山东高考理科数学圆锥曲线大题.
【山东省】2017年高考数学(理科)-圆锥曲线的定义、方程、几何性质-专题练习-答案
＋
y12 b2
y22
＝0,
即
x1
x2 x1
4b2
x2
＋
y1
y2
b2
y1
y2
＝0,
即
32 17
x1 4
x2
＋4 17
(
y1－y2
)＝0,
从而kPQ＝
y1 y2 x1 x2
＝2,
6
分
直线l的方程为y－ 2 17
＝2
x
16 17
＝2ay(a≠0),椭圆常设 mx2＋ny2＝1(m＞0,n＞0),双曲线常设为 mx2－ny2＝1(mn＞0). 【变式训练一】
1 （1）A 抛物线 y＝8x2,即 x2＝8y 的焦点为 F(0,2),
a 即 c＝2,双曲线的渐近线方程为 y＝±bx,
bc 可得 F 到渐近线的距离为 d＝ a2＋b2＝b＝ 3,
b2 1＋a2＝
53 1＋4＝2.]
1 pp 2px02－2 2 ∵kMF′＝kFF′,∴ x0 ＝－2.①
1
13
又∵y′＝px,∴y′|x＝x0＝px0＝ 3 .②
43 由①②得 p＝ 3 .] 回访三 弦长问题
6．B [抛物线 y2＝8x 的焦点为(2,0),∴椭圆中 c＝2,
c1 又a＝2,∴a＝4,b2＝a2－c2＝12,
x2 y2 从而椭圆方程为16＋12＝1．
∵抛物线 y2＝8x 的准线为 x＝－2,
∴xA＝xB＝－2, 将 xA＝－2 代入椭圆方程可得|yA|＝3, 由图象可知|AB|＝2|yA|＝6．故选 B．]
(7年真题推荐)山东省高考数学 真题分类汇编 圆锥曲线
圆锥曲线（一）选择题1.（07山东卷(10)设椭圆C 1的离心率为135，焦点在X 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为（A ）1342222=-y x (B)15132222=-y x (C)1432222=-y x (D)112132222=-y x答案：A2.(2009山东卷理)设双曲线12222=-by a x 的一条渐近线与抛物线y=x 2+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为( ). A.45 B. 5 C. 25D.5 【解析】:双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线为x a b y =,由方程组21b y xa y x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩,消去y,得210b x x a -+=有唯一解,所以△=2()40ba-=, 所以2b a =,2221()5c a b b e a a a+===+=,故选D.答案:D.【命题立意】:本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念,以及直线与抛物线的位置关系,只有一个公共点,则解方程组有唯一解.本题较好地考查了基本概念基本方法和基本技能.3.(2009山东卷文)设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F,且和y 轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( ).A.24y x =±B.28y x =±C. 24y x = D. 28y x =【解析】: 抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F 坐标为(,0)4a,则直线l 的方程为2()4a y x =-,它与y 轴的交点为A (0,)2a -,所以△OAF 的面积为1||||4242a a⋅=,解得8a =±.所以抛物线方程为28y x =±,故选B. 答案:B.【命题立意】:本题考查了抛物线的标准方程和焦点坐标以及直线的点斜式方程和三角形面积的计算.考查数形结合的数学思想,其中还隐含着分类讨论的思想,因参数a 的符号不定而引发的抛物线开口方向的不定以及焦点位置的相应变化有两种情况,这里加绝对值号可以做到合二为一.4、（2010山东文数）（9）已知抛物线22(0)y px p =>，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线与A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为 （A ）1x = (B)1x =- (C)2x = (D)2x =- 答案：B5、（2010山东理数）(7)由曲线y=2x ,y=3x 围成的封闭图形面积为 （A ）112(B)14(C)13(D)712【答案】A【解析】由题意得:所求封闭图形的面积为123x -x )dx=⎰（1111-1=3412⨯⨯,故选A 。
2020年高考山东版高考理科数学 10.4 圆锥曲线的综合问题
10.4 圆锥曲线的综合问题挖命题【考情探究】分析解读 1.会处理动曲线(含直线)过定点的问题.2.会证明与曲线上的动点有关的定值问题.3.会按条件建立目标函数,研究变量的最值问题及变量的取值范围问题,注意运用“数形结合”“几何法”求某些量的最值.4.能与其他知识交汇,从假设结论成立入手,通过推理论证解答存在性问题.5.本节在高考中围绕直线与圆锥曲线的位置关系,展开对定值、最值、参数取值范围等问题的考查,注重对数学思想方法的考查,分值约为12分,难度偏大.破考点【考点集训】考点一定值、定点、最值及范围问题1.(2017河北衡水中学期中,11)已知A(-1,0),B是圆F:x2-2x+y2-11=0(F为圆心)上一动点,线段AB的垂直平分线交BF于P,则动点P的轨迹方程为( )A.+=1B.-=1C.-=1D.+=1答案D2.(2018河北唐山调研,14)过抛物线y2=4x的焦点作直线与此抛物线交于P,Q两点,那么线段PQ中点的轨迹方程是.答案y2=2x-23.(2018河北五校12月联考,20)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,右焦点为F,上顶点为A,且△AOF 的面积为(O是坐标原点).(1)求椭圆C的方程;(2)设P是椭圆C上的一点,过P的直线l与以椭圆的短轴为直径的圆切于第一象限,切点为M,证明:|PF|+|PM|为定值.解析(1)设椭圆的半焦距为c,由已知得⇒∴椭圆的方程为+y2=1.(2)证明:以短轴为直径的圆的方程为x2+y2=1,F(1,0),设P(x0,y0),则+=1(0<x0≤),∴|PF|=-=--=-=-=(2-x0).又l与圆x2+y2=1相切于M,∴|PM|=-=-=-==x0,∴|PF|+|PM|=(2-x0)+x0=,为定值.4.(2018湖北武汉4月调研,19)已知椭圆Γ:+=1,过点P(1,1)作倾斜角互补的两条不同直线l1,l2,设l1与椭圆Γ交于A、B两点,l2与椭圆Γ交于C,D两点.(1)若P(1,1)为线段AB的中点,求直线AB的方程;(2)若直线l1与l2的斜率都存在,记λ=,求λ的取值范围.解析(1)解法一(点差法):由题意可知直线AB的斜率存在.设A(x1,y1),B(x2,y2),则两式作差得--=-·=-·=-,∴直线AB的方程为y-1=-(x-1),即x+2y-3=0.解法二:由题意可知直线AB的斜率存在.设直线AB的斜率为k,则其方程为y-1=k(x-1),代入x2+2y2=4中,得x2+2[kx-(k-1)]2-4=0,∴(1+2k2)x2-4k(k-1)x+2(k-1)2-4=0,Δ=[-4(k-1)k]2-4(2k2+1)[2(k-1)2-4]=8(3k2+2k+1)>0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则---∵AB中点为(1,1),∴(x1+x2)=-=1,则k=-.∴直线AB的方程为y-1=-(x-1),即x+2y-3=0.(2)由(1)可知|AB|=|x1-x2|=·-=·.设直线CD的方程为y-1=-k(x-1)(k≠0),同理可得|CD|=·-.∴λ==-(k≠0),λ>0,∴λ2=1+-=1+-.令t=3k+,则t∈(-∞,-2]∪[2,+∞),令g(t)=1+-,t∈(-∞,-2]∪[2,+∞),∵g(t)在(-∞,-2],[2,+∞)上单调递减,∴2-≤g(t)<1或1<g(t)≤2+.故2-≤λ2<1或1<λ2≤2+.∴λ∈-∪.思路分析(1)解法一:利用点差法得直线AB的斜率,进而得直线AB的方程.解法二:设出直线AB的方程,与椭圆方程联立并消元,利用根与系数的关系及AB中点的坐标建立斜率k的方程,从而求得k,得直线AB方程.(2)利用弦长公式求得|AB|与|CD|,进而将λ=表示成关于k的函数,结合函数特征及函数性质求得λ的取值范围.方法点拨解决直线与圆锥曲线的弦中点问题常利用点差法或根与系数的关系,两者都需要对直线斜率是否存在进行讨论,同时也都用到整体代换的求解方法.考点二存在性问题1.(2018湖北张家口期末,18)已知M是直线l:x=-1上的动点,点F的坐标是(1,0),过M的直线l'与l垂直,并且l'与线段MF的垂直平分线相交于点N.(1)求点N的轨迹C的方程;(2)设曲线C上的动点A关于x轴的对称点为A',点P的坐标为(2,0),直线AP与曲线C的另一个交点为B(B 与A'不重合).是否存在一个定点T,使得T,A',B三点共线?若存在,求出点T的坐标;若不存在,请说明理由. 解析(1)依题意,|NM|=|NF|,即点N到直线l的距离与到点F(1,0)的距离相等,故点N的轨迹C为抛物线,其焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,所以点N的轨迹C的方程为y2=4x.(2)设A,则A'-,直线AP的斜率为k AP=-=-,直线AB的方程为y=-(x-2).由方程组--得ay2-(a2-8)y-8a=0,则y=a或y=-.设B(x0,y0),则y0=-,x0=,所以B-,又A'-,所以A'B的方程为y+a=--.令y=0,得x=-2,即直线A'B与x轴交于定点T(-2,0).因此存在定点T(-2,0),使得T,A',B三点共线.2.(2018山西康杰中学等六校12月联考,20)已知F1,F2分别为椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点,点P在椭圆E上,且|PF1|+|PF2|=4.(1)求椭圆E的方程;(2)过F1的直线l1,l2分别交椭圆E于A,C和B,D,且l1⊥l2,问是否存在实数λ,使得,λ,成等差数列?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.解析(1)由已知|PF1|+|PF2|=4,得2a=4,即a=2,又点P在椭圆上,所以+=1,解得b=,故椭圆的标准方程为+=1.(2)当AC⊥x轴时,|BD|=4,|AC|=3,由2λ=+=,得λ=.当BD⊥x轴时,|BD|=3,|AC|=4,由2λ=+=,得λ=.当AC、BD与x轴均不垂直时,设l1:y=k(x+1)(k≠0),A(x1,y1),C(x2,y2),直线l1与椭圆E的方程联立并消去y得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0,则x1+x2=-,x1x2=-,所以|AC|=|x1-x2|=,从而=,同理可得=,所以+==,令=2λ,得λ=.综上,存在常数λ=,使得,λ,成等差数列.炼技法【方法集训】方法1 与圆锥曲线相关的最值、范围问题的解题方法1.(2017江西南昌三校联考,11)已知双曲线x2-=1的左顶点为A1,右焦点为F2,P为双曲线右支上一点,则·的最小值为( )A.-2B.-C.1D.0答案A2.(2018浙江,17,4分)已知点P(0,1),椭圆+y2=m(m>1)上两点A,B满足=2,则当m= 时,点B 横坐标的绝对值最大.答案 53.(2018湖南衡阳一模,20)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,离心率为,直线y=1与C的两个交点间的距离为.(1)求椭圆C的方程;(2)分别过F1、F2作l1、l2满足l1∥l2,设l1、l2与C的上半部分分别交于A、B两点,求四边形ABF2F1面积的最大值.解析(1)易知椭圆过点,所以+=1,①又=,②a2=b2+c2,③所以由①②③得a2=4,b2=3,所以椭圆C的方程为+=1.(2)设直线l1的方程为x=my-1,它与C的另一个交点为D.将直线l1与椭圆C的方程联立,消去x,得(3m2+4)y2-6my-9=0,Δ=144(m2+1)>0.|AD|=·,又F2到l1的距离d=,所以△=12.令t=,t≥1,则△=,当t=1时,△取得最大值,为3.又=(|BF2|+|AF1|)·d=(|AF1|+|DF1|)·d=|AB|·d=△,四边形所以四边形ABF2F1面积的最大值为3.方法2 圆锥曲线中定点(定值)问题的求法1.(2018云南玉溪模拟,20)已知F(1,0),P是平面上一动点,P在直线l:x=-1上的射影为点N,且满足·=0.(1)求点P的轨迹C的方程;(2)过点M(1,2)作曲线C的两条弦MA,MB,设MA,MB所在直线的斜率分别为k1,k2,当k1,k2变化且满足k1+k2=-1时,证明直线AB过定点,并求出该定点坐标.解析(1)设P(x,y),则N(-1,y).=(-1-x,0),又F(1,0),从而=(2,-y),则+=(-1-x,0)+(2,-y)=--,由·=0,得--·(2,-y)=0,即-2x+y2=0.化简得y2=4x,即为所求的点P的轨迹C对应的方程.(2)设A(x1,y1)、B(x2,y2).由题意知MA:y=k1(x-1)+2,MB:y=k2(x-1)+2.将y=k1(x-1)+2与y2=4x联立,得k1y2-4y-4k1+8=0,由y1+2=,得y1=-2,①同理,y2=-2,②直线AB的方程为y-y1=--(x-x1),即y=x+,③由①②得y1+y2=-2+-2=-4=--4, y1y2=4-=4,代入③得,y=--x+--,整理得k1k2(x+y+1)+6+y=0.由⇒-故直线AB过定点(5,-6).知识拓展过圆锥曲线上一定点M作圆锥曲线的两条弦MA,MB,设MA,MB所在直线的斜率分别为k1,k2,当k1+k2为定值且k1+k2≠0时,直线AB过定点;当k1+k2=0时,直线AB的斜率为定值.2.(2017湖南长沙长郡中学模拟,20)在平面直角坐标系xOy中,过点C(2,0)的直线与抛物线y2=4x相交于A、B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2).(1)求证:y1y2为定值;(2)是否存在平行于y轴的定直线被以AC为直径的圆截得的弦长为定值?如果存在,求出该直线的方程和弦长;如果不存在,说明理由.解析(1)证明:设直线AB的方程为my=x-2.由-得y2-4my-8=0,∴y1y2=-8,为定值.(2)存在.设存在直线x=a满足条件.设AC的中点为E,则E,|AC|=-,因此以AC为直径的圆的半径r=|AC|=-=,点E到直线x=a的距离d=-,所以所截弦长为2-=2--=--=---.当1-a=0,即a=1时,弦长为定值2,这时直线方程为x=1.方法3 存在性问题的解题策略1.(2018山东济宁一模,20)已知椭圆C:+=1(a>2),直线l:y=kx+1(k≠0)与椭圆C相交于A,B两点,点D为AB的中点.(1)若直线l与直线OD(O为坐标原点)的斜率之积为-,求椭圆C的方程;(2)在(1)的条件下,y轴上是否存在定点M,使得当k变化时,总有∠AMO=∠BMO(O为坐标原点)?若存在,求出定点M的坐标;若不存在,请说明理由.解析(1)由得(4+a2k2)x2+2a2kx-3a2=0, 显然Δ>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0),则x1+x2=-,x1x2=-,∴x0=-,y0=-+1=,∴k·=k·-=-,∴a2=8,∴椭圆C的方程为+=1.(2)假设存在定点M符合题意,且设M(0,m),由∠AMO=∠BMO得k AM+k BM=0,∴-+-=0,即y1x2+y2x1-m(x1+x2)=0,∴2kx1x2+x1+x2-m(x1+x2)=0.由(1)知x1+x2=-,x1x2=-,∴--+=0,∴-=0,即-=0,∵k≠0,∴-4+m=0,∴m=4.∴存在定点M(0,4),使得∠AMO=∠BMO.2.(2018湖北八校12月联考,20)已知抛物线C:y2=2px(p>0)在第一象限内的点P(2,t)到焦点F的距离为.(1)若M-,过点M,P的直线l1与抛物线相交于另一点Q,求的值;(2)若直线l2与抛物线C相交于A,B两点,与圆M:(x-a)2+y2=1相交于D,E两点,O为坐标原点,OA⊥OB,试问:是否存在实数a,使得DE的长为定值?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.解析(1)∵点P(2,t),∴2+=,解得p=1,故抛物线C的方程为y2=2x,当x=2时,t=2,∴l1的方程为y=x+,与抛物线方程y2=2x联立可得x Q=,又∵|QF|=x Q+,∴==.(2)设直线AB的方程为x=ty+m,代入抛物线方程可得y2-2ty-2m=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2t①,y1y2=-2m②,由OA⊥OB得(ty1+m)(ty2+m)+y1y2=0,整理得(t2+1)y1y2+tm(y1+y2)+m2=0③,将①②代入③解得m=2,∴直线l2:x=ty+2,∵圆心到直线l2的距离d=,∴|DE|=2--,显然当a=2时,|DE|=2,为定值.过专题【五年高考】A组山东省卷、课标卷题组考点一定值、定点、最值及范围问题1.(2017课标Ⅰ,10,5分)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为( )A.16B.14C.12D.10答案A2.(2017课标Ⅰ,20,12分)已知椭圆C:+=1(a>b>0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3-,P4中恰有三点在椭圆C上.(1)求C的方程;(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1,证明:l过定点.解析本题考查椭圆的方程和性质、直线与椭圆的位置关系以及定点问题,考查学生的逻辑思维能力、运算求解能力和对数形结合思想的应用能力.(1)由于P3,P4两点关于y轴对称,故由题设知C经过P3,P4两点.又由+>+知,C不经过点P1,所以点P2在C上.因此解得故C的方程为+y2=1.(2)设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2.如果l与x轴垂直,设l:x=t,由题设知t≠0,且|t|<2,可得A,B的坐标分别为-,--.则k1+k2=----=-1,得t=2,不符合题设.从而可设l:y=kx+m(m≠1).将y=kx+m代入+y2=1得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0.由题设可知Δ=16(4k2-m2+1)>0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=-.而k1+k2=-+-=-+-=-,由题设k1+k2=-1,故(2k+1)x1x2+(m-1)(x1+x2)=0, 即(2k+1)·-+(m-1)·-=0.解得k=-.当且仅当m>-1时,Δ>0,于是l:y=-x+m,即y+1=-(x-2),所以l过定点(2,-1).思路分析(1)椭圆的对称性易知点P3,P4在椭圆上,将点P1(1,1)代入椭圆方程,经过比较可知点P1(1,1)不在椭圆上,进而可列方程组求出椭圆方程;(2)设出直线l的方程,将直线l与椭圆的方程联立并消元,利用根与系数的关系使问题得解,在解题中要注意直线斜率不存在的情况.方法点拨定点问题的常见解法:(1)根据题意选择参数,建立一个含参数的直线系或曲线系方程,经过分析、整理,对方程进行等价变形,以找出适合方程且与参数无关的坐标,该坐标对应的点即为所求的定点.(2)从特殊位置入手,找出定点,再证明该定点符合题意.3.(2016课标Ⅱ,20,12分)已知椭圆E:+=1的焦点在x轴上,A是E的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA.(1)当t=4,|AM|=|AN|时,求△AMN的面积;(2)当2|AM|=|AN|时,求k的取值范围.解析(1)设M(x1,y1),则由题意知y1>0.当t=4时,E的方程为+=1,A(-2,0).由已知及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为.因此直线AM的方程为y=x+2.将x=y-2代入+=1得7y2-12y=0.解得y=0或y=,所以y1=.因此△AMN的面积S△AMN=2×××=.(2)由题意,t>3,k>0,A(- ,0).将直线AM的方程y=k(x+ ) 代入+=1得(3+tk2)x2+2 ·tk2x+t2k2-3t=0. 由x1·(- )=-得x1=-,故|AM|=|x1+ |=.由题设,直线AN的方程为y=-(x+ ),故同理可得|AN|=.由2|AM|=|AN|得=,即(k3-2)t=3k(2k-1).当k=时上式不成立,因此t=--.t>3等价于---=--<0,即--<0.由此得--或--解得<k<2.因此k的取值范围是(,2).疑难突破第(1)问中求出直线AM的倾斜角是解决问题的关键;第(2)问利用2|AM|=|AN|得出t与k的关系式,由t>3,建立关于k的不等式,从而得出k的取值范围.名师点拨本题主要考查椭圆的几何性质,直线与椭圆的位置关系以及方程思想的应用,考查学生的运算求解能力及逻辑思维能力.挖掘出题目中t>3这一隐含条件是把等式转化为不等式的关键.4.(2016课标Ⅰ,20,12分)设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D 两点,过B作AC的平行线交AD于点E.(1)证明|EA|+|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程;(2)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.解析(1)因为|AD|=|AC|,EB∥AC,故∠EBD=∠ACD=∠ADC.所以|EB|=|ED|,故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|.又圆A的标准方程为(x+1)2+y2=16,从而|AD|=4,所以|EA|+|EB|=4.由题设得A(-1,0),B(1,0),|AB|=2,由椭圆定义可得点E的轨迹方程为+=1(y≠0).(2)当l与x轴不垂直时,设l的方程为y=k(x-1)(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2).由-得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0.则x1+x2=,x1x2=-.所以|MN|=|x1-x2|=.过点B(1,0)且与l垂直的直线m:y=-(x-1),A到m的距离为,所以|PQ|=2-=4.故四边形MPNQ的面积S=|MN||PQ|=12.可得当l与x轴不垂直时,四边形MPNQ面积的取值范围为(12,8).当l与x轴垂直时,其方程为x=1,|MN|=3,|PQ|=8,四边形MPNQ的面积为12.综上,四边形MPNQ面积的取值范围为[12,8).方法总结定义法求轨迹方程的一般步骤:(1)判定动点的运动轨迹满足某种曲线的定义;(2)设标准方程,求方程中的基本量;(3)写出轨迹方程.5.(2015山东,20,13分)平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,左、右焦点分别是F1,F2.以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交,且交点在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程;(2)设椭圆E:+=1,P为椭圆C上任意一点.过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A,B两点,射线PO交椭圆E于点Q.(i)求的值;(ii)求△ABQ面积的最大值.解析(1)证明:由题意知2a=4,则a=2.又=,a2-c2=b2,可得b=1,所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)由(1)知椭圆E的方程为+=1.(i)设P(x0,y0),=λ,由题意知Q(-λx0,-λy0).因为+=1,又-+-=1,即=1,所以λ=2,即=2.(ii)设A(x1,y1),B(x2,y2).将y=kx+m代入椭圆E的方程,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0,由Δ>0,可得m2<4+16k2.①由韦达定理有x1+x2=-,x1x2=-.所以|x1-x2|=-.因为直线y=kx+m与y轴交点的坐标为(0,m), 所以△OAB的面积S=|m||x1-x2|=-=-=2-.设=t.将y=kx+m代入椭圆C的方程,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,由Δ≥0,可得m2≤1+4k2.②由①②可知0<t≤1,因S=2-=2-,故S≤2,当且仅当t=1,即m2=1+4k2时取得最大值2.由(i)知,△ABQ面积为3S,所以△ABQ面积的最大值为6.考点二存在性问题(2014山东,21,14分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,A为C上异于原点的任意一点,过点A的直线l交C于另一点B,交x轴的正半轴于点D,且有|FA|=|FD|.当点A的横坐标为3时,△ADF为正三角形.(1)求C的方程;(2)若直线l1∥l,且l1和C有且只有一个公共点E,(i)证明直线AE过定点,并求出定点坐标;(ii)△ABE的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值,若不存在,请说明理由.解析(1)由题意知F.设D(t,0)(t>0),则FD的中点为.因为|FA|=|FD|,由抛物线的定义知3+=-,解得t=3+p或t=-3(舍去).由=3,解得p=2.所以抛物线C的方程为y2=4x.(2)(i)由(1)知F(1,0),设A(x0,y0)(x0y0≠0),D(x D,0)(x D>0), 因为|FA|=|FD|,则|x D-1|=x0+1,由x D>0得x D=x0+2,故D(x0+2,0). 故直线AB的斜率k AB=-.因为直线l1和直线AB平行,所以设直线l1的方程为y=-x+b, 代入抛物线方程得y2+y-=0, 由题意得Δ=+=0,得b=-. 设E(x E,y E),则y E=-,x E=,当≠4时,k AE=--=--=-,可得直线AE的方程为y-y0=-(x-x0),由=4x0,整理可得y=-(x-1),直线AE恒过点F(1,0).当=4时,直线AE的方程为x=1,过点F(1,0), 所以直线AE过定点F(1,0).(ii)由(i)知直线AE过焦点F(1,0),所以|AE|=|AF|+|FE|=(x0+1)+=x0++2. 设直线AE的方程为x=my+1,因为点A(x0,y0)在直线AE上,故m=-,设B(x1,y1),直线AB的方程为y-y0=-(x-x0), 由于y0≠0,可得x=-y+2+x0,代入抛物线方程得y2+y-8-4x0=0.所以y0+y1=-,可求得y1=-y0-,x1=+x0+4,所以点B到直线AE的距离为-d===4.则△ABE的面积S=×4≥16,当且仅当=x0,即x0=1时等号成立.所以△ABE的面积的最小值为16.评析本题考查抛物线的标准方程、几何性质,直线与圆锥曲线的位置关系以及解析几何中的定点问题、最值问题和结论探究性问题.本题综合性较强、难度较大,很好地考查了考生的逻辑思维能力和运算求解能力.本题的易错点是定点的确定.B组其他自主命题省(区、市)卷题组考点一定值、定点、最值及范围问题1.(2014湖北,9,5分)已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且∠F1PF2=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )A. B. C.3 D.2答案A2.(2018北京,19,14分)已知抛物线C:y2=2px经过点P(1,2).过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于M,直线PB交y轴于N.(1)求直线l的斜率的取值范围;(2)设O为原点,=λ,=μ,求证:+为定值.解析(1)由已知可得4=2p,所以抛物线C的方程为y2=4x,设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l显然不能与两坐标轴垂直,设其方程为y=kx+1(k≠0),由y2=4x得x=,将其代入y=kx+1,得y=k·+1,即ky2-4y+4=0.所以由已知可得-解得k<1且k≠0.又PA,PB与y轴相交,故直线l不过点(1,-2),从而k≠-3.所以直线l的斜率的取值范围为(-∞,-3)∪(-3,0)∪(0,1).(2)由(1)知y1+y2=,y1y2=.而点A(x1,y1),B(x2,y2)均在抛物线上,所以x1=,x2=.因为直线PA与直线PB均与y轴相交,则直线PA与直线PB的斜率均存在,即y1≠-2,y2≠-2.因为k PA=--=--=--=,所以直线PA的方程为y-2=(x-1),令x=0,可得y M=2-=,即M, 同理可得N,而由=λ可得,-1=-λ,所以=-.同理由=μ可得,-1=-μ,所以=-.所以+=-+-=----=--=--·=--=2.故+为定值.方法总结圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值.依题设条件,得出与代数式有关的等式,化简即可得出定值.(2)求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的表达式,再利用题设条件化简、变形求得.(3)求某线段长度为定值.利用两点间的距离公式求得线段长度的表达式,再依据条件对表达式进行化简、变形即可求得.3.(2016北京,19,14分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,A(a,0),B(0,b),O(0,0),△OAB的面积为1.(1)求椭圆C的方程;(2)设P是椭圆C上一点,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N.求证:|AN|·|BM|为定值.解析(1)由题意得解得a=2,b=1.所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)证法一:由(1)知,A(2,0),B(0,1).设P(x0,y0),则+4=4.当x0≠0时,直线PA的方程为y=-(x-2).令x=0,得y M=--,从而|BM|=|1-y M|=-.直线PB的方程为y=-x+1.令y=0,得x N=--,从而|AN|=|2-x N|=-.所以|AN|·|BM|=-·-=----=----=4.当x0=0时,y0=-1,|BM|=2,|AN|=2,所以|AN|·|BM|=4.综上,|AN|·|BM|为定值.证法二:点P在曲线+=1上,不妨设P(2cos θ,sinθ),当θ≠kπ且θ≠kπ+(k∈Z)时,直线AP的方程为y-0=-(x-2),令x=0,得y M=-;直线BP的方程为y-1=-(x-0),令y=0,得x N=-.∴|AN|·|BM|=2--·--=2----=2×2=4(定值).当θ=kπ或θ=kπ+(k∈Z)时,M、N是定点,易得|AN|·|BM|=4.综上,|AN|·|BM|=4.考点二存在性问题1.(2015北京,19,14分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,点P(0,1)和点A(m,n)(m≠0)都在椭圆C上,直线PA交x轴于点M.(1)求椭圆C的方程,并求点M的坐标(用m,n表示);(2)设O为原点,点B与点A关于x轴对称,直线PB交x轴于点N.问:y轴上是否存在点Q,使得∠OQM=∠ONQ?若存在,求点Q的坐标;若不存在,说明理由.解析(1)由题意得解得a2=2. 故椭圆C的方程为+y2=1.设M(x M,0).因为m≠0,所以-1<n<1.直线PA的方程为y-1=-x,所以x M=-,即M-.(2)因为点B与点A关于x轴对称,所以B(m,-n).设N(x N,0),则x N=.“存在点Q(0,y Q)使得∠OQM=∠ONQ”等价于“存在点Q(0,y Q)使得=”,即y Q满足=|x M||x N|.因为x M=-,x N=,+n2=1,所以=|x M||x N|=-=2.所以y Q=或y Q=-.故在y轴上存在点Q,使得∠OQM=∠ONQ.点Q的坐标为(0,)或(0,-).2.(2015四川,20,13分)如图,椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率是,过点P(0,1)的动直线l与椭圆相交于A,B 两点.当直线l平行于x轴时,直线l被椭圆E截得的线段长为2.(1)求椭圆E的方程;(2)在平面直角坐标系xOy中,是否存在与点P不同的定点Q,使得=恒成立?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.解析(1)由已知得,点(,1)在椭圆E上.因此,-解得a=2,b=.所以椭圆E的方程为+=1.(2)当直线l与x轴平行时,设直线l与椭圆相交于C,D两点. 如果存在定点Q满足条件,则有==1,即|QC|=|QD|.所以Q点在y轴上,可设Q点的坐标为(0,y0).当直线l与x轴垂直时,设直线l与椭圆相交于M,N两点,则M,N的坐标分别为(0,),(0,-).由=,有=-,解得y0=1或y0=2.所以,若存在不同于点P的定点Q满足条件,则Q点坐标只可能为(0,2).下面证明:当Q的坐标为(0,2)时,对任意直线l,均有=. 当直线l的斜率不存在时,由上可知,结论成立.当直线l的斜率存在时,可设直线l的方程为y=kx+1,A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2). 联立得(2k2+1)x2+4kx-2=0.其判别式Δ=(4k)2+8(2k2+1)>0,所以,x1+x2=-,x1x2=-.因此+==2k.易知,点B关于y轴对称的点B'的坐标为(-x2,y2).又k QA=-=-=k-,k QB'=--=--=-k+=k-,所以k QA=k QB',即Q,A,B'三点共线.所以===.故存在与P不同的定点Q(0,2),使得=恒成立.C组教师专用题组考点一定值、定点、最值及范围问题1.(2014四川,10,5分)已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,·=2(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是( )A.2B.3C.D.答案B2.(2018浙江,21,15分)如图,已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点,抛物线C:y2=4x上存在不同的两点A,B满足PA,PB的中点均在C上.(1)设AB中点为M,证明:PM垂直于y轴;(2)若P是半椭圆x2+=1(x<0)上的动点,求△PAB面积的取值范围.解析(1)设P(x0,y0),A,B.因为PA,PB的中点在抛物线上,所以y1,y2为方程=4·即y2-2y0y+8x0-=0的两个不同的实根.所以y1+y2=2y0,因此,PM垂直于y轴.(2)由(1)可知-所以|PM|=(+)-x0=-3x0,|y1-y2|=2-.因此,△PAB的面积S△PAB=|PM|·|y1-y2|=(-4x0.因为+=1(x0<0),所以-4x0=-4-4x0+4∈[4,5].因此,△PAB面积的取值范围是.疑难突破解析几何中“取值范围”与“最值”问题在解析几何中,求某个量(直线斜率,直线在x、y轴上的截距,弦长,三角形或四边形面积等)的取值范围或最值问题的关键是利用条件把所求量表示成关于某个变量(通常是直线斜率,动点的横、纵坐标等)的函数,并求出这个变量的取值范围(即函数的定义域),将问题转化为求函数的值域或最值.3.(2016课标Ⅲ,20,12分)已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明AR∥FQ;(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.解析由题设知F.设l1:y=a,l2:y=b,则ab≠0,且A,B,P-,Q-,R-.记过A,B两点的直线为l,则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0.(1)由于F在线段AB上,故1+ab=0.记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,则==-=-b=k2.k1=-=--所以AR∥FQ.(2)设l与x轴的交点为D(x1,0),则S△ABF=|b-a||FD|=|b-a|-,S△PQF=-.由题设可得2×|b-a|-=-,所以x1=0(舍去),或x1=1.设满足条件的AB的中点为E(x,y).当AB与x轴不垂直时,(x≠1).由k AB=k DE可得=-而=y,所以y2=x-1(x≠1).当AB与x轴垂直时,E与D重合.所以,所求轨迹方程为y2=x-1.疑难突破第(1)问需把AR∥FQ的证明转化为k AR=k FQ的证明;第(2)问需找到AB中点所满足的几何条件,从而将其转化为等量关系.4.(2015浙江,19,15分)已知椭圆+y2=1上两个不同的点A,B关于直线y=mx+对称.(1)求实数m的取值范围;(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点).解析(1)由题意知m≠0,可设直线AB的方程为y=-x+b.由消去y,得x2-x+b2-1=0.-因为直线y=-x+b与椭圆+y2=1有两个不同的交点, 所以Δ=-2b2+2+>0,①将AB中点M代入直线方程y=mx+,解得b=-.②由①②得m<-或m>.(2)令t=∈-∪,则|AB|=·-,且O到直线AB的距离为d=.设△AOB的面积为S(t),所以S(t)=|AB|·d=--≤.当且仅当t2=时,等号成立.故△AOB面积的最大值为.5.(2015湖南,20,13分)已知抛物线C1:x2=4y的焦点F也是椭圆C2:+=1(a>b>0)的一个焦点,C1与C2的公共弦的长为2.(1)求C2的方程;(2)过点F的直线l与C1相交于A,B两点,与C2相交于C,D两点,且与同向.(i)若|AC|=|BD|,求直线l的斜率;(ii)设C1在点A处的切线与x轴的交点为M,证明:直线l绕点F旋转时,△MFD总是钝角三角形.解析(1)由C1:x2=4y知其焦点F的坐标为(0,1).因为F也是椭圆C2的一个焦点,所以a2-b2=1.①又C1与C2的公共弦的长为2,C1与C2都关于y轴对称,且C1的方程为x2=4y,由此易知C1与C2的公共点的坐标为,所以+=1.②联立①,②得a2=9,b2=8.故C2的方程为+=1.(2)如图,设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4).(i)因与同向,且|AC|=|BD|,所以=,从而x3-x1=x4-x2,即x1-x2=x3-x4,于是(x1+x2)2-4x1x2=(x3+x4)2-4x3x4.③设直线l的斜率为k,则l的方程为y=kx+1.由得x2-4kx-4=0.而x1,x2是这个方程的两根,所以x1+x2=4k,x1x2=-4.④由得(9+8k2)x2+16kx-64=0.而x3,x4是这个方程的两根,所以x3+x4=-,x3x4=-.⑤将④,⑤代入③,得16(k2+1)=+,即16(k2+1)=,所以(9+8k2)2=16×9,解得k=±,即直线l的斜率为±.(ii)由x2=4y得y'=,所以C1在点A处的切线方程为y-y1=(x-x1),即y=-.令y=0,得x=,即M,所以=-.而=(x1,y1-1),于是·=-y1+1=+1>0,因此∠AFM是锐角,从而∠MFD=180°-∠AFM是钝角.故直线l绕点F旋转时,△MFD总是钝角三角形.6.(2014湖南,21,13分)如图,O为坐标原点,椭圆C1:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,离心率为e1;双曲线C2:-=1的左、右焦点分别为F3、F4,离心率为e2,已知e1e2=,且|F2F4|=-1.(1)求C1,C2的方程;(2)过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB,M为AB的中点,当直线OM与C2交于P,Q两点时,求四边形APBQ 面积的最小值.解析(1)因为e1e2=,所以-·=,即a4-b4=a4,因此a2=2b2,从而F2(b,0),F4(b,0),于是b-b=|F2F4|=-1,所以b=1,所以a2=2.故C1,C2的方程分别为+y2=1,-y2=1.(2)因为AB不垂直于y轴,且过点F1(-1,0),故可设直线AB的方程为x=my-1.由-得(m2+2)y2-2my-1=0,易知此方程的判别式大于0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1,y2是上述方程的两个实根,所以y1+y2=,y1y2=-. 因此x1+x2=m(y1+y2)-2=-,于是AB的中点M的坐标为-.故直线PQ的斜率为-,则PQ的方程为y=-x,即mx+2y=0.由--得(2-m2)x2=4,所以2-m2>0,且x2=-,y2=-,从而|PQ|=2=2-.设点A到直线PQ的距离为d,则点B到直线PQ的距离也为d,所以2d=,因为点A,B在直线mx+2y=0的异侧,所以(mx1+2y1)(mx2+2y2)<0,于是|mx1+2y1|+|mx2+2y2|=|mx1+2y1-mx2-2y2|,从而2d=.又因为|y1-y2|=-=,所以2d=.故四边形APBQ的面积S=|PQ|·2d=-=2--.而0<2-m2<2,故当m=0时,S取得最小值2.综上所述,四边形APBQ面积的最小值为2.评析本题考查椭圆、双曲线的标准方程和性质,双曲线弦长的计算,点到直线的距离公式,根与系数的关系(韦达定理),求函数的最值等知识.考查学生的运算求解能力和综合分析问题的能力,属于难题.7(2013课标Ⅰ,20,12分)已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P 的轨迹为曲线C.(1)求C的方程;(2)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.解析由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径r1=1;圆N的圆心为N(1,0),半径r2=3.设圆P的圆心为P(x,y),半径为R.(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切,所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4.由椭圆的定义可知,曲线C是以M、N为左、右焦点,长半轴长为2,短半轴长为的椭圆(左顶点除外),其方程为+=1(x≠-2).(2)对于曲线C上任意一点P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-2≤2,所以R≤2,当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2.所以当圆P的半径最长时,其方程为(x-2)2+y2=4.若l的倾斜角为90°,则l与y轴重合,可得|AB|=2.若l的倾斜角不为90°,由r1≠R知l不平行于x轴,设l与x轴的交点为Q,则=,可求得Q(-4,0),所以可设l:y=k(x+4).由l与圆M相切得=1,解得k=±.当k=时,将y=x+代入+=1,并整理得7x2+8x-8=0,解得x1,2=-.所以|AB|=|x2-x1|=.当k=-时,由图形的对称性可知|AB|=.综上,|AB|=2或|AB|=.思路分析(1)由动圆P与两定圆的位置关系可求得|PM|+|PN|=4,根据椭圆的定义即可判定动圆圆心P的轨迹,进而求得曲线C的方程,注意检验特殊点是否符合题意;(2)根据条件确定圆P的半径最长时圆P的方程,对直线l的倾斜角进行讨论.当直线的斜率不存在时,直接求|AB|.当直线的斜率存在时,利用相切关系求其斜率与方程,将直线方程代入曲线C的方程,解出x,再利用弦长公式求|AB|.8.(2013陕西,20,13分)已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得弦MN的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程;(2)已知点B(-1,0),设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P,Q,若x轴是∠PBQ的平分线,证明直线l过定点.解析(1)如图,设动圆圆心为O1(x,y),由题意,知|O1A|=|O1M|,当O1不在y轴上时,过O1作O1H⊥MN交MN 于H,则H是MN的中点,∴|O1M|=,又|O1A|=-,∴-=,化简得y2=8x(x≠0).又当O1在y轴上时,O1与O重合,点O1的坐标(0,0)也满足方程y2=8x,∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2=8x.(2)由题意,设直线l的方程为y=kx+b(k≠0),P(x1,y1),Q(x2,y2),将y=kx+b代入y2=8x,得k2x2+(2bk-8)x+b2=0.其中Δ=-32kb+64>0.由根与系数的关系得,x1+x2=-,①x1x2=.②因为x轴是∠PBQ的平分线,所以=-,即y1(x2+1)+y2(x1+1)=0,∴(kx1+b)(x2+1)+(kx2+b)(x1+1)=0,整理得2kx1x2+(b+k)(x1+x2)+2b=0,③将①②代入③并化简得8(b+k)=0,∴k=-b,此时Δ>0,∴直线l的方程为y=k(x-1),即直线l过定点(1,0).考点二存在性问题(2015湖北,21,14分)一种作图工具如图1所示.O是滑槽AB的中点,短杆ON可绕O转动,长杆MN通过N处铰链与ON连接,MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动,且DN=ON=1,MN=3.当栓子D在滑槽AB内做往复运动时,带动N绕O转动一周(D不动时,N也不动),M处的笔尖画出的曲线记为C.以O为原点,AB所在的直··线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系.(1)求曲线C的方程;。
山东高考理科数学圆锥曲线大题
一、弦长问题圆锥曲线的弦长求法 设圆锥曲线C ∶f(x ，y)=0与直线l ∶y=kx+b 相交于A(11,y x )、B(22,y x )两点，则弦长|AB|为：(2)若弦AB 过圆锥曲线的焦点F ，则可用焦半径求弦长，|AB|=|AF|+|BF|．例1 过抛物线241x y -=的焦点作倾斜角为α的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，且|AB|=8，求倾斜角α．分析一：由弦长公式易解．解答为：∵ 抛物线方程为y x 42-=， ∴焦点为(0，-1)．设直线l 的方程为y-(-1)=k(x-0)，即y=kx-1．将此式代入y x 42-=中得：0442=-+kx x ．∴k x x x x 442121-=+-=，由|AB|=8得:()()41441822-⨯⨯--⋅+=k k ∴1±=k又有1tan ±=α得:4πα=或43πα=.分析二:利用焦半径关系.∵2,221py BF p y AF +-=+-=∴|AB|=-(1y +y 2)+p=-[(kx 1-1)+(kx 2-1)]+p=-k(1x +x 2)+2+p ．由上述解法易求得结果，可由同学们自己试试完成．二、最值问题方法1：定义转化法①根据圆锥曲线的定义列方程；②将最值问题转化为距离问题求解．例2、已知点F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，定点A 的坐标为(1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|PA |的最小值为________．方法2：数形结合（切线法）当所求的最值是圆锥曲线上的点到某条直线的距离的最值时：①求与直线平行的圆锥曲线的切线；②求出两平行线的距离即为所求的最值．例3、求椭圆x 22＋y 2＝1上的点到直线y ＝x ＋23的距离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标．方法3：参数法（函数法）①选取合适的参数表示曲线上点的坐标；②求解关于这个参数的函数最值例4、在平面直角坐标系xOy中，点P(x，y)是椭圆x23＋y2＝1上的一个动点，则S＝x＋y的最大值为________．方法4：基本不等式法①将最值用变量表示．②利用基本不等式求得表达式的最值．例5、求椭圆x23＋y2＝1内接矩形ABCD面积的最大值．例6 已知定点A(0，3)，点B、C分别在椭圆2216413x y+=的左右准线上运动，当∠BAC=90°时，求△ABC面积的最小值。
近五年山东高考真题汇总之圆锥曲线
山东高考真题圆锥曲线(08年) (22)(本小题满分14分)如图，设抛物线方程为x 2=2py (p ＞0),M 为 直线y =-2p 上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A ，B .（Ⅰ）求证：A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列；（Ⅱ）已知当M 点的坐标为（2，-2p ）时，410AB =，求此时抛物线的方程； （Ⅲ）是否存在点M ，使得点C 关于直线AB 的对称点D 在抛物线22(0)x py p =＞上，其中，点C 满足OC OA OB =+（O 为坐标原点）.若存在，求出所有适合题意的点M 的坐标；若不存在，请说明理由.（Ⅰ）证明：由题意设221212120(,),(,),,(,2).22x x A x B x x x M x p pp-＜由22x py =得22xy p=，则,x y p'=所以12,.M A M B x x k k pp==因此直线MA 的方程为102(),x y p x x p +=-直线MB 的方程为202().x y p x x p+=-所以211102(),2x x p x x p p +=-①222202().2x x p x x pp+=-②由①、②得212120,2x x x x x +=+-因此 21202x x x +=，即0122.x x x =+所以A 、M 、B 三点的横坐标成等差数列.（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当x 0=2时， 将其代入①、②并整理得：2211440,x x p --=2222440,x x p --=所以 x 1、x 2是方程22440x x p --=的两根，因此212124,4,x x x x p +==-又22210122122,2AB x x x x x ppk x x pp-+===-所以2.AB k p=由弦长公式得2221212241()411616.AB kx x x x p p=++-=++又410AB =， 所以p =1或p =2，因此所求抛物线方程为22x y =或24.x y =（Ⅲ）解：设D (x 3,y 3)，由题意得C (x 1+ x 2, y 1+ y 2),则CD 的中点坐标为123123(,),22x x x y y y Q ++++设直线AB 的方程为011(),x y y x x p-=-由点Q 在直线AB 上，并注意到点1212(,)22x x y y ++也在直线AB 上，代入得033.x y x p=若D （x 3,y 3）在抛物线上，则2330322,x py x x ==因此 x 3=0或x 3=2x 0.即D (0，0)或2002(2,).x D x p（1）当x 0=0时，则12020x x x +==，此时，点M (0,-2p )适合题意.（2）当00x ≠，对于D (0，0)，此时221222221212002(2,),,224C D x x x x x x p C x k px px +++==又0,AB x k p=AB ⊥CD ，所以222201212201,44A B C Dx x x x x k k p px p++===- 即222124,x x p +=-矛盾.对于2002(2,),x D x p因为22120(2,),2x x C x p+此时直线CD 平行于y 轴，又00,AB x k p=≠所以 直线AB 与直线CD 不垂直，与题设矛盾， 所以00x ≠时，不存在符合题意的M 点. 综上所述，仅存在一点M (0，-2p )适合题意.(09年)（22）（本小题满分14分） 设椭圆E:22221x y ab+=（a,b>0）过M （2，2） ，N(6,1)两点，O 为坐标原点，（I ）求椭圆E 的方程；（II ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。
【2023届新高考必刷】 圆锥曲线大题综合 学生版
【2023届新高考必刷】圆锥曲线大题综合1.(2023春·江苏扬州·高三统考开学考试)已知AB为抛物线G:y2=2px(p>0)的弦，点C在抛物线的准线l上.当AB过抛物线焦点F且长度为8时，AB中点M到y轴的距离为3.(1)求抛物线G的方程；(2)若∠ACB为直角，求证：直线AB过定点.2.(2023·江苏泰州·统考一模)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左顶点为A，过左焦点F的直线与C交于P,Q两点.当PQ⊥x轴时，PA=10，△PAQ的面积为3.(1)求C的方程；(2)证明：以PQ为直径的圆经过定点.3.(2023秋·浙江绍兴·高三期末)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (-2,0),B (2,0)，直线PA 与直线PB 的斜率之积为-14，记动点P 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)若直线l :y =kx +m 与曲线C 交于M ，N 两点，直线MA ，NB 与y 轴分别交于E ，F 两点，若EO=3OF ，求证：直线l 过定点．4.(2023秋·浙江·高三期末)已知点A 463,233 是双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)上一点，B 与A 关于原点对称，F 是右焦点，∠AFB =π2．(1)求双曲线的方程；(2)已知圆心在y 轴上的圆C 经过点P (-4,0)，与双曲线的右支交于点M ，N ，且直线MN 经过F ，求圆C 的方程．5.(2023春·广东揭阳·高三校考阶段练习)已知抛物线E:y2=2px p>0的焦点为F，点F关于直线y=12x+34的对称点恰好在y轴上．(1)求抛物线E的标准方程；(2)直线l:y=k x-2k≥6与抛物线E交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点C，若D6,0，求ABCD的最大值．6.(2023·湖南邵阳·统考二模)已知双曲线C:x2a2-y2b2=10<a10,b的右顶点为A，左焦点F-c,0到其渐近线bx+ay=0的距离为2，斜率为13的直线l1交双曲线C于A，B两点，且AB=8103．(1)求双曲线C的方程；(2)过点T6,0的直线l2与双曲线C交于P，Q两点，直线AP，AQ分别与直线x=6相交于M，N 两点，试问：以线段MN为直径的圆是否过定点?若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．7.(2023春·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习)定义：一般地，当λ>0且λ≠1时，我们把方程x2a2+y2b2=λ(a>b>0)表示的椭圆Cλ称为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的相似椭圆.(1)如图，已知F1-3,0,F23,0,M为⊙O:x2+y2=4上的动点，延长F1M至点N，使得MN= MF1,F1N的垂直平分线与F2N交于点P，记点P的轨迹为曲线C，求C的方程；(2)在条件(1)下，已知椭圆Cλ是椭圆C的相似椭圆，M1,N1是椭圆Cλ的左､右顶点.点Q是Cλ上异于四个顶点的任意一点，当λ=e2(e为曲线C的离心率)时，设直线QM1与椭圆C交于点A,B，直线QN1与椭圆C交于点D,E，求AB+DE的值.8.(2023·湖北武汉·统考模拟预测)过坐标原点O 作圆C :(x +2)2+y 2=3的两条切线，设切点为P ,Q ，直线PQ 恰为抛物E :y 2=2px ,(p >0)的准线.(1)求抛物线E 的标准方程；(2)设点T 是圆C 上的动点，抛物线E 上四点A ,B ,M ,N 满足：TA =2TM ,TB =2TN ，设AB 中点为D .(i )求直线TD 的斜率；(ii )设△TAB 面积为S ，求S 的最大值.9.(2023·山东·潍坊一中校联考模拟预测)已知F 为抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点，O 为坐标原点，M 为C 的准线l 上的一点，直线MF 的斜率为-1,△OFM 的面积为1．(1)求C 的方程；(2)过点F 作一条直线l ，交C 于A ,B 两点，试问在l 上是否存在定点N ，使得直线NA 与NB 的斜率之和等于直线NF 斜率的平方？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．10.(2023·山东菏泽·统考一模)如图，椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的焦点分别为F 1-3,0,F 23,0 ,A 为椭圆C 上一点，△F 1AF 2的面积最大值为3.(1)求椭圆C 的方程；(2)若B ､D 分别为椭圆C 的上､下顶点，不垂直坐标轴的直线l 交椭圆C 于P ､Q (P 在上方，Q 在下方，且均不与B ,D 点重合)两点，直线PB ,QD 的斜率分别为k 1,k 2，且k 2=-3k 1，求△PBQ 面积的最大值.11.(2023·福建泉州·统考三模)已知椭圆C :x 24+y 23=1的左、右顶点分别为A ，B ．直线l 与C 相切，且与圆O :x 2+y 2=4交于M ，N 两点，M 在N 的左侧．(1)若|MN |=455，求l 的斜率；(2)记直线AM ,BN 的斜率分别为k 1,k 2，证明：k 1k 2为定值．12.(2023·江苏南通·统考模拟预测)已知A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，C x 3,y 3 三个点在椭圆x 22+y 2=1，椭圆外一点P 满足OP =2AO ，BP =2CP，(O 为坐标原点).(1)求x 1x 2+2y 1y 2的值；(2)证明：直线AC 与OB 斜率之积为定值.13.(2023·浙江嘉兴·统考模拟预测)已知抛物线C :y 2=2px p >0 ，过焦点F 的直线交抛物线C 于A ，B 两点，且AB =AF ⋅BF .(1)求抛物线C 的方程；(2)若点P 4,4 ，直线PA ，PB 分别交准线l 于M ，N 两点，证明：以线段MN 为直径的圆过定点.14.(2023·江苏连云港·统考模拟预测)已知椭圆E：x2a2+y2b2=1a>b>0的焦距为23，且经过点P-3,12．(1)求椭圆E的标准方程：(2)过椭圆E的左焦点F1作直线l与椭圆E相交于A，B两点(点A在x轴上方)，过点A，B分别作椭圆的切线，两切线交于点M，求ABMF1的最大值．15.(2023春·江苏常州·高三校联考开学考试)已知点P2,-1在椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上，C的长轴长为42，直线l:y=kx+m与C交于A,B两点，直线PA,PB的斜率之积为14.(1)求证：k为定值；(2)若直线l与x轴交于点Q，求QA|2+QB|2的值.16.(2023春·江苏苏州·高三统考开学考试)已知抛物线y2=a2x的焦点也是离心率为32的椭圆x2a2+y2 b2=1a>b>0的一个焦点F．(1)求抛物线与椭圆的标准方程；(2)设过F的直线l交抛物线于A、B，交椭圆于C、D，且A在B左侧，C在D左侧，A在C左侧．设a=AC，b=μCD，c=DB．①当μ=2时，是否存在直线l，使得a，b，c成等差数列？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由；②若存在直线l，使得a，b，c成等差数列，求μ的范围．17.(2023秋·江苏无锡·高三统考期末)已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点F和抛物线C2:y2=2px p>0的焦点重合，且C1和C2的一个公共点是23,263．(1)求C1和C2的方程；(2)过点F作直线l分别交椭圆于A，B，交抛物线C2于P，Q，是否存在常数λ，使1AB-λPQ为定值？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．18.(2023秋·江苏·高三统考期末)如图，已知椭圆x24+y2=1的左､右顶点分别为A,B，点C是椭圆上异于A,B的动点，过原点O平行于AC的直线与椭圆交于点M,N,AC的中点为点D，直线OD与椭圆交于点P,Q，点P,C,M在x轴的上方.(1)当AC=5时，求cos∠POM；(2)求PQ⋅MN的最大值.19.(2023·浙江·校联考模拟预测)设双曲线C:x2a2-y2b2=1的右焦点为F3,0，F到其中一条渐近线的距离为2.(1)求双曲线C的方程；(2)过F的直线交曲线C于A，B两点(其中A在第一象限)，交直线x=53于点M，(i)求|AF|⋅|BM||AM|⋅|BF|的值；(ii)过M平行于OA的直线分别交直线OB、x轴于P，Q，证明：MP=PQ.20.(2023春·浙江绍兴·高三统考开学考试)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 24+y 2=1,B 1,0 .(1)设P 是椭圆C 上的一个动点，求PO ⋅PB的取值范围；(2)设与坐标轴不垂直的直线l 交椭圆C 于M ,N 两点，试问：是否存在满足条件的直线l ，使得△MB N 是以B 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由.21.(2023春·浙江·高三开学考试)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12，且经过点M(-2,0)，F 1,F 2为椭圆C 的左右焦点，Q x 0,y 0 为平面内一个动点，其中y 0>0，记直线QF 1与椭圆C 在x 轴上方的交点为A x 1,y 1 ，直线QF 2与椭圆C 在x 轴上方的交点为B x 2,y 2 ．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)①若AF 2∥BF 1，证明：1y 1+1y 2=1y 0；②若QF 1 +QF 2 =3，探究y 0,y 1,y 2之间关系．22.(2023春·浙江温州·高三统考开学考试)如图，椭圆x 24+y 2=1的左右焦点分别为F 1，F 2，点P x 0,y 0 是第一象限内椭圆上的一点，经过三点P ，F 1，F 2的圆与y 轴正半轴交于点A 0,y 1 ，经过点B (3,0)且与x 轴垂直的直线l 与直线AP 交于点Q ．(1)求证：y 0y 1=1．(2)试问：x 轴上是否存在不同于点B 的定点M ，满足当直线MP ，MQ 的斜率存在时，两斜率之积为定值？若存在定点M ，求出点M 的坐标及该定值；若不存在，请说明理由．23.(2023春·广东·高三校联考阶段练习)已知双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右顶点为A 2,0 ，直线l 过点P 4,0 ，当直线l 与双曲线E 有且仅有一个公共点时，点A 到直线l 的距离为255.(1)求双曲线E 的标准方程；(2)若直线l 与双曲线E 交于M ,N 两点，且x 轴上存在一点Q t ,0 ，使得∠MQP =∠NQP 恒成立，求t .24.(2023·广东梅州·统考一模)已知动圆M经过定点F1-3,0，且与圆F2：x-32+y2=16内切.(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程；(2)设轨迹C与x轴从左到右的交点为点A,B，点P为轨迹C上异于A,B的动点，设PB交直线x=4于点T，连结AT交轨迹C于点Q.直线AP､AQ的斜率分别为k AP､k AQ.(i)求证：k AP⋅k AQ为定值；(ii)证明直线PQ经过x轴上的定点，并求出该定点的坐标.25.(2023春·湖北武汉·高三华中师大一附中校考阶段练习)已知双曲线E：x24-y2=1与直线l：y=kx-3相交于A、B两点，M为线段AB的中点．(1)当k变化时，求点M的轨迹方程；(2)若l与双曲线E的两条渐近线分别相交于C、D两点，问：是否存在实数k，使得A、B是线段CD的两个三等分点？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．26.(2023·山东·日照一中校考模拟预测)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，斜率为-3的直线l 与双曲线C 交于A ,B 两点，点M (4,-22)在双曲线C 上，且MF 1 ⋅MF 2 =24.(1)求△MF 1F 2的面积；(2)若OB +OB=0(O 为坐标原点)，点N 3,1 ，记直线NA ,NB 的斜率分别为k 1,k 2，问：k 1⋅k 2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.27.(2023秋·山东泰安·高三统考期末)已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 过A 1,62 ，B 3,22两点．(1)求椭圆E 的方程；(2)已知Q 4,0 ，过P 1,0 的直线l 与E 交于M ，N 两点，求证：MP NP=MQ NQ．28.(2023·浙江·模拟预测)已知双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的焦距为10，且经过点M(8,33)．A，B为双曲线E的左、右顶点，P为直线x=2上的动点，连接PA，PB交双曲线E于点C，D(不同于A，B)．(1)求双曲线E的标准方程．(2)直线CD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．29.(2023·湖南·模拟预测)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的上顶点为B，O为坐标原点，P-a2,0为椭圆C的长轴上的一点，若∠BPO=45°，且△OPB的面积为12．(1)求椭圆C的标准方程；(2)椭圆C与x轴负半轴交于点A，过点A的直线AM，AN分别与椭圆C交于M，N两点，直线AM，AN的斜率分别为k AM，k AN，且k AM⋅k AN=-112，求证：直线MN过定点，并求出该定点坐标，求出△AMN面积的最大值．30.(2023春·湖北·高三统考阶段练习)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为12.且经过点1,32 ，P ，Q 是椭圆C 上的两点.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线OP 与OQ 的斜率之积为-34(O 为坐标原点)，点D 为射线OP 上一点，且OP =PD ，若线段DQ 与椭圆C 交于点E ，设QE =λED(λ>0).(i )求λ值；(ii )求四边形OPEQ 的面积.。
2024年新高考版数学专题1_9.5 圆锥曲线的综合问题(分层集训)
解析 (1)设动点P的坐标为(x,y),因为| PF | = 5 ,
d5
所以
(x 1)2 y2
=
5 ,即5[(x+1)2+y2]=|x+5|2,整理得 x2 + y2 =1.所以动点P的
| x5|
5
54
轨迹方程为 x2 + y2 =1.
54
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),由(1)可得点A的坐标为(0,-2),故直线AM:y=
AC
·BC
=1,
则点C的轨迹为 ( )
A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.直线
答案 A
3.(2023届贵州遵义新高考协作体入学质量监测,8)已知圆C的方程为(x-1)2
+y2=16,B(-1,0),A为圆C上任意一点,若点P为线段AB的垂直平分线与直线
AC的交点,则点P的轨迹方程为 ( )
A. x2 + y2 =1
2 2
+
y2 b2
=1(a>b>0)的离心率e=
2 ,四
2
个顶点组成的菱形的面积为8 2 ,O为坐标原点.
(1)求椭圆E的方程;
(2)过☉O:x2+y2= 8
上任意点P作☉O的切线l与椭圆E交于点M,N,求证:
PM
·
3
PN
为定值.
解析 (1)由题意得2ab=8 2 ,e= c = 2 ,a2=b2+c2,
2
3
6
,
0
,∴
PM
=
0,
2
3
6
,
PN
=
0,
2
6 3
,
∴
山东省各地市2020年高考数学 最新试题分类大汇编 11 圆锥曲线(1) 理
山东省各地市2020年高考数学（理科）最新试题分类大汇编：第11部分：圆锥曲线（1）一、选择题【山东省青州市2020届高三2月月考理】10. 设双曲线的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率等于A． B． C． D．【答案】B滕州二中【山东省微山一中2020届高三10月月考理】8. 若双曲线上不存在点P使得右焦点F关于直线OP（O为双曲线的中心）的对称点在y轴上,则该双曲线离心率的取值范围为（）A． B． C．D．答案:C解析:这里给出否定形式,直接思考比较困难,按照正难则反,考虑存在点P使得右焦点F关于直线OP（O为双曲线的中心）的对称点在y轴上,因此只要在这个双曲线上存在点P使得OP斜率为1即可,所以只要渐进线的斜率大于1,也就是离心率大于,求其在大于1的补集;该题通过否定形式考查反证法的思想,又考查数形结合、双曲线的方程及其几何性质,是中档题.【山东省临沭一中2020届高三12月理】8．已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为( )A. B. C. D.【答案】D【山东省实验中学2020届高三上学期第一次诊断性考试理】12. 点P在双曲线上•，是这条双曲线的两个焦点，，且的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是(A) .2 (B) .3 (C) .4 (D) .5【答案】D【山东省滕州二中2020届高三上学期期中理】11: 已知直线是椭圆的右准线，如果在直线上存在一点M，使得线段OM（O为坐标原点）的垂直平分线过右焦点，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B． C ．D．【答案】B【山东省青岛市2020届高三期末检测理】10.以坐标轴为对称轴，原点为顶点，且过圆圆心的抛物线方程是A．或B．C．或D．或【答案】D【山东省青岛市2020届高三期末检测理】11.以双曲线的左焦点为圆心，作半径为的圆，则圆与双曲线的渐近线A．相交B．相离C．相切D．不确定【答案】C【山东省莱芜市2020届高三上学期期末检测理】正三角形一个顶点是抛物线的焦点，另两个顶点在抛物线上，则满足此条件的正三角形共有A.0个B.1个C.2个D.4个【答案】C【山东省莱芜市2020届高三上学期期末检测理】若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上任意一点，则的最小值为A. B.3 C.8 D.15【答案】A【山东省烟台市2020届高三期末检测理】7.直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为A. B. C. D.【答案】C【山东省潍坊市重点中学2020届高三2月月考理】11．若双曲线的左右焦点分别为、，线段被抛物线的焦点分成3:2的两段，则此双曲线的离心率为A．B．C．D．【答案】D【山东省潍坊市三县2020届高三12月联考理】10.若椭圆mx2+ny2=1与直线x+y-1=0交于A、B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为则=（）A B C D【答案】B【山东省潍坊市三县2020届高三12月联考理】11．过双曲线=1（a>0，b>0）的左焦点F（-c，0）（c>0），作圆的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】C【山东省枣庄市2020届高三上学期期末理】11.已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且该双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为A. 2B. 4C.D.【答案】C【山东实验中学2020届高三第一次诊断性考试理】12. 点P在双曲线上•，是这条双曲线的两个焦点，，且的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是(A) .2 (B) .3 (C) .4 (D) .5【答案】D【解析】解：设|PF2|,|PF1|，|F1F2|成等差数列，且分别设为m-d,m,m+d,则由双曲线定义和勾股定理可知：m-(m-d)=2a,m+d=2c, (m-d)2+m2=(m+d)2,解得m=4d=8a,故选项为D【山东省聊城市五校2020届高三上学期期末联考】6．已知P是以F1、F2为焦点的椭圆则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【答案】D【山东济宁梁山二中2020届高三12月月考理】12．设F是抛物线的焦点，点A是抛物线与双曲线的一条渐近线的一个公共点，且AF轴，则双曲线的离心率为A． B． C．D． 2【答案】B【莱州一中2020高三第三次质量检测理】10.已知点P是抛物线上一点，设P到此抛物线准线的距离是，到直线的距离是，则的最小值是A. B. C. D. 3【答案】C【山东省滨州市沾化一中2020届高三上学期期末理】9．若椭圆（m＞n＞0）和双曲线（a＞b ＞0）有相同的焦点F1，F2，P是两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值是（）A．m－a B．C．m2－a2D．【答案】A【山东济宁邹城二中2020届高三上学期期中】2．已知双曲线的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且则点M到x轴的距离为( )A． B． C． D．【答案】C【山东济南市2020界高三下学期二月月考理】已知点、分别是双曲线的左、右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于、两点，若为锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是A．B．C．（1，2）D．【答案】D【山东济南市2020界高三下学期二月月考理】抛物线的焦点坐标是A．B．C．D．【答案】D【山东省济宁市2020届高三上学期期末检测理】2.抛物线的焦点坐标为A.（1，0）B.（2，0）C.（0，1）D.（0，2）【答案】C【山东省济南一中2020届高三上学期期末理】10. 已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数的值是A． B． C． D．【答案】A【山东省苍山县2020届高三上学期期末检测理】2．抛物线的焦点到准线的距离是（）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【山东省潍坊市2020届高三上学期期末考试理】10．已知点P是抛物线上一点，设P到此抛物线准线的距离是d1，到直线的距离是d2，则d l+d2的最小值是A. B. C. D．3【答案】C【山东省苍山县2020届高三上学期期末检测理】12．已知圆，以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．【答案】B二、填空题【山东省潍坊市2020届高三上学期期末考试理】15．已知双曲线的离心率为，焦距为2c，且2a2=3c，双曲线上一点P满足,则．【答案】4【山东省莱芜市2020届高三上学期期末检测理】若双曲线的一条渐近线与抛物线只有一个公共点，则双曲线的离心率等于 .【答案】3【山东省潍坊市三县2020届高三12月联考理】13. 已知是过抛物线焦点的弦，，则中点的横坐标是 .【答案】【莱州一中2020高三第三次质量检测理】15.已知双曲线的离心率为，焦距为2c，且,双曲线上一点P满足、为左、右焦点），则 .【答案】4【山东省东营市2020届高三上学期期末（理）】15．已知双曲线的离心率为，焦距为2c，且2a2=3c，双曲线上一点P满足,则．【答案】4【山东省济宁市汶上一中2020届高三11月月考理】12．已知点是以为焦点的椭圆上一点，且则该椭圆的离心率等于________．【答案】【山东省临沭一中2020届高三12月理】16. 椭圆的左、右焦点分别是F1，F2，过F2作倾斜角为的直线与椭圆的一个交点为M，若MF1垂直于x轴，则椭圆的离心率为【答案】三、解答题【山东实验中学2020届高三第一次诊断性考试理】22.(本小题满分14分）己知椭圆C ：旳离心率e =,左、.右焦点分别为，点.，点尽在线段PF1的中垂线i.(1) 求椭圆C的方程；(2) 设直线与椭圆C交于M，N两点，直线、的倾斜角分别为，且，求证：直线/过定点，并求该定点的坐标.【解题说明】本试题主要考察椭圆的标准方程，以及恒过定点的直线，直线与圆锥曲线的综合运用。
2013年理科全国各省市高考真题——圆锥曲线(带答案)
2013年全国各省市理科数学—圆锥曲线1、2013山东理T9.过点（3，1）作圆（x-1）2+y 2=1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为 （A ）2x+y-3=0 （B ）2x-y-3=0 （C ）4x-y-3=0 （D ）4x+y-3=0 2、2013重庆理T7.已知圆()()221:231C x y -+-=，圆()()222:349C x y -+-=，,M N 分别是圆12,C C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM PN +的最小值为（ ）A 、4 B1 C 、6-3、2013全国理T8．椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为12,A A ，点P 在C 上且直线2PA 的斜率的取值范围是[]2,1--，那么直线1PA 斜率的取值范围是（A ）1324⎡⎤⎢⎥⎣⎦， （B ）3384⎡⎤⎢⎥⎣⎦， （C ）112⎡⎤⎢⎥⎣⎦， （D ）314⎡⎤⎢⎥⎣⎦，4、2013新课标I 理10.已知椭圆E ：)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点为)03(,F ，过点F 的直线交椭圆E 于A 、B 两点。
若AB 的中点坐标为)11(-,，则E 的方程为A1364522=+y x B 1273622=+y x C 1182722=+y x D 191822=+y x 5、2013浙江理T9．如图，21,F F 是椭圆14:221=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点，B A ,分别是1C ，2C 在第二、四象限的公共点。
若四边形21BF AF 为矩形，则2C 的离心率是A. 2B. 3C.23 D.266、2013辽宁理T15.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为,F C 与过原点的直线相交于,A B 两点，4,.10,6,cos ABF ,5AF BF AB AF C e ==∠=连接若则的离心率= .7、2013上海理T9．设AB 是椭圆Γ的长轴，点C 在Γ上，且4CBA π∠=，若AB=4，BC =Γ的两个焦点之间的距离为________8、2013福建理14. 椭圆()01:2222>>=+Γb a by a x 的左右焦点分别为21,F F ,焦距为c 2，若直线()c x y +=3与椭圆的一个交点满足12212F MF F MF ∠=∠,则该椭圆的离心率等于_____9、2013江苏T12．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为)0,0(12222>>=+b a b y a x ，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ，若126d d =，则椭圆C 的离心率为 ．10、2013新课标I 理T4.已知双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a b y a x 的离心率为25，则C的渐近线方程为（A ）x y 41±= （B ）x y 31±= （C ） x y 21±= （D ）x y ±=11、2013北京理T6.若双曲线22221x y a b-=A. y =±2xB. y =C.12y x =±D.y x = 12、2013福建理T3.双曲线1422=-y x 的顶点到渐进线的距离等于（ ）A. 52B.54C. 552D.55413、2013广东理T7．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于32,在双曲线C 的方程是 ( )A . 2214x = B ．22145x y -= C ．22125x y -= D ．2212x =14、2013天津理T5. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 则p =(A) 1(B)32(C) 2 (D) 315、2013湖北理T5.已知04πθ<<，则双曲线22122:1cos sin x y C θθ-=与222222:1sin sin tan y x C θθθ-=的（ ）A.实轴长相等B.虚轴长相等C.焦距相等D. 离心率相等16、2013江苏T3．双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为 ． 17、2013陕西理T11. 双曲线22116x y m-=的离心率为54, 则m 等于 .18、2013湖南理T14．设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点，P 是C上一点，若216,PF PF a +=且12PF F ∆的最小内角为30 ，则C 的离心率为___。
山东省2011-2022年普通高校招生(春季)数学试题专题之圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)
山东省2011-2022年普通高校招生（春季）数学专题圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）一、选择题（11-25）若中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线，虚轴长是实轴长的2倍，则其渐近线方程为A.y=±14xB.y=±4xC.y=±12xD.y=±2x（11-29）已知抛物线y2=4x，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点，则|AB|等于A.6B.8C.10D.12（12-10）已知以坐标原点为顶点的抛物线，其焦点在x轴正半轴上，且焦点到准线的距离是3，则抛物线的标准方程是（）A.y2=6xB.y2=−6xC.y2=3xD.y2=−3x（12-13）椭圆x 29+y28=1的离心率是（）A.13B.√173C. √24D.2√23（12-24）已知椭圆x 225+y220=1= 1 的左焦点是F1，右焦点是F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|:|PF2|等于（）A.3:2B.2:3C.9:1D.1:9（13-14）已知抛物线的准线方程为x=2，则抛物线的标准方程为（）A. y2=8xB. y2=−8xC. y2=4xD. y2=−4x（13-25）点p是等轴双曲线上除顶点外的任意一点，A1,A2是双曲线的顶点，则直线pA1与pA2的斜率之积为（）A. 1B. −1C. 2D.−2（14-15）第一象限内的点P在抛物线y2=−12x上，它到准线的距离为7，则点P的坐标为A.(4,4√3)B.(3,6)C.(2,2√6)D.(1,2√3)（14-19）双曲线4x2－9y2＝1的渐近线方程为A.y=±32xB.y=±23xC.y=±94xD.y=±49x（15-14）关x,y的方程x2+my2=1，给出下列命题：②当m<0时，方程表示双曲线；②当m=0时，方程表示抛物线；③当0<m<1时，方程表示椭圆；④当m=1时，方程表示等轴双曲线；⑤当m>1时，方程表示椭圆。
山东高考七年真题分类汇编圆锥曲线(Word有答案)
【命题立意】:本题考查了抛物线的标准方程和焦点坐标以及直线的点斜式方程和三角形面积的计算.考查数形结合的数学思想,其中还隐含着分类讨论的思想,因参数 的符号不定而引发的抛物线开口方向的不定以及焦点位置的相应变化有两种情况,这里加绝对值号可以做到合二为一.
4、（2010山东文数）（9）已知抛物线 ，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线与 、 两点，若线段 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为
答案：12．B
11、（2013山东数学文）(11)、抛物线 的焦点与双曲线 的右焦点的连线交 于第一象限的点M，若 在点M处的切线平行于 的一条渐近线，则 =
(A) (B) (C) (D)
答案：D
12(2013山东数学文)(12)、设正实数 满足 ，则当 取得最大值时， 的最大值为
(A)0 (B) (C)2 (D)
，
， .
以AB为直径的圆过椭圆的右顶点 ，
， ，
，
，解得
，且满足 .
当 时， ，直线过定点 与已知矛盾；
当 时， ，直线过定点
综上可知，直线 过定点，定点坐标为
2、（08山东文）22．（本小题满分14分）
已知曲线 所围成的封闭图形的面积为 ，曲线 的内切圆半径为 ．记 为以曲线 与坐标轴的交点为顶点的椭圆．
3.(2009山东卷文)设斜率为2的直线 过抛物线 的焦点F,且和 轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( ).
A. B. C. D.
【解析】:抛物线 的焦点F坐标为 ,则直线 的方程为 ,它与 轴的交点为A ,所以△OAF的面积为 ,解得 .所以抛物线方程为 ,故选B.
．
解方程组 得 ， ，
所以 ．
2020年高考山东版高考理科数学 10.4 圆锥曲线的综合问题
- 8������2
4������2 - 12
则
x1+x2=
3
+
4������2,x1x2=3
+
4������2,
所以|AC|= 1 + ������2|x1-x2|=123(+������24+������21),
1 3 + 4������2
从而|������������|=12(������2
+
考题示例 2017 课标Ⅰ,20
5 年考情
考向
关联考点
定点问题 直线与椭圆的位置关系
2017 课标 Ⅰ,10 最值问题
直线与抛物线的位置关 系
2016 课标Ⅰ,20 2015 山东,20
弦长问题 面积问题
2018 北京,19 定值问题
直线与椭圆的位置关系 直线与椭圆的位置关系 直线与抛物线的位置关
系
10.4 圆锥曲线的综合问题
备战 2020 高考
挖命题 【考情探究】
考点 1.定值、定 点、最值及范 围问题
2.存在性问题
内容解读
①了解圆锥曲线的简单应用; ②了解参变量的意义; ③理解函数思想和方程思想在 圆锥曲线中的应用 ①理解圆锥曲线中存在性问题 的基本解法; ②理解转化思想在圆锥曲线中 的应用
,
1)
1 4 + 3������2
同理可得|������������|=12(������2
+
,
1)
1 1 7(������2 + 1) 7
7
7
所以|������������|+|������������|=12(������2 + 1)=12,令12=2λ,得 λ=24.
山东省高考数学(理科)-圆锥曲线中的综合问题-专题练习有答案
又 ．所以 ．即 ．9分
由于直线OP．OQ的斜率存在．且 ．得 ．且 ．
设d为点O到直线l的距离．则 ．10分
．11分
所以 ．
故 面积的取值范围为 ．12分
（2）(ⅰ)∵ ．∴ ．∴ 轴．5分
由（1）知． ．∴ ．
设 ．则有 ．∴ ．∴ ．7分
(ⅱ)设 ．则 ．直线QA的方程为 ．
令 得M点坐标为 ．9分
同理 ．直线QB的方程为 ．
得N点坐标为 ．10分
．11分
设圆心坐标为 ．若x轴上存在定点 满足条件．则有
． ．12分
由题意可得 ．13分
代入得 ．
即 ．
2．已知椭圆 ，F1，F2是左右焦点，A，B是长轴两端点，点 与F1，F2围成等腰三角形，且 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点Q是椭圆上异于A，B的动点，直线 与QA，QB分别交于M，N两点．
(i)当 时，求Q点坐标；
(ⅱ)过点M，N，F1三点的圆是否经过x轴上不同于点F1的定点？若经过，求出定点坐标，若不经过，请说明理由．
3．(2016·淄博二模)已知点 是等轴双曲线 上一点，抛物线 的焦点与双曲线C的一个焦点重合．
图15 5
（1）求抛物线的方程；
（2）若点P是抛物线上的动点，点A，B在x轴上，圆 内切于 ，求 面积的最小值．
4．(2016·开封二模)已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为 的椭圆过点 ．
图15 6
所以 ．12分
当 时．上式取等号．此时 ． ．
因此 的最小值为8．13分
4．[解]（1）由题意可设椭圆方程为
．
则 ．且 ．故 ．
所以椭圆的方程为 ．4分
（2）由题意可知．直线l的斜率存在且不为0．故可设直线 ．设 ．
历年高考圆锥曲线大题精选
1.（2018全国I理19）
设椭圆C： +y²=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）.
（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；
（2）设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB.
2.(2018全国II理）
3.(2018全国III理）
4.（2018全国I文）
5.(2018浙江）
6.（2017全国I理20）
7.
8.
9.(2017全国III理）
10.（2017全国I文20）
11.（2016全国I理20）
12.(2016全国III理20）
13.（2016山东理）平面直角坐标系中，椭圆C：的离心率是
，抛物线E：的焦点F是C的一个顶点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.
①求证：点M在定直线上;
②直线与y轴交于点G，记△PFG的面积为，△PDM的面积为，求的最大值及取得最大值时点P的坐标.
14.（2015全国I理）
15.(2015全国II理）
16.
17.
18.。
数学一轮复习高考大题专项五直线与圆锥曲线理
高考大题专项（五）直线与圆锥曲线突破1圆锥曲线中的最值、范围问题1.(2020山东泰安一模,21）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b〉0）的左、右焦点分别为F1，F2，直线l:y=kx+m与椭圆C相交于P,Q两点。
当直线l经过椭圆C的下顶点A和右焦点F2时,△F1PQ的周长为4√2,且l与椭圆C的另一个交点的横坐标为43。
（1）求椭圆C的方程;(2)点M为△POQ内一点,O为坐标原点，满足MP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，若点M恰好在圆O：x2+y2=49上，求实数m的取值范围.2.(2020新高考全国2，21）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b〉0)过点M(2,3），点A为其左顶点,且AM的斜率为12。
(1）求C的方程；(2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.3.已知抛物线C:y2=2px(p〉0）上一点P(x0,2)到焦点F的距离｜PF|=2x0。
（1）求抛物线C的方程;(2)过点P引圆M：(x—3)2+y2=r2(0<r≤√2)的两条切线PA,PB，切线PA,PB与抛物线C的另一交点分别为A，B,线段AB中点的横坐标记为t，求t的取值范围。
4.(2020江苏，18)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆E：x24+y23 =1的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆E上且在第一象限内,AF2⊥F1F2,直线AF1与椭圆E相交于另一点B。
（1)求△AF1F2的周长;(2)在x轴上任取一点P,直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，（3)设点M在椭圆E上，记△OAB与△MAB的面积分别为S1,S2.若S2=3S1，求点M的坐标.5.（2020山东高考预测卷）已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F,点M（a,2√5)在抛物线C上。
（1）若｜MF｜=6,求抛物线的标准方程；（2）若直线x+y=t与抛物线C交于A，B两点，点N的坐标为（1,0)，且满足NA⊥NB,原点O到直线AB的距离不小于√2,求p的取值范围。
烟台市高中数学圆锥曲线考试试卷
烟台市高中数学圆锥曲线考试试卷一、选择题（共12小题；共60分） 1. 抛物线 y 2=−8x 的焦点坐标是 ( ) A. (2,0) B. (−2,0) C. (4,0) D. (−4,0)2. 在平面内，到两坐标轴距离之差等于 4 的点的轨迹方程为 ( )A. x −y =4B. x −y =±4C. ∣x ∣−∣y ∣=4D. ∣x ∣−∣y ∣=±43. 与椭圆 C:y 216+x 212=1 共焦点且过点 (1,√3) 的双曲线的标准方程为 ( )A. x 2−y 23=1 B. y 2−2x 2=1C. y 22−x 22=1D. y 23−x 2=14. 已知直线 ax +y −2=0 与圆心为 C 的圆 (x −1)2+(y −a )2=4 相交于 A ，B 两点，且 △ABC 为等边三角形，则实数 a = ( )A. ±√33B. ±13C. 1 或 7D. 4±√155. 已知定点 F 1(−2,0)，F 2(2,0)，N 是圆 O:x 2+y 2=1 上的任意一点，点 F 1 关于点 N 的对称点为 M ，线段 F 1M 的中垂线与直线 F 2M 相交于点 P ，则点 P 的轨迹是 ( )A. 椭圆B. 双曲线C. 抛物线D. 圆6. 点 F 为双曲线 C ：x 2a 2−y 2b 2=1 (a,b >0) 的焦点，过点 F 的直线与双曲线的一条渐近线垂直且交于点 A ，与另一条渐近线交于点 B ．若 3AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则双曲线 C 的离心率是 ( )A. √52B. √62C. √3D. √67. “1<m <2”是“方程 x 2m−1+y 23−m =1 表示的曲线是焦点在 y 轴上的椭圆”的 ( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8. 已知点 P 是抛物线 x 2=4y 上的动点，点 P 在直线 y +1=0 上的射影是点 M ，点 A 的坐标为 (4,2)，则 ∣PA ∣+∣PM ∣ 的最小值是 ( ) A. 2B. 3C. √13D. √179. 已知双曲线 x 24−y 22=1 右焦点为 F ，P 为双曲线左支上一点，点 A(0,√2)，则 △APF 周长的最小值为 ( )A. 4(1+√2)B. 4+√2C. 2(√2+√6)D. √6+3√210. 已知 A 、B 两点均在焦点为 F 的抛物线 y 2=2px (p >0) 上，若 ∣∣AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣+∣∣BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=4，线段 AB 的中点到直线 x =p2 的距离为 1，则 p 的值为 ( )A. 1B. 2C. 1 或 3D. 2 或 611. 已知双曲线x 2a2−y 2b 2=1（a >0，b >0）的两条渐近线与抛物线 y 2=4x 的准线分别交于 A ，B 两点，O 为坐标原点，若 S △AOB =2√3，则双曲线的离心率 e = ( )A. 32B. √72C. 2D. √1312. 若椭圆 x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 和圆 x 2+y 2=(b2+c)2（c 为椭圆的半焦距）有四个不同的交点，则椭圆的离心率 e 的取值范围是 ( )A. (√55,35)B. (√25,√55) C. (√25,35)D. (0,√55)二、填空题（共4小题；共20分） 13. 若 k ∈R ，则“k >1”是方程“x 2k−1−y 2k+1=1”表示双曲线的 条件．14. 已知 F 1，F 2 为椭圆 x 225+y 29=1 的两个焦点，过 F 1 的直线交椭圆于 A ，B 两点，若 ∣F 2A∣∣+∣F 2B∣∣=12，则 ∣AB∣= ．15. 已知椭圆 x 24+y 23=1 上一动点 P ，与圆 (x −1)2+y 2=1 上一动点 Q ，及圆 (x +1)2+y 2=1上一动点 R ，则 ∣PQ ∣+∣PR ∣ 的最大值为 ．16. 椭圆 x 225+y 29=1 上一点 M 到左焦点 F 1 的距离是 2，N 是 MF 1 的中点，O 为坐标原点，则∣ON∣= ．三、解答题（共6小题；共78分）17. 已知 F 1，F 2 为双曲线 x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 的焦点，过 F 2 作垂直于 x 轴的直线交双曲线于点 P ，且 ∠PF 1F 2=30∘．求双曲线的渐近线方程．18. 如图所示，圆 O 1 和圆 O 2 的半径都等于 1，O 1O 2=4．过动点 P 分别作圆 O 1，圆 O 2 的切线PM ，PN （M ，N 为切点），使得 PM =√2PN ，试建立平面直角坐标系，并求动点 P 的轨迹方程．19. 已知抛物线 y 2=2px (p >0) 的焦点为 F ，A 是抛物线上横坐标为 4 的点，A 到抛物线准线的距离等于 5，求抛物线的方程．20. 已知椭圆 C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 的右焦点为 F 1(1,0) 离心率为 12．（1）求椭圆 C 的方程及左顶点 P 的坐标；（2）设过点F1的直线交椭圆C于A，B两点，若△PAB的面积为36，求直线AB的方程．1321. 设点M为双曲线C:x2−y2=1右支上一点，P(m,0)为x轴正半轴上一点，求∣MP∣的最小值3f(m)．22. 如图，椭圆C长轴的两个端点为A1，A2，短轴的两个端点为B1，B2，若四边形A1B1A2B2的面积为120，边长为13，求椭圆C的标准方程．答案第一部分 1. B 2. D3. C【解析】设双曲线的方程为 y 2a 2−x 2b 2=1(a >0,b >0)，根据题意得 {a 2+b 2=16−12=4,(√3)2a 2−12b 2=1, 解得 a 2=b 2=2．所以该双曲线的标准方程为 y 22−x 22=1．4. D【解析】圆 (x −1)2+(y −a )2=4 的圆心 C (1,a )，半径 R =2，因为直线与圆相交，△ABC 为等边三角形， 所以圆心到直线的距离为 Rsin60∘=√3， 即 d =2=2=√3，平方得 a 2−8a +1=0， 解得 a =4±√15． 5. B6. B【解析】双曲线 C ：x 2a2−y 2b 2=1 的渐近线方程为 y =±bax ，设 F (c,0)，由 OA ⊥FA ，且 OA 的方程为 y =ba x ，OB 的方程为 y =−ba x ， 直线 AB 的方程为 y =−ab (x −c )， 由 {y =ba x,y =−a b (x −c ) 解得 A (a 2c,abc)， 由 {y =−b a x,y =−ab(x −c )解得 B (ca 2a 2−b 2,−abca 2−b 2)， 由 3AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，即 3FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， 即 3(a 2c−c,ab c)+(ca 2a 2−b 2−c,−abca 2−b2)=0⃗ ，可得 3(a 2c −c)+ca 2a 2−b 2−c =0， 即 3a 2+c 2a 2a 2−b 2=4c 2，由 b 2=c 2−a 2，化简可得 3a 4−5a 2c 2+2c 4=0，即 (a 2−c 2)(3a 2−2c 2)=0，即 a 2=c 2（舍）或 3a 2=2c 2， 即 c 2=32a 2，c =√32a =√62a ，可得 e =c a=√62．7. C 【解析】若方程x 2m−1+y 23−m=1 表示的曲线是焦点在 y 轴上的椭圆，则 {3−m >0,m −1>0,3−m >m −1,即 {m <3,m >1,m <2,解得 1<m <2，即“1<m <2”是“方程 x 2m−1+y 23−m =1 表示的曲线是焦点在 y 轴上的椭圆”的充要条件． 8. D9. A【解析】易得点 F(√6,0)，△APF 的周长 l =∣AF ∣+∣AP ∣+∣PF ∣=∣AF ∣+2a+∣PFʹ∣+∣AP ∣，要 △APF 的周长最小，只需 ∣AP ∣+∣PFʹ∣ 最小， 如图，当 A ，P ，Fʹ 三点共线时取到， 故 l =2∣AF ∣+2a =4(1+√2)． 10. C11. D 【解析】y 2=4x 的准线方程为 l ：x =−1，因为双曲线 x 2a 2−y 2b 2=1（a >0，b >0）的两条渐近线与抛物线 y 2=4x 的准线分别交于 A,B 两点，△ABO 的面积为 2√3， 所以 12×1×2b a =2√3，所以 b =2√3a ，又 c 2=a 2+b 2， 所以 c =√13a ， 所以 e =c a=√13a a=√13．12. A 【解析】联立 {x 2a2+y 2b 2=1,x 2+y 2=(b 2+c)2,解得 {c 2x 2a 2=−34b 2+bc +c 2,c 2y 2b2=34b 2−bc.由 {−34b 2+bc +c 2>0,34b 2−bc >0,解得 43c <b <2c ，所以 169c 2<b 2<4c 2，即 169c 2<a 2−c 2<4c 2，所以 259c 2<a 2<5c 2，所以259<a 2c 2<5，所以 √55<e <35．第二部分 13. 充分不必要 14. 8【解析】由椭圆的定义得 ∣AF 1∣+∣AF 2∣=2a =10，∣BF 1∣+∣BF 2∣=2a =10， 所以 ∣AF 1∣+∣AF 2∣+∣BF 1∣+∣BF 2∣=20． 又因为 ∣F 2A∣∣+∣F 2B∣∣=12， 所以 ∣AB∣=∣AF 1∣+∣BF 1∣=8． 15. 6 16. 4【解析】设椭圆的另一个焦点为 F 2． 由椭圆定义得 ∣MF 1∣+∣MF 2∣=2a =10， 所以 ∣MF 2∣=10−∣MF 1∣=10−2=8．又因为 ON 为 △MF 1F 2 的中位线，所以 ∣ON∣=12∣MF 2∣=4． 第三部分 17. 如图，设 F 2(c,0)(c >0)，P (c,y 0)，则 c 2a2−y 02b 2=1，解得 y 0=±b 2a ，所以 ∣PF 2∣=b 2a．在直角三角形 PF 2F 1 中，∠PF 1F 2=30∘，所以 ∣PF 1∣=2∣PF 2∣，由双曲线定义可知 ∣PF 1∣−∣PF 2∣=2a ，得 ∣PF 2∣=2a ． 因为 ∣PF 2∣=b 2a，所以 2a =b 2a，即 b 2=2a 2，所以 ba =√2 . 故所求双曲线的渐近线方程为 y =±√2x ．18. 以 O 1O 2 的中点 O 为原点，O 1O 2 所在的直线为 x 轴，建立平面直角坐标系， 则 O 1(−2,0)，O 2(2,0)，由已知 PM =√2PN ，得 PM 2=2PN 2，因为两圆的半径均为 1，所以 PO 12−1=2(PO 22−1)，设 P (x,y )，则 (x +2)2+y 2−1=2[(x −2)2+y 2−1]， 即 (x −6)2+y 2=33，所求轨迹方程为 (x −6)2+y 2=33．19. 因为抛物线 y 2=2px 的准线为 x =−p2，所以 4+p2=5，则 p =2．所以抛物线的方程为 y 2=4x ． 20. （1） 由题意可知 c =1，ca =12， 所以 a =2，所以 b 2=a 2−c 2=3， 所以椭圆 C 的标准方程为 x 24+y 23=1，左顶点 P 的坐标为 (−2,0)．（2） 根据题意可设直线 AB 的当成为 x =my +1，A (x 1,y 1)，A (x 2,y 2)， 由 {x 24+y 23=1,x =my +1. 可得 (3m 2+4)y 2+6my −9=0， 所以 Δ=36m 2+36(3m 2+4)>0 y 1+y 2=−6m3m 2+4，y 1y 2=−93m 2+4， 所以 △PAB 的面积S =12∣PF 1∣∣y 2−y 1∣=12×3√(y 2+y 1)2−4y 2y 1=32√(−6m3m 2+4)2+363m 2+4=18√m 2+13m 2+4.因为 △PAB 的面积为 3613，所以 √m 2+13m 2+4=213，令 t =√m 2+1，则 t3t 2+1=213(t ≥1)， 解得 t 1=16 （舍去），t 2=2， 所以 m =±√3，所以直线 AB 的方程为 x +√3y −1=0 或 x −√3y −1=0． 21. 设 M (x,y )，则 ∣MP∣=√(x −m )2+y 2． 因为点 M 在 x 2−y 23=1(x ≥1) 上，所以 y 2=3x 2−3，所以∣MP∣=√x −m +3x −3=√4x 2−2mx +m 2−3=√4(x −m 4)2+3m24−3.当 m4<1，即 m <4 时， x =1，∣MP∣min =∣m −1∣， 当 m 4≥1，即 m ≥4 时，x =m4，∣MP∣min =12√3m 2−12，所以 ∣MP∣ 的最小值 f (m )={∣m −1∣,0<m <412√3m 2−12,m ≥4． 22. 由椭圆的对称性可知，四边形 A 1B 1A 2B 2 为菱形． 设椭圆 C 的标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)．由题意得 a 2+b 2=169, ⋯⋯① 12⋅2a ⋅2b =120. ⋯⋯② 由 ①② 解得 a =12，b =5，故椭圆 C 的标准方程为 x 2144+y 225=1．。
山东五年高考专项(圆锥曲线与导数)
2010—2014山东高考导数部分2010理(22)(本小题满分14分) 已知函数1()ln 1a f x x ax x -=-+-()a R ∈. (Ⅰ)当12a ≤时，讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）设2()2 4.g x x bx =-+当14a =时，若对任意1(0,2)x ∈，存在[]21,2x ∈，使 12()()f x g x ≥，求实数b 取值范围.（Ⅱ）当14a =时，f(x)在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意1(0,2)x ∈， 有11f(x )f(1)=-2≥，又已知存在[]21,2x ∈，使12()()f x g x ≥，所以21()2g x -≥，[]21,2x ∈， 即存在[]1,2x ∈，使21()242g x x bx =-+≤-，即2922bx x ≥+，即922b x x ≥+∈1117[,]24，所以1122b ≥，解得114b ≥，即实数b 取值范围是11[,)4+∞2010文（10）观察2'()2x x =，4'3()4x x =，'(cos )sin x x =-，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，记()g x 为()f x 的导函数，则()g x -=（A ）()f x (B)()f x - (C) ()g x (D)()g x -2010文（21）（本小题满分12分）已知函数1()ln 1()a f x x ax a R x -=-+-∈（I ）当1a =-时，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程； （II ）当12a ≤时，讨论()f x 的单调性. 2011文、理21.（本小题满分12分）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为千元.设该容器的建造费用为千元.（Ⅰ）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的.【解析】（Ⅰ）因为容器的体积为立方米， 所以, 解得, 由于因此。
山东省高考22题——一个圆锥曲线性质的推广
山东省高考２２题 一个圆锥曲线性质的推广苏凡文(山东省泰安宁阳一中㊀２７１４００)摘㊀要:山东省高考２２题蕴含着丰富的内涵ꎬ本文基于此题ꎬ推广得到圆锥曲线的几个性质.关键词:高考ꎻ圆锥曲线ꎻ推广中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)３１－００２７－０２收稿日期:２０２０－０８－０５作者简介:苏凡文(１９７７.１１－)ꎬ男ꎬ山东省泰安人ꎬ大学ꎬ中学高级教师ꎬ从事中学数学教学研究.㊀㊀(山东高考２２)已知椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)的离心率为２２ꎬ且过点Ａ(２ꎬ１).(１)求Ｃ的方程ꎻ(２)点ＭꎬＮ在Ｃ上ꎬ且ＡＭʅＡＮꎬＡＤʅＭＮꎬＤ为垂足.证明:存在定点Ｑꎬ使得｜ＤＱ｜为定值.解析㊀(１)ｘ２６＋ｙ２３＝１.(２)①直线ＭＮ不垂直于ｘ轴时ꎬ设ＭＮ:ｙ＝ｋｘ＋ｍꎬＭ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＮ(ｘ２ꎬｙ２).由ｘ２６＋ｙ２３＝１ꎬｙ＝ｋｘ＋ｍ{消去ｙ可得(２ｋ２＋１)ｘ２＋４ｋｍｘ＋２ｍ２－６＝０.由韦达定理可得ｘ１＋ｘ２＝－４ｋｍ２ｋ２＋１ꎬｘ１ｘ２＝２ｍ２－６２ｋ２＋１ꎬｙ１＋ｙ２＝２ｍ２ｋ２＋１ꎬｙ１ｙ２＝ｍ２－６ｋ２２ｋ２＋１.由ＡＭʅＡＮ得ＡＭңʅＡＮңꎬ所以ＡＭң ＡＮң＝０ꎬ(ｘ１－２ꎬｙ１－１) (ｘ２－２ꎬｙ２－１)＝０ꎬ所以ｘ１ｘ２－２(ｘ１＋ｘ２)－(ｙ１＋ｙ２)＋ｙ１ｙ２＋５＝０ꎬ即４ｋ２＋８ｋｍ＋３ｍ２－２ｍ－１＝０ꎬ(２ｋ＋３ｍ＋１)(２ｋ＋ｍ－１)＝０ꎬ所以ｍ＝－２３ｋ－１３或ｍ＝１－２ｋ.㊀ｍ＝－２３ｋ－１３时ꎬＭＮ:ｙ＝ｋ(ｘ－２３)－１３ꎬ直线ＭＮ过定点Ｔ(２３ꎬ－１３)ꎻｍ＝１－２ｋ时ꎬＭＮ:ｙ＝ｋ(ｘ－２)＋１ꎬ直线ＭＮ过定点Ａ(２ꎬ１)ꎬ舍.因为ＡＤʅＭＮꎬＤ为垂足ꎬ所以Ｄ在以ＡＴ为直径的圆上.取ＡＴ中点为Ｑꎬ则Ｑ(４３ꎬ１３)ꎬ且｜ＤＱ｜＝(２－４３)２＋(１－１３)２＝２２３ꎬ为定值.②直线ＭＮ垂直于ｘ轴时ꎬ设Ｍ(ｘ０ꎬｙ０)ꎬＮ(ｘ０ꎬ－ｙ０)且ｘ０ʂ２.由ＡＭʅＡＮ得ＡＭңʅＡＮңꎬ所以ＡＭң ＡＮң＝０ꎬ于是得(ｘ０－２ꎬｙ０－１) (ｘ０－２ꎬ－ｙ０－１)＝０ꎬ即ｘ２０－４ｘ０－ｙ２０＋５＝０.因为ｙ２０＝３－ｘ２０２ꎬ所以３ｘ２０－８ｘ０＋４＝０ꎬ(３ｘ０－２)(ｘ０－２)＝０.因为ｘ０ʂ２ꎬ所以ｘ０＝２３ꎬ因为ＡＤʅＭＮꎬ所以Ｄ(２３ꎬ１)ꎬ满足｜ＤＱ｜＝２２３.综上可得存在定点Ｑ(４３ꎬ１３)ꎬ使得｜ＤＱ｜为定值.推广一㊀点Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)为椭圆为ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)上任意一点ꎬ过点Ｐ作ＰＡʅＰＢꎬＰＡ㊁ＰＢ与椭圆分别交于异于点Ｐ的点Ａ㊁Ｂꎬ则直线ＡＢ过定点(ｃ２ｘ０ａ２＋ｂ２ꎬ－ｃ２ｙ０ａ２＋ｂ２).证明㊀过点Ｐ作ＰＡʅＰＢꎬ交椭圆于Ａ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬＡＢ的斜率存在时ꎬ令ＡＢ所在直线为ｙ＝ｋｘ＋ｍꎬＰＡң(ｘ１－ｘ０ꎬｙ１－ｙ０)ꎬＰＢң＝(ｘ２－ｘ０ꎬｙ２－ｙ０).因为ＰＡңʅＰＢңꎬ得ＰＡң ＰＢң＝０ꎬ所以(ｘ１－ｘ０) (ｘ２－ｘ０)＋(ｙ１－ｙ０) (ｙ２－ｙ０)＝０ꎬ即有ｘ１ｘ２－(ｘ１＋ｘ２)ｘ０＋ｘ２０＋ｙ１ｙ２－(ｙ１＋ｙ２)ｙ０＋ｙ２０＝０①.７２联立直线ＡＢ与椭圆方程得(ｂ２＋ｋ２ａ２)ｘ２＋２ｋｍａ２ｘ＋(ｍ２ａ２－ａ２ｂ２)＝０ꎬ由韦达定理有ｘ１＋ｘ２＝－２ｋｍａ２ｂ２＋ｋ２ａ２②ꎬｘ１ｘ２＝ｍ２ａ２－ａ２ｂ２ｂ２＋ｋ２ａ２③.又Ａ㊁Ｂ都在直线ＡＢ上ꎬ则有ｙ１＝ｋｘ１＋ｍꎬｙ２＝ｋｘ２＋ｍꎬ两式相加得ｙ１＋ｙ２＝ｋ(ｘ１＋ｘ２)＋２ｍ＝２ｍｂ２ｂ２＋ｋ２ａ２④ꎬ两式相乘得ｙ１ｙ２＝ｋ２ｘ１ｘ２＋ｋｍ(ｘ１＋ｘ２)＋ｍ２＝ｍ２ｂ２－ｋ２ａ２ｂ２ｂ２＋ｋ２ａ２⑤.将②③④⑤代入①得ａ２[(ｋｘ０＋ｍ)２＋ｂ２(ｘ２０ａ２－１)]＋ｂ２[(ｙ０－ｍ)２＋ｋ２ａ２(ｙ２０ｂ２－１)]＝０.因为点Ｐ在椭圆上ꎬ则ｘ２０ａ２＋ｙ２０ｂ２＝１ꎬ即有ｘ２０ａ２－１＝－ｙ２０ｂ２ꎬｙ２０ｂ２－１＝－ｘ２０ａ２ꎬ于是有ａ２[(ｋｘ０＋ｍ)２－ｙ２０]＋ｂ２[(ｙ０－ｍ)２－ｋ２ｘ２０)]＝０ꎬ即有ａ２(ｋｘ０＋ｍ＋ｙ０) (ｋｘ０＋ｍ－ｙ０)＋ｂ２(ｙ０－ｍ＋ｋｘ０) (ｙ０－ｍ－ｋｘ０)＝０.因Ｐ不在直线ＡＢ上ꎬ则ｋｘ０＋ｍ－ｙ０ʂ０ꎬ所以有ａ２(ｋｘ０＋ｍ＋ｙ０)＝ｂ２(ｙ０－ｍ＋ｋｘ０)ꎬ整理得ｍ＝(ｂ２－ａ２)(ｋｘ０＋ｙ０)ａ２＋ｂ２ꎬ代入直线ＡＢ得ｙ＝ｋｘ＋ｍ＝ｋｘ＋(ｂ２－ａ２)(ｋｘ０＋ｙ０)ａ２＋ｂ２ꎬ即有ｙ－(ｂ２－ａ２)ｙ０ａ２＋ｂ２＝ｋ(ｘ－(ａ２－ｂ２)ｘ０ａ２＋ｂ２).所以直线ＡＢ过定点((ａ２－ｂ２)ｘ０ａ２＋ｂ２ꎬ(ｂ２－ａ２)ｙ０ａ２＋ｂ２)ꎬ即(ｃ２ｘ０ａ２＋ｂ２ꎬ－ｃ２ｙ０ａ２＋ｂ２).②若直线ＡＢ垂直于ｘ轴ꎬ即ＡＢ的斜率不存在ꎬ令直线ＡＢ为ｘ＝ｍ(－ａ<ｍ<ａ)ꎬ则Ａ(ｍꎬ－ｂａ２－ｍ２ａ)ꎬＢ(ｍꎬｂａ２－ｍ２ａ)ꎬＰＡң＝(ｘ０－ｍꎬｙ０＋ｂａ２－ｍ２ａ)ꎬＰＢң＝(ｘ０－ｍꎬｙ０－ｂａ２－ｍ２ａ).因为ＰＡңʅＰＢңꎬ得ＰＡң ＰＢң＝０ꎬ所以(ｘ０－ｍ)２＋ｙ２０－ｂ２(ａ２－ｍ２)ａ２＝０ꎬ即(ａ２ｙ２０－ａ２ｂ２＋ｂ２ｍ２)＋ａ２(ｘ０－ｍ)２＝０ꎬｂ２(－ｘ２０＋ｍ２)＝－ａ２(ｘ０－ｍ２).因为ｘ０ʂｍꎬ所以ｍ＝(ａ２－ｂ２)ｘ０ａ２＋ｂ２.显然此时ＡＢ过点((ａ２－ｂ２)ｘ０ａ２＋ｂ２ꎬ(ｂ２－ａ２)ｙ０ａ２＋ｂ２)ꎬ即(ｃ２ｘ０ａ２＋ｂ２ꎬ－ｃ２ｙ０ａ２＋ｂ２).综上ꎬ直线ＡＢ过定点(ｃ２ｘ０ａ２＋ｂ２ꎬ－ｃ２ｙ０ａ２＋ｂ２).推广二㊀点Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)为椭圆为ｙ２ａ２＋ｘ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)上任意一点ꎬ过点Ｐ作ＰＡʅＰＢꎬＰＡ㊁ＰＢ与椭圆分别交于异于点Ｐ的点Ａ㊁Ｂꎬ则直线ＡＢ过定点(－ｃ２ｘ０ａ２＋ｂ２ꎬｃ２ｙ０ａ２＋ｂ２).推广三㊀点Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)为双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１(ａ>０ꎬｂ>０ꎬａʂｂ)上任意一点ꎬ过点Ｐ作ＰＡʅＰＢꎬＰＡ㊁ＰＢ与双曲线分别交于异于点Ｐ的点Ａ㊁Ｂꎬ则直线ＡＢ过定点(ｃ２ｘ０ａ２－ｂ２ꎬ－ｃ２ｙ０ａ２－ｂ２).推广四㊀点Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)为双曲线ｙ２ａ２－ｘ２ｂ２＝１(ａ>０ꎬｂ>０ꎬａʂｂ)上任意一点ꎬ过点Ｐ作ＰＡʅＰＢꎬＰＡ㊁ＰＢ与双曲线分别交于异于点Ｐ的点Ａ㊁Ｂꎬ则直线ＡＢ过定点(－ｃ２ｘ０ａ２－ｂ２ꎬｃ２ｙ０ａ２－ｂ２).推广五㊀点Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)为有心圆锥曲线ｘ２ｍ＋ｙ２ｎ＝１上任意一点ꎬ过点Ｐ作ＰＡʅＰＢꎬＰＡ㊁ＰＢ与椭圆分别交于异于点Ｐ的点Ａ㊁Ｂꎬ则直线ＡＢ过定点((ｍ－ｎ)ｘ０ｍ＋ｎꎬ(ｎ－ｍ)ｙ０ｍ＋ｎ).推广六㊀点Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)为抛物线ｙ２＝２ｐｘ(ｐ>０)上任意一点ꎬ过点Ｐ作ＰＡʅＰＢꎬＰＡ㊁ＰＢ与抛物线分别交于异于点Ｐ的点Ａ㊁Ｂꎬ则直线ＡＢ过定点(ｘ０＋２ｐꎬ－ｙ０).㊀㊀参考文献:[１]吉沙娟.仔细探索规律ꎬ准确确定范围[Ｊ].新世纪智能ꎬ２０１８(３５):２９－３０.[责任编辑:李㊀璟]８２。
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一、弦长问题
圆锥曲线的弦长求法
设圆锥曲线 C ： f(x , y)=0与直线l : y=kx+b 相
交于A(x i ,y i )、Bgy)两点，则弦长|AB|为：
为距离问题求解.
2 2
例2、已知点F 是双曲线X —卷=1的左焦点，定点
A 的坐标为(1,4) ,P 是双曲线右支上的动点，
则|PF
+1 PA 的最小值为 ___________________ .
(1)|AB|= Jl + k* T*i -筈Vl+k 3 • +蛊2)「-4衍也
(2)若弦AB 过圆锥曲线的焦点 F ,则可用焦半 径求弦长，|AB|=|AF|+|BF| . 1 2
例1过抛物线y
x 2的焦点作倾斜角为:-的 4
直线I 与抛物线交于 A B 两点，且|AB|=8，求倾斜 角〉.
分析一：由弦长公式易解.解答为：
抛物线方程为x 2 - _4y ,
•••焦点为
(0 , -1).
设直线I 的方程为y-(-1)=k(x-0) 将此式代入x 2 = _4y 中得：
2
x 4kx 一4 =0 . • XM 2 - -4,为 x 2 - -
4k
由 |AB|=8
得：8=1 k
2
.. -4k 2 -4 1
-4
k = 1
又有 tan 二 1 得：〉=二或〉=—.
4
4
分析二：利用焦半径关系• T
当所求的最值是圆锥曲线上的点到某条直线的距离 的最值时：①求与直线平行的圆锥曲线的切线；② 求出两平行线的距离即为所求的最值.
2
例3、求椭圆? + y 2= 1上的点到直线 y = x + 2 3的 距离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点 的坐标.
|AB|=-( y 1+y2)+P=-[(kx 1-1)+(kx 2-1)]+P=-k( X 1+x
2)+2+p .由上述解法易求得结果，可由同学们自己 试试完成.
二、最值问题
方法1:定义转化法 ①根据圆锥曲线的定义列方程；②将最值问题转化
① 将最值用变量表示.
② 利用基本不等式求得表达式的最值.
2
x
例5、求椭圆-+ y 2 = 1内接矩形ABC ［面积的最大值.
AF
一％ 垮
，
BF
,即 y=kx-1 .
方法2:数形结合(切线法)
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方法3:参数法(函数法)
① 选取合适的参数表示曲线上点的坐标；②求解
关于这个参数的函数最值
例4、在平面直角坐标系xOy中，点P(x, y)是椭圆
2 X 2
3 + y = 1上的一个动点，则S= x + y的最大值为例6已知定点A(0, 3)，点B、C分别在椭圆
2
16 2
4x y =1的左右准线上运动，当/ BAC=90
3
时，求△ABC面积的最小值。
例7已知x2+4(y-1) 2=4,求：(1) x2+y2的最大值
与最小值;(2)x+y 的最大值与最小值.
方法4:基本不等式法
三、定值、定点问题
方法1特殊到一般法
根据特殊情况能找到定值（或定点）的问题
①根据特殊情况确定出定值或定点；
②对确定出来的定值或定点进行一般情况的证明.
2
例8已知双曲线C: x2—2 = 1，过圆O: x2+ y2= 2 上任意一点作圆的切线I，若I交双曲线于A, B两点，证明：/ AOB勺大小为定值.
方法2:引进参数法
定值、定点是变化中的不变量，引入参数找出与变量与参数没有关
系的点(或值) 即是定点(或定值).
①引进参数表示变化量；
②研究变化的量与参数何时没有关系，找到定值或定点
2 2
XV 2
例9、如图所示，曲线C：石+百=1,曲线C2: y =
9 8
4x,过曲线C的右焦点F2作一条与x轴不垂直的直线，分别与曲线C, G依次交于B, C, D, E四点.若
| BE T GF|
G为CD的中点、H为BE的中点，证明| C D . | HF|为定值.
1 2
例11已知抛物线方程为y x2h，点A、B
2
及点P(2, 4)都在抛物线上，直线PA与PB的倾斜角互补。
(1)试证明直线AB的斜率为定值；
(2)当直线AB的纵截距为m( m> 0)时，求△
PAB的面积的最大值。
例12 （20XX年全国高考）设抛物线y2=2px （p> 经过原点。
四、相交问题
直线与圆锥曲线相交问题，一般可用两个方程联立后，用0来处理•但用0来判断双圆锥曲线相交问题是不可靠的•解决这类问题：方法1, 由“△》0”与直观图形相结合；方法2,由“△》0” 与根与系数关系相结合；方法3,转换参数法(以后再讲)•
例13.在抛物线x2= 4y上有两点A(x「y1)和B(x2 ,例14已知曲线C1 x
2 • y-a 2
2 -1及
y2)且满足|AB|=y〔+y2+2，求证:
(1)A、B和这抛物线的焦点三点共线;
1 1
(2)——+——为定值.
2
C2 : y = x 1有公共点，求实数a的取值范围.
AF BF
① 联立曲线方程，消元后求判别式；
② 根据判别式大于零、小于零或等于零结合曲线性 质求解. 例16、在平面直角坐标系 xOy 中，经过点(0,
2)
2
X C
且斜率为k 的直线I 与椭圆-+ y 2= 1有两个不同的 交点P 和Q
(1) 求k 的取值范围；
(2) 设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为
A , B,是否存在常数 m 使得向量6k OQT 兀洪线？ 如果存在，求 m 值；如果不存在，请说明理由.
焦点分别为F i , F 2，点P 在双曲线的右支上， 且|PF | =4|
PF |，则此双曲线中 C 的取值范围是 _________________________________
a
方法2：判别式法
当直线和圆锥曲线相交、相切和相离时，分别对应 着直线和圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次 方程的判别式大于零、等于零、小于零
五、参数范围问题
方法1曲线几何性质法
①由几何性质建立关系式；②化简关系式求解. 例15、已知双曲线
a 2—
b 2
=1(a >0, b >0)的左,
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2 2
例17.已知椭圆笃•爲= l（a . b ■0）的长、短轴a2 b2
端点分别为A、B,从此椭圆上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，向量AB与0M是共线向量。
（1 ）求椭圆的离心率e ；（2）设Q是椭圆上任意一点，F2分别是左、右焦点，求/ F1QF2的取值范围；
2 2
例18.椭圆- y 1的焦点为F“ F2，点P为其9 4
上的动点，当/ F1P F 2为钝角时，点P横坐标的取
值范围是 _______ 。
解决与角有关的一类问题，总可以从数量积入手。
本题中把条件中的角为钝角转化为向量的数量积为负值，通过坐标运算列出不等式，简洁明了•
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课堂练习
1•设P 是曲线y 2
= 4x 上的一个动点，则点P 到点A — 1,1)的距离与点P 到x= —1直线的距离之和的最小值为(
A.〔2
B. 3
C. 5
D. 6
2. 椭圆 b 2
x 2
+ a 2
y 2
= a 2
b 2
(a>b>0)和圆 x
圆的半焦距，则椭圆-的范围为(
).
a
5 c 3 c
2
2c 3 3c 5 A.-^v - v5
B . °v - <~T C.
- v 亏
D.
— v - <-5
a
a
a
a
2 2
3.
设F 是椭圆冷+ 6二1的右焦点，且椭圆上至少有 21个不同的点P i (i 二
1,2,3，…)，使|FP| , |FB| , |FR|，…组成公差为d 的等差数列，贝U d 的取值 范围为 . 4. 过抛物线y 2
= 2PX(P>0)上一定点P(x 。
，y °)(y °>0)作两直线分别交抛物线于
5. 椭圆b 2
x 2
+ a 2
y 2
= a 2
b 2
(a>b>0)的左焦点为F ，过F 点的直线I 交椭圆于A ，B 两点，P 为线段AB 的中
点，当△ PFO 的面积最大时，求直线I 的方程.
6 .已知。
O 过定点A(0，p)( p> 0)，圆心O 在抛物线C ： x 2
= 2py( p> 0)上运动, MN 为圆O'
在轴上所截得的弦.
(1)当O'点运动时，I MN 是否有变化？并证明你的结论；
⑵当|OA 是|OM 与|ON 的等差中项时，试判断抛物线C 的准线与圆o 的位置关系, 并说明理由.
A(X 1, y <)，B(X 2, yj ，当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，则
y 1+y
y 。
的值为 2
c 为椭
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