素数与算术基本定理

7

Legendre,1798
x ( x) ~ , x . ln x 1.08366

Gauss,1792
( x) ~ Lix
x
0
dt , x . ln t
素数定理
x
lim
( x)
x / ln x
1.
Hadamard, de la Vallée Poussin,1896年. A. Selberg, P. Erdös ,1949年.
s 2,4, 都是 (s) 的平凡零点.
Riemann 猜想
(s)的所有非平凡零点都位于复平面上
1 Re( s ) 的直线上. 2
Riemann素数公式
J 0 ( x) Li x Li( x )


( x ) ( n) n J ( x )
1 1/ n n 1


x
du log (0) 2 u (u 1) log u
Mertens函数
M ( x ) ( n)
n x
RH 对任意正数 , M ( x) O( x Mertens猜想
1 / 2
)
对所有实数 x 1, 有 M ( x) x1/ 2 . A.M. Odlyzko等,1984年证明
素数
算术基本定理
a 的正因数只有1和它本身, 则 a 称为素数, 否则 a 称为合数.
1
正整数 素数
定义1 设 a 1, 若
2, 3, 5,
唯一的 偶素数
合数
素数与合数的基本性质
设
a 是合数, 则
a.
1) 存在整数 k ,l , 1 k , l a, 使得 a kl. 2) 存在素数 q, 使得 q | a, 且 q 合数必有素因子 例如,判定 359是否为素数.
n
且
( j 2)! (n) 1 (( j 2)! j[ ]) j j 3
Ruiz, 2000
k 1 [ s( j )] 2 ([ n ln n ]1) j 2 ) pn 1 (1 n k 1
j
其中
j j 1 s1 ( s s 2) s( j ) j
2 p1 p2 pk N
依次排列 2, 3,, N , 在其中留下 p1 2, 划去p1 的所有倍数, 再留下 p2 , 把 p2 的倍数划掉, 继续这一手续, 直到最后留下 pk 而划去 pk 的所有倍数.
求 30 以内的全部素数
30 5
p1 2, p2 3, p3 5,
1900年，Hilbert在巴黎世界数学家大会上提出 23个问题供20世纪数学家研究。其中第8问题中 将Goldbach猜想作为最重要的问题之一提出.
英国伦敦Faber出版社 2000年3月悬赏100万美 金征解Goldbach猜想.
1938年，华罗庚证明：几乎所有大于6的偶数均 可表示成两个奇素数之和. 1958 王元 证明 (2 + 3) 1962 潘承洞 证明 (1 + 5) 1963 王元、潘承洞 证明(1 + 4) 1965 Vinogradov 证明 (1 + 3) 1966 陈景润 证明 (1 + 2)
b | a b p1 p2 ps 0 i i , i 1,2,, s. b0
对任意素数 p , 有 其中
1 2 s
a p a t 0, (a, p) 1
t
求 (a, b), [a, b]
设 a, b 0, 且
1 2 s
a p1 p2 ps b p1 p2 ps
333333
1
2013年5月，Yitang Zhang 证明
lim inf ( pn1 pn ) 7 10
n
7
2013年7月，Engelsma 证明
张益唐 1955-
lim inf ( pn 1 pn ) 4680 ?
n
The n 2 1 conjecture
a pa1, b pb1, (a1 , b1 ) 1, 则
2 2 1 3 1
2
的所有可能值.
p (a , b ) p (a , b p) p ( a , p ) p3
2 3
解 设
2
2 1
定理1 素数有无穷多.
证 假定素数有有限多个,设
p1 2, p2 3,, pk
形如 n 1的素数有无限多.
2
任给正整数 n, 在 n 2 和 (n 1) 2 之间是否一定 存在素数?
素数的判定
p 是素数 p | ( p 1)!1
Fermat判别法 基于广义黎曼猜想的判别
表示素数的公式 Euler,1772 设 f ( x) x x 41, 则 x 0,1,,39 时,
是全体素数. 令 N p1 p2 pk 1,设
q是 N
的素因数, 则 q p1 , p2 ,, pk . 这是因为若
q pi , 就有 q | 1, 这与 q 是素数矛盾.
推论 设 pn是第 n 个素数, 则
pn1 p1 p2 pn 1.
厄拉多塞 (Eratosthenes)筛法 求不超过 N 的全体素数: 首先列出不超过 N 的所有素数. 设为
Euler乘积公式
s 1,
Riemann 函数
n
n 1

s
(1 p )
p
s 1
令 s it
s n 1
(s) n , 1
对 函数在复平面作解析延拓,有
(1 s) 2(2 ) ( s) cos
s
s
2
(s)
a pa1
pa b , p | b , p | b,
2 1 2 2
这与 ( a, b) 1 矛盾.
例3 设 a 0, n 0, 且
s i 1 n
a 的标准分解式为
mi i
ap
则
1 2
s
( a, b) p
i 1 s i 1
s
min{ i , i } i max{ i , i } i
[ a, b] p
例2 设 证 若
p 是素数,
证明
p
是无理数.
p 是有理数, 设
则
所以 令 有
a p , (a, b) 1, b 2 2 a pb 2 p | a , p | a,
其中 注 对其它类型的数,唯一分解定理未必成立. 如
Z ( 5i) {a b 5i : a, b Z } 6 2 3 (1 5i)(1 5i)
a 的标准分解式 s 1 2 设 a 1, 则 a p1 p2 ps 其中 pi 是互不相同的素数, i 0.
任给正整数 x, 不存在整系数多项式
f ( x) an x a1 x a0
n
使得 x 取所有 x x0 的整数时 f (x) 都是素数.
算术基本定理 定理2 设 a
1, 则
a p1 p2 pm , p1 p2 pm , pi 是素数, 且若 a q1q2 qn , q1 q2 qn , 其中 qi 是素数, 则 m n, pi qi (i 1,, n).
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
2
3 4 5
素数的分布 1)随着整数范围的扩大，素数是不是越来越稀 疏？稀疏的程度是否单调地增加？ 2）相邻素数之间的间隔值有哪些? 它们各 重复多少次? 随整数范围扩大, 最大间隔值 是否也随之增大? 3）间隔差为2的素数对是否有无穷多个? 更一 般地, 间隔差为某一个固定偶数的素数对是否 有无穷多个? 是否存在相邻的素数, 其间隔值 可以任意大?
I think it would be the Riemann Hypothesis.
- H. Montgomery
Riemann猜想（RH）
Riemann 1859 年 “论不大于一个给定值的素 数的个数” 2005年5月24日,Clay数 学研究所将黎曼猜想作 为七个千禧年数学难题 之一公开悬赏征解. Riemann 1826-1866
则
j | (n 1)! j, j 2,, n 1.
算术级数中的素数
(Dirichlet,1837) 若正整数 a, b 互素, 则 存在无穷多形如
a bn 的素数.
Green-Tao 定理
存在长度为 k 等差为 k素数列 如
56211383760397 44546738095860k , k 0,1,,22.
Hadamard 1865-1963
Poussin 1866-1962
Selberg 1917-2007
Erdös 1913-1996
有没有公式可以比素数定理更 精确地描述素数的分布呢？
算术级数中的素数 对任意正整数n, 存在连续的 n个正整数,它们 都是合数.
证 考虑 n 个正整数
(n 1)!2, (n 1)!3,, (n 1)!n 1
用 (x) 表示不超过实数 x 的素数的个数.
1-n的区间 n n n n 100 1000 10000 100000 素数个数π(n) 25 168 1229 9592 π(n)/n< 1/4 1/5 1/8 1/10
所以 lim
( x)
x
x
0
log( n)
n / (n)
x
目前计算结果表明, 在 1018之前的偶数都
满足哥德巴赫猜想.
If you could be the Devil and offer a mathematician to sell his soul for the proof of one theorem
- what theorem would most mathematicians ask for?
1/ 2
lim sup M ( x) x
x
1.06
反例
x0 10 x0 e
14
3.211064


猜想 （Hilbert 第7问题）
若 是代数数, 是无理代Hale Waihona Puke Baidu数, 则

是超越数.


猜想
Fermat猜想 1995年
Riemann 猜想 ?
1935年
孪生素数猜想 （Twin prime conjecture） 是否存在无限多素数对 p, p 2 ? 如 p 65516468355 2
是否存在任意长度相邻 素数的等差数列? 陶 哲 轩
1975-
有关素数的猜想 哥德巴赫(Goldbach) 猜想 (1742年) 1) 每个不小于6的偶数都可以表为两个奇 素数之和; 2) 每个不小于9的奇数可以表为三个奇 素数之和. 1937，苏联数学家Vinogradov证明， 充分大的奇数可以表为三个素数的和.
2
f (x)都是素数.
Miller,1947
存在 R, 使得 f ( ) [ ], n 1 都是素数. 1.3064
3n
Hardy,1979
pn 1 f (n, ( j )), n 3
其中
j 1
2n
0, x y f ( x, y ) 1 x y [1 ], x y 2 x y
10 10
1 2
(x)
x / ln x
( x) x / ln x
4
25 168 1229 9592 78498 664579
4.3 21.7 144.8
0.93
10
3 4
10 5 10 10 10
6
1.152 1.16 1085.7 1.13 8685.8 1.131 72382.5 1.084 620420.5 1.071
18 359 19
2,3,3,7,11,13,17 | 359
所以 359 是素数.
素数与合数的基本性质
设 q 是素数, 则
1) 对任意整数 n, 有 2) 例1
q | n, 或 (q, n) 1. 若 q | ab, 则 q | a, 或 q | b. 设 p 是素数, ( a, b) p. 求 (a 2 , b 3 )