七年级数学上册培优讲义
人教版七年级数学上册培优讲义《第4讲 含参一元一次方程》
第4讲 含参一元一次方程【知识目标】目标一 理解方程中参数与未知数的区别，理解方程的解的含义；目标二 掌握方程“解的关系”类题型解法，掌握绝对值方程的解法；目标三 掌握含参方程讨论解的情况的方法，理解分类讨论的本质．模块一：一元一次方程的概念应用【知识导航】1．一元一次方程的定义只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是1，且等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程． 这里的“元”是指未知数，“次”是指含未知数的项的最高次数．2．方程的解使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解．3．未知数与参数若等式x －2＝a 中，只有x 是未知数，a 当做已知数，我们把这样的方程叫做关于x 的方程，a 叫做参数．解这个方程时只需求出x 的值，x ＝a ＋2就是此方程的解．例如，关于x 的方程mx －2＝3中，只有x 是未知数，m 是参数，若已知此方程的解为x ＝1，则把x ＝1代入方程后能使等式两边值相等，由此得1×m －2＝3，可求得m ＝5．【例1】 （1）(2015江岸区七上期中)若关于x 的方程(m －2)15m x-=是一元一次方程，则m 的值为＿＿＿＿（2） (2012洪山区七上期末)已知x ＝－3是关于x 的方程3x －5a ＝x －1的解，则a 的值是( )．A ．1B ．－1C ．2D ．－2（3）已知x ＝6时关于x 的方程m (x －3)－2＝m 的解，则关于y 的方程 13(1)42016m y --=的解为＿＿＿＿＿＿．（4）(2014江汉区七上期末)已知x ＝3是关于x 的一元一次方程(a －1)x 2＋(b ＋2)x ＝2的解．求a 、b 的值．【练1】 （1）(2013硚口区七上期末)已知x ＝2是关于x 的方程3x －3＝k 的解，则k 的值是( )．A ．－1B ．1C ．－3D ．3（2）(2013年青山区期末)关于x 的方程2x ＋a －9＝0的解是x ＝2，则a 的值为( )．A ．2B ．3C ．4D ．5模块二：含参方程解的关系题型一：解相同【例2】 （1）若关于x 的方程5x ＋4＝4x －3的解和方程2(x ＋1)－m ＝2(m －2)的解相同，求m 的值．（2）若关于x的方程12524ax ax x-=+和5342x x=-有相同的解，求a的值．【练2】（1）(2012洪山区七上期末)如果关于x的方程51763x-=与71622xm-=+的解相同，那么m的值是多少？（2）若关于x的方程()()3210354k x k xx+--=-与1252(1)3xx--+=的解相同．求k的值．【例3】（1）已知：关于x的方程4x－k＝2与3(2＋x)＝2k的解相同，求k的值及相同的解．（2）(2015江岸区七上期中)已知关于x的方程4x＋2m＝3x＋1与方程3x＋2m＝6x＋1的解相同，则方程的解为＿＿＿＿＿＿．【练3】已知关于x 的方程3x －2k ＝1和22x k k -+=有相同的解，求k 的值及方程的解．总结归纳两个一元一次方程的解有等量关系时：如果其中一个方程不含参，另一个方程含参，可以先解出不含参方程(即先解简单方程)，然后利用解的等量关系写出另一个含参方程的解，再代入含参方程即可求出参数的值；如果两个方程都含参，除了可以像上面一样先解简单方程，再代入复杂方程之外，也可以先分别求出这两个方程的解(即都用参数来表示x )，然后利用解的等量关系列出等式，从而求出参数的值． 只要理解了“方程的解”以及“参数”的含义，理清解的关系，就能灵活运用上述两种方法．而且可以自己体会一下，哪些题用法一较快，哪些题用法二较快，原因是什么．两个解的数量关系可以有很多种，比如相等、互为相反数、几倍等，解题方法都一样．题型二：解互为相反数【例4】 （1）若关于x 的方程ax －2a ＝9与方程2x －1＝5的解互为相反数，求a 的值．（2）如果关于x 的方程()112x m +=的解与方程13x x m -=-的解互为相反数，求m 的值．【练4】若关于x 的方程2x －3＝1和32x k k x -=-的解互为相反数，则k 的值为多少？【拓】已知：333n x m n p ++-=与2321m x m np --+=-都是关于x 的一元一次方程，且它们的解互为相反数，求关于x 的方程115x p -+=的解．题型三： 解的其他等量关系【例5】（1）．若关于x 的方程23136x x --=的解是372a x +=的2倍，求关于x 的方程1432ax -+=的解．（2）．如果关于x 的方程x －2＝3(m ＋3)的解和3(x ＋1)＝－4m ＋5的解的和等于5，求m 值．【练5】已知关于x 的方程23x m x π-=+与1322x x -=-的解互为倒数，求m 2－2m －3的值．模块三：含参方程解的情况【知识导航】当我们解一元一次方程时，最后一步就是“系数化为1”．例如：解得5x ＝6之后，需要等式两边同时除以5，得到x ＝65；解到－3x ＝2之后，需要等式两边同时除以－3，得到x ＝23-． 但如果一个一元一次方程中，未知数的系数含有参数时，例如ax －4＝0，解到ax ＝4之后，需要等式两边同时除以a ．但是，我们知道，等式两边同时除以的数必须是“非零数”．这里a 作为一个参数，它是有可能为0的．一旦a ＝0，ax ＝4就变成了0x ＝4，显然不能再两边除以0来求解，此时关于x 的方程无解，即x 没有任何一个数值能使等式成立．不难看出，对于诸如ax ＝4未知数的系数含有参数的方程，当系数为0和系数非0时，方程的解的情况不同．既然结果不同，那意味着需要分类讨论．【例6】（1）．解下列关于x 的方程：①mx ＝2； ②kx ＝0； ③3x ＝n －2（2）．解下列关于x 的方程：①ax ＝b ； ②(a －1)x ＝b ＋2 ③ax －b ＝x ＋2．（3）．当a＿＿＿＿，b＿＿＿＿时，关于x的方程ax＋1＝－x－b有唯一解；当a＿＿＿＿，b＿＿＿＿时，关于x的方程ax＋1＝－x－b无解；当a＿＿＿＿，b＿＿＿＿时，关于x的方程ax＋1＝－x－b有无穷多个解；【总结归纳】解含参的一元一次方程时，通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤，一定能将方程化简为ax ＝b的一般形式，然后再以a、b的不同取值为分类依据，对对方程的解分类讨论．①当a≠0时，等式两边可以同时除以非零数a，解为x＝ba，即方程有唯一解；②当a＝0且b＝0时，方程变为0·x＝0，这里x可以是任意数，即方程有无数个解；③当a＝0且b≠0时，方程变为0·x＝非零数，x无论取何值等式均不成立，即此方程无解．【练6】（1）．关于x的方程mx＋4＝3x－n，分别求m，n满足什么条件时，原方程：①有唯一解；②无解；③有无数多解．（2）．已知关于x的方程3a(x＋2)＝(2b－1)x＋5有无数个解，求a与b的值．（3）．已知：关于x 的方程ax ＋3＝2x －b 有无数多个解，试求：()20175ab a b x x a b a b+-=-++的解．模块四：绝对值方程【知识导航】形如ax b c +=的关于x 的绝对值方程(这里a ≠0)，其解如下三种情况： ①若c ＜0，则方程无解；②若c ＝0，则ax ＋b ＝0，x ＝b a-，方程有唯一解； ③若c ＞0，则ax ＋b ＝±c ，x ＝c b a ±-，方程有两个解．【例7】（1）．若关于x 的方程230x m -+=无解，340x n -+=只有一个解，450x k -+=有两个解，下列选项正确的是( )．A ．m ＜n ＜kB ．m ≤n ≤kC ．m ＞n ＞kD ．m ≥n ≥k（2）．解下列绝对值方程：①15x -=； ②123x --=；③2131x x -=+；④234x x +=-；⑤4329x x +=+；⑥2971x x +=-．【总结归纳】1．形如ax b cx d +=+的绝对值方程的解法：ax ＋b ＝cx ＋d 或ax ＋b ＝－(cx ＋d )，一般有两个解，解完不需要检验．2．形如：ax b cx d +=+的绝对值的解法：法一，从绝对值的代数意义出发分类讨论： ①当ax ＋b ≥0时，ax b ax b +=+，故得ax ＋b ＝cx ＋d ，解完需要把解代入原方程验证这是否满足前提条件ax ＋b ≥0，若不满足则应舍去；②当ax ＋b ＜0时，()ax b ax b +=-+，故得－(ax ＋b )＝cx ＋d ，解完需要把解代入原方程验证这是否满足前提条件ax ＋b ＜0，若不满足则应舍去； 综上得方程的解．法二．从绝对值的非负性出发限定x 的范围：由ax b cx d +=+≥0，所以ax ＋b ＝cx ＋d 或ax ＋b ＝－(cx ＋d )，然后将得出的解代入cx ＋d ≥0检验，若不满足该前提条件此解需要舍去．【练7】解下列绝对值方程①4812x +=；②3544x --=；③2316-+-=；④23x x=-；a a④4329-+=-.x xx x+=+；⑤525拓(1)解方程：125-++=；x x(2)回答下列方程解的情况：①方程124-++=的解是＿＿＿＿；x x②方程123-++=的解是＿＿＿＿；x x③方程122-++=＿＿＿＿．x x第4讲 【课后作业】含参一元一次方程1．如果x ＝1是关于x 的方程－x ＋a ＝3x －2的解，则a 的值为（ ）A ．1B ．－1C ．2D ．－22．七年级的两名爱好数学的学生，在学完第三章《一元一次方程》后，一位同学对另一位同学说：“方程112332x x x ---=+-与方程2224334kx x k +--=-的解相同．则k 的值是多少？”（ ） A ．0B ．2C ．1D ．－1 3．已知关于x 的元一次方程240n x m +-=的解是x ＝3，则m －n 的值是＿＿＿＿．4．关于x 的方程x ＋2m ＝3x －1与方程3x －m ＝6x ＋2的解相同，则m ＝＿＿＿＿．5．关于x 的方程x ＋2m ＝3x －1与方程3x －m ＝6x ＋2的解互为相反数，则m ＝＿＿＿＿．6．关于x 的方程x ＋2m ＝3x －1与方程3x －m ＝6x ＋2的解的和为2，则m ＝＿＿＿＿．7．关于y 的方程25617k ky +-=-与方程2y ＋6＝－8的解互为倒数，则k ＝＿＿＿＿．8．关于x 的方程mx ＋2＝3x －n 有无数多个解，则mn ＝＿＿＿＿．9．已知2x x =+，那么19327m x x ++的值为＿＿＿＿．10．关于x 的方程(a ＋1)x ＋4＝3x －2b ，分别求a 、b 满足什么条件时，原方程：①有唯一解；②有无数多解；③无解．11．解下列关于x 的方程：①1232x +=； ②258x +-=．③2335x x -=-；④4551x x -=+；⑤3223x x +=+；⑥652x x +=-；⑦mx ＋3＝2x －3；⑧3x －5＝2a ＋8．12．已知关于x 的方程3243a x x x ⎡⎤⎛⎫--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的解是3151128x a x +--=的解的3倍，求a 的值．。
七年级数学上丰富的图形世界培优讲义最新版本
丰富的图形世界一对一讲义## ### 七年级### 性别## 教学课题丰富的图形世界2教学目标知识点：1、截一个几何体2、几何体的三视图考点：1、会画几何体的三视图。
2、会判断常见几何体的截图。
3、由三视图判断几何体方法：讲解和练习重点难点重点：常见几何体的截图、三视图。
难点：常见几何体的截图、三视图。
课前检查作业完成情况：优□良□中□差□建议__________________________________________教学内容丰富的图形世界知识点：截一个正方体：截面：用一个平面去截一个几何体(包括圆柱、球、棱柱、棱锥、长方体、正方体等等〕，截出的平面图形叫截面。
1、用一个平面截正方体，可能是三角形，四边形，五边形，六边形。
可能出现的：锐角三角型、等边、等腰三角形，正方形、矩形、非矩形的平行四边形、非等腰梯形、等腰梯形、五边形、六边形、正六边形不可能出现：钝角三角形、直角三角形、直角梯形、正五边形、七边形或更多边形截面为四边形的情况：〔2〕2、用一个截面去截圆柱，截面可能是正方形，长方形，梯形、圆或椭圆。
3、用一个截面去截圆锥，截面可能是等腰三角形、圆、抛物线形或椭圆。
4、三棱锥的截面可以是三角形、长方形、四边形。
其中四边形可以是特殊的矩形、梯形。
5、几何体中的圆台、棱锥都是课外介绍的，所以我们就在这个栏目里继续介绍这两种几何体的截面．〔1〕圆台用平面截圆台，截面形状会有_____和_______这两种较特殊图形，截法如下：〔2〕棱锥由于棱锥同时具有棱柱的侧面是平面的特点，又具备了圆锥的锥点的特征．所以截面形状必须兼顾这两方面．截面可能出现的形状是三角形、多边形、梯形．※用一个平面去截一个正方体，假设这个平面与这个正方体的几个面相交，那么截面就是几边形。
【典型例题】例1、用一个平面去截一个几何体，截面形状有圆、三角形，那么这个几何体可能是_________。
例2、用一个平面去截①圆锥；②圆柱；③球；④五棱柱，能得到截面是圆的图形是〔〕A．①②④B．①②③C．②③④D．①③④【变式1】如图，截去正方体一角变成一个多面体，这个多面体有_________个面，有_________条棱。
(完整版)初一数学培优专题讲义
初一数学基础知识讲义第一讲和绝对值有关的问题一、知识结构框图：数二、绝对值的意义：(1)几何意义：一般地，数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。
(2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数；③零的绝对值是零。
也可以写成：()()() ||0a aa aa a⎧⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩当为正数当为0当为负数说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数；（Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。
三、典型例题例1．（数形结合思想）已知a、b、c在数轴上位置如图：则代数式| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（A ）A．-3a B． 2c－a C．2a－2b D． b解：| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a分析：解绝对值的问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般的有理数计算。
脱去绝对值的符号时，必须先确定绝对值符号内各个数的正负性，再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。
这道例题运用了数形结合的数学思想，由a 、b 、c 在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号，从而去掉绝对值符号，完成化简。
例2．已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>， 那么y x z y z x --+++的值（ C ）A ．是正数B ．是负数C ．是零D ．不能确定符号解：由题意，x 、y 、z 在数轴上的位置如图所示：所以分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。
这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x 、y 、z 三个数的大小关系，为我们顺利化简铺平了道路。
虽然例题中没有给出数轴，但我们应该有数形结合解决问题的意识。
例3．（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？分析：从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。
七年级数学上册培优讲义
七年级数学上册培优讲义第一讲 数系扩张--有理数（一）一、【问题引入与归纳】1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。
2、有理数的两种分类：3、有理数的本质定义，能表成mn（0,,n m n ≠互质）。
4、性质：① 顺序性（可比较大小）；② 四则运算的封闭性（0不作除数）；③ 稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。
5、绝对值的意义与性质：① (0)||(0)a a a a a ≥⎧=⎨-≤⎩ ② 非负性 2(||0,0)a a ≥≥③ 非负数的性质： i ）非负数的和仍为非负数。
ii ）几个非负数的和为0，则他们都为0。
二、【典型例题解析】 1、若||||||0,a b ab aba b ab+-则的值等于多少？2、如果m 是大于1的有理数，那么m 一定小于它的（ ）A.相反数B.倒数C.绝对值D.平方3、已知两数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2，求220062007()()()x a b cd x a b cd -+++++-的值。
4、如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置，如下图所示，那么||||a b a b -++化简的结果等于（ ） A.2a B.2a - C.0 D.2b5、已知2(3)|2|0a b -+-=，求ba 的值是（ ）A.2B.3C.9D.66、设三个互不相等的有理数，既可表示为1，,a b a +的形式，又可表示为0，b a，b 的形式，求20062007a b +。
7、 三个有理数,,a b c 的积为负数，和为正数，且||||||||||||a b c ab bc ac x a b c ab bc ac=+++++则321ax bx cx +++的值是多少？8、若,,a b c 为整数，且20072007||||1a b c a -+-=，试求||||||c a a b b c -+-+-的值。
三、【课堂备用练习题】1、计算：1+2-3-4+5+6-7-8+…+2005+20062、计算：1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)3、计算：59173365129132********+++++-4、已知,a b 为非负整数，且满足||1a b ab -+=，求,a b 的所有可能值。
浙教版初中数学培优讲义 七年级上册 列代数式(提高)知识讲解 - 副本
列代数式（提高）知识讲解【学习目标】1. 理解字母表示数的意义，能用字母表示简单问题中的数量关系；2. 能按要求列出代数式，会求代数式的值．【要点梳理】要点一、用字母表示数用字母表示数之后，有些数量之间的关系用含有字母的式子表示，看上去更加简明，更 具有普遍意义了．举例：如果用 a 、b 表示任意两个有理数，那么加法交换律可以用字母表 示为：a ＋b ＝b ＋a ．乘法交换律可以用字母表示为：ab ＝ba ．要点二、代数式n 如：16n ，2a+3b ，3 4 ， ， (a b )2等式子，它们都是数和字母用运算符号连接所成 2的式子，称为代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式．要点诠释：3x 3 3x 3 3x 3 等都不是代数式． 含有等号或不等号的式子不是代数式，如 要点三、列代数式， ， 在解决实际问题时，常常先把问题中与数量有关的词语用代数式表示出来，即列出代数 式，使问题变得简洁，更具一般性．要点诠释：代数式的书写规范：（1）字母与数字或字母与字母相乘时，通常把乘号写成“· ”或省略不写；（2）除法运算一般以分数的形式表示；（3）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面；（4）字母前面的数字是分数的，如果既能写成带分数又能写成假分数，一般写成假分数的 形式；（5）如果字母前面的数字是 1，通常省略不写．要点四、代数式的值一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做 代数式的值．要点诠释：求代数式的值的步骤：（1）代入数值； （2）计算结果．【典型例题】类型一、用字母表示数1．填空：(1)某商场将一种商品 A 按标价的 9 折出售(即优惠 10%)仍可获利 10%，若商场商品 A 的 标价为 a 元，那么该商品的进价为________元(列出式子即可，不用化简)．(2)甲商品的进价为 1400 元，若标价为 a 元，按标价的 9 折出售；乙商品的进价是 400 元， 若标价为 b 元，按标价的 8 折出售，列式表示两种商品的利润率分别为甲：________ 乙： ________．举一反三：【变式】有a 名男生和b 名女生在社区做义工，他们为建花坛搬砖．男生每人搬了40 块， 女生每人搬了30 块．这a 名男生和b 名女生一共搬了 块砖（用含a ．b 的代数式表示）． 类型二、列代数式2．如图所示，用棋子摆出下列一组“口”字，按照这种方法摆下去，则摆第n 个“口” 字需用棋子 （ ）．A ．4 n 枚B ．(4n-4)枚C ．(4n+4)枚D ．n 2枚举一反三：【变式】观察下列等式：1 1 ;3 2 1 2 3 ;3 3 2 1 2 3 6 ;3 3 3 2 1 2 34 10 ;3 3 3 3 2 … …想一想等式左边代数式各项幂的底数与右边代数式各项幂的底数有什么关系，猜一猜 可以引出什么规律，并把这种规律用等式写出来： . 类型三、代数式的的值3. 已知 ，当 时， ，则问 时，y 的值. 举一反三：2 2 1 2x 3x 的值等于 （ ）. 2 【变式】如果代数式 x x 的值为2，那么代数式3 1 A. B.3 C.6 D.9 2n n4．已知数按图所示程序输入计算，当第一次输入为80时，那么第2011次输出的结果应为．举一反三：【变式】按照如图所示的程序计算，若输入x=8.6，则m=类型四、综合应用5．为了节约能源，某单位按以下规定收取每月电费：用电不超过140度，按每度0.43元收费；如果超过140度，超过部分按每度0.57元收费.（1）若某用户10月份用去a度电，则他应缴多少电费？（2）若该用户11月份用了150度电，则该缴多少电费？举一反三：【变式1】李想所乘的出租车的起步费是12元，3千米后打车价是每千米2.2元；若李想乘车的路程是千米，试用代数式表示他应付的车费.s【变式2】某中学决定派三名教师带名学生到某风景区举行夏令营活动，甲旅行社收费标a准为教师全票，学生半价优惠；乙旅行社收费标准为教师和学生全部按全票价的6折优惠.已知甲、乙两旅行社的全票价均为240元.（1）用代数式表示甲、乙两旅行社的收费各是多少元？50（2）当a时，如果你是校长，你选择哪一家旅行社？举一反三：【变式】有a 名男生和b 名女生在社区做义工，他们为建花坛搬砖．男生每人搬了40 块， 女生每人搬了30 块．这a 名男生和b 名女生一共搬了 块砖（用含a ．b 的代数式表示）． 类型二、列代数式2．如图所示，用棋子摆出下列一组“口”字，按照这种方法摆下去，则摆第n 个“口” 字需用棋子 （ ）．A ．4 n 枚B ．(4n-4)枚C ．(4n+4)枚D ．n 2枚举一反三：【变式】观察下列等式：1 1 ;3 2 1 2 3 ;3 3 2 1 2 3 6 ;3 3 3 2 1 2 34 10 ;3 3 3 3 2 … …想一想等式左边代数式各项幂的底数与右边代数式各项幂的底数有什么关系，猜一猜 可以引出什么规律，并把这种规律用等式写出来： . 类型三、代数式的的值3. 已知 ，当 时， ，则问 时，y 的值. 举一反三：2 2 1 2x 3x 的值等于 （ ）. 2 【变式】如果代数式 x x 的值为2，那么代数式3 1 A. B.3 C.6 D.9 2n n4．已知数按图所示程序输入计算，当第一次输入为80时，那么第2011次输出的结果应为．举一反三：【变式】按照如图所示的程序计算，若输入x=8.6，则m=类型四、综合应用5．为了节约能源，某单位按以下规定收取每月电费：用电不超过140度，按每度0.43元收费；如果超过140度，超过部分按每度0.57元收费.（1）若某用户10月份用去a度电，则他应缴多少电费？（2）若该用户11月份用了150度电，则该缴多少电费？举一反三：【变式1】李想所乘的出租车的起步费是12元，3千米后打车价是每千米2.2元；若李想乘车的路程是千米，试用代数式表示他应付的车费.s【变式2】某中学决定派三名教师带名学生到某风景区举行夏令营活动，甲旅行社收费标a准为教师全票，学生半价优惠；乙旅行社收费标准为教师和学生全部按全票价的6折优惠.已知甲、乙两旅行社的全票价均为240元.（1）用代数式表示甲、乙两旅行社的收费各是多少元？50（2）当a时，如果你是校长，你选择哪一家旅行社？举一反三：【变式】有a 名男生和b 名女生在社区做义工，他们为建花坛搬砖．男生每人搬了40 块， 女生每人搬了30 块．这a 名男生和b 名女生一共搬了 块砖（用含a ．b 的代数式表示）． 类型二、列代数式2．如图所示，用棋子摆出下列一组“口”字，按照这种方法摆下去，则摆第n 个“口” 字需用棋子 （ ）．A ．4 n 枚B ．(4n-4)枚C ．(4n+4)枚D ．n 2枚举一反三：【变式】观察下列等式：1 1 ;3 2 1 2 3 ;3 3 2 1 2 3 6 ;3 3 3 2 1 2 34 10 ;3 3 3 3 2 … …想一想等式左边代数式各项幂的底数与右边代数式各项幂的底数有什么关系，猜一猜 可以引出什么规律，并把这种规律用等式写出来： . 类型三、代数式的的值3. 已知 ，当 时， ，则问 时，y 的值. 举一反三：2 2 1 2x 3x 的值等于 （ ）. 2 【变式】如果代数式 x x 的值为2，那么代数式3 1 A. B.3 C.6 D.9 2n n4．已知数按图所示程序输入计算，当第一次输入为80时，那么第2011次输出的结果应为．举一反三：【变式】按照如图所示的程序计算，若输入x=8.6，则m=类型四、综合应用5．为了节约能源，某单位按以下规定收取每月电费：用电不超过140度，按每度0.43元收费；如果超过140度，超过部分按每度0.57元收费.（1）若某用户10月份用去a度电，则他应缴多少电费？（2）若该用户11月份用了150度电，则该缴多少电费？举一反三：【变式1】李想所乘的出租车的起步费是12元，3千米后打车价是每千米2.2元；若李想乘车的路程是千米，试用代数式表示他应付的车费.s【变式2】某中学决定派三名教师带名学生到某风景区举行夏令营活动，甲旅行社收费标a准为教师全票，学生半价优惠；乙旅行社收费标准为教师和学生全部按全票价的6折优惠.已知甲、乙两旅行社的全票价均为240元.（1）用代数式表示甲、乙两旅行社的收费各是多少元？50（2）当a时，如果你是校长，你选择哪一家旅行社？。
尖子生培优教材数学七年级上第四讲。平方根与立方根讲义及答案
尖子生培优教材数学七年级上第四讲。
平方根与立方根讲义及答案第四讲：平方根与立方根知识导引：平方根和立方根的概念在数学中起到了十分重要的作用。
这些概念是通过逆运算来建立的，并且有多种不同的情况。
因此，理解这些概念的最好方法是从平方和立方的概念开始。
此外，还应该学会使用平方根、立方根等知识去解决一些简单的实际问题。
1.有关平方根：1) 一个正数有正负两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
2) 算术平方根a的双重非负性：a≥0；a≥0.3) a的三层含义：开方的运算符号，表示对a进行开方运算；特征符号，表示a的算术平方根；表示一种新的数，是开不尽方的数（即无理数）的表示形式。
2.有关立方根：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
因此，任何数都有立方根。
3.实数的几种非负形式：1) a≥0（a为实数）；2) a < 0，|a|≥0（a为实数）。
4.算术平方根的主要性质：1) (√a)²=a；2) a≥0，√(a²)=a；3) ab≥0，√(ab)=√a·√b（a≥0，b≥0）；4) a≥0，b>0，(√a/√b)²=a/b。
典例精析：例1：填空题：1) (-3)的算术平方根是______。
2) 平方根等于它本身的数是______。
3) 和数轴上的点一一对应的数是______。
例1-1：下列说法正确的有：(填入相应的序号)。
①-8是64的平方根；②4的算术平方根是2；③任何数都有立方根；④6根2是2；⑤根是±8；⑥9=±3.例1-2：已知x+2+y-3+(z+1)²=______，求x+y+z的平方根。
例2：比较大小：1) -23与-32.2) 1/2，x，x，x(<x<1)。
例2-1：设a=3-2，b=2-3，c=3-2，则a、b、c的大小关系是( )。
A、a>b>cB、a>c>bC、c>b>aD、b>c>a例3：观察下列等式：32/22=23，33=33=43，34.可得出一般规律是______。
七年级上册数学培优讲义(整式加减)第四讲
模块一 代数式的概念用基本的运算符号(运算包括加、减、乘、除、乘方与开方)把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式.单独的一个数或一个字母也是代数式. 例如：5.a .()222,,23a b ab a ab b +-+.等等.【例1】 列代数式（1）若正方形的边长为a .则正方形的面积是 ；（2）若三角形一边长为a .并且这边上的高为h .则这个三角形的面积为 ； （3）若x 表示正方形棱长.则正方形的体积是 ； （4）若m 表示一个有理数.则它的相反数是 ；（5）小明从每月的零花钱中贮存x 元钱捐给希望工程.一年下来小明捐款 元.（数学教学要紧密联系学生的生活实际.这是新课程标准所赋予的任务.让学生列代数式不仅复习前面的知识.更是为下面给出单项式埋下伏笔.同时使学生受到较好的思想品德教育）【题目难度】★ 【解题思路】略【题目答案】（1）2a ;（2）12ah ;（3）3x ;（4）m -;(5)12x列代数式时应该注意的问题（1）数与字母、字母与字母相乘时常省略“⨯”号或用“”.整式的加减如：22 223322a a ab ab x x-⨯=-⨯⨯=⨯-⨯=-，，（2）数字通常写在字母前面.如：()()()5533mn mn a b a b⨯--⨯+=+，（3）带分数与字母相乘时要化成假分数.如：152,22ab ab⨯=切勿错误写成“122ab”.（4）除法常写成分数的形式.如：s s xx ÷=思想方法小结在代数式里渗透了转化思想和推理思想.（1）转化思想表现为把实际问题中的数量关系转化为代数式或者给出代数式实际背景. （2）推理思想表现为用所学的知识去推导未知量.求代数式的值等.模块二 单项式与多项式单项式：像234,,6,,,2x vt a a n r π-.它们都是数或字母的积.这样的代数式叫做单项式.单独的一个数或一个字母也是单项式.单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数.一个单项式中.所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.知识规律小结：(1)圆周率π是常数.如2r π的系数是2π.次数是1；2r π的系数是π.次数是2.(2)当一个单项式的系数是1或1-时.通常省略不写系数.如2a bc .abc -等.(3）代数式的系数是带分数时.通常写成假分数.如2314xy 写成274xy【例2】 判断下列各代数式是否是单项式.如不是.请说明理由；如是.请指出它的系数和次数.（1）1x +； （2）1x ； （3）2r π； （4）232a b - 【题目难度】★ 【解题思路】略【题目答案】（1）不是；单项式没有符号（2）不是；根据定义（3）是；系数是π.次数是２（4）是；系数是32-.次数是３【例3】 下面各题的判断是否正确？①27xy -的系数是7； ②23x y -与3x 没有系数； ③32ab c -的次数是032++； ④3a -的系数是1-；⑤2233x y -的次数是7； ⑥213r h π的系数是13.【题目难度】★ 【解题思路】略【题目答案】①×;②×;③×;④√;⑤×;⑥√通过其中的反例练习及例题.强调应注意以下几点： ①圆周率π是常数；②当一个单项式的系数是1或1-时.“1”通常省略不写.如2x .2a b -等； ③单项式次数只与字母指数有关.1. 写出一个系数是2004.且只含,x y 两个字母的三次单项式是 ； 【题目难度】★ 【解题思路】略． 【题目答案】22004x y2. 指出下列单项式的系数和次数2322332,5,,,2,137a ab ab a bc x y π-- 【题目难度】★ 【解题思路】略． 【题目答案】3a-的系数是13-.次数是1；25ab 的系数是5.次数是3； 23a bc 的系数是1.次数是6237a b π的系数是7π.次数是5322x y 的系数是32.次数是31-的系数是-1.次数是0【巩固练习】填空:单项式8310t ⨯的系数是_________ 【题目难度】★ 【解题思路】略 【题目答案】8310⨯ 3. 若124m nm x y --是系数为-1的五次单项式.求m n ，的值 【题目难度】★★ 【解题思路】根据题意得14125mm n ⎧-=-⎪⎨⎪-+=⎩解得：41m n =⎧⎨=⎩【题目答案】45m n ==，模块三 多项式多项式及相关概念（1）几个单项式的和叫做多项式.例如：222,3a ab b mn -+-等.（2）在多项式中.每个单项式叫做多项式的项.其中.不含字母的项叫做常数项.如：多项式232x x -+.它的项分别是2,3,2x x -.常数项是2.(3)一般地.多项式里次数最高的项的次数.就是这个多项式的次数.如：22232434x y x y x y y -++是五次四项式.最高次项是324x y .【例4】 指出下列多项式的项和次数.并说明它是几次几项式.（1）3223a a b ab b -+-； （2）42321n n -+【题目难度】★ 【解题思路】略【题目答案】(1)多项式3223a a b ab b -+-的项有33a 、2a b -、2ab 、3b -.次数是3.它为三次四项式.(2)多项式4221n n -+的项有4n 、22n -、1.次数是4.它为四次三项式【例5】 (1)如果231(1)n m x y-+是关于,x y 的六次单项式.则,m n 应满足什么条件？（2）如果2(1)1nx m x +-+是关于x 的三次二项式.求22m n -的值.（3）若多项式222(1)x k xy y k +-+-不含xy 的项.求k 的值.【题目难度】★★【解题思路】（1）由2(1)0m +≠.且316n +-=.即1,4m n ≠-=(2) 由题意得知.3n =.且10m -=.所以 1.3m n ==所以当 1.3m n ==时.228m n -=-. （3）由题意得10k -=.得1k =【题目答案】（1）1,4m n ≠-=;(2)8-; （3）1k =【例6】 已知多项式2231113832m x y xy x -+-+是五次四项式.单项式260.2n m x y --的次数与这个多项式的次数相同.求22m n +的值.【题目难度】★★【解题思路】由已知多项式2231113832m x y xy x -+-+是五次四项式.得3m =.又因为单项式260.2n m x y --的次数与这个多项式的次数相同.则265n m +-=.所以22,1n n ==所以22223110m n +=+=【题目答案】10【总结】(1)在确定多项式的项的时候.要连同它前面的符号.(2)多项式的次数是多项式中次数最高项的次数☞巩固练习4. 下列说法中正确的是﹙ ﹚A ．2523x y x y -+是二次三项式B ．yxy 110-是二次三项式 C ．276x --的常数项是6- D ．两个多项式的和一定还是多项式 【题目难度】★ 【解题思路】略 【题目答案】C5. 已知多项式63512212--+-+x xy y x m 是六次四项式.单项式m n y x -526.2的次数与这个多项式的次数相同.求n 的值. 【题目难度】★★【解题思路】由题意得216256m n m ++=⎧⎨+-=⎩解得32m n =⎧⎨=⎩【题目答案】3,2m n ==模块四 整式整式：单项式与多项式都是整式整式⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩单项式的系数、次数多项式的项、次数整式的概念同类项的概念【例7】 判断下列各式是否是整式①1；②r ；③343r π；④11x +；⑤213x +；⑥22x π【题目难度】★ 【解题思路】略【题目答案】①②③⑤⑥是整式☞巩固练习6. 某地区的手机收费有两种方式.用户可任选其一：A 、月租费 20元.0.25元／分；B 、月租费 25元.0.20元／分．某用户某月打手机x 分钟.两种方式的费用分别为1y 元和2y 元.试用含x 的代数式分别表示1y 和2y . 【题目难度】★★【解题思路】根据题意得10.2520y x =+ ; 20.225y x =+ 【题目答案】10.2520y x =+ . 20.225y x =+模块四 同类项同类项：所含字母相同.并且相同的字母的指数也相同的项【例8】 指出下列多项式的同类项（1）321523x y y x -++-- （2）2222123223x y xy xy yx -+- 【题目难度】★ 【解题思路】略【题目答案】(1)同类项：3x 和2x ；2y 和5y ；1和3-（2）同类项：23x y 和223yx -；22xy -和212xy 注:所含字母相同.并且相同的字母的指数也相同的项为同类项.【例9】 （1）若2122m ab +与2334m n a b +-是同类项.求,m n 的值.（2）若47a x y 与579bx y -是同类项.,a b 的值 【题目难度】★★【解题思路】（1）依题意得：212,32;1,5m m n m n +=+-=∴==所以1,5m n ==(2)依题意得：5,4a b ==【题目答案】（1）1,5m n ==.(2) 5,4a b ==【巩固练习】若25xa b 与30.9ya b 同类项.求,x y 的值． 【题目难度】★★【解题思路】因为3,2x y ==.所以3,2x y =±=± 【题目答案】3,2x y =±=±【例10】 单项式113a b a x y +--与23x y 是同类项.求a b -的值． 【题目难度】★★【解题思路】由题意得2,11,2,0a b a a b +=-=∴== 【题目答案】2,0a b ==☞巩固练习 7. 若3m mma b-与nnab 是同类项.求()2003n m -的值．【题目难度】★★【解题思路】由题意得1,3m m n =-=得m=1,n=2()20031n m -=【题目答案】18. 若12223559m m n ab+--与2a b 是同类项.求,m n 的值【题目难度】★★【解题思路】由题意得12222;1355m m n +=-=解得52,m=0,n=-【题目答案】52m=0,n=-9. 若25xa b 与30.9ya b 是同类项.求,x y 的值. 【题目难度】★★【解题思路】由题意得3,2,3,2x y x y ===±=±解得 【题目答案】3,2x y =±=±模块五 合并同类项合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项. 类比数的运算.探究得出合并同类项的法则.法则：所得项的系数是合并前各同类项系数的和.字母部分不变.【例11】 合并下列各式中的同类项(1)226mn mn -;(2)22222332a b a b ab ab -++-; (3)()()()22232a b a b b a -----;【题目难度】★【解题思路】(1)22265mn mn mn -=-(2) 2222222332a b a b ab ab a b ab -++-=+ (3)()()()()2222324a b a b b a a b -----=--【题目答案】(1)25mn - ; (2)22a b ab +; (3)()24a b --.合并同类项法则：把同类项的系数相加.字母和字母的指数保持不变. 特别提醒：(1) 合并的前提是同类项.(3) 合并同类项的根据是加法交换律、结合律以及分配律.☞巩固练习10. 计算()()22321235x x x x -+-+-的结果是( )A .256x x -+B . 254x x --C . 24x x +-D . 26x x ++【题目难度】★★【解题思路】略【题目答案】A11. 在2xy 与215xy -.23ab 与24a b .4abc cab 与.334b 与.263-与.23235a b c a b 与中能合并的又( ) A.5组 B .4组 C .3组 D .2组【题目难度】★★【解题思路】略【题目答案】C12. 合并下列同类项(1)2222x x x x ----【题目难度】★【解题思路】略【题目答案】24x -(2)3223225115225363363a b a b ab a b ab ba --+-+++ 【题目难度】★★【解题思路】略 【题目答案】323511632a b a b ab +++(3)1110.50.20.3n n n n n x xx x x +++--+-【题目难度】★★【解题思路】略【题目答案】10.80.2n n x x ++(4)()()()()()223523x y y x y x x y x y +---+++-+【题目难度】★★【解题思路】略【题目答案】()()()()2333x y y x x y x y +--++-+13. 某市出租车收费标准为:起步价为5元.超过3千米后每1千米收费1.2元.某人乘坐出租车行了x 千米(x>3且为整数).则他应付费多少元?【题目难度】★★★【解题思路】根据题意列式()1.233x -+【题目答案】()1.233x -+元模块六 去括号括号前是“+”号.把括号和它前面的“+”号去掉.原括号里各项的符号都不改变；括号前是“-”号.把括号和它前面的“-”号去掉.原括号里各项的符号都要改变.【例12】 先去括号.在合并同类项(1)5(24);a a b -- 22(2)23(2)x x x +-【题目难度】★【解题思路】略【题目答案】(1)5(24)52434a a b a a b a b --=-+=+22222(2)23(2)2636x x x x x x x x +-=+-=-模块七 整式加减几个整式相加减.通常用括号把每一个整式括起来.再用加减号连接.然后去括号.合并同类项.【例13】 计算：(1)(237)(652);x y x y -++--22(2)(67)(34)a a a a ----+【题目难度】★【解题思路】略【题目答案】(1)(237)(652)x y x y -++--237652(26)(35)5(26)(35)5885x y x y x x y y x y x y =-++--=++--+=++--+=-+2222222(2)(67)(34)6734()(36)(74)(11)(36)11311a a a a a a a a a a a a a a a ----+=---+-=-+-+--=-+--=--【例14】 化简求值2323(1)381231x x x x x -+--+.其中2x =2222(2)42923x xy y x xy y ++--+.其中2,5x y ==【题目难度】★【解题思路】略【题目答案】（1）原式=322981x x x ---+当2x =时原式=32229282167-⨯-⨯-⨯+=- （2）原式=22210x xy y -+当2,5x y ==时原式=222225105248⨯-⨯+⨯=【例15】 有这样一道题：计算222221382(33)(3)3535x x xy y x xy y -+-+++的值.其中1,22x y =-=.甲同学把“12x =-”错抄成“12x =”.但他的计算结果也是正确的.你说这是怎么回事？ 【题目难度】★★【解题思路】根据题意 22222222222221382(33)(3)3535138********1832(3)(33)()3355x x xy y x xy y x x xy y x xy y x xy y y -+-+++=--++++=-++-+++= 【题目答案】化简结果不含有字母x.故原多项式的值与x 无关.因此.无论甲同学把“12x =-”错抄成“12x =”还是错抄成别的什么.只要y 没抄错.结果都是正确的. 【例16】 已知多项式21(2)0a a b +++=.求多项式222231556152ab b a ab a b -+-+-的值 【题目难度】★ 【解题思路】由已知得1a +≥0.2(2)a b +≥0.21(2)0a a b +++= 所以10,20a a b +=+=所以1,2a b =-=【题目答案】222231556152ab b a ab a b -+-+- 22222031720(1)3(1)21722066842a ab b =--=---⨯-⨯=+-=-☞巩固练习14. 当211-=a 时.求代数式}3]9)2(85[4{1522222a a a a a a a a -+---+--的值.【题目难度】★★【解题思路】略【题目答案】2222215{4[58(2)9]3}a a a a a a a a --+---+-22222215{4[104]3}15{14}29a a a a a a a a a a =--+-+-=--+=- 当211-=a . 原式=255415. 先化简.再求值（1）233(4333)(4)a a a a a +-+--+.其中2a =-；【题目难度】★【解题思路】233(4333)(4)a a a a a +-+--+23533a a a =+-- 【题目答案】原式=7（2）22222222(22)(33)(33)x y xy x y x y x y xy ⎡⎤---++-⎣⎦.其中1,2x y =-=.【题目难度】★【解题思路】22222222(22)(33)(33)x y xy x y x y x y xy ⎡⎤---++-⎣⎦2222x y xy =- 【题目答案】原式=1216. 已知0a b -=.求()3432233422a a b a b ab b a b ----+的值【题目难度】★★★【解题思路】0,,a b a b -=∴=则()()34322334373337322222a a b a b ab b a b b b b b b b b ----+=----+=-【题目答案】32b -17. 已知：2733=+b a .622-=-ab b a .求代数式)(2)3()(232233ab b ab b a a b ---+-的值. 【题目难度】★★★【解题思路】332232()(3)2()b a a b ab b ab -+---()()()3322332227633b a a b ab a b a b ab =--+-=-++-=-+-=-【题目答案】33-18. 某公交车上原有()4a b -人.中途有半数人下车.同时又有若干人上车.这时车上共有乘客()6a b +人.你知道中途上车的人数吗？【题目难度】★★★【解题思路】把()4a b -与()6a b +看成两个整体.可列示()()1642a b a b +-- 化简后得342a b +. 【题目答案】342a b +【练习1】若当1x =时.多项式31ax bx ++的值为5.则当1x =-时.多项式311122ax bx ++的值为__________．【题目难度】★【解题思路】当1x =时.311ax bx a b ++=++.当1x =-时. 31111111()122222ax bx a b a b ++=--+=-++ 课堂检测由条件可知.15;4a b a b ++=+=.11()1()41122a b -++=-⨯+=- 【题目答案】1-【练习2】已知多项式21(2)0a a b +++=.求多项式222231556152ab b a ab a b -+-+-的值 【题目难度】★★【解题思路】由已知得1a +≥0.2(2)a b +≥0.21(2)0a a b +++= 所以10,20a a b +=+=所以1,2a b =-=原式22222031720(1)3(1)21722066842a ab b =--=---⨯-⨯=+-=- 【题目答案】42-【练习3】若1-a +()22b -0=.22236,5A a ab b B a =-+=--.求A B -的值【题目难度】★★【解题思路】∵22236,5A a ab b B a =-+=--A B ∴-=()22222365465a ab b a a ab b -+---=-++又∵1-a +()22b -0=.即1,2a b ==∴2462251A B -=-⨯++= 【题目答案】11.写出下列单项式的系数.(1)218a b -； (2)xy ； (3)322yz x -； (4)x -； (5)32x 4. 【题目难度】★【解题思路】略课后练习【题目答案】(1) 218a b -的系数是18-；(2) xy 的系数是1； (3)322yz x -的系数是-31；（4）x -的系数是1-； (5) 32x 的系数是23.即8.2.下列多项式分别是哪几项的和？分别是几次几项式？(1)2225356x y xy x -+-；(2)222226s s t t --+；(3)323x by -. 【题目难度】★【解题思路】略【题目答案】(1) 2225356x y xy x -+-是223x y .25xy -.5x .-6四项的和.是五次四项式.(2)222226s s t t --+是2222,2,6s s t t --三项的和.是四次三项式.(3) 323x by -是32,3x by -两项的和.是四次二项式. 3.将下列各式合并同类项.（1)22111445x x x x -+--+；(2)32322321122322ab a b a b ab a b a b -+----. 【题目难度】★【解题思路】略【题目答案】（1)22111445x x x x -+--+ 2104x =+(2)32322321122322ab a b a b ab a b a b -+---- 32322332322ab a b a b ab =-+-- 4.如图所示.请说出第n 个图形中笑脸的个数.【题目难度】★★【解题思路】略【题目答案】：第n 个图形中笑脸的个数可以表示为2n .5.（1）若2310x x +-=.则32558x x x +++＝ ；（2）若代数式2234a a -+的值为6.则代数式2213a a --的值为 . 【题目难度】★★★【解题思路】(1)无法求出x 的具体值.由2310x x +-=可变形为231x x +=.只需把所求32558x x x +++变形即可逐步求出.具体过程如下：∵2310x x +-=.∴231x x +=.∴()322225583258268x x x x x x x x x x +++=++++=++()223821810x x =++=⨯+=(2)此题不能直接求出a 的值.需对所求式子变形.∵22346a a -+=.∴2232a a -= ∴()2221111231213333a a a a --=--=⨯-=- 【题目答案】1103-，。
第三章整式的加减培优讲义华东师大版七年级数学上册
整式的加减培优讲义考点1.利用整体思想化简求值典例精析（2022秋•旌阳区校级期中）阅读材料：我们知道，4x ﹣2x +x ＝（4﹣2+1）x ＝3x ，类似地，我们把（a +b ）看成一个整体，则4（a +b ）﹣2（a +b ）+（a +b ）＝（4﹣2+1）（a +b ）＝3（a +b ）．“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．尝试应用：（1）把（a ﹣b ）2看成一个整体，合并3（a ﹣b ）2﹣6（a ﹣b ）2+5（a ﹣b ）2的结果是 ．（2）当x ＝1时，代数式a 2x 3+bx ﹣5的值为2，则当x ＝﹣1时，求代数式2a 2x 3+2bx ﹣10的值．拓广探索：（3）求2（3m 2+n ）﹣3（2m 2﹣mn ）﹣（4mn ﹣2m ）的值，其中m +n ＝3，mn ＝﹣9． 方法归纳整式化简求值时，若无法直接求出字母的值，且整式的 某部分与已知条件中的某部分相似，可利用整体思想解题，应用此方法， 一般先将求 值式变形为与已知条件相似或者相同，或者成倍数关系的 形式，再利用整体代入的方法求解.针对训练1.如果代数式8y 2﹣4y +6的值是﹣10，那么代数式2y 2﹣y ﹣4的值等于（ ）A ．0B ．﹣5C ．﹣8D ．8 2.对于任意的有理数a ，b ，如果满足a 2+b 3=a+b 2+3，那么我们称这一对数a ，b 为“相随数对”，记为（a ，b ）．若（m ，n ）是“相随数对”，则2[4m +（2n +1）]+m ＝（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．2D ．33.（2022秋•黄陂区期中）当x ＝2时，代数式ax 3﹣bx ﹣1的值为﹣15，则当x ＝﹣1时，代数式16ax 2+4bx +3的值为 ．4.（2022秋•济南期末）已知m ﹣n ＝2，mn ＝﹣5，则3（mn ﹣n ）﹣（mn ﹣3m ）的值为 ．5.先化简，再求值．若m 2+3mn ＝﹣5，则代数式5m 2﹣[5m 2﹣（2m 2﹣mn ）﹣7mn +7]的值．6.（2023秋•大连期中）阅读材料：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，如把某个多项式看成一个整体进行合理变形，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．例：化简4（a +b ）﹣2（a +b ）+（a +b ）．解：原式＝（4﹣2+1）（a +b ）＝3（a +b ）．参照本题阅读材料的做法解答：（1）把（a ﹣b ）6看成一个整体，合并3（a ﹣b ）6﹣5（a ﹣b ）6+7（a ﹣b ）6的结果是 ．（2）已知x 2﹣2y ＝1，求3x 2﹣6y ﹣2023的值．（3）已知a ﹣2b ＝3，2b ﹣c ＝﹣4，c ﹣d ＝10，求（a ﹣c ）+（2b ﹣d ）﹣（2b ﹣c ）的值．7.（2022秋•公主岭市期中）[阅读理解]若代数式x 2+x +3的值为7，求代数式2x 2+2x ﹣3的值． 小明采用的方法如下：由题意得x 2+x +3＝7，则有x 2+x ＝4，2x 2+2x ﹣3＝2（x 2+x ）﹣3＝2×4﹣3＝5． 所以代数式2x 2+2x ﹣3的值为5．[方法运用]（1）若代数式x 2+x +1的值为10，求代数式﹣2x 2﹣2x +3的值．（2）当x ＝2时，代数式ax 3+bx +4的值为9，当x ＝﹣2时，求代数式ax 3+bx +3的值．[拓展应用]若a 2﹣ab ＝26，ab ﹣b 2＝﹣16，则代数式a 2﹣2ab +b 2的值为 ．8.（2023秋•深圳期中）在代数式求值问题中，整体思想运用十分广泛，如：已知代数式5a +3b ＝﹣4，求代数式2（a +b ）+4（2a +b ）+3的值．解法如下：原式＝2a +2b +8a +4b +3＝10a +6b +3＝2（5a +3b ）+3＝2×（﹣4）+3＝﹣5．利用整体思想，完成下面的问题：（1）已知﹣m 2＝m ，则m 2+m +1＝ ；（2）已知m ﹣n ＝2，求2（n ﹣m ）﹣4m +4n ﹣3的值．（3）已知m 2+2mn ＝﹣2，mn ﹣n 2＝﹣4，求3m 2+92mn +32n 2的值． 例.（2022秋•北京期末）我们规定：使得a ﹣b ＝2ab 成立的一对数a ，b 为“有趣数对”，记为（a ，b ）．例如，因为2﹣0.4＝2×2×0.4，（﹣1）﹣1＝2×（﹣1）×1，所以数对（2，0.4），（﹣1，1）都是“有趣数对”．（1）数对（1，13），（1.5，3），（−12，﹣1）中，是“有趣数对”的是 ；（2）若（k ，﹣3）是“有趣数对”，求k 的值；（3）若（m ，n ）是“有趣数对”，求代数式8[3mn −12m ﹣2（mn ﹣1）]﹣4（3m 2﹣n ）+12m 2的值．方法归纳三步解决“新定义”问题 (1)审题——提取信息提取关键词，明确“新定义”的概念、原理、方法、步骤和结论；(2)理解——以旧引新利用“例子”及“旧知识”理解 和正确运用“新定义”;(3)转化——迁移应用类比“新定义”中的概念、原 理、方法、步骤和结论，解决题目中需要解决的问题.针对训练1.（2022秋•桥西区校级期末）定义一种新运算：a ⊗b ＝a ﹣2b ．例如2⊗3＝2﹣2×3＝﹣4，则x ⊗（﹣y ）化简后的结果是（ ）A ．x +2yB ．2x ﹣yC ．x ﹣2yD ．2x +y 2.（2022秋•荆门期末）定义一个新运算f （a ，b ）={a +b(a ＜b)a −b(a ＞b)，已知a 2＝4，b ＝1，则f （a ，b ）＝ ．3.（2023•北碚区校级开学）对任意一个四位正整数m ，如果m 的百位数字等于个位数字与十位数字之和，m 的千位数字等于十位数字的2倍与个位数字之和，那么称这个数m 为“逊敏数”．例如：m ＝7523，满足2+3＝5，2×2+3＝7，所以7523是“逊敏数”；m ＝9624，满足2+4＝6，但2×2+4＝8≠9，所以9624不是“逊敏数”．（1）判断7431和6541是不是“逊敏数”，并说明理由；（2）若m 是“逊敏数”，且m 与12的和能被13整除，求满足条件的所有“逊敏数”m ．4.（2022秋•港北区期中）定义：若m +n ＝2，则称m 与n 是关于2的平衡数．（1）3与 是关于2的平衡数；5﹣x 与 （用含x 的整式表示）是关于2的平衡数．（2）若A ＝2x 2﹣3（x 2+x ）+4，B ＝2x ﹣[3x ﹣（4x +x 2）﹣2]，判断A 与B 是否是关于2的平衡数，并说明理由．5.（2022•重庆）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N ，若N 能被它的各数位上的数字之和m 整除，则称N 是m 的“和倍数”．例如：∵247÷（2+4+7）＝247÷13＝19，∴247是13的“和倍数”．又如：∵214÷（2+1+4）＝214÷7＝30……4，∴214不是“和倍数”．（1）判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；（2）三位数A 是12的“和倍数”，a ，b ，c 分别是数A 其中一个数位上的数字，且a ＞b ＞c ．在a ，b ，c 中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为F （A ），最小的两位数记为G （A ），若F(A)+G(A)16为整数，求出满足条件的所有数A ．例.（2022秋•霞浦县期中）用火柴棒按如图的方式搭图形．（1）按图示规律完成下表：图形1 2 3 4 5 … 火柴棒根数 5 9 13 …（2）按照这种方式搭下去，搭第n 个图形需要 根火柴棒．（用含n 的代数式表示）（3）小静同学说她按这种方式搭出来的一个图形用了200根火柴棒，你认为可能吗？如果可能，那么是第几个图形？如果不可能，请说明理由．方法归纳图形变化规律问题解决图形变化规律问题可以从“形”和“数”两个角度 入手，通过逐一观察图，分析和归纳出图形或数字的变化规律，从而得出答案.这体现 了从特殊到一般的数学思想. 针对训练1.（2022秋•新城区校级期中）按一定规律排列的单项式：x 3，2x 5，3x 7，4x 9，5x 11，6x 13……第n （n ≥1，n 为正整数）个单项式是（ ）A ．nx n +1B ．nx 2n +1C ．nx 2n ﹣1D ．x 2n +12.（2022秋•泗水县期末）学校举办图画展览，需要依次把图画作品横着钉成一排（如图所示），图中圆点表示图钉，照这样的规律，当需要的图钉颗数为2022颗时，则所钉图画作品的数量为（ ）A ．1011张B ．1010张C ．1009张D ．1012张3.（2022•大同模拟）如图是一组有规律的图案，它们是由相同的正方形和相同的圆组成的，正方形涂有阴影，依此规律，则第n 个图案中有 个圆．（用含有n 的代数式表示）4.如图，第1个图形需要3个棋子，第2个图形需要8个棋子，第3个图形需要15个棋子，…，按照这样规律第n 个图形需要 个棋子（用含n 的代数式表示）．5.（2023•沙县一模）用棋子摆出下列一组图形（如图），按图上所显示的规律继续摆下去，摆到第个图形时，这组图形总共用了 枚棋子．6.观察下面三行数：2，﹣4，8，﹣16，32，…①1，﹣5，7，﹣17，31，…②﹣1，2，﹣4，8，﹣16，…③（1）第①行数按什么规律排列，请直接写出第n 个数为 （n 是正整数）．（2）第②行数与第①行数有什么关系，请直接写出第②行第n 个数为 （n 是正整数）．第③行数与第①行数有什么关系，请直接写出第③行第n 个数为 （n 是正整数）．（3）取每行数的第21个数，分别设为a ，b ，c ，求12a +12b +2c 的值．。
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最新人教版 七年级数学上册培优辅导讲义第1讲 与有理数有关的概念考点·方法·破译1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量.2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想.3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数.经典·考题·赏析【例1】写出下列各语句的实际意义⑴向前－7米 ⑵收人－50元 ⑶体重增加－3千克【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量应该包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等”解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克.【变式题组】01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（ ）A ． －18%B ． －8%C ． ＋2%D ． ＋8%02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( )A ． －5吨B ． ＋5吨C ． －3吨D ． ＋3吨03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京时间15：00，纽约时问是_ ___【例２】在－227，π，0，0.033.3这四个数中有理数的个数（ ) A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数；（2）按整数、分数分类，有理数⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数0负整数正分数分数负分数；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝3.1415926…是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－227是分数，0.033.3是无限循环小数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C ．【变式题组】01．在7，0，15，－12，－301，31.25，－18，100，1，－3 001中，负分数为 ，整数为 ，正整数 .02．（河北秦皇岛）请把下列各数填入图中适当位置15，－19，215，－138，0.1，－5.32，123, 2.333【例３】（宁夏）有一列数为－1，12，－13，14，－15，16，…，找规律到第2007个数是 .【解法指导】从一系列的数中发现规律，首先找出不变量和变量，再依变量去发现规律．归纳去猜想，然后进行验证.解本题会有这样的规律：⑴各数的分子部是1；⑵各数的分母依次为1，2，3，4，5，6，…⑶处于奇数位置的数是负数，处于偶数位置的数是正数，所以第2007个数的分子也是1．分母是2007，并且是一个负数，故答案为－12007. 【变式题组】01（湖北宜昌）数学解密：第一个数是3＝2 ＋1，第二个数是5＝3 ＋2，第三个数是9＝5＋4，第四个数是17＝9＋8…观察并猜想第六个数是 .02．（毕节）毕达哥拉斯学派发明了一种“馨折形”填数法，如图则？填____.03．（茂名）有一组数1，2，5，10，17，26…请 观察规律，则第8个数为__ __ .【例４】（2008年河北张家口）若1＋m 2的相反数是－3，则m 的相反数是____. 【解法指导】理解相反数的代数意义和几何意义，代数意义只有符号不同的两个数叫互为相反数.几何意义：在数轴上原点的两旁且离原点的距离相等的两个点所表示的数叫 互为相反数，本题m 2＝2,m ＝4，则m 的相反数－4。
(人教版)七年级数学上册培优辅导讲义精编版
最新人教版 七年级数学上册培优辅导讲义第1讲 与有理数有关的概念考点·方法·破译1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量.2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想.3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数.经典·考题·赏析【例1】写出下列各语句的实际意义⑴向前－7米 ⑵收人－50元 ⑶体重增加－3千克【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量应该包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等”解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克.【变式题组】01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（ ）A ． －18%B ． －8%C ． ＋2%D ． ＋8%02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( )A ． －5吨B ． ＋5吨C ． －3吨D ． ＋3吨03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京时间15：00，纽约时问是_ ___【例２】在－227，π，0，0.033.3这四个数中有理数的个数（ ) A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数；（2）按整数、分数分类，有理数⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数0负整数正分数分数负分数；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝3.1415926…是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－227是分数，0.033.3是无限循环小数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C ．【变式题组】01．在7，0，15，－12，－301，31.25，－18，100，1，－3 001中，负分数为 ，整数为 ，正整数 .02．（河北秦皇岛）请把下列各数填入图中适当位置15，－19，215，－138，0.1，－5.32，123, 2.333【例３】（宁夏）有一列数为－1，12，－13，14，－15，16，…，找规律到第2007个数是 .【解法指导】从一系列的数中发现规律，首先找出不变量和变量，再依变量去发现规律．归纳去猜想，然后进行验证.解本题会有这样的规律：⑴各数的分子部是1；⑵各数的分母依次为1，2，3，4，5，6，…⑶处于奇数位置的数是负数，处于偶数位置的数是正数，所以第2007个数的分子也是1．分母是2007，并且是一个负数，故答案为－12007. 【变式题组】01（湖北宜昌）数学解密：第一个数是3＝2 ＋1，第二个数是5＝3 ＋2，第三个数是9＝5＋4，第四个数是17＝9＋8…观察并猜想第六个数是 .02．（毕节）毕达哥拉斯学派发明了一种“馨折形”填数法，如图则？填____.03．（茂名）有一组数1，2，5，10，17，26…请 观察规律，则第8个数为__ __ .【例４】（2008年河北张家口）若1＋m 2的相反数是－3，则m 的相反数是____. 【解法指导】理解相反数的代数意义和几何意义，代数意义只有符号不同的两个数叫互为相反数.几何意义：在数轴上原点的两旁且离原点的距离相等的两个点所表示的数叫 互为相反数，本题m 2＝2,m ＝4，则m 的相反数－4。
浙教版初中数学培优讲义 七年级上册 4.3 整式 知识讲解+同步练习 教师版
整式（不分层）知识讲解【学习目标】1．掌握单项式系数及次数的概念；2. 理解多项式的次数及多项式的项、常数项及次数的概念；3．掌握整式的概念，会判断一个代数式是否为整式；4. 能准确而熟练地列式子表示一些数量关系．【要点梳理】要点一、单项式1.单项式的概念：如22xy -，13mn ，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．要点诠释：（1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个数；③单独的一个字母．（2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．如：2st 可以写成12st 。
但若分母中含有字母，如5m就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积． 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．要点诠释：（1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数；（2）圆周率π是常数．单项式中出现π时，应看作系数；（3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写；（4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：2114x y 写成254x y ． 3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．要点诠释：单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点：（1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏；（2）不能将数字的指数一同计算．要点二、多项式1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式．要点诠释：“几个”是指两个或两个以上．2. 多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项．要点诠释：（1）多项式的每一项包括它前面的符号．（2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：2627x x --是一个三项式．3. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．要点诠释：（1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数．（2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出．4.升幂排列与降幂排列： 把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母降幂排列;若按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母升幂排列．如:多项式2x 3y 2-xy 3+21x 2y 4-5x 4-6是六次五项式,按x 的降幂排列为-5x 4+2x 3y 2+21x 2y 4-xy 3-6,在这里只考虑x 的指数,而不考虑其它字母;按y 的升幂排列为-6-5x 4+2x 3y 2-xy 3+21x 2y 4．要点诠释：(1)重新排列多项式时,每一项一定要连同它的正负号一起移动；(2)含有两个或两个以上字母的多项式,常常按照其中某一个字母的升幂排列或降幂排列．要点三、 整式单项式与多项式统称为整式．要点诠释：（1）单项式、多项式、整式这三者之间的关系如图所示．即单项式、多项式必是整式，但反过来就不一定成立．（2）分母中含有字母的式子一定不是整式．【典型例题】类型一、整式概念辨析1．指出下列代数式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？22x y +，x -，3a b+，10，61xy +，1x ，217m n ，225x x --，22x x +，7a举一反三：【高清课堂：整式的概念 例1】【变式】下列代数式：322332111;;;;2;-232ax y ab x x y x y y x +--++π①②③④⑤⑥，其中是单项式的是_______________，是多项式的是_______________。
七年级数学上册培优辅导讲义(人教版)
新人教版 七年级数学上册培优辅导讲义第1讲 与有理数有关的概念考点·方法·破译1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量.2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想.3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数.经典·考题·赏析【例1】写出下列各语句的实际意义⑴向前－7米 ⑵收人－50元 ⑶体重增加－3千克【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量应该包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等”解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克.【变式题组】01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（ ）A ． －18%B ． －8%C ． ＋2%D ． ＋8%02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( )A ． －5吨B ． ＋5吨C ． －3吨D ． ＋3吨03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京时间15：00，纽约时问是_ ___【例２】在－227，π，0，0.033.3这四个数中有理数的个数（ ) A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数；（2）按整数、分数分类，有理数⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数0负整数正分数分数负分数；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝3.1415926…是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－227是分数，0.033.3是无限循环小数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C ．【变式题组】01．在7，0，15，－12，－301，31.25，－18，100，1，－3 001中，负分数为 ，整数为 ，正整数 .02．（河北秦皇岛）请把下列各数填入图中适当位置15，－19，215，－138，0.1，－5.32，123, 2.333【例３】（宁夏）有一列数为－1，12，－13，14，－15，16，…，找规律到第2007个数是 .【解法指导】从一系列的数中发现规律，首先找出不变量和变量，再依变量去发现规律．归纳去猜想，然后进行验证.解本题会有这样的规律：⑴各数的分子部是1；⑵各数的分母依次为1，2，3，4，5，6，…⑶处于奇数位置的数是负数，处于偶数位置的数是正数，所以第2007个数的分子也是1．分母是2007，并且是一个负数，故答案为－12007. 【变式题组】01（湖北宜昌）数学解密：第一个数是3＝2 ＋1，第二个数是5＝3 ＋2，第三个数是9＝5＋4，第四个数是17＝9＋8…观察并猜想第六个数是 .02．（毕节）毕达哥拉斯学派发明了一种“馨折形”填数法，如图则？填____. 03．（茂名）有一组数1，2，5，10，17，26…请 观察规律，则第8个数为__ __ .【例４】（2008年河北张家口）若1＋m 2的相反数是－3，则m 的相反数是____. 【解法指导】理解相反数的代数意义和几何意义，代数意义只有符号不同的两个数叫互为相反数.几何意义：在数轴上原点的两旁且离原点的距离相等的两个点所表示的数叫 互为相反数，本题m 2＝2,m ＝4，则m 的相反数－4。
七年级上册数学培优讲义(整式加减与找规律)第五讲
内容基本要求略高要求较高要求代数式了解代数式的值概念会求代数式的值.能根据代数式的值或特征.推断这些代数式反映的规律能根据特定的问题所提供的资料.合理选用知识和方法.通过代数式的适当变形求代数式的值.整式有关概念了解整式及其有关概念整式的加减运算理解整式加减运算法则会进行简单的整式加减运算能用整式的加减运算对多项式进行变型.进一步解决有关问题.模块一规律探索在解数学题时.往往从特殊的.简单的.局部的事例出发.探求一般的规律；或者从现有的结论.信息.通过观察.类比.联想.进而猜想未知领域的奥秘.这种思想方法叫归纳猜想.归纳猜想是学习和研究数学的最基本而又十分重要的方法它能使复杂问题简单化.抽象问题具体化.是探索解题思路的有效方法.也是科学发展史上的一种重要的方法.注释：归纳猜想是建立在细致而深刻的观察基础上.解题中观察活动主要有三条途径；1.从数与式的特征观察；2.从几何图形的结构观察；3.通过对简单.特殊情况的观察.再推广到一般情况.规律类的中考试题.无论在素材的选取、文字的表述、题型的设计等方面都别具一格.令人耳目一新.其目的是继续考察学生的创新意识与实践能力.在往年“数字类”、“计算类”、“图形类”的基础上.今年又推陈出新.增加了“设计类”与“动态类”两种新题型.现将今年中考规律类中考试题分析如下：设计类【例1】将连续的自然数1至36按如图的方式排成一个长方形阵列.用一个长方形任意圈出其中的9个数.设圈出的9个数的中心的数为a.用含有a的代数式表示这9个数的和为 .【题目难度】★整式加减与规律探索【解题思路】解决本题的关键是认真审题.仔细观察图形.找数字之间的关系.发现规律.利用代数式的规律命题是近年来代数式命题的热点.本题主要考察列代数式.寻找长方形中9个数之间的大小关系.若中心数为a .则a 上方的数可记为6a -.下方的数记为6a +.左边的数记为1a -.右边的数记为1a +.左上方的数记为7a -.右上方的数记为5a -.左下方的数记为5a +.右下方的数记为7a +.所以这九个数相加的和为9a .【题目答案】9a【例2】 观察算式：2222211;132;1353;1357164;13579255=+=++=+++==++++==用代数式表示这个规律（n 为正整数）()1357921n ++++++-=____________【题目难度】★【解题思路】用代数式表示数的规律.要认真观察特例.然后有特殊得到一般规律.特别注意n 的表示意义.认真观察已知等式的数字变化规律.左边为从1开始的连续奇数的和.右边为数字个数的平方.【题目答案】2n【例3】 某体育馆用大小相同的长方形木块镶嵌地面.第1次铺2块.如图（1）；第2次把第1次铺的完全围起来.如图（2）所示；第3次把第2次铺的完全围起来.如图（3）……依此方法.第n 次铺完后.用字母n 表示第n 次镶嵌所使用的木块数为______________【题目难度】★【解题思路】由图可知.可列表次数 1 2 3 …… 木块数2 10 18 ……由上表发现.后面每次镶嵌的木块都比前一次增加8块.即第n次镶嵌木块数为()+-=+28186n n （块）观察图形变化可找规律.从表格中数量变化也可寻找规律.因此可以从“数”“形”两方面解决此类问题.【题目答案】86n+【例4】如图所示.下列每个图形都是由若干枚棋子围成的正方形图案.图案的每条边(包括两个顶点)上都有n()2n≥枚棋子.每个图案中棋子总数为s.则s与n之间的关系可以表示为 .【题目难度】★【解题思路】由图(1)可知.2,4n s==+=⨯；由图(3)可==；由图（2)可知.3,4442n s知.4,44443==+++=⨯.…∴s与n之间的关系可用式n s==++=⨯；由图可知.5,444444n s子()=-表示.．s n41【题目答案】()=-41s n☞巩固练习1.如图（1）所示的是一个三角形.分别连接这个三角形三边的中点得到图（2）.再分别连接图（2）中间的小三角形三边的中点.得到图（3）.按此方法继续连接.请你根据每个图中三角形的个数的规律完成下列问题.（1）将下表填写完整；图形编号（1）（2）（3）（4）（5）三角形个数 1 5 9（2）在第n个图形中有个三角形【题目难度】★【解题思路】略．【题目答案】(1)13.17(2)43n-2. 如图.每一幅图中有若干个大小不同的菱形.第1幅图中有1个.第2幅图中有3个.第3幅图中有5个.则第4幅图中有 个.第n 幅图中共有 个．【题目难度】★★ 【解题思路】略 【题目答案】7.21n -3. 为庆祝“六一”儿童节.某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示：按照上面的规律.摆n 个“金鱼”需用火柴棒的根数为（ ） A ．26n + B ．86n +C ．44n +D ．8n【题目难度】★【解题思路】由图知.一个金鱼要8根火柴.两个金鱼要14根火柴.三条金鱼要20根火柴.以此类推彼此差6.所以n 个金鱼要26n +根火柴【题目答案】A4. 填在下面三个田字格内的数有相同的规律.根据此规律.C = .CBA 55675320531【题目难度】★★【解题思路】观察法知.四方框左上角的数成1,3,5,721n -排列.右上角的数成3,5,7,921n +排列.左下角的数成5,7,922n +排列.那么右下角的数是四方框第一行两个数的和与左下角数的乘积.所以()7,9,579108A B C ===+⨯=【题目答案】1085. 图（3）是用火柴棍摆成的边长分别是1.2.3 根火柴棍时的正方形… (1)第2幅第3幅 第n 幅．当边长为n 根火柴棍时.设摆出的正方形所用的火柴棍的根数为s .则s ＝ ． （用n 的代数式表示s ） 【题目难度】★★【解题思路】观察法.由图知边长为1的正方形要火柴4根.边长为2的正方形要火柴12根.边长为3的正方形要火柴24根.以此类推答案是2(1)n n +【题目答案】2(1)n n +数字类【例5】 按照规律填上所缺的单项式并回答问题：(1)a 、22a -、33a 、44a -.________.__________；(2)试写出第2007个和第2008个单项式 (3) 试写出第n 个单项式【题目难度】★ 【解题思路】略【题目答案】(1)565,6a a -(2)200720082007,2008a a - (3)()11n n na --【例6】 观察下列顺次排列的等式：222213321,351541,573561,796381⨯==-⨯==-⨯==-⨯==-.猜想：第n 个等式（n 为正整数）应为【题目难度】★【解题思路】观察法解此题.根据前面的式子知第一项与第二项的乘积等于他们中间项的平方减1所以答案是()()()2212121n n n -⨯+=-【题目答案】()()()2212121n n n -⨯+=-【例7】 第3页写3、4、5.….依此规则.即第n 页从n 开始.写n 个连续正整数．求他第一次写出数字1000是在第几页？（ ）图（3）……n =1 n =2n =3A.500B. 501C.999D.1000【题目难度】★★ 【解题思路】第1页 1第2页 2、3 第3页 3、4、5 第4页 4、5、6、7 第n 页则第500页开始.从500写到500+（500-1）=999 ∴第501页开始.从501写到501+（501-1）=1001 ∴数字1000在第501页第一次出现． 故选择B ．【题目答案】B总结: 本题主要考查通过分析各页写的数的变化归纳总结规律.解题的关键在于找到每一页上所写的数是从几到几变化的☞巩固练习 6. 已知212212+=⨯434434323323+=⨯+=⨯，……若1010+=⨯bab a （a .b 都是正整数）.则a +b 的最小值是____________ 【题目难度】★【解题思路】通过观察已有的三个等式.其左边的一个因式的分母比分子小1.另一个因式就是第一个因式的分子；而右边的两个加数又分别为左边的两个因数.通过观察知满足条件的109a b ==，.所以应填19【题目答案】19【变形】已知：2222233+=⨯.2333388+=⨯.244441515+=⨯.255552424+=⨯.….若 21010b ba a+=⨯符合前面式子的规律.则a b +的值为A ．179B ．140C ．109D ．210【题目难度】★★ 【解题思路】略 【题目答案】C7. 一个叫巴尔末的中学教师成功地从光谱数据59.1216.2125.3236.…中得到巴尔末公 式.从而打开了光谱奥秘的大门.请你按照这种规律.写出第n （n ≥1）个数据是___________ 【题目难度】★★【解题思路】每个分数的分子之间都是成()23n n ≥且n 为正整数排列.且每个分数的分子与分母差4.所以答案是)4()2(2++n n n 或4)2()2(22-++n n【题目答案】)4()2(2++n n n 或4)2()2(22-++n n8. 一组按规律排列的数：2.0.4.0.6.0.….其中第7个数是 .第n 个数是 （n 为正整数）． 【题目难度】★★【解题思路】观察法.数字规律按奇偶分开.偶数位的都是0.奇数位成偶数排列.所以答案是8.20n n n ⎧⎨⎩是奇数是偶数【题目答案】8.20nn n ⎧⎨⎩是奇数是偶数9. 观察下列等式：第一行 3＝4-1 第二行 5＝9-4 第三行 7＝16-9 第四行 9＝25-16 第五行 11＝36-25 … …按照上述规律.第n 行的等式为 .【题目难度】★【解题思路】等式左边是成奇数排列.右边是比这个奇数小两位的那两数的平方差.所以答案是()22211n n n +=+-【题目答案】()22211n n n +=+-10. 下面是一个三角形数阵：1------------------------第1行2 3 ------------------第2行 4 5 6------------------第3行 7 8 9 10------------第4行……根据该数阵的规律.第8行第2个数是【题目难度】★★【解题思路】由图知每行的数的个数与行数是相同的.所以每行最后一个数是前面行数数的和.到第7行的最后一个数应该是28.故答案是30.【题目答案】3011.观察下列等式：223941401⨯=-.224852502⨯=-.225664604⨯=-.226575705⨯=-.228397907⨯=-…请你把发现的规律用字母表示出来：m n=【题目难度】★★【解题思路】观察法知.前面两个数的乘积等于他两数的和的平均的平方减去这两个数差得平均的平方.所以答案是22 22m n m n+-⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【题目答案】2222m n m n+-⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭模块二新型题【例8】根据下列图形的排列规律.第2008个图形是 (填序号即可). (① ；② ；③ ；④ .) ……;【题目难度】★【解题思路】观察法看图知选③【题目答案】③【例9】定义一种新运算：12a b a b*=-.那么4*（-1）=【题目难度】★【解题思路】根据题意可知.该运算是a的一半与b的差【题目答案】3☞巩固练习12.现定义一种新运算：★.对于任意整数a、b.有a★b=a+b-1.求4★[（6★8）★（3★5）]的值【题目难度】★【解题思路】∵a★b=a+b-1∴4★[（6★8）★（3★5）]=4★[（6+8-1）★（3+5-1）]=4★（13★7）=4★（13+7-1）=4★19=4+19-1=22【题目答案】2213.用“”、“”定义新运算：对于任意实数a.b.都有a b=a和a b=b.例如32=3.32=2．则（20102009）（20072008）的值是 .【题目难度】★【解题思路】：（20102009）（20072008）.=20102008.=2010．故答案为2010【题目答案】2010课堂检测【练习1】（2011•重庆）下列图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成.其中.第①个图形中一共有1个平行四边形.第②个图形中一共有5个平行四边形.第③个图形中一共有11个平行四边形.…则第⑥个图形中平行四边形的个数为（）A.55B.42C.41D.49【题目难度】★【解题思路】：∵图②平行四边形有5个＝122++.图③平行四边形有11个＝12323++++. 图④平行四边形有19个＝1234234++++++.∴图⑥的平行四边形的个数为1234562345641++++++++++=． 故选C ． 【题目答案】C【练习2】观察图中正方形四个顶点所标的数字规律.可知数2011应标在（ ）A 、 第502个正方形的左下角B 、 第502个正方形的右下角C 、 第503个正方形的左上角D 、 第503个正方形的右下角【题目难度】★★【解题思路】通过观察发现：正方形的左下角是4的倍数.左上角是4的倍数余3.右下角是4的倍数余1.右上角是4的倍数余2 ∵20114502÷=余3.∴数2011应标在第503个正方形的左上角． 故选C ．【题目答案】C【练习3】观察下列各式：（1）211=；（2）22343++=；（3）2345675++++=；（4）2456789107++++++=请你根据观察得到的规律判断下列各式正确的是（ ） A 、210051006100730162011+++= B 、210051006100730172011+++= C 、210061007100830162011+++= D 、210071008100930172011+++=【题目难度】★★【解题思路】根据（1）211=；（2）22343++=；（3）2345675++++=；（4）2456789107++++++=可得出：()()()()2121a a a a n a n a ++++++=+-+ .依次判断各选项.只有C 符合要求.故选C ．【题目答案】C1.通过本堂课你学会了 ．2.掌握的不太好的部分 ．3.老师点评：① ．② ．③ ．1. 四个电子宠物排座位.一开始.小鼠、小猴、小兔、小猫分别坐在1.2.3.4号座位上（如图所示）.以后它们不停地变换位置.第一次上下两排交换.第二次是在第一次换位后.再左右两列交换位置.第三次再上下两排交换.第四次再左右两列交换…这样一直下去.则第2005次交换位置后.小兔所在的号位是( )A.1B.2C.3D.4总结复习课后作业【题目难度】★【解题思路】小兔所在的号位的规律是4个一循环．因为20053501÷=余1.即第2005次交换位置后.小兔所在的号位应和第一次交换后的位置相同.即图2．故选A【题目答案】A2. 柜台上放着一堆罐头.它们摆放的形状见右图：第一层有23⨯听罐头.第二层有34⨯听罐头.第三层有45⨯听罐头.……根据这堆罐头排列的规律.第n （n 为正整数）层有 听罐头（用含n 的式子表示）【题目难度】★【解题思路】略【题目答案】2(32)n n ++3. 观察下面几组数：1.3.5.7.9.11.13.15.…2.5.8.11.14.17.20.23.…7.13.19.25.31.37.43.49.…这三组数具有共同的特点．现在有上述特点的一组数.并知道第一个数是3.第三个数是11．则其第n 个数为（ ）A.85n -B.22n +C. 41n -D.225n +【题目难度】★★【解题思路】第一个数是3.第三个数是11.则第二个数为7；即每个数比前一个大4.故其第n 个数为41n -. 【题目答案】C4. 给定一列按规律排列的数：11111,,,,3579它的第10个数是（ ）A.115B.117C.119D.121【题目难度】★★【解题思路】分子都为1.分母分别为1.2213⨯-=⨯-=…都是奇数．第10个数的分母是210119⨯-=.2315【题目答案】：19.5.观察表一.寻找规律.表二、表三、表四分别是从表一中截取的一部分.其中a.b.c的值分别为（）A、20.29.30B、18.30.26C、18.20.26D、18.30.28【题目难度】★★★【解题思路】表二截取的是其中的一列：上下两个数字的差相等.所以a=15+3=18．表三截取的是两行两列的相邻的四个数字：右边一列数字的差应比左边一列数字的差大1.所b=24+25-20+1=30．表四中截取的是两行三列中的6个数字：18是3的6倍.则c应是4的7倍.即28．故选D．【题目答案】D。
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最新 ( 人教版 ) 七年级数学上册培优辅导讲义第 1 讲 与有理数有关的概念考点·方法·破译1．了解 数的 生 程，能 用正、 数表示具有相反意 的量 .2．会 行有理的分 ，体会并运用数学中的分 思想.3．理解数 、相反数、 、倒数的意 ．会用数 比 两个有理数的大小，会求一个数的相反数、 、倒数 .经典 ·考题 ·赏析【例 1】写出下列各 句的 意 ⑴向前－ 7 米 ⑵收人－ 50 元⑶体重增加－ 3 千克【解法指 】用正、 数表示 中具有相反意 的量．而相反意 的量 包合两个要素：一是它的意 相反．二是它 具有数量．而且必 是同 两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等”解：⑴向前－7 米表示向后7 米⑵收入－ 50 元表示支出50 元⑶体重增加－3 千克表示体重减小 3 千克 .【 式 】01．如果＋ 10%表示增加 10%，那么减少8%可以 作（）A ． － 18% ． － 8% C ． ＋2% D． ＋ 8%B02．（金 ）如果＋ 3 吨表示运入 的大米吨数，那么运出 5 吨大米表示 ( ) A ． －5 吨B ． ＋5 吨 C ． － 3 吨 D ． ＋ 3 吨03．（山西）北京与 的 差－13（ 号表示同一 刻 比北京晚） . 如 在是北京15： 00，是 _ ___.【例２ 】在－!， π，0，0.033 3四个数中有理数的个数（)A ．1 个．个C ．3 个D ．4 个B 2正有理数正整数正分数负有理数负整数负份数【解法指 】有理数的分 ：⑴按正 性分 ，有理数；正整数整数 0负整数分数正分数负分数（ 2 ）按整数、分数分 ，有理数；其中分数包括有限小数和无限循 小数，因π＝.3.1415926⋯是无限不循 小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－! 是分数， 0.0 33 3 是 无限循 小数可以化成分数形式， 0 是整数，所以都是有理数，故 C ．【 式 】 01．在 7， 0， 15，－!，－ 301， 31.25 ，－!， 100， 1，－ 3 001 中， 分数 ，整数，正整数.02．（河北秦皇 ） 把下列各数填入 中适当位置15，－!，!，－!， 0.1 ，－ 5.32 ， 123，2.333【例３ 】（宁夏）有一列数 － 1 ， !，－ !， ! ，－ !， ! ，⋯，找 律到第 2007 个数是.【解法指 】从一系列的数中 律，首先找出不 量和 量，再依 量去 律． 去猜想，然后 行 . 解本 会有 的 律：⑴各数的分子部是1；⑵各数的分母依次 1，2， 3， 4， 5， 6，⋯⑶ 于奇数位置的数是 数， 于偶数位置的数是正数，所以第2007 个数的分子也是1．分母是2007，并且是一个数，故答案－!.【式】01（湖北宜昌）数学解密：第一个数是3＝ 2＋ 1，第二个数是5＝ 3＋ 2，第三个数是9＝ 5＋ 4，第四个数是 17＝ 9＋8⋯察并猜想第六个数是.02．（）达哥拉斯学派明了一种“馨折形”填数法，如？填____.03．（茂名）有一数1， 2， 5， 10， 17， 26⋯察律，第 8 个数 __ __ .【例４】（ 2008 年河北家口）若1＋ !! 的相反数是－3， m 的相反数是 ____.【解法指】理解相反数的代数意和几何意，代数意只有符号不同的两个数叫互相反数. 几何意：在数上原点的两旁且离原点的距离相等的两个点所表示的数叫互相反数，本!＝ 2， m＝ 4，m 的相反数－ 4.【式】01．（四川宜）－ 5 的相反数是 ()A． 5B．!C．－5D．－!02．已知 a 与 b 互相反数， c 与 d 互倒数，a＋ b＋ cd＝______03．如一个正方体盒的展开，若在其中的三个正方形A、 B、 C 内分填人适当的数，使得它折成正方体. 若相的面上的两个数互相反数，填入正方形 A 、B、C 内的三个数依次 ()A．－ 1， 2，．0 ，－ 2，1C．－ 2， 0，1D．2 ，1，00B【例５】（湖北）a、b 有理数，且a＞ 0， b＜0， | b| ＞ a， a，b、－ a，－ b 的大小序是 ()A．b＜－ a＜ a＜－ b．– a＜ b＜ a＜－ bBC．– b＜ a＜－ a＜ b D ．– a＜ a＜－ b＜ b【解法指】理解的几何意：一个数的就是数上表示 a 的点到原点的距离，即| a| ，用式a( a0)0( a0)子表示 | a| ＝a(a 0). 本注意数形合思想，画一条数出 a、 b，依相反数的意出－ b，－ a，故 A．【式】01．推理①若a＝b，| a|＝| b|；②若| a|＝| b|，a＝b；③若a≠ b，| a|≠|b|；④若| a| ≠|b| ， a≠ b，其中正确的个数（）A．4个．3 个C．2个D．1个B02． a 、 b 、 c 三个数在数上的位置如，!＋!＋!＝.03． a、 b、c 不等于 O 的有理数，!＋!＋! 的可能是 ____.【例６】（江西改）已知| a－4| ＋ | b－ 8| ＝ 0，!的 .【解法指】本主要考概念的运用，因任何有理数 a 的都是非数，即| a| ≥0．所以 | a －4| ≥0， | b－8| ≥0. 而两个非数之和0，两数均 0.解：因 | a－4| ≥0， | b－8| ≥0，又 | a－ 4| ＋ | b－ 8| ＝ 0，∴|a－ 4| ＝ 0， | b－ 8| ＝ 0即 a－ 4＝ 0，b－ 8＝0， a＝ 4，b＝ 8. 故 !＝! ＝ !【式】01．已知 | a| ＝ 1， | b| ＝ 2， | c| ＝ 3，且 a＞ b＞ c，求 a＋ b＋ C．02．（）若 | m－ 3| ＋| n＋ 2| ＝ 0， m＋ 2n 的 ( )A．－4．－ 1C．0D．4B03．已知 | a| ＝ 8， | b|＝ 2，且 | a－ b| ＝ b－ a，求 a 和 b 的【例７】（第 18 届迎春杯）已知( m＋ n) 2＋ | m| ＝m，且 |2 m－n－ 2| ＝0．求 mn 的．【解法指】本例的关是通分析( m＋ n) 2＋ | m| 的符号，挖掘出m 的符号特征，从而把化( m＋n)2＝ 0， |2 m－ n－2| ＝ 0，找到解途径 .解：∵(m ＋ n) 2≥0， | m| ≥ O ∴(m ＋ n) 2＋ | m| ≥0，而 ( m ＋ n) 2＋| m| ＝ m∴ m ≥0，∴(m ＋ n) 2＋m ＝m ，即 ( m ＋ n) 2＝ 0∴ m ＋n ＝ O ① 又∵ |2 m －n － 2| ＝ 0 ∴2m － n －2＝0 ② 由①②得 m ＝ !， n ＝－ !，∴ mn ＝－ !【 式 】01．已知 ( a ＋ b) 2＋ | b ＋5| ＝ b ＋5 且 |2 a － b – 1| ＝ 0，求 a － b ．02．（第 16 届迎春杯）已知 y ＝ | x － a| ＋ | x ＋ 19| ＋ | x － a － 96| ，如果 19＜ a ＜ 96． a ≤ x ≤96，求 y 的最大 . 演练巩固 ·反馈提高01． 察下列有 律的数!，!，!， !，! ， !⋯根据其 律可知第9 个数是 ()A ． ! ．! C．!D ． !B02．（ 湖）－ 6 的 是 ()A ． 6B ．－ 6C ．!D ．－ !.03．在－!， π， 8.0.3四个数中，有理数的个数( ) A ． 1 个 ． 个C ． 3 个D ． 4 个B 204．若一个数的相反数 a ＋ b ， 个数是 ( )A ． a －bB ． b － aC ． – a ＋ bD ． – a － b05．数 上表示互 相反数的两点之 距离是 6， 两个数是 ( )A ．0和6B ． 0和－6C ． 3 和－3D ．0 和306．若－ a 不是 数， a( )A ． 是正数B ． 不是 数C ． 是 数D ． 不是正数07．下列 中，正确的是 ( ) ①若 a ＝ b ， | a| ＝ | b| ②若 a ＝－ b ， | a| ＝ | b| ③若 | a|＝ | b| ， a ＝－ b ④若 | a| ＝ | b| ， a ＝ b A ． ①② B ． ③④ C ． ①④ D ．②③08．有理数 a 、 b 在数 上的 点的位置如 所示， a 、 b ，－ a ， | b| 的大小关系正确的是( )A ． | b| ＞ a ＞－ a ＞bB ． | b| ＞ b ＞ a ＞－ aC ． a ＞ | b| ＞b ＞－ aD ． a ＞ | b| ＞－ a ＞ b09．一个数在数 上所 的点向右移 5 个 位后，得到它的相反数的 点， 个数是 ____.10．已知 | x ＋2| ＋ | y ＋2| ＝ 0， xy ＝ __ __. 11． a 、 b 、c 三个数在数 上的位置如 ，求 !＋ !＋ !＋ != 12．若三个不相等的有理数可以表示 1、 a 、 a ＋ b 也可以表示成 0、 b 、 !的形式， 求 a 、 b 的 .13．已知 | a| ＝ 4， | b| ＝ 5， | c| ＝ 6，且 a ＞ b ＞ c ，求 a ＋ b － c ．14． | a| 具有非 性，也有最小 0， ：当 x 有理数 ， | x － 1| ＋ | x － 3| 有没有最小 ，如果有，求出最小 ；如果没有， 明理由 .15．点 A 、B 在数 上分 表示 数 a 、 b ， A 、 B 两点之 的距离表示 | AB| ．当 A 、 B 两点中有一点在原点 ，不妨 点 A 在原点，如 1， | AB| ＝ | OB| ＝ | b| ＝ | a － b| 当 A 、 B 两点都不在原点 有以下三种情况: ①如 2，点 A 、 B 都在原点的右 | AB| ＝ | OB| － | OA| ＝ | b| － | a| ＝ b － a ＝ | a －b| ；②如 3，点 A 、 B都在原点的左 ， | AB| ＝ | OB | － | OA| ＝ | b| － | a| ＝－ b － ( － a) ＝| a － b| ；③如 4，点 A 、B 在原点的两 ， | AB| ＝ | OB| －| OA| ＝ | b| －| a| ＝－ b －（－ a ）＝ | a － b| ； 上，数 上 A 、 B 两点之 的距离 | AB| ＝ | a － b| ．回答下列 :⑴数上表示 2 和 5 的两点之的距离是，数上表示－ 2 和－ 5 的两点之的距离是，，数上表示 1 和－ 3 的两点之的距离是；⑵数上表示x 和－ 1 的两点分是点 A 和 B，A、 B 之的距离是，如果| AB|＝2，那么x ＝；⑶当代数式 | x＋ 1| ＋ | x－ 2| 取最小，相的x 的取范是．培优升级·奥赛检测01．（重市）在数上任取一条度1999! 的段，此段在条数上最多能盖住的整数点的个数是 ()A． 1998B． 1999C． 2000D． 200102．（第 18 届希望杯邀）在数上和有理数 a 、 b、 c 的点的位置如所示，有下列四个：① abc＜ 0;② | a－ b| ＋ | b－ c| ＝ | a－ c| ；③（ a－ b） ( b－ c)( c－ a) ＞ 0；④ | a| ＜ 1－ bc．其中正确的有( )．4个． 3 个C．2个D．1个A B03．如果 a、 b、 c是非零有理数，且 a ＋ b＋ c＝ 0 ．那么!＋! ＋! -! 的所有可能的（）A．－1B． 1 或－1C． 2或－ 2D． 0 或－204．已知 | m| ＝－ m，化 | m－ 1 | － | m－2| 所得果 ( )A．－1B． 1C． 2 m － 3D． 3 － 2 m05．如果 0＜ p＜ 15，那么代数式 | x－ p| ＋| x－ 15| ＋| x－ p－ 15| 在 p≤ x≤15 的最小 ( )A． 30B． 0C． 15 D ．一个与 p 有关的代数式06． | x＋ 1| ＋| x－ 2| ＋| x－ 3| 的最小.07．若 a＞0， b＜ 0，使 | x－ a| ＋| x－ b| ＝a－ b 成立的 x 取范.08．（武市拔）非零整数m、 n 足 | m| ＋ | n| －5＝ 0 所有的整数( m， n) 共有09．若非零有理数m、 n、p 足!＋! ＋!＝ 1．!＝.10．（ 19 届希望杯）求| x－ 1| ＋ | x－ 2| ＋ | x－ 3| ＋⋯＋ | x－ 1997| 的最小 .11．已知 (| x＋ 1| ＋ | x－2|) （ | y－2| ＋ | y＋ 1| ）（ | z－ 3| ＋ | z＋ 1| ）＝ 36，求 x＋ 2y＋ 3z 的最大和最小.12．子跳蚤落在数上的某点 k0，第一步从 k0向左跳 1 个位得 k1，第二步由 k1向右跳 2 个位到 k2，第三步由 k2向左跳 3 个位到 k3，第四步由 k3向右跳 4 个位到 k4⋯按以上律跳 100 步，子跳蚤落在数上的点k100新表示的数恰好19.94 ，求 k0所表示的数 .13．某城，沿形路上依次排列有五所小学，它次有 15 台、 7 台、 11 台、 3 台， 14 台，使各学校里数相同，允一些小学向相小学出，怎配才能使出的台数最小？并求出出的最少台数.第 02 讲有理数的加减法考点·方法·破译1．理解有理数加法法则，了解有理数加法的实际意义 .2．准确运用有理数加法法则进行运算，能将实际问题转化为有理数的加法运算 . 3．理解有理数减法与加法的转换关系，会用有理数减法解决生活中的实际问题 .4．会把加减混合运算统一成加法运算，并能准确求和.经典·考题·赏析【例１ 】（河北唐山）某天股票 A 开盘价 18 元，上午 11:30 跌了 1.5 元，下午收盘时又涨了0.3 元，则股票 A 这天的收盘价为（）A ． 0.3 元B ． 16.2 元C ． 16.8 元D ． 18 元【解法指导 】将实际问题转化为有理数的加法运算时，首先将具有相反意义的量确定一个为正，另一个为 负，其次在计算时正确选择加法法则，是同号相加，取相同符号并用绝对值相加，是异号相加，取绝对值较大符号，并用较大绝对值减去较小绝对值 . 解： 18＋（－ 1.5 ）＋（ 0.3 ）＝ 16.8 ，故选 C ．【变式题组 】01．今年陕西省元月份某一天的天气预报中，延安市最低气温为－ 6℃，西安市最低气温 2℃，这一天延安市的最低气温比西安低（ ） A ． 8℃ B ．－ 8℃ C ． 6℃ D ． 2℃02．（河南）飞机的高度为 2400 米，上升 250 米，又下降了 327 米，这是飞机的高度为 __________ 03．（浙江）珠穆朗玛峰海拔 8848m ，吐鲁番海拔高度为－ 155 m ，则它们的平均海拔高度为 __________ 【例２ 】计算（－ 83）＋（＋ 26）＋（－ 17）＋（－ 26）＋（＋ 15） 【解法指导 】应用加法运算简化运算，－ 83 与－ 17 相加可得整百的数，＋ 26 与－ 26 互为相反数，相加为 0，有理数加法常见技巧有：⑴互为相反数结合一起；⑵相加得整数结合一起；⑶同分母的分数或容易通分的分数结合一起；⑷相同符号的数结合一起 .解：（－ 83）＋（＋ 26）＋（－ 17）＋（－ 26）＋（＋ 15）＝ [ （－ 83）＋（－ 17） ] ＋ [ （＋ 26）＋ （－ 26） ] ＋15＝（－ 100）＋ 15＝－ 85【变式题组 】1 3 101．（－ 2.5 ）＋（－ 3 2 ）＋（－ 1 4 ）＋（－ 1 4）02．（－ 13.6 ）＋ 0.26 ＋（－ 2.7 ）＋（－ 1.06 ）11 203． 0.125 ＋34＋（－ 38）＋113＋（－ 0.25 ）11 1 1【例３ 】计算 1 22 33 4L2008 2009111 【解法指导 】依n(n1) nn1进行裂项，然后邻项相消进行化简求和.(1 1) (11) (11) L(11 )解：原式＝2 23 34 20082009 1 11 1 1 L1 11 20081 2 3 3 412009 ＝ 2009＝22008 2009 ＝ 1 21 18 41 132【 式 】01． 算 1＋（－ 2）＋ 3＋（－ 4）＋⋯ ＋ 99＋（－ 100）1102 ．如 ，把一个面 1 的正方形等分成两个面2 的 方形，接着把面2 的 方形等分成两个111面 4的正方形，再把面4的正方形等分成两个面8的 方形，如此 行下去， 利用 形揭11 1 11111示的 律 算 2 4 8 16 32 64 128256＝ __________.【例４ 】如果 a ＜ 0， b ＞ 0， a ＋b ＜ 0，那么下列关系中正确的是（）A ． a ＞ b ＞ －b ＞ －aB ． a ＞ －a ＞ b ＞ －bC ．b ＞ a ＞ －b ＞ －aD ． －a ＞ b ＞ －b ＞ a 【解法指 】 扣有理数加法法 ，由两加数及其和的符号，确定两加数的 的大小，然后根据相反数 的关系将它 在同一数 上表示出来，即可得出 . 解：∵ a ＜ 0， b ＞ 0，∴a ＋b 是异号两数之和又 a ＋b ＜ 0，∴ a 、 b 中 数的 大，∴ | a |＞ | b | 将 a 、 b 、－ a 、 －b 表示在同一数 上，如 ， 它 的大小关系是－a ＞ b ＞－b ＞a【 式 】ab-b-a01．若 m ＞ 0， n ＜0，且 | m |＞ | n |， m ＋ n ________ 0.（填＞、＜号）02．若 m ＜ 0， n ＞0，且 | m |＞ | n |， m ＋ n ________ 0.（填＞、＜号）03．已知 a ＜ 0， b ＞0， c ＜ 0，且 | c |＞ | b |＞ | a |， 比a 、b 、c 、 a ＋ ＋b 、ac 的大小238【例５ 】 4 5 －（－ 33 11 ）－（－ 1.6 ）－（－ 2111 ）【解法指 】有理数减法的运算步 ：⑴依有理数的减法法 ，把减号 加号，并把减数 它的相反 数；⑵利用有理数的加法法 行运算.2 38 2 3 8解： 4 5 －（－ 33 11 ）－（－ 1.6 ）－（－ 21 11）＝ 4 5 ＋33 11 ＋ 1.6 ＋ 21 113 8＝ 4.4 ＋ 1.6 ＋（ 33 11＋ 2111）＝ 6＋ 55＝ 61【 式 】(2)(1)(5)(1)(11) 01．32 63 23 102． 4 4 －（＋ 3.85 ）－（－ 3 4）＋（－ 3.15 ）21903． 178－ 87.21 －（－ 4321）＋ 15321－ 12.79【例６ 】 看下面一列数： 25、23、 21、 19⋯⑴ 察 列数，猜想第10 个数是多少？第n 个数是多少？⑵列数中有多少个数是正数？从第几个数开始是 数？⑶求 列数中所有正数的和 . 【解法指 】 找一系列数的 律， 从特殊到一般，找到前面几个数的 律，通 察推理、猜想出第 n 个数的 律，再用其它的数来 .解：⑴第 10 个数 7，第 n 个数 25－ 2( n － 1)⑵∵ n ＝ 13 ， 25－ 2(13 － 1) ＝1， n ＝ 14 ， 25－ 2(14 －1) ＝－ 1 故 列数有 13 个数 正数，从第 14 个数开始就是 数 .⑶ 列数中的正数 25， 23， 21， 19， 17， 15， 13， 11， 9， 7， 5， 3， 1，其和＝（ 25＋ 1）＋（ 23＋ 3）＋⋯＋（ 15＋ 11）＋ 13＝ 26×6＋ 13＝ 169【 式 】1 12 83 274 6401． ( 杭州 ) 察下列等式 1－ 2 ＝ 2， 2－ 5 ＝ 5，3－ 10 ＝ 10， 4－ 17 ＝ 17⋯依你 的 律，解答下列 . ⑴写出第 5 个等式；⑵第 10 个等式右 的分数的分子与分母的和是多少？02． 察下列等式的 律 9－ 1＝8， 16－ 4＝ 12， 25－ 9＝ 16， 36－ 16＝ 20⑴用关于 n （ n ≥ 1 的自然数）的等式表示 个 律；⑵当 个等式的右 等于2008 求 n.11 21231234【例７ 】（第十届希望杯 ）求2＋（ 3＋ 3 ）＋（ 4＋ 4＋4）＋（5＋5＋5＋5）＋⋯＋1 2 4849（50 ＋ 50 ＋⋯＋ 50＋ 50 ）【解法指 】 察式中数的特点 ：若括号内在加上相同的数均可合并成 1，由此我 采取将原式倒序后与原式相加， 极大 化 算了.1 121231 248 49 解： S ＝ 2＋（ 3＋ 3 ）＋（4＋4＋ 4）＋ ⋯ ＋（ 50 ＋ 50 ＋⋯＋ 50＋50 ）121321494821有 S ＝ 2＋（ 3＋3）＋（ 4＋ 4＋ 4）＋ ⋯ ＋（ 50＋ 50＋⋯＋ 50＋ 50）将原式的和倒序再相加得1 1 12 2112 332112 482S ＝ 2＋ 2＋（ 3＋3＋ 3＋3）＋（4＋ 4＋4＋ 4＋4＋ 4）＋ ⋯ ＋（ 50＋50＋⋯＋ 5049 49 48 2 1＋ 50 ＋ 50 ＋ 50＋⋯＋ 50＋ 50 ）49 (49 1)1225即 2S ＝ 1＋2＋ 3＋ 4＋⋯＋ 49＝2 ＝ 1225∴ S ＝ 2【 式 】01． 算 2－ 22－ 23－ 24－ 25－ 26－ 27－ 28－ 29＋ 210111 1111 102．（第 8 届希望杯 ） 算（ 1－2－3－⋯－2003）（2＋3＋4＋⋯＋2003＋2004）－（ 1－11 1 1 1 1 12 －3 －⋯－ 2004 ）（ 2 ＋ 3 ＋ 4 ＋⋯＋ 2003）演练巩固·反馈提高01． m 是有理数，m ＋ | m| （）A ．可能是 数B ．不可能是 数C．必是正数D．可能是正数，也可能是数02．如果 | a| ＝ 3， | b| ＝ 2，那么 | a＋ b| （）A．5B．1C．1或 5D．±1或±5 03．在 1，－ 1，－ 2 三个数中，任意两数之和的最大是（）A．1B．0C．－ 1D．－ 3 04．两个有理数的和是正数，下面法中正确的是（）A．两数一定都是正数B．两数都不0C．至少有一个数D．至少有一个正数05．下列等式一定成立的是（）A． | x| － x ＝ 0 B．－ x－ x ＝ 0C． | x| ＋| － x|＝0D． | x| －| x| ＝ 006．一天早晨的气温是－6℃，中午又上升了10℃，午又下降了8℃，午夜气温是（）A．－ 4℃B． 4℃C．－ 3℃D．－ 5℃07．若 a＜0， | a－(－a)| 等于（）A．－ a B． 0C． 2a D．－ 2a08． x 是不等于0的有理数，A．0或 1B．0或 2| x | x|| 2x（）C．0 或－ 1D．0 或－ 209．（南） 2＋ ( －2) 的 __________10．用含的式子表示下列各式：⑴若a＜0，b＞0，b－a＝__________，a－b＝__________⑵若a ＞b＞ 0， | a－ b| ＝__________ ⑶若 a＜ b＜ 0， a－ b＝__________11．算下列各：⑴23＋（－ 27）＋ 9＋5⑵－5.4＋0.2－0.6＋0.35－0.251123⑶－ 0.5 － 3 4＋ 2.75 － 72⑷33.1－10.7－（－22.9）－|－10|12．算 1－ 3＋ 5－7＋ 9－ 11＋⋯＋ 97－9913．某修小乘汽沿公路修路，定前正，后退，某天从 A 地出到收工所走的路（位：千米）：＋10，－ 3，＋ 4，－ 2，－ 8，＋ 13，－ 7，＋ 12，＋ 7，＋ 5⑴ 收工距离 A 地多？⑵若每千米耗油0.2 千克，从 A 地出到收工共耗油多少千克？111114．将1997 减去它的2，再减去余下的3，再减去余下的4，再减去余下的5⋯⋯以此推，直到最后减1去余下的 1997 ，最后的得数是多少？15．独特的埃及分数：埃及同中国一，也是世界著名的文明古国，古代埃及人理分数与众不同，他一11211131般只使用分子 1 的分数，例如3＋ 15来表示 5，用 4＋7＋ 28表示 7等等 . 有 90 个埃及分数： 2 ，1 11 1 13 ，4 ，5 ，⋯ 90 ， 91 ，你能从中挑出 10 个，加上正、 号，使它 的和等于－1 ？培优升级·奥赛检测1 2 3 4 L 14 1501．（第 16 届希望杯邀 ）2 4 6 8 L 28 30 等于（）1111A ．4B ．4C ．2D ．211111 11102．自然数 a 、 b 、 c 、d 足 a 2＋ b 2 ＋ c 2 ＋ d 2 ＝1， a 3 ＋ b 4 ＋ c 5 ＋ d 6等于（）13715A ．8B ．16C ．32D ．6403．（第 17 届希望杯邀 ）a 、b 、c 、d 是互不相等的正整数，且abcd ＝441， a ＋ b ＋ c ＋ d 是（ ）A ． 30B ． 32C ． 34D ． 3619951995199619961997199704．（第 7 届希望杯 ）若a ＝ 19961996 ，b ＝ 19971997，c ＝ 19981998 ， a 、 b 、 c 大小关系是（）A ． a ＜ b ＜ cB ． b ＜ c ＜aC ． c ＜ b ＜aD ． a ＜ c ＜ b(11 )(1 1 )(1 1 )L (1 1998 1 )(11 )05． 1 3 2 4 3 5 20001999 2001 的 得整数部分 （）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 406． ( － 2) 2004＋ 3×( － 2) 2003 的 （）A ．－ 2 2003200320042004B ． 2C ．－ 2D ． 207．（希望杯邀 ）若| m| ＝m ＋ 1， (4 m ＋ 1) 2004＝ __________11 2 1 2 3125908． 2＋（3 ＋ 3 ）＋（4 ＋ 4 ＋ 4 ）＋ ⋯ ＋（60＋ 60 ＋⋯＋ 60 ）＝ __________191919 767609． 767676 1919 ＝ __________10． 1＋ 2－22－ 23－ 24－ 25－26 －27－ 28－ 29＋ 210＝__________ 11．求 32001× 72002× 132003 所得数的末位数字 __________12．已知 ( a ＋ b) 2＋ | b ＋5| ＝ b ＋ 5，且 |2 a － b － 1| ＝0，求 ab111 1 113． 算 (1998－ 1)(1997 －1) ( 1996 － 1) ⋯ (1001－ 1) (1000 － 1)14． 你从下表 出 13＋ 23＋ 33＋ 43＋⋯＋ n 3 的公式并 算出13＋ 23＋ 33＋43＋⋯＋ 1003 的 .13 1 2 3 4 523 2 4 6 81053510152025第 03 讲有理数的乘除、乘方考点·方法·破译1．理解有理数的乘法法则以及运算律，能运用乘法法则准确地进行有理数的乘法运算，会利用运算律简化乘法运算 .2．掌握倒数的概念，会运用倒数的性质简化运算 .3．了解有理数除法的意义，掌握有理数的除法法则，熟练进行有理数的除法运算 .4．掌握有理数乘除法混合运算的顺序，以及四则混合运算的步骤，熟练进行有理数的混合运算 . 5．理解有理数乘方的意义，掌握有理数乘方运算的符号法则，进一步掌握有理数的混合运算 .经典·考题·赏析111 11 1 )()⑵ 2() (4【例１ 】计算⑴ 24 4⑶2⑷ 2500 0(3)(7)(11)(3)⑸ 56 9 7【解法指导 】掌握有理数乘法法则，正确运用法则，一是要体会并掌握乘法的符号规律，二是细心、稳妥、层次清楚，即先确定积的符号，后计算绝对值的积 .1(1) (1 1)111 (1 1)1 解：⑴ 242 48⑵24 248(1(1 1 11) )(4)⑷ 2500⑶242 8(3)(7)(11)(3) (37103)1 ⑸5 6 9 75 69 73【变式题组 】(11101．⑴(5) ( 6))4⑶ ( 8) (3.76) ( 0.125)⑵2⑷(3)(1)2(6)0(2)12 (21111 1 1 1)⑸4 2 612( 924) 50(2345)(1111)2． 253．2345( 5) 1 1 132 3(6)34．333【例２ 】已知两个有理数 a 、b ，如果 ab ＜0，且 a ＋b ＜0，那么（ ）A ． a ＞ 0， b ＜ 0B ． a ＜ 0，b ＞ 0C ． a 、b 异号D ． a 、 b 异号且负数的绝对值较大【解法指导 】依有理数乘法法则，异号为负，故 a 、b 异号，又依加法法则，异号相加取绝对值较大数的符号，可得出判断 .解：由 ab ＜ 0 知 a 、b 异号，又由 a ＋ b ＜ 0，可知异号两数之和为负，依加法法则得负数的绝对值较大，选 D ．【变式题组 】 01．若 a ＋b ＋c ＝0，且 b ＜ c ＜0，则下列各式中，错误的是（ ） A ． a ＋ b ＞ 0 B ． b ＋ c ＜ 0C ． ab ＋ac ＞ 0D ． a ＋ bc ＞ 0 02．已知 a ＋ b ＞0，a －b ＜0，ab ＜0，则 a___________0，b___________0 ，|a|_________|b|.b03． ( 山东烟台 ) 如果 a ＋b ＜0， a，则下列结论成立的是（）A ． a ＞ 0， b ＞ 0B ． a ＜ 0， b ＜ 0C ．a ＞ 0， b ＜ 0D ． a ＜ 0， b ＞ 004． ( 广州 ) 下列命题正确的是（ ）A ．若 ab ＞ 0，则 a ＞ 0， b ＞ 0B ．若 ab ＜ 0，则 a ＜0， b ＜0C ．若 ab ＝ 0，则 a ＝ 0 或 b ＝ 0D ．若 ab ＝ 0，则 a ＝ 0 且 b ＝ 0【例３ 】计算11(13)⑴(72) ( 18)( 2 )) (⑷0 (7)⑵ 3 ⑶10 25 【解法指导 】进行有理数除法运算时，若不能整除，应用法则1，先把除法转化成乘法，再确定符号，然后 把绝对值相乘，要注意除法与乘法互为逆运算 . 若能整除，应用法则2，可直接确定符号，再把绝对值相除. 解：⑴(72)( 18) 72 18 41(21)1(7)1(3)3⑵3 377(1 3 1 ) 25 5) ( ) ( ( )⑷( 7) 0⑶10 25 10 3 6【变式题组 】01．⑴(32) ( 8)21( 11)0(21)(1) ( 13)⑵3 6⑶3⑷782931(3) (31) (11) 30(5)302．⑴3⑵5 2 4⑶3 51( 1)(1 0.2 3) ( 3)03． 245ababa 、b 满足 a【例４ 】（茂名）若实数 b ，则ab＝ ___________.【解法指导 】依绝对值意义进行分类讨论，得出a 、b 的取值范围，进一步代入结论得出结果.a b2(a0,b 0) abab解：当 ab ＞0， a0) ；当 ab ＜0，ab2(a 0, bb，∴ ab ＜0，从而ab＝－ 1.【变式题组 】01．若 k 是有理数，则 (|k| ＋k)÷k 的结果是（）A ．正数B ．0C ．负数D ．非负数a b ab02．若 A ． b 都是非零有理数，那么abab的值是多少？xy 0x03．如果xyy与xy的大小 .，试比较【例５ 】已知 x 22)2 , y31⑴求 xy 2008x 3( 的值；⑵求 y2008的值 .【解法指导 】a n表示 n 个 a 相乘，根据乘方的符号法则，如果a 为正数，正数的任何次幂都是正数，如果a是负数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.解：∵ x 2( 2)2, y31 ⑴当x2, y1 时， xy 20082(1)20082当x2, y1时， xy 2008 ( 2) ( 1)20082x 3 23 8x 3( 2)3 8⑵当 x1 时， y20081)20081时， y 20081)20082, y (，x2, y(【变式题组 】01．（北京）若m n (m 2)2，则m n的值是 ___________.02．已知 x 、y 互为倒数，且绝对值相等，求(x)ny n的值，这里 n 是正整数 .【例６ 】（安徽） 2007 年我省为 135 万名农村中小学生免费提供教科书，减轻了农民的负担， 135 万用科学记数法表示为（ ）6B ． 6C ． 0.135 77A ． 0.135 × 101.35 × 10n× 10D ． 1.35 × 10【解法指导 】将一个数表示为科学记数法的的形式，其中 a 的整数位数是 1 位 . 故答案选 B ． a ×10【变式题组 】 01．（武汉）武汉市今年约有 103000 名学生参加中考， 103000 用科学记数法表示为（ ） A ． 1.03 × 10 55 C ． 10.3 4 3B ．0.103 × 10 × 10 D ． 103× 1002．（沈阳）沈阳市计划从2008 年到 2012 年新增林地面积 253 万亩， 253 万亩用科学记数法表示正确的是（ ） 5 亩B ．2.53 × 106 亩×104 亩D ．2.53 × 107 亩A ． 25.3 × 10 C ． 253 【例７ 】（上海竞赛）1222k 299212 1005000 22200 5000k 2100k 5000992 99005000【解法指导 】找出 k2100k 5000的通项公式＝(k50) 2 5021222k 2992原式＝(150)2 502(2 50)2502(k 50) 2 50 2(99 50)2 502＝ [(112992502 ][(2 22982502 ]50)2502(99 50)250)2502(98 50)2[492512]502222+1222222(51 50)(50501442443(4950) 505050)＝49个＝ 99【变式题组 】3+ 3 + 3 + 3 =( )1 2+4+6+2+4+6+ +10062+4+6++1004 2+4+6+ +1008 +20063 3 11A ． 1003B ． 1004C ． 334D ． 10001 1 1111111.210届希2 5 8 11 20 41 110 1640． （第 望 杯 试 题 ） 已 知求1 1 1 1 1 1 1 12 58 1120 41 110 1640 的值 .演练巩固·反馈提高01．三个有理数相乘，积为负数，则负因数的个数为（）A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．1个或 3个02．两个有理数的和是负数，积也是负数，那么这两个数（ ）A ．互为相反数B ．其中绝对值大的数是正数，另一个是负数C ．都是负数D ．其中绝对值大的数是负数，另一个是正数＞ ， ＞ 0 ， ac ＜0，则下列结论正确的是（）03．已知 abc0 aA ． b ＜ 0， c ＞ 0B ．b ＞ 0， c ＜ 0C ． b ＜ 0， c ＜ 0D ．b ＞ 0， c ＞004．若 | ab| ＝ ab ，则（）A ． ab ＞ 0B ．ab ≥ 0C ． a ＜ 0，b ＜ 0D ． ab ＜ 0a bm cd05．若 a 、b 互为相反数， c 、d 互为倒数， m 的绝对值为2，则代数式m的值为（）A ．－ 3B ． 1C ．± 3D ．－3或 1 106．若 a ＞ a，则 a 的取值范围（）A ． a ＞ 1B ． 0＜ a ＜ 1C ．a ＞－ 1D ．－ 1＜ a ＜ 0 或 a ＞1a107．已知 a 、b 为有理数，给出下列条件： ①a ＋b ＝0；② a －b ＝0；③ab ＜ 0；④ ba 、b，其中能判断互为相反数的个数是（ ）A ．1 个abB ．2 个C ．3 个D ．4 个08．若 ab ≠0，则ab的取值不可能为（）A ． 0B ． 1C ． 2D ．－ 209． ( 2)11( 2)10 的值为（ ） 2110A ．－ 2C ． 0D ．－B ．( －2)210． ( 安徽 )2010 年一季度，全国城镇新增就业人数289 万人，用科学记数法表示 289 万正确的是（）76C ．2.89 × 54A ． 2.89 × 10B ． 2.89 × 10 10 D ．2.89 × 1011．已知 4 个不相等的整数 a 、b 、c 、d ，它们的积 abcd ＝9，则 a ＋b ＋ c ＋d ＝___________.12． ( 1)2n 1 ( 1)2n ( 1)2n 1 （ n 为自然数）＝ ___________.xy 2x13．如果xyy与 xy 的大小 .，试比较a b c 1abcabcabc、 、c 为有理数且，求 的值 .14．若 a b32a的值 .15．若 a 、b 、c 均为整数，且abc a 1 . 求 ac c b b培优升级·奥赛检测xy , y z , z x01．已知有理数 x 、y 、 z 两两不相等，则yz z xxy中负数的个数是（）A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．0个或 2个02．计算211 1,221 3,23 1 7,241 15, 25131归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测22010 1的个位数字是（）A ． 1B ． 3C ．7D ． 503．已知 ab 2 c 3 d 4e 5＜0，下列判断正确的是（）A ． abcde ＜ 02424B ． ab cd e ＜ 0C ． ab cde ＜ 0D ． abcd e ＜ 0x y, x y, xy, x04．若有理数 x 、y 使得y四个数中的三个数相等，| y| －| x| 的 是（）113A ．2B ． 0C ．2D ．205．若 A ＝(21)(221)(2 4 1)(281)(2161)(2321)(2 641)， A － 1996 的末位数字是（）A ． 0B ． 1C ．7D ． 906．如果(ab)20011,(a b)20021 ， a 2003b 2003的 是（）A ． 2B ． 1C ．0D ．－107．已知a2255 ,b 3344 ,c 5533 , d 6622 ， a 、b 、c 、 d 大小关系是（）A ． a ＞ b ＞ c ＞ dB ．a ＞ b ＞ d ＞cC ． b ＞ a ＞ c ＞ dD ． a ＞ d ＞ b ＞ ca b c abc08．已知 a 、 b 、 c 都不等于 0 ，且 abc abc的最大 m ，最小n ， (m n)2005＝___________.09．（第 13 届“ 杯 ” ）从下面每 数中各取一个数将它 相乘，那么所有 的乘 的 和是___________.1 ,4.25,5.75 1 1545,32 ,2.25, ,第一 ： 3 第二 ：3 15 第三 ： 1210．一本 的 从1 到 n ，把所有 些 加起来，其中有一 被 加了两次， 果得出了不正确的和 2002， 个被加 了两次的 是多少？1 121231234111．（湖北省 ） 察下列 律排成一列数：1 ，2 ，1，3，2，1，4，3，2，1， 5，2 24 5 114 ， 3 ， 2 ， 1 ， 6，⋯ ( ＊) ，在 ( ＊) 中左起第 m 个数 F(m)，当 F(m) ＝ 2001 ，求 m 的 和m 个数的 .1 , 1,1,2, 4,8,16,32,6412． 中 示的填数“魔方”只填了一部分，将下列9个数：4 2 填入方格中，使得所有行列及 角 上各数相乘的 相等，求x 的 .32x6413． ( 第 12 届“ 杯 ”) 已知 m 、n 都是正整数，并且A (1 1)(11)(11)(1 1) (1 1 )(1 1);223 3m mB (1 1)(11)(11)(11)(11)(11).2233n nAm 1n1A B1, B;26，求 m、n 的值 .证明：⑴2m2n⑵第 04讲整式考点·方法·破译1．掌握单项式及单项式的系数、次数的概念.2．掌握多项式及多项式的项、常数项及次数等概念.3．掌握整式的概念，会判断一个代数式是否为整式.4．了解整式读、写的约定俗成的一般方法，会根据给出的字母的值求多项式的值.经典·考题·赏析【例 1】判断下列各代数式是否是单项式，如果不是请简要说明理由，如果是请指出它的系数与次数.【解法指导】理解单项式的概念: 由数与字母的乘积组成的代数式，单独一个数或一个字母也是单项式，数字的次数为0，是常数，单项式中所有字母指数和叫单项式次数.解：⑴不是，因为代数式中出现了加法运算；⑵不是，因为代数式是与x 的商；3⑶是，它的系数为π，次数为2；⑷是，它的系数为2，次数为 3.【变式题组】01．判断下列代数式是否是单项式。
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七年级数学上册培优讲义第一讲 数系扩张--有理数（一）一、【问题引入与归纳】1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。
2、有理数的两种分类：3、有理数的本质定义，能表成mn（0,,n m n ≠互质）。
4、性质：① 顺序性（可比较大小）；② 四则运算的封闭性（0不作除数）；③ 稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。
5、绝对值的意义与性质：① (0)||(0)a a a a a ≥⎧=⎨-≤⎩ ② 非负性 2(||0,0)a a ≥≥③ 非负数的性质： i ）非负数的和仍为非负数。
ii ）几个非负数的和为0，则他们都为0。
二、【典型例题解析】 1、若||||||0,a b ab aba b ab+-则的值等于多少？2、如果m 是大于1的有理数，那么m 一定小于它的（ ）A.相反数B.倒数C.绝对值D.平方3、已知两数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2，求220062007()()()x a b cd x a b cd -+++++-的值。
4、如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置，如下图所示，那么||||a b a b -++化简的结果等于（ ） A.2a B.2a - C.0 D.2b5、已知2(3)|2|0a b -+-=，求ba 的值是（ ）A.2B.3C.9D.66、设三个互不相等的有理数，既可表示为1，,a b a +的形式，又可表示为0，b a，b 的形式，求20062007a b +。
7、 三个有理数,,a b c 的积为负数，和为正数，且||||||||||||a b c ab bc ac x a b c ab bc ac=+++++则321ax bx cx +++的值是多少？8、若,,a b c 为整数，且20072007||||1a b c a -+-=，试求||||||c a a b b c -+-+-的值。
三、【课堂备用练习题】1、计算：1+2-3-4+5+6-7-8+…+2005+20062、计算：1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)3、计算：59173365129132********+++++-4、已知,a b 为非负整数，且满足||1a b ab -+=，求,a b 的所有可能值。
5、若三个有理数,,a b c 满足||||||1a b c a b c ++=，求||abc abc的值。
第二讲 数系扩张--有理数（二）一、【能力训练点】 1、绝对值的几何意义① |||0|a a =-表示数a 对应的点到原点的距离。
② ||a b -表示数a 、b 对应的两点间的距离。
2、利用绝对值的代数、几何意义化简绝对值。
二、【典型例题解析】1、 （1）若20a -≤≤，化简|2||2|a a ++-（2）若0x ，化简|||2||3|||x x x x ---2、设0a，且||ax a ≤，试化简|1||2|x x +--3、a 、b 是有理数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？（1）||||||;a b a b +=+ （2）||||||;ab a b = （3）||||;a b b a -=- （4）若||a b =则a b = （5）若||||a b ，则a b （6）若a b ，则||||a b4、若|5||2|7x x ++-=，求x 的取值范围。
5、不相等的有理数,,a b c 在数轴上的对应点分别为A 、B 、C ，如果||||||a b b c a c -+-=-，那么B 点在A 、C的什么位置？ 6、设a b c d ，求||||||||x a x b x c x d -+-+-+-的最小值。
7、abcde 是一个五位数，a b c d e ，求||||||||a b b c c d d e -+-+-+-的最大值。
8、设1232006,,,,a a a a 都是有理数，令1232005()M a a a a =++++2342006()a a a a ++++,1232006()N a a a a =++++2342005()a a a a ++++,试比较M 、N 的大小。
三、【课堂备用练习题】1、已知()|1||2||3||2002|f x x x x x =-+-+-++-求()f x 的最小值。
2、若|1|a b ++与2(1)a b -+互为相反数，求321a b +-的值。
3、如果0abc ≠，求||||||a b c a b c++的值。
4、x 是什么样的有理数时，下列等式成立？（1）|(2)(4)||2||4|x x x x -+-=-+- （2）|(76)(35)|(76)(35)x x x x +-=+-5、化简下式：||||x xx-第三讲数系扩张--有理数（三）一、【能力训练点】1、运算的分级与运算顺序；2、有理数的加、减、乘、除及乘方运算的法则。
（1）加法法则：同号相加取同号，并把绝对值相加；异号相加取绝对值较大数的符号，并用较大绝对值减较小绝对值；一个数同零相加得原数。
（2）减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。
（3）乘法法则：几个有理数相乘，奇负得负，偶负得正，并把绝对值相乘。
（4）除法法则：除以一个数，等于乘以这个数的倒数。
3、准确运用各种法则及运算顺序解题，养成良好思维习惯及解题习惯。
二、【典型例题解析】1、计算：351 0.752(0.125)124478⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+++-+-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2、计算：（1）、()()560.9 4.48.11+-++-+（2）、（-18.75）+（+6.25）+（-3.25）+18.25（3）、（-423）+111362324⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+++-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3、计算：①()232321 1.75343⎛⎫⎛⎫⎛⎫------+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ②111142243⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭4、 化简：计算：（1）711145438248⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）35123.7540.1258623⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫----+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦（3）()()340115477⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-----+--+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦（4）235713346⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯+÷- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （5）-4.035×12＋7.535×12-36×（79-57618+）5、计算： （1）()()()3242311-+⨯--- （2）()()219981110.5333⎡⎤---⨯⨯--⎣⎦（3）22831210.52552142⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷--⨯--÷⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭6、计算：()3413312100.51644⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎛⎫⎛⎫+--⨯-÷---⎢⎥⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭7、计算：3323200213471113()[0.25()](5 1.254)[(0.45)(2)](1)81634242001-⨯+----÷++-第四讲 数系扩张--有理数（四）一、【能力训练点】 1、运算的分级与运算顺序；2、有理数的加、减、乘、除及乘方运算的法则。
3、巧算的一般性技巧：① 凑整（凑0）； ② 巧用分配律 ③ 去、添括号法则； ④ 裂项法4、综合运用有理数的知识解有关问题。
二、【典型例题解析】 1、计算：237970.71 6.6 2.20.7 3.31173118⨯-⨯-÷+⨯+÷2、1111111111(1)()(1)2319962341997231997----⨯++++-----1111()2341996⨯++++3、计算：①2232(2)|3.14|| 3.14|(1)ππ-+------- ②{}235324[3(2)(4)(1)]7-⨯-+⨯-⨯---÷--4、化简：111()(2)(3)(9)122389x y x y x y x y +++++++⨯⨯⨯并求当2,x =9y =时的值。
5、计算：2222222221314112131411n n S n ++++=++++----6、比较1234248162n n nS =+++++与2的大小。
7、计算：3323200213471113()[0.25()](5 1.254)[(0.45)(2)](1)81634242001-⨯+----÷++-8、已知a 、b 是有理数，且a b ，含23a b c +=，23a c x +=，23c by +=，请将,,,,a b c x y 按从小到大的顺序排列。
三、【备用练习题】 1、计算（1）1111142870130208++++ （2）222133599101+++⨯⨯⨯2、计算：11111120072006200520041232323-+-+-3、计算：1111(1)(1)(1)(1)2342006-⨯-⨯-⨯⨯-4、如果2(1)|2|0a b -++=，求代数式220062005()()2()b a a b ab a b -++++的值。
5、若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的绝对值为2，求2221(12)a b m m cd-+÷-+的值。
第五讲代数式（一）一、【能力训练点】（1）列代数式； （2）代数式的意义； （3）代数式的求值（整体代入法） 二、【典型例题解析】 1、用代数式表示：（1）比x y 与的和的平方小x 的数。
（2）比a b 与的积的2倍大5的数。
（3）甲乙两数平方的和（差）。
（4）甲数与乙数的差的平方。
（5）甲、乙两数和的平方与甲乙两数平方和的商。
（6）甲、乙两数和的2倍与甲乙两数积的一半的差。
（7）比a 的平方的2倍小1的数。
（8）任意一个偶数（奇数）. （9）能被5整除的数。
（10）任意一个三位数。
2、代数式的求值： （1）已知25a b a b -=+，求代数式2(2)3()2a b a b a b a b-+++-的值。
（2）已知225x y ++的值是7，求代数式2364x y ++的值。
（3）已知2a b =；5c a =，求624a b ca b c+--+的值(0)c ≠（4）已知113b a -=，求222a b aba b ab---+的值。
（5）已知：当1x =时，代数式31Px qx ++的值为2007，求当1x =-时，代数式31Px qx ++的值。
（6）已知等式(27)(38)810A B x A B x -+-=+对一切x 都成立，求A 、B 的值。