山东高考理科数学圆锥曲线大题.

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一、弦长问题

圆锥曲线的弦长求法

设圆锥曲线 C ： f(x , y)=0与直线l : y=kx+b 相

交于A(x i ,y i )、Bgy)两点，则弦长|AB|为：

为距离问题求解.

2 2

例2、已知点F 是双曲线X —卷=1的左焦点，定点

A 的坐标为(1,4) ,P 是双曲线右支上的动点，

则|PF

+1 PA 的最小值为 ___________________ .

(1)|AB|= Jl + k* T*i -筈Vl+k 3 • +蛊2)「-4衍也

(2)若弦AB 过圆锥曲线的焦点 F ,则可用焦半 径求弦长，|AB|=|AF|+|BF| . 1 2

例1过抛物线y

x 2的焦点作倾斜角为:-的 4

直线I 与抛物线交于 A B 两点，且|AB|=8，求倾斜 角〉.

分析一：由弦长公式易解.解答为：

抛物线方程为x 2 - _4y ,

•••焦点为

(0 , -1).

设直线I 的方程为y-(-1)=k(x-0) 将此式代入x 2 = _4y 中得：

2

x 4kx 一4 =0 . • XM 2 - -4,为 x 2 - -

4k

由 |AB|=8

得：8=1 k

2

.. -4k 2 -4 1

-4

k = 1

又有 tan 二 1 得：〉=二或〉=—.

4

4

分析二：利用焦半径关系• T

当所求的最值是圆锥曲线上的点到某条直线的距离 的最值时：①求与直线平行的圆锥曲线的切线；② 求出两平行线的距离即为所求的最值.

2

例3、求椭圆? + y 2= 1上的点到直线 y = x + 2 3的 距离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点 的坐标.

|AB|=-( y 1+y2)+P=-[(kx 1-1)+(kx 2-1)]+P=-k( X 1+x

2)+2+p .由上述解法易求得结果，可由同学们自己 试试完成.

二、最值问题

方法1:定义转化法 ①根据圆锥曲线的定义列方程；②将最值问题转化

① 将最值用变量表示.

② 利用基本不等式求得表达式的最值.

2

x

例5、求椭圆-+ y 2 = 1内接矩形ABC ［面积的最大值.

AF

一％ 垮

，

BF

,即 y=kx-1 .

方法2:数形结合(切线法)

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方法3:参数法(函数法)

① 选取合适的参数表示曲线上点的坐标；②求解

关于这个参数的函数最值

例4、在平面直角坐标系xOy中，点P(x, y)是椭圆

2 X 2

3 + y = 1上的一个动点，则S= x + y的最大值为例6已知定点A(0, 3)，点B、C分别在椭圆

2

16 2

4x y =1的左右准线上运动，当/ BAC=90

3

时，求△ABC面积的最小值。

例7已知x2+4(y-1) 2=4,求：(1) x2+y2的最大值

与最小值;(2)x+y 的最大值与最小值.

方法4:基本不等式法

三、定值、定点问题

方法1特殊到一般法

根据特殊情况能找到定值（或定点）的问题

①根据特殊情况确定出定值或定点；

②对确定出来的定值或定点进行一般情况的证明.

2

例8已知双曲线C: x2—2 = 1，过圆O: x2+ y2= 2 上任意一点作圆的切线I，若I交双曲线于A, B两点，证明：/ AOB勺大小为定值.

方法2:引进参数法

定值、定点是变化中的不变量，引入参数找出与变量与参数没有关

系的点(或值) 即是定点(或定值).

①引进参数表示变化量；

②研究变化的量与参数何时没有关系，找到定值或定点

2 2

XV 2

例9、如图所示，曲线C：石+百=1,曲线C2: y =

9 8

4x,过曲线C的右焦点F2作一条与x轴不垂直的直线，分别与曲线C, G依次交于B, C, D, E四点.若

| BE T GF|

G为CD的中点、H为BE的中点，证明| C D . | HF|为定值.

1 2

例11已知抛物线方程为y x2h，点A、B

2

及点P(2, 4)都在抛物线上，直线PA与PB的倾斜角互补。

(1)试证明直线AB的斜率为定值；

(2)当直线AB的纵截距为m( m> 0)时，求△

PAB的面积的最大值。

例12 （20XX年全国高考）设抛物线y2=2px （p> 经过原点。

四、相交问题

直线与圆锥曲线相交问题，一般可用两个方程联立后，用0来处理•但用0来判断双圆锥曲线相交问题是不可靠的•解决这类问题：方法1, 由“△》0”与直观图形相结合；方法2,由“△》0” 与根与系数关系相结合；方法3,转换参数法(以后再讲)•

例13.在抛物线x2= 4y上有两点A(x「y1)和B(x2 ,例14已知曲线C1 x

2 • y-a 2

2 -1及

y2)且满足|AB|=y〔+y2+2，求证:

(1)A、B和这抛物线的焦点三点共线;

1 1

(2)——+——为定值.

2

C2 : y = x 1有公共点，求实数a的取值范围.

AF BF