三角函数与二次函数的运用
二次函数与三角函数的关系
二次函数与三角函数的关系二次函数与三角函数是高中数学中的两个重要的函数类型，它们在数学和实际问题中都有广泛的应用。
本文将探讨二次函数与三角函数之间的关系，分析它们的性质和相互转化的方法。
一、二次函数的基本形式在代数中，二次函数是指具有形如 f(x) = ax^2 + bx + c 的函数，其中 a、b、c 为常数，且a ≠ 0。
它的图像通常是一个抛物线，可以向上凸起（a>0）或向下凹陷（a<0）。
二次函数的性质包括：1. 首先，二次函数的图像的顶点坐标为 (-b/2a, f(-b/2a))，其中 (-b/2a) 是抛物线的对称轴。
2. 其次，二次函数的图像开口的方向由 a 的正负确定，a>0 表示抛物线向上开口，a<0 表示抛物线向下开口。
3. 此外，二次函数的图像与 x 轴的交点称为零点或根，可以通过解方程 ax^2 + bx + c = 0 来求得。
二、三角函数的基本形式三角函数是以角度（或弧度）为自变量的函数，常见的三角函数包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan），它们分别表示一个角的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边的比值。
三角函数的性质包括：1. 首先，正弦函数和余弦函数的值范围在 -1 到 1 之间，而正切函数的值范围是整个实数集。
2. 其次，正弦函数和余弦函数是周期函数，它们的最小正周期为360°（或2π rad）。
3. 此外，三角函数具有一系列的周期性质和对称性质，如正弦函数的奇偶性、余弦函数的偶奇性等。
三、二次函数与三角函数的关系虽然二次函数和三角函数是两个不同的函数类型，但它们之间存在着一定的关系。
具体而言，可以通过适当的变量替换和函数变换，将一个二次函数转化为一个三角函数，或者将一个三角函数转化为一个二次函数。
1. 二次函数转化为三角函数通过合理的变量替换和函数变换，可以将一个二次函数转化为一个三角函数形式。
例如，令 u = ax + b，则有 x = (u-b)/a，代入二次函数的表达式得到：f(x) = ax^2 + bx + c = a[(u-b)/a]^2 + b[(u-b)/a] + c = u^2 + (c - b^2/a)。
初中数学二次函数,三角函数,相似的总结
二次函数的有关知识：1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数.2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x . 几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向 对称轴顶点坐标 2ax y =当0>a 时 开口向上 当0<a 时 开口向下0=x （y 轴） （0,0） k ax y +=20=x （y 轴）(0, k ) ()2h x a y -=h x = (h ,0) ()k h x a y +-=2h x =(h ,k )c bx ax y ++=2 ab x 2-= (ab ac a b 4422--，) 4.求抛物线的顶点、对称轴的方法5. （1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=. （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，对称轴与抛物线的交点是顶点。
若已知抛物线上两点12(,)(,)、x y x y （及y 值相同），则对称轴方程可以表示为：122x x x +=9.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线a b x 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>ab（即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0<ab（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧. （3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）： ①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则 0<ab. 11.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 12.直线与抛物线的交点（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ). （2）抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔(0>∆)⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔(0=∆)⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔(0<∆)⇔抛物线与x 轴相离. （3）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（2）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.（4）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组cbx ax y n kx y ++=+=2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点； ③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.（5）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，则12AB x x =-锐角三角函数：①设∠A 是Rt △ABC 的任一锐角，则∠A 的正弦：sin A ＝，∠A 的余弦：cos A＝-，∠A 的正切：tan A ＝．并且sin 2A ＋cos 2A ＝1．0＜sin A ＜1，0＜cos A ＜1，tan A ＞0．∠A 越大，∠A 的正弦和正切值越大，余弦值反而越小． ②余角公式：sin (90º－A )＝cos A ，cos (90º－A )＝sin A ． ③特殊角的三角函数值：sin30º＝cos60º＝，sin45º＝cos45º＝，sin60º＝cos30º＝， tan30º＝，tan45º＝1，tan60º＝．④斜坡的坡度：i ＝铅垂高度水平宽度＝．设坡角为α，则i ＝tan α＝．相似三角形一、基本知识及需要说明的问题: (一)比例的性质1.比例的基本性质:bc ad dcb a =⇔=此性质非常重要,要求掌握把比例式化成等积式、把等积式转化成比例的方法.2.合、分比性质:ddc b b ad c b a d d c b b a d c b a -=-⇒=+=+⇒=或注意:此性质是分子加（减）分母比分母,不变的是分母.如:已知d c cb a a dc b a +=+=:,求证证明:∵d c b a = ∴c d a b = ∴c d c a b a +=+ ∴dc cb a a +=+3.等比性质:若)0(≠+⋅⋅⋅+++=⋅⋅⋅===n f d b n mf e d c b a 则b a n f d b m ec a =+⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+++. 4.比例中项:若c a b c a b cbb a ,,2是则即⋅==的比例中项. (二)平行线分线段成比例定理1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 已知l 1∥l 2∥l 3,A D l 1B E l 2C F l 3hlα可得EFBC DE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EF DE BC AB =====或或或或等. 2.推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. AD EB C由DE ∥BC 可得：ACAEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行.3.推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.4.定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的．．．．三边．．与原三角形三边．．．．．．对应成比例. AD E B C说明:①此定理和平行线分线段成比例定理的异同 相同点:都是平行线不同点:平行线分线段成比例定理的推论是两条平行线截其它两边所成的对应线段成比例,即AD 与AE,DB 与EC,AB 与AC 这六条线段,而此定理是三角形的三边对应成比例.即ACAEAB AD BC DE AC AE BC DE AB AD ===或或，只要有图形中的BC DE ,它一定是△ADE 的三边与△ABC 的三边对应成比例.②注意:条件(平行线的应用)在作图中,辅助线往往做平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.如:如图（1），已知BD:CD=2:3,AE:ED=3:4 求:AF:FCAF A A F F E EG EB DC BD C B D G C 图（1） 图（2） 图（3） 辅助线当然是添加平行线。
函数在日常生活中的应用
函数在日常生活中的应用函数不仅在我们的学习中应用广泛，日常生活中也有充分的应用。
在此举出一些例子并作适当分析。
当人们在社会生活中从事买卖活动或其他生产时，其中常涉及到变量的线性依存关系，经营者为达到宣传、促销或其他目的，往往会为我们提供两种或多种付款方案或优惠办法。
总之，函数渗透在我们生活中的各个方面，我们也经常遇到此类函数问题，这时我们应三思而后行，深入发掘自己头脑中的数学知识，用函数解决。
如：1.一次函数的应用：购物时总价与数量间的关系，是最基本的一次函数的应用，由函数解析式可以清楚地了解到其中的正比例关系，在单价一定的条件下，数量越大，总价越大。
此类问题非常基本，却也运用最为广泛。
2.二次函数的应用：当某一变量在因变量变化均匀时变化越来越快，常考虑用二次函数解决。
如细胞的分裂数量随时间的变化而变化、利润随销售时间的增加而增多、自由落体时速度随时间的推移而增大、计算弹道轨迹等。
二次函数的解析式及其图像可简明扼要地阐述出我们需要的一系列信息。
如增加的速度、增加的起点等。
3.反比例函数的应用:反比例函数在生活中应用广泛，其核心为一个恒定不变的量。
如木料的使用，当木料一定时长与宽的分别设置即满足相应关系。
还有总量一定的分配问题，可应用在公司、学校等地方。
所分配的数量及分配的单位即形成了这样的关系。
4.三角函数的应用：实际生活中，我们常常可以遇到三角形，而三角函数又蕴含其中。
如建筑施工时某物体高度的测量，确定航海行程问题,确定光照及房屋建造合理性以及河宽的测量都可以利用三角函数方便地测出。
在日常生活中，我们往往需要将各种函数结合起来灵活运用，以解决复杂的问题。
要时刻将函数的解析式与其图形联系起来，以得到最简单的解决办法。
二次函数与三角函数的综合题目
二次函数与三角函数的综合题目首先，我们来讨论二次函数和三角函数的基本概念和性质。
二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a≠0。
它的图像一般为抛物线，开口方向取决于a的正负。
而三角函数有正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)和正切函数tan(x)等等。
这些函数的图像是周期性的波动曲线。
其中，正弦函数的图像沿y 轴偏移sin(a)个单位，余弦函数的图像沿x轴偏移cos(b)个单位，正切函数的图像存在垂直渐近线。
接下来，我们以一个综合题目来展示二次函数和三角函数的运用。
题目：已知函数f(x) = a(x - h)^2 + k与g(x) = A*sin(Bx + C)的图像如下，请求解以下问题：1. 函数f(x)的顶点坐标是多少？2. 函数g(x)的振幅是多少？3. 函数f(x)和g(x)的图像是否有交点？若有，请给出交点坐标。
4. 若函数f(x)和g(x)的图像相切，求切点的横坐标。
解答：1. 函数f(x)的顶点坐标可以通过将函数转化为顶点形式来求得。
对于二次函数f(x) = a(x - h)^2 + k，顶点坐标即为(h, k)。
根据图像可得，顶点坐标为(-2, 1)。
2. 函数g(x)的振幅可以通过观察图像来求得。
振幅即为函数图像在纵向波动中的最大值的一半。
根据图像可以看出，振幅为3。
3. 函数f(x)和g(x)的图像是否有交点可以通过联立方程求解。
将f(x)和g(x)等式相等，即可得到交点。
联立方程为：a(x - h)^2 + k = A*sin(Bx + C)根据题目给定的图像，我们不妨选择x = 0作为方程求解的初始点。
代入 x = 0，化简得：ah^2 + k = A*sin(C)我们知道正弦函数的取值范围为[-1, 1]，而ah^2 + k为二次函数的常数项。
所以，当 A ≥ |ah^2 + k|时，两个图像相交。
根据给定的图像，可以看出A = 0.5，而|ah^2 + k| = 1，所以A < |ah^2 + k|，即函数f(x)和g(x)的图像没有交点。
二次函数与三角函数的综合应用
二次函数与三角函数的综合应用在数学领域中，二次函数和三角函数都是非常重要的概念。
它们具有广泛的应用，可以用于解决各种实际问题。
本文将探讨二次函数和三角函数的综合应用，并介绍一些相关实例。
一、二次函数的应用1. 抛物线的建模二次函数常用来建模和描述抛物线的形状。
具体而言，对于给定的二次函数y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c是常数，它的图像就是一个抛物线。
通过调整这些常数的值，我们可以改变抛物线的位置、方向和形状。
这种模型在物理学、工程学和经济学等领域中有着广泛的应用。
2. 最优化问题二次函数在最优化问题中也非常常见。
例如，考虑一个开口朝下的抛物线，我们希望找到其顶点来确定最小值。
这种问题在优化领域中经常出现，并且可以通过求解二次函数的导数来得到最优解。
最优化问题的应用广泛，包括在物流规划、金融投资和生产调度等方面。
3. 曲线拟合二次函数还可以用于曲线拟合。
当我们有一组数据点，希望找到一个函数来最好地拟合这些数据时，二次函数是一个常用的选择。
通过最小二乘法，我们可以找到一个二次函数，使其在数据点附近具有最小的误差。
这种方法在数据分析、统计学和机器学习等领域中非常重要。
二、三角函数的应用1. 几何建模三角函数在几何学中有着广泛的应用。
例如，三角函数可以用来计算三角形的边长、角度和面积。
利用正弦定理、余弦定理和正切定理等，我们可以解决各种与三角形相关的问题。
此外，三角函数还常用于绘制和描述各种形状的图像，如正弦曲线和余弦曲线。
2. 振动和波动三角函数在振动和波动的研究中也发挥着重要的作用。
例如，正弦函数可以用来描述周期性振动的变化。
通过调整振幅、频率和相位等参数，可以精确地描述各种振动现象，如声音和光的波动。
这种应用在物理学、声学和电子工程等领域中非常常见。
3. 信号处理三角函数在信号处理中起着关键的作用。
例如，调制技术中常用到的调幅和调频都可以通过三角函数来描述和计算。
此外，傅里叶变换等数学工具也是基于三角函数的理论基础。
二次函数与三角函数的像变换
二次函数与三角函数的像变换二次函数和三角函数是数学中常见的两种函数类型。
它们在图像的变换过程中具有一定的规律和特点。
本文将从二次函数和三角函数的定义、变换规律以及应用角度探讨二次函数与三角函数的像变换。
一、二次函数的像变换二次函数的一般形式为：f(x) = ax^2 + bx + c2.1 平移变换对于二次函数而言，平移变换是将图像沿着x轴或y轴方向进行移动，保持原始形状不变。
平移变换的规律如下：1. 垂直平移：f(x) → f(x) + k，其中k为常数，表示向上或向下平移。
2. 水平平移：f(x) → f(x - h)，其中h为常数，表示向左或向右平移。
2.2 缩放变换缩放变换是通过改变二次函数的系数来改变图像的形状。
缩放变换的规律如下：1. 上下翻转：f(x) → -f(x)，即将图像关于x轴翻转。
2. 左右翻转：f(x) → f(-x)，即将图像关于y轴翻转。
3. 纵向伸缩：f(x) → af(x)，其中a为正常数，表示纵向伸缩。
4. 横向伸缩：f(x) → f(bx)，其中b为正常数，表示横向伸缩。
2.3 对称变换对称变换是通过改变二次函数的系数来改变图像关于某条直线的对称性。
对称变换的规律如下：1. 关于x轴对称：f(x) → -f(x)，即将图像关于x轴进行对称。
2. 关于y轴对称：f(x) → f(-x)，即将图像关于y轴进行对称。
3. 关于原点对称：f(x) → -f(-x)，即将图像关于原点进行对称。
二、三角函数的像变换三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，它们的定义域是实数集。
三角函数的一般形式为：f(x) = Asin(Bx + C) + D3.1 平移变换三角函数的平移变换与二次函数类似，也是将图像沿着x轴或y轴方向进行移动，保持原始形状不变。
平移变换的规律如下：1. 垂直平移：f(x) → f(x) + k，其中k为常数，表示向上或向下平移。
2. 水平平移：f(x) → f(x - h)，其中h为常数，表示向左或向右平移。
二次函数 直角三角形
二次函数直角三角形二次函数是一种常见的数学模型，其图像呈现出连续的曲线，可以用于描述许多实际问题，如物体的运动轨迹、物体的抛射运动、电子电路等。
而直角三角形是一个三角形中的一种特殊情况，其中一个角为90度。
在这篇文章中，我们将讨论二次函数与直角三角形之间的关系，以及如何利用二次函数和三角函数求解直角三角形问题。
一、二次函数二次函数是一种以自变量x的二次多项式的形式表示的函数，其一般式为：y=ax²+bx+c，其中a、b、c为常数，且a≠0。
二次函数的图像通常呈现出抛物线状，其开口向上或向下取决于系数a的正负性。
当a>0时，抛物线开口朝上；当a<0时，抛物线开口朝下。
二、二次函数与直角三角形之间的关系二次函数可以用于描述许多物理问题，如自由落体运动、抛体运动等。
这些物理问题中通常包含有物体的高度、速度、加速度等数值。
而这些数值往往与直角三角形有直接关系。
例如，在自由落体运动中，当一个物体从高度h自由落下时，其高度与时间的关系可以表示为二次函数y=-gt²/2 + h，其中g为重力加速度，t为时间。
同时，当物体与地面碰撞时，其速度可以表示为v=gt，即与时间t存在线性关系。
这些物理问题中的二次函数常常与直角三角形有关，我们可以将物体高度与时间关系中的高度看作直角三角形中的斜边，将时间看作直角三角形中的一条直角边，将落地时的高度看作直角三角形中的另一条直角边。
这样，我们就可以将二次函数转化为三角函数的形式，利用三角函数求解直角三角形的问题。
三、利用三角函数求解直角三角形的问题在直角三角形中，我们通常会用三角函数来计算三角形的各边和角度的大小。
其中最常用的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
通过利用三角函数可以快速地求解直角三角形的各项参数，如角度、斜边、直角边以及三角形的面积等。
下面是利用三角函数求解直角三角形的常用公式：1.正弦定理：a/sin(A)=b/sin(B)=c/sin(C)。
二次函数与三角函数的组合
二次函数与三角函数的组合在数学学科中，二次函数和三角函数都是重要的概念。
二次函数是一个以 x 的二次多项式所定义的函数，三角函数是以角度或弧度作为自变量的函数。
本文将讨论二次函数与三角函数的组合，以探讨它们之间的关系和特点。
一、二次函数的基本形式二次函数的基本形式为 f(x) = ax² + bx + c，其中 a、b、c 是实数常数，且a ≠ 0。
根据 a 的正负性质，二次函数的开口方向分为向上和向下两种情况。
具体形状和特征取决于 a 的值。
例如，当 a > 0 时，二次函数开口向上，且顶点坐标为 (-b/(2a), f(-b/(2a)))。
二、三角函数的基本形式三角函数中最常见的有正弦函数、余弦函数和正切函数。
它们分别用 sin(x)、cos(x) 和 tan(x) 表示，其中 x 为角度或弧度。
三角函数图像的周期性和振荡性是其显著特征。
例如，sin(x) 和 cos(x) 的周期都是2π，tan(x) 的周期是π。
三、二次函数与三角函数的组合将二次函数与三角函数进行组合，可以得到形式各异的函数。
常见的组合包括二次函数与正弦函数的乘积、二次函数与余弦函数的乘积等。
这些组合函数可以表示实际问题中的各种变化规律。
下面以几个具体例子来说明。
例一：f(x) = x²sin(x)考虑函数 f(x) = x²sin(x)，它是一个二次函数与正弦函数的乘积。
当x 取不同的值时，f(x) 的值受到 x²和 sin(x) 同时影响。
因为二次函数 x²的取值范围是非负实数，而 sin(x) 的取值范围在 [-1, 1] 之间，所以 f(x) 的值在不同区间内呈现出不同变化趋势。
例二：g(x) = (x-π)cos(x)考虑函数g(x) = (x-π)cos(x)，它是一个二次函数与余弦函数的乘积。
函数中的 (x-π) 部分对二次函数起到平移作用，使得 g(x) 的图像在 x 轴上发生左右平移。
二次函数与三角函数的组合
二次函数与三角函数的组合二次函数与三角函数的组合在数学领域中具有广泛的应用和研究价值。
二次函数与三角函数的组合可以描述复杂的曲线和周期性变化，并且在物理、工程和经济等领域中有着重要的实际意义。
本文将探讨二次函数与三角函数的组合，分析其特点和应用。
一、二次函数的基本形式二次函数是一种以x的平方为最高次项的多项式函数。
一般表示为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为实数且a不等于0。
二次函数的图像为抛物线，其开口方向取决于a的正负性。
二次函数的基本形式可以通过平移、伸缩和翻转等变换得到更加复杂的形式。
例如，当a=1时，抛物线开口向上；当a=-1时，抛物线开口向下；通过平移可以改变抛物线的位置，通过伸缩可以改变抛物线的形状。
二、三角函数的基本形式三角函数是描述角度关系的函数，常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。
正弦函数和余弦函数的定义域为全体实数，值域为[-1,1]；正切函数的定义域为全体实数除去π/2+kπ(k为整数)，值域为全体实数。
三角函数的图像具有周期性，其周期为2π。
正弦函数和余弦函数的图像是波浪形的，反映了角度的周期变化；正切函数的图像则是具有无穷多个渐近线的曲线。
三、二次函数与三角函数的组合形式二次函数与三角函数的组合形式可以是二次函数的自变量（一般为x）取三角函数的值作为因变量。
常见的组合形式有f(x) = ax^2 + sinx，g(x) = ax^2 + cosx，h(x) = ax^2 + tanx等。
这种组合形式的函数在图像上具有独特的特点。
二次函数的抛物线与三角函数的周期性变化相结合，使得函数图像具有复杂的形状和变化。
这种组合形式的函数经常出现在震动、波动和周期性变化的问题中。
四、二次函数与三角函数的应用二次函数与三角函数的组合在物理、工程和经济等领域中有着广泛的应用。
在物理学中，二次函数与正弦函数的组合经常用来描述周期性振动的物理现象。
比如弹簧振子和自由摆的运动都可以用这种组合形式的函数来描述。
二次函数与三角函数的复合与相关问题解析
二次函数与三角函数的复合与相关问题解析二次函数和三角函数在数学中都是非常重要的概念，它们在各个领域都有广泛的应用。
本文将对二次函数与三角函数的复合以及相关问题进行解析，探讨它们之间的关系和性质。
一、二次函数与三角函数的复合1. 二次函数的定义二次函数是指形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
它的图像一般是一个开口朝上或者朝下的抛物线。
2. 三角函数的定义三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等，它们是以角度或弧度为自变量的函数。
这些函数描述了角度与三角比之间的关系。
3. 复合函数的定义复合函数是指将一个函数作为另一个函数的输入，通过先进行一次函数运算再进行另一次函数运算得到结果。
在数学中，复合函数用f(g(x))表示。
4. 二次函数与三角函数的复合二次函数与三角函数的复合可以形式化表示为f(g(x))，其中f(x)为二次函数，g(x)为三角函数。
例如，f(g(x)) = ax^2 + bx + c，g(x) =sin(x)。
二、二次函数与三角函数的相关问题解析1. 判断函数的奇偶性对于给定的函数f(x)，可以通过观察该函数的表达式来判断其奇偶性。
例如，二次函数f(x) = ax^2 + bx + c是一个偶函数，因为它的图像关于y轴对称。
而正弦函数sin(x)是一个奇函数，因为它的图像关于原点对称。
2. 求函数的最值和极值点对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，可以通过求导数的方法来求得其极值点。
而对于三角函数，由于其周期性，其最值需要进行特殊处理。
例如，正弦函数sin(x)在区间[0, 2π]上的最大值为1，最小值为-1。
3. 解方程与求交点在实际问题中，我们常常需要解二次方程或三角方程，以求得函数的交点或解析解。
例如，对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c和三角函数g(x) = sin(x)，我们可以通过联立方程f(x) = g(x)来求得二者的交点。
二次函数与三角函数的关系与计算
二次函数与三角函数的关系与计算在数学中，二次函数和三角函数是常见的数学函数类型。
二次函数是形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a ≠ 0，而三角函数是巧妙地描述角度与弧度之间关系的函数。
本文将探讨二次函数与三角函数之间的关系，并介绍它们的计算方法。
二次函数与三角函数之间的关系可以通过图像来理解。
首先，我们来观察二次函数的图像。
对于一般的二次函数y = ax^2 + bx + c来说，它的图像是一个抛物线。
抛物线的开口方向（向上还是向下）取决于a的正负。
当a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。
b和c则决定了抛物线的位置和形状。
接下来，我们来看三角函数的图像。
常见的三角函数有正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)和正切函数tan(x)等。
这些函数的图像是周期性的，其周期为2π（或360°）。
在图像上，正弦函数和余弦函数的波形是连续的曲线，而正切函数则具有无穷多个趋近于无穷大的垂直渐近线。
关于二次函数和三角函数之间的关系，我们可以发现一些有趣的现象。
首先，我们可以通过将变量x替换为角度θ来将二次函数与三角函数联系起来。
例如，如果我们将x替换为θ，并选择合适的常数a、b、c，那么二次函数y = ax^2 + bx + c可以被转化为三角函数的表达式，如y = a sin^2(θ) + b sin(θ) + c。
此外，二次函数和三角函数之间还存在一些近似关系。
例如，当抛物线的曲率比较缓和时，它的形状可能与正弦函数或余弦函数的图像相似。
而当抛物线的曲率比较陡峭时，它的形状可能与正切函数的图像相似。
在计算二次函数和三角函数时，我们通常需要借助数学工具和公式。
对于二次函数，我们可以使用求根公式来求解其零点，从而确定函数的交点。
对于三角函数，我们可以使用特定的数学公式来计算其值，如正弦函数和余弦函数的和差角公式、倍角公式，以及正切函数的倒数公式等。
二次函数与三角函数的像比较
二次函数与三角函数的像比较在高中数学学习中，我们都会遇到二次函数和三角函数这两个重要的函数概念。
二次函数和三角函数在数学中有着广泛的应用，而且它们的图像特点也有着显著的不同。
本文将比较二次函数和三角函数在图像上的不同特点，并分析它们在实际问题中的应用。
一、二次函数的图像特点二次函数的一般式可以表示为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为任意常数且a不等于零。
二次函数的图像是一条抛物线，其开口的方向由a的正负决定。
当a大于零时，抛物线开口向上；当a小于零时，抛物线开口向下。
二次函数的图像在平面直角坐标系中具有以下特点：1. 首先，二次函数的图像关于过顶点的线(x = -b/2a)对称。
这是因为二次函数的对称轴就是过顶点的直线。
2. 其次，当二次函数的a大于零时，顶点是抛物线的最低点；当a 小于零时，顶点是抛物线的最高点。
3. 此外，当二次函数的a的绝对值越大时，抛物线越扁平；当a的绝对值越小时，抛物线越陡峭。
二、三角函数的图像特点三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等，它们的图像是曲线而不是抛物线。
在本文中，我们以正弦函数为例进行分析。
正弦函数的一般式可以表示为y = A*sin(Bx+C)+D，其中A、B、C、D为任意常数。
正弦函数的图像是一条连续的波浪线，具有以下特点：1. 首先，正弦函数的图像是周期性的，即在一定的区间内重复出现。
周期T等于2π/B，B为正弦函数中的参数。
2. 其次，正弦函数的图像关于x轴对称。
这意味着正弦函数在x轴上下方的取值是相等的。
3. 此外，正弦函数的振幅A决定了曲线的最大值和最小值。
当A大于1时，曲线会上下波动的幅度增大；当A小于1时，曲线的波动幅度减小。
4. 最后，C参数则表示正弦函数的水平偏移，D参数表示正弦函数的垂直偏移。
三、二次函数和三角函数的应用比较二次函数和三角函数在实际问题中有着丰富的应用，但是它们的应用领域有所不同。
二次函数的应用领域包括：物体的抛体运动、旅行时间最短问题、经济学中的成本和收益等。
二次函数与三角函数的复合
二次函数与三角函数的复合在数学学科中，二次函数和三角函数都是非常重要的概念。
二次函数可以描述抛物线的形状和性质，而三角函数则用来研究角度和周期性现象。
本文将探讨二次函数与三角函数的复合，即将二次函数和三角函数相互组合运用。
一、二次函数的基本形式首先，我们来回顾一下二次函数的基本形式：$$f(x) = ax^2 + bx + c$$其中，$a$、$b$和$c$为常数，且$a \neq 0$。
这样的函数图像是一个抛物线，开口的方向由二次系数$a$的正负决定。
二、三角函数的基本形式接下来，我们来了解一下三角函数的基本形式。
常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。
以正弦函数为例，其基本形式为：$$y = A\sin{Bx + C}$$其中，$A$、$B$和$C$为常数。
正弦函数的图像呈现出周期性变化，周期为$2\pi/B$，振幅为$A$。
三、二次函数与正弦函数的复合现在我们考虑将二次函数与正弦函数进行复合运算。
我们可以将正弦函数的自变量$Bx + C$替换为二次函数$ax^2 + bx + c$，得到复合函数的形式：$$f(x) = A\sin{(ax^2 + bx + c)}$$这样的复合函数图像会在抛物线上进行周期性振动。
具体来说，当二次函数的抛物线开口向上时，正弦函数的振动将在抛物线上方进行；当抛物线开口向下时，正弦函数的振动将在抛物线下方进行。
四、二次函数与余弦函数的复合同样地，我们也可以将二次函数与余弦函数进行复合运算。
将余弦函数的自变量$Bx + C$替换为二次函数$ax^2 + bx + c$，得到复合函数的形式：$$f(x) = A\cos{(ax^2 + bx + c)}$$这样的复合函数图像同样会在抛物线上进行周期性变化。
但与二次函数与正弦函数的复合不同的是，余弦函数的振动相位与抛物线的开口方向相关。
具体来说，当抛物线开口向上时，余弦函数的振动相位会向右移动；当抛物线开口向下时，余弦函数的振动相位会向左移动。
二次函数背景下三角形面积最值问题的几种解法
数学篇纵观近年来各地中考数学试题，一类以二次函数为载体，探讨图形面积的最值问题频频出现.这类试题整合了代数和几何的部分重要知识，并融合了许多数学方法，难度颇高.如何根据题目提供的信息，依据图形的变化特征，抓住解答问题的关键，从而化难为易，正确解题呢？对此，笔者介绍四种常用方法，希望能给同学们攻破难题带来帮助.一、割补法在平面直角坐标系中，当三角形任意一边均不在坐标轴上，或者不与坐标轴平行时，一般采用割补法求解.割补法分为两部分，割是指将图形分解成几部分分别求解；补是指将所求图形填上一部分，然后用补后的图形面积减去所补部分的面积.两种方法的实质都是将二次函数中图形面积的最值问题通过“转化”思想，化为“线段（和）”最值问题，间接地求出图形面积的最值.例1如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝x 2+2x -3交x 轴于点A ，B ，在y 轴上有一点E （0，1），连接AE ．（1）求直线AE 的解析式；（2）若点D 为抛物线在x 轴负半轴下方的一个动点，求△ADE面积的最大值．图1解：（1）∵y =x 2+2x -3=(x +3)(x -1)，∴当y =0时，x 1=-3，x 2=1，∴点A 的坐标为（-3，0），设直线AE 的解析式为y =kx +b ，∵过点A （-3，0），E （0，1），∴ìíî-3k +b =0,b =1,解得：ìíîïïk =13,b =1,∴直线AE 的解析式为y =13x +1；（2）如图1，过点D 作DG ⊥x 轴于点G ，延长DG 交AE 于点F ，设D (m ,m 2+2m -3)，则F (m ,13m +1)，∴DF =-m 2-2m +3+13m +1=-m 2-53m +4，∴S △ADE =S △ADF +S △DEF=12×DF ×AG +12DF ×OG =12×3×DF =32(-m 2-53m +4)=-32(m +56)2+16924，∴当m =-56时，△ADE 的面积取得最大值为16924．二、铅垂法如图2，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a )，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高”(h )．我们可以得出一种计算三角形面积的新方法：即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.这种方法我们称之为铅垂法.求二次函数中三角形面积的最值，往往可以转化为求铅垂高的最值，当铅垂高取得最大值时，三角形的面积最大.二次函数背景下三角形面积最值问题的几种解法四川绵阳陈霖数苑纵横23数学篇例2已知：如图3，抛物线y＝ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（-2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？图3解：（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（-2，0），∴设抛物线解析式为y=a(x-6)(x+2)，将点A（0，6）代入，得：-12a=6，解得：a=-12，所以抛物线的解析式为y=-12(x-6)(x+2)=-12x2+2x+6；（2）如图3，过点P作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G，设直线AB解析式为y=kx+b，将点A（0，6）、B（6，0）代入，得：ìíîb=6,6k+b=0,解得：ìíîk=-1,b=6,则直线AB的解析式为y=-x+6，设P(t,-12t2+2t+6)，其中0＜t＜6，则N(t,-t+6)，所以PN=PM-MN=-12t2+2t+6-(-t+6)=-12t2+3t，所以S△PAB=S△PAN+S△PBN=12PN⋅AG+12PN⋅BM=12PN(AG+BM)=12PN⋅OB=12×(-12t2+3t)×6=-32(t-3)2+272，所以当t=3，P位于（3，152）时，△PAB三、切线法切线法体现了数学中最为常见的数形结合思想，将三角形的一边作为三角形的底，只要求出高的最大值就可以求出面积的最值．将底边所在的直线平移，与抛物线只有一个交点，即相切时，两直线的距离即高的长度最大，然后将直线与抛物线的解析式联立方程组，求出切点的坐标，此时不用求出三角形面积的解析式就可直接运用三角形的面积公式求出最值．例3如图4，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x-4与x轴，y轴分别交于点A和点B.抛物线y=ax2+bx+c经过A，B两点，且对称轴为直线x=-1，抛物线与x轴的另一交点为点C.（1）求抛物线的函数表达式；（2）设点E是抛物线上一动点，且点E在直线AB下方.当△ABE的面积最大时，求点E的坐标，及△ABE面积的最大值S.图4解：（1）在y=-x-4中分别令x=0，y=0，可得点A（-4，0），B（0，-4），根据A，B坐标及对称轴为直线x=-1，可得方程组ìíîïïïï-b2a=-1,16a-4b+c=0,c=-4,解方程组可得：ìíîïïïïa=12,b=1,c=-4,∴抛物线的函数表达式为y=12x2+x-4；（2）设点E的坐标为(m，12m2数苑纵横数学篇上且距AB 最远，此时E 点所在直线与AB 平行，且与抛物线相切，只有一个交点，设点E 所在直线为l ：y =-x +b ，联立得方程组：ìíîïïy =-x +b ,y =12x 2+x -4,消去y ，得：12x 2+2x -4-b ＝0，据题意得Δ=22-4×12(-4-b )=0，解得b =-6，∴直线l 的解析式为y =-x -6，联立方程，得ìíîïïy =-x -6,y =12x 2+x -4,解得：ìíîx =-2,y =-4,∴点E (-2,-4)，过点E 作y 轴的平行线交直线AB 于H ，此时点N （-2，-2），EN =-2-（-4）=2，∴S △ABE =12EN ×AO =12×2×4=4，△ABE 面积的最大值为4.四、三角函数法对于三角形问题，三角函数的引入可以为求线段长度提供新的解题思路.在直角三角形中，只需要知道一边的长度和除直角外任意一个角的度数，就可以用三角函数式表示出其余的边长或高.然后将三角函数式带入三角形面积公式，求出三角形面积的解析式，利用二次函数的性质即可求得面积最值.例4如图5，已知抛物线y =-x 2+bx +c 经过点A （-1，0），B （3，0）两点，且与y 轴交于点C .（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线交y 轴于点C ，在抛物线上的第一象限上是否存在一点P ，使△PAC 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标及△PAC 面积的最大值；若不存在，请说明理由.图5解：（1）把A （-1，0），B （3，0）代入y =-x 2+bx +c ，可得，{-1+b +c =0，-9-3b +c =0，解得{b =-2，c =3，∴抛物线的解析式为：y =-x 2-2x +3.（2）如图5，作PE ⊥x 轴于点E ，交AC 于点F ，作PM ⊥AC 于点M .设直线AC 的解析式为y =mx +n ，把B （-3，0）、C （0，3），代入得{-3m +n =0，n =3，解得{m =1，n =3，故直线BC 的解析式为y =x +3.设点P 的坐标为（x ，-x 2-2x +3）（-3＜x ＜0），则点F 的坐标为（x ，x +3）.由A 、C 坐标可知，AC =32，S ΔPAC =12AC ∙PM=12×32PF ∙sin ∠PFM =]()-x 2-2x +3-()x +3∙sin ∠ACO =32()-x 2-3x =-32æèöøx +322+278,当x =-32时，-x 2-2x +3=154，即P (-32,154).所以存在一点P ，使△PAC 的面积最大，最大值为278，P 点坐标为(-32,154).通过对以上四种方法的分析介绍，相信同学们对二次函数背景下三角形面积的最值问题的解法有了一定的了解.同学们只要掌握好了这四种方法，在二次函数的综合题中，再出现求图形面积的最值问题，就能轻松应对了.数苑纵横25。
三角函数与二次函数完美结合-课件
•
因
sin+cos =t→（sin+cos ）2=t2→sincos=
t2 1 2
•
(1≤ t ≤ 2 )
• 归纳：这里运用_______法，将sin，cos 转化用 t 的代数式表示
• （3）当 t 为何值时，矩形面积有最大值？并求出S的最大值。
D
RC
T
A
Q P
SB
• 参答：由S=PQ×PR=8100sin cos -9000（sin +cos ）+10000
运筹帷幄 决胜千里
•
有一边长为100m的正方形ABCD的地皮，其中扇形ATS是小山
坡，其余是平地，点T,S分别在AD,AB上，动点P在TS弧上运动，一
开发商想在正方形ABCD的地皮上建一矩形停车场PQCR，要求扇形
ATS的半径AT=AS=90m，点Q,R分别在BC,CD上，且 PAB= 若
矩形PQCR的面积为Sm2,
P
Q
SB
• (1) S=PQ PR=(100-90cos)(100-90sin )
•
=8100sin cos -9000(sin+cos )+10000
•
（0≤ ≤90o）
•
• 归纳：在这里，利用锐角三角函数的概念列出S与 的关系式。
•
DRCTA NhomakorabeaP
Q
SB
（2）若sin+cos= t ，则sin cos=___________
• （1）S=______________(用 的三角函数表示）
• （2）若设sin+cos =t,(1≤ t ≤ 2 ) • 则sin cos =______(用含 t 的代数式表示）
二次函数与三角函数的关系
二次函数与三角函数的关系二次函数和三角函数在数学中都是非常重要的概念，它们在许多数学问题和实际应用中起着重要的作用。
本文将探讨二次函数与三角函数之间的关系，并分析它们在数学和物理中的应用。
一、二次函数的定义和性质二次函数是一个具有形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c是常数，且a ≠ 0。
二次函数的图像通常是一个抛物线，它的顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))。
二次函数的性质包括：1. 对称性：二次函数关于抛物线的顶点具有轴对称性，即f(x) = f(-x)。
2. 开口方向：a的正负决定了二次函数的开口方向，当a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。
3. 零点和判别式：二次函数的零点是方程ax^2 + bx + c = 0的解，判别式b^2 - 4ac可以确定二次函数的零点情况。
二、三角函数的定义和性质三角函数包括正弦函数(sin)，余弦函数(cos)，正切函数(tan)等。
它们是以角度或弧度作为自变量的函数。
三角函数的定义和性质如下：1. 正弦函数(sin)：在直角三角形中，正弦函数表示的是对边与斜边的比值，即sinθ = opp osite/hypotenuse。
2. 余弦函数(cos)：在直角三角形中，余弦函数表示的是邻边与斜边的比值，即cosθ = adjacent/hypotenuse。
3. 正切函数(tan)：在直角三角形中，正切函数表示的是对边与邻边的比值，即tanθ = opposite/adjacent。
4. 周期性：三角函数都具有周期性，其中正弦函数和余弦函数的周期是2π，正切函数的周期是π。
三、二次函数和三角函数之间的关系1. 正弦函数与二次函数的关系：正弦函数的图像可以用二次函数来逼近，具体地，可以使用形式为f(x) = a*sin(bx + c) + d的二次函数来逼近正弦函数的周期部分。
其中，a决定了振幅，b影响了周期，c表示水平方向的平移，d表示垂直方向的平移。
二次函数与三角函数的关系与应用
二次函数与三角函数的关系与应用二次函数与三角函数是数学中常见的函数类型，它们在数学和现实世界中有着重要的应用。
本文将介绍二次函数与三角函数的关系，以及它们的具体应用。
一、二次函数与三角函数的关系1. 二次函数与正弦函数的关系二次函数与正弦函数之间存在一种密切的关系，即正弦函数可以通过二次函数进行逼近。
当我们用泰勒级数展开正弦函数时，可以得到一个以正弦函数为中心的无穷多项式，而这个无穷多项式可以看作是二次函数的形式。
具体地，我们可以用以下公式表示这种关系：y = a*sin(bx+c) + d (1)其中，a、b、c和d是常数，决定了正弦函数的振幅、周期、相位和平移。
当b≈0时，正弦函数可近似为二次函数。
2. 二次函数与余弦函数的关系二次函数与余弦函数之间也存在密切的关系，即余弦函数也可以通过二次函数进行逼近。
余弦函数同样可以通过泰勒级数展开得到以余弦函数为中心的无穷多项式，而这个无穷多项式同样可以看作是二次函数的形式。
具体地，我们可以用以下公式表示这种关系：y = a*cos(bx+c) + d (2)同样地，a、b、c和d是常数，决定了余弦函数的振幅、周期、相位和平移。
二、二次函数与三角函数的应用1. 振动问题二次函数与三角函数在描述振动问题中有着广泛的应用。
例如，我们可以通过二次函数或正弦函数来描述弹簧的振动，以及钟摆的周期等。
这些问题可以转化为数学模型，通过实际测量的数据来确定相关参数，从而解决实际问题。
2. 物体的运动轨迹二次函数与三角函数也可以用来描述物体的运动轨迹。
例如，抛物线的运动可以用二次函数来表示，而圆的运动可以用余弦函数和正弦函数来表示。
这些描述可以帮助我们预测物体在空间中的运动轨迹，从而实现精确的定位和跟踪。
3. 电路中的交流信号在电路工程中，交流电信号可以用正弦函数来描述。
而正弦函数可以通过二次函数进行逼近，因此二次函数在电路分析和设计中有着重要应用。
我们可以利用二次函数来分析电路中的电压、电流以及阻抗等特性，从而实现对电路的优化和改进。
初中数学知识归纳二次函数与三角函数的像和性质
初中数学知识归纳二次函数与三角函数的像和性质在初中数学中，我们学习了很多数学知识，其中包括二次函数与三角函数。
本文将对二次函数与三角函数的像和性质进行归纳整理，并介绍它们在数学中的应用。
一、二次函数的像和性质二次函数是一种形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b和c是实数且 a ≠ 0。
二次函数的图象是一条抛物线，其像和性质有以下几点：1. 抛物线的开口方向当a大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。
2. 抛物线的顶点抛物线的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，其中-b/2a为抛物线的对称轴的横坐标。
3. 对称轴抛物线的对称轴是一条垂直于x轴的直线，其方程为x = -b/2a。
4. 零点二次函数的零点即为方程ax^2 + bx + c = 0的解，可以通过求根公式或配方法求得。
5. 函数值的正负性当a大于0时，抛物线在顶点两侧函数值为正；当a小于0时，抛物线在顶点两侧函数值为负。
6. 函数的增减性当a大于0时，函数在对称轴的左侧递增，在对称轴的右侧递减；当a小于0时，函数在对称轴的左侧递减，在对称轴的右侧递增。
二、三角函数的像和性质三角函数是描述角度和关联边之间的关系的函数，常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。
以下是它们的像和性质：1. 正弦函数的定义域和值域正弦函数sin(x)的定义域是整个实数集，值域在[-1, 1]之间。
2. 正弦函数的图象正弦函数的图象是一条连续的曲线，周期为2π。
3. 余弦函数的定义域和值域余弦函数cos(x)的定义域是整个实数集，值域在[-1, 1]之间。
4. 余弦函数的图象余弦函数的图象也是一条连续的曲线，周期为2π，与正弦函数的图象相位差为π/2。
5. 正切函数的定义域和值域正切函数tan(x)的定义域是除去所有使得cos(x)等于0的点，其余全体实数，值域是整个实数集。
6. 正切函数的图象正切函数的图象也是一条连续的曲线，其周期为π，每个周期内都有一个渐近线。
三角函数与二次函数的复合函数
三角函数与二次函数的复合函数函数是数学中非常重要的概念，而复合函数被广泛应用在各个领域中。
在本文中，我将探讨三角函数与二次函数的复合函数。
首先，我将介绍三角函数和二次函数的基本知识，然后讨论它们的复合函数在实际问题中的应用。
一、三角函数的基本知识三角函数是以角的弧度或度数作为自变量，输出对应角的正弦、余弦、正切等值。
其中最常用的三角函数包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）等。
这些函数在数学和物理领域中起到了至关重要的作用。
二、二次函数的基本知识二次函数是形如 y=ax²+bx+c 的函数，其中 a、b、c 分别为常数。
它的图像通常为一个开口朝上或朝下的抛物线。
二次函数在代数学中有广泛的应用，特别是在建模和求解实际问题时。
三、三角函数与二次函数的复合函数三角函数与二次函数的复合函数实际上就是将三角函数作为二次函数的自变量，从而构成一个新的函数。
例如，可以将 sin(x) 作为二次函数的自变量，得到 g(x)=sin(ax²+bx+c)。
这种形式的函数常常出现在物理学和工程学中的振动问题中。
四、复合函数的应用举例复合函数在实际问题中有着广泛的应用，下面我将通过几个例子来说明：例一：电子振荡器电子振荡器是一种通过复合函数来产生电信号的设备。
其中，正弦函数作为二次函数的自变量，通过改变振幅、频率和相位等参数，可以得到不同形态的电信号。
例二：弹簧振动考虑一个质点在弹簧上的弹簧振动问题。
弹簧的位移可以用二次函数来描述，而质点的运动轨迹可以由三角函数来表示。
将二次函数和三角函数组合在一起，可以得到一个描述弹簧振动的复合函数。
例三：光的干涉在光学中，光的干涉现象常常采用复合函数来描述。
例如，当光通过两个狭缝时，可以通过将二次函数和正弦函数组合来模拟光的强度分布。
五、总结三角函数与二次函数的复合函数在数学和应用领域中发挥着重要的作用。
本文介绍了三角函数和二次函数的基本知识，并探讨了复合函数在实际问题中的应用。
利用二次函数求三角函数的最值
1 利用二次函数求三角函数的最值换元法是求函数最值时常用的一种方法，它体现了化归转化数学思想的应用，可将陌生问题转化为熟悉问题来解决. 本文我们结合典型的例题来体会一下通过换元法，利用二次函数求解三角函数的最值问题. 例1. 设2[,]63x ππ∈-，求函数24sin 12sin 1y x x =--的最值.分析：可将sin x 可作一个整体，将给定的函数看作是关于sin x 的二次函数.解：令sin t x =，由于2[,]63x ππ∈-，故1[,1]2t ∈-； 22341214()102y t t t ∴=--=--，因1[,1]2t ∈-时函数单调递减，故当12t =-，即6x π=-时，max 6y =；当1t =，即2x π=时，min 9y =-.点评：形如2sin sin y a x b x c=++的函数，令sin t x =，这样通过换元就转化为二次函数2y at bt c =++的最值问题. 但应注意换元前后，变量的取值范围要保持不变，因此要根据给定的x 的取值范围，求出t 的范围；另外2cos cos y a x b c =++，2sin cos y a x b x c =++等形式函数的最值都可用这种方法.例2. 求函数(43sin )(43cos )y x x =--的最小值. 【注：若x R ∈，则(sin cos )[x x +∈】 分析：在函数(sin cos )sin cos y a x x b x x c =+++中，由于2(sin cos )12sin cos x x x x +=+，因此若令sin cos ,[x x t t +=∈，则21s i n c o s 2t x x -=，这样函数就变为212t y at b c -=+⋅+的形式，因此此类函数也可通过换元转化为二次函数的最值问题.解：1612(sin cos )9sin cos ,y x x x x =-++令sin cos t x x =+，则[t ∈且21sin cos ,2t x x -= 221116129(92423)22t y t t t -∴=-+⨯=-+，故当4[3t =∈时，min 72y =. 点评：对于形如(sin cos )sin cos y a x x b x x c =-++的函数也同样可利用此种方法进行求解.。
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三角函数与二次函数的运用1．a 、b 、c 是△ABC 的∠A 、∠B 、∠C 的对边，且a ：b ：c=1cosB 的值（ ）A2．拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB 的坡比是1BC=10m ，则坡面AB 的长度是（ ）A ．15mB ．20m3．如果把Rt ABC ∆的三边长度都扩大2倍，那么锐角A 的四个三角比的值（ ） A. 都扩大到原来的2倍； B. 都缩小到原来的12； C. 都没有变化； D. 都不能确定；4．如图，在某监测点B 处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A 处，若渔船沿北偏西75°方向以40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C 处，在C 处观测到B 在C 的北偏东60°方向上，则B ，C 之间的距离为（ ）A. 20海里． D.30海里5．一个小球被抛出后，如果距离地面的高度h （米）和运行时间t （秒）的函数解析式为25101h t t =-++，那么小球到达最高点时距离地面的高度是（ ）A. 1米；B. 3米；C. 5米；D. 6米；6．在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ， 7．为解决停车难的问题，在如图一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5米、宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出________________个这样的停车位．8．如图，一渔船由西往东航行，在A 点测得海岛C 位于北偏东60°的方向，前进20海里到达B 点，此时，测得海岛C 位于北偏东30°的方向，则海岛C 到航线AB 的距离CD 等于 海里．9．如图，在ABC ∆中，90C ︒∠=，，D 为AC 上一点，45BDC ︒∠=，6=DC ，求AD 的长．10．如图，一台起重机，他的机身高AC 为21m ，吊杆AB 长为40m ，吊杆与水平线的夹角∠BAD 可从30°升到80°．求这台起重机工作时，吊杆端点B 离地面CE 的最大高度和离机身AC 的最大水平距离（结果精确到0.1m ）． （参考数据：sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5.67，3≈1.73）11．如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD ，小明在山坡的坡脚A 处测得广告牌底部D 的仰角为60°．沿坡面AB 向上走到B 处测得广告牌顶部C 的仰角为45°，已知山坡ABAB=10米，AE=15米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1(1)、求点B 距水平面AE 的高度BH ；12．小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB ，AB=80米．为测量这座居民楼与大厦之间的距离，小明从自己家的窗户C 处测得大厦顶部A 的仰角为37°，大厦底部B 的俯角为48°．求小明家所在居民楼与大厦的距离CD 的长度．（结．果保留整数．．．．．）13．（本小题满分6分）如图，位于A 处的海上救援中心获悉：在其北偏东68°方向的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．该中心立即把消息告知在其北偏东30°且距离A 点20海里的C 处救生船，此时，遇险船在救生船的正东方向B 处，现救生船沿着航线CB 前往B 处救援，求救生船到达B 处行驶的距离？（参考数据：sin68°≈0.90，cos68°≈0.36，tan68°≈2.501.7）14．如图，某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼，•该居民楼的一楼是高6米的小区超市，超市以上是居民住房，在该楼的前面24米处要盖一栋高20米的新楼．当冬季正午的阳光与水平线的夹角为︒32时．（1）问超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么？ （2）若要使超市采光不受影响，两楼应相距多少米？ （参考数据：sin ︒32≈cos ︒32≈）15．一个半径为20海里的暗礁群中央P处建有一个灯塔，一艘货轮由东向西航行，第一次在A处观测此灯塔在北偏西60°方向，航行了20海里后到B，灯塔在北偏西30°方向，如图．问货轮沿原方向航行有无危险？16．海上有一座灯塔P，一客轮以60海里／时的速度由西向东航行，行至A处时测得灯塔P在北偏东60°方向，继续航行40分钟后，到B处又测得灯塔P在在北偏东60°方向，（1）客轮在B距灯塔P多少海里？（2）若在灯塔周围30海里有暗礁，客轮继续航行是否有触礁危险？17．如图：由于过渡采伐森林和破坏植被，使我国某些地区多次受到沙尘暴的侵袭．近来A市气象局测得沙尘暴中心在A市正东方向400km的B处，正在向西北方向移动，距沙尘暴中心300km的范围内将受到影响，问A市是否会受到这次沙尘暴的影响？18．一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，求海警船到达事故船C处所需的大约时间．（温馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）19．如图，小山岗的斜坡AC的坡度是tanα=，在与山脚C距离200米的D处，测得山顶A的仰角为26.6°，求小山岗的高AB（结果取整数：参考数据：sin26.6°=0.45，cos26.6°=0.89，tan26.6°=0.50）．20．如图，某校教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，教学楼在建筑物的墙上留下高2m 的影子CE；而当光线与地面的夹角是45°时，教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有13m的距离（B、F、C在一条直线上）．求教学楼AB的高度．（参考数据：sin22cos22tan2221．如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼的顶部B的仰角为45°，看这栋高楼底的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离AD 为20m，求这栋楼的高度．（结果保留根号）22．如图，小敏同学想测量一棵大树的高度．她站在B处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4m到点C，测得仰角为60°，已知小敏同学身高（AB）为1.6m，求这棵树的高度（DF）。
（结果精确到0.1m，≈1.73）．23．如图，河流的两岸PQ、MN互相平行，河岸PQ上有一排小树，已知相邻两树之间的距离CD=50米，某人在河岸MN的A处测得∠DAN=35°，然后沿河岸走了120米到达B处，测得∠CBN=70°．求河流的宽度CE（结果保留两个有效数字）．（参考数据：sin35°≈0．57，cos35°≈0．82，tan35°≈0．70，sin70°≈0．94，cos70°≈0．34，tan70°≈2．75）24．为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：y=﹣10x+500．（1）李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？（2）设李明获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李明想要每月获得的利润不低于3000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？25．在△ABC中，边BC的长与BC边上的高线长之和为20.（1）写出△ABC的面积y与BC的长x之间的函数关系式。
并写出自变量X的取值范围。
（2）当BC的长为多少时，△ABC的面积最大？最大面积是多少？26．如图，有长为30m 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m ），围成中间隔有一道篱笆（平行于AB ）的矩形花圃．设花圃的一边AB 为xm ，面积为ym 2． （1）求y 与x 的函数关系式；（2）如果要围成面积为63m 2的花圃，AB 的长是多少？（3）能围成比63m 2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积；如果不能，请说明理由．27．如图，用长为20米的篱笆恰好围成一个扇形花坛，且扇形花坛的圆心角小于180°，设扇形花坛的半径为r 米，面积为S 平方米．（注：π的近似值取3）（1）求出S 与r的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）当半径r 为何值时，扇形花坛的面积最大，并求面积的最大值．28．如图，利用一面墙（墙的长度为20m ），用34m 长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道1m 宽的门，设AB 的长为x m ．（1）若两个鸡场总面积为96m 2，求x ；（2）若两个鸡场的面积和为S m 2，写出S 关于x 的关系式；并求当x 为何值时，两个鸡场面积和最大，最大值是多少？r A B29．如图，在Rt △ABC 中， ∠B=90°，AB=3cm ，BC=4cm ，点P 从点A 出发, 以1cm/s 的速度沿AB 运动；同时，点Q 从点B 出发，以2cm/s 的速度沿BC 运动，当点Q 到达点C 时，P 、Q 两点同时停止运动． （1）试写出△PBQ 的面积S （cm2）与动点运动时间t （s ）之间的函数表达式；（2）运动时间t 为何值时，△PBQ 的面积等于2cm 2？（3）运动时间t 为何值时，△PBQ 的面积S 最大？最大值是多少？30．某种商品每天的销售利润y （元）与销售单价x （元）之间满足关系：275y ax bx =+-．其图象如图． （1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ （2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？参考答案 1．B 【解析】试题分析：设a=x ，则，，因为222222223,3a b x x x c x +=+==，所以222a b c +=，所以∠C=90°，所以B ． 考点：1．勾股定理的逆定理；2．锐角三角函数．2．D 【解析】试题分析：因为迎水坡AB 的坡比是1坝高BC=10m ，所以由勾股定理可得m ，故选：D.考点：1．坡比；2.勾股定理. 3．C 【解析】 试题分析：根据锐角的三角比的定义可知，锐角A 的大小确定后，锐角A 的四个三角比的值与边长无关，固定不变，故选：C.考点：锐角的三角比. 4．C 【解析】试题分析：如图，根据题意易求△ABC 是等腰直角三角形，通过解该直角三角形来求BC 的长度． 如图，∵∠ABE=15°，∠DAB=∠ABE ， ∴∠DAB=15°，∴∠CAB=∠CAD+∠DAB=90°．又∵∠FCB=60°，∠CBE=∠FCB ，∠CBA+∠ABE=∠CBE ， ∴∠CBA=45°．∴在直角△ABC 中，sin ∠∴ 故选：C ．5．D 【解析】试题分析：因为2251015(1)6h t t t =-++=--+，所以小球到达最高点时距离地面的高度是6米，故选：D. 考点：二次函数的应用. 6【解析】试题分析：由勾股定理求出BC ，再由三角函数即可求出答案. 试题解析：在Rt △ABC 中，∴tan ∠考点：1.勾股定理；2.解直角三角形. 7．17. 【解析】米，米， BE=BC+CE≈5.04米，米， （56-5.04）÷3.1+1=50.96÷3.1+1≈16.4+1=17.4（个）． 故这个路段最多可以划出17个这样的停车位． 故答案为：17．考点：特殊角的三角函数值. 8．【解析】试题分析：根据方向角的定义及余角的性质求出∠CAD=30°，∠CBD=60°，再由三角形外角的性质得到∠CAD=30°=∠ACB ，根据等角对等边得出AB=BC=20，然后解Rt △BCD ，求出CD 即可． 试题解析：根据题意可知∠CAD=30°，∠CBD=60°，∴∠CAD=30°=∠ACB ， ∴AB=BC=20海里，在Rt △CBD 中，∠BDC=90°，∠DBC=60°，sin ∠∴sin60°∴CD=12×sin60°=20. 考点：解直角三角形的应用-方向角问题． 9【解析】试题分析：根据题意知△BCD 是等腰直角三角形，可求得BC 的长，再根据Rt △ACB到AB=15，然后根据勾股定理可求得AC 的长．试题解析：在BDC ∆中，090=∠C ，045=∠BDC ，6=DC考点：解直角三角形10．吊杆端点B 离地面CE 的最大高度约为60.2cm ，离机身AC 的最大水平距离约34.6cm ． 【解析】试题分析：当∠BAD ＝30°时，吊杆端点B 离机身AC 的水平距离最大； 当∠B ’AD ＝80°时，吊杆端点B ’离地面CE 的高度最大．试题解析：当∠BAD ＝30°时，吊杆端点B 离机身AC 的水平距离最大； 当∠B ’AD ＝80°时，吊杆端点B ’离地面CE 的高度最大． 作BF ⊥AD 于F ，B ´G ⊥CE 于G ，交AD 于F ’ ．在Rt△BAF中，cos∠BAF∴AF＝AB·cos∠BAF＝40×cos30°≈34.6（cm）．在Rt△B’AF’中，sin∠B´AF∴B’F’＝AB’·sin∠B’AF’＝40×sin80°≈39.2（cm）．∴B’G＝B’F +F’G≈39.2+21=60.2（cm）．答：吊杆端点B离地面CE的最大高度约为60.2cm，离机身AC的最大水平距离约34.6cm．考点：三角函数的应用.11．(1)、5；(2)、2.7米.【解析】试题分析：(1)、根据坡度求出∠BAH的度数，然后求出BH的长度；(2)、根据Rt△BGC和Rt△ADE的三角形函数分别求出CG和DE的长度，然后根据CD=CG+GE－DE进行求解.试题解析：(1)、过B作BG⊥DE于G，Rt△ABF中，i=tan∠∴∠BAH=30°，∴BH=AB=5；(2)、由(1)得：BH=5，AH=5，∴BG=AH+AE=5+15，Rt△BGC中，∠CBG=45°，∴CG=BG=5+15．Rt△ADE中，∠DAE=60°，AE=15，∴DE=AE=15．∴CD=CG+GE﹣DE=5+15+5﹣15=20﹣10≈2.7m．答：宣传牌CD高约2.7米．考点：三角函数的应用.12．43米．【解析】试题分析：利用所给角的三角函数用CD表示出AD、BD；根据AB=AD+BD=80米，即可求得居民楼与大厦的距离．试题解析：设CD = x米．在Rt△ACD在Rt△BCD∵AD＋BD = AB ，解得：x≈43．答：小明家所在居民楼与大厦的距离CD 大约是43米． 考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题． 13．32.5 【解析】试题分析：延长BC 交AN 于点D ，在Rt △ACD 中，根据条件可得AD≈17，在Rt △ABD 可得BD≈42.5，从而BC=BD ﹣CD≈42.5﹣10=32.5.试题解析：解：如图，延长BC 交AN 于点D ，则BC ⊥AN 于D ． 在Rt △ACD 中，∵∠ADC=90°，∠DAC=30°，∴，17． 2分 在Rt △ABD 中，∵∠ADB=90°，∠DAB=68°，∴tan68°分 ∴BD≈17×2.50=42.5，∴BC=BD ﹣CD≈42.5﹣10=32.5. 6分考点：解直角三角形的应用.14．(1)超市以上居民住房采光不受影响； （2）•若要使超市采光不受影响，两楼至少相距32米. 【解析】 试题分析：（1）利用三角函数算出阳光可能照到居民楼的什么高度，和6米进行比较．（2）超市不受影响，说明32°的阳光应照射到楼的底部，根据新楼的高度和32°的正切值即可计算．试题解析：（1）•超市以上居民住房采光不受影响，新楼在居民楼上的投影高约为︒⨯-32tan 2420 ≈5米, ∵5＜6∴超市以上居民住房采光不受影响（2）•考点：解直角三角形的应用．15．有危险．【解析】试题分析：过P作AB的垂线PQ，则直角△APQ和直角△BPQ有公共边PD，在两个直角三角形中，利用三角函数即可用PQ表示出AQ与BQ，根据AB=AQ﹣BQ即可列方程，从而求得PQ的长，与20海里比较即可确定货轮沿原方向航行有无危险．试题解析：过点P作直线AB的垂线，垂足是Q，设PQ=x海里，则20，∴P到AB的距离小于20海里．答：货轮沿原方向航行有危险．考点：解直角三角形的应用-方向角问题．16．（1）客轮在B距灯塔40海里．（2）客轮继续向东航行无触礁危险．【解析】试题分析：（1）作PH⊥AC于点H，根据等腰三角形的判定与性质，可得AB=BP，再根据路程=速度×时间即可求出客轮在B处距离灯塔P的长；（2）本题实际上是问，P到AB的距离即CD是否大于30，如果大于则无触礁危险，反之则有，根据三角函数可求PH的值，进行比较即可求解．试题解析：（1）作PH⊥AC于点H由题意可知∠PAB=30°，∠PBC=60°，∴∠PAB=∠APB=30°，∴AB=BP=60海里．∴客轮在B距灯塔40海里．（2）由题意可知∠BPH=30°，∵cos∠∴34.64∵34.64＞30∴客轮继续向东航行无触礁危险．考点：解直角三角形的应用-方向角问题．17．A市将受到这次沙尘暴的影响．【解析】试题分析：判断A市是否会受到这次沙尘暴的影响，只要判断点A到BD的距离与半径300米的关系，通过点A作BD的垂线．试题解析：过A作AC⊥BD于C，由题意得AB=400km，∠DBA=45°，所以AC=BC．在Rt△ABC中，设AC=BC=x．由勾股定理，得AC2+BC2=AB2，所以x2+x2=4002，所以8（km）．282．8km＜300km．所以A市将受到这次沙尘暴的影响．考点：1．点与圆的位置关系；2．勾股定理的应用．18．（小时）.【解析】试题分析：过点C作CD⊥AB交AB延长线于D，在Rt△ACD中，求出CD=AC=40海里，在Rt△CBD中，可求BC=≈=50（海里），然后可求出时间.试题解析：解：如图，过点C作CD⊥AB交AB延长线于D．在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，∠CAD=30°，AC=80海里，∴CD=AC=40海里．（4分）在Rt△CBD中，∵∠CDB=90°，∠CBD=90°﹣37°=53°，∴BC=≈=50（海里），（8分）∴海警船到大事故船C处所需的时间大约为：50÷40=（小时）．（10分）考点：解直角三角形的应用.19．300米．【解析】试题分析：首先在直角三角形ABC中根据坡角的正切值用AB表示出BC，然后在直角三角形DBA中用BA表示出BD，根据BD与BC之间的关系列出方程求解即可．试题解析：∵在直角三角形ABC∴∵在直角三角形ADB中，即：BD=2AB∵BD-BC=CD=200∴解得：AB=300米，答：小山岗的高度为300米．考点：1.解直角三角形的应用-仰角俯角问题；2.解直角三角形的应用-坡度坡角问题．20．12．【解析】试题分析：首先构造直角三角形△AEM，利用tan AB的高度．试题解析：过点E作EM⊥AB，垂足为M．设AB为x（m）．∵Rt△ABF中，∠AFB=45°，∴BF=AB=x，∴BC=BF+FC=x+13；∵在Rt△AEM中，∠AEM=22°，AM=AB﹣BM=AB﹣CE= x﹣2x=12．即教学楼的高为12m．考点：解直角三角形的应用．21．（m．【解析】试题分析：利用三角函数分别求出BD、CD即可求出BC.试题解析：在Rt△ABD中，∠BDA=90°，∠BAD=45°，∴ BD=AD=20．在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠CAD=60°，∴∴m）．答：这栋楼高为（m．考点：三角函数的应用.22．5.1m【解析】试题分析：根据∠A和∠DCE的度数得到AC=CD，根据直角△CDE的勾股定理求出DE的长度，然后计算DF的长度.试题解析：∴∠A=30°，∠DCE=60°∴∠ADC=30°,AC=DC=4∴∠CDE=30°≈5.1m考点：直角三角形的勾股定理.23．河流的宽是66米．【解析】试题分析：过点C作CF∥DA交AB于点F，易证四边形AFCD是平行四边形．再在直角△BEC中，利用三角函数求解．试题解析：过点C作CF∥DA交AB于点F．∵MN∥PQ，CF∥DA，∴四边形AFCD是平行四边形．∴AF=CD=50m，∠CFB=35°．∴FB=AB-AF=120-50=70m．根据三角形外角性质可知，∠CBN=∠CFB+∠BCF，∴∠BCF=70°-35°=35°=∠CFB，∴BC=BF=70m．在Rt△BEC中，∴CE=BC•sin70°≈70×0．94=65．8≈66m．答：河流的宽是66米．考点：解直角三角形的应用．24．（1）600元．（2）4000元．（3）500元．【解析】试题分析：（1）把x=20代入y=-10x+500求出销售的件数，然后求出政府承担的成本价与出厂价之间的差价；（2）由总利润=销售量•每件纯赚利润，得w=（x-10）（-10x+500），把函数转化成顶点坐标式，根据二次函数的性质求出最大利润；（3）令-10x2+600x-5000=3000，求出x的值，结合图象求出利润的范围，然后设设政府每个月为他承担的总差价为p元，根据一次函数的性质求出总差价的最小值．试题解析：（1）当x=20时，y=﹣10x+500=﹣10×20+500=300，300×（12﹣10）=300×2=600元，即政府这个月为他承担的总差价为600元．（2）依题意得，w=（x﹣10）（﹣10x+500）=﹣10x2+600x﹣5000=﹣10（x﹣30）2+4000∵a=﹣10＜0，∴当x=30时，w有最大值4000元．即当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000元．（3）由题意得：﹣10x2+600x﹣5000=3000，解得：x1=20，x2=40．∵a=﹣10＜0，抛物线开口向下，∴结合图象可知：当20≤x≤40时，w≥3000．又∵x≤25，∴当20≤x≤25时，w≥3000．设政府每个月为他承担的总差价为p元，∴p=（12﹣10）×（﹣10x+500）=﹣20x+1000．∵k=﹣20＜0．∴p随x的增大而减小，∴当x=25时，p有最小值500元．即销售单价定为25元时，政府每个月为他承担的总差价最少为500元．考点：二次函数的应用．【答案】（10＜x＜20）；【解析】试题解析：解：（1）当BC＝x时，AD＝20－BC＝20－x，所以y（2所以当BC的长度是10时，△ABC的面积最大，最大面积是50.（2）当BC的长度是10时，△ABC的面积最大，最大面积是50.考点：二次函数的应用点评：本题主要考查了二次函数的应用.解决本题的关键根据三角形的面积公式求出二次函数的解析式；然后再利用配方法把二次函数的解析式写成顶点坐标式，利用二次函数的顶点求出三角形的最大面积.26．见解析.【解析】试题分析：本题利用矩形面积公式建立函数关系式，A：利用函数关系式在已知函数值的情况下，求自变量的值，由于是实际问题，自变量的值也要受到限制．B：利用函数关系式求函数最大值．试题解析：（1）y=x（30-3x）,即y=—3x2+30x（2）当y=63时，-3x2+30x=63,解得：x1=3,x2=7当x=3时，30-3x=21>10（不合题意舍去） 当x=7时，30-3x=9<10,符合题意所以，当AB 的长为7m 时，花圃的面积为63（m 2）.（3）能.y=-3x 2+30x=-3（x-5） 2+75由题意：0<30-3x ≤10,x<10, 又当x>5时y 随x 的增大而减小所以当 考点：二次函数的应用. 27．（1）S=-r 2+10r ．其中4＜r ＜10．（2）5,25. 【解析】 试题分析：（1）设扇形的弧长为l 米．利用已知条件可求出l 和r 的关系，再根据扇形的面积公式计算即可得到S 与r 的函数关系式；（2）由（1）可知s 和r 为二次函数关系式，利用二次函数的性质求最值即可． 试题解析：（1）设扇形的弧长为l 米． 由题意可知，l+2r=20． ∴l=20-2r ．∴20-2r ）r=-r 2+10r ．其中4＜r ＜10． （2）∵S=-r 2+10r=-（r-5）2+25． ∴当r=5时，S 最大值=25．考点：1.二次函数的应用；2.弧长的计算；3.扇形面积的计算．28．（1）8；（2）2336S x x =-+，当6x =时，S 取最大值108．【解析】 试题分析：（1）根据题意可知AD 的长度等于BC 的长度，列出式子AD ﹣2+3x=34，即可得出用x 的代数式表示AD 的长，利用题目给出的面积，列出方程式求出x 的值；（2）把（1）中用代数式表示的面积整理为a （x ﹣h ）2+b 的形式可求得最大面积，亦可得出AB 的长． 试题解析：（1）由题意得：AD=BC ，∵两个鸡场是用34m 长的篱笆围成，∴AD ﹣2+3x=34，即AD=36﹣3x ，∵两个鸡场总面积为96m 2，∴列出方程式：(3432)96x x -+=，解得：4x =或8x =，当4x =时，AD=24＞20，不合题意，舍去； 当8x =时，AD=12＜20满足题意，∴8x =；（2）鸡场面积S=22(363)3363(6)108x x x x x -=-+=--+，当6x =时，S 取最大值108，此时AD=18＜20，符合题意，即AB=6时，S 最大=108． 考点：二次函数的应用．29．（1）S=-t 2+3t （0＜t ≤2）；（2）t 1=1,t 2=2；（3）当APQ 【解析】试题分析：（1）利用t 表示出BP 、BQ ，利用三角形的面积计算方法列出关于t 的函数关系式； （2）当S=2时，即可求出t 的值；（3）利用（1）中的函数探讨最大值问题即可． 试题解析：（1）AP=t ，BP=3-t,BQ=2t ，（2）由S=2得：-t +3t=2 解得：t 1=1,t 2=2故当t=1秒或2秒时，△PBQ 的面积等于2cm 2；（3）由S=-t 2+3t=-（2当APQ 考点：二次函数的应用． 30．（1）销售单价为10元时，最大利润为25元； （2）销售单价不少于7元且不超过13元． 【解析】 试题分析：（1）根据待定系数法，可得二次函数解析式，根据顶点坐标，可得答案； （2）根据函数值大于或等于16，可得不等式的解集，可得答案．试题解析：（1）275y ax bx =+-图象过点（5，0）、（7，16），∴2557504977516a b a b +-=⎧⎨+-=⎩，解得120a b =-⎧⎨=⎩，22075y x x =-+-的顶点坐标是（10，25），当x=10时，y 最大=25， 答：销售单价为10元时，该种商品每天销售利润最大，最大利润为25元；（2）∵函数22075y x x =-+-图象的对称轴为直线x=10，可知点（7，16）关于对称轴的对称点是（13，16），又∵函数22075y x x =-+-图象开口向下，∴当7≤x≤13时，y≥16． 答：销售单价不少于7元且不超过13元时，该商品每天销售利润不低于16元． 考点：1．二次函数的应用；2．销售问题．。