两条直线平行与垂直的判定
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解：设D(x,y).由k AB k DC , k AB k AD 1得： y2 y 1 1 0 1, 1.联立可得x 2, y 3. x 3 x 0 1 故D 2,3
6．直线 l1 的斜率为 2，直线 l2 上有三点 M(3,5)，N(x,7)， P(－1，y)，若 l1⊥l2，则 x＝________，y＝________.
知识探究（一）:两条直线平行的判定
思考一:在平面直角坐标系中，已知 一条直线的倾斜角为60，那么这条 直线的位置是否确定？
这条直线的位置不确定。若唯一给定倾 斜角（或斜率），得到的是一簇相互平 行的直线。
知识探究（一）:两条直线平行的判定
思考二:若两条不同的直线倾斜角相 等，则这两条直线的位置关系如何？ 反之成立吗？ y
课前自测： 1.判断题：
(×)
(1) 若两条直线的斜率相等,则这两条直线一定平行。 (2)若两条直线平行,则它们的斜率一定相等。(×) (3)若两条不重合的直线的斜率都不存在,则它 （√） 他们平行。 (4)若两条直线的斜率之积为-1, 则这两条直线一 定垂直。 (√) (5)若两条直线垂直, 则它们的斜率之积一定为–1.
l1
l2
α O
1
α
2
x
若两条不同的直线倾斜角相等，则它们相互平行。 反之，若两条不同的直线平行,则它们的倾斜角相等。
知识探究（一）:两条直线平行的判定
思考三:如果倾斜角α 1＝α 2，那么 tanα 1＝tanα 2成立吗？反之成立吗？
由1 2不能推出 tan 1 tan 2， 不一定成立。 但由 tan 1 tan 2 ,1、 2 [0 ,180 )
点评： 使用斜率公式判定两直线垂直的步骤：
(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等， 则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步； (2)二用：就是将点的坐标代入斜率公式；
(3)三求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标 中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论．
变式训练
1.已知直线 l1⊥l2，若直线 l1 的倾斜角为 30° ，则直线 l2 的斜 率为________．
0
但由1 2不能推出tan 1 tan 2，为什么？
例如：当直线的斜率1 2 90 时， tan 1， 2不存在！ tan
知识Байду номын сангаас究（一）:两条直线平行的判定
思考五:对于两条不重合的直线l1和l2， 其斜率分别为k1，k2，根据上述分析 可得出什么结论？
l1 // l2 k1 k2
1 【解析】 ∵l1⊥l2， l1 的斜率为 2， l2 的斜率为－ ， 且 则 2 7－5 y－5 1 ∴ ＝ ＝－ ，∴x＝－1，y＝7. 2 x－3 －1－3
【答案】 －1 7
类型一：两条直线平行关系的判定
【例 1】判断下列各组中的直线 l1 与 l2 是否平行： (1)l1 经过点 A(－1，－2)，B(2,1)，l2 经过点 M(3,4)，N(－ 1，－1)； (2)l1 的斜率为 1，l2 经过点 A(1,1)，B(2,2)； (3)l1 经过点 A(0,1)，B(1,0)，l2 经过点 M(－1,3)，N(2,0)； (4)l1 经过点 A(－3,2)，B(－3,10)，l2 经过点 M(5，－2)， N(5,5)．
【思路探究】 依据两条直线平行的条件逐一判断便可．
【自主解答】
1－－2 －1－4 5 (1)k1 ＝ ＝1，k2 ＝ ＝ ， 2－－1 －1－3 4
k1≠k2，l1 与 l2 不平行． 2－1 (2)k1＝1，k2＝ ＝1，k1＝k2， 2－1 ∴l1∥l2 或 l1 与 l2 重合． 0－1 0－3 (3)k1＝ ＝－1，k2＝ ＝－1，k1＝k2，而 kMA 1－0 2－－1 3－1 ＝ ＝－2≠k1， 故 A,B,M,N 四点不共线， ∴l1∥l2. －1－0 (4)l1 与 l2 都与 x 轴垂直，∴l1∥l2.
【思路探究】 先由图形判断四边形各边的关系，猜测 四边形的形状，再由斜率之间的关系完成证明．
特别注意:上面的等价是在两直线斜率存在的前提 下才成立的，缺少这个前提，结论并不存立．
知识探究（二）:两条直线垂直的判定
1 0 k1 k2 1 tan 1 tan(90 2 ) tan 2
思考4:当k1· 2 =-1时，直线l1与l2一 k 定垂直吗？反之成立吗？
特别注意:上面的等价是在两直 线斜率存在的前提下才成立的，缺 少这个前提，结论并不存立．
知识探究（一）:两条直线平行的判定
思考六:对于任意两条直线l1和l2，如 果它们的斜率存在并且相等，那么 两直线一定平行吗？
k1 k2 l1 / /l2或l1与l2重合
思考：对于任意两条直线，如果它们的斜率都 不存在，那么两直线一定平行吗？
圆，圆与x轴有交点C , 求交点C的坐标。
设C x, y ,由k AC k BC 1得x 1或x 2. 故C 2,0）或C 1， （ （ 0）.
类型三：直线平行与垂直关系的综合应用
【例 3】已知 A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)四点，若 顺次连接 A、B、C、D 四点，试判定图形 ABCD 的形状．
3 由题意可知直线 l1 的斜率 k1＝tan 30° ＝ ， 3 设直线 l2 的斜率为 k2，则 k1·2＝－1，∴k2＝－ 3： k
3 2 1 x 1 x 4
2.已知定点A -1,3，B 4, 2 ，以A、B为直径的端点作
k AC
3 2 , kBC x 1 x4
知识探究（二）:两条直线垂直的判定
思考3:已知 tan（900+α）= 据此，你能得出直线l1与l2的斜率k1、 k2之间的关系吗？ 1 tan 1 tan 90 2 , tan 2
1 ， tan
k1 tan 1 , k2 tan 2 . k1 k2 1
授课人：刘碧华
知识回顾
1.直线倾斜角的定义
x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.
2.直线倾斜角的取值范围 ［0，π) 3.直线的斜率 若直线的倾斜角为α(α≠90°)，则 k＝tanα叫做这 条直线的斜率.
4.直线的斜率公式
经过两点P1 (x1 , y1 )，P2 (x2 , y2 )(x1 ≠x2
点评： 判断两直线平行，要“三看”： 一看斜率是否存在； 在斜率都存在时，二看斜率是否相等；
若两直线斜率都不存在或相等时，三看直线是否重合， 若不重合则两直线平行．
变式训练 已知直线 l1 经过两点(－1，－2)，(－1,4)，直线 l2 经过两 点(2,1)，(x,6)，且 l1∥l2，则 x＝________.
y2 y1 )的直线的斜率： k x2 x1
导入
1 5730 p 2
t
在初中我们已经学习了同一平面内两条直线的位置关 系并且学习了两条直线平行（垂直）的判定方法，为 了在平面直角坐标系内表示直线的倾斜程度，我们引 入了直线倾斜角与斜率的概念，并导出了计算斜率的 公式，即把几何问题转化为代数问题。那么，我们能 否通过直线的斜率来判断两条直线的位置关系呢？我 们约定：若没有特别说明，说“两条直线 ”时，一般 是指两条不重合的直线。
【解析】 ∵直线 l1 的斜率不存在，且 l1∥l2， ∴l2 的斜率也不存在． ∴点(2,1)及(x,6)的横坐标相同， ∴x＝2.
【答案】 2
类型二：两条直线垂直关系的判定
【例 2】判断下列各组中的直线 l1 与 l2 是否垂直： (1)l1 经过点 A(－1，－2)，B(1,2)，l2 经过点 M(－2，－1)， N(2,1)； (2)l1 的斜率为－10，l2 经过点 A(10,2)，B(20,3)； (3)l1 经过点 A(3,4)，B(3,100)，l2 经过点 M(－10,40)， N(10,40)．
0
1 90 2 , 两条直线l1 l2 .
反之不一定成立.因为由l1 l2 1 90 2
0 0 0
但由1 90 2不能推出tan 1 tan(90 2 )， 为什么？ 例如,当其中有一条直线的倾斜角为900时，
它的斜率不存在！
知识探究（二）:两条直线垂直的判定
新知归纳：两条直线平行与斜率之间的关系
设两条不重合的直线 l1，l2，倾斜角分别为 α1，α2，斜率 存在时斜率分别为 k1，k2.则对应关系如下：
前提条件 α1＝α2≠90°
l1∥l2
α1＝α2＝90° ⇔两直线斜率都不存在
对应关系 l1∥l2⇔ k1＝k2
图示
知识探究（二）:两条直线垂直的判定
若两条直线中,一条没有斜率,另一条的斜率为零, 它们的位置关系也是垂直.
(×)
2．已知直线 l1∥l2，直线 l1 的斜率 k1＝2，则直线 l2 的斜 率 k2＝( ) 1 B. 2 1 D．－ 2
∵l1∥l2 且 k1＝2，
A．不存在 C．2
【解析】 ∴k2＝2.
【答案】 C
8 5 3．已知直线 l1 的斜率 k1＝－ ，直线 l2 的斜率 k2＝ ，则 5 8 l1 与 l2 的位置关系为( A．平行 C．垂直 ) B．重合 D．无法确定
【解析】 ∵k1·2＝－1，∴l1⊥l2.故【答案】C k
4.过点（1,2）和（-3，2）的直线与 x 轴的关系是（ ） A.相交 B.重合 C.平行 D.以上都不对
【解析】 直线斜率为 0.故【答案】C
5.长方形ABCD的三个顶点分别为A(0,1), B 1, 0） （ C 3, 2），求第四个顶点D的坐标. （
思考1:如果两条直线垂直，那么这两 条直线的倾斜角可能相等吗？ 0 不可能相等.事实上有 | 1 2 | 90 .
y l1 l2
思考2:如图，设直线 l1与l2的倾斜角分别为 α1 α2 α 1与α 2，且α 2<α 1， O x 若l1⊥l2，则α 1与α 2 0 之间有什么关系？ 1 90 2 .
【思路探究】 求出斜率，利用 l1⊥l2⇔k1k2＝－1 或一 条直线斜率为 0，另一条斜率不存在来判断．
2－－2 【自主解答】 (1)直线 l1 的斜率 k1＝ ＝2，直线 1－－1 1－－1 1 l2 的斜率 k2＝ ＝ ，k k ＝1，故 l1 与 l2 不垂直． 2－－2 2 1 2 3－2 (2)直线 l1 的斜率 k1＝－10，直线 l2 的斜率 k2＝ ＝ 20－10 1 ，k k ＝－1，故 l1⊥l2. 10 1 2 (3)l1 的倾斜角为 90° ，则 l1⊥x 轴． 40－40 直线 l2 的斜率 k2＝ ＝0，则 l2∥x 轴．故 l1⊥l2. 10－－10
新知归纳： 两条直线垂直与斜率的关系
l1 与 l2 的斜率都 l1 与 l2 中的一条斜率 分别为 k1，不存在，另一条斜率 对 应 存在， 关系 k2，则 l1⊥l2⇔ 为零，则 l1 与 l2 的位 k1·2＝－1 k 置关系是 l1⊥l2
图示
| 1 2 | 90 注意： 两直线垂直时倾斜角满足：
0 0
能推出1 2 . 反之一定成立。
知识探究（一）:两条直线平行的判定
思考四:若两条不同直线的斜率相等， 则这两条直线的位置关系如何？反之 成立吗？ k1 k2 tan 1 tan 2 1 2
两条不重合的直线l1 l2 反之不一定成立，因为由l1 l2 1 2
思考5:对于直线l1与l2，斜率分别 为 k1，k2 ，根据上述分析可得出什 么结论？
l1 l2 k1 k2 1
知识探究（二）:两条直线垂直的判定
思考6:对于任意两条直线，如果 1 l2 l ，一定有 k1 k2 1吗？ 一条直线斜率不存在，另一条直线 斜率为零时，上面结论不成立。
6．直线 l1 的斜率为 2，直线 l2 上有三点 M(3,5)，N(x,7)， P(－1，y)，若 l1⊥l2，则 x＝________，y＝________.
知识探究（一）:两条直线平行的判定
思考一:在平面直角坐标系中，已知 一条直线的倾斜角为60，那么这条 直线的位置是否确定？
这条直线的位置不确定。若唯一给定倾 斜角（或斜率），得到的是一簇相互平 行的直线。
知识探究（一）:两条直线平行的判定
思考二:若两条不同的直线倾斜角相 等，则这两条直线的位置关系如何？ 反之成立吗？ y
课前自测： 1.判断题：
(×)
(1) 若两条直线的斜率相等,则这两条直线一定平行。 (2)若两条直线平行,则它们的斜率一定相等。(×) (3)若两条不重合的直线的斜率都不存在,则它 （√） 他们平行。 (4)若两条直线的斜率之积为-1, 则这两条直线一 定垂直。 (√) (5)若两条直线垂直, 则它们的斜率之积一定为–1.
l1
l2
α O
1
α
2
x
若两条不同的直线倾斜角相等，则它们相互平行。 反之，若两条不同的直线平行,则它们的倾斜角相等。
知识探究（一）:两条直线平行的判定
思考三:如果倾斜角α 1＝α 2，那么 tanα 1＝tanα 2成立吗？反之成立吗？
由1 2不能推出 tan 1 tan 2， 不一定成立。 但由 tan 1 tan 2 ,1、 2 [0 ,180 )
点评： 使用斜率公式判定两直线垂直的步骤：
(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等， 则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步； (2)二用：就是将点的坐标代入斜率公式；
(3)三求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标 中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论．
变式训练
1.已知直线 l1⊥l2，若直线 l1 的倾斜角为 30° ，则直线 l2 的斜 率为________．
0
但由1 2不能推出tan 1 tan 2，为什么？
例如：当直线的斜率1 2 90 时， tan 1， 2不存在！ tan
知识Байду номын сангаас究（一）:两条直线平行的判定
思考五:对于两条不重合的直线l1和l2， 其斜率分别为k1，k2，根据上述分析 可得出什么结论？
l1 // l2 k1 k2
1 【解析】 ∵l1⊥l2， l1 的斜率为 2， l2 的斜率为－ ， 且 则 2 7－5 y－5 1 ∴ ＝ ＝－ ，∴x＝－1，y＝7. 2 x－3 －1－3
【答案】 －1 7
类型一：两条直线平行关系的判定
【例 1】判断下列各组中的直线 l1 与 l2 是否平行： (1)l1 经过点 A(－1，－2)，B(2,1)，l2 经过点 M(3,4)，N(－ 1，－1)； (2)l1 的斜率为 1，l2 经过点 A(1,1)，B(2,2)； (3)l1 经过点 A(0,1)，B(1,0)，l2 经过点 M(－1,3)，N(2,0)； (4)l1 经过点 A(－3,2)，B(－3,10)，l2 经过点 M(5，－2)， N(5,5)．
【思路探究】 依据两条直线平行的条件逐一判断便可．
【自主解答】
1－－2 －1－4 5 (1)k1 ＝ ＝1，k2 ＝ ＝ ， 2－－1 －1－3 4
k1≠k2，l1 与 l2 不平行． 2－1 (2)k1＝1，k2＝ ＝1，k1＝k2， 2－1 ∴l1∥l2 或 l1 与 l2 重合． 0－1 0－3 (3)k1＝ ＝－1，k2＝ ＝－1，k1＝k2，而 kMA 1－0 2－－1 3－1 ＝ ＝－2≠k1， 故 A,B,M,N 四点不共线， ∴l1∥l2. －1－0 (4)l1 与 l2 都与 x 轴垂直，∴l1∥l2.
【思路探究】 先由图形判断四边形各边的关系，猜测 四边形的形状，再由斜率之间的关系完成证明．
特别注意:上面的等价是在两直线斜率存在的前提 下才成立的，缺少这个前提，结论并不存立．
知识探究（二）:两条直线垂直的判定
1 0 k1 k2 1 tan 1 tan(90 2 ) tan 2
思考4:当k1· 2 =-1时，直线l1与l2一 k 定垂直吗？反之成立吗？
特别注意:上面的等价是在两直 线斜率存在的前提下才成立的，缺 少这个前提，结论并不存立．
知识探究（一）:两条直线平行的判定
思考六:对于任意两条直线l1和l2，如 果它们的斜率存在并且相等，那么 两直线一定平行吗？
k1 k2 l1 / /l2或l1与l2重合
思考：对于任意两条直线，如果它们的斜率都 不存在，那么两直线一定平行吗？
圆，圆与x轴有交点C , 求交点C的坐标。
设C x, y ,由k AC k BC 1得x 1或x 2. 故C 2,0）或C 1， （ （ 0）.
类型三：直线平行与垂直关系的综合应用
【例 3】已知 A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)四点，若 顺次连接 A、B、C、D 四点，试判定图形 ABCD 的形状．
3 由题意可知直线 l1 的斜率 k1＝tan 30° ＝ ， 3 设直线 l2 的斜率为 k2，则 k1·2＝－1，∴k2＝－ 3： k
3 2 1 x 1 x 4
2.已知定点A -1,3，B 4, 2 ，以A、B为直径的端点作
k AC
3 2 , kBC x 1 x4
知识探究（二）:两条直线垂直的判定
思考3:已知 tan（900+α）= 据此，你能得出直线l1与l2的斜率k1、 k2之间的关系吗？ 1 tan 1 tan 90 2 , tan 2
1 ， tan
k1 tan 1 , k2 tan 2 . k1 k2 1
授课人：刘碧华
知识回顾
1.直线倾斜角的定义
x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.
2.直线倾斜角的取值范围 ［0，π) 3.直线的斜率 若直线的倾斜角为α(α≠90°)，则 k＝tanα叫做这 条直线的斜率.
4.直线的斜率公式
经过两点P1 (x1 , y1 )，P2 (x2 , y2 )(x1 ≠x2
点评： 判断两直线平行，要“三看”： 一看斜率是否存在； 在斜率都存在时，二看斜率是否相等；
若两直线斜率都不存在或相等时，三看直线是否重合， 若不重合则两直线平行．
变式训练 已知直线 l1 经过两点(－1，－2)，(－1,4)，直线 l2 经过两 点(2,1)，(x,6)，且 l1∥l2，则 x＝________.
y2 y1 )的直线的斜率： k x2 x1
导入
1 5730 p 2
t
在初中我们已经学习了同一平面内两条直线的位置关 系并且学习了两条直线平行（垂直）的判定方法，为 了在平面直角坐标系内表示直线的倾斜程度，我们引 入了直线倾斜角与斜率的概念，并导出了计算斜率的 公式，即把几何问题转化为代数问题。那么，我们能 否通过直线的斜率来判断两条直线的位置关系呢？我 们约定：若没有特别说明，说“两条直线 ”时，一般 是指两条不重合的直线。
【解析】 ∵直线 l1 的斜率不存在，且 l1∥l2， ∴l2 的斜率也不存在． ∴点(2,1)及(x,6)的横坐标相同， ∴x＝2.
【答案】 2
类型二：两条直线垂直关系的判定
【例 2】判断下列各组中的直线 l1 与 l2 是否垂直： (1)l1 经过点 A(－1，－2)，B(1,2)，l2 经过点 M(－2，－1)， N(2,1)； (2)l1 的斜率为－10，l2 经过点 A(10,2)，B(20,3)； (3)l1 经过点 A(3,4)，B(3,100)，l2 经过点 M(－10,40)， N(10,40)．
0
1 90 2 , 两条直线l1 l2 .
反之不一定成立.因为由l1 l2 1 90 2
0 0 0
但由1 90 2不能推出tan 1 tan(90 2 )， 为什么？ 例如,当其中有一条直线的倾斜角为900时，
它的斜率不存在！
知识探究（二）:两条直线垂直的判定
新知归纳：两条直线平行与斜率之间的关系
设两条不重合的直线 l1，l2，倾斜角分别为 α1，α2，斜率 存在时斜率分别为 k1，k2.则对应关系如下：
前提条件 α1＝α2≠90°
l1∥l2
α1＝α2＝90° ⇔两直线斜率都不存在
对应关系 l1∥l2⇔ k1＝k2
图示
知识探究（二）:两条直线垂直的判定
若两条直线中,一条没有斜率,另一条的斜率为零, 它们的位置关系也是垂直.
(×)
2．已知直线 l1∥l2，直线 l1 的斜率 k1＝2，则直线 l2 的斜 率 k2＝( ) 1 B. 2 1 D．－ 2
∵l1∥l2 且 k1＝2，
A．不存在 C．2
【解析】 ∴k2＝2.
【答案】 C
8 5 3．已知直线 l1 的斜率 k1＝－ ，直线 l2 的斜率 k2＝ ，则 5 8 l1 与 l2 的位置关系为( A．平行 C．垂直 ) B．重合 D．无法确定
【解析】 ∵k1·2＝－1，∴l1⊥l2.故【答案】C k
4.过点（1,2）和（-3，2）的直线与 x 轴的关系是（ ） A.相交 B.重合 C.平行 D.以上都不对
【解析】 直线斜率为 0.故【答案】C
5.长方形ABCD的三个顶点分别为A(0,1), B 1, 0） （ C 3, 2），求第四个顶点D的坐标. （
思考1:如果两条直线垂直，那么这两 条直线的倾斜角可能相等吗？ 0 不可能相等.事实上有 | 1 2 | 90 .
y l1 l2
思考2:如图，设直线 l1与l2的倾斜角分别为 α1 α2 α 1与α 2，且α 2<α 1， O x 若l1⊥l2，则α 1与α 2 0 之间有什么关系？ 1 90 2 .
【思路探究】 求出斜率，利用 l1⊥l2⇔k1k2＝－1 或一 条直线斜率为 0，另一条斜率不存在来判断．
2－－2 【自主解答】 (1)直线 l1 的斜率 k1＝ ＝2，直线 1－－1 1－－1 1 l2 的斜率 k2＝ ＝ ，k k ＝1，故 l1 与 l2 不垂直． 2－－2 2 1 2 3－2 (2)直线 l1 的斜率 k1＝－10，直线 l2 的斜率 k2＝ ＝ 20－10 1 ，k k ＝－1，故 l1⊥l2. 10 1 2 (3)l1 的倾斜角为 90° ，则 l1⊥x 轴． 40－40 直线 l2 的斜率 k2＝ ＝0，则 l2∥x 轴．故 l1⊥l2. 10－－10
新知归纳： 两条直线垂直与斜率的关系
l1 与 l2 的斜率都 l1 与 l2 中的一条斜率 分别为 k1，不存在，另一条斜率 对 应 存在， 关系 k2，则 l1⊥l2⇔ 为零，则 l1 与 l2 的位 k1·2＝－1 k 置关系是 l1⊥l2
图示
| 1 2 | 90 注意： 两直线垂直时倾斜角满足：
0 0
能推出1 2 . 反之一定成立。
知识探究（一）:两条直线平行的判定
思考四:若两条不同直线的斜率相等， 则这两条直线的位置关系如何？反之 成立吗？ k1 k2 tan 1 tan 2 1 2
两条不重合的直线l1 l2 反之不一定成立，因为由l1 l2 1 2
思考5:对于直线l1与l2，斜率分别 为 k1，k2 ，根据上述分析可得出什 么结论？
l1 l2 k1 k2 1
知识探究（二）:两条直线垂直的判定
思考6:对于任意两条直线，如果 1 l2 l ，一定有 k1 k2 1吗？ 一条直线斜率不存在，另一条直线 斜率为零时，上面结论不成立。