关于积分符号的注记

微积分各个符号的含义

微积分各个符号的含义1. “∫”这个符号呀，就像是一个收集器呢！比如说，计算曲线下的面积，它就把那些小块的面积都收集起来啦。

就像你收集邮票一样，把它们都归到一起，多有意思呀！2. “dx”呢，它就像是一个小步长呀！比如你走路，每一步的距离就是“dx”。

在微积分里，它帮我们一点点地去测量和计算呢，神奇吧！3. “dy/dx”哇，这可厉害了，它就像是速度一样！比如车开得快慢，就是用这个来表示的呢。

它能告诉我们函数变化的快慢程度，是不是很牛？4. “lim”，哎呀，这简直就是个极限探索者！比如你努力去够一个很高的东西，一直到你能达到的最接近的程度，那就是“lim”啦。

它让我们知道在某个趋近的过程中会达到什么状态呢。

5. “∞”，这个无穷的符号呀，就像是没有尽头的远方！就好比你想象一直往前走，永远没有终点，那就是无穷啦。

在微积分里，它可是有着很特别的意义哟！6. “π”，嘿嘿，这可是个大名鼎鼎的家伙呢！就像一个固定的魔法数字。

计算圆的周长、面积都少不了它呀。

就像你最爱的那个玩具，总是不可或缺的呢！7. “e”，哇哦，这可是个很特别的数呀！它就像是一个神秘的密码。

在很多计算中都有它的身影呢，你不好奇它为什么这么重要吗？8. “sin”和“cos”呀，它们就像一对好搭档！比如钟摆的运动，就可以用它们来描述呢。

它们能让我们了解很多周期性的现象，是不是很神奇？9. “tan”，这个家伙呀，就像是一个斜率的代表呢！比如一个斜坡的陡峭程度，就可以用它来衡量呀。

它在很多几何问题里都很关键呢！10. “log”，这可是个对数小精灵呢！它能帮我们把复杂的计算变得简单一些。

就像你有一个魔法棒，一挥就能解决难题啦！我觉得呀，微积分的这些符号就像是一个个神奇的工具，能让我们解开很多数学的奥秘呢！。

关于积分中值定理的一点注记

关于积分中值定理的一点注记积分中值定理（也称为拉格朗日中值定理）是微积分中的重要定理之一。

它给出了函数在某一区间上的平均值与函数在该区间上某个点的函数值之间的关系，从而对于解决一些实际问题提供了方便和快捷的手段。

积分中值定理的表述方式包括如下两种：定理1：如果函数 $f(x)$在区间 $[a, b]$上连续，则至少存在一个点 $c\in(a,b)$，使得$\int_{a}^{b} f(x)dx=f(c)\cdot(b-a)$。

另一种表述方式为：以上两个定理的表述不同，但根据定理1可以推导出定理2。

利用积分中值定理可以得到一些有用的结论。

例如，假设某工厂某年在某一时间段内生产的总产品量为 $Q$，这段时间内的时间为 $t_0$ 到 $t_1$。

则该工厂可以通过$Q=\int_{t_0}^{t_1}f(t)dt$ 来计算生产的总产品量，其中 $f(t)$ 是该工厂每个时刻的生产率。

假设 $t_c$ 是该时间段内的一个时间点，那么根据积分中值定理，我们可以得到：$Q=f(t_c)\cdot(t_1-t_0)$，也就是说，在该时间段内该工厂每个时刻的生产率的平均值为 $f(t_c)$。

此外，积分中值定理还可以应用于求解一些反映物理问题的积分。

例如，若$f(x)$ 表示某物体在区间 $[a,b]$ 内每个位置上的密度，则该物体的总质量为$m=\int_{a}^{b} f(x)dx$。

若再设 $g(x)$ 表示该物体在区间 $[a,b]$ 内每个位置上离某参考点的距离，则根据积分中值定理可得：$m=f(c)\cdot(b-a)$，其中 $c$ 为该物体距该参考点最远或最近的位置处。

不定积分的一点注记

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积分公式应用注记

第19卷第4期1998上海冶金高等专科学校学报J ournal of Shan ghai College of Metallu rgyVo l.19,No.41998积分公式应用注记庄海根(上海冶金高等专科学校公共课部上海 200233)定积分起源于求平面图形的面积,空间立体的体积,曲线段的长度,物体的重心等几何和物理问题。

古希腊人早就开始了求面积和体积的工作,但他们所求的不过是一些简单的问题,并且在每一个这样的问题中都需要运用相多复杂和独特的技巧,缺乏一种统一的数学方法,直到17世纪牛顿)莱布尼兹建立了微积分之后,才给出了一个统一的方法,并把求面积,体积、长度这一类问题和求原函数联系起来。

但出现在牛顿)莱布尼兹的著作中或手稿中的微积分,其表述却不那么严格,经过200年之后,才由黎曼用严格的形式给出了定积分的概念,而现在一般工科高等数学教科书都是以黎曼形式给出定积分的。

定积分的基本公式的创立使微分与积分从概念和计算上同时联系起来,是使微积分学理论形式为体系的一个重要标志,此公式的理论意义和实用价值是不待言的。

一般说来,这个公式容易理解,应用起来也很方便,但是,若不把有些概念搞清楚,应用时也可能会出现错误。

为此,本文谈谈关于定积分公式中条件的理解和应用时应注意的问题。

1 公式的条件及应用定积分基本公式明确提出公式成立的条件有以下两条。

1)f (x )在[a,b ]上连续。

2)F(x )是f (x )在[a ,b]上的任一原函数,即P x I [a,b]有F c (x )=f (x )。

我们知道,定理的结论是由该定理的条件推导出来的,初接触公式的人们自然会产生两个疑问:其一:f (x )的原函数是否存在?其二:如何求f (x )的原函数?其实,在条件1之下,前者答案是肯定的,例如 (x )=Q x af (t )d t 就是f (x )的一个原函数,因此条件1的必要性就在于保证条件2中F (x )的存在性,至于后者则可通过求不定积分得到。

关于积分符号的注记

关于积分符号的注记
《关于积分符号的注记》
积分符号是数学中的一个重要概念，在学习和使用数学知识时，积分符号是必不可少的。

积分符号是一个复杂的概念，它可以用来表示函数的积分，也可以用来表示一组数字的积分。

积分符号的使用有许多细节，需要熟悉。

首先，要明白积分符号的含义，即积分符号表示的是一个函数的积分。

其次，要熟悉常见的积分符号，如“∫”、“∑”等，以及它们的具体用法。

最后，要掌握积分符号的语法规则，以正确使用积分符号。

积分符号是一个重要的概念，在学习和使用数学知识时，必须熟悉积分符号的含义、常见的积分符号以及它们的具体用法，并且要掌握积分符号的语法规则，以正确使用积分符号。

积分概念的基础讲解

积分概念的基础讲解积分是数学中的一个重要概念，广泛应用于微积分、几何学、物理学等领域。

积分的概念最早可以追溯到17世纪，由牛顿和莱布尼兹独立发现并建立。

在现代数学中，积分是微积分的一个重要组成部分，它是对函数的一种运算，用于求解曲线下面积、求解函数的反导数等问题。

本文将从积分的基本概念、性质和应用等方面进行讲解，帮助读者更好地理解积分这一数学概念。

一、积分的基本概念在微积分中，积分是对函数的一种运算，它的基本思想是将曲线下面的面积进行分割，然后求和逼近。

对于一个函数f(x)，在区间[a, b]上的积分记作∫f(x)dx，其中∫为积分符号，f(x)为被积函数，dx表示自变量的微小增量。

积分的计算过程可以看作是将函数f(x)在区间[a, b]上的取值进行无限分割，然后求和的过程。

在积分的计算中，常用的方法包括定积分和不定积分。

定积分是指对一个函数在给定区间上的积分，其结果是一个确定的数值；而不定积分则是对一个函数的积分，结果是一个含有未知常数的表达式。

定积分可以理解为曲线下的有向面积，而不定积分则可以理解为函数的反导数。

二、积分的性质积分具有一系列重要的性质，这些性质在积分的计算和应用中起着重要的作用。

下面介绍几条常见的积分性质：1. 线性性质：对于任意常数a、b，以及函数f(x)、g(x)，有∫[af(x) + bg(x)]dx = a∫f(x)dx + b∫g(x)dx。

即积分运算具有线性性质，可以分别对函数中的每一项进行积分。

2. 区间可加性：若函数f(x)在区间[a, b]上可积分，在区间[b,c]上也可积分，则有∫[a, c]f(x)dx = ∫[a, b]f(x)dx + ∫[b,c]f(x)dx。

即积分运算在不同区间上具有可加性。

3. 积分中值定理：若函数f(x)在区间[a, b]上连续，则存在ξ∈[a, b]，使得∫[a, b]f(x)dx = f(ξ)·(b - a)。

这是积分中的重要定理，类似于微分中的中值定理。

微积分基本公式的符号

微积分基本公式的符号
微积分是数学中的一个重要分支，其中有许多基本公式和符号。

下面我将从不同的角度来回答你的问题。

1. 基本公式：
微积分中的基本公式包括导数和积分的基本定义。

导数的基本
公式包括：
函数f(x)的导数表示为f'(x)，也可以写作dy/dx或者y'。

积分的基本公式包括不定积分和定积分的定义，不定积分表示
为∫f(x)dx，定积分表示为∫[a, b]f(x)dx。

2. 符号：
微积分中常用的符号包括：
dx，表示自变量x的无穷小增量。

dy，表示因变量y的无穷小增量。

f'(x)，表示函数f(x)的导数。

∫，表示积分符号，用于表示定积分或不定积分。

d/dx，表示求导数的操作符号。

Σ，表示求和符号，在微积分中用于表示级数求和。

除了上述基本公式和符号外，微积分中还涉及到许多函数、极限、微分方程等内容，这些都是微积分的重要组成部分。

希望以上回答能够帮助你全面了解微积分基本公式和符号。

如果你还有其他问题，欢迎继续提问。

关于二重积分定义的注记

ＫｅｙＷｏｒｄｓ：ｄｏｕｂｌｅｉｎｔｅｒａｇｌ；ｄｅｉｆｎｉｔｉｏｎ；ｎｏｔｅ
１引吾
Ｄ上的函数。是一个确定的数，若对任给的正数占，总
关于二重积分的定义，最常见的有以下两种形式。
ＬＩＵＣｈｕｎ— ｘｉａ，ＧＵＯＰｉｎｇ，ＺＨＡＮＧＹａｎ－ｍｉｎ
（ＱｉｎｄａｏＣｏｌｌｅｇｅ，ＱｉｎｇｄａｏＴｅｃｈｎｏｌｏｇｉｃａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｑｉｎｇｄａｏ２６６１０６，Ｃｈｉｎａ）
等分（
０（３）作了分析，前两种分割是不可行的，后两种是可行的，并通过实例进行了验证。
文献标识码：Ａ文章编号：１００９．９１１５（２０１４）０５．０００５．０２
关键词：二重积分；定义；注记
存在某个正数，使对于Ｄ的任何分割，当它的细度
定义１，设＿厂（，．ｙ）是有界闭区域Ｄ上的有界函数。
将闭区域Ｄ任意分成个小闭区域ＡＯ＂１， △ ， …，ＡＯ＂其
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ＩｒｌＩ时，属于的所亨积分和都有
ｏｆｃｏｐｉｅｓｓｅｇｍｅｎｔａｔｉｏｎｎｔｅｎｄｓｔｏｉｎｉｆｎｉｔｙ；ｔｈｅｍａｘｉｍｕｍｏｆ △

高数中七种积分的注记

高等数学中几种积分的注记摘要：高等数学课程中出现了多种积分形式，本文从积分概念、积分实际意义、计算公式等几个方面，用列表的形式加以总结、梳理、区分。

关键字：定积分,二重积分,三重积分,曲线积分,曲面积分《高等数学》中我们学习了多种积分，以及他们的计算方法。

如果不及时总结梳理所学的知识，往往会混淆概念，对公式一知半解，犹如走入了迷宫，满头雾水。

做起题目不知从何下手。

下面我们就定积分，二重积分，三重积分，第一类曲线、曲面积分，第二类曲线、曲面积分，从定义、实际意义、计算方法几个方面进行总结梳理。

1．积分定义上述几种积分的概念都可以划分为四步：“大化小、常代变、近似和、取极限”。

因此定积分、二重积分、三重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分可以概括为如下的定义1，第二类曲线积分、第二类曲面积分可以概括为如下的定义2定义1 设Ω为一有界几何体，f (M )是Ω上的有界函数，把Ω任意划分成n 部分,1∆Ω ,2∆Ωn ∆Ω, (i ∆Ω同时也表示第i 部分的度量)，令λ = max{i ∆Ω的直径}，M i 为i ∆Ω上任意取定的一点，作和式in i iM f ∆Ω∑=1)(。

如果当λ→0时，ini iM f ∆Ω∑=→1)(lim λ总存在，则称此极限为f (M )在几何体Ω上的积分，记为⎰ΩΩd f )M (，即i ni i M f d f ∆Ω=Ω∑⎰=→Ω1)(lim )M (λ上述概念将前五种积分统一起来，分析如下表：定义2 设Ω为N 维空间中一光滑有向的有界几何体，且Ω为m 维(m <N )，f (M )是Ω上的有界函数，把Ω任意划分成n 部分,1∆Ω n ∆Ω∆Ω,,2 (i ∆Ω同时也表示第i 部分的度量)，令λ = max{i ∆Ω的直径}，i ∆Ω在某m 维子空间的投影为m i )(∆Ω(m i )(∆Ω也表示±1·m i )(∆Ω的度量，其中符号有Ω的方向决定)，M i 为i ∆Ω上任意取定的一点，作和式in i iM f ∆Ω∑=1)(。

积分符号

积分符号
莱布尼茨于1675年以“omn.l”表示l的总和（积分（Integrals）），而omn为omnia（意即所有、全部）之缩写。

其后他又改写为∫，以“∫l”表示所有l的总和（Summa）。

∫为字母s的拉长。

此外，他又于1694年至1695年之间，于∫号后置一逗号，如∫,xxdx。

至1698年，约．伯努利把逗号去掉，后更发展为现今之用法。

传立叶是最先采用定积分符号（Signs for Definite Integrals）的人，1822年，他于其名著《热的分析理论》内，用了
同时Ｇ．普兰纳采用了符号，而这符号很快便为数学界所接受，沿用
至今。

符号
符号（The sign）于现代数学分析教程中，表示分子分母同时趋向零之一种不确定的分式极限形式，简称“零分之零型的不定式”。

这形式之极限最早由法国数学家洛必达于他在1696年出版的《无穷小分析》中讨论，并给出了确定其极限值的洛必达法则；但他于这书中并没采用符号。

其后，瑞士数学家约翰．伯努利继续研究这种不定式，初时采用，及等形式的符号，至1730年才采用符号。

法国数学家克莱姆于1732年2月22日写给英国数学家斯特灵的信内，亦以
表示零分之零型的不定式。

这符号于1754年再度出现于法国数学家达朗贝尔
写给《百科全书》的条目《微分》中。

至十九世纪上半叶，这符号已普遍地为人所采用，直至现在。

数分定积分知识点总结

数分定积分知识点总结一、定积分的基本概念1. 定积分的引入在微积分中，我们经常需要求解曲线下面积、体积、质心等问题。

为了解决这些问题，我们引入了定积分的概念。

定积分可以看做是无限小的相加，通过求和来逼近某一曲线的面积或者体积等问题。

2. 定积分的符号和定义定积分的符号为∫，表示对变量的积分。

其定义为：设函数f(x)在闭区间[a, b]上有界，将[a, b]分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx，取每个小区间内某一点xi（i = 1, 2, ..., n），作出相应的n个高度为f(xi)的矩形，然后把这些矩形的面积相加，并且当Δx趋近于0时，这个和的极限存在，则这个极限就是函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，即：∫[a, b] f(x) dx = lim(n→∞) Σf(xi)Δx3. 定积分的几何意义定积分的几何意义为曲线下面积，即函数f(x)在区间[a, b]上的定积分就是曲线y=f(x)与x 轴、直线x=a、x=b所围成的平面图形的面积。

4. 定积分的物理意义定积分还有物理意义，例如在动力学中，定积分可以表示质点在一段时间内所做的功；在电学中，定积分可以表示电路中电流通过的电量等。

二、定积分的性质1. 定积分的线性性和可加性设函数f(x)和g(x)在区间[a, b]上可积，k为常数，则有：∫[a, b] (kf(x) ± g(x)) dx = k∫[a, b] f(x) dx ± ∫[a, b] g(x) dx即定积分具有线性性和可加性。

2. 定积分的保号性设在[a, b]上f(x)≥0，则有：∫[a, b] f(x) dx ≥ 0即非负函数的积分非负，如果在[a, b]上f(x)≤g(x)，则有：∫[a, b] f(x) dx ≤ ∫[a, b] g(x) dx3. 定积分的估值性质设函数f(x)在[a, b]上有界，且在区间[a, b]的子区间[a1, b1]上有界，并且f(x)≤M，g(x)≤M，则有：|∫[a, b] f(x) dx| ≤ M(b-a)其中M为常数，称为函数f(x)在区间[a, b]上的上界。

积分公式记忆口诀

积分公式记忆口诀
积分在我们生活中扮演着很重要的角色，是我们追求成功不可或缺的铁律。

成
功人士总是喜欢借助积分公式来指导自己，记忆积分公式的最佳途径可以说是口诀了，口诀深入人心，可以有效地提升记忆力，让我们瞬间记住知识点。

比如单变量的积分公式可以用以下口诀来记忆：“定积分∫f(x)dx，积分量加
式求解，添常数C记住。

”这其中，“积分量加式求解”指的是f(x)在积分区间[a,b]内的变化要以加法来求解，“添常数C记住”即把积分结果前面加着一个定
值C来记住。

这也就意味着单变量的积分公式可以用此口诀来轻松记忆。

此外，双变量积分公式也可以通过口诀来记忆：“定积分∫∫F（x，y）d（x，y），轴积分量加式求解，面积由曲线分割。

”“轴积分量加式求解”是指在积分
区间内，使用轴上的积分量来求解，这和单变量积分完全相同，“面积由曲线分割”指的是把积分区间按照曲线进行分割，然后在每个区间内求解积分量，用最后的积分结果加和即可得到双变量的积分公式。

使用上面的口诀来记忆积分公式对我们来说无疑是一件及其有益的事情，这样
一来，学习积分公式就不再是一件复杂的噩梦了，学习起来更加得心应手，同时也能有效锻炼我们的记忆力。

定积分知识点总结大专

定积分知识点总结大专\section{定积分的基本概念}在微积分中，定积分是对一个函数在一个区间上面积的一种求解方法。

如果我们有一个函数$f(x)$，并且要求解它在区间$[a, b]$上的面积，我们可以用定积分来表示这个面积。

定积分的符号表示为$\int_a^b f(x) dx$，读作“从$a$到$b$对$f(x)$进行积分”。

定积分的计算方法可以通过求解区间$[a, b]$上的无限小区间的面积来得到。

具体来说，我们可以将区间$[a, b]$划分为许多小区间$[x_i, x_{i+1}]$，其中$x_i$和$x_{i+1}$分别表示区间$[a, b]$上的点。

然后我们可以计算每个小区间上的面积，并将它们相加得到整个区间$[a, b]$上的面积。

当我们取小区间的数量趋近于无穷大时，这个和就会趋近于定积分的值。

定积分的计算方法包括黎曼和、黎曼积分和黎曼法。

其中，黎曼和是将区间$[a, b]$划分为$n$个小区间，计算每个小区间上的高度乘以宽度得到的和。

黎曼积分是将区间$[a, b]$上的函数分割成许多小矩形，并计算这些小矩形的面积之和。

黎曼法是利用黎曼积分来求解定积分的方法。

\section{定积分的性质}定积分有许多重要的性质，这些性质可以帮助我们更好地理解定积分的含义和用法。

一些常见的定积分的性质包括线性性质、区间可加性、积分中值定理和微积分基本定理。

线性性质：如果$f(x)$和$g(x)$是可积函数，$a$和$b$是任意实数，则有$$\int_a^b (af(x) + bg(x)) dx = a \int_a^b f(x) dx + b \int_a^b g(x) dx$$这意味着定积分对于线性组合是可线性的。

区间可加性：如果$f(x)$是在$[a, c]$上可积的，并且$c$在$[a, b]$之间，则有$$\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx$$这表示在不同的区间上进行定积分的和等于在整个区间上进行定积分。

二次积分的一点注记

二次积分的一点注记作者：颉永建韩国栋来源：《教育教学论坛》2018年第32期摘要：将二重积分转化为二次积分，是计算二重积分的关键.本文从分析的角度出发，推导了直角坐标系下二重积分转化为二次积分的计算公式.关键词：二重积分；二次积分；连续函数中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2018）32-0203-02一、基本定义二重积分计算是二元函数积分学的重要内容之一，也是教与学的重点.回顾二重积分的定义如下.定义1[1] D？奂R 是有界闭区域，f：D→R 是有界函数.将Q任意分成n个小闭区域Δσ ，Δσ ，…，Δσ ，其中Δσ 既表示第i个小闭区域，也表示它的面积.在每个Δσ 上任取一点（ξ ，η ），作乘积f（ξ ，η ）Δσ ，并作和f（ξ ，η ）Δσ .如果当各小闭区域的直径中的最大值λ趋于零时，这和的极限总存在，则称此极限为函数f在闭区域D上的二重积分，记作 f（x，y）dσ，即f（x，y）dσ= f（ξ ，η ）Δσ ，其中f称为被积函数，x，y称为积分变量，D称为积分区域，dσ称为面积元素， f（ξ ，η ）Δσ .称为积分和.在直角坐标系中，面积元素dσ可记作dxdy，从而二重积分记作 f（x，y）dxdy.二重积分计算的关键，在于将其转化为两次定积分——二次积分来计算.为了后续的叙述与证明更加简明，我们以下总假设被积函数f连续，而不追求定理成立最宽泛的条件.二、主要定理及证明在通常的高等数学教材中，二重积分转换为二次积分的过程是通过二重积分的几何意义——曲顶柱体的体积——来完成的.具体可参考文献[1].以下，我们将从分析的角度出发，推导直角坐标系下二重积分转化为二次积分的计算公式.以下两个定理是显然的.引理1 设z=f（x，y）是定义在区域D={（x，y）∈R ：a≤x≤b，c≤y≤d}上的连续函数.则对任意的x ∈[a，b]，函数z=f（x ，y）在区间[c，d]上连续.引理2 设z=f（x，y）是定义在区域D={（x，y）∈R ：a≤x≤b，φ （x）≤y≤φ （x）}上的连续函数.则对任意的x ∈[a，b]，函数z=f（x ，y）在区间[φ （x ），φ （x ）]上连续.我们先叙述并证明矩形区域D={（x，y）∈R ：a≤x≤b，c≤y≤d}上二重积分化二次积分的定理.定理3 设z=f（x，y）是定义在区域D={（x，y）∈R ：a≤x≤b，c≤y≤d}上的连续函数，则二重积分f（x，y）dxdy= f（x，y）dydx= f（x，y）dy.证明：由z=f（x，y）在D上连续可知其在D上可积，从而二重积分的值与区域的划分方法及（ξ ，η ）的取法无关.我们用平行于坐标轴的两族直线将区域D平均划分成m×n个小矩形区域.显然，每个小矩形宽Δx = ，高Δy = ，直径就是对角线的长度，而所有直径中的最大者λ= ，其中1≤i≤n，1≤j≤m.不难看出，λ→0当且仅当（m，n）→（∞，∞）.在第i行，第j列的小矩形中，取（ξ ，η ）=（x ，y ）.于是，我们有f（x，y）dxdy= f（ξ ，η ）Δx Δy= f（ξ ，η ）Δx Δy= f（ξ ，η ）Δy Δx= f（ξ ，η ） .因为f可积，所以上式最后一行的极限总是存在的，且与m，n趋于无穷的方式无关，再根据引理1，并注意到定积分的定义，我们进一步有f（x，y）dxdy= f（ξ ，η ）= f（ξ ，η ）= f（x y）dyΔx= f（x，y）dydx.证毕.进一步，我们有以下更一般的结论.定理4 设z=f（x，y）是定义在区域D={（x，y）∈R ：a≤x≤b，φ （x）≤y≤φ （x）}上的连续函数，则二重积分f（x，y）dxdy= f（x，y）dydx= dx f（x，y）dy.证明：由z=f（x，y）在D上连续可知其在D上可积，从而二重积分的值与区域的划分方法及（ξ ，η ）的取法无关.我们用平行于坐标轴的两族直线x=x ，y=y 将区域D划分成有限个闭区域.这样，除了包含D的边界的有限个小闭区域外，其余均为小矩形区域.小矩形区域的宽Δx =x -x ，高Δy =y -y ，在第i行，第j列的小矩形中取（ξ ，η ）=（x ，y ）.记λ =max Δx ，λ =max Δy .易见，λ→0当且仅当（λ ，λ ）→（0，0）.于是，我们有f（x，y）dxdy= f（ξ ，η ）Δx Δy= f（ξ ，η ）Δx Δy= f（x ，y ）Δy Δx= f（x ，y ）Δy Δx .因为f可积，所以上式最后一行的极限总是存在的，且与λ ，λ 趋于零的方式无关，再根据引理1，并注意到定积分的定义，我们进一步有f（x，y）dxdy= f（x ，y ）Δy Δx= f（x ，y ）Δy Δx= ∫ f（x y）dyΔx= f（x，y）dydx.证毕.当积分区域D是Y-型区域乃至一般区域时，我们仍然可用分割的方法处理[1]，[2].参考文献：[1]同济大学数学系.高等数学（下）（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2007.[2]华东师范大学数学系.数学分析（下）（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2010.。

关于积分性质的一个注记

关于积分性质的一个注记
积分性质注记
1.积分 (Points) 是常见的激励策略，是指由某一特定行动产生的积累
分数，旨在鼓励用户以特定的行为表现任务的良好完成和产品的好处。

2.积分的数量可以按照用户的行为表现做相应的变化，可以采取各种激励技术来影响和改善用户行为。

3.积分可以用来获得优惠，兑换商品服务，或是奖励用户完成任务，是商家吸引消费者的有效技巧。

4.积分的种类多样，根据任务的性质和用户的行为表现，可以分为静态积分、活动积分、兑换积分和礼品积分等。

5.积分的管理也是非常重要的，应该定期核实积分的类型和投入，以确保积分的有效性和便捷性。

6.此外，在实施积分管理的同时应留意不同的竞争市场，衡量积分计划的价值，以及审慎分配积分，以应对可能出现的市场风险。

总之，积分作为一种激励机制，应当有效适当地使用，以达到计划期
望的效果。

它也是一种工具，能够拉动用户行为，增加商家业务效益，鼓励用户表现既定任务。

正确使用积分，对增加企业升级业务效率、
提升用户活跃度、改善客户体验有很大的作用。

关于积分符号的注记

关于积分符号的注记
肖为胜;朱强;童波
【期刊名称】《大学数学》
【年(卷),期】2009(025)003
【摘要】积分学是微积分的重要组成部分,而不定积分是整个积分学的基础,是运算的核心部分.本文主要通过历史和逻辑的角度对不定积分符号进行分析,并给出注记.【总页数】3页(P197-199)
【作者】肖为胜;朱强;童波
【作者单位】南昌陆军学院,科文教研室,江西,南昌,330103;南昌陆军学院,科文教研室,江西,南昌,330103;南昌陆军学院,科文教研室,江西,南昌,330103
【正文语种】中文
【中图分类】O172.1
【相关文献】
1.定积分中换元积分法的注记 [J], 穆勇
2.关于弦幂积分不等式与双弦幂积分不等式的注记 [J], 李冉;曾春娜
3.关于无穷Riemann积分与Lebesgue积分的关系及其应用的若干注记 [J], 姚磊;姚云飞;王先超;武忠文
4.积分和与反常积分的几点注记 [J], 李立清
5.地图符号的说明注记和数字注记识别 [J], 黄文骞;杨启和
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积分的符号表示法

lim
n

n k 1
(
k n
)2

1 n

1 f (x)dx 1
0
3
。
x
二、定積分的意義
對於任意多項式函數 f(x)，將區間 [a,b] 分割成 n 等分，
若 f(x) 在第 i 等分區間內的最小值為 mi，最大值為 Mi，
則：下和
Ln

b
n
a

(m1

m2
L
mn ) ，
0

2 3

5 6

1
。
注意：
2
f (x)dx
1
f (x)dx
2
f (x)dx
0
0
1
( x3 3 x2 2x) 1 ( x3 3 x2 2x) 2
32
32
0
1

5 6

0

2 3

5 6

2 3
。
y
0
令函數 g(t)
t
f (x)dx g(1)
1 f (x)dx ，
0
0
g(2) 2 f (x)dx ， 0
g(3) 3 f (x)dx ， 0
g(4) 4 f (x)dx 。 0
五、微積分基本定理
若函數 f(x) 在閉區間 [a,b] 上連續，
則 g(t)
nn n n n
L

(k
1)b n
2

关于不定积分的一个注记

关于不定积分的一个注记发布时间：2021-12-14T01:48:30.683Z 来源：《教育学文摘》2021年7月20期作者：杨文权[导读] 不定积分是高等数学的一个重要内容，其计算是重点也是难点。

杨文权江汉大学人工智能学院，湖北武汉 430056摘要: 不定积分是高等数学的一个重要内容，其计算是重点也是难点。

本文主要关注不定积分的换元法的符号问题，讨论哪些情形不需要讨论符号问题；哪些情形需要讨论符号问题，最后的积分结果可以统一到一个式子中，哪些情形积分结果不能统一到一个式子中。

关键词: 微积分教学；不定积分；换元法；符号。

中图分类号: O172 文献标识码Ａ不定积分是高等数学的重要内容，是高等数学后续内容如定积分、重积分、曲线积分、曲面积分等的基础，也是微分方程等、偏微分方程、概率论与数理统计、实变函数与泛函分析等后续课程的基础，是现代数学的基石。

不定积分的计算技巧性很强，有些不定积分的计算量很大，对于初学者来说困难重重。

特别是含有根号的一类积分，在计算过程中常常要讨论开方后的正负号问题，最后的积分结果往往可以统一到一个式子中，在常见的教材中的例题和习题都是如此。

所以很多人在求不定积分时，根本不讨论开方后的正负号问题，直接将取“正号”时的结论作为答案，甚至有规划教材配套的习题解答都是如此。

是不是所有的不定积分都可以统一到一个式子中呢？请看下面的讨论。

1. 不定积分不需要讨论符号的情形。

用第一换元积分法进行积分时，不需要讨论符号问题。

如2. 不定积分需要讨论符号的情形，最后的积分结果往往可以统一到一个式子中。

是不是所有不定积分结果都可以统一到一个式子中呢？请看下面的例子。

3. 不定积分需要讨论符号的情形，最后的积分结果不能统一到一个式子中。

参考文献:［1］华东师范大学数学系. 数学分析( 上) ［M］．北京: 高等教育出版社，2017.［2］同济大学数学系．高等数学：上册［Ｍ］．７版．北京：高等教育出版社，2014：200．［3］孙杰华, ，庄卓. 高等数学课程中一类常见易错题型分析［J］．高等数学研究，2021，24(03): 1－3作者简介：杨文权（1966.01—），男，土家族，湖北咸丰，博士研究生，教授，江汉大学，概率论极限理论。