高中数学_3.1.1两角差的余弦公式教学设计学情分析教材分析课后反思
高中数学_3.1.1 两角和与差的余弦教学设计学情分析教材分析课后反思
两角和与差的余弦临朐五中一、 教学目标1.知识目标：经历两角和与差的余弦公式的推导过程，了解两角和与差的余弦公式，并初步运用两角和与差的余弦公式，解决较简单的相关数学问题。
2能力目标：培养学生严密而准确的数学表达能力；培养学生的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力。
3.情感目标：通过观察、对比体会数学的对称美和谐美，培养学生良好的数学表达和思考的能力，学会从已有知识出发主动探索未知世界的意识及对待新知识的良好情感态度。
二、 教学重点、难点重点：两角和与差的余弦公式的推导及公式的运用难点：两角和与差的余弦公式的推导过程三、 教学方法学生独立思考，小组合作探究，师生共同交流。
四、 教学过程1、 回顾旧知30sin = 45sin =30cos = 45cos =2、 问题引入问题1：150可以用哪两个特殊角表示？问题2：cos150需用两个特殊角的几个三角函数值表示呢？分别是什么呢？问题3：一般的)cos(βα-能否用βα,、的三角函数值表示？3、合作探究一点P 是 45角的终边与单位圆的交点，点Q 是30角的终边与单位圆的交点，试用两种形式表示表示⋅思考：从特例出发，你能推广得到)cos(βα-对任意的两个角βα,的关系式吗？设角βα,的终边分别与单位圆相交于点P 和点Q ，⋅= 或⋅=5、形成新知=-)cos(βα=+)cos(βα（1）、公式中两边的符号正好相反（2）、式子右边同名三角函数相乘再加减，且余弦在前正弦在后。
（3）、公式中βα,为任意角。
6、应用深化例1 求下列各式的值（1） 15cos （2）75cos（3） 20sin 80sin 20cos 80cos +（4） 55cos 10cos 35cos 80cos +例2已知)2(54cos παπα<<-=，求)6cos(),6cos(απαπ+-例3利用βα+C 证明[]απαcos )12(cos -=++k7、变式练习（1）、已知)23,(,135cos ),,2(,53sin ππββππαα∈-=∈=，求)cos(βα+的值。
两角差的余弦公式教学设计及点评
《两角差的余弦公式》教学设计教学设计说明一、教材地位及其作用恒等变换在数学中扮演着重要的角色，它的主要作用是化简．在数学中通过恒等变换,可以把复杂的关系用简单的形式表示出来．三角恒等变换在后续学习中具有重要的作用.而以本节课为起始课的第三章内容需要学习三角函数运算中蕴涵的恒等关系.由于和、差、倍之间存在的联系，和角、差角、倍角的三角函数之间必然存在紧密的内在联系,因而需要推出一个公式作为基础。
由于三角恒等变换的内容与三角函数没有直接的关系,因此现行的课改教材（人教A 版)安排学生学完三角函数后,先学习了平面向量，因此选择了运用向量方法推导公式βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-作为建立其它公式的基础,使得公式的得出成为一个纯粹的代数运算过程，降低了思考难度。
本节课的作用承前启后，非常重要。
二、学情分析与教学目标学生在前两章已经学习了同角三角函数的基本关系、诱导公式及平面向量，为探究两角差的余弦公式建立了良好的基础。
但学生的逻辑推理能力有限，要发现并证明公式Ｃ(α-β)有一定的难度，教师可引导学生通过合作交流,体会向量法的作用,探索两角差的余弦公式。
由于学生初次使用恒等变换去推理解答问题，分析问题的能力和逻辑推理的能力都有所欠缺，并且面对新问题如何运用已学知识和方法去解决存有困惑.但同时学生在学习新的一章知识时又都会充满好奇心,这对教学是非常有利的。
根据学生的认知结构和心理特点,我制定了本课的学习目标如下： 1．知识与技能（１)通过对两角差的余弦公式的推导，使学生体会应用向量解决数学问题的技能。
（２)通过公式的灵活应用,使学生掌握两角差的余弦公式的作用。
２.过程与方法（１)利用两角差的余弦公式推导过程,使学生体会向量在代数几何方面运用的方式方法。
(2)在公式的灵活运用过程中进一步培养学生分类讨论思想、转化和化归思想、数形结合思想。
３．情感态度与价值观通过引导学生主动参与、大胆猜想独立探索、激发学生学习兴趣,形成探究、证明、应用的获取知识的方式。
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两角和与差的余弦教学设计一、教学内容分析本节内容是高一数学必修4（苏教版）第三章《三角恒等变换》第一节的内容，重点放在两角差的余弦公式的推导和证明上，其次是利用公式解决一些简单的三角函数问题。
在学习本章之前，已经学习了三角函数及向量的有关知识，从而为沟通代数、几何与三角函数的联系提供了重要的工具。
本章我们将使用这些工具探讨三角函数值的运算。
本节内容不仅是推导正弦和（差）角公式、正切和（差）角公式及倍角公式的基础，对于三角变换，三角恒等式的证明，三角函数式的化简、求值等三角问题的解决有重要的支撑作用，而且其推导过程本身就具有重要的教育价值。
二、学生学习情况分析本节课的主要内容是“两角差的余弦公式的推导及证明”，用到的工具有“单位圆中三角函数的定义”和“平面向量数量积的定义及坐标表示”，都属于基础知识，内容简单，容易理解和接受。
但是在向量法证明的过程中，向量夹角的范围是[0，π]，与两角差α-β的范围不一致，学生对角的范围说明不清，是本节课的难点。
三、设计思想教学理念：以“研究性学习”为载体，培养学生自主学习、小组合作的能力。
教学原则：注重学生自主学习与探究能力的培养，体现学生个性的发展与小组合作共性的融合。
教学方法：先学后教，小组合作，师生互动。
四、教学目标知识与技能：了解用向量法推导两角差的余弦公式的过程，掌握两角和（差）的余弦公式并能运用公式进行简单的三角函数式的化简、求值。
过程与方法：自主探究两角差的余弦公式的表现形式，经历用向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程，并能独立利用余弦的差角公式推出余弦的和角公式，理解化归思想在三角变换中的作用。
情感态度与价值观：体验和感受数学发现和创造的过程，感悟事物之间普遍联系和转化的关系。
五、教学重点与难点重点：两角差的余弦公式的推导及证明。
难点：引入向量法证明两角差的余弦公式及两角差范围的说明。
六、教学程序设计1.情境创设，课上展示。
课前探究：课上展示：请同学们展示一下课前所得到的结果吧。
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《两角差的余弦公式》教学设计277200课型：新授课一、学情分析（1）授课对象：高一年级的学生（2）学情分析：学生的数学表达能力和逻辑推理能力正处于高度发展阶段，有主动探索新知识的意识，对新知识充满探求的渴望。
在学习本课前，学生已学习了任意角三角函数的概念、平面向量的坐标表示及向量数量积的坐标表示，这为他们探究两角差的余弦公式建立了良好的知识基础。
二、教学内容分析这节内容是教材必修4的第三章《三角恒等变换》第一节，是高考的重要考点，历年高考必考内容。
教材在学生掌握了任意角的三角函数的概念、向量的坐标表示以及向量数量积的坐标表示的基础上，进一步研究用单角的三角函数表示的两角和与差的三角函数．“两角差的余弦公式”在教科书中采用了一种易于教学的推导方法，即先借助于单位圆中的三角函数线，推出α，β，α－β均为锐角时成立．对于α，β为任意角的情况，教材运用向量的知识进行了探究．同时，补充了用向量的方法推导过程中的不严谨之处，这样，两角差的余弦公式便具有了一般性。
三、教学模式、教学支持条件教学模式：诱导—学习---讨论---练习---评价教学支持条件：由于本节内容在公式的证明过程中要用到图形，而多媒体能直观、快捷地展示图形和内空的生成，故在讲授的过程中借助多媒体手段是一个不错的选择。
四、教学目标1、知识目标通过两角差的余弦公式的探究，让学生在初步理解公式的结构及其功能的基础上记忆公式，并用之解决简单的数学问题，为后面推导其他和（差）角公式打好基础。
2、能力目标通过利用同角三角函数变换及向量推导两角差的余弦公式，让学生体会利用联系的观点来分析问题，解决问题，提高学生逻辑推理能力和合作学习能力3、情感目标使学生经历数学知识的发现、创造的过程，体验成功探索新知的乐趣，获得对数学应用价值的认识，激发学生提出问题的意识以及努力分析问题、解决问题的激情。
五、教学重点、难点重点：通过探索得到两角差的余弦公式。
难点：探索过程的组织和适当引导。
高中数学_两角差的余弦公式教学设计学情分析教材分析课后反思
教学设计数学教学是数学活动的教学。
因此，我将整个教学过程分为以下六个教学环节：1. 创设情境，导入新课[引例]某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上.如图所示,小山高BC 约为30米,在地平面上有一点A,测得A 、C 两点间距离约为67米,从A 观测电视发射塔的视角(∠CAD)约为45°.求这座电视发射塔的高度.【设计意图】从课本章头实际问题作为情境，引入课题，这有利于强调数学与实际的联系，增强学生的应用意识，激发学生学习的积极性。
同时提出本章的研究课题。
⑴.实际问题中存在研究像tan （45°+α）这样包含两个角的三角函数的需要； ⑵.实际问题中存在研究像sin α与tan （45°+α）这样包含两角和的三角函数与单角α，45°的三角函数的关系的需要；2.探索公式，建构新知⑴.问题：如何用角α、β的正弦、余弦值来表示cos （α－β）呢？从而引入本节课的课题----两角差的余弦公式。
凭直觉得出cos （α－β）=cos α－cos β是学生经常出现的错误。
引导学生利用特殊角检验，产生认知冲突，从而激发学生探究两角差的余弦公式的兴趣。
引导探究：研究三角函数问题，我们常用的一种方法就是利用单位圆，在单位圆中，角的正弦值、余弦值可用正弦线、余弦线来表示．⑵.引导学生讨论最简单的情况：βα、为锐角，且βα>，作出单位圆后， 提出问题让学生思考：① 怎样作出角α、β、α－β？② 怎样作出角α－β的余弦线？③ 角α、β的正弦值、余弦值如何在图中表示出来？④ 得到余弦线后，它等于哪些线段的和？ ⑤ 这些线段与角α、β的正弦线余弦线有何关系？让学生利用几何直观寻求余弦线的表示，通过合作、交流、讨论，教师引导学生得出结论：βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-⑶.提问：当α、β取任意角的时候，所得公式是否成立？此时仍用三角函数线法推证是否合适？引导学生仔细观察公式的结构特征，从向量的数量积的角度思考并证两角差的余弦公式，从而引出向量法推证方法。
高中数学 3.1.1 两角和与差的余弦公式课后反思 新人教A版必修4
3.1.1两角和与差的余弦公式两角差的余弦公式是任意角三角函数知识的延伸，是后继内容两角和与差的正弦、余弦、正切，以及二倍角公式的知识基础。
之前我在新旧教材中都讲过这个内容，经过这次培训，我又对这一内容进行了设计，重新备课。
就之前与之后的教学，我进行了反思。
一、反思教学理念：新课程理念的灵魂是三个教学目标的整合，关注学生的发展。
知识可以通过传授获得，技能可以通过训练掌握。
态度和情感价值观需要学生参与获得。
这样，课堂教学中，要重视学生的参与、体验过程。
但老师的指导作用也不可忽视，没有老师的引导，学生的行动、思维就很难达到一个较高的程度。
教师通过创设激发学生学习欲望的数学情境，营造积极的活跃的学习氛围，才能使学生参与我们的教学中来。
二、反思教学过程：（一）创设问题情境：之前旧教材的教学，我们只关注公式的应用，而轻视公式的由来，这样符合公式的发生发展过程。
这次的教学设计我从如何解决一个实际问题出发，调动学生的思维与学习积极性，抓住学生的兴趣。
（二）两角差的余弦公式的探究过程：之前旧教材的教学是用两点间的距离公式来推导两角和的余弦，再赋值得到两角差的余弦公式，这一过程中对学生的思维训练不是很多。
而新教材采用了一种学生易于接受的推导方法，即先用数形结合的思想，借助于单位圆中的三角函数线，推出α，β，α－β均为锐角时公式成立。
对于α，β为任意角时的情况，教材运用向量的知识进行了探究，使得公式的得出成为一个纯粹的代数运算过程，学生易于理解和掌握，同时也有利于提高学生运用向量解决相关问题的意识和能力。
我采用了新教材的思路。
(三)两角差的余弦公式的简单应用。
除了课本上的例题、习题，我补充了课堂练习、及课后作业，针对性较强。
精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
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2.2.1 直线与平面平行的判定定理
教学目标
1.知识与技能
理解两角差的余弦公式的推导过程；掌握两角差的余弦公式的初步应用。
2.过程与方法
通过提出问题，揭示知识背景，引发学生学习兴趣，并经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用。
3.情感态度与价值观
体会探索的乐趣，认识到世间万物的联系与转化，养成用辩证与联系的观点看问题。
创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识，从而培养学生分析问题、解决问题的能力和数形结合、转化、向量等数学思想方法。
教学重点：掌握两角差的余弦公式及其初步应用。
教学难点：正确使用两角差的余弦公式求值，并能根据具体的问题灵活的使用拆角、变角等方法。
教学方法：
（1）自主性学习方法；
（2）探究式学习方法；
（3）反馈练习法；
教学用具：电脑、实物投影仪。
教学过程设计：
学情分析
基于前两章所学内容：三角函数和平面向量，学生已经积累并掌握的差角余弦公式推导所需要的基础知识，这为公式推导过程的顺利开展奠定的基础。
但是我所教授的学生普遍基础较差，大部分学生对于知识的应用能力还有待提高。
我设计教案时，根据学生的情况，循序渐进。
通过带领学生探索问题——回顾旧知——应用知识解决问题的过程，帮助学生理解并掌握差角余弦公式的推导及其使用公式解决简单问题。
在设计变式时选择了比较简单的题，符合学情。
效果分析
通过本节课的学习，学生基本达成了学习目标，多数同学理解差角余弦公式的推导过程，会用差角余弦公式解决简单的化简、求值问题，会正向、逆向使用差角余弦公式，部分同学能当堂针对具体的问题结合之前学习的诱导公式，以及拆角、变角技巧解决较难的题目。
通过例一的学习，掌握了如何应用差角余弦公式求值，结合练习题再次加强的对公式的记忆及正确使用。
当然课堂训练里设计的题目由于用到之前的知识，所以个别同学做起来有点吃力；在例二的学习中，掌握了如何使用条件里给的角所在象限这一条件求所需三角函数值。
在紧接着例二的课堂训练里，找的两位同学在黑板上展示自己的解题步骤，能看出他们都能根据所求找所需，只是其中一位在代入求
值时出现了计算错我，计算能力有待提高。
由课堂训练改变条件引出的例三，先让学生分组讨论尝试自主解决问题，然后由学生代表回答，分析解题思路，教师评价总结，完善求解过程。
在整堂教学过程中，始终以教师为主导，学生为主体，调到学生积极参与到课堂中来。
再利用课后练习强化训练，收到了不错的效果。
教材分析
两角差的余弦公式是普通高中课程标准数学实验教科书人教A版数学必修④第三章第一节，是在学了三角函数以及平面向量的内容以后，进一步研究三角恒等变换问题的知识。
两角差的余弦公式是本章的重点，也是难点，尤其是要引导学生通过已经掌握的知识，主动参与探索公式的推导更是难点。
差角余弦公式的推导是本节中心内容（十一个公式）的基础，它为推导和差公式做了准备，具有承上启下的作用。
差角余弦公式的推导容纳了高中数学中的很多数学思想，如：数形结合，化归转换、归纳、向量等。
按照《普通高中数学课程标准（实验）》要求，本节我选择淡化了使用三角函数线探索公式，而是选择方案二：利用向量知识探索两角差的余弦公式。
①在回顾求角的余弦有哪些方法时,联系向量知识,体会向量方法的作用;②结合有关图形,完成运用向量方法推导公式的必要准备;③探索过程不应追求一步到位,应先不去理会其中的细节,抓住主要问题及其线索进行探索,然后再反思,予以完善。
另外,本节内容具有相当重要的现实意义，为解决实际问题提供了理论依据。
所以通过该部分的学习，增
强学生的应用意识,激发学生学习的积极性,同时也让学生体会数学知识产生、发展的过程。
课时提升作业
两角差的余弦公式
一、选择题
1.()()αβαββαsin sin cos cos +++ 化简为（ ） A.()βα+2sin B.()βα2-cos C.αcos D.βcos
2.设⎪⎭⎫ ⎝⎛∈20πα，，若53sin =α，则=⎪⎭⎫ ⎝
⎛4-cos 2πα( )
A.51
B.57
C.57-
D.5
1
- 3.︒165cos
的值是 （ ） A.22-6 B.2
26+
C.42-6
D.4
2-6-
4.已知m 6-cos =⎪⎭
⎫
⎝⎛πx ，则
=⎪⎭⎫ ⎝⎛+3-x cos cosx π（ ）
A.m 2
B.m 2±
C.m 3
D.m 3±
二、填空题
5.计算：()()_____18-sin sin4218cos 42-cos =︒︒+︒︒
6.计算：()______75sin 75cos 2
2
=︒+︒
三、解答题
7..cos 32613123sin 的值，求，，αππααπ⎪⎭
⎫
⎝⎛∈=⎪⎭⎫ ⎝⎛+
8.
().
cos 13
5
-cos 54cos 的值，求，都是锐角，，已知ββααβα=+=
【教学反思】
本节两角差的余弦公式是学生学习三角恒等变换第一节课，也是
推导和（差）公式的基础，因此本节课的学习对培养学生解决恒等变换问题是非常重要的。
对于一节公式推导课，无论是从公式的来历，还是从公式的推导都有些难以把握。
我应该怎样来组织教学呢？课前我做了大量的研究：本节课的主要任务是，两角和的余弦公式的推导和简单应用。
推导的过程综合运用了解析几何、平面几何、三角函数、代数的恒等变形的知识，体现了数学中数形结合、构造、转化与化归的数学思想和方法，我觉得是培养学生数学素养的良好题材。
在教学中因为在前面公式的推导过程中耗时较多，有头重脚轻的
感觉。
后面的练习时间显得紧张。
就教学理念和教学过程我做了深刻的反思：
一、反思教学理念：新课程理念的灵魂是三个教学目标的整合，关注学生的发展。
知识可以通过传授获得，技能可以通过训练掌握。
态度和情感价值观需要学生参与获得。
这样，课堂教学中，要重视学生的参与、体验过程。
但老师的指导作用也不可忽视，没有老师的引导，学生的行动、思维就很难达到一个较高的程度。
教师通过创设激发学生学习欲望的数学情境，营造积极的活跃的学习氛围，才能使学生参与我们的教学中来。
另外在关键之处教师的引导作用更是必不可少的。
二、反思教学过程：（一）创设问题情境：针对这节课的课题，
从课题分析中提出问题，教师鼓励学生大胆猜想，并验证。
学生学习的积极性得到了充分的调动，思维活跃。
俗话说，擒贼先擒王。
两角差的余弦公式就是他们中的“王”！我们从两角差的余弦公式研究起。
这样，才能使本节知识纳入本单元的知识结构中。
（二）两角差的余弦公式的探究过程：分成两部分完成，一是公式的准备工作，有两项，三角函数的定义及向量的数量积的坐标运算公式。
可以考虑，直接给出公式，作出合理解释、能套用就行，这样可以节省一些教学时间。
其实，在我们解决某些数学问题中常会遇到类似的情况。
二是公式的推导步骤。
⑴在直角坐标系的单位圆中做出角⑵利用三角函数定义写出角的终边和单位元的交点坐标⑶利用向量的数量积运算列
出等式⑷化简得出公式。
(三)两角和的余弦公式的简单应用。
公式的简单应用，课本上没有相应的例题、习题。
针对学生的实际，针对本节课选择合适的练习题是提高教学质量的保证。
我觉得课堂练习、及课后作业，针对性较强，同样是这次备课较为成功之处。
这里的练习有学生完成，教师辅导。
一节课成功与否，一个重要的反映是教学的效果：1、学生学习的积极性，参与程度。
2、学生掌握知识的程度。
3、学生的数学素养。
数学素养的培养不是一朝一夕能够实现的。
是一个漫长的过程，也是潜移默化的过程。
这节课在公式应用方面做得比较好，但在公式的“来源”解释上，还有些不太顺应学生的认知规律，这是我今后教学要加强的地方。
课标分析。