菱形性质与判定课件ppt

）
判定定理3：四条边都相等的四边形是菱形
A
B C
D
已知：AB=BC=CD=DA 求证：四边形ABCD是菱形
∵AB=CD,BC=AD ∴四边形ABCD是平行四 边形 ∵AB=CD ∴四边形ABCD是菱形 （有一组邻边相等的平行 四边形是菱形）
菱形常用的判定方法：
①有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
+邻边相等 =
②对角线互相垂直的平行四边形是菱形
+对角线线互相垂直=
③有四条边相等的四边形是菱形。
四条边相等+ =
菱形的判定：
文字语言 判定 法一
一组邻边相 等的平行四 边形是菱形
图形语言
A B
A O C D
符号语言
∵在□ABCD中 AB=AD
∴四边形ABCD是菱形 ∵在□ABCD中 AC⊥BD ∴四边形ABCD是菱形
△ABD≌△BCD △ABC≌△ACD
全等三角形有： Rt△AOB ≌ Rt△BOC≌ Rt△COD ≌ Rt△DOA
.
例1.在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交 . 于点 O, ∠BAC=30°,BD=6.求菱形的 边长和对角线AC的长.
D
O A C
B
牛刀小试 1.菱形具有而矩形不一定有的性质是 (
B
D
3
3、菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm A，4 O 则菱形的面积是（ ）C
A.10 B.7 C. 24 D.48
A
C
4.在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD， E、F分别为BC，CD的中点，那么 B ∠EAF的度数是（ ）B
A.75°B.60°C.45°D.30°
E
B
D F
C
6 已知：如图，AD平分∠BAC， DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F． 求证：EF⊥AD；
D
∟
（╳ ）
(2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形；（√ ） （╳ ）
A
C
C
D
A
B
B
2、□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
（1）若AB=AD，则□ABCD是 菱 （2）若AC=BD，则□ABCD是 形；
矩 形； 矩
（3）若∠ABC是直角，则□ABCD是
D
形；
C
（4）若∠BAO=∠DAO，则□ABCD是 菱 形。
A E
3 12
F D C
B
7、如图，E为菱形ABCD边BC上一点， 且AB=AE，AE交BD于O，且 ∠DAE=2∠BAE， 求证：EB=OA；
A O
D
B
E
C
当堂检测：
1、判断下列说法是否正确？为什么？
(1)对角线互相垂直的四边形是菱形； (3)对角线互相垂直,且有一组邻边相等 的四边形是菱形；
由此你能得出菱形的的对称性
D
边
对边平行且相等 四条边都相等
A B
O
C
角 菱形的对角相等，邻角互补
对角线 两条对角线互相平分且垂直 每一条对角线平分一组对角 中心对称：对角线的交点就是对称中心 对称性
轴对称：有两条对称轴 即：两条对角 线所在的直线
相等的线段：
已知四边形ABCD是菱形 AB=CD=AD=BC OA=OC OB=OD
证明 ∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ AE∥FC（ ① ） ∴ ∠1＝∠2．（ ② ） ∵ EF平分AC， ∴ AO＝OC． 又∵ ∠AOE＝∠COF＝90°， ∴ △AOE≌△COF（ ③ ）， ∴ EO＝FO， ∴ 四边形AFCE是平行四边形（ ④ 又∵EF⊥AC， ∴ 四边形AFCE是菱形（ ⑤ ）
E
3
12
F D C
课后拓展1:
请你动脑筋
把两张等宽的纸条交叉重叠在一起，你能判断 重叠部分ABCD的形状吗？
A
F
D
B
E
∟
C
课后拓展2:
如图，AD∥BC，BD垂直平分AC， 四边形ABCD一定是菱形吗？若是， 请说明理由。
D
A
┐
O
B
C
提示:
△AOD≌△COB（角边角）
AD=BC
判定 对角线互相垂直 的平行四边形是 法二 菱形
D
B
A B
C
D C ∵AB=BC=CD=DA
判定 法三
四边相等的四边 形是菱形
∴四边形ABCD是菱形
A
D O C
1.已知菱形的周长是12cm，那 3cm 么它的边长是______. 2.菱形ABCD中∠ABC＝60度， 60度 则∠BAC＝_______.
B
5 6
A
1 2
7
D
8
O
3 4
∠DAB=∠BCD ∠ABC =∠CDA 相等的角：
C
∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC =90° ∠1=∠2 =∠3=∠4 ∠5=∠6 =∠7=∠8
等腰三角形有： △ABC △ DBC △ACD △ABD Rt△AOB Rt△BOC Rt△COD 直角三角形有： Rt△DOA
D
O
E
C
S菱形=BC. AE
思考:计算菱形的面积除了上述方法外,利 用对角线能计算菱形的面积吗? 1 S菱形ABCD== SABD SBCD BD AC 2
面积：S菱形=底×高=对角线乘积的一半
菱形判定方法的研究
B
A D
来自百度文库
C 判定方法1：有一组邻边相等 的平行四边形是菱形 ∵ 四边形ABCD是平行四边形 AB=BC ∴四边形ABCD是菱形
判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形 已知 ABCD中，对角线AC、BD互 相垂直， 求证：四边形ABCD是菱形．
证明：在 ABCD 中，OA＝OC （ ① ）． 又∵AC⊥BD， ∴ BD所在直线是线段AC的垂直平分线， ∴ AB＝BC， ∴ 四边形ABCD是菱形 （ ② ）．
例 已知:矩形ABCD的对角线AC的垂 直平分线与边AD、BC分别交于点E、 F，求证:四边形AFCE是菱形
A D AB=BC=CD=AD
B
C
菱形的性质 2 ：
菱形的两条对角线互相垂直，每一条对角 线平分一组对角。 已知:在菱形ABCD中,对角线AC,BD
D 相交于点O. A
O
C求证:AC⊥BD, AC平分∠BAD和∠BCD, BD平分∠ABC和∠ADC.
B
四边形ABCD是菱形ABCD DA DC 对角线AC, BD互相平分 O是AC的中点 BD AC, BD平分ADC
观察以下由火柴棒摆成的图形:
议一议:(1)三个图形都是平行四边形吗 ? (2)与图1相比,图2与图3有什么共同特点 ?
定义法
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
一组邻边相等
平行四边形
菱形
一个直角
矩形
菱形具有工整,匀称,美观等许多优点, 常被人们用在图案设计上.
图 片 欣 赏
菱形的性质的研究 菱形是特殊的平行四边形，具有平行四 边形的所有性质. 菱形的性质1：菱形的四条边都相等。
O A B
3、选择：
（1）.下列命题中正确的是（C ） A.一组邻边相等的四边形是菱形 B.三条边相等的四边形是菱形 C.四条边相等的四边形是菱形 D.四个角相等的四边形是菱形
（2）.对角线互相垂直且平分的四边形是（ C ） A.矩形 B.一般的平行四边形 C.菱形 D.以上都不对
（3）.下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是（ C） A.AC⊥BD,AC与BD互相平分 B.AB=BC=CD=DA C.AB=BC,AD=CD,且AC⊥BD D.AB=CD,AD=BC,AC⊥BD
6、如图在菱形ABCD中,CE⊥AB,CF⊥AD. 则CE
＝
CF，BE
＝
DF。
E
A
F
D
B
C
7、已知：如图，AD平分∠BAC，DE∥AC 交AB于E，DF∥AB交AC于F． A 求证：四边形AEDF是菱形．
证明：∵DE∥AC DF∥AB ∴四边形AEDF是平行四边形 ∵ DE∥AC B ∴∠2=∠3 ∵ AD是△ABC的角平分线 ∴ ∠1=∠2 ∴ ∠1=∠3 ∴AE=DE ∴ □AEDF是菱形
(A) 对角线互相平分
B
)
(B) 四条边都相等
(C) 对角相等
(D) 邻角互补
2.已知:如图,在菱形ABCD中,直线AE交边BC 于点E ，直线 AF交CD于点F,且BE=DF A 1 2 求证：
B E C
1 2
D F
【菱形的面积公式】
A B
菱形是特殊的平行四边形, 那么能否利用平行四边形 面积公式计算菱形的面积吗