夹角为，且，，则向量与向量的夹角为（）A．B．C．D．8．函数在上单调递增，且关于对称，若，则的的取值范围是（）A．B．C．D．9．设函数，若，（）A．B．C．D．10．函数（其中，）的图象如图所示，为了得到的图象，只需把的图象上所有点（）A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度11．在中，是的中点，，点在上且满足，则等于（）A．B．C．D．12．定义在R上的函数满足：，，则不等式的解集为（）A．(3,+ ∞) B．(－∞,0)∪(3,+ ∞)C．(－∞,0)∪(0,+∞) D．(0,+∞)第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．若等差数列的前项和为，则_________．Sdzxlm14. 已知，，且共线，则向量在方向上的投影为__________．15．设，将的图像向右平移个单位长度，得到的图像，若是偶函数，则的最小值为__________．16．已知函数，则当函数恰有两个不同的零点时，实数的取值范围是．三、解答题：本题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知函数y=ax（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，记．（1）求a的值；（2）证明；（3）求的值．18.（本小题满分12分）已知函数．（I）求函数的最小正周期和对称中心坐标；（II）讨论在区间上的单调性．19．（本小题满分12分）已知中，角的对边分别为，．（1）求角的大小；（2）若，求的面积．20. （本小题满分12分）设Sn为数列{an}的前n项和．已知an>0，a2n＋2an＝4Sn＋3.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝1anan＋1，求数列{bn}的前n项和．21. （本小题满分12分）某品牌电脑体验店预计全年购入360台电脑，已知该品牌电脑的进价为3 000元/台，为节约资金决定分批购入，若每批都购入x(x∈N*)台，且每批需付运费300元，储存购入的电脑全年所付保管费与每批购入电脑的总价值(不含运费)成正比(比例系数为k)，若每批购入20台，则全年需付运费和保管费7 800元．(1)记全年所付运费和保管费之和为y元，求y关于x的函数；(2)若要使全年用于支付运费和保管费的资金最少，则每批应购入电脑多少台？22．（本小题满分12分）已知为实数，函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有两个不同的零点，①求实数的取值范围；②证明：．济宁一中2017级高三年级第一学期第二次阶段检测数学答案一、选择题。

山东省各地市2020年高考数学最新试题分类大汇编 11 圆锥曲线(1) 理

山东省各地市2020年高考数学（理科）最新试题分类大汇编：第11部分：圆锥曲线（1）一、选择题【山东省青州市2020届高三2月月考理】10. 设双曲线)0,0(12222>>=-b a bx a y 的渐近线与抛物线12+=x y 相切，则该双曲线的离心率等于A ．5B ．25C ．6D ．26 【答案】B滕州二中【山东省微山一中2020届高三10月月考理】8. 若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上不存在点P 使得右焦点F 关于直线OP （O 为双曲线的中心）的对称点在y 轴上,则该双曲线离心率的取值范围为（）A ．(2,)+∞B ．[2,)+∞C ．(1,2]D ．(1,2)答案:C解析:这里给出否定形式,直接思考比较困难,按照正难则反,考虑存在点P 使得右焦点F 关于直线OP （O 为双曲线的中心）的对称点在y 轴上,因此只要在这个双曲线上存在点P 使得OP 斜率为1即可,所以只要渐进线的斜率大于1,也就是离心率大于2,求其在大于1的补集;该题通过否定形式考查反证法的思想,又考查数形结合、双曲线的方程及其几何性质,是中档题.【山东省临沭一中2020届高三12月理】8．已知双曲线22221x y a b -=的一个焦点与抛物线24y x =的焦点重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的方程为( )A.224515y x -= B.22154x y -= C.22154y x -= D.225514y x -= 【答案】D【山东省实验中学2020届高三上学期第一次诊断性考试理】12. 点P 在双曲线上•，是这条双曲线的两个焦点，，且的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是(A) .2 (B) .3(C) .4(D) .5【答案】D【山东省滕州二中2020届高三上学期期中理】11: 已知直线l 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右准线，如果在直线l 上存在一点M ，使得线段OM （O 为坐标原点）的垂直平分线过右焦点，则椭圆的离心率的取值范围是（）A ．)1,23[B ． )1,22[C ．)1,22( D ． )1,21[【答案】B【山东省青岛市2020届高三期末检测理】10.以坐标轴为对称轴，原点为顶点，且过圆222690x y x y +-++=圆心的抛物线方程是A ．23x y =或23x y -= B ．23x y =C ．x y 92-=或23x y =D ．23x y -=或x y 92=【答案】D【山东省青岛市2020届高三期末检测理】11.以双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的左焦点F为圆心，作半径为b 的圆F ，则圆F 与双曲线的渐近线 A ．相交B ．相离C ．相切D ．不确定【答案】C【山东省莱芜市2020届高三上学期期末检测理】正三角形一个顶点是抛物线)0(22>=p py x 的焦点，另两个顶点在抛物线上，则满足此条件的正三角形共有A.0个B.1个C.2个D.4个【答案】C【山东省莱芜市2020届高三上学期期末检测理】若点O 和点F 分别为椭圆15922=+y x 的中心和左焦点，点P 为椭圆上任意一点，则OP FP ⋅u u u r u u r的最小值为A.411B.3C.8D.15 【答案】A【山东省烟台市2020届高三期末检测理】7.直线022=+-y x 经过椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为 A.55 B.21 C.552 D.32 【答案】C【山东省潍坊市重点中学2020届高三2月月考理】11．若双曲线)0(12222>>=-b a by a x 的左右焦点分别为1F 、2F ，线段21F F 被抛物线212x y b=的焦点分成3:2的两段，则此双曲线的离心率为A ．98 B ．63737 C ． 533 D ． 52121【答案】D【山东省潍坊市三县2020届高三12月联考理】10.若椭圆mx 2+ny 2=1与直线x+y-1=0交于A 、B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为22则nm=（） A 2 B 22 C 23 D 92【答案】B【山东省潍坊市三县2020届高三12月联考理】11．过双曲线2222by a x -=1（a >0，b >0）的左焦点F （-c ，0）（c >0），作圆4222a y x =+的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若()OP OF OE +=21，则双曲线的离心率为（） A ．10 B ．510C ．210D ．2【答案】C【山东省枣庄市2020届高三上学期期末理】11.已知双曲线12222=-b y a x 的一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，且该双曲线的离心率为5，则该双曲线的渐近线方程为A.x y 21±= 2 B.x y 2±= 4C.x y 2±=D.x y 22±= 【答案】C【山东实验中学2020届高三第一次诊断性考试理】12. 点P 在双曲线上•，是这条双曲线的两个焦点，，且的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是(A) .2 (B) .3(C) .4(D) .5【答案】D【解析】解：设|PF 2|,|PF 1|，|F 1F 2|成等差数列，且分别设为m-d,m,m+d,则由双曲线定义和勾股定理可知：m-(m-d)=2a,m+d=2c, (m-d)2+m 2=(m+d)2,解得m=4d=8a,5252d ce da ∴===故选项为D【山东省聊城市五校2020届高三上学期期末联考】6．已知P 是以F 1、F 2为焦点的椭圆,0,)0(1212222=⋅>>=+PF PF b a b y a x 且上一点 ,21tan 21=∠F PF 则该椭圆的离心率为（）A ．21B ．32 C ．31 D ．35 【答案】D【山东济宁梁山二中2020届高三12月月考理】12．设F 是抛物线()02:21>=p px y C 的焦点，点A 是抛物线1C 与双曲线1:22222=-by a x C ()0,0>>b a 的一条渐近线的一个公共点，且AF x ⊥轴，则双曲线的离心率为A ． 25B ． 5C ． 3D ． 2【答案】B【莱州一中2020高三第三次质量检测理】10.已知点P 是抛物线28y x =-上一点，设P 到此抛物线准线的距离是1d ，到直线100x y +-=的距离是2d ，则12d d +的最小值是 3B.362D. 3【答案】C【山东省滨州市沾化一中2020届高三上学期期末理】9．若椭圆221x y m n+=（m ＞n ＞0）和双曲线221x y a b-=（a ＞b ＞0）有相同的焦点F 1，F 2，P 是两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值是（）A ．m －aB ．1()2m a -C ．m 2－a 2D m a -【答案】A【山东济宁邹城二中2020届高三上学期期中】2．已知双曲线2212y x -=的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且120,MF MF ⋅=u u u u r u u u u r则点M 到x 轴的距离为( )A ．43B ．53 CD【答案】C【山东济南市2020界高三下学期二月月考理】已知点1F 、2F 分别是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点，过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若2ABF ∆为锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是 A ．(1,)+∞B．C ．（1，2）D．(1,1+【答案】D【山东济南市2020界高三下学期二月月考理】抛物线214y x =的焦点坐标是 A ．,0161（） B ．(1,0）C ．1-,016（）D ． 0,1（）【答案】D【山东省济宁市2020届高三上学期期末检测理】2.抛物线y x 42=的焦点坐标为 A.（1，0） B.（2，0）C.（0，1）D.（0，2）【答案】C【山东省济南一中2020届高三上学期期末理】10. 已知抛物线22(0)y px p =>上一点(1,)(0)M m m >到其焦点的距离为5，双曲线221x y a-=的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值是 A ．19 B ．125C ．15D ．13 【答案】A【山东省苍山县2020届高三上学期期末检测理】2．抛物线28x y =的焦点到准线的距离是（） A ．1 B ．2C ．4D ．8【答案】C【山东省潍坊市2020届高三上学期期末考试理】10．已知点P 是抛物线x y 82-=上一点，设P 到此抛物线准线的距离是d 1，到直线010=-+y x 的距离是d 2，则d l +d 2的最小值是 A. 3 B. 32 C. 26 D ．3 【答案】C【山东省苍山县2020届高三上学期期末检测理】12．已知圆22:6480C x y x y +--+=，以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为（）A ．221124x y -= B ．221412x y -= C ．22124x y -= D ．22142x y -= 【答案】B 二、填空题【山东省潍坊市2020届高三上学期期末考试理】15．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率为332，焦距为2c ，且2a 2=3c ，双曲线上一点P 满足为左右焦点）、2121(2F F PF PF =•,则=•||||21PF PF ．【答案】4【山东省莱芜市2020届高三上学期期末检测理】若双曲线12222=-by a x 的一条渐近线与抛物线122+=x y 只有一个公共点，则双曲线的离心率等于 .【答案】3【山东省潍坊市三县2020届高三12月联考理】13. 已知AB 是过抛物线22y x =焦点的弦，||4AB =，则AB 中点的横坐标是 .【答案】23【莱州一中2020高三第三次质量检测理】15.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率，焦距为2c ，且223a c =,双曲线上一点P 满足1212(PF PF F =u u u r u u u r g 、2F 为左、右焦点），则12||||PF PF =u u u r u u u r g .【答案】4【山东省东营市2020届高三上学期期末（理）】15．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的离心率为332，焦距为2c ，且2a 2=3c ，双曲线上一点P 满足为左右焦点）、2121(2F F PF PF =•,则=•||||21PF PF．【答案】4【山东省济宁市汶上一中2020届高三11月月考理】12．已知点P 是以12,F F 为焦点的椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点，且120,PF PF ⋅=u u u r u u u u r 121tan ,2PF F ∠=则该椭圆的离心率等于________．【答案】35【山东省临沭一中2020届高三12月理】16. 椭圆22221(0)x y a b a b+=＞＞的左、右焦点分别是F 1，F 2，过F 2作倾斜角为120︒的直线与椭圆的一个交点为M ，若MF 1垂直于x 轴，则椭圆的离心率为【答案】32-三、解答题【山东实验中学2020届高三第一次诊断性考试理】22.(本小题满分14分）己知椭圆C ：旳离心率e =,左、.右焦点分别为，点.，点尽在线段PF 1的中垂线i. (1) 求椭圆C 的方程； (2) 设直线与椭圆C 交于M ，N 两点，直线、的倾斜角分别为，且，求证：直线/过定点，并求该定点的坐标.【解题说明】本试题主要考察椭圆的标准方程，以及恒过定点的直线，直线与圆锥曲线的综合运用。

2020年山东新高考数列精选模拟试题(含解析)

专题8 数列数列是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，大小均有.其中，小题重点考查等差数列、等比数列基础知识以及数列的递推关系；解答题的难度中等或稍难，将稳定在中等难度.往往在利用方程思想解决数列基本问题后，进一步数列求和，在求和后可与不等式、函数、最值等问题综合.在考查等差数列、等比数列的求和基础上，进一步考查“裂项相消法”、“错位相减法”等，与不等式结合，“放缩”思想及方法尤为重要．预测2020年将保持稳定，注意主观题与不等式、函数等相结合.一、单选题1．（2020届山东省淄博市高三二模）“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为 ABC．D．2．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）已知数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且23n n n S a +=，则1n n a a -的最大值为（） A ．3-B ．1-C ．3D ．13．（2020届山东省济宁市高三3月月考）在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．”则下列说法错误的是（） A ．此人第二天走了九十六里路 B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里.C ．此人第三天走的路程占全程的18D ．此人后三天共走了42里路若存在两项,m n a a32=，则14m n+的最小值为 A ．34B ．910C ．32D ．955．（2020届山东省青岛市高三上期末）已知数列{}n a 中,32a =,71a =.若1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,则5a =( ) A ．23B ．32C ．43D ．34二、多选题6．（2020届山东省潍坊市高三模拟一）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若4524a a +=，648S =，则下列正确的是（） A ．12a =-B ．12a =C ．4d =D ．4d =-7．（2020·山东曲阜一中高三3月月考）在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关.”则下列说法正确的是（） A ．此人第二天走了九十六里路B ．此人第三天走的路程站全程的18C ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里D ．此人后三天共走了42里路8．（2020届山东省潍坊市高三模拟二）将n 2个数排成n 行n 列的一个数阵，如图：该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列（其中m ＞0）.已知a 11＝2，a 13＝a 61+1，记这n 2个数的和为S .下列结论正确的有（）A ．m ＝3B ．767173a =⨯C ．()1313j ij a i -=-⨯D ．()()131314n S n n =+- 9．（2020届山东省济宁市第一中学高三一轮检测）等差数列{}n a 是递增数列，满足753a a =，前n 项和为n S ，下列选择项正确的是（） A ． 0d >B ．10a <C ．当5n =时n S 最小D ．0n S >时n 的最小值为810．（2020·山东滕州市第一中学高三3月模拟）已知数列{}{},n n a b 满足1111312,2ln(),0n n n n n n n a a b b a b n N a b n*+++=+=++∈+> 给出下列四个命题，其中的真命题是（） A ．数列{}n n a b -单调递增； B ．数列{}n n a b + 单调递增； C ．数{}n a 从某项以后单调递增； D ．数列{}n b 从某项以后单调递增.三、填空题11．（2020届山东省烟台市高三模拟）已知数列{}n a 的前n 项和公式为221n S n n =-+，则数列{}n a 的通项公式为___．12．（2020届山东省潍坊市高三模拟一）九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏.在某种玩法中，用n a 表示解下()*9,n n n N≤∈个圆环所需移动的最少次数，{}na 满足11a=，且()()112122n n n a n a a n --⎧-⎪=⎨+⎪⎩为偶数为奇数，则解下5个圆环需最少移动________次.四、解答题13．（2020·山东高三模拟）已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前4项和为414S =, 且137,,a a a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式; （2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .14．（2020届山东省烟台市高三模拟）已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+.（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令1(1)(2)n n n nn a c b ++=+.求数列{}n c 的前n 项和n T . 15．（2020届山东省高考模拟）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12n n S a a =-（*n N ∈），数列{}n b 满足16b =，14n n nb S a =++（*n N ∈）．（Ⅰ）求数列{}n a 通项公式；（Ⅱ）记数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：12nT ＜． 16．（2020届山东省济宁市第一中学高三一轮检测）已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且23b =，39b =，11a b =，144a b =．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和．17．（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）已知数列{}n a 中，11a =，121n n a a n +=+-，n n b a n =+.（1）求证：数列{}n b 是等比数列; （2）求数列{}n a 的前n 项和n S .18．（2020·山东滕州市第一中学高三3月模拟）已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，其前n 项和为n S ，若2822a a +=，且4712,,a a a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若12111n n T S S S =+++，证明：34n T <. 19．（2020届山东省泰安市肥城市一模）记n S 为公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，已知2219a a =，618S =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S 的最大值及对应n 的大小.20．（2020届山东省济宁市高三3月月考）已知数列{}n a 为公差不为0的等差数列，且139a a a 、、成等比数列，246a a +=.（1）求数列{}n a 的通项n a ；（2）设()21cos3n n n a b a π+=，求数列{}nb 的前2020项的和2020S.21．（2020届山东省菏泽一中高三2月月考）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知11a =,121n n S S +-=,n *∈N . (1)证明:{}1n S +为等比数列,求出{}n a 的通项公式; (2)若n nn b a =,求{}n b 的前n 项和n T ,并判断是否存在正整数n 使得1250n n T n -⋅=+成立?若存在求出所有n 值;若不存在说明理由.22．（2020届山东省潍坊市高三模拟一）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，627S =. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设2n an b =，记n T 为数列{}n b 的前n 项和.若124m T =，求m .23．（2020届山东省潍坊市高三模拟二）已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且*12(1)()n n a a n N +=+∈.（Ⅰ）证明：数列{a n +2}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n ＝log 2（a n +2）﹣log 23，求数列32n n b a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和n T .24．（2020届山东省六地市部分学校高三3月线考）数列{}n a 满足：123a a a +++()1312nn a +=- （1）求{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足3n na b n a =，求{}n b 的前n 项和n T .25．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）已知函数()log k f x x =（k 为常数，0k >且1k ≠）．（1）在下列条件中选择一个________使数列{}n a 是等比数列，说明理由； ①数列(){}n f a 是首项为2，公比为2的等比数列； ②数列(){}n f a 是首项为4，公差为2的等差数列；③数列(){}n f a 是首项为2，公差为2的等差数列的前n 项和构成的数列．（2）在（1）的条件下，当k =12241+=-n n n a b n ，求数列{}n b 的前n 项和n T . 26．（2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）在①325256a a a b =+=，；②234323b a a b =+=，；③345298S a a b =+=，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{}n a 的公差为()1d d >，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ，且11a b d q ==，，____________．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式．（2）记nn na cb =，求数列{}n c ，的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 27．（2020·山东高三下学期开学）已知数列{}n a 满足123123252525253n n na a a a ++++=----…．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：11226n T ≤<． 28．（2020届山东省淄博市高三二模）已知数列{}n a 满足132a =，且()1112,22n n n a a n n *--=+≥∈N .（1）求证：数列{}2nn a 是等差数列，并求出数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S .29．（2020届山东省淄博市部分学校高三3月检测）已知数列{}n a 满足11a =，1431n n a a n +=+-，n n b a n =+.（1）证明：数列{}n b 为等比数列；（2）求数列{}n a 的前n 项和.30．（2020·2020届山东省淄博市高三二模）（本小题满分12分）设函数()()22ln 11x f x x x =+++.（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）如果对所有的x ≥0，都有()f x ≤ax ，求a 的最小值；（Ⅲ）已知数列{}n a 中， 11a =，且()()1111n n a a +-+=，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：11ln 2n n n na S a a ++>-.一、单选题1．（2020届山东省淄博市高三二模）“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为 ABC． D．【答案】D 【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为所以1(2,)n n a n n N -+=≥∈，又1a f =，则7781a a q f === 故选D.2．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）已知数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且23n n n S a +=，则1n n a a -的最大值为（） A ．3- B ．1-C ．3D ．1【答案】C 【解析】当2n ≥ 时，1121,,33n n n n n n S a S a --++== 两式作差可得：11211213311n n n n n a n n n a a a a n n --+++=-⇒==+-- ，据此可得，当2n = 时，1nn a a -的最大值为33．（2020届山东省济宁市高三3月月考）在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．”则下列说法错误的是（）A ．此人第二天走了九十六里路B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里.C ．此人第三天走的路程占全程的18D ．此人后三天共走了42里路【答案】C 【解析】由题意可知，每天走的路程里数构成以12为公比的等比数列，由S 6=378求得首项，再由等比数列的通项公式求第二天的，第三天的，后三天的路程，即可得到答案．4．（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）已知正项等比数列{}n a 满足：2853516,20a a a a a =+=，若存在两项,m n a a 32=，则14m n+的最小值为 A ．34B ．910C ．32D ．95【答案】A 【解析】因为数列{}n a 是正项等比数列，28516a a a ，3520a a +=，所以2285516a a a a ，516a =，34a =，所以253a a q =，2q ，451a a q ，11a =，1112n n n a a q --==，32=，所以1110222m n，12m n +=，414114112125n m mnm n mnm n431124520,0n m mnm n ，当且仅当2n m =时“=”成立，所以14mn的最小值为34，故选A 。

山东省济南市名校考试联盟2024届高三下学期4月高考模拟数学试题(含答案与解析)

山东名校考试联盟2024年4月高考模拟考试数学试题本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考场号及座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知随机变量2,14X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，则()2P X ==（） A34B.38C.14D.182. 已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，该抛物线上一点P 到2x =-的距离为4，则PF =（） A. 1B. 2C. 3D. 43. 已知集合()(){}2|10x x a x --=的元素之和为1，则实数a 所有取值的集合为（）A. {0}B. {1}C. {－1，1}D. {0,-1，1}4. 已知函数()f x 的定义域为R ，若()()()(),11f x f x f x f x -=-+=-，则()2024f =（） A. 0B. 1C. 2D. 35. 已知圆()()221,4,,4,C x y A a B a +=-:，若圆C 上有且仅有一点P 使PA PB ⊥，则正实数a 取值为（） A. 2或4B. 2或3C. 4或5D. 3或56. 设A ，B 是一个随机试验中的两个事件，且 ()()()111,,432P A P B P A B ==⋃=，则 |P B A ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A.14B.13C.16D.112.的7. 已知数列{}n a 满足11a =，对于任意的*N n ∈且2n ≥，都有111,2,n n n a n a a n --+⎧=⎨⎩为奇数为偶数，则20a =（） A. 112B. 1122-C. 102D. 1022-8. 已知正三棱锥 P －ABC 的底面边长为1的球与该正三棱锥的各棱均相切，则三棱锥 P－ABC 的体积为（）A. 2B.C. 3D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 若复数z 满足()1i 2i z +=-（i 为虚数单位），则下列说法正确是（）A. z =B. z 的虚部为3i 2- C. 52z z ⋅=D. 若复数ω满足21z ω-=，则ω的最大值为 10. 如图，在直角三角形ABC中，AB BC ==AO OC =，点P 是以AC 为直径的半圆弧上的动点，若BP xBA yBC =+，则（）A. 1122BO BA BC =+B. 1CB BO ⋅=C. BP BC ⋅最大值为1D. B ，O ，P 三点共线时2x y +=的11. 已知数列{}n a 满足111,32a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，1πsin 2n n a a +=，()*N n ∈，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则对任意*n ∈N ，下列结论正确的是（） A. 存在N*k ∈ ，使1k a = B. 数列{}n a 单调递增 C. 13144n n a a +≥+ D. 1122n n a a S +≤+三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共 15 分.12. 已知2log 3,43ba ==，则ab =________.13. 现有A ，B 两组数据，其中A 组有4个数据，平均数为2，方差为6，B 组有6个数据，平均数为7，方差为1.若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为________. 14. 已知函数()1e xf x x -=，若方程()()11f x a f x +=+有三个不相等的实数解，则实数a 的取值范围为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 如图，在平面四边形ABCD 中，BC CD ⊥，AB BC ==ABC θ∠=，120180θ︒≤<︒.（1）若120θ=°，3AD =，求ADC ∠大小；（2）若CD =，求四边形ABCD 面积的最大值. 16. 如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，60,1,3,DAB PCB CD AB PC ∠=∠=︒===，平面PCB ⊥平面ABCD ，F 为线段BC 的中点，E 为线段PF 上一点.（1）证明：PF AD⊥；的（2）当EF 为何值时，直线BE 与平面PAD. 17. 已知函数()()()22l ,n 1e xf x ax xg x x axa =--=-∈R .（1）讨论()f x 的单调性；（2）证明：()()f x g x x +≥.18. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线l 与抛物线W ：²2x y =相切于点P ，且与椭圆 2212x C y +=：交于A ，B 两点.（1）当P 的坐标为()2,2时，求AB ；（2）若点G 满足 0GO GA GB ++=，求GAB △面积最大值.19. 随机游走在空气中的烟雾扩散、股票市场的价格波动等动态随机现象中有重要应用.在平面直角坐标系中，粒子从原点出发，每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位，且向四个方向移动的概率均为 1.4例如在1秒末，粒子会等可能地出现在()()()()1,0,1,0,0,1,0,1--四点处.（1）设粒子在第2秒末移动到点(),x y ，记x y +的取值为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望()E X ；（2）记第n 秒末粒子回到原点的概率为n p . （i ）已知220(C)C nk n n n k ==∑求 34,p p 以及2n p ；（ii ）令2n n b p =，记n S 为数列{}n b 的前n 项和，若对任意实数0M >，存在*n ∈N ，使得n S M >，则称粒子是常返的.已知146!e πe nnn n n ⎫⎛⎫⎫<<⎪ ⎪⎪⎭⎝⎭⎭，证明：该粒子是常返的.的参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知随机变量2,14X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，则()2P X ==（） A.34B.38C.14D.18【答案】B 【解析】【分析】根据二项分布直接求解即可. 【详解】因为随机变量2,14X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()4241632C 2168P X ⎛⎫==== ⎪⎝⎭. 故选：B2. 已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，该抛物线上一点P 到2x =-的距离为4，则PF =（） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】【分析】设()000,,0P x y x ≥，由题意可得02x =，结合抛物线的定义运算求解. 【详解】由题意可知：抛物线2:4C y x =的准线为=1x -，设()000,,0P x y x ≥，则024x +=，解得02x =，所以013PF x =+=. 故选：C.3. 已知集合()(){}2|10x x a x --=的元素之和为1，则实数a 所有取值的集合为（）A. {0}B. {1}C. {－1，1}D. {0,-1，1}【答案】D【解析】【分析】根据集合中元素和为1，确定一元二次方程的根，即可得出a 的取值集合. 【详解】因为集合()(){}2|10x x a x --=的元素之和为1，所以一元二次方程()()210x ax --=有等根时，可得21x a==，即1a =±，当方程有两不相等实根时，20x a ==，即0a =，综上，实数a 所有取值的集合为{}0,1,1-. 故选：D4. 已知函数()f x 的定义域为R ，若()()()(),11f x f x f x f x -=-+=-，则()2024f =（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】A 【解析】【分析】利用奇偶性和对称性求得函数周期为4，然后由周期性和奇函数的性质可得. 【详解】因为()()11f x f x +=-，所以()()()()1111f x f x ++=-+，即()()2f x f x +=-，又()()f x f x -=-，函数()f x 的定义域为R ，所以，()f x 是定义域为R 的奇函数，所以()00f =，()()2f x f x =-+，所以，()()24f x f x +=-+，故()()()24f x f x f x =-+=+，所以()f x 是以4为周期的周期函数，所以()()()20245064000f f f =⨯+==. 故选：A5. 已知圆()()221,4,,4,C x y A a B a +=-:，若圆C 上有且仅有一点P 使PA PB ⊥，则正实数a 的取值为（） A. 2或4 B. 2或3C. 4或5D. 3或5【答案】D 【解析】【分析】根据题意可知：点P 的轨迹为以AB 的中点()4,0M 为圆心，半径R a =的圆，结合两圆的位置关系分析求解.【详解】由题意可知：圆22:1C x y +=的圆心为()0,0C ，半径1r =，且0a >，因为PA PB ⊥，可知点P 的轨迹为以线段AB 的中点()4,0M 为圆心，半径R a =的圆，又因为点P 在圆22:1C x y +=上，可知圆C 与圆M 有且仅有一个公共点，则CM r R =+或CM r R =-，即41a =+或41a =-，解得3a =或5a =. 故选：D.6. 设A ，B 是一个随机试验中的两个事件，且 ()()()111,,432P A P B P A B ==⋃=，则 |P B A ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A.14B.13C.16D.112【答案】B 【解析】【分析】根据概率的性质解得()112P AB =，结合()()()P B P AB P AB =+可得()14P AB =，代入条件概率公式分析求解.【详解】因为()()()()P A B P A P B P AB ⋃=+-，即()111243P AB =+-，解得()112P AB =，又因为()()()P B P AB P AB =+，即()11312P AB =+，解得()14P AB =，且()14P A =，可得()()314P A P A =-=，所以()()()114|334P AB P B A P A ===.故选：B.7. 已知数列{}n a 满足11a =，对于任意的*N n ∈且2n ≥，都有111,2,n n n a n a a n --+⎧=⎨⎩为奇数为偶数，则20a =（）A. 112B. 1122-C. 102D. 1022-【答案】B【解析】【分析】根据递推关系，写出数列前几项，归纳出通项即可得解. 【详解】依题意，设2n n b a =，则1212242b a a ====-，3213a a =+=，2432682b a a ====-，5417a a =+=，365214162b a a ====-，76115a a =+=，487230322b a a ====-，可归纳得：122n n b +=-，1222n n n a b +==-，所以11201022a b ==-. 故选：B8. 已知正三棱锥 P －ABC 的底面边长为1的球与该正三棱锥的各棱均相切，则三棱锥 P－ABC 的体积为（）A. 2B.C. 3D.【答案】A 【解析】【分析】作出图形，根据题意可得棱切球球心即为底面正三角形的中点O ，再求出三棱锥的高，最后根据三棱锥的体积公式，即可求解.【详解】因为球与该正三棱锥的各棱均相切，所以该球的球心在过截面圆圆心且与平面ABC 垂直的直线上，又因为底面边长为所以底面正三角形的内切圆的半径为1tan 3012r AB =︒⋅'==，又因为球的半径1r =，即r r '=，所以棱切球的球心即为底面正三角形的中心点O ，如图，过球心O 作PA 的垂线交PA 于H ，则H 为棱切球在PA 上的垂足，的所以1OH r ==，又因为122cos30AB OA ===︒，所以1cos 2OH AOH OA ∠==, 因为()0,πAOH ∠∈，所以60AOH ∠=︒，又由题意可知，PO ⊥平面ABC ，所以PO OA ⊥，所以30POH ∠=︒所以cos30OH PO ===︒所以11232P ABC V -=⨯⨯=. 故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 若复数z 满足()1i 2i z +=-（i 为虚数单位），则下列说法正确的是（）A. z =B. z 的虚部为3i 2- C. 52z z ⋅=D. 若复数ω满足21z ω-=，则ω的最大值为【答案】AC 【解析】【分析】根据复数的除法运算求出z ，利用复数模的公式计算可判断A ；由虚部概念可判断B ；由共轭复数概念和复数乘法运算可判断C ；根据复数的减法的几何意义求解可判断D . 【详解】对于A ，因为()1i 2i z +=-，所以()()()()2i 1i 2i 13i 1i 1i 1i 22z ---===-++-，所以z ==，A 正确；对于B ，由上可知，z 的虚部为32-，故B 错误，对于C ，因为33i 22z =+，所以13135i i 22222z z ⎛⎫⎛⎫⋅=-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确；对于D ，记复数ω对应的点为(),A a b ，复数2z 对应的点为()1,3B -，则由21z ω-=可得1OA OB BA -==，即点A 在以B 为圆心，1为半径的圆上，所以，OA 的最大值为11OB +=+，即ω的最大值为1+，D 错误.故选：AC10. 如图，在直角三角形ABC 中，AB BC ==AO OC =，点P 是以AC 为直径的半圆弧上的动点，若BP xBA yBC =+，则（）A. 1122BO BA BC =+B. 1CB BO ⋅=C. BP BC ⋅最大值为1D. B ，O ，P 三点共线时2x y += 【答案】ACD 【解析】【分析】依题意可得O 为AC 的中点，根据平面向量加法的平行四边形法则判断A ，建立平面直角坐标系，求出圆O的方程，设cos sin P θθ⎫++⎪⎪⎭，π3π,44θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，利用坐标法判断B 、C ，由三点共线得到//BP BO，即可求出θ，从而求出x ，y ，即可判断D.【详解】因为AO OC =，即O 为AC 的中点，所以1122BO BA BC =+，故A 正确；如图建立平面直角坐标，则()0,0B，)C，(A，O ，所以()CB =，BO =，则01CB BO ⋅==- ，故B 错误；又2AC==，所以圆O 的方程为221x y ⎛⎛-+-=⎝⎝，设cos sin P θθ⎫++⎪⎪⎭，π3π,44θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则cos sin BP θθ⎫=+⎪⎪⎭，又)BC =，所以cos 0sin 1BP BC θθθ⎫⎫⋅=+⨯+=⎪⎪⎪⎪⎭⎭ ，因为π3π,44θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以cos θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， θ⎡∈-⎣，所以0,1BP BC ⎡⋅∈⎣，故BP BC ⋅最大值为1C 正确；因为B ，O ，P 三点共线，所以//BP BO，又BO =，cos sin BP θθ⎫=+⎪⎪⎭ ，sin cos θθ⎫⎫+=+⎪⎪⎪⎪⎭⎭，即sin cos θθ=，所以π4θ=，所以BP =，又)BC =，(BA =，且BP xBA yBC =+，即())x y=+=，所以==11x y =⎧⎨=⎩，所以2x y +=，故D 正确.故选：ACD11. 已知数列{}n a 满足111,32a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，1πsin 2n n a a +=，()*N n ∈，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则对任意*n ∈N ，下列结论正确的是（） A. 存在N*k ∈ ，使1k a = B. 数列{}n a 单调递增 C. 13144n n a a +≥+ D. 1122n n a a S +≤+【答案】BCD 【解析】【分析】利用导数证明πsin2x x >，π31sin 244x x >+和π3sin 22n n a a ≤均成立，从而可得BCD 正确.假设A 选项存在N*k ∈ ，使1k a =，则11k k a a +==，与B 选项中数列{}n a 单调递增矛盾，可判断A. 【详解】对于B ，要证数列{}n a 单调递增，只需要证πsin2nn a a >，令()π1sin,,123f x x x x ⎡⎫=-∈⎪⎢⎣⎭，则()ππcos 122f x x ='-，()f x '在1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，因为()110,1103f f ''⎛⎫=->=-< ⎪⎝⎭，故()f x '在1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭上存在唯一的零点0x ，当01,3x x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0f x '>，当()0,1x x ∈时，()0f x '<，所以()πsin2f x x x =-在01,3x x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭为增函数，在()0,1x x ∈上为减函数，因为()110,1036f f ⎛⎫=>= ⎪⎝⎭，所以当1,13x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，有()0f x >即πsin 2x x >，令n x a =，则有πsin2n n a a >，故B 正确；对于A ，假设存在N*k ∈，使得1k a =，则1ππsin sin 122k k a a +===，所以11k a +=，所以11k k a a +==，与B 选项中数列{}n a 单调递增矛盾，故A 错误；对于C ，要证+13144n n a a ≥+，只需证π31sin 244n n a a ≥+，令()π311sin,,12443g x x x x ⎡⎫=--∈⎪⎢⎣⎭，则()ππ3cos 224g x x '=-，()g x '在1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，因为()1330,10344g f ⎛⎫=->=-⎪''< ⎝⎭，故()g x '在1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭上存在唯一的零点1x ，当11,3x x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0g x '>，当()1,1x x ∈时，()0g x '<，所以()π31sin244g x x x =--在11,3x ⎡⎫⎪⎢⎣⎭为增函数，在()1,1x 上为减函数，因为()1103g g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以当1,13x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，有()0g x ≥即π31sin 244x x >+，令n x a =，则有π31sin244n n a a >+，故C 正确；对于D ，令()π31sin,,1223h x x x x ⎡⎫=-∈⎪⎢⎣⎭，则()ππ3cos 222h x x '=-，()h x '在1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，因为()1330,10322h h ⎛⎫=-<=-⎪''< ⎝⎭，故()h x 在1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭上为减函数，因为103h ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，总有()103h x h ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭即π3sin 22x x ≤，所以π3sin 22n n a a ≤，即132n n a a +≤，整理得到：112n n n a a a +-≤，其中1,2,3,,n =故21112a a a -≤32212a a a -≤，……112n n n a a a +-≤累加后可得1112n n a a S +-≤即1122n n a a S +≤+，故D 正确. 故选：BCD.【点睛】关键点睛：数列的单调性的判断需根据相邻两项差的符号来判断，但对于较为复杂的数列（甚至是以递推关系给出的数列），其单调性、与该数列相关的不等式的证明需依靠导数来证明，在该题中，数列的通项的范围依据数学归纳法才能得到.三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共 15 分.12. 已知2log 3,43ba ==，则ab =________. 【答案】2 【解析】【分析】将指数式化为对数式，然后利用换底公式可得.【详解】因为43b =，所以3log 4b =，所以23lg 32lg 2log 3log 42lg 2lg 3ab =⨯=⨯=. 故答案为：213. 现有A ，B 两组数据，其中A 组有4个数据，平均数为2，方差为6，B 组有6个数据，平均数为7，方差为1.若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为________. 【答案】9 【解析】【分析】根据题意，由分层抽样中数据方差的计算公式计算可得答案.【详解】根据题意，甲组数据的平均数为2，方差为6，乙组数据的平均数为7，方差为1,则两组数据混合后，新数据的平均数4267510x ⨯+⨯==，则新数据的方差()()2224662517591010s ⎡⎤⎡⎤=⨯+-+⨯+-=⎣⎦⎣⎦ 故答案为：914. 已知函数()1e xf x x -=，若方程()()11f x a f x +=+有三个不相等的实数解，则实数a 的取值范围为________. 【答案】31,2⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】对()f x 求导，利用导数判断其单调性和最值，令()t f x =，整理得可得()2110t a t a +-+-=，构建()()211g t t a t a =+-+-，结合()f x 的图象分析()g t 的零点分布，结合二次函数列式求解即可.【详解】由题意可知：()f x 的定义域为R ，则()()11e xf x x -=-'，当1x <时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<；可知()f x 在(),1∞-内单调递减，在()1,∞+内单调递增，可得()()11f x f ≤=，且当x 趋近于-∞时，()f x 趋近于-∞；当x 趋近于+∞时，()f x 趋近于0；作出()f x 的图象，如图所示，对于关于x 的方程()()11f x a f x +=+，令()1t f x =≠-，可得11t a t +=+，整理得()2110t a t a +-+-=，且1-不为方程()2110t a t a +-+-=的根，可知方程11t a t +=+等价于()2110t a t a +-+-=，若方程()()11f x a f x +=+有三个不相等的实数解，可知()2110t a t a +-+-=有两个不同的实数根1212,,t t t t <，且1201t t <<<或1201t t <<=或1201t t =<<，构建()()211g t t a t a =+-+-，若1201t t <<<，则()()0101320g a g a ⎧=-<⎪⎨=->⎪⎩，解得312a <<；若1201,1t t <<=，则()1320g a =-=，解得32a =，此时方程为211022t t --=，解得121,12t t =-=，不合题意；若1201t t =<<，则()010g a =-=，解得1a =，此时方程为20t =，解得120t t ==，不合题意；综上所述：实数a 的取值范围为31,2⎛⎫⎪⎝⎭.故答案为：31,2⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】方法点睛：利用函数零点求参数值或取值范围的方法（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解．（2）分离参数后转化为求函数值域（最值）问题求解．的（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 如图，在平面四边形ABCD 中，BC CD ⊥，AB BC ==ABC θ∠=，120180θ︒≤<︒.（1）若120θ=°，3AD =，求ADC ∠的大小；（2）若CD =，求四边形ABCD 面积的最大值. 【答案】（1）=45ADC ∠︒（22+ 【解析】【分析】（1）在ABC 中，利用余弦定理可得AC =由等腰三角形可得30BCA ∠=︒，然后在ADC △中利用正弦定理即可求解；（2）利用勾股定理求得BD =，然后四边形面积分成BCD ABD S S + 即可求解. 【小问1详解】在ABC 中，AB BC ==，120θ=°，所以30BCA ∠=︒，由余弦定理可得，2221262AC ⎛⎫=+--= ⎪⎝⎭，即AC =，又BC CD ⊥，所以60ACD ∠=︒，在ADC △中，由正弦定理可得3sin 60=︒sin ADC ∠=，因为AC AD <，所以060ADC ︒<∠<︒，所以=45ADC ∠︒. 【小问2详解】在Rt BCD 中，BC CD ==BD =，所以，四边形ABCD 的面积1122BCD ABD S S S ABD =+=+∠2sin ABD =+∠，当90ABD Ð=°时，max 2S =+，即四边形ABCD 2+.16. 如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，60,1,3,DAB PCB CD AB PC ∠=∠=︒===，平面PCB ⊥平面ABCD ，F 为线段BC 的中点，E 为线段PF 上一点.（1）证明：PF AD ⊥；（2）当EF 为何值时，直线BE 与平面PAD . 【答案】（1）证明见解析（2）2 【解析】【分析】（1）过D 作DM AB ⊥，垂足为M ，分析可知PBC 为等边三角形，可得PF BC ⊥，结合面面垂直的性质可得PF ⊥平面ABCD ，即可得结果；（2）取线段AD 的中点N ，连接NF ，建系，设()[]0,0,,0,3E a a ∈，求平面PAD 的法向量，利用空间向量处理线面夹角的问题. 【小问1详解】过D 作DM AB ⊥，垂足为M ，由题意知：BCDM 为矩形，可得2,tan 60AMAM BC DM ====︒，由60PC PCB =∠=︒，则PBC 为等边三角形，且F 为线段BC 的中点，则PF BC ⊥，又因为平面PCB ⊥平面ABCD ，平面PCB ⋂平面ABCD BC =，PF ⊂平面PCB ，可得PF ⊥平面ABCD ，且AD ⊂平面ABCD ，所以PF AD ⊥. 【小问2详解】由（1）可知：PF ⊥平面ABCD ，取线段AD 的中点N ，连接NF ，则FN ∥AB ，2FN =，又因为AB BC ⊥，可知NF BC ⊥，以F 为坐标原点，,,NF FB FP 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则()()()(),1,,0,0,3,A D P B ，因为E 为线段PF 上一点，设()[]0,0,,0,3E a a ∈，可得()()()2,,,0,DA DP BE a ==-=，设平面PAD 法向量(),,n x y z =，则2030n DA x n DP x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令3x =-，则2y z ==-，可得()2n =--，由题意可得：cos ,n BE n BE n BE ⋅===⋅，整理得2440a a -+=，解得2a =，所以当2EF =，直线BE 与平面PAD. 17. 已知函数()()()22l ,n 1e xf x ax xg x x axa =--=-∈R .（1）讨论()f x 的单调性；（2）证明：()()f x g x x +≥. 【答案】（1）答案见详解（2）证明见详解【解析】的【分析】（1）求导可得()221ax f x x-'=，分0a ≤和0a >两种情况，结合导函数的符号判断原函数单调性；（2）构建()()(),0F x f x g x x x =+->，()1e ,0xh x x x=->，根据单调性以及零点存在性定理分析()h x 的零点和符号，进而可得()F x 的单调性和最值，结合零点代换分析证明.【小问1详解】由题意可得：()f x 的定义域为()0,∞+，()21212ax f x ax x x-'=-=，当0a ≤时，则2210ax -<在()0,∞+内恒成立，可知()f x 在()0,∞+内单调递减；当0a >时，令()0f x ¢>，解得x >()0f x '<，解得0x <<；可知()f x在⎛ ⎝内单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭内单调递增；综上所述：当0a ≤时，()f x ()0,∞+内单调递减；当0a >时，()f x在⎛ ⎝内单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭内单调递增. 【小问2详解】构建()()()e ln 1,0xF x f x g x x x x x x =+-=--->，则()()()111e 11e xx F x x x x x ⎛⎫'=+--=+- ⎪⎝⎭，由0x >可知10x +>，构建()1e ,0x h x x x=->，因为1e ,xy y x==-在()0,∞+内单调递增，则()h x 在()0,∞+内单调递增，且()120,1e 102h h ⎛⎫=-<=->⎪⎝⎭，在可知()h x 在()0,∞+内存在唯一零点01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，当00x x <<，则()0h x <，即()0F x '<；当0x x >，则()0h x >，即()0F x '>；可知()F x 在()00,x 内单调递减，在()0,x +∞内单调递增，则()()00000e ln 1xF x F x x x x ≥=---，又因为001e 0xx -=，则00001e ,e x x x x -==，01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得()000001ln e 10x F x x x x -=⨯---=，即()0F x ≥，所以()()f x g x x +≥.18. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线l 与抛物线W ：²2x y =相切于点P ，且与椭圆 2212x C y +=：交于A ，B 两点.（1）当P 的坐标为()2,2时，求AB ；（2）若点G 满足 0GO GA GB ++=，求GAB △面积的最大值. 【答案】（1（2【解析】【分析】（1）设2001,2P x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据题意结合导数的几何意义求得切线方程为20012y x x x =-，与椭圆方程联立，结合韦达定理求AB ，代入02x =即可得结果；（2）根据题意可知：点G 为OAB 的重心，进而可得13GABOAB S S ==△△.【小问1详解】由²2x y =可得21,2y x y x '==，设2001,2P x x ⎛⎫⎪⎝⎭，可知直线l 的斜率0k x =，可知切线方程为()200012y x x x x -=-，即20012y x x x =-，联立方程200221212y x x x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 得()22340001212202x x x x x +-+-=，可知()()62442000001Δ4421228402x x x x x ⎛⎫=-+-=--->⎪⎝⎭，解得(011x -<<+，设()()1122,,,A x y B x y ，则4300121222001222,2121x x x x x x x x -+==++，则AB == 若P 的坐标为()2,2，即02x =，所以AB ==.【小问2详解】因为点O 到直线2001:02l x x y x --=的距离d =，由题意可知：点G 为OAB的重心，且(()(01,00,1x ∈-+⋃+，可知1111133232GAB OABS S d AB==⨯⋅=⨯=2212⎡⎤⎢⎥≤+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，=x=所以GAB△.【点睛】方法点睛：1．与圆锥曲线有关的最值问题的两种解法（1）数形结合法：根据待求值的几何意义，充分利用平面图形的几何性质求解．（2）构建函数法：先引入变量，构建以待求量为因变量的函数，再求其最值，常用基本不等式或导数法求最值（注意：有时需先换元后再求最值）．19. 随机游走在空气中的烟雾扩散、股票市场的价格波动等动态随机现象中有重要应用.在平面直角坐标系中，粒子从原点出发，每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位，且向四个方向移动的概率均为1.4例如在1秒末，粒子会等可能地出现在()()()()1,0,1,0,0,1,0,1--四点处.（1）设粒子在第2秒末移动到点(),x y，记x y+的取值为随机变量X，求X的分布列和数学期望()E X；（2）记第n秒末粒子回到原点概率为n p.的（i ）已知220(C)C nk n n n k ==∑求 34,p p 以及2n p ；（ii ）令2n n b p =，记n S 为数列{}n b 的前n 项和，若对任意实数0M >，存在*n ∈N ，使得n S M >，则称粒子是常返的.已知146!e πe nnn n n ⎫⎛⎫⎫<<⎪ ⎪⎪⎭⎝⎭⎭，证明：该粒子是常返的. 【答案】（1）见解析（2）（i ）30p =；4964p =；()()2242!116!n nn p n ⎡⎤⎣⎦=（ii ）见解析【解析】【分析】（1）求出求X 的可能取值及其对应的概率，即可求出X 分布列，再由数学期望公式求出()E X ；（2）（i ）粒子奇数秒不可能回到原点，故30p =；粒子在第4秒回到原点，分两种情况考虑，再由古典概率公式求解即可；第2n 秒末粒子要回到原点，则必定向左移动k 步，向右移动k 步，向上移动n k -步，向下移动n k -步，表示出2n p ，由组合数公式化简即可得出答案；（ii ）利用题目条件可证明()222211C 46n n nn p n =⋅>，再令()()ln 1,0f x x x x =-+>可证得()211ln 16nn k k S p n ==>+∑，进一步可得()1ln 16n S n M >+>，即可得出答案. 【小问1详解】粒子在第2秒可能运动到点()()()1,1,2,0,0,2或()()()0,0,1,1,1,1--或()()()1,1,2,0,0,2----的位置，X 的可能取值为：2,0,2-，()412164P X =-==，()810162P X ===，()412164P X ===，所以X 的分布列为：X2- 02P141214()()1112020424E X =-⨯+⨯+⨯=.【小问2详解】（i ）粒子奇数秒不可能回到原点，故30p =，粒子在第4秒回到原点，分两种情况考虑：()a 每一步分别是四个不同方向的排列，例如“上下左右”，共有44A 种情形；()b 每一步分别是两个相反方向的排列，例如“左左右右、上上下下”，共有242C 种情形；于是424444A +2C 9464p ==，第2n 秒末粒子要回到原点，则必定向左移动k 步，向右移动k 步，向上移动n k -步，向下移动n k -步，故()()()22222222202!C C C 144!!k k n kn nn n k n kn n n k k n p k n k ---====⎡⎤-⎣⎦∑∑ ()()()()()2222222002!!11C C C 44!!!n nn k n kn n n n n k k n n n k n k -====⋅⎡⎤-⎣⎦∑∑ ()()222222011C C C 44nn k n n n n n n k ==⋅=⋅∑.故()()()()222222422!111C C 41616!n n n n n n nnn p n ⎡⎤⎣⎦=⋅==.（ii146!e πe nnn n n ⎫⎛⎫⎫<<⎪ ⎪⎪⎭⎝⎭⎭可知：()()22222!e C!nn nn n n ⎫=>=⎣⎦于是()222211C 46n n n n p n=⋅>，令()()ln 1,0f x x x x =-+>，()11011x f x x x=-=>++'，故()f x 在()0,∞+上单调递增，则()()00f x f >=，于是()()ln 10x x x >+>，从而有：()21111111ln 1ln 1666n nn n k k k k S p n k k ===⎛⎫=>>+=+ ⎪⎝⎭∑∑∑，即[]x 为不超过x 的最大整数，则对任意常数0M >，当6eMn ⎡⎤≥⎣⎦时，6e 1M n >-，于是()1ln 16n S n M >+>, 综上所述，当6eMn ⎡⎤≥⎣⎦时，n S M >成立，因此该粒子是常返的.【点睛】关键点睛：本题第二问（ii ）的关键点在于利用146!e πe nnn n n ⎫⎛⎫⎫<<⎪ ⎪⎪⎭⎝⎭⎭可得()222211C 46n n nn p n =⋅>，再令()()ln 1,0f x x x x =-+>可证得()211ln 16nn k k S p n ==>+∑，进一步可得()1ln 16n S n M >+>，即可得出答案.。

专题04 求函数的定义域、值域(原卷版)

专题04 求函数的定义域、值域【热点聚焦与扩展】函数的定义域作为函数的要素之一，是研究函数的基础，也是高考的热点.函数的值域也是高考中的一个重要考点，并且值域问题通常会渗透在各类题目之中，成为解题过程的一部分.所以在掌握定义域求法的基础上，掌握一些求值域的基本方法，当需要求函数的取值范围时便可抓住解析式的特点，寻找对应的方法从容解决.（一）函数的定义域1.求函数定义域的主要依据是：①分式的分母不能为零；②偶次方根的被开方式其值非负；③对数式中真数大于零，底数大于零且不等于1.2.①若的定义域为，则不等式的解集即为函数的定义域； ②若的定义域为，则函数在上的的值域即为函数的定义域．3.对于分段函数知道自变量求函数值或者知道函数值求自变量的问题，应依据已知条件准确找出利用哪一段求解.4.与定义域有关的几类问题第一类是给出函数的解析式，这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围；第二类是实际问题或几何问题，此时除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义；第三类是不给出函数的解析式，而由的定义域确定函数的定义域或由的定义域确定函数的定义域．第四类是已知函数的定义域，求参数范围问题，常转化为恒成立问题来解决．（二）函数的值域1.利用函数的单调性:若是上的单调增(减)函数,则,分别是在区间上取得最小(大)值,最大(小)值.2.利用配方法:形如型,用此种方法,注意自变量x 的范围.3.利用三角函数的有界性,如.4.利用“分离常数”法:形如y= 或 (至少有一个不为零)的函数,求其值域可用此法. 一般地，()y f x =(),a b ()a g x b <<()()y f g x =()()y f g x =(),a b ()g x (),a b ()y f x =()f x )]([x g f )]([x g f ()f x )(x f ],[b a )(a f )(b f )(x f ],[b a 2(0)y ax bx c a =++≠sin [1,1],x ∈-cos [1,1]x ∈-ax b cx d ++2ax bx ey cx d++=+c a ,① ：换元→分离常数→反比例函数模型② ：换元→分离常数→模型③ ：同时除以分子：→②的模型 ④ ：分离常数→③的模型共同点：让分式的分子变为常数5.利用换元法: 在高中阶段，与指对数，三角函数相关的常见的复合函数分为两种： ① ：此类问题通常以指对，三角作为主要结构，在求值域时可先确定的范围，再求出函数的范围. ② ：此类函数的解析式会充斥的大量括号里的项，所以可利用换元将解析式转为的形式，然后求值域即可. ③形如,可用此法求其值域. 6.利用基本不等式法:7.导数法:利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值,然后求出值域8.分段函数的函数值时，应根据所给自变量值的大小选择相应的解析式求解，有时每段交替使用求值．若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值域范围是否符合相应段的自变量的取值范围．数形结合法也可很方便的计算值域. 9.由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除.10.数形结合法：即作出函数的图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行数形结合.（1）的函数值为多个函数中函数值的最大值或最小值，此时需将多个函数作于同一坐标系中，然后确定靠下（或靠上）的部分为该函数的图象，从而利用图象求得函数的值域.（2）函数的解析式具备一定的几何含义，需作图并与解析几何中的相关知识进行联系，数形结合求得值域，ax by cx d+=+2ax bx cy dx e++=+a y x x =±2dx ey ax bx c+=++21y ax bx c dx e=+++22ax bx cy dx ex f++=++()()(),log ,sin f x a y ay f x y f x ===⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()f x ()()(),log ,sin xay f ay f x y f x ===()y f t =y ax b =+()f x ()f x如：分式→直线的斜率；被开方数为平方和的根式→两点间距离公式.（三）常见函数的值域：在处理常见函数的值域时，通常可以通过数形结合，利用函数图像将值域解出，熟练处理常见函数的值域也便于将复杂的解析式通过变形与换元向常见函数进行化归.（1）一次函数（）：一次函数为单调函数，图像为一条直线，所以可利用边界点来确定值域. （2）二次函数（），给定区间.二次函数的图像为抛物线，通常可进行配方确定函数的对称轴，然后利用图像进行求解.（关键点：①抛物线开口方向，②顶点是否在区间内）. （3）反比例函数：（1）图像关于原点中心对称（2）当，当. （4）对勾函数： ① 解析式特点：的系数为1；注：因为此类函数的值域与相关，求的值时要先保证的系数为，再去确定的值例：，并不能直接确定，而是先要变形为，再求得② 极值点：③ 极值点坐标：y kx b =+2y ax bx c =++1y x=,0x y →+∞→,0x y →-∞→()0ay x a x=+>x 0a>a a x 1a 42y x x =+4a =22y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2a=x x ==(,-④ 定义域：⑤ 自然定义域下的值域：（5）函数：注意与对勾函数进行对比① 解析式特点：的系数为1； ② 函数的零点：③ 值域：（5）指数函数（）：其函数图像分为与两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为（6）对数函数（）其函数图像分为与两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为()(),00,-∞+∞(),2,a ⎡-∞-+∞⎣()0ay x a x=->x 0a >x a =±R xy a =1a >01a <<()0,+∞log a y x =1a >01a <<()0,+∞【经典例题】例1.【2020年高考北京卷11】函数1()=ln 1f x x x ++的定义域是__________．例2．【河南省部分重点高中2020届高三三模】函数y =的定义域是（）A ．（0，1）∪（1，4]B ．（0，4]C ．（0，1）D ．（0，1）∪[4，+∞）例3．【福建省2020届高三考前冲刺适应性模拟卷】已知函数()f x 的定义域为[0，2]，则()()21f xg x x =-的定义域为（） A ．[)(]0,11,2 B ．[)(]0,11,4 C ．[)0,1 D ．(]1,4 例4．【山东省济宁市第一中学2020届高三三模】函数()1lnxf x x =-的定义域为（） A ．[)()0,11,⋃+∞B ．()()0,11,⋃+∞C ．[)0,+∞ D ．()0,+∞例5．【黑龙江省哈尔滨市第一中学校2020届高三三模】已知()f x 的定义域为(1,0)-，则函数(21)f x +的定义域为（） A ．(1,1)-B ．1(1,)2--C ．(1,0)-D ．1(,1)2例6．【山东省实验中学2020年高三三模】若函数()f x 的定义域为实数集R ，则实数a 的取值范围为（） A ．22（﹣，）B ．22∞∞⋃+（﹣，﹣）（，）C ．][22∞∞⋃+（﹣，﹣，）D ．[]22﹣，例7．【山东省泰安市2020届高三6月全真模拟（三模）数学试题】已知函数()f x =()11f x x -+的定义域为（）A ．(),1-∞B ．(),1-∞-C ．()(),11,0-∞-- D ．()(),11,1-∞--【精选精练】1．【江西省宜春市宜丰中学2020高三三模】函数()()2log 1f x x =- ） A ．(),1-∞B ．[)1,1-C ．(]1,1-D ．[)-1,+∞2．【2020届北京市东城区高三统练】下列函数中，与函数()15xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的定义域和值域都相同的是（）A ．22y x x =+，0x >B ．1y x =+C ．10x y -=D ．1y x x=+3．【吉林省梅河口市第五中学2020届高三第七次模拟考】已知函数()21,0log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x a=有四个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则()3122344x x x x x -++的取值范围是（） A ．(]6,9B ．()6,9C．()+∞D．)⎡+∞⎣4．【浙江省宁波市镇海中学2020届高三仿真测试数学试题】若函数()f x 满足()()a f x b a b ≤≤<，定义b a -的最小值为()f x 的值域跨度，则下列函数中值域跨度不为2的是（）A ．()cos21f x x =+B ．()f x =C ．()1f x x x =--D ．()3232x xx xf x -=+ 5．【2020届湖北省高三高考模拟调研考试】函数y x = ）. A．2⎡⎤-⎣⎦B ．[]0,4C．0,2⎡+⎣D．2⎡-+⎣6．【东北三省三校2020届高三第四次模拟考试】已知函数()2cos 4x x x f x a=+是偶函数，则函数()f x 的最大值为（） A ．1B ．2C ．12D ．37．【江西省赣州一中2020年高三三模】已知函数2()32(3)3f x x m x m =-+++的值域为[0,)+∞，则实数m 的取值范围为（）A ．{0,3}-B ．[3,0]-C ．(,3][0,)-∞-⋃+∞D ．{0,3}8．【2020届湖南省五岳高三6月联考】函数()26512x x f x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为（）A ．(]0,16B ．[)16,+∞C ．10,16⎛⎤⎥⎝⎦D ．1,16⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭9．【2020届百校联考高考考前冲刺必刷卷】函数()284f x x x =-+在[]1,8上的值域为（） A ．[]12,3--B ．[]16,4-C ．[]3,4-D ．[]12,4-10．【2020届福建省福州第一中学高三考试数学试题】若函数y (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则log a 56＋log a 485＝( ) A ．1B ．2C ．3D ．411．【2020届上海市高三高考压轴卷数学试题】函数()lg 2cos 21y x =-的定义域是______. 12．【2020届江苏省淮安市新淮高级中学高三调研数学试题】函数()2134lg x y x x -=--的定义域是____________13．【2020届上海市高考模拟数学试题】对于函数()f x =,其中0b >,若()f x 的定义域与值域相同,则非零实数a 的值为______________.14．【2020届陕西省咸阳市高三高考模拟检测数学试题】如果几个函数的定义域相同、值域也相同，但解析式不同，称这几个函数为“同域函数”. 试写出y =“同域函数”的解析式为____________.15．【浙江省衢州二中2020届高三下学期6月模拟数学试题】已知函数()f x =[)0,+∞，则实数t 的取值范围是__________．16．【2020届江苏省南京市第二十九中高三三模】已知函数()[]11,1,05xf x x ⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭，()22log +3,g x a x a x ⎤=∈⎥⎢⎥⎣⎦，若对任意的0x ⎤∈⎥⎢⎥⎣⎦，总存在[]11,0x ∈-使得()()01g x f x =成立，则实数a的取值范围是__________．。

山东省威海市2020届高三三模数学试题(解析版)

山东省威海市2020届高三三模数学试题一、选择题1．已知集合{}22|1A x x y =+=，{}2|B y y x==，则AB =（）A ．[]0,1B ．[)0,+∞C ．{}1,1-D ．{}0,1【答案】A【解析】2210,11y x x =-≥-≤≤，{}[)2|0,B y y x===+∞，AB =[][)[]1,10,+=0,1=-∞，故选：A2．已知复数()()23ai i ++在复平面内对应的点在直线y x =上，则实数a =（）A ．-2B ．-1C ．1D ．2【答案】C【解析】因为()()236(23)ai i a a i ++=-++，所以对应的点为()6,23a a -+，代入直线y x =可得623a a -=+，解得1a =，故选：C 3．若log 0a b <（0a >且1a ≠），221bb->，则（）A ．1a >，1b >B ．01a <<，1b >C ．1a >，01b <<D ．01a <<，01b <<【答案】B 【解析】因为221b b->，所以20b b ->，因为0b >，所以1b >，因为log 0a b <，1b >，所以01a <<，故选：B4．我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度）．二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则说法不正确的是（）A ．相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺B ．春分和秋分两个节气的晷长相同C ．立冬的晷长为一丈五寸D ．立春的晷长比立秋的晷长短【答案】D【解析】由题意可知夏至到冬至的晷长构成等差数列{}n a ,其中115a =寸，13135a =寸，公差为d 寸，则1351512d =+，解得10d =（寸），同理可知由冬至到夏至的晷长构成等差数列{}n b ,首项1135b =，末项1315b =，公差10d =-（单位都为寸）.故选项A 正确；春分的晷长为7b ，7161356075b b d ∴=+=-=．秋分的晷长为7a ，716156075a a d ∴=+=+=，所以B 正确；立冬的晷长为10a ，10191590105a a d ∴=+=+=，即立冬的晷长为一丈五寸，C 正确；立春的晷长，立秋的晷长分别为4b ，4a ，413153045a a d ∴=+=+=，41313530105b b d =+=-=，44b a ∴>，故D 错误.故选：D5．有三个筐，一个装着柑子，一个装着苹果，一个装着柑子和苹果，包装封好然后做“柑子”“苹果”“混装”三个标签，分别贴到上述三个筐上，由于马虎，结果全贴错了，则（） A ．从贴有“柑子”标签的筐里拿出一个水果，就能纠正所有的标签 B ．从贴有“苹果”标签的筐里拿出一个水果，就能纠正所有的标签 C ．从贴有“混装”标签的筐里拿出一个水果，就能纠正所有的标签 D ．从其中一个筐里拿出一个水果，不可能纠正所有的标签【答案】C【解析】如果从贴着苹果标签的筐中拿出一个水果，如果拿的是柑子，就无法判断这筐装的全是柑子，还是有苹果和柑子;同理从贴着柑子的筐中取出也无法判断，因此应从贴着苹果和柑子的标签的筐中取出水果.分两种情况:(1)如果取出的是柑子，那说明这筐全是柑子，则贴有柑子的那筐就是苹果，贴有苹果的那筐就是苹果和柑子.(2)如果取出的是苹果，那说明这筐全是苹果，那贴有苹果的那筐就是柑子，贴有柑子的那筐就是苹果和柑子.故选：C 6．已知向量(2,2OP =，将OP 绕原点O 逆时针旋转45︒到'OP 的位置，则'OP =（）A ．()1,3B ．()3,1-C ．()3,1D ．()1,3-【答案】D【解析】由题意，向量(2,2OP =，则10OP =OP 与x轴的夹角为α，则cos αα==4545sin sin 45cos()cos cos ααα︒︒-︒==+=4545cos s sin()sin co in 452210s ααα︒︒+︒==++=，可得cos()()14510OP α+=-=︒-，45sin()310OP α︒+== 所以'(1,3)OP =-.故选：D.7．已知函数()f x 对任意,x y R ∈，都有()()()2f x y f x f y +=，且()11f =，则1()ni f i ==∑（） A ．21n - B ．122n-C ．112n -D ．122n -【答案】B【解析】由所求式子可得(0)0f ≠，令0x y ==可得：(0)(0)(0)(0)22f f f f ⋅=⇒=，令1x y ==可得：(1)(1)1(2)22f f f ⋅==，令1,2x y ==可得：2(1)(2)1(3)22f f f ⋅==，令2x y ==可得：3(2)(2)1(4)22f f f ⋅==，∴11()2n f n -=，∴11101101(12)112222222()122n nni n n i i f i +---==-==++++==--∑∑，故选：B.8．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -，设直线1AB 与平面11ACC A 所成的角为α，直线1CD 与直线11A C 所成的角为β，则（）A ．2βα=B ．2αβ=C ．αβ=D ．2παβ+=【答案】D【解析】作正四棱柱1111ABCD A B C D -如下图：∵由正四棱柱性质知1AA ⊥平面1111D C B A ， ∴111AA B D ⊥．∵底面1111D C B A 是正方形， ∴1111B D A C ⊥，∴11B D ⊥平面1111D C B A ，则1B AO ∠是直线1AB 与平面11ACC A 所成的角，即1=B AO α∠．∵11CD A B ∥，∴11BA C ∠是直线1CD 与直线11A C 所成的角，即11=BAC β∠．∵11A B B A =，11AOB O =，OA OB =，∴11A BO B AO △≌△，∴111=BAC AB O β∠∠=，∵11BD ⊥平面1111D C B A ，∴1B O OA ⊥，∴11+=+2B AO AB O παβ∠∠=，故选：D 二、多选题9．随着我国经济结构调整和方式转变，社会对高质量人才的需求越来越大，因此考研现象在我国不断升温．某大学一学院甲、乙两个本科专业，研究生的报考和录取情况如下表，则性别甲专业报考人数乙专业报考人数性别甲专业录取率乙专业录取率男 100 400 男 25% 45% 女300100女30%50%A ．甲专业比乙专业的录取率高B ．乙专业比甲专业的录取率高C ．男生比女生的录取率高D ．女生比男生的录取率高【答案】BC【解析】由题意可得甲专业录取了男生25人，女生90人；乙专业录取了男生180人，女生50人；甲专业的录取率为259028.75%100300+=+，乙专业的录取率为1805046%400100+=+，所以乙专业比甲专业的录取率高. 男生的录取率为2518041%100400+=+，女生的录取率为905035%300100+=+，所以男生比女生的录取率高.故选：BC.10．已知函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<将()y f x =的图象上所有点向左平移3π个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，得到函数()y g x =的图象．若()g x 为偶函数，且最小正周期为2π，则（） A ．()y f x =图象与,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 B ．()f x 在50,12π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 C ．()2x f x g ⎛⎫= ⎪⎝⎭在50,4π⎛⎫⎪⎝⎭有且仅有3个解 D ．()g x 在5,124ππ⎛⎫⎪⎝⎭有仅有3个极大值点【答案】AC【解析】将函数()()sin f x x ωϕ=+将()y f x =的图象上所有点向左平移3π个单位，可得sin[()]3y x πωϕ=++，再横坐标缩短为原来的12，可得()sin(2)3w g x wx πϕ=++，因为函数()g x 的最小正周期为2π，即222w ππ=，解得2w =，可得()2sin(4)3g x x πϕ=++．又由函数()g x 为偶函数，则2,32k k Z ππϕπ+=+∈，即,6k k Z πϕπ=-+∈，当1k =，可得56πϕ=，所以()5sin(2)6f x x π=+．对于A ：令52,6x k k Z ππ+=∈，即5,212k x k Z ππ=-∈，当1k =时，12x π=，即函数()f x 的图象关于,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称，所以A 是正确的；对于B ：当5(0,)12x π∈时，5552663x πππ<+<，所以函数()f x 在区间5(0,)12π不是单调函数，所以B 不正确；对于C ：由()253sin(4)sin(4)cos4362g x x x x πππ=++=+=-，因为()2x f x g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得5sin(2)cos26x x π+=-，32cos20,)0223x x x π-+=-=，2,,,326k x k k Z x k Z ππππ∴-=∈=+∈．又527(0,),,,4636x ππππ∴=，所以()2x f x g ⎛⎫= ⎪⎝⎭在50,4π⎛⎫⎪⎝⎭有且仅有3个解，所以C 正确；对于D ：由5(,)124x ππ∈，则4(,5)3x ππ∈，4x π=或43x π=，即4x π=或34x π=时，()f x 取得极大值，所以()g x 在5,124ππ⎛⎫⎪⎝⎭有仅有2个极大值点，所以D 不正确，故选：AC ． 11．已知抛物线()220y px p =>上三点()11,A x y ，()1,2B ，()22,C x y ，F 为抛物线的焦点，则（）A ．抛物线的准线方程为1x =-B ．0FA FB FC ++=，则FA ，FB ，FC 成等差数列 C ．若A ，F ，C 三点共线，则121y y =-D ．若6AC =，则AC 的中点到y 轴距离的最小值为2 【答案】ABD【解析】把点(1,2)B 代入抛物线22y px =，得2p =，所以抛物线的准线方程为1x =-，故A 正确；因为1122(,),(1,2),(,),(1,0)A x y B C x y F ，所以11(1,)FA x y =-，(0,2)FB =，22(1,)FC x y =-，又由0FA FB FC ++=，得122x x +=，所以121142FA FC x x FB +=+++==，即FA ，FB ，FC 成等差数列，故B 正确；因为A ，F ，C 三点共线，所以直线斜率AF CF k k =，即121211y y x x =--，所以122212111144y y y y =--，化简得，124y y =-，故C 不正确；设AC 的中点为00(,)M x y ，因为AF CF AC +≥，1201122AF CF x x x +=+++=+，所以0226x +≥，得02x ≥，即AC 的中点到y 轴距离的最小值为2，故D 正确. 故选：ABD12．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，导函数为()'f x ，()()'ln xf x f x x x -=，且11f e e⎛⎫=⎪⎝⎭，则（） A ．1'0f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()f x 在1x e=处取得极大值 C ．()011f << D ．()f x 在()0,∞+单调递增【答案】ACD【解析】∵函数()f x 的定义域为()0,∞+，导函数为()'f x ，()()'ln xf x f x x x -=，即满足()()2'ln xf x f x x x x -=，∵()()()2'f x xf x f x x x '-⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴()ln f x xx x '⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴可设()21ln 2f x x b x =+（b 为常数），∴()21ln 2f x x x bx =+，∵211111ln 2b f e ee e e ⎛⎫=⋅+= ⎪⎝⎭，解得12b =，∴()211ln 22f x x x x =+，∴()112f =，满足()011f <<，∴C 正确，∵()()22111ln ln =ln 10222f x x x x '=+++≥，且仅有1'0f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴B 错误，A 、D 正确，故选：ACD 四、解答题13．()()52x y x y +-的展开式中24x y 的系数为________．【答案】15-【解析】()5051423455555233245551(2)()(2)x y x y x y C x C x y C x y C x y C x y C y +-=+⋅⋅⋅+⋅-⋅+⋅-⋅-，故它的展开式中24x y 的系数为5543215C C -=-， 14．已知l 是平面α，β外的直线，给出下列三个论断，①//l α；②αβ⊥；③l β⊥．以其中两个论断为条件，余下的论断为结论，写出一个正确命题：________．（用序号表示）【答案】若①③，则②或若②③，则①（填写一个即可）；【解析】因为//l α，αβ⊥时，l 与β可能平行或者相交，所以①②作为条件，不能得出③；因为//l α，所以α内存在一条直线m 与l 平行，又l β⊥，所以m β⊥，所以可得αβ⊥，即①③作为条件，可以得出②；因为αβ⊥，l β⊥，所以//l α或者l α⊂，因为l 是平面α外的直线，所以//l α，即即②③作为条件，可以得出①；15．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>过左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于P ，Q 两点，以P ，Q，则双曲线的离心率为________．【答案】32【解析】设(),0F c -，当x c =-，代人双曲线方程22221c y a b -=，解得：2by a=±，设2,b P c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2,b Q c a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ ．根据对称性，可设与两圆相切的渐近线是by x a =，则,P Q 两点到渐近线的距离225bc b bc b a cc---++=，c b >，上式去掉绝对值为225bc b bc b a c c +-+=，即52b a =，那么22312c b a a =+=.∴双曲线的离心率32e =. 16．我国的西气东输工程把西部的资源优势变为经济优势，实现了气能源需求与供给的东西部衔接，工程建设也加快了西部及沿线地区的经济发展输气管道工程建设中，某段管道铺设要经过一处峡谷，峡谷内恰好有一处直角拐角，水平横向移动输气管经过此拐角，从宽为27米峡谷拐入宽为8米的峡谷．如图所示，位于峡谷悬崖壁上两点E 、F 的连线恰好经过拐角内侧顶点O （点E 、O 、F 在同一水平面内），设EF 与较宽侧峡谷悬崖壁所成角为θ，则EF 的长为________（用θ表示）米．要使输气管顺利通过拐角，其长度不能低于________米．【答案】278sin cos θθ+ 1313 【解析】如下图所示，过点O 分别作OA AE ⊥，OB BF ⊥，则OEA BOF θ∠=∠=，在Rt OAE △中，27OA =，则27sin sin OA OE θθ==，同理可得8cos OF θ=，所以，278sin cos EF OE OF θθ=+=+.令()2780sin cos 2f πθθθθ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，则()3333222222278cos tan 27cos 8sin 8sin 27cos 8sin cos sin cos sin cos f θθθθθθθθθθθθθ⎛⎫- ⎪-⎝⎭=-+='=，令()00f θ'=，得3027tan 8θ=，得03tan 2θ=，由0220003tan 2sin cos 1sin 0θθθθ⎧=⎪⎪+=⎨⎪>⎪⎩，解得00313sin 213cos 13θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩当00θθ<<时，()0f θ'<；当02πθθ<<时，()0f θ'>.则()()0min 1313313213f f θθ===四、解答题17．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c )3cos sin a b C c B -=．（Ⅰ）求角B ；（Ⅱ）若7b =sin 3sin A C =，求BC 边上的高．【解析】3(cos )sin a b C c B -=及正弦定理可得33cos sin sin A B C B C =，将()sin sin A B C =+3sin sin sin 0B C B C -=，解得tan 3B =，所以3B π=．（Ⅱ）由sin 3sin A C =，得3a c =，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-得222793c c c =+-，解得1c =．所以BC 边上的高为3sin c B =． 18．从条件①()21n n S n a =+()12n n n S S a n -=≥，③0n a >，22n n n a a S +=中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，________．若1a ，k a ，2k S +成等比数列，求k 的值．【解析】若选择①，因为()21n n S n a =+，*n N ∈，所以()1122n n S n a ++=+，*n N ∈，两式相减得()()11221n n n a n a n a ++-=++，整理得()11n n na n a +=+．即11n na a n n+=+，*n N ∈．所以n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为常数列．111n a a n ==，所以n a n =．（或由11n n a n a n++=，利用相乘相消法，求得n a n =）所以k a k =，()()()()22122322k k k k k S ++++++==，又1a ，k a ，2k S +成等比数列，所以()()2232k k k ++=，所以2560k k --=，解得6k =或1k =-（舍），所以6k =．若选择②，()2n a n =≥1n n S S -=-，=，易知0n S >1=，所以11a ==n =，2n S n =，∴121n n n a S S n -=-=-()2n ≥，又1n =时，11a =也满足上式，所以21n a n =-.因为1a ，k a ，2k S +成等比数列，∴()()22221k k +=-， ∴3k =或13k =-，又*k N ∈，∴3k =．若选择③，因为()2*2n n n a a S n N+=∈，所以()211122n n n aa S n ---+=≥，两式相减得()221112222n n n n n n n a a a a S S a n ----+-=-=≥，整理得()()()1112n n n n n n a a a a a a n ----+=+≥，因为0n a >，∴()112n n a a n --=≥，所以{}n a 是等差数列，所以()111n a n n =+-⨯=，()()()()22122322k k k k k S ++++++==，又1a ，k a ，2k S +成等比数列，∴()()2232k k k ++=， ∴6k =或1k =-，又*k N ∈，∴6k =．19．携号转网，也称作号码携带、移机不改号，即无需改变自己的手机号码，就能转换运营商，并享受其提供的各种服务．2019年11月27日，工信部宣布携号转网在全国范围正式启动．某运营商为提质量保客户，从运营系统中选出300名客户，对业务水平和服务水平的评价进行统计，其中业务水平的满意率为1315，服务水平的满意率为23，对业务水平和服务水平都满意的客户有180人．（Ⅰ）完成下面22⨯列联表，并分析是否有97.5%的把握认为业务水平与服务水平有关；（Ⅱ）为进一步提高服务质量，在选出的对服务水平不满意的客户中，抽取2名征求改进意见，用X 表示对业务水平不满意的人数，求X 的分布列与期望；（Ⅲ）若用频率代替概率，假定在业务服务协议终止时，对业务水平和服务水平两项都满意的客户流失率为5%，只对其中一项不满意的客户流失率为34%，对两项都不满意的客户流失率为85%，从该运营系统中任选4名客户，则在业务服务协议终止时至少有2名客户流失的概率为多少？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++．【解析】（Ⅰ）由题意知对业务满意的有260人，对服务不满意的有100人，得22⨯列联表经计算得22300(180208020)75 5.77 5.0242001002604013K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，所以有97.5%的把握认为业务水平满意与服务水平满意有关．（Ⅱ）X 的可能值为0，1，2．则0220802100316(0)495C C P X C ===，1120802100160(1)495C C P X C ===，220210019(2)495C P X C ===， ()0124954954955E X =⨯+⨯+⨯=．（Ⅲ）在业务服务协议终止时，对业务水平和服务水平都满意的客户流失的概率为18095%300300⨯=，只有一项满意的客户流失的概率为1003434%300300⨯=，对二者都不满意的客户流失的概率为201785%300300⨯=．所以从运营系统中任选一名客户流失的概率为9173413005++=，故在业务服务协议终止时，从运营系统中任选4名客户，至少有2名客户流失的概率为4301444411131555625P C C ⎛⎫⎛⎫=--⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 20．已知直三棱柱111ABC A B C -，11AB AC AA ===，M ，N ，P 分别为11A C ，1AB ，1BB 的中点，且AP MN ⊥．（1）求证：//MN 平面11B BCC ；（2）求BAC ∠；（3）求二面角1A PN M --的余弦值．【解析】（1）证明：取11B C 的中点Q ，连接MQ ，NP ，PQ ，则有11//MQ A B ，且1112MQ A B =，//PN AB ，且12PN AB =，又11//AB A B ，11AB A B =，所以//PN MQ ，且PN MQ =，所以PNMQ 为平行四边形，所以//MN PQ ，又MN ⊄平面11B BCC ，PQ ⊂平面11B BCC ，所以//MN 平面11B BCC ．（2）设AB a =，AC b =，1AA c =，BAC θ∠=，由已知可得，1a b c ===，且0a c b c ⋅=⋅=，则12AP a c =+，1111111122222NM PQ BB B C c b a ==+=+-，因为AP MN ⊥，所以11112222AP NM a c c b a ⎛⎫⎛⎫⋅=++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭22111224a b a c =⋅-+11cos 024θ=-=，所以1cos 2θ=，即60BAC ∠=︒．（3）在平面ABC 内过点A 做射线l 垂直于AB ，易知AB ，l ，1AA 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则11,0,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，13,,14M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，11,0,22N ⎛⎫⎪⎝⎭， ()10,1,0n =为平面1A PN 的一个法向量，131,,442MN ⎛=⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，1,0,02PN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．设()2,,n x y z =为平面PMN 的一个法向量，则131042102x y z x ⎧--=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，令1y =，则230,1,n ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，则12121227cos ,714n n n n n n ⋅===⋅⨯，所以二面角1A PN M --的余弦值为27．21．已知函数()()34xf x x e =-．（Ⅰ）求证：当0x >时，()y f x =的图象位于直线40x y ++=上方；（Ⅱ）设函数()()()235xh x f x exx a =+-+-，若曲线()y h x =在点M 处的切线与x 轴平行，且在点()(),N t h t 处的切线与直线OM 平行（O 为坐标原点），求证：1321t a e ⎛⎫≤-- ⎪⎝⎭．【解析】（Ⅰ）由题意，当0x >时，()y f x =的图象位于直线40x y ++=上方，即证当0x >时，()3440xe x x -++>恒成立，令()()344xg x ex x =-++，可得()()'311x g x e x =-+，则()()()''320x g x e x =+>，所以()'g x 在()0,∞+上单调递增，所以()()''00g x g >=，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，所以()()00g x g >=，所以当0x >时，()f x 的图象始终在直线40x y ++=上方．（Ⅱ）因为()()()()22351xx h x f x exx a e x a =+-+-=+-，则()()2'1x h x e x =+，设()00,M x y ，则()()200'10x h x e x =+=，所以01x =-，所以21,M a e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以2OM k a e =-，所以()()22'1t h t e t a e =+=-．要证1321t a e ⎛⎫≤-- ⎪⎝⎭，即证32(1)t a e≤+-，即证32(1)(1)t t e t +≤+，即证1t t e +≤，下面证明1x e x ≥+．令()1xF x e x =--，∴()'1xF x e =-，所以当0x >，()'0F x >，0x <，()F'0x <，所以()F x 在(),0-∞单调递减，在()0,∞+单调递增，所以()()00F x F ≥=，即1x e x ≥+，所以232(1)(1)t a e t t e ≥-=++，1321t a e ⎛⎫≤-- ⎪⎝⎭．22．已知P是椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>上一点，以点P 及椭圆的左、右焦点1F ，2F 为顶点的三角形面积为（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过2F 作斜率存在且互相垂直的直线1l ，2l ，M 是1l 与C 两交点的中点，N 是2l 与C 两交点的中点，求△2MNF 面积的最大值．【解析】（Ⅰ）由点P在椭圆上可得22231a b +=，整理得222223b a a b +=①．12122PF F Sc =⨯⨯=2c =，所以22224a b c b =+=+，代入①式整理得42120b b --=，解得24b =，28a =．所以椭圆的标准方程为22184x y +=．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得()22,0F ，所以设直线1l ：2x my =+，联立直线与椭圆的方程222184x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()222480m y my ++-=．所以直线1l 与椭圆两交点的中点M 的纵坐标122222M y y my m +==+，同理直线2l 与椭圆两交点的中点N 的纵坐标22221212N m m y m m--==++，所以22212MNF M N S MF NF y ==△()24221252m m m m +=++ ()()22222121m m m m+=++，将上式分子分母同除()21m m +可得，2222121MNF S m m m m =+++△，不妨设0m >，令21m t m+=，2t ≥，则2212MNF S t t =+△，令()12f t t t =+，()2221't f t t-=，因为2t ≥，所以()'0f t >，所以f t 在[)2,+∞单调递增，所以当2t =时，三角形△2MNF 面积取得最大值max 241942S ==+．。

2020届山东省聊城市高考模拟考试(三模)数学试题解析

10．已知函数（）
A．为的周期
B．对于任意，函数都满足
C．函数在上单调递减
D．的最小值为
答案：ABC
A.由函数周期定义判断是否满足；B根据诱导公式判断是否满足；C.根据定义域，化简函数，并判断函数的单调性；D.在一个周期内，分和两种情况讨论函数，并判断函数的最小值.
解：
A. ，即，所以为的周期，故A正确；
bcqnh为qn的中点点c到直线qn的距离最大为ch由题中数据求出cnq重合时pnqmaxmaxmaxpnqpnqcc的中点连接pq交bbcc的中心取左侧面aadd的中心为点f连接ef记ef的中点abcdabc的中心连接mg则mgef得到pnq的外接圆圆心为点e根据球的结构特征得到三棱锥外接球的球心在直线ef上记作点o连接om外接球的半径为r根据题中条件列出方程求解即可得出bc交qn于点h因为四边形bbcc是正方形nbb的中点所以易得bcqnabcdabc重合时pnqabcdabcab平面bbcc所以mb平面pnqmaxmaxmaxpnqpnqcc的中点连接pqbbcc的中心取左侧面aadd的中心为点f连接ef记ef的中点为gabcdabc的中心连接mg则mgefcc的中点所以npqnpq因此npnq所以pnqefabab平面bbcc因此三棱锥外接球的球心在直线ef上记作点mbge且mbgeefbcmbeg为矩形因此ogommgneccgeogoeef点评
答案：B
根据题中条件，求出，再由向量夹角公式，即可求出结果.
解：
因为向量，，，
所以，即，即，
因此，所以 .
故选：B.
点评：
本题主要考查求向量的夹角，熟记向量夹角公式，以及向量数量积的运算法则即可，属于基础题型.

山东省潍坊市2023届高三2月高考模拟考试(一模)数学试题含答案

试卷类型：A潍坊市高考模拟考试数学（答案在最后）2023.2本试卷共4页，满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷､答题卡规定的地方填写自己的准考证号､姓名.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.一､单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，复数2i 2i+-对应的点位于（） A.第一象限 B.第二索限C.第三象限D.第四象限2.“()2,2b ∈-”是“2,10x R x bx ∀∈-+成立”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.某学校共1000人参加数学测验，考试成绩ξ近似服从正态分布()2100,N σ，若()801000.45P ξ=，则估计成结在120分以上的学生人数为（）A.25B.50C.75D.1004.存在函数()f x 满足：对任意x R ∈都有（） A.()3f x x = B.()2sin f x x = C.()22f x x x += D.()21x x ⎰=+5.已知角α在第四象限内，31sin 222πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin α=（）A.12-B.12C.4D.2- 6.如图，圆锥的底面半径为1，侧面展开图是一个圆心角为60的扇形.把该圆锥截成圆台，已知圆台的下底面与该圆锥的底面重合，圆台的上底面半径为13，则圆台的侧面积为（）A.83πB.2C.163πD.8π 7，过去的一年，我国载人航天事业突飞猛进，其中航天员选拔是载人航天事业发展中的重要一环.已知航天员选拔时要接受特殊环境的耐受性测试，主要包括前庭功能.超重耐力､失重飞行､飞行跳伞､着陆冲击五项.若这五项测试每天进行一项，连续5天完成.且前庭功能和失重飞行须安排在相邻两天测试，超重耐力和失重飞行不能安排在相邻两天测试，则选拔测试的安排方案有（）A.24种B.36种C.48种D.60种8.单位圆22:1O x y +=上有两定点()()1,0,0,1A B 及两动点,C D ，且12OC OD ⋅=.则CA CB DA DB ⋅+⋅的最大值是（）A.2+B.2+ 2 D.2二､多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9.若非空集合,,M N P 满足：,M N N M P P ⋂=⋃=，则（）A.P M ⊆B.M P M ⋂=C.N P P ⋃=D.p M N ⋂=∅10.将函数sin2y x x =+的图象向左平移12π个单位，得到()y f x =的图象，则（）A.()f x 是奇函数B.()f x 的周期为πC.()f x 的图象关于点,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 D.()f x 的单调递增区间为(),2k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦11.双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线.平分该点与两焦点连线的夹角.已知12,F F 分别为双曲线22:13x C y -=的左，右焦点，过C 右支上一点()(000,A x y x >作直线l 交x 轴于点03,0M x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，交y 轴于点N .则（）A.C的渐近线方程为3y x =± B.点N 的坐标为010,y ⎛⎫ ⎪⎝⎭C.过点1F 作1F H AM ⊥，垂足为H，则OH =D.四边形12AF NF 面积的最小值为412.已知1m n <<，过点()2,log m m 和()2,log n n 的直线为1l .过点()8,log m m 和()8,log n n 的直线为21,l l 与2l 在y 轴上的截距相等，设函数()nx mx f x m n -=+.则（）A.()f x 在R 上单周递增B.若2m =，则()132f =C.若()26f =，则()434f =D.,m n 圴不为(e e 为自然对数的底数）三､填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5796a a a ++=，则13S =__________. 14.已知抛物线C 经过第二象限，且其焦点到准线的距离大于4，请写出一个满足条件的C 的标准方程__________.15.在半径为1的球中作一个圆柱，当圆柱的体积最大时，圆柱的母线长为__________. 16.乒乓球被称为我国的“国球”.甲､乙两名运动员进行乒乓球比赛，其中每局中甲获胜的概率为34，乙获胜的概率为14，每局比赛都是相互独立的. ①若比赛为五局三胜制，则需比赛五局才结束的概率为__________.②若两人约定其中一人比另一人多赢两局时比赛结束，则需要进行的比赛局数的数学期望为__________.附：当01q <<时，lim 0,lim 0n n n n q n q →+∞→+∞=⋅=. 四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（10分）已知数列{}n a 为等比数列，其前n 项和为n S ，且满足()2nn S m m R =+∈. （1）求m 的值及数列{}n a 的通项公式；（2）设2log 5n n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .18.（12分）在①tan tan 1A C A C =+；②()2cos cos c B A =；③()sin sin sin a A c C b B +=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答. 问题：在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且__________.（1）求角B 的大小；（2）已知1c b =+，且角A 有两解，求b 的范围.19.（12分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PC PD ⊥，二面角A CD P --为直二面角.（1）求证：PB PD ⊥；（2）当PC PD =吋，求直线PC 与平面PAB 所成角的正弦值.20.（12分）某学校研究性学习小组在学习生物遗传学的过程中，为验证高尔顿提出的关于儿子成年后身高y （单位：cm ）与父亲身高x （单位：cm ）之间的关系及存在的遗传规律，随机抽取了5对父子的身高数据，如下表：父亲高和儿子比父亲矮的条件，由此可得到怎样的遗传规律？（2）记ˆˆˆˆ(1,2,,)i i i i i e y y y bx a i n =-=--=，其中i y 为观测值，ˆi y为预测值，ˆi e 为对应(),i i x y 的残差.求（1）中儿子身高的残差的和､并探究这个结果是否对任意具有线性相关关系的两个变量都成立？若成立加以证明；若不成立说明理由.参考数据及公式：555521111880,155450,885,156045i i i i i i i i i x x y x y ========∑∑∑∑ ()()()121ˆˆˆ,n i ii n ii x x y y b ay bx x x ==--==--∑∑ 21.（12分）已知函数()()12ln ,x f x e x g x x x -==-.（1）讨论()f x 的单调性；（2）证明：当()0,2x ∈吋，()()f x g x .22.（12分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的焦距为():1(0)l y k x k =+>与E 交于不同的两点,M N .（1）求E 的方程；（2）设点()1,0P ，直线,PM PN 与E 分别交于点,C D .①判段直线CD 是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点.请说明理由： ②记直线,CD MN 的倾斜角分别为,αβ，当αβ-取得最大值时，求直线CD 的方程.高三数学参考答案及评分标准一､单项选择题（每小题5分，共40分）1-4AABD 5-8DCBA二､多项选择题（每小题5分，选对但不全的得2分，共20分）9.BC 10.BCD 11.ACD 12.BCD三､填空题（每小题5分，共20分）13.26 14.216x y =（答案不唯一）15.316.27161285 四､解答题（本大题共6小题，共70分）17.解：（1）因为2n n S m =+，所以2n 时，112n n S m --=+，所以()122n n a n -=.又由数列{}n a 为等比数列，所以12n n a -=.又因为11111221a S m -==+==，所以1m =-，综上11,2n n m a -=-=.（2）由（1）知6n b n =-，当16n 时，2561122n n n n T n -+--=-⨯=，当6n >时，()61662n n T T n +-=+⨯- ()()56152n n --=+ 211602n n -+= 所以2211,1621160,62n n n n T n n n ⎧-⎪⎪=⎨-+⎪>⎪⎩ 18.解：（1）若选①：整理得)1tan tan tan tan A C A C -=+，因为A B C π++=，所以()tan tan tan tan 1tan tan A C B A C A C +=-+=-=-，因为()0,B π∈，所以6B π=；若选②：因为()2cos cos c B A =，由正弦定理得()2sin cos cos C A B B A =，所以()2sin cos ,sin 0C B A B C C =+=>，所以cos B =，因为()0,B π∈，所以6B π=；若选③：由正弦定理整理得222a c b +-=，所以2222a c b ac +-=即cos B =，因为()0,B π∈，所以6B π=；（2）将1c b =+代入正弦定理sin sin b c B C =，得1sin sin b b B C+=，所以1sin 2b C b+=，因为6B π=，角A 的解有两个，所以角C 的解也有两个，所以1sin 12C <<，即11122b b+<<，又0b >，所以12b b b <+<，解得1b >. 19.解：（1）证明：由题意知平面PCD ⊥平面ABCD 且BC CD ⊥则BC ⊥平面PCD ，因为PD ⊂平面PCD ，所以BC PD ⊥，又因为,PO PC BC PC C ⊥⋂=，所以PD ⊥平面PBC ，所以PD PB ⊥.（2）以点D 为坐标原点，,DA DC 所在直线分别为,x y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则()()()()0,0,0,2,0,0,2,2,0,0,2,0D A B C ，因为224PC PD +=，所以PC PD ==()0,1,1P ，所以()()()2,1,1,0,2,0,0,1,1AP AB PC =-==-，设平面PAB 的法向量(),,m x y z =，则0,0,m AP m AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即20,20,x y z y -++=⎧⎨=⎩令1x =，所以()1,0,2m =，设直线PC 与平面PAB 所成的角为θ，sin cos ,55m PCm PCm PC θ⋅-====⨯ 所以直线PC 与平面PAB 所成的角的正弦值为5. 20.解：（1）由题意得176,177x y ==，515222151560455176177156045155760285ˆ0.515545051761554501548805705i ii i i x y xy b xx ==--⨯⨯-=====-⨯--∑∑，ˆˆ1770.517689ay bx =-=-⨯=，所以回归直线方程为0.589y x =+，令0.5890x x +->得178x <，即178x <时，儿子比父亲高；令0.5890x x --<得178x >，即178x >时，儿子比父亲矮，可得当父亲身高较高时，儿子平均身高要矮于父亲，即儿子身高有一个回归，回归到全种群平均高度的趋势.（意思对即可）（2）12345169,174,176.5,181.5,184y y y y y =====，所以51ˆ885i i y==∑，又51885i i y==∑，所以51ˆ0i i e ==∑，结论：对任意具有线性相关关系的变量1ˆ0n i i e ==∑，证明：()()111ˆˆˆn n n i i i i i i i i e y y y bx a ====-=--∑∑∑ 11ˆˆˆˆ()0n n i i i i y b x na ny nbxn y bx ===--=---=∑∑. 21.解：（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+，因为()111e 1e ln e ln x x x f x x x x x ---⎛⎫=+=+ ⎝'⎪⎭，记()1ln h x x x =+，则()22111x h x x x x='-=-，所以当01x <<时，()0h x '<，函数()h x 单调递减，当1x >时，()0h x '>，函数()h x 单调递增，所以()()11h x h =，所以()11e ln 0x f x x x -⎛⎫=+> ⎪⎝⎭'，所以函数()f x 在()0,∞+上单调递增；（2）证明：原不等式为()12eln 1x x x x x x --=-，即1ln 1e x x x x--，即证ln 1ln 1e e x x xx --在()0,2x ∈上恒成立，设()e x x l x =，则()()2e e 1e e x x x x x x l x --=='，所以，当1x <时，()l x 单调递增；当1x >时，()l x 单调递减，令()()1ln 1,1t x x x t x x'=-+=-，易知()t x 在()0,1上单调递增，在()1,∞+上单调递减，当1x =时，max ()0t x =，所以ln 1x x -，且在()0,2x ∈上有ln 1,11,x x <⎧⎨-<⎩所以可得到()()ln 1l x l x -，即ln 1ln 1e e x x xx --，所以在()0,2x ∈时，有()()f x gx 成立.22.解：（1）由题意得2c c a⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得2c a ==，所以1b =，所以E 的方程为2214x y +=. （2）①由题意得()221,41,x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩整理得()2222148440k x k x k +++-=，设()()1122,,,M x y N x y ，22121222844,1414k k x x x x k k--+==++，直线MC 的方程为1111x x y y -=+，代入2214x y +=整理得，()()2112211121430x x y y y y ⎡⎤--++-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，设()33,C x y ，则()22113122111335214y y y y x x y --==--+，所以131325y y x =-， 1315825x x x -=-，即1111583,2525x y C x x ⎛⎫- ⎪--⎝⎭，同理2222583,2525x y D x x ⎛⎫- ⎪--⎝⎭.()()2112212112213321252575858932525CD y y k x x x x k k x x x x x x ----===------，所以直线CD 的方程为1111358725325y x k y x x x ⎛⎫--=- ⎪--⎝⎭，即71337k y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以直线CD 过定点13,07⎛⎫⎪⎝⎭. ②因为73CD k k =，所以tan α与tan β正负相同，且αβ>，所以02παβ<-<，当αβ-取得最大值时，()tan αβ-取得最大值.由0k >时，()2244443tan 373721221713kk k k k k αβ-====+++；所以当且仅当k =()tan αβ-取得最大值，αβ-取得最大值，此时直线CD 的方程为137y x ⎫=-⎪⎝⎭.。

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山东2020届高三年级学习质量评估考试数学试题一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={0,1,2,3}，2(|230),B x x x =--<则A ∪B=A.(-1,3)B. (-1,3]C. (0,3)D. (0,3]2.已知i 为虚数单位，复数z 满足z ·i=1+2i,则z 的共轭复数为 A.2-iB.1- 2iC.2 +iD.i-23.已知两个力12(1,2),(2,3)F F ==-作用于平面内某静止物体的同一点上，为使该物体仍保持静止，还需给该物体同一点上再加上一个力3,F 3F =A.(1,-5)B.(-1,5)C.(5,-1)D.(-5,1)4.若sin 5cos(2)θπθ=-，则tan2θ=5.A -5.B5.C -5.D 5.函数f(x)= x+cos x 的大致图象是6.已知x>0,y>0,且191,x y+=则xy 的最小值为 A.100B.81C.36D.97.已知抛物线22y x =的焦点为F ，准线为1，P 是1上一点，直线PF 与抛物线交于M,N 两点,若3,MF PF =则|MN|=16.3A8.3B C.283D 8.已知a 123,,{2,4,6}.a a ∈，记123(,,)a a a N 为123,,a a a 中不同数字的个数,如:N(2,2,2)=1，N(2,4,2)=2，N (2,4,6)=3, 则所有的123(,,)a a a 的排列所得的123(,,)N a a a 的平均值为19.9A B.329.9C D.4二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9."一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体。

自2013年以来，“一带一路”建设成果显著右图是2013-2017年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述正确的是（）。

A.这五年，2013年出口额最少B.这五年，出口总额比进口总额多C.这五年，出口增速前四年逐年下降D.这五年，2017年进口增速最快 10. 关于函数12()(1),1x f x x e =+-下列结论正确的是 A.图像关于y 轴对称B.图像关于原点对称C.在(-∞,0)上单调递增D. f(x)恒大于011. 设函数()sin()(0)6f x x πωω=->，已知f(x)在[0,π]有且仅有3个零点，下列结论正确的是A.在(0,π)上存在12,,x x 满足12()()2f x f x -=B. f(x)在(0,π)有且仅有1个最小值点C. f(x)在(0,)2π单调递增D.ω的取值范围是1319[,]6612. 已知正方体1111ABCD A B C D -，过对角线BD 1作平面α交棱AA 1于点E,交棱1CC 于点F,下列正确的是( ).A.平面α分正方体所得两部分的体积相等;B.四边形1BFD E 一定是平行四边形;C.平面α与平面DBB 1不可能垂直;D.四边形1BFD E 的面积有最大值.三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知双曲线C过点且渐近线为y x =，则双曲线C 的标准方程为____ 14.若(3nx 展开式的二项式系数之和是64,则n=___ ; 展开式中的常数项的值是______ ( 第一个空2分,第二个空3分).15.甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知.3人作出如下预测:甲说:我不是第三名;乙说:我是第三名;丙说:我不是第一名.若甲、乙、丙3人的预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第三名的是______16.在△ABC 中，设角A,B,C 对应的边分别为a,b,c,记△ABC 的面积为S ，且22242,a b c =+则2Sa的最大值为____四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (10分)在公比为2的等比数列{}n a 中，234,,4a a a -成等差数列.(1)求数列{}n a 的通项公式; (2)若2(1)log ,n n b n a =+求数列242()nn b +的前n 项和.n T18.(12分)在平面四边形ABC D中，已知AB =AD =3,∠ADB=2∠AB,3D BCD π∠=.(1)求BD;(2)求△BCD 周长的最大值.19.(12分)如图①:在平行四边形ABCD中，BD⊥CD,BE⊥AD ,将△ABD沿对角线BD折起，使AB⊥BC ,连结AC, EC ,得到如图②所示三棱锥A- BCD .(1)证明:BE⊥平面ADC;ED ,二面角C-BE-D的平面角的正切值为6,求直线BD与平面ADC所成角的正弦值.(2)若1,20.（12分）在传染病学中，通常把从致病刺激物侵人机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期. 一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格：(1) 求这1000名患者的潜伏期的样本平均数x (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) ;(2)该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表.请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关;（3）以这1000名患者的潜伏期超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立。

为了深入研究，该研究团队随机调查了20名患者，其中潜伏期超过6天的人数最有可能（即概率最大）是多少？附：21.(12分)已知椭圆C : 22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,,F F 离心率为1,2过1F 作直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，2ABF 的周长为8.(1 )求椭圆c 的标准方程; (2)问:2ABF 的内切圆面积是否有最大值?若有,试求出最大值;若没有,说明理由.22.(12分) 已知函数21()ln (,ax f x x e b x ax a b +=⋅--∈R).(1 )若b=0，曲线f(x)在点(1, f(1)) 处的切线与直线y= 2x 平行,求a 的值; (2)若b=2，且函数f(x)的值域为[2,),+∞求a 的最小值.2017级山师附中高三数学在线考试答案一、单选题1.B 2.C 3.A 4.C 5.A 6.C 7.B 8.A二、多选题9.ABD 10.ACD 11.AB 12.ABD三、填空题13.14.135 15.甲16.四、解答题17.解：（1）因为，，成等差数列，所以，所以，解得，所以．………………………………5分（2）因为，所以，所以，所以．．………………………………10分18. 由条件即求的长，在中，设，,则，整理得，解得或.当时可得，与矛盾，故舍去………………………………6分（2）在中，设，则，周长最大值为15. ………………………………12分19.20.21 .解：（1）离心率为，，………………………………1分的周长为8，，得，………………………………3分，，………………………………4分因此，椭圆的标准方程为．………………………………5分（2）设的内切圆半径为，，又，，要使的内切圆面积最大，只需的值最大．………………………………6分设，，直线，联立消去得：，易得，且，，………………………………7分所以，………………………………8分设，则，………………………………9分设，，所以在上单调递增，……………10分所以当，即时，的最大值为3，………………………………11分此时，所以的内切圆面积最大为．………………………………12分22. 解：（1）当时，，，………………………………1分由，………………………………2分得，即，……………………………3分解得或.………………………………4分当时，，此时直线恰为切线，故舍去，……………………5分所以.………………………………6分（2）当时，，设，则，………………………………7分故函数可化为.由,可得的单调递减区间为，单调递增区间为，所以的最小值为，。

………………………………8分此时，函数的的值域为问题转化为当时，有解，………………………………9分即，得。

。