高考一轮复习必备圆锥曲线讲义
2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版强基版)：圆锥曲线中的综合问题全文
所以B→D＝(x1－2，y1)，B→E＝(x2－2，y2)，
则(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝0，
将x1＝ky1＋m，x2＝ky2＋m代入上式得
(k2＋1)y1y2＋k(m－2)(y1＋y2)＋(m－2)2＝0，
将
①
代
入
上
式
得
(k2＋
1)
m2－4 k2＋4
＋
k(m
－
2)
－k2＋2km4 ＋
(m
x1＋x2＝－8 267m，x1x2＝4m227－3， y1y2＝6x1x2＋ 6m(x1＋x2)＋m2＝24m2－3－2748m2＋27m2， ∵O→A·O→B＝0，∴x1x2＋y1y2＝0， 代入根与系数的关系得 m2＝12，m＝±2 3，满足 Δ>0， ∴直线 l 的方程为 y＝ 6x±2 3.
4k2＋1
又直线 OP 的斜率为－－12－－00＝12，且直线 OP 与 MQ 不重合，
所以MQ∥OP.
题型二 定点与定值
例 2 (2022·济南模拟)已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为 A，B，点 P(0,2)，连接 PA，PB 交椭圆 C 于点 M，N，△PAB 为直角三角 形，且|MN|＝35|AB|. (1)求椭圆的标准方程；
设经过点F且斜率为k(k≠0)的直线的方程为y＝kx＋1，与曲线C的方 程联立得 y＝kx＋1， x32＋y42＝1， 消去 y 整理得(4＋3k2)x2＋6kx－9＝0， Δ＝36k2＋4×9×(4＋3k2)＝144(1＋k2)>0恒成立， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则|MN|＝ 1＋k2|x1－x2|＝ 1＋k2×4＋Δ3k2＝124＋1＋3kk22， x1＋x2＝－4＋6k3k2，
2025年新人教版高考数学一轮复习讲义 第八章 必刷小题16 圆锥曲线
2025年新人教版高考数学一轮复习讲义第八章必刷小题16 圆锥曲线一、单项选择题√√故可得a＝10，b＝8，c＝6，则椭圆的长轴长2a＝20.3.(2024·长春模拟)已知M为抛物线C：x2＝2py(p>0)上一点，点M到C的焦点的距离为7，到x轴的距离为5，则p等于√A.3B.4C.5D.64.(2023·河北衡水中学检测)阿基米德(公元前287年—公元前212年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆C的离心率为，面积为12π，则椭圆C 的方程为√解得a2＝16，b2＝9，√所以△PF1F2为等边三角形，6.(2023·石家庄模拟)已知，点P是抛物线C：y2＝4x上的动点，过点P向y轴作垂线，垂足记为点N，点M(3,4)，则|PM|＋|PN|的最小值是√x＝－1，过点P作抛物线准线的垂线，垂足为Q，如图，由抛物线定义知|PN|＋|PM|＝|PQ|－1＋|PM|＝|PF|＋|PM|－1，当F，P，M三点共线时，|PM|＋|PN|取得最小值，√作PM⊥x轴于点M，如图，则∠PF2M＝60°，由题意知F2(c,0)，由双曲线的定义知|PF1|＝2a＋2c，而|F1F2|＝2c，在△PF1F2中，由余弦定理得|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2－2|PF2|·|F1F2|·cos∠PF2F1，8.(2023·连云港模拟)直线l：y＝－x＋1与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，圆M过两点A，B且与抛物线C的准线相切，则圆M的半径是A.4B.10√C.4或10D.4或12可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝－4，即y1＋y2＝－x1＋1－x2＋1＝－4，则x1＋x2＝6，可得AB的中点坐标为P(3，－2)，易知，直线l过抛物线焦点(1,0)，则|AB|＝x1＋1＋x2＋1＝8，且AB的垂直平分线方程为y－(－2)＝1×(x－3)，即y＝x－5，则可设圆M的圆心为M(a，b)，半径为r，所以b＝a－5，则圆M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，即(x－a)2＋(y－a＋5)2＝r2，则16＋2(a－3)2＝r2，①又因为圆M与抛物线C的准线相切，所以|a＋1|＝r，即(a＋1)2＝r2，②二、多项选择题 A.双曲线C 的实轴长为2B.双曲线C 的焦点到渐近线的距离为mC.若(2,0)是双曲线C 的一个焦点，则m ＝2D.若双曲线C 的两条渐近线相互垂直，则m ＝2√√因为(2,0)是双曲线C的一个焦点，√√√对于选项B，当点P为椭圆C的右顶点时，可得|PF1|max＝a＋c＝6，故B 正确；对于选项C，△F1PF2的周长为2a＋2c＝12，故C错误；对于选项D，当点P为椭圆C的短轴的端点时，可得|PF1|＝|PF2|＝a＝4，|F1F2|＝2c＝4，此时△F1PF2为等边三角形，故D正确.√√√根据抛物线的性质知，MN过焦点F时，过点M，N，P分别作准线的垂线MM′，NN′，PP′，垂足分别为M′，N′，P′(图略)，所以|MM′|＝|MF|，|NN′|＝|NF|.√√√由题意得a＝2，所以|QF1|的取值范围是[a－c，a＋c]，设椭圆的上顶点为A(0，b)，F1(－c,0)，F2(c,0)，当且仅当|QF1|＝|QF2|＝2时，等号成立，又|QF1|＋|QF2|＝4，三、填空题13.(2023·烟台模拟)写出一个满足以下三个条件的椭圆的方程__________ (答案不唯一)_____________.①中心为坐标原点；②焦点在坐标轴上；y2＝4x设|NF|＝4t(t>0)，①得2a＝3p或6a＝p，由于0<p<2a，故2a＝3p，结合③，解得p＝2，故抛物线方程为y2＝4x.本课结束。
2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版)：圆锥曲线中探索性与综合性问题
所以抛物线C的标准方程为x2＝4y.
(2)不过点M的直线l与抛物线C相交于A，B两点，若直线MA，MB的斜率 之积为－2，试判断直线l能否与圆(x－2)2＋(y－m)2＝80相切？若能，求 此时直线l的方程；若不能，请说明理由.
由(1)得M(2,1)， 设点 Ax1，x421，Bx2，x422， 则 kMA＝x1＋4 2，kMB＝x2＋4 2， 所以 kMAkMB＝x1＋4 2×x2＋4 2＝－2， 得x1x2＋2(x1＋x2)＋36＝0； 设直线AB方程为y＝kx＋b，
因为直线 OC 的斜率为yx11＝yy121＝y81， 8
所以直线 OC 的方程为 y＝y81x.
由1yx＝62 ＋y811yx22，＝1，
得 y264×y21 16＋112＝1，
则 y2E64×y21 16＋112＝1，
同理可得 y2F64×y22 16＋112＝1，
所以 y2E·y2F64×y22 16＋11264×y21 16＋112＝1，
1234
由 AF⊥BE 得x1－y1 2·y2x＋2 2＝－1， 所以 y1y2＋2y1＋x1x2－ 2x2＝0， 将 y1＝－ 22x1＋t，y2＝－ 22x2＋t 代入上式， 得 3x1x2－ 2(t＋2)(x1＋x2)＋(2t2＋4t)＝0， 所以 3×6t27－4－ 2(t＋2)·6 72t＋(2t2＋4t)＝0，
4＋2t＝－2t， 所以－4t＝t2＋3， 解得t＝－1. 即M(－1,0). 综上，满足条件的点M存在，其坐标为(－1,0).
思维升华
存在性问题的解题策略 存在性的问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则 存在，若结论不正确则不存在. (1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论. (2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件. (3)当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意.
2023年高考数学(理科)一轮复习课件——圆锥曲线的综合问题 第二课时 定值问题
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(2)若直线 l 交椭圆 E 于 M，N 两点，直线 OM 的斜率为 k1，直线 ON 的斜率 为 k2，且 k1k2＝－19，证明：△OMN 的面积是定值，并求此定值.
证明 当直线l的斜率不存在时，
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答题模板
第一步 求圆锥曲线的方程 第二步 特殊情况分类讨论 第三步 联立直线和圆锥曲线的方程 第四步 应用根与系数的关系用参数表示点的坐标 第五步 根据相关条件计算推证 第六步 明确结论
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训练 2 (2021·大同调研)如图，在平面直角坐标系 xOy 中， 椭圆 C：xa22＋by22＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为 A，B，
已知|AB|＝4，且点e，345在椭圆上，其中 e 是椭圆的
离心率.
(1)求椭圆 C 的方程；
解 ∵|AB|＝4，∴2a＝4，即a＝2. 又点e，345在椭圆上，∴ae22＋1465b2＝1，即1c62 ＋1465b2＝1， 又b2＋c2＝a2＝4，联立方程解得b2＝3， ∴椭圆 C 的方程为x42＋y32＝1.
(1)求动点 M 的轨迹 E 的方程；
[规范解答]
解 设M(x，y)，P(x0，y0)， 由(1－ 3)O→Q＝O→P－ 3O→M， 得O→Q－O→P＝ 3O→Q－ 3O→M， 即P→Q＝ 3M→Q，2 分
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∴xy00＝＝x，3y，又点 P(x0，y0)在圆 O：x2＋y2＝6 上， ∴x20＋y20＝6，∴x2＋3y2＝6， ∴轨迹 E 的方程为x62＋y22＝1.4 分
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感悟提升
解此类题的要点有两个：一是计算面积，二是恒等变形.如本题，要求△OMN 的面积，则需要计算弦长|MN|和原点 O 到直线 l 的距离 d，然后由面积公式 表达出 S△OMN(如果是其他凸多边形，一般需要分割成三角形分别求解)，再 将由已知得到的变量之间的等量关系代入面积关系式中，进行恒等变形， 即得 S△OMN 为定值23.
第09讲 圆锥曲线中的定点、定值问题讲义——2024届高三数学一轮复习
第09讲 圆锥曲线中的定点、定值问题考点25 直接推理法求定点【常用方法】直接推理法求定点的一般步骤(1)一选(设参)：选择变量，定点问题中的定点，不随某一个量的变化而变化，可选择这个量为变量(有时可选择两个变量，如点的坐标、斜率、截距等，然后利用其他辅助条件消去其中之一)．(2)二求(用参)：求出定点所满足的方程，即把需要证明为定点的问题表示成关于上述变量的方程． (3)三定点(消参)：对上述方程进行必要的化简，即可得到定点坐标． 【典例分析25】1、已知椭圆x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32 ，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，点P 为椭圆上一点，△F 1PF 2面积的最大值为3 ．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点A (4，0)作关于x 轴对称的两条不同的直线l 1和l 2，l 1交椭圆于M (x 1，y 1)，l 2交椭圆于N (x 1，y 2)，且x 1≠x 2，证明直线MN 过定点，并求出该定点坐标．考点26 逆推法求定点【常用方法】证明直线或曲线过某一定点(定点坐标已知)，可把要证明的结论当条件，逆推上去，若得到使已知条件成立的结论，则证明了直线或曲线过定点． 【典例分析26】2、设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22 ＋y 2＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP →＝2 NM → ．(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP → ·PQ →＝1．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．3、如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1的上顶点为A ，右焦点为F ，直线AF 与圆M ：x 2＋y 2－6x －2y ＋7＝0相切，其中a >1.(1)求椭圆的方程；(2)不过点A 的动直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，且AP ⊥AQ ，证明：动直线l 过定点，并且求出该定点坐标．考点27 变量法求定值【常用方法】求解定值问题常用的方法(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 【典例分析27】1、已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，左顶点为A ，离心率为12 ，点D )23,1(是椭圆C 上一点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 过椭圆C 的右焦点F 2且与椭圆交于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 与直线x ＝4分别交于点M ，N ．求证：M ，N 两点的纵坐标之积为定值．2、已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，过椭圆左焦点F 的直线x －43y ＋3＝0与椭圆C 在第一象限交于点M ，三角形MFO 的面积为34. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点M 作直线l 垂直于x 轴，直线MA 、MB 交椭圆分别于A 、B 两点，且两直线关于直线l 对称，求证：直线AB 的斜率为定值．。
2025年新人教版高考数学一轮复习讲义 第八章 §8.11 圆锥曲线中求值与证明问题
(2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(－4,0)的直线与C的左支交于M， N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P.证明：点P在定直线上.
由(1)可得A1(－2,0)，A2(2,0)， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 显然直线MN的斜率不为0， 设直线 MN 的方程为 x＝my－4，且－12<m<12， 与x42－1y62 ＝1 联立可得(4m2－1)y2－32my＋48＝0，
a＝2，
⇒b＝1， c＝ 3，
∴椭圆 C 的方程为y42＋x2＝1.
(2)若点P为椭圆C上的动点，且在第一象限运动，直线AP的斜率为k，
且与y轴交于点M，过点M与AP垂直的直线交x轴于点N，若直线PN的 斜率为－25k ，求k值.
由题意知A(－1,0)，kAP＝k，
则直线lAP：y＝k(x＋1)，∴M(0，k)，
1234
若以AB为直径的圆经过坐标原点， 则O→A·O→B＝0，即 xAxB＋yAyB＝1－3－2 a2＝0， 所以a＝±1，满足要求.
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2.(2023·宁德模拟)若
A－1，－
22，B1，
22，C(0,1)，D
23，21四点中
恰有三点在椭圆 T：ax22＋by22＝1(a>b>0)上.
(1)求椭圆T的方程；
1234
由于
A－1，－
22，B1，
22两点关于原点对称，必在椭圆上，
则a12＋21b2＝1，且43a2＋41b2<1，
∴C(0,1)必在椭圆上，
即有b12＝1，则 b＝1，a2＝2， ∴椭圆 T 的方程为x22＋y2＝1.
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(2)动直线y＝
2 2x
第4讲+圆锥曲线之张直角弦及应用+讲义——2024届高三数学一轮复习
第4讲圆锥曲线论之张直角弦及其应用一、知识点1.张直角弦（1）与中心的张角为直角的弦（倾斜角）；（2）与中心的张角为直角的弦（离心角）；（3）与顶点的张角为直角的弦（倾斜角）；（4）与顶点的张角的直角的弦（离心角）；2.其他：互相垂直的弦中点所在直线过定点【题型1 与中心的张角为直角的弦（倾斜角）】例1设椭圆E：，过点,两点，O为坐标原点（1）求椭圆E的方程（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B，且,若存在，写出该圆的方程，若不存在说明理由；（3）求的取值范围；（4）求的取值范围；【题型2 与中心的张角为直角的弦（离心角）】（1）例2 已知椭圆,过原点的两条直线和分别与椭圆交于A,B和C,D，记得到的平行四边形ACBD的面积为S，设和的斜率之积为，求面积S的值。
（2）已知椭圆C：的离心率为,短轴长为2，若A,B是椭圆上两个动点，O为坐标原点，OA,OB的斜率分别为,问是否存在非零常数，使得时，的面积为定值，若存在，求的值，若不存在，请说明理由。
（3）已知椭圆C：的右顶点为N，长轴长为，P 为椭圆上一点，O 为坐标原点，且重心的横坐标为，的面积为，直线与椭圆C交于A,B两点，以OA,OB为邻边作平行四边形OAMB，且，试判断是否为定值，若是，求出定值，若不是，请说明理由。
例3 已知椭圆C：,动圆P：(圆心P 为椭圆C上异于左右顶点的任意一点)，过原点O作两条射线与圆P相切，分别交椭圆于M,N两点，且切线长的最小值为（1）求椭圆C的方程（2）求证：的面积为定值（3）求证：为定值例 4 已知直线与椭圆C:交于两不同点，且的面积，其中O为坐标原点。
（1）证明：和均为定值；（2）设线段PQ的中点为M，求的最大值（3）椭圆C上是否存在点D,E,G，使得，若存在，判断三角形DEG的形状，若不存在，请说明理由。
例5 已知椭圆C：的离心率为，为椭圆上一点，A,B为椭圆上不同两点，O 为坐标原点（1）求椭圆C 的方程（2）线段AB的中点为M，当面积取最大值时，是否存在两定点G,H，使得为定值？若存在，求出这个定值；若不存在，请说明理由。
高考数学总复习(一轮)(人教A)教学课件第八章 平面解析几何第11节 圆锥曲线中的证明与存在性问题
解:(2)假设存在点M(t,0)(t<0)满足题设条件.
由(1)知双曲线C的右焦点为F(2,0).
设Q(x0,y0)(x0>1)为双曲线C右支第一象限上一点.
当x0=2时,因为∠QFM=2∠QMF=90°,
所以∠QMF=45°,于是|MF|=|QF|=3,
所以t=-1,即M(-1,0).
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当 p<0 时,x=± -,则 2 -=4 ,
解得p=-4,故C的方程为x2=8y.
(2)设P为C的准线上一点,过P作C的两条切线,切点为A,B,直线PA,PB
的斜率分别为k1,k2,且直线PA,PB与y轴分别交于M,N两点,直线AB的
斜率为k0.证明:k1·k2为定值,且k1,k0,k2成等差数列.
(2)证明:由(1)可知C的准线方程为y=-2,
不妨设P(m,-2),A(x1,y1),B(x2,y2),
由题意,过点P且与C相切的直线l的斜率一定存在,设为k,
则l:y=k(x-m)-2,且k≠0,
= (-)-,
2
联立
得 x -8kx+8(km+2)=0,
= ,
2
2
则Δ=64k -32(km+2)=0,即 k -mk-1=0,
|| ||
,证明:∠ANC=2∠AMC.
=
|| ||
(2)证明:由(1)可知 M(-8,0),设直线 l 的方程为 x=my-8,其与椭圆
E:+=1 的交点为 B(x1,y1),C(x2,y2),
+
=
,
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2023届高三数学一轮复习专题 直线与圆锥曲线的综合运用 讲义 (解析版)
直线与圆锥曲线的综合运用一、知识梳理1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．(1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有①Δ>0①直线与圆锥曲线相交；①Δ＝0①直线与圆锥曲线相切；①Δ<0①直线与圆锥曲线相离．(2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点．①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；①若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则AB＝1＋k2|x2－x1|＝1＋1k2|y2－y1|.3.过一点的直线与圆锥曲线的位置关系(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；过椭圆内一点的直线与椭圆相交．(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线.(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线上条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线； 过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线．二、课前预习1.若直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m ＝1总有公共点，则m 的取值范围是____．2.斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为____．3.直线mx ＋ny ＝4与①O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数是____个．4.已知A 1，A 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右顶点，P 是椭圆C 上异于A 1，A 2的任意一点，若直线P A 1，P A 2的斜率的乘积为－49，则椭圆C 的离心率为____．5.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点)23,1(P ，离心率为12.(1) 求椭圆C 的方程． (2) 若斜率为32的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，试探究OA 2＋OB 2是否为定值？若为定值，求出此定值；若不是定值，请说明理由．三、典型例题题型一. 直线与圆锥曲线的位置关系例1已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．变式 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0,1)在C 1上． (1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程．例2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知焦点在x 轴上，离心率为12的椭圆E 的左顶点为A ，点A 到右准线的距离为6． （1）求椭圆E 的标准方程； （2）过点A 且斜率为32的直线与椭圆E 交于点B ，过点B 与右焦点F 的直线交椭圆E 于M 点，求M 点的坐标．题型二 弦长问题例3 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) 的离心率e ＝22，右焦点F 到左准线l 的距离为3．(1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC =2AB ，求直线AB 的方程．变式 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与CD .当直线AB 斜率为0时，AB ＝4. (1)求椭圆的方程；(2)若|AB |＋|CD |＝487，求直线AB 的方程．BAOxy lP C题型三 定点问题例4 如图，在平面直角坐标系xOy中，离心率为2的椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，过原点O 的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C 交于,P Q 两点，直线,PA QA 分别与y 轴交于,M N 两点．若直线PQ斜率为2时，PQ = （1）求椭圆C 的标准方程；（2）试问以MN 为直径的圆是否经过定点（与直线PQ 的斜率无关）？请证明你的结论．例5 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a ＞1)的上顶点为A ，右焦点为F ，直线AF 与圆M ：x 2＋y 2－6x －2y ＋7＝0相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)若不过点A 的动直线l 与椭圆C 相交于P 、Q 两点，且AP →·AQ →＝0，求证：直线l 过定点，并求出该定点N 的坐标．变式1 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，四点1P (1,1)，2P (0,1)，)23,1(3 P ，)23,1(4P 中恰有三点在椭圆C 上． (1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．变式2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，椭圆上动点P 到一个焦点的距离的最小值为3(2－1)．(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 已知过点M (0，－1)的动直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，试判断以线段AB 为直径的圆是否恒过定点，并说明理由．题型四 定值问题例6 已知椭圆)(:012222>>=+b a by a x C 的离心率为23，且过点),(12-P ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设点Q 在椭圆C 上，且PQ 与x 轴平行，过P 点作两条直线分别交椭圆C 于),(11y x A),(22y x B 两点，若直线PQ 平分APB ∠，求证：直线AB 的斜率是定值，并求出这个定值．变式 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为2，离心率为22，椭圆的右顶点为A . （1）求该椭圆的方程；（2）过点(2,2)D -作直线PQ 交椭圆于两个不同点,P Q ，求证：直线,AP AQ 的斜 率之和为定值.例7 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221x y a b+=(0)a b >>，焦点到相应准线的距离为1． （1）求椭圆的标准方程；（2）若P 为椭圆上的一点，过点O 作OP 的垂线交直线y =于点Q ，求2211OP OQ +的值．变式在平面直角坐标系xOy 中，已知圆222:O x y b +=经过椭圆222:14x y E b +=(02)b <<的焦点.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设直线:l y kx m =+交椭圆E 于,P Q 两点，T 为弦PQ 的中点，(1,0),(1,0)M N -，记直线,TM TN 的斜率分别为12,k k ，当22221m k -=时，求12k k ⋅的值.题型五 最值、范围问题例8 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F (－1，0)，左准线方程为x ＝－2.(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 若椭圆C 上有A ，B 两点，满足OA ①OB (O 为坐标原点)，求①AOB 面积的取值范围．例9 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，点B 是椭圆C 上异于左、右顶点的任一点，P 是AB 的中点，过点B 且与AB 垂直的直线与直线OP 交于点Q ，已知椭圆C 的离心率为12，点A 到右准线的距离为6。
2023届高考数学一轮复习圆锥曲线定直线问题 讲义
圆锥曲线定直线问题方法提示：先猜后证一、分析定直线的类型：是否与坐标轴垂直 二、特殊化得到答案 三、按常规方法写解题过程典例例1.如图，已知椭圆C ：22221(0)y x a b a b+=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，其上顶点为A ．已知△F 1AF 2是边长为2的正三角形． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点(4,0)Q -任作一动直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，记MQ QN λ=⋅．若在线段MN 上取一点R ，使得MR RN λ=-⋅，当直线l 运动时，点R 在某一定直线上运动，求出该定直线的方程．例2.已知双曲线E ：()222104y x a a -=>的中心为原点O ，左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为355，点P 是直线23a x =上任意一点，点Q 在双曲线E 上，且满足220PF QF ⋅=．（1）求实数a 的值；（2）证明：直线PQ 与直线OQ 的斜率之积是定值；（3）若点P 的纵坐标为1，过点P 作动直线l 与双曲线右支交于不同的两点M 、N ，在线段MN 上去异于点M 、N 的点H ，满足PM MH PNHN=，证明点H 恒在一条定直线上．对点训练1、已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的左右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，,M N 分别为左右顶点，直线l ：1x ty =+与椭圆C 交于,A B 两点，当3t =-时，A 是椭圆的上顶点，且12AF F 的周长为6. （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线,AM BN 交于点Q ，证明：点Q 在定直线上.2、设椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，直线l 过椭圆的右焦点F ，与椭圆交于点M N 、；若l 垂直于x 轴，则3MN =. （1）求椭圆的方程；（2）椭圆的左右顶点分别为12A A 、，直线1A M 与直线2A N 交于点P .求证：点P 在定直线上.3、已知点()2,0A -，()2,0B ，动点(),R x y 满足直线AR 与BR 的斜率之积为14-.记R 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）设经过点()1,0Q 的直线l 交曲线C 于M ，N 两点，设直线BM ，BN 的斜率为1k ，2k ，直线AM 与直线BN 交于点G .①求12k k 的值； ②求证点G 在定直线上.4、已知抛物线E ：24x y =，过x 轴上一点M （不同于原点）的直线l 与E 交于两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，与y 轴交于C 点.（1）若MA MC λ=，MB MC μ=，求λμ的值；（2）若(4,0)M ，过A ，B 分别作E 的切线，两切线交于点P ，证明：点P 在定直线方程上，求出此定直线.5、已知,A B 两点在抛物线2C :4x y =上，点()0,4M 满足MA BM λ=． （1）若线段122AB =AB 的方程；（2）设抛物线C 过A B 、两点的切线交于点N ．求证：点N 在一条定直线上．6、在平面直角坐标系中，已知椭圆C ：22221x y a b+= (a>b>0)的离心率为12，右焦点F 到右准线的距离为3. （1）求椭圆C 的方程;（2）过点F 作直线l (不与x 轴重合)和椭圆C 交于M ， N 两点，设点5,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭. ①若AMN 的面积为35，求直线l 方程； ②过点M 作与)轴垂直的直线l "和直线NA 交于点P ，求证：点P 在一条定直线上.7、已知椭圆1C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为22，且经过点23.2⎛- ⎝⎭ (1)求椭圆1C 的标准方程；(2)已知抛物线2C 的焦点与椭圆1C 的右焦点重合，过点()0,2P -的动直线与抛物线2C 相交于A ，B 两个不同的点，在线段AB 上取点Q ，满足AP QB AQ PB ⋅=⋅，证明：点Q 总在定直线上．8、已知椭圆C 的离心率32e =1(2,0)A -，2(2,0)A ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线1x my =+与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线A 1P 与A 2Q 交于点S ，试问：当m 变化时，点S 是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由．9、设椭圆C ：22221(0)y x a b a b+=>>过点2,1)M ，且左焦点为1(2,0)F -. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅰ）当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 相交与两不同点A ，B 时，在线段AB 上取点Q ，满足AP QB AQ PB ⋅=⋅，证明：点Q 总在某定直线上.圆锥曲线定直线问题解析方法提示：先猜后证四、分析定直线的类型：是否与坐标轴垂直 五、特殊化得到答案 六、按常规方法写解题过程典例例1.如图，已知椭圆C ：22221(0)y x a b a b+=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，其上顶点为A ．已知△F 1AF 2是边长为2的正三角形． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点(4,0)Q -任作一动直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，记MQ QN λ=⋅．若在线段MN 上取一点R ，使得MR RN λ=-⋅，当直线l 运动时，点R 在某一定直线上运动，求出该定直线的方程．【答案】（1）22143+=y x （2）1=-x【解析】（1）因为△F 1AF 2是边长为2的正三角形，所以1=c ，2=a ，3=b ，椭圆C 的方程为22143+=y x ；（2）由题意知，直线MN 的斜率必存在，设其方程为(4)=+y k x ，并设11(,)M x y ，22(,)N x y由22(4)143=+⎧⎪⎨+=⎪⎩y k x y x ，消去y 得2222(43)3264120+++-=k x k x k ，则2144(14)0∆=->k ，21223243-+=+k x x k ，212264-1243=+k x x k 由=⋅MQ QN λ得124(4)--=+x x λ，故1244+=-+x x λ设点R 的坐标为00(,)x y ，则由=-⋅MR RN λ得0120()-=--x x x x λ解得：1122122121201122243424()43114()831434+-+⋅-++++=====--+++-+++x x x x x x x x x x k x x x x k x λλ故点R 在定直线1=-x 上．例2.已知双曲线E ：()222104y x a a -=>的中心为原点O ，左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为355，点P 是直线23a x =上任意一点，点Q 在双曲线E 上，且满足220PF QF ⋅=．（1）求实数a 的值；（2）证明：直线PQ 与直线OQ 的斜率之积是定值；（3）若点P 的纵坐标为1，过点P 作动直线l 与双曲线右支交于不同的两点M 、N ，在线段MN 上去异于点M 、N 的点H ，满足PM MH PNHN=，证明点H 恒在一条定直线上．【答案】（1）5=a （2）定值为45（3）43120--=x y【解析】（1）设双曲线E 的半焦距为c ，由题意可得223554⎧=⎪⎨⎪=+⎩c a c a ，解得5=a ． （2）证明：由(1)可知，直线25=33=a x ，点2(3,0)F ．设点5(,)3P t ，00(,)Q x y ，因为220⋅=PF QF ，所以005(3,)(3,)03----=t x y ，所以004(3)3=-ty x .因为点00(,)Q x y 在双曲线E 上，所以220054=x y ，即22004(5)5=-y x .所以220000002200000044(5)(3)5345555333-----=⋅===---PQ OQ x x y t y y ty k k x x x x x x ，所以直线PQ 与直线OQ的斜率之积是定值45.（3）证明：设点(,)H x y ，且过点5(,1)3P 的直线l 与双曲线E 的右支交于不同两点11(,)M x y ，22(,)N x y ，则22114520-=x y ，22224520-=x y ，即22114(5)5=-y x ，22224(5)5=-y x .设==PM MH PN HN λ，则⎧=⎪⎨=⎪⎩PM PN MH HNλλ.即1122112255(,1)(,1)33(,)(,)⎧--=--⎪⎨⎪--=--⎩x y x y x x y y x x y y λλ，.整理，得121212125(1)31(1)(1)⎧-=-⎪⎪-=-⎨⎪+=+⎪+=+⎩x x y y x x x y y y λλλλλλλλ，故2222122222125(1)3(1)⎧-=-⎪⎨⎪-=-⎩x x x y y y λλλλ，将22114(5)5=-y x ，22224(5)5=-y x 代入，得221224451-=⨯--x x y λλ．消去λ，1x ，2x ，得443=-y x ．所以点H 恒在定直线43120--=x y 上．对点训练1、已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的左右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，,M N 分别为左右顶点，直线l ：1x ty =+与椭圆C 交于,A B 两点，当3t =-时，A 是椭圆的上顶点，且12AF F 的周长为6. （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线,AM BN 交于点Q ，证明：点Q 在定直线上.【答案】（1）22143x y +=（2）证明见解析 【解析】（1）当3t =-时，直线l 为31x y =+，令0x =，得3y =即椭圆的上顶点为(3，所以3b = 又12AF F 的周长为6，即226a c +=，又222a b c =+，解得2,1a c ==，所以椭圆C 的方程为22143x y += . （2）设()()1122,,,A x y B x y ，由221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得()2234690t y ty ++-=，所以122122634934t y y t y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，又()()2,0,2,0M N -，所以直线AM 的方程为()1122y y x x =++， 直线BN 的方程为()2222y y x x =--， 联立直线AM 、AN 的方程得()()()()212112212121212332221y x y ty ty y y x x y x y ty ty y y ++++===---- .由122634t y y t +=-+得122634ty y t =--+代入上式，得222212212122222993332343439632343434t ty y ty y y x t t t t t x ty y y y y t t t --++++++====----++++++，解得4x =，所以点Q 在定直线4x =上.2、设椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，直线l 过椭圆的右焦点F ，与椭圆交于点M N 、；若l 垂直于x 轴，则3MN =. （1）求椭圆的方程；（2）椭圆的左右顶点分别为12A A 、，直线1A M 与直线2A N 交于点P .求证：点P 在定直线上.【答案】（1）22143x y +=（2）见解析【解析】（1）由已知得22312b ac a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以231a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩22143x y +=；（2）设()11,M x y ，()()2212,N x y y y >，:1MN l x my =+，联立221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2234690m y my ++-=，所以122122634934m y y m y y m -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，可得()111:22A M y l y x x =++，()222:22A N yl y x x =--， 所以()()()122121122121222P x y x y y y x x y x y y y ++-=-++()()()12212121212222my y y y y y y y y y +++-=-++，又因为()121223my y y y =+， 所以()()()()2121212124242P y y y y x y y y y ++-==-++；所以点P 在直线4x =上．3、已知点()2,0A -，()2,0B ，动点(),R x y 满足直线AR 与BR 的斜率之积为14-.记R 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）设经过点()1,0Q 的直线l 交曲线C 于M ，N 两点，设直线BM ，BN 的斜率为1k ，2k ，直线AM 与直线BN 交于点G .①求12k k 的值； ②求证点G 在定直线上.【答案】（1）221,(2)4x y x +=≠±，（2）1234k k =-，点G 在直线4x =上，证明见解析【解析】（1）因为直线AR 与BR 的斜率之积为14-，所以1224y y x x ⋅=-+-，即221,(2)4x y x +=≠± 故曲线C 221,(2)4x y x +=≠±（2）易知直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为1x my =+由22141x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩可得，()224230m y my ++-= 设()()1122,,,M x y N x y ，则12224m y y m +=-+，12234y y m -=+ ()12122824x x m y y m +=++=+，()2212121224414m x x m y y m y y m -+=+++=+ ()2121212212121222334441622244444y y y y m k k m x x x x x x m m -+=⋅===--+---++-+++设121200(2),(2)22AM BNy y l y x l y x x x --==+==-+-，记直线AM 与BN 的交点()00,G x y则()()120012002222y y x x x x --+=-+-， 即()()()()12210122222y x y x x x x --+⋅+-()()()()211221222222y x y x x x ⎡⎤++-=-⎢⎥-+⎣⎦，()()()()()()211221120122112212222212(2)13)23(y x y x y my y my x y x y x y my y my +-+-=-=---+-++-+()()212122122122221122882864232244424y my y y y y my y y mm m m y y y y y y y =-+-+++-+-++++=+==，故04x =即点G 在直线4x =上.4、已知抛物线E ：24x y =，过x 轴上一点M （不同于原点）的直线l 与E 交于两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，与y 轴交于C 点.（1）若MA MC λ=，MB MC μ=，求λμ的值；（2）若(4,0)M ，过A ，B 分别作E 的切线，两切线交于点P ，证明：点P 在定直线方程上，求出此定直线.【答案】（1）1（2）交点P 在直线2y x =上【解析】（1）设(),0M n ，()0,C C y ，()11,A x y ，()22,B x y ，由MA MC λ=，MB MC μ=得，()()11,,C x n y n y λ-=-，()()22,,C x n y n y μ-=-，所以1n x n λ-=，2n x nμ-=， 设l ：()y k x n =-， 联立()24y k x n x y⎧=-⎨=⎩，则2440x kx kn -+=，()24440k kn ∆=-⨯>，所以20k kn ->，则124x x k +=，124x x kn =， 所以()22121222441n n x x x x n nk knn nλμ-++-+===. （2）设(),P x y ，24x y =，即2y 4x =，有x y'2=.过A 的切线方程为()1112x y y x x -=-，即21124x x x y =-，所以过B 的切线方程为22224x x x y =-两方程联立得122x x x +=，124x x y =，由（1）知124x x k +=，1216x x k =，所以2x k =，4y k =， 所以2y x =，即交点P 在直线2y x =上.5、已知,A B 两点在抛物线2C :4x y =上，点()0,4M 满足MA BM λ=． （1）若线段122AB =AB 的方程；（2）设抛物线C 过A B 、两点的切线交于点N ．求证：点N 在一条定直线上． 【答案】（1）24y x =+；（2）见解析 【解析】（1）设()()1122,,,A x y B x y ，:4AB l y kx =+与24x y =联立得24160x kx --=，()()22441616640k k ∆=---=+>， 12124,16x x k x x +==-，()222212121?41?4+4AB k x x x x k k =++-=+，又122AB =221?44122k k ++=解得：222,7k k ==-（舍），所以直线的方程24y x =+ （2）证明：过点A 的切线：()211111111224y x x x y x x x =-+=-，①， 过点B 的切线：2221124y x x x =-，②，联立①②得点12,42x x N +⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以点N 在定直线4y =-上．6、在平面直角坐标系中，已知椭圆C ：22221x y a b+= (a>b>0)的离心率为12，右焦点F 到右准线的距离为3. （1）求椭圆C 的方程;（2）过点F 作直线l (不与x 轴重合)和椭圆C 交于M ， N 两点，设点5,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭. ①若AMN 的面积为35，求直线l 方程；②过点M 作与)轴垂直的直线l "和直线NA 交于点P ，求证：点P 在一条定直线上.【答案】（1）22143x y +=；（2）①3(1)y x =-，②见解析 【解析】（1）由题意：2222123c a a c c a b c ⎧=⎪⎪⎪-=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得：23a b =⎧⎪⎨=⎪⎩C 的方程为22143x y +=（2）①当直线l 斜率不存在时，方程为1x =，此时331,,1,22M N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不合题意;当直线l 斜率存在时，设方程为(1)y k x =-.由22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去y 得：()22223484120k x k x k +-+-=.设()()1122,,,M x y N x y .由题意，>0∆， 且221212228412,3434k k x x x x k k-+=⋅=++ 所以()()2212121212212||1||434k k y y k x x k x x x x k +-=-=⋅+-=+因为5,02A ⎛⎫⎪⎝⎭， AMN ∆的面积为635所以1215631225y y ⎛⎫⨯-⨯-= ⎪⎝⎭，即2212||13345k k k +=+，解得3k =所以直线l 的方程为3(1)y x =-.②当直线l 的斜率不存在时，直线NA 的方程为：2250x y --=.令32y =，得4x =，所以直线NA 与l '的交点坐标3(4,)2．当直线l 的斜率存在时，由①知，221212228412,3434k k x x x x k k-+=⋅=++ 由直线NA 的方程为：225522y y x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭- 令1y y =，得()()()121222255511522221y x k x x k x x y k x ⎛⎫⎛⎫---+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=- ()()()121222544121kx x x x k k x k x -+++-=-()()33222241258441342341k k k k k x k k k x --⋅++-++=- ()()()()33222222412584414134234411k k k k k x k x k k k x k x --⋅++--++===--所以直线NA 与l '的交点P 的坐标为1(4,)P y ， 综上所述，点P 在一条定直线4x =上，7、已知椭圆1C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为22，且经过点23.2⎛- ⎝⎭ (1)求椭圆1C 的标准方程；(2)已知抛物线2C 的焦点与椭圆1C 的右焦点重合，过点()0,2P -的动直线与抛物线2C 相交于A ，B 两个不同的点，在线段AB 上取点Q ，满足AP QB AQ PB ⋅=⋅，证明：点Q 总在定直线上．【答案】（1）2212x y +=；（2）详见解析. 【解析】（1）由题意可知222222231,44c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得22a =，21b =，故椭圆的方程为2212x y +=． （2）证明：由已知可得抛物线2C 的标准方程为24y x =，设点Q ，A ，B 的坐标分别为(),x y ，()11,x y ，()22,x y ， 由题意知B PA PB AQQ=，不妨设A 在P ，Q 之间，设PA AQ λ=，(0)λ>，又点Q 在P ，B 之间，故PB BQ λ=-，PB BQ >，1λ∴>，由PA AQ λ=可得()()1111,2,x y x x y y λ+=--解得11xx λλ=+，121yy λλ-+=+，点A 在抛物线上，22()411y x λλλλ-+∴=⨯++，即()2(2)41y x λλλ-=+，()1λ≠-，①由PB BQ λ=-可得()()2222,2,x y x x y y λ+=---解得21xx λλ=-，221y y λλ+=-， 点B 在抛物线上，22()411y xλλλλ+∴=⨯--， 即()2(2)41y x λλλ+=-，()1λ≠，②． 由-②①可得()842y x λλ=-，0λ≠，0x y ∴+=，∴点Q 总在定直线0x y +=上8、已知椭圆C 的离心率3e =1(2,0)A -，2(2,0)A ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线1x my =+与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线A 1P 与A 2Q 交于点S ，试问：当m 变化时，点S 是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由．【答案】（1）2214+=x y （2）4=x【解析】（1）设椭圆C 的方程为22221(0)+=>>y x a b a b， ∵ 2=a ，3=e ∴3=c 21=b ， ∴椭圆C 的方程为2214+=x y ．（2）取0=m ，得3P ，3(1,)Q ， 直线A 1P 的方程是3363=+y x ，直线A 2Q 的方程是332=y x 它们交点为13)S ．若3(1,P ，3(1,Q ，由对称性可知2(4,3)-S ，若点S 在同一条直线上，由直线只能为l ：4=x ．以下证明对于任意的m ，直线A 1P 与A 2Q 的交点S 均在直线l ：4=x 上，事实上，由22114=+⎧⎪⎨+=⎪⎩x my x y ，得22(4)230++-=m y my ， 记11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则12224-+=+m y y m ，12234-⋅=+y y m ，记A 1P 与l 交于点00(4,)S y ，由011422=++y y x ，得10162=+y y x ，设A 2Q 与l 交于点''0(4,)S y ，由022422=--’y y x ，得'20222=-y y x ，∵'121221121200121212626(1)2(3)46()22(2)(2)(2)(2)--+-+-=-==+-+-+-y y y my y my my y y y y y x x x x x x 2212121244=0(2)(2)---++=+-m mm m x x ， ∴'00=y y ，即00(4,)S y 与''00(4,)S y 重合，这说明，当m 变化时，点S 恒在定直线l ：4=x 上．9、设椭圆C ：22221(0)y x a b a b+=>>过点2,1)M ，且左焦点为1(2,0)F -. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅰ）当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 相交与两不同点A ，B 时，在线段AB 上取点Q ，满足AP QB AQ PB ⋅=⋅，证明：点Q 总在某定直线上.【答案】（1）22142=y x ， （2）220+-=x y【解析】（1）由题意：2222222211⎧=⎪⎪+=⎨⎪⎪=-⎩c a b c a b，解得24=a ，22=b ．所求的求椭圆C 的方程22142+=y x ． （2）方法一：设点(,)Q x y ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，由题设，||PA 、||PB 、||AQ 、||QB 均不为0，且⋅=⋅AP QB AQ PB ， 又P 、A 、Q 、B 四点共线，可设=-PA AQ λ，(0,1)=≠±PB BQ λλ，于是141-=-x x λλ，141-=-yy λλ①241+=+x x λλ，241+=+yy λλ②由于11(,)A x y ，22(,)B x y 在椭圆上，将①②分别带入C 的方程22142+=y x ， 整理得：222(24)4(22)140+--+-+=x y x y λλ ③222(24)4(22)140+-++-+=x y x y λλ ④由④－③得8(22)0+-=x y λ．∵0≠λ，∴220+-=x y ．即点(,)Q x y 总在直线220+-=x y 上． 方法二：设点(,)Q x y ，11(,)A x y ，22(,)B x y ， 由题设，||PA 、||PB 、||AQ 、||QB 均不为0，又P 、A 、Q 、B 四点共线，可设=-PA AQ λ，(0,1)=≠±PB BQ λλ， 于是：1241-=-x x λλ，1211-=-y y λλ；121+=+x x x λλ，121+=+y y y λλ．从而2212241-=-x x x λλ ① 221221-=-y y y λλ ②又点A ，B 在椭圆上，即221124+=x y ③ 222224+=x y④①＋2×②并结合③，④得220+-=x y ，即点(,)Q x y 总在直线220+-=x y 上．。
2023届高考数学一轮复习圆锥曲线角度关系证明 讲义
圆锥曲线角度问题方法提示角度的证明往往转为斜率问题或者坐标问题，其中角相等问题优先考虑转为斜率之和为零处理，或者考虑用向量进行计算。
典例例1、如图，已知椭圆C ：22x a ＋22y b ＝1(a >b >0)的离心率为13，左、右焦点分别为F 1，F 2，A 为椭圆C 上一点，AF 1与y 轴相交于点B ，|AB |＝|F 2B |，|OB |＝43.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设椭圆C 的左、右顶点分别为A 1，A 2，过A 1，A 2分别作x 轴的垂线l 1，l 2，椭圆C 的一条切线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0)与l 1，l 2分别交于M ，N 两点，求证：∠MF 1N ＝∠MF 2N .例2、已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>2F ，以原点O 为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线20x y -=相切. （1）求椭圆C 的方程；（2）如图，过定点0(2)P ，的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，连接AF 并延长交C 于M ，求证：PFM PFB ∠=∠.例3、在平面直角坐标系xOy 中，已知点E (0，2)，以OE 为直径的圆与抛物线C ∶x 2=2py (p >0)交于点M ，N (异于原点O )，MN 恰为该圆的直径，过点E 作直线交抛物线与A ，B 两点，过A ，B 两点分别做拋物线C 的切线交于点P . （1）求证∶点P 的纵坐标为定值；（2）若F 是抛物线C 的焦点，证明∶∠PF A =∠PFB .综合练习1、已知动圆Q 经过定点()0,F a ，且与定直线:l y a =-相切（其中a 为常数，且0a >）.记动圆圆心Q 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线？（2）设点P 的坐标为()0,a -，过点P 作曲线C 的切线，切点为A ，若过点P 的直线m 与曲线C 交于M ，N 两点，证明：AFM AFN ∠=∠.2、椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>，经过点()0,1A -2（1）求椭圆E 的方程；（2）过椭圆右焦点的直线与椭圆E 交于，PQ 两点，点()2,0M ，O 为坐标原点，证明：OMP OMQ ∠=∠.3、已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>5，1(,0)F c-，2(,0)F c分别为椭圆的左、右焦点，点4(,)3c在椭圆上．（1）求C的方程；（2）若直线(1)y k x=-与椭圆C相交于A，B两点，试问：在x轴上是否在点D，当k变化时，总有ODA ODB∠=∠？若存在求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．4、已知椭圆C中心为原点，离心率12，焦点()1,0F.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过定点()0,1且斜率为k的直线l与椭圆C交于A，B两点，在y轴上是否存在点Q，使得当k变动时，总有OQA OQB∠=∠？说明理由.5、在直角坐标系xOy中，曲线2:4C x y=与直线(0)y kx a a=+>交与M，N两点．（1）当0k=时，分别求C在点M和N处的切线方程；（2）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有OPM OPN∠=∠？说明理由．6、已知椭圆C 的中心为原点，离心率12，焦点(1,0)F ，斜率为k 的直线l 与C 交于,A B 两点．（1）若线段AB 的中点为(1,),M m P 为C 上一点，且,FA FP FB ,成等差数列，求点P 的坐标；（2）若l 过点(0,)(03),n n y <轴上是否存在点Q ，使得当k 变动时，总有OQA OQB ∠=∠说明理由．7、如图，已知点F 为抛物线E ：y 2=2px (p >0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |=3.（1）求抛物线E 的方程；（2）已知点G (-1，0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：GF 为∠AGB 的平分线.8、设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为(2,0).（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，直线l 不与x 轴重合，求OMAOMB∠∠的值.9、已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的短轴长是222．（1）求椭圆E 的方程；（2）已知()0,1C ，若直线1:3l y kx =-与椭圆E 相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，是否存在常数λ，使AMC ABC λ=⋅∠∠恒成立，并说明理由．圆锥曲线角度问题解析方法提示角度的证明往往转为斜率问题或者坐标问题，其中角相等问题优先考虑转为斜率之和为零处理，或者考虑用向量进行计算。
高考数学(圆锥曲线)第一轮复习
高考数学（圆锥曲线）第一轮复习资料知识小结一.椭圆第一种定义:平面内与两个定点F 1、F 2的距离之和等于常数(大于｜F 1F 2｜)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距.第二种定义:平面内一个动点到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是小于1的正常数,这个动点的轨迹叫椭圆,定点是椭圆的焦点,定直线叫做椭圆的准线.3.椭圆的标准方程:(1))0(12222>>=+b a b y a x ,焦点:F 1(-c,0),F 2(c,0),其中c=22b a -.(2))0(12222>>=+b a ay b x ,焦点:F 1(0,-c),F 2(0,c),其中c=22b a -.4.椭圆的参数方程:⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x ,(参数θ是椭圆上任意一点的离心率).5.椭圆的几何性质:以标准方程)0(12222>>=+b a by a x 为例:①范围:|x|≤a,|y|≤b;②对称性:对称轴x=0,y=0,对称中心为O(0,0);③顶点A(a,0),A′(-a,0),B(0,b),B′(0,-b);长轴|AA′|=2a,短轴|BB′|=2b;④离心率:e=a c,0<e<1;⑤准线x=±ca 2;⑥焦半径:|PF 1|=a+ex,|PF 2|=a-ex,其中P(x,y)是椭圆上任意一点.二.双曲线1.双曲线的定义(1)双曲线的第一定义:平面内与两定点F 1、F 2的距离差的绝对值等于常数2a(0<2a<｜F 1F 2｜)的点的轨迹叫双曲线.两定点F 1、F 2是焦点，两焦点间的距离｜F 1F 2｜是焦距，用2c 表示.常数用2a 表示.(2)双曲线的第二定义:若点M 到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个常数e(e>1) 2.双曲线的标准方程(1)焦点在x 轴上:)0,0(12222>>=-b a by a x ,焦点坐标为F 1(-c,0),F 2(c,0),22b a c +=.(2)焦点在y 轴上: )0,0(12222>>=-b a bx a y ,焦点坐标为F 1(0,-c),F 2(0,c).22b a c +=.3.双曲线简单几何性质:以标准方程)0,0(12222>>=-b a by a x 为例.(1)范围:|x|≥a;即x ≥a,x ≤-a.(2)对称性:对称轴为x=0,y=0;对称中心为O(0,0).(3)顶点:A 1(-a,0),A 2(a,0)为双曲线的两个顶点;线段A 1A 2叫双曲线的实轴,B 1B 2叫双曲线的虚轴,其中B 1(0,b),B 2(0,b).|A 1A 2|=2a,|B 1B 2|=2b.(4)渐近线:双曲线渐近线的方程为y=ab±x;(5)准线:x=ca 2±;(6)离心率:e=ac,e>1. 4.等轴双曲线:x 2-y 2=±a 2,实轴长等于虚轴长,其渐近线方程为y=±x,离心率e=2三.抛物线1.抛物线的定义:平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,点F 叫做抛物线的焦点,直线l 叫做抛物线的准线,定点不在定直线上.2.开口向右、向左、向上、向下的抛物线及其标准方程的异同点：相同点:(１)原点在抛物线上;(２)对称轴为坐标轴;p 值的意义表示焦点到准线的距离;(3)p>0为常数;(4)p 值等于一次项系数绝对值的一半;(5)准线与对称轴垂直，垂足与焦点关于原点对称，它们与原点的距离等于一次项系数的绝对值的１／４,即2p/4=p/2. 不同点:四.直线与圆锥曲线的位置关系1.关于直线与圆锥曲线的交点问题:一般方法是用解方程组的方法求其交点的坐标.2.判断直线与圆锥曲线交点个数问题:即判断方程组解的个数.3.直线与圆锥曲线位置关系的判定:通法是消去一个未知数若得到的是关于另一未知数的一元二次方程,可用根的判别式∆来判断，注意直线与圆锥曲线相切必有一个公共点，对圆与椭圆来说反之亦对，但对双曲线和抛物线来说直线与其有一公共点，可能是相交的位置关系.4.直线与圆锥曲线相交的弦长计算:(1)连结圆锥曲线上两点的线段称为圆锥曲线的弦;(2)易求出弦端点坐标时用距离公式求弦长;(3)一般情况下,解由直线方程和圆锥曲线方程组成的方程组,得到关于x(或y)的一元二次方程,利用方程组的解与端点坐标的关系,结合韦达定理得到弦长公式:|AB|=]4))[(1(212212x x x x k -++.5.关于相交弦的中点问题:涉及到弦的中点时,常结合韦达定理.6.曲线关于直线对称问题:注意两点关于直线对称的条件:(1)两点连线与该直线垂直;(2)中点在此直线上.7．弦长公式1212||||AB x x y y =-=- 8．焦点弦长：||PF e d=（点P 是圆锥曲线上的任意一点，F 是焦点，d 是P 到相应于焦点F 的准线的距离，e 是离心率）五.轨迹问题1.常见的轨迹:(1)在平面内,到两定点的距离相等的点的轨迹是连接两定点的线段的垂直平分线.(2)平面内到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线.(3)平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心的圆.(4)平面内到定点的距离与到定直线的距离之比等于常数的点的轨迹是圆锥曲线.当常数大于1时表示双曲线;当常数等于1时,表示抛物线;当常数大于0而小于1时表示椭圆.定点和定直线分别是圆锥曲线的焦点和相应的准线.(5)平面内到定直线的距离等于某一定值的点的轨迹是与这条直线平行的两条直线.2.求动点的轨迹的步骤:(1)建立坐标系,设动点坐标M(x,y);(2)列出动点M(x,y)满足的条件等式;(3)化简方程;(4)验证(可以省略);(5)说明方程的轨迹图形,最后“补漏”和“去掉增多”的点.3.求动点轨迹的常用方法:直接法;定义法;代入法(相关点法);参数法. 4．相关点法（代入法）：对于两个动点00(,),(,)P x y Q x y ，点P 在已知曲线上运动导致点Q 运动形成轨迹时，只需根据条件找到这两个点的坐标之间的等量关系并化为00(,)(,)x f x y y g x y =⎧⎨=⎩然后将其代入已知曲线的方程即得到点Q 的轨迹方程．5．参数法（交规法）：当动点P 的坐标,x y 之间的直接关系不易建立时，可适当地选取中间变量t ，并用t 表示动点P 的坐标,x y ，从而动点轨迹的参数方程()()x f t y g t =⎧⎨=⎩消去参数t ，便可得到动点P 的的轨迹的普通方程，但要注意方程的等价性，即有t 的范围确定出,x y 的范围．六.圆锥曲线的应用 1．相关点法（代入法）：对于两个动点00(,),(,)P x y Q x y ，点P 在已知曲线上运动导致点Q 运动形成轨迹时，只需根据条件找到这两个点的坐标之间的等量关系并化为00(,)(,)x f x y y g x y =⎧⎨=⎩然后将其代入已知曲线的方程即得到点Q 的轨迹方程．2．参数法（交规法）：当动点P 的坐标,x y 之间的直接关系不易建立时，可适当地选取中间变量t ，并用t 表示动点P 的坐标,x y ，从而动点轨迹的参数方程()()x f t y g t =⎧⎨=⎩消去参数t ，便可得到动点P 的的轨迹的普通方程，但要注意方程的等价性，即有t 的范围确定出,x y 的范围．试题选讲1．椭圆12222=+by a x （a>b>0）的两焦点为F 1F 2，连接点F1，F 2为边作正三角形，若椭圆恰1-2．已知N （3，1），点A 、B 分别在直线y=x 和y =0上，则△ABN 的周长的最小值是3．一个动圆的圆心在抛物线28y x =上，且动圆恒与直线20x +=相切，则此动圆必经过点______(2,0)________4．抛物线顶点在原点，焦点在y 轴上，其上一点(,1)M m 到焦点的距离为5，则此抛物线的方程为 216x =5．椭圆22221(0)x y a b ab +=>>那么双曲线22221x y ab -=的离心率为6．已知椭圆的焦点是12,,F F P 是椭圆上的一个动点，如果延长1F P 到Q ，使得2PQ PF =，那么动点Q 的轨迹是 圆7．椭圆221123x y +=的焦点是12,F F ，点P 在椭圆上，如果线段1F P 的中点在y 轴上，那么12:PF PF = 7:18．过点(0,1)M 且与抛物线2:4C y x =仅有一个公共点的直线方程是 0,1x y ==及1y x =+9．函数()()1x 1x x 21x f 2≤≤---=的图象为C,则C 与x 轴围成的封闭图形的面积为______2－2π______.10．若椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，抛物线bx y 42=的焦点为M ，若||2||21M F M F =，则此椭圆的离心率为10103101011．已知双曲线)0(122>=-m my x 的右顶点为A ，而B 、C 是双曲线右支上两点，若三角形ABC 为等边三角形，则m 的取值范围是 ),3(+∞ 。
一轮复习圆锥曲线
高考一轮复习圆锥曲线1.圆锥曲线的两个定义：（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。
若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。
若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
如（1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 A ．421=+PF PF B ．621=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122221=+PF PF （答：C ）；（2）方程8=表示的曲线是_____（答：双曲线的左支） （2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率e 。
圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。
如已知点)0,22(Q 及抛物线42x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____（答：2） 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+by a x （0a b >>）⇔{cos sin x a y b ϕϕ==（参数方程，其中ϕ为参数），焦点在y 轴上时2222bx a y +＝1（0a b >>）。
方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。
2023年高考数学(文科)一轮复习讲义——圆锥曲线的综合问题 第一课时 定点问题
第一课时 定点问题题型一 直线过定点问题例1 (2020·全国Ⅰ卷)已知A ，B 分别为椭圆E ：x 2a 2＋y 2＝1(a >1)的左、右顶点，G 为E 的上顶点，AG →·GB →＝8，P 为直线x ＝6上的动点，P A 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D . (1)求E 的方程；(2)证明：直线CD 过定点.(1)解 由题设得A (－a ，0)，B (a ，0)，G (0，1). 则AG→＝(a ，1)，GB →＝(a ，－1). 由AG →·GB →＝8，得a 2－1＝8， 解得a ＝3或a ＝－3(舍去). 所以椭圆E 的方程为x 29＋y 2＝1.(2)证明 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，P (6，t ).若t ≠0，设直线CD 的方程为x ＝my ＋n ，由题意可知－3<n <3. 易知直线P A 的方程为y ＝t9(x ＋3)， 所以y 1＝t9(x 1＋3).易知直线PB 的方程为y ＝t3(x －3)， 所以y 2＝t3(x 2－3).可得3y 1(x 2－3)＝y 2(x 1＋3).① 由于x 229＋y 22＝1， 故y 22＝－（x 2＋3）（x 2－3）9，②由①②可得27y 1y 2＝－(x 1＋3)(x 2＋3)， 结合x ＝my ＋n ，得(27＋m 2)y 1y 2＋m (n ＋3)(y 1＋y 2)＋(n ＋3)2＝0.③ 将x ＝my ＋n 代入x 29＋y 2＝1， 得(m 2＋9)y 2＋2mny ＋n 2－9＝0. 所以y 1＋y 2＝－2mnm 2＋9，y 1y 2＝n 2－9m 2＋9.代入③式，得(27＋m 2)(n 2－9)－2m (n ＋3)mn ＋(n ＋3)2(m 2＋9)＝0. 解得n ＝－3(舍去)或n ＝32. 故直线CD 的方程为x ＝my ＋32， 即直线CD 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0.若t ＝0，则直线CD 的方程为y ＝0，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0.综上，直线CD 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0.感悟提升 圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数没有关系，找到定点.(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.训练1 已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，|PF 1|＋|PF 2|＝4. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线l 不经过P 点且与椭圆C 相交于A ，B 两点.若直线P A 与直线PB 的斜率之和为1，问：直线l 是否过定点？证明你的结论. 解 (1)由|PF 1|＋|PF 2|＝4，得a ＝2， 又P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32在椭圆上，代入椭圆方程有1a 2＋94b 2＝1，解得b ＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)当直线l 的斜率不存在时， 设A (x 1，y 1)，B (x 1，－y 1)，k 1＋k 2＝y 1－32－y 1－32x 1＋1＝1，解得x 1＝－4，与椭圆无交点，不符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，3x 2＋4y 2－12＝0，整理得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0， x 1＋x 2＝－8km3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－123＋4k 2， Δ＝48(4k 2－m 2＋3)>0. 由k 1＋k 2＝1，整理得(2k －1)x 1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋m －52(x 1＋x 2)＋2m －4＝0，即(m －4k )(2m －2k －3)＝0.当m ＝k ＋32时，此时，直线l 过P 点，不符合题意；当m ＝4k 时，Δ＝4k 2－m 2＋3>0有解，此时直线l ：y ＝k (x ＋4)过定点(－4，0).题型二 圆过定点问题例2 (2021·湖南三湘名校联考)已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b ≥1)的离心率为22，它的上焦点到直线bx ＋2ay －2＝0的距离为23. (1)求椭圆C 的方程；(2)过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，试探究以线段AB 为直径的圆是否过定点.若过，求出定点坐标；若不过，请说明理由. 解 (1)由题意得，e ＝c a ＝22. 又a 2＝b 2＋c 2， 所以a ＝2b ，c ＝b . 又|2ac －2|4a 2＋b 2＝23，a >b ≥1，所以b 2＝1，a 2＝2， 故椭圆C 的方程为y 22＋x 2＝1.(2)当AB ⊥x 轴时，以线段AB 为直径的圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132＋y 2＝169.当AB ⊥y 轴时，以线段AB 为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1. 可得两圆交点为Q (－1，0).由此可知，若以线段AB 为直径的圆过定点，则该定点为Q (－1，0). 下证Q (－1，0)符合题意. 设直线l 的斜率存在，且不为0， 其方程设为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13，代入y 22＋x 2＝1，并整理得(k 2＋2)x 2－23k 2x ＋19k 2－2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 23（k 2＋2），x 1x 2＝k 2－189（k 2＋2）， 所以QA →·QB →＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－13 ＝(1＋k 2)x 1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13k 2(x 1＋x 2)＋1＋19k 2＝(1＋k 2)·k 2－189（k 2＋2）＋⎝⎛⎭⎪⎫1－13k 2·2k 23（k 2＋2）＋1＋19k 2 ＝0.故QA→⊥QB →，即Q (－1，0)在以线段AB 为直径的圆上.综上，以线段AB 为直径的圆恒过定点(－1，0).感悟提升 1.定点问题，先猜后证，可先考虑运动图形是否有对称性及特殊(或极端)位置猜想，如直线的水平位置、竖直位置，即k ＝0或k 不存在时.2.圆过定点问题，一般从圆的直径所对的圆心角为直角入手，利用垂直关系找到突破口，从而解决问题.训练2 (2022·江西红色七校联考)已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为2 2. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点S ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0的动直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，试问：在x 轴上是否存在一个定点T ，使得无论直线l 如何转动，以AB 为直径的圆恒过点T ？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由. 解 (1)由椭圆的定义可得2a ＝22， 则a ＝2，∵椭圆C 的离心率e ＝c a ＝22， ∴c ＝1，则b ＝a 2－c 2＝1，∴椭圆C 的标准方程为y 22＋x 2＝1.(2)当直线l 不与x 轴重合时，设直线l 的方程为x ＝my －13，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，T (t ，0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －13，y 22＋x 2＝1消去x 并整理，得(18m 2＋9)y 2－12my －16＝0，Δ＝144m 2＋64(18m 2＋9)＝144(9m 2＋4)>0恒成立， 则y 1＋y 2＝12m 18m 2＋9＝4m 6m 2＋3，y 1y 2＝－1618m 2＋9. 由于以AB 为直径的圆恒过点T ， 则TA ⊥TB ，TA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫my 1－t －13，y 1，TB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫my 2－t －13，y 2，则TA →·TB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫my 1－t －13⎝ ⎛⎭⎪⎫my 2－t －13＋y 1y 2 ＝(m 2＋1)y 1y 2－m ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋13(y 1＋y 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋132＝－16（m 2＋1）－m ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋13×12m18m 2＋9＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋132 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋132－（12t ＋20）m 2＋1618m 2＋9＝0， ∵点T 为定点，∴t 为定值，与m 无关， ∴12t ＋2018＝169，解得t ＝1，此时TA →·TB→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫432－169＝0，符合题意. 当直线l 与x 轴重合时，AB 为椭圆C 的短轴，易知以AB 为直径的圆过点(1，0). 综上所述，存在定点T (1，0)，使得无论直线l 如何转动，以AB 为直径的圆恒过定点T .圆锥曲线中的“伴侣点”问题在圆锥曲线的很多性质中，常常出现一对活跃的点A (m ，0)和B ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2m ，0，这一对点总是同时出现在圆锥曲线的对称轴上，形影不离，相伴而行，我们把这对特殊的点形象地称作圆锥曲线的“伴侣点”.圆锥曲线的“伴侣点”在我们研究圆锥曲线的性质中具有重要的地位，蕴涵着圆锥曲线许多有趣的性质. 例 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，设A (m ，0)和B ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2m ，0(0<m <a )是x 轴上的两点，过点A 作斜率不为0的直线l ，使得l 交双曲线于C ，D 两点，作直线BC 交双曲线于另一点E .证明：直线DE 垂直于x 轴. 证明 设点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，E (x 3，y 3)， 则直线l 的方程为y ＝y 1x 1－m(x －m ). 把直线l 的方程代入双曲线方程，整理得(b 2x 21－a 2y 21－2b 2mx 1＋b 2m 2)x 2＋2a 2my 21x －a 2y 21m 2－a 2b 2(x 1－m )2＝0， 由b 2x 21－a 2y 21＝a 2b 2(点C 在双曲线上)，上面方程可化简为(a 2b 2－2b 2mx 1＋b 2m 2)x 2＋2a 2my 21x －a 2[(y 21＋b 2)m 2＋b 2x 21－2b 2mx 1]＝0， 又因为b 2x 21－a 2y 21＝a 2b 2， 所以a 2(y 21＋b 2)＝b 2x 21，代入上式，方程又可化简为(a 2b 2－2b 2mx 1＋b 2m 2)x 2＋2a 2my 21x －b 2x 21m 2－a 2b 2x 21＋2a 2b 2mx 1＝0，由已知，显然a 2b 2－2b 2mx 1＋b 2m 2≠0，于是x 1x 2＝－x 21m 2＋a 2x 21－2a 2mx 1a 2－2mx 1＋m 2，因为x 1≠0，得x 2＝－x 1m 2＋a 2x 1－2a 2ma 2－2mx 1＋m 2(*) 同理，直线BC 的方程为y ＝y 1x 1－a 2m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2m ， 所以只要把(*)中m 换成a 2m，就可以得到x 3＝－x 1⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2m 2＋a 2x 1－2a 2a 2m a 2－2a 2m x 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2m 2＝－x 1m 2＋a 2x 1－2a 2m a 2－2mx 1＋m 2， 所以x 2＝x 3，故直线DE 垂直于x 轴.1.已知抛物线C 的顶点在原点，焦点在坐标轴上，点A (1，2)为抛物线C 上一点. (1)求抛物线C 的方程；(2)若点B (1，－2)在抛物线C 上，过点B 作抛物线C 的两条弦BP 与BQ ，如k BP ·k BQ ＝－2，求证：直线PQ 过定点.(1)解 若抛物线的焦点在x 轴上，设抛物线方程为y 2＝ax ，代入点A (1，2)，可得a ＝4，所以抛物线方程为y 2＝4x .若抛物线的焦点在y 轴上，设抛物线方程为x 2＝my ，代入点A (1，2)，可得m ＝12，所以抛物线方程为x 2＝12y .综上所述，抛物线C 的方程是y 2＝4x 或x 2＝12y .(2)证明 因为点B (1，－2)在抛物线C 上，所以由(1)可得抛物线C 的方程是y 2＝4x .易知直线BP ，BQ 的斜率均存在，设直线BP 的方程为y ＋2＝k (x －1)，将直线BP 的方程代入y 2＝4x ，消去y ，得 k 2x 2－(2k 2＋4k ＋4)x ＋(k ＋2)2＝0.设P (x 1，y 1)，则x 1＝（k ＋2）2k 2，所以P ⎝⎛⎭⎪⎫（k ＋2）2k 2，2k ＋4k . 用－2k 替换点P 坐标中的k ，可得Q ((k －1)2，2－2k )，从而直线PQ 的斜率为2k ＋4k －2＋2k（k ＋2）2k 2－（k －1）2＝2k 3＋4k－k 4＋2k 3＋4k ＋4＝2k－k 2＋2k ＋2，故直线PQ 的方程是 y －2＋2k ＝2k －k 2＋2k ＋2·[x －(k －1)2]. 在上述方程中，令x ＝3，解得y ＝2， 所以直线PQ 恒过定点(3，2).2.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，且经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点B (4，0)作一条斜率不为0的直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，记点P 关于x 轴对称的点为P ′.证明：直线P ′Q 经过x 轴上一定点D ，并求出定点D 的坐标.(1)解 由椭圆的定义，可知 2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝（23）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12＝4.解得a ＝2.又b 2＝a 2－(3)2＝1.∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1. (2)证明 由题意，设直线l 的方程为 x ＝my ＋4(m ≠0).设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则P ′(x 1，－y 1).由⎩⎨⎧x ＝my ＋4，x 24＋y 2＝1，消去x ，可得(m 2＋4)y 2＋8my ＋12＝0. ∵Δ＝16(m 2－12)>0，∴m 2>12. ∴y 1＋y 2＝－8mm 2＋4，y 1y 2＝12m 2＋4.∵k P ′Q ＝y 2＋y 1x 2－x 1＝y 2＋y 1m （y 2－y 1）.∴直线P ′Q 的方程为 y ＋y 1＝y 2＋y 1m （y 2－y 1）(x －x 1).令y ＝0，可得x ＝m （y 2－y 1）y 1y 1＋y 2＋my 1＋4.∴x ＝2my 1y 2y 1＋y 2＋4＝2m ·12m 2＋4－8m m 2＋4＋4＝24m－8m＋4＝1.∴D (1，0).∴直线P ′Q 经过x 轴上定点D ，其坐标为(1，0).3.如图，已知直线l ：y ＝kx ＋1(k >0)关于直线y ＝x ＋1对称的直线为l 1，直线l ，l 1与椭圆E ：x 24＋y 2＝1分别交于点A ，M 和A ，N ，记直线l 1的斜率为k 1.(1)求kk 1的值；(2)当k 变化时，求证：直线MN 恒过定点，并求出该定点的坐标.(1)解 设直线l 上任意一点P (x ，y )关于直线y ＝x ＋1对称的点为P 0(x 0，y 0)， 直线l 与直线l 1的交点为(0，1)，所以l ：y ＝kx ＋1，l 1：y ＝k 1x ＋1，k ＝y －1x ，k 1＝y 0－1x 0， 由y ＋y 02＝x ＋x 02＋1，得y ＋y 0＝x ＋x 0＋2，①由y －y 0x －x 0＝－1，得y －y 0＝x 0－x ，②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 0＋1，y 0＝x ＋1，所以kk 1＝yy 0－（y ＋y 0）＋1xx 0＝（x ＋1）（x 0＋1）－（x ＋x 0＋2）＋1xx 0＝1. (2)证明 由⎩⎨⎧y ＝kx ＋1，x 24＋y 2＝1，得 (4k 2＋1)x 2＋8kx ＝0，设M (x M ，y M )，N (x N ，y N )，所以x M ＝－8k 4k 2＋1，所以y M ＝1－4k 24k 2＋1.同理可得x N ＝－8k 14k 21＋1＝－8k4＋k 2，y N ＝1－4k 214k 21＋1＝k 2－44＋k 2. k MN ＝y M －y N x M －x N ＝1－4k 24k 2＋1－k 2－44＋k 2－8k 4k 2＋1－－8k4＋k 2 ＝8－8k 48k （3k 2－3）＝－k 2＋13k ， 直线MN ：y －y M ＝k MN (x －x M )，即y －1－4k 24k 2＋1＝－k 2＋13k ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －－8k 4k 2＋1， 即y ＝－k 2＋13k x －8（k 2＋1）3（4k 2＋1）＋1－4k 24k 2＋1＝－k 2＋13k x －53.所以当k 变化时，直线MN 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－53. 4.已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是双曲线C 2：x 2m 2－y 2＝1的左、右焦点，且C 1与C 2相交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫233，33. (1)求椭圆C 1的标准方程；(2)设直线l ：y ＝kx －13与椭圆C 1交于A ，B 两点，以线段AB 为直径的圆是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点；若不恒过定点，请说明理由.解 (1)将⎝ ⎛⎭⎪⎫233，33代入x 2m 2－y 2＝1，解得m 2＝1， ∴a 2＝m 2＋1＝2，将⎝ ⎛⎭⎪⎫233，33代入x 22＋y 2b 2＝1，解得b 2＝1，∴椭圆C 1的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －13，x 22＋y 2＝1，整理得(9＋18k 2)x 2－12kx －16＝0， ∴x 1＋x 2＝12k 9＋18k 2，x 1x 2＝－169＋18k 2， Δ＝144k 2＋64(9＋18k 2)>0.由对称性可知，以AB 为直径的圆若恒过定点，则定点必在y 轴上. 设定点为M (0，y 0)，则MA →＝(x 1，y 1－y 0)，MB →＝(x 2，y 2－y 0) MA →·MB →＝x 1x 2＋(y 1－y 0)(y 2－y 0) ＝x 1x 2＋y 1y 2－y 0(y 1＋y 2)＋y 20＝x 1x 2＋k 2x 1x 2－k 3(x 1＋x 2)－y 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤k （x 1＋x 2）－23＋19＋y 20 ＝(1＋k 2)x 1x 2－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋y 0(x 1＋x 2)＋y 20＋23y 0＋19 ＝18（y 20－1）k 2＋9y 20＋6y 0－159＋18k 2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 20－1＝0，9y 20＋6y 0－15＝0，解得y 0＝1， ∴M (0，1)，∴以线段AB 为直径的圆恒过定点(0，1).。
高考一轮复习必备—圆锥曲线讲义全
高考一轮复习必备—圆锥曲线讲义全-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIANⅠ复习提问一、直线l 与圆锥曲线C 的位置关系的判断判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程0Ax By C ++=（A ，B 不同时为0）代入圆锥曲线C 的方程F （x ，y ）=0，消去y （也可以消去x ）得到关于一个变量的一元二次方程，即联立(,)0Ax By C F x y ++=⎧⎨=⎩消去y 后得20ax bx c ++= （1）当0a =时，即得到一个一元一次方程，则l 与C 相交，有且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线平行；若C 为抛物线，则直线l 抛物线的对称轴平行。
（2）当0a ≠时，0∆>，直线l 与曲线C 有两个不同的交点；0∆=，直线l 与曲线C 相切，即有唯一公共点（切点）；0∆<，直线l 与曲线C 相离。
二、圆锥曲线的弦长公式相交弦AB的弦长1212AB AB AB x y y ⎧⎪=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-==-⎪⎪⎩三、中点弦所在直线的斜率（1）若椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>时，以P 00（x ,y ）为中点的弦所在直线斜率202(0)b k y a =-≠00x y ，即22op b k k a =-；若椭圆方程为22221(0)y x a b a b +=>>时，相应结论为202(0)a k y b =-≠0x y ，即22op a k k b =-；（2）P 00（x ,y ）是双曲线22221x y a b -=内部一点，以P 为中点的弦所在直线斜率202(0)b k y a =≠0x y ，即22op b k k a =； 若双曲线方程为22221y x a b -=时，相应结论为202(0)a k y b =≠0x y ，即22op a k k b =；（3））P 00（x ,y ）是抛物线22y px =内部一点，以P 为中点的弦所在直线斜率0(0)pk y =≠0y ；若方程为22x py =时，相应结论为k p=0x 。
高考数学总复习(一轮)(人教A)教学课件第八章 平面解析几何第10节 圆锥曲线中的最值与范围问题
将点(-1, )的坐标代入椭圆方程 + =1,得 +
所以椭圆 E 的方程为 + =1.
=1,解得 b= ,
(2)设直线l与圆O:x2+y2=a2交于C,D两点,当
求△ABF2面积的取值范围.
2
2
|CD|∈[2 ,
] 时,
解:(2)由(1)知圆 O 的方程为 x +y =4,由题意,直线 l 的斜率不为 0,
=
+-
因为 t∈(1,+∞),所以 ∈(0,1),
所以|AB|+|DE|∈[ ,7).
,
-( - ) +
综上所述,|AB|+|DE|的取值范围为[ ,7].
解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参
得最值的临界条件,得出最值.
(2)代数法:若题目的条件和结论能体现一种明确的函数,则首先建
立目标函数,再求这个函数的最值,求函数最值的常用方法有配方
法、判别式法、基本不等式法及函数的单调性法等.
[针对训练] (2024·河南襄城模拟)已知抛物线C的顶点在坐标
原点,焦点在y轴的正半轴上,圆x2+(y-1)2=1经过抛物线C的焦点.
提升·关键能力
类分考点,落实四翼
考点一
最值问题
[例1] (2024·安徽蚌埠模拟)在椭圆 C: + =1 (a>b>0)中,c=2,
2025届高中数学一轮复习《圆锥曲线最值与范围问题》ppt
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圆锥曲线中最值的求法 (1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来 解决，这就是几何法． (2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函 数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、基本不等式法及单 调性法等．
5－82＝2.
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圆锥曲线中取值范围问题的五种常用解法 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围． (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间 的等量关系． (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围． (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围． (5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数 的取值范围．
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即 16y20<(x0－4)2. 因为x420＋y20＝1，所以y02x－02 1＝－14， 所以 5x20－8x0>0，解得 x0>85或 x0<0. 因为 0<x0≤2，所以85<x0≤2， 所以 EF＝2 r2－d2＝2 x40－12－4xy002＝2 5－x80≤2 所以该圆被 x 轴截得的弦长|EF|的最大值为 2.
所以|AB|＝ 1＋14 x1＋x22－4x1x2＝ 解得 p＝2(负值舍去)．
1＋14 8p－22－4＝4 15，
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(2)由题知，直线 MN 的斜率不为 0，设直线 MN 的方程为 x＝my＋b，由(1)知，抛物线
C 的方程
2025年新人教版高考数学一轮复习讲义 第八章 §8.13 圆锥曲线中定点与定值问题
2025年新人教版高考数学一轮复习讲义第八章§8.13 圆锥曲线中定点与定值问题题型一 定点问题(1)求C的方程；(2)过点(－2,3)的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点.由题意可知，直线PQ的斜率存在，如图，设B(－2,3)，直线PQ：y＝k(x＋2)＋3，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，消去y得(4k2＋9)x2＋8k(2k＋3)x＋16(k2＋3k)＝0，则Δ＝64k2(2k＋3)2－64(4k2＋9)(k2＋3k)＝－1 728k>0，解得k<0，所以线段MN的中点是定点(0,3).思维升华求解直线或曲线过定点问题的基本思路(1)把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点.(2)由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m).跟踪训练1 (2024·郑州质检)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的上顶点和两焦点构成的三角形为等腰直角三角形，且面积为2，点M为椭圆C的右顶点.(1)求椭圆C的方程；又a2＝b2＋c2，则a＝2，(2)若经过点P(t,0)的直线l与椭圆C交于A，B两点，实数t取何值时以AB 为直径的圆恒过点M ？由(1)知M(2,0)，若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝t(－2<t<2)，若直线l的斜率存在，不妨设直线l：y＝k(x－t)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，得(1＋2k2)x2－4k2tx＋2k2t2－4＝0.易得(1＋k2)x1x2－(2＋k2t)(x1＋x2)＋4＋k2t2＝0，即(1＋k2)(2k2t2－4)－(2＋k2t)·4k2t＋(4＋k2t2)(1＋2k2)＝0，整理得k2(3t2－8t＋4)＝0，因为k不恒为0，题型二 定值问题例2 在平面直角坐标系Oxy中，已知△ABC的两个顶点坐标为B(－2,0)，C(2,0)，直线AB，AC的斜率乘积为(1)求顶点A的轨迹Γ的方程；依题意，过点P(1,0)与曲线Γ交于点M，N的直线斜率存在且不为零，设直线MN的方程为x＝my＋1(m≠0)，即有2my1y2＝3(y1＋y2)，又(x1y2＋x2y1)＋2(y2－y1)＝(my1＋1)y2＋(my2＋1)y1＋2(y2－y1)＝2my1y2＋3y2－y1＝3(y1＋y2)＋3y2－y1＝2(y1＋3y2)，(x1y2－x2y1)＋2(y2＋y1)＝(my1＋1)y2－(my2＋1)y1＋2(y2＋y1)＝y1＋3y2，思维升华圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值.依题设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值.(2)求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得.(3)求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得.如图所示，过点F作F A⊥MN，垂足为A，MN交x轴于点E，因为|MF|＝|MN|，所以△MNF是等边三角形，因为O是FB的中点，所以|DF|＝|DN|，MD⊥DF，所以|MN|＝8，|AN|＝4，(2)若斜率不为0的直线l1与抛物线C相切，切点为G，平行于l1的直线交抛物线C于P，Q两点，且∠PGQ＝，证明：点F到直线PQ与到直线l1的距离之比为定值.由(1)可知抛物线C的方程是x2＝8y，由题意知直线PQ斜率存在，设直线PQ的方程为y＝kx＋m(k≠0)，即(x1＋x0)(x2＋x0)＝－64，得x2－8kx－8m＝0，其中Δ＝64k2＋32m>0，则x1＋x2＝8k，x1x2＝－8m，所以－8m＋32k2＋16k2＝－64，所以m＝6k2＋8.设点F到直线PQ和直线l1的距离分别为d1，d2，所以点F到直线PQ与到直线l的距离之比是定值，定值为3.知识过关(1)求实数k的取值范围；化简整理得(1－4k2)x2－24kx－52＝0，Δ＝(－24k)2＋4×(1－4k2)×52＝208－256k2，要使直线与双曲线的右支有两个不同的交点A和B，(2)证明：当k变化时，点D的纵坐标为定值.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)，(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l与双曲线C在第一象限交于A，B两点，直线x＝3交线段AB于点Q，且S△F AQ∶S△FBQ＝|F A|∶|FB|，证明：直线l过定点.由已知得，双曲线C的右焦点为F(3,0)，直线x＝3过双曲线C的右焦点.所以sin∠AFQ＝sin∠BFQ，所以直线AF与直线BF的倾斜角互补，k AF＋k BF＝0.显然直线l的斜率存在且不为0，所以(kx1＋m)(x2－3)＋(kx2＋m)(x1－3)＝0，整理得2kx1x2＋(m－3k)(x1＋x2)－6m＝0.化简得k＋m＝0，即m＝－k，所以直线l的方程为y＝kx－k＝k(x－1)，恒过点(1,0)，所以直线l过定点.能力拓展3.(2023·深圳模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F(2,0).(1)求抛物线C的标准方程；∵抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F(2,0)，故抛物线C的标准方程为y2＝8x.(2)抛物线C在x轴上方一点A的横坐标为2，过点A作两条倾斜角互补的直线，与曲线C的另一个交点分别为B，C，求证：直线BC的斜率为定值.∵点A的横坐标为2，即y2＝8×2，解得y＝±4，故A点的坐标为(2,4)，设B(x1，y1)，C(x2，y2)，由已知设AB：m(y－4)＝x－2，即x＝my－4m＋2，代入抛物线C的方程得y2＝8(my－4m＋2)，即y2－8my＋32m－16＝0，则y1＋4＝8m，故y1＝8m－4，∴x1＝my1－4m＋2＝m(8m－4)－4m＋2＝8m2－8m＋2，即B(8m2－8m＋2,8m－4)，设AC：－m(y－4)＝x－2，即x＝－my＋4m＋2，同理可得y2＝－8m－4，则x2＝－my2＋4m＋2＝－m(－8m－4)＋4m＋2＝8m2＋8m＋2，即C(8m2＋8m＋2，－8m－4)，∴直线BC的斜率为定值.(1)证明：k BF·k BG为定值；因为BG∥P A，(2)证明：直线GF过定点，并求出该定点；当直线GF的斜率存在时，设GF的方程为y＝k(x－t)(k≠0)，则Δ＝64k4t2－16(4k2＋3)(k2t2－3)＝48(4k2＋3－k2t2)>0，设G(x1，y1)，F(x2，y2)，约去k2并化简得t2－3t＋2＝0，解得t＝1(t＝2不符合题意，舍去)，此时直线GF过定点(1,0)；当直线GF的斜率不存在时，设GF的方程为x＝m，其中m≠2，。
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Ⅰ复习提问一、直线l 及圆锥曲线C 的位置关系的判断判断直线l 及圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程0Ax By C ++=（A ，B 不同时为0）代入圆锥曲线C 的方程F （x ，y ）=0，消去y （也可以消去x ）得到关于一个变量的一元二次方程，即联立0(,)0Ax By C F x y ++=⎧⎨=⎩消去y 后得20ax bx c ++=（1）当0a =时，即得到一个一元一次方程，则l 及C 相交，有且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 及双曲线的渐近线平行；若C 为抛物线，则直线l 抛物线的对称轴平行。
（2）当0a ≠时，0∆>，直线l 及曲线C 有两个不同的交点；0∆=，直线l 及曲线C 相切，即有唯一公共点（切点）；0∆<，直线l 及曲线C 相离。
二、圆锥曲线的弦长公式相交弦AB的弦长1212AB AB AB x y y ⎧⎪=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-==-⎪⎪⎩三、中点弦所在直线的斜率（1）若椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>时，以P 00（x ,y ）为中点的弦所在直线斜率202(0)b k y a =-≠00x y ，即22op b k k a =-；若椭圆方程为22221(0)y x a b a b +=>>时，相应结论为202(0)a k y b =-≠0x y ，即22op a k k b =-；（2）P 00（x ,y ）是双曲线22221x y a b -=内部一点，以P 为中点的弦所在直线斜率202(0)b k y a =≠0x y ，即22op b k k a =； 若双曲线方程为22221y x a b -=时，相应结论为202(0)a k y b =≠0x y ，即22op a k k b =；（3））P 00（x ,y ）是抛物线22y px =内部一点，以P 为中点的弦所在直线斜率0(0)pk y =≠0y ； 若方程为22x py =时，相应结论为k p=x 。
Ⅱ 题型及方法一、直线及圆锥曲线的位置关系（1）直线及圆锥曲线有两个不同的公共点的判断：通法为直线代入曲线判断0∆>；另一方法就是数形结合，如直线及双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率及双曲线渐近线的斜率大小得到。
（2）直线及圆锥曲线只有一个公共点则直线及双曲线的一条渐近线平行，或直线及抛物线的对称轴平行，或直线及圆锥曲线相切。
例1.已知两点5(1,)4M ，5(4,)4N --，给出下列曲线方程：①4210x y +-=②22+y =3x ③2212x y += ④2212x y -=在曲线上存在点P ，满足PM PN =的所有曲线方程是 （填序号）。
练1:对于抛物线C ：24y x =，我们称满足2004y x <的点M （00,x y ）在抛物线的内部，若点M （00,x y ）在抛物线的内部，则直线l ：002()y y x x =+及抛物线C 的位置关系是 。
练2：设抛物线28y x =的准线及x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 及抛物线有共点点，则直线l 的斜率的取值范围是例2.如图所示，在平面直角坐标系xoy 中，过y 轴正方向上一点C （0，c ）（c>0）任作一条直线，及抛物线2y x =相交于A ，B 两点，一条垂直于x 轴的直线分别及线段AB 和直线l ：y=-c 交于P ，Q 两点。
（1）若2OA OB =，求c 的值；（2）若p 为线段AB 的中点，求证：QA 为此抛物线的切线。
练1：（12安徽理）如图所示，1(,0)F c -，2(,0)F c 分别是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点，过1F 作直线x 轴的垂线交椭圆C 的上半部分于点P ，过2F 作直线2PF 的垂线交直线2a x c=于点Q ，求证：直线PQ 及椭圆C 只有一个公共点。
练2：（14湖北理）在平面直角坐标系xoy 中，点M 到点F （1,0）的距离比它到y 轴的距离多1，记点M 的轨迹为C ，（1）求点M 的轨迹方程；（2）设斜率为k 的直线l 过定点P （-2，1）分别求直线l 及轨迹C 恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时k 的相应取值范围。
二、中点弦问题例1：已知过点M （12，12）的直线l 及椭圆2212x y +=交于A ，B 两点，且1()2OM OA OB =+（O 为坐标原点），求直线l 的方程。
练1：（14江西理）过点M （1,1）作斜率为12-的直线及椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 中点，则椭圆C 的离心率等于 。
练2：已知椭圆方程2212x y +=。
（1）求斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程；（2）过点P（2,1）的直线l 及椭圆相交，求被l 截得的弦的中点的轨迹方程。
例2：如图所示，在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆22142x y +=，过坐标原点的直线交椭圆于P ，A 两点，其中点P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率为k ，求证：对任意k>0,都有PA ⊥PB 。
练1：已知曲线C ：2221(0,1)y x m m m+=>≠，过原点斜率为k 的直线交曲线C 于P ，Q 两点，其中P 在第一象限，且它在y 轴上的射影为点N ，直线QN 交曲线C 于另一点H ，是否存在m ，使得对任意带你k>0,都有PQ ⊥PH ？ 若存在，求m 的值，不存在，说明理由。
例3已知椭圆C ：22143x y +=，试确定m 的范围，使得对于直线l ：y=4x+m ，椭圆C 上有两个不同的点关于这条直线对称。
练1：如图所示，已知椭圆E 经过点A （2,3），对称轴为坐标轴，焦点1F ，2F 在x 轴上，离心率12e =，（1）求椭圆E 的方程；（2）求12F AF ∠的角平分线所在直线l 的方程；（3）在椭圆E 上是否存在关于直线l 对称的相异两点？若存在，请找出，不存在，说明理由。
练2：已知A ，B ，C 是椭圆W ：2214x y +=上的三点，O 是坐标原点。
（1）当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形面积；（2）当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，说明理由。
3.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，右焦点为F ，右顶点A 在圆F ：222(1)(0)x y r r -+=>上。
（1）求椭圆C 和圆F 的方程。
（2）已知过点A 的直线l 及椭圆C 交于另一点B ，及圆F 交于另一点P ，请判断是否存在斜率不为0的直线l ，使点P 恰好为线段AB 的中点，若存在，求出直线l 的方程，若不存在，说明理由。
二、弦长及面积问题。
在弦长有关的问题中，一般有三类问题： （1）弦长公式（2）及焦点相关的弦长计算，利用定义 （3）涉及面积的计算问题例1.过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作倾斜角为045的直线交抛物线于点A ，B 两点，若线段AB 的长为8，则P 为多少？练1：已知椭圆C ：2212x y +=，过椭圆C 的左焦点F 且倾斜角为6π的直线l 及椭圆C 交于A ，B ，求弦长AB 。
练2：已知圆M ：227(3x y -+=，若椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的右顶点为圆M 的圆心，。
（1）求椭圆C 的方程；(2)已知直线l ：y kx =，若直线l 及椭圆C 分别交于A ，B 两点，及圆M 分别交于G ，H 两点（其中点G 在线段AB 上），且AG BH =，求k 的值。
例2：已知椭圆C ：2214x y +=，过点（m ，0）作圆221x y +=的切线l 交椭圆G 于A ，B 两点。
（1）求椭圆G 的焦点坐标和离心率。
（2）将AB 表示为m 的函数，并求AB 的最大值。
练1已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>经过点3(1,)2M ，其离心率为12（1）求椭圆C 的方程。
（2）设直线l ：y=kx+m 1()2k ≤及椭圆C 相交于A ，B 两点，以线段OA ，OB 为邻边作平形四边形OAPB ，其中顶点P 在椭圆C 上，O 为坐标原点，求OP 的取值范围。
2.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点A （2,0，O 为坐标原点。
（1）（1）求椭圆C 的方程。
（2）已知P 是（异于点A ）为椭圆C 上一个动点，过O 作线段AP 垂线l 交椭圆C 于点E ，D 。
如图所示，求DE AP的取值范围。
例3：已知12,F F 是椭圆22143x y +=的左右焦点，AB 是过点1F 的一条动弦，求△AB 2F 的面积最大值。
练1：（14新课标理）已知点A （0，-2），椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>，F是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为3，O 为坐标原点。
（1）求E 的方程；（2）设过点A 的直线l 及E 相交于Ｐ，Ｑ两点，当 △ＯＰＱ面积最大时，求l 的方程。
例４：已知抛物线24y x =的焦点为Ｆ，过点Ｆ的直线交抛物线于Ａ，Ｂ两点。
（１）若2AF FB =，求直线ＡＢ的斜率；（２）设点Ｍ在线段ＡＢ上运动，原点Ｏ关于点Ｍ的对称点Ｃ，求四边形ＯＡＣＢ面积的最小值。
练１：（１２北京）在平面直角坐标系ｘｏｙ中，椭圆Ｇ的中点为坐标原点，左焦点为1F （－１,０），Ｐ为椭圆Ｇ上顶点，且145o PFO ∠=。
（１）求椭圆Ｇ的标准方程（２）已知直线1l ：1y kx m =+及椭圆Ｇ交于Ａ，Ｂ两点，直线2l ：2y kx m =+（12m m ≠）及椭圆Ｇ交于Ｃ，Ｄ两点，且AB CD =，如图所示，（１）求证：120m m += （２）求四边形ＡＢＣＤ的面积Ｓ的最大值。
2.(14年湖南理21)如图所示，O 为坐标原点，椭圆1C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，离心率为1e ；双曲线2C ：22221x y a b-=的左右焦点分别为34,F F ，离心率为2e ，已知12e e =241F F =。
（1）求1C ，2C 的方程 （2）过1F 作1C 的不垂直于y 轴的弦AB ，M 为AB 的中点，当直线OM 及2C 交于P ，Q 两点时，求四边形APBQ 面积的最小值。
3.已知抛物线24x y =的焦点为F ，A,B 是抛物线上的两动点，且(0)AF FB λλ=>。