高中数学《三角函数的图像和性质》教案

基础梳理

1．“五点法”描图

(1) y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为

(3

(0,0)， ( ,1) ，(π，0)， 2 , 1)

，(2π，0)．

2

(2) y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为

(0,1)， 0) ，(π，－1)， (3

0) ，(2π，1)．

( , , 2 2 2．三角函数的图象和性质

[－1,1] [－1,1] R

(k+0)k ∈Z

,

2(

k

0)k ∈Z

,

2

单调增区间

[2k-2k+k ∈Z；

, ]

2 2

单调减区间

[2k+2k+3

k ∈Z

, ] 2 2

单调增区间

(k-k+k ∈Z

, )

2 2

) )

1

. 函数 y = cos(x + ，x ∈R (

)．

双基自测

3

A ．是奇函数

B ．是偶函数

C. 既不是奇函数也不是偶函数

D ．既是奇函数又是偶函数

y = - x )

2. 函数 tan(

4 的定义域为( )．

{x | x ≠ k - A ． 4

∈ Z } B ．{x | x ≠ 2k -

, k ∈ Z }

4

C ．{x | x ≠ k + 4 ∈ Z }

D ．{x | x ≠ 2k + 4 ∈ Z }

3. y = sin(x -

的图象的一个对称中心是( )． 4

A ．(－π，0)

B ． (- 3

C ． (3

4

D.

,0) 2 ( ,0) 2

4. 函数 f (x )＝cos (2x +

的最小正周期为 ．

) 6

考向一 三角函数的周期

【例 1】►求下列函数的周期：

y = - x )

(1) sin( 3 2 ；(2)

y = tan(3x - ) 6

考向二 三角函数的定义域与值域

(1) 求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．

(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：

①形如 y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设 sin x ＝t ，化为关于 t 的二次函数求值域(最值)； ②形如 y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设 t ＝sin x ±cos x ，化为关于 t 的二次函数求值域(最值)．

, k , k , k ,0)

)

) 【例 2】►(1)求函数 y ＝lg sin 2x ＋ 9－x 2的定义域．

(2)求函数 y ＝cos 2x ＋sin x (| x |≤

的最大值与最小值． 4

tan(x -

sin x

【训练 2】 (1)求函数 y ＝

sin x －cos x 的定义域；(2) y = 4 lg(2 c os

x -1)

(3)已知 f (x ) 的定义域为[0,1] ，求 f (cos x ) 的定义域.

考向三 三角函数的单调性

求形如 y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的单调区间时，只需把 ωx ＋φ 看作一个整体代入 y ＝sin x 的相应单调区间内即可，若 ω 为负则要先把 ω 化为正数．

【例 3】►求下列函数的单调递增区间．

(1) y = - 2x ) ，(2) y = 1 - 2 x ) ，(3) y = tan(3x -

.

cos( 3 sin( )

2 4

3 3

【训练 3】 函数 f (x )＝sin (-2x +

的单调减区间为 ．

)

3

)

]

考向四 三角函数的对称性

正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的图象只是中心对称图形， 应熟记它们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用．

【例 4】►(1)函数 y ＝cos (2x +

图象的对称轴方程可能是( )． 3

A ．x π

B ．x ＝－ π

C ．x π

D ．x ＝ π

＝－ ＝

6 12 6 12

(2)若 0＜α π

＜ ， g (x ) = sin(2x + +) 是偶函数，则 α 的值为 ．

2 4

【训练 4】 (1)函数 y ＝2sin(3x ＋φ) (||< 2 π

的一条对称轴为 x ＝ ，则 φ＝

.

12 (2)函数 y ＝cos(3x ＋φ)的图象关于原点成中心对称图形．则 φ＝

.

难点突破——利用三角函数的性质求解参数问题

含有参数的三角函数问题，一般属于逆向型思维问题，难度相对较大一些．正确利用三角函数的性质解答此类问题，是以熟练掌握三角函数的各条性质为前提的，解答时通常将方程的思想与待定系数法相结合．

【示例】► 已知函数 f (x )＝sin (x + (ω＞0)的单调递增区间为[k - 5

k + ] (k ∈Z )，单调递

) , 3 12 12

减区间为[k + , k + 7

(k ∈Z )，则 ω 的值为 ．

12 12

课内练习与训练

)