素数与算术基本定理
人教版高中数学选修4-6《初等数论：算术基本定理》
第六节 算术基本定理
推论2 设正整数a与b的标准分解式是
a p1 p2 pk q1 ql , b p1 p2 pk r1 rs
1 2 k 1 s
1
2
k
1
l
其中pi(1 i k)，qi(1 i l)与ri(1 i s)是两 两不相同的素数，i，i(1 i k)，i(1 i l) 与i(1 i s)都是非负整数，则
1 2
任何大于1的整数n可以
k
n p1 p2 pk
，
(2)
2, , k是正整数。
证明 由引理1，任何大于1的整数n可以表示成 式(2)的形式，因此，只需证明表示式(2)的唯 一性。
第六节 算术基本定理
假设pi（1 i k）与qj（1 j l）都是素数，
p1 p2 pk，q1 q2 ql，
n = p1p2pm， (1) 其中pi（1 i m）是素数.
第六节 算术基本定理
引理1 即 任何大于1的正整数n可以写成素数之积，
n = p1p2pm，
其中pi（1 i m）是素数。 证明 当n = 2时，结论显然成立。
(1)
假设对于2 n k，式(1)成立，我们来证明式(1) 对于n = k 1也成立，从而由归纳法推出式(1) 对任何大于1的整数n成立。
[a, b] p p p ， i max{ i , i }， 1 i k。
1 1
1 2
k k
第六节 算术基本定理
推论3 设a，b，c，n是正整数，
ab = cn ，(a, b) = 1，
则存在正整数u，v，使得
(5)
《关于素数公式素数定理哥德巴赫猜想的初等证明》
《关于素数公式素数定理哥德巴赫猜想的初等证明》素数公式是指对于给定的正整数n，小于等于n的素数的个数近似等于n/ln(n)，其中ln(n)表示自然对数。
素数定理是指当n趋向于无穷大时，小于等于n的素数的个数π(n)近似等于n/ln(n)。
公式中的π(n)表示小于等于n的素数的个数。
哥德巴赫猜想是指任意大于2的偶数都可以表示为两个素数之和。
首先证明素数公式。
定义函数S(n)为小于等于n的素数的个数。
我们需要证明当n趋向于无穷大时，S(n)在数学意义下近似等于n/ln(n)。
我们知道，当n越趋近于无穷大时，自然对数ln(n)也趋近于无穷大。
设m为一个足够大的正整数，使得ln(n) >= m。
我们将区间[2,n]均分为m个子区间，每个子区间的长度为(L=n-2)/m。
对于每个子区间，我们选择一个整数ni作为代表，使得ni落在这个子区间内，并且ni是最接近该子区间中点的整数。
由于n趋向于无穷大，我们可以得到ni一定存在。
我们定义T(m)为小于等于n的素数中，满足ni是素数的个数。
显然T(m) <= S(n)，因为ni只是小于等于n的素数中的一个子集。
我们对于每一个ni都检查它是否是素数，最简单的方法是对所有小于等于√ni的正整数k，检查ni是否能被k整除。
若存在整数k使得ni被k整除，则ni不是素数；若不存在这样的整数k，则ni是素数。
现在我们来估计T(m)的上界。
对于每个ni，我们需要进行√ni次的整除运算。
所以，总的运算次数为Sqrt(n1) + Sqrt(n2) + ... +Sqrt(nm)。
由于ni是区间中点附近的整数，所以我们可以将每个Sqrt(ni)近似为Sqrt(L/m) = Sqrt((n-2)/m)。
所以总的运算次数可以近似为m*Sqrt(L/m) = (n-2)*Sqrt(m/(n-2))。
当n趋向于无穷大时，这个运算次数的上界也趋于无穷大。
所以S(n)在数学意义下近似等于n/ln(n)。
算术基本定理
算术基本定理关于质和计算基本定理的问题一、知识大于1的整数n总有两个不同的正约数：1和n.若n仅有两个正约数（称n没有正因子），则称n为质数（或素数）.若n有真因子，即n可以表示为a⋅b的形式（这里a,b 为大于1的整数），则称n为合数.正整数被分为三类：数1，素数类，合数类关于素数的一些重要理论1.大于1的整数必有素约数.2.设p为素数，n为任意一个整数，则或者p整除n，或者p与n互素. 事实上，p与n的最大公约数(p,n)必整除p，故由素数的定义推知，或者(p,n)=1，或者(p,n)=p，即或者p与n互素，或者p|n.3.设p为素数，a,b为整数.若p|ab，则a,b中至少有一个数被p整除. 事实上，若p 不整除a和b，由性质2知，p与a和b均互素，从而p与ab互素。
这与已知的p|ab矛盾.特别地：若素数p整除an(n≥1)，则p|a4.定理1 素数有无限多个 (公元前欧几里得给出证明)证明：（反证法）假设只有k个素数，设它们是p1，p2，，pk。
记N=p1p2 pw+1。
（N不一定是素数）由第一节定理2可知，p有素因数p，我们要说明p≠pi,1≤i≤k从而得出矛盾事实上，若有某个i,1≤i≤k使得p≠pi,则由p|N=p1p2 pw+1推出p|1，这是不可能的。
因此在p1，p2，，pk之外又有一个素数p，这与假设是矛盾的。
所以素数不可能是有限个。
5.引理1 任何大于1的正整数n可以写成素数之积，即n=p1p2 pm (1)其中pi,1≤i≤m是素数。
证明当n=2时，结论显然成立。
假设对于2≤n≤k，式(1)成立，我们来证明式(1)对于n=k+1也成立，从而由归纳法推出式(1)对任何大于1的整数n成立。
如果k+1是素数，式(1)显然成立。
如果k+1是合数，则存在素数p与整数d，使得k+1=pd。
由于2≤d≤k，由归纳假定知存在素数q1,q2, ql，使得d=q1,q2, ql，从而k+1=pq1,q2, ql。
高中数学关于素数的知识和算法
关于质数（素数）的知识和有关算法（资料来源：维基百科）素数定义：素数(Prime Number)，亦称质数，指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，无法被其它自然数整除的数。
换句话说，只有两个正因数（1和自己）的自然数即为素数。
比1大但不是素数的数称为合数。
1和0既非素数也非合数。
素数在数论中有着很重要的地位。
关于素数：最小的素数是2，也是素数中唯一的偶数（双数）；其它素数都是奇数（单数）。
素数有无限多个，所以不存在最大的素数。
围绕着素数存在很多数学问题、数学猜想和数学定理。
著名的有孪生素数猜想和哥德巴赫猜想。
素数序列的开头是这样：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97，101，103，107，109，113………………素数集合有时表示成粗体。
在抽象代数的一个分支－环论中，素元素有特殊的含义，在这个含义下，任何素数的加法的逆转也是素数。
换句话说，将整数Z的集合看成是一个环，-Z是一个素元素。
但是在数学领域内，提到素数时通常指正的素数。
算术基本定理证明每个大于1的正整数都可以写成素数的乘积，并且这种乘积的形式是唯一的。
因此素数也被称为自然数的“建筑的基石”。
例如：素数的数目素数有无穷多个。
现在已知最早的证明方法是欧几里得在他的《几何原本》中提出的。
该证明方法如下：假设素数有限。
把所有这些有限的素数相乘以后加1，可以得到一个数。
这个数无法被那些有限的素数里的任何一个整除：因为无论被哪一个素数除，总有余数1。
如果该数为素数，则根据假设，它不在那些假设的素数集合中。
如果该数为合数，因为任何一个合数都可以分解为几个素数的积；而一开始假设的那些素数都不能整除该合数，所以该合数分解得到的素因子肯定不在假设的素数集合中。
因此无论该数是素数还是合数，都意味着在假设的有限个素数之外还存在着其它素数。
对任何有限个素数的集合来说，用上述的方法永远可以得到有一个素数不在假设的素数集合中的结论。
初一到初三数学所有知识点
初一到初三数学所有知识点初一数学：1.数的概念：自然数、整数、有理数、实数2.数的运算：加减法、乘除法，混合运算，分数的加减乘除3.算术基本定理：素数与合数，质因数分解，最大公因数与最小公倍数4.约分与通分：分数的约分与通分，化简真分数与带分数5.小数的概念与运算：小数的加减乘除，小数、分数、百分数的相互转化6.数轴与坐标系：数轴的表示法，坐标系的概念，平面直角坐标系的表示法7.基本图形的认识：点、线、面的认识，正方形、长方形、圆、三角形的概念8.数学语言的运用：数学语言与符号的运用，数学问题的表述和解决初二数学：1.整式的知识：整式的定义，同类项的概念，整式的加减乘除，公式的应用2.分式的知识：分式的定义，基本性质，分式的约分、通分、加减、乘除法3.二次根式的知识：二次根式的化简、加减、乘除法，含有二次根式的方程4.平面图形的认识：多边形的概念、性质及全等条件，相似图形的概念及应用5.圆的知识：圆的概念、性质及判定方法，圆上的重要点、弧和角6.三角形和四边形的知识：三角形的角度和边长关系、中线、中位线、高，四边形的性质、面积公式7.比例和增减比：比例的定义、性质及应用，增减比的概念及应用8.百分数和利率：百分数的概念、性质及应用，利率的概念、计算方法及应用初三数学：1.函数与方程：函数的概念、性质及图像，方程及方程组的解法和应用2.数列与指数函数：等差数列、等比数列的概念、性质及求和公式，指数函数的概念、性质及图像3.立体图形的认识：正方体、长方体、正棱柱、正棱锥的概念及性质，体积及表面积的计算公式4.三角函数和解三角形：三角函数的概念、性质及图像，解三角形（利用正弦、余弦、正切函数及海伦公式）5.平面向量的概念及运算：向量的概念和运算、向量的加减、数量积及其应用6.概率与统计：随机事件的概念、基本概率公式，频率、概率密度、方差和标准差的概念及计算7.解析几何：点、直线、平面的坐标表示，直线的斜率及方程，平面上的圆的方程8.数学思维的拓展：数学论证、数学建模、数学思维方法与技巧的培养。
算术基本定理质数公式
算术基本定理质数公式算术基本定理是数论中的一个重要定理，它为我们理解整数的结构和性质提供了关键的基础。
而质数公式，则是在这个定理的基础上，数学家们一直追寻和探索的神秘领域。
咱先来说说算术基本定理。
它告诉我们，任何一个大于 1 的整数，都可以唯一地分解成质数的乘积。
比如说12 吧，它可以分解成2×2×3。
这里的 2 和 3 就是质数。
你看，通过这种分解，我们就能更清楚地了解一个整数的“构成成分”。
那质数又是什么呢？质数就是那些只能被 1 和它本身整除的数。
比如说 2、3、5、7 等等。
可别小看这些质数，它们就像是整数世界的“基石”，构建出了整个算术的大厦。
记得我之前教过一个小学生，他对于质数和算术基本定理那是一脸懵。
我就拿分糖果的例子给他解释。
假设我们有 18 颗糖果，要平均分给小朋友。
那我们就得想想 18 可以怎么分。
18 可以是 2×9，也可以是3×6。
但是 2、3 这些数，它们除了 1 和自己，就不能再被别的数整除啦，这就是质数的特点。
通过分糖果这个具体的事儿，这孩子慢慢地就对质数有了点感觉。
再说回质数公式。
虽然到现在还没有一个能完美找出所有质数的简单公式，但数学家们可一直没放弃努力。
就像在黑暗中摸索，一点点地靠近那光明的答案。
在研究质数公式的过程中，有很多有趣的发现。
比如说，质数的分布看起来似乎毫无规律，但又隐隐有着某种神秘的秩序。
有时候，连续好几个数都不是质数，然后突然又冒出一个来，就像是在和我们捉迷藏。
对于我们普通人来说，了解算术基本定理和质数公式可能不会直接改变我们的生活，但它能锻炼我们的思维，让我们学会用更严谨、更有逻辑的方式去思考问题。
就好比我们在搭积木，每一块积木都有它的位置和作用，而算术基本定理和质数公式，就是帮助我们找到那些最关键的积木，搭出漂亮的“数学城堡”。
想象一下，如果有一天真的找到了一个超级厉害的质数公式，那对数学界乃至整个科学界的影响可就太大啦！密码学、计算机科学等领域都可能因此发生巨大的变革。
成都市第七中学高一年级竞赛数学数论专题讲义：5.素因数分解
成都七中高一竞赛数论专题5.素因数分解算术基本定理：设整数1a >,那么12.s a p p p =其中j p 是素数,在不计次序下唯一.把12.s a p p p =中相同的素数合并,则得到标准素因数分解式12121212, ,,,,0.nn n n a p p p p p p αααααα=<<<≥正因数个数定理：设|()1d nn τ=∑表示大于1的整数n 的所有正因数的个数,若1212s s n pp p ααα=,其中j p 是素数,则1()(1).sii n τα==+∏正因数和定理：设|()d nn d σ=∑表示大于1的整数n 的所有正因数之和,若1212s s n pp p ααα=,其中j p 是素数,则111().1i si i i p n p ασ+=-=-∏1.设,a b 是非零的整数,证明：(,)[,].a b a b ab =2.设n 是正整数,证明：!n 的素因数分解式为(,)!,p n p nn pα≤=∏其中p 是素数,1(,).j j n p n p α∞=⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑3.求2017!的十进制表示式中末尾的零的个数.4.设n为正整数.证明：若n的所有正因数之和为2的整数次幂,则这些正因数的个数也为2的整数次幂.n ,不超过n的素数共有k个.设A为集合{2,3,,}n的子集,A的元素个数小于,k且A中任意5.设整数3一个数不是另一个数的倍数.证明存在集合{2,3,,}n的k元子集,B使得B中任意一个数也不是另一个数的倍数,且B包含.A高一竞赛数论专题 5.素因数分解解答算术基本定理：设整数1a >,那么12.s a p p p =其中j p 是素数,在不计次序下唯一.把12.s a p p p =中相同的素数合并,则得到标准素因数分解式12121212, ,,,,0.nn n n a p p p p p p αααααα=<<<≥正因数个数定理：设|()1d nn τ=∑表示大于1的整数n 的所有正因数的个数,若1212s s n pp p ααα=,其中j p 是素数,则1()(1).sii n τα==+∏正因数和定理：设|()d nn d σ=∑表示大于1的整数n 的所有正因数之和,若1212s s n pp p ααα=,其中j p 是素数,则111().1i si i i p n p ασ+=-=-∏1.设,a b 是非零的整数,证明：(,)[,].a b a b ab =证明：设素因数分解式1212121212, ,,0.n nn n n i i a p p p b p p p p p p αβααββαβ==<<<≥则11221122min{,}max{,}min{,}min{,}max{,}max{,}1212(,),[,].n n n n n n a b p p p a b p p p αβαβαβαβαβαβ==11112222min{,}max{,}min{,}max{,}min{,}max{,}12(,)[,]n n n n n a b a b p p p αβαβαβαβαβαβ+++=11221212121212.n n n nn n n p p p p p p p p p ab αβαβαβαβααββ+++==⋅=2.设n 是正整数,证明：!n 的素因数分解式为(,)!,p n p nn pα≤=∏其中p 是素数,1(,).j j n p n p α∞=⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑证明：一方面若素数|!,p n 则|,1.p k k n <≤另一方面,任一素数p n ≤,必有|!.p n 所以12121212!, 2 ,,,,0.ss n s n p p p p p p n αααααα=≤<<<≤>下面去确定.j α设(,)p n α为整数!n 的素因数p 的次方.因为必有整数k 满足1,kk p n p +≤<所以.k n n ∞⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥∑∑设j c 表示1,2,,n 中能被j p 整除的数的个数,则.j j n c p ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦j d 表示1,2,,n 中恰能被j p 整除的数的个数.则11.j j j j j n n d c c p p ++⎡⎤⎡⎤=-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦显然当j k >时,0.j d =及12(,)12.k p n d d k d α=⋅+⋅++⋅于是1212231(,)121()2()()k k k p n d d k d c c c c k c c α+=⋅+⋅++⋅=⋅-+⋅-++⋅-12112111.kkk k k k j j j j j n n c c c c c c c c p p ∞+===⎡⎤⎡⎤++++=+++===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑∑所以(,)!.p n p nn p α≤=∏3.求2017!的十进制表示式中末尾的零的个数.解：这就是要求正整数k 使得10||2017!.k因为1025=⨯,实际上是求2的最大方次与5的最大方次的最小值. 显然2的最大方次大于5的最大方次. 所以就是求5的最大方次(5,2017).α 注意到520175.< 所以2342017201720172017(5,2017)40380163502.5555α⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++=+++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦所以2017!的十进制表示式中末尾的零的个数为502个.4.设n 为正整数.证明：若n 的所有正因数之和为2的整数次幂,则这些正因数的个数也为2的整数次幂.证明：设12121212, ,,,,0,s s s s i n p p p p p p p αααααα=<<<>为素数.则n 的所有正因数之和2|1()(1).i siii d ni n d p pp ασ===++++∑∏若()n σ为2的整数次幂,则()n σ的因数12111i ii i i ii i p f p p p p αα+-=++++=-也是2的整数次幂.显然2,i p ≠i α是奇数.若1i α>, 则112324(1)()()(1)(1).i i i i i i i i i i i i i f p p p p p p p p p ααα--=+++++=+++++由于i f 的素因数只有2,所以1241i i i i p p p α-++++不含大于1的奇数因数.于是12i α-是奇数.所以11222124246221(1)()()i i i iiii i iiip p p p p p p p ααα--⋅-⋅-++++=++++++12232482482(1)(1)(1)(1)i i iiiii i i i p p p p p p p p αα-⋅--=++++=++++.从而3248(1)(1)(1).i i i i i i i f p p p p p α-=+++++于是21,1i i p p ++都是2的整数次幂,显然211i i p p +<+,于是21|1.i i p p ++因为21(1)(1)2i i i p p p +=+-+,1|(1)(1).i i i p p p ++-所以1|2.i p +于是1i p =矛盾.因此1,1,2,,).i i s α==n 的正因数的个数|11()1(1)(11)2.sss i d ni i n τα====+=+=∑∏∏故n 的正因数的个数也是2的整数次幂.5.设整数3n ≥,不超过n 的素数共有k 个.设A 为集合{2,3,,}n 的子集,A 的元素个数小于,k 且A 中任意一个数不是另一个数的倍数.证明存在集合{2,3,,}n 的k 元子集,B 使得B 中任意一个数也不是另一个数的倍数,且B 包含.A证明：引理：若||,A k <则可在{2,3,,}\n A 中找到一个数b ,其不整除集合A 中任意一个数,也不被集合A 中任意一个数整除.若引理得证,进而将数b 添入集合A 中,并重复这一过程,直到将A 扩充成一个k 元子集,B 则集合B 满足要求.下面证明引理,对大于1的整数m ,设m 的标准素因数分解为1212.ss m p p p ααα=定义1212()max{,,,}.s s f m p p p ααα=由于||,A k <则()a AN f a ∈=∏不同的素因子个数小于,k 又不超过n 的素数共有k 个,因此,存在素数,p n ≤使得.p N Œ于是().p f a Œ 设1,p n pαα+≤<则p A α∉(若不然,将有()f p p αα=,于是|,p N 与p N Œ矛盾).若|,p a α因为,p N Œ所以(),p f a 宖故(),f a q q β=为不同于p 的素数,且.q p p βα>≥从而1,a p q p p pn αβαα+≥>=>矛盾.因此.p a αŒ从而,不属于A 的元素p α不整除集合A 中任意一个数,也不被集合A 中任意一个数整除.法2 将不超过n 的所有k 个素数从下到大记为12,,,.k p p p对1,2,,i k =,取正整数i α满足1,i i i i p n p αα+≤<对这个i α,取正整数i λ满足(1),i i i i i i p n p ααλλ≤<+其中,,i i αλ均唯一确定的,且.i i p λ<令**{|,},{|,}.i s i i i i i i D p s s N M tp t t N ααλ=≤∈=≤∈则i D 为i i p α在{2,3,,}n 中的约数全体,i M 为i i p α在{2,3,,}n 中的倍数全体.考虑k 个集合(1,2,,}i i i A D M i k ==,注意到集合i A 中的每个数均以i p 为最大素因子,从而12,,,k A A A 为{2,3,,}n 的两两不相交的k 个子集.当||A k <时,必存在某个{1,2,,}i k ∈,使得,i AA =∅即ii p α不整除集合A 中任意一个数,也不被集合A 中任意一个数整除.将i i p α添入集合.A 重复这一过程,直到将A 扩充成一个k 元子集,B 则集合B 满足要求.。
算术基本定理解析及其应用
算术基本定理解析及其应⽤摘要 本⽂主要讲述了算术基本定理的内容，具体的应⽤形式，重点结合例题展⽰如何使⽤算术基本定理求解问题。
算术基本定理 算术基本定理可表述为：任何⼀个⼤于1的⾃然数 N,如果N不为质数，那么N可以唯⼀分解成有限个质数的乘积N=P1a1P2a2P3a3......Pn an，这⾥P1<P2<P3......<Pn均为质数，其中指数ai是正整数。
这样的分解称为 N 的标准分解式。
算术基本定理是初等数论中⼀条⾮常基本和重要的定理，它把对⾃然数的研究转化为对其最基本的元素——素数的研究。
唯⼀因⼦分解的思想从本质上讲是指以下两种性质： “存在性和唯⼀性”。
所谓“存在性”就是指⼀个元素可以分解为有限多个不可约因⼦的乘积；“唯⼀性”是指这种分解表⽰在某种意义上来说是唯⼀的。
定理应⽤算法实现1 typedef long long ll;2const int maxn = 1e6 + 7;3 ll a[maxn], b[maxn];//a[i]表⽰第i个质因⼦，b[i]表⽰第i个质因⼦的指数4void fac(ll n, int& tot) {//待分解的整数和不同质因数的个数（按引⽤传递）5 ll tmp = (ll)(sqrt(n) + 0.5);6 tot = 0;7 ll now = n;8for(int i = 2; i <= tmp; i++) {9if(now % i == 0) {10 a[++tot] = i;11 b[tot] = 0;12while(now % i == 0) {13 ++b[tot];14 now /= i;15 }16 }17 }18if(now != 1) {//如果剩下的不是1，那就是最⼤的质因数19 a[++tot] = now;20 b[tot] = 1;21 }22 }可以⽤如下代码直接输出2 到100的质因数分解结果1 #include <iostream>2 #include <cstdio>3 #include <cmath>4using namespace std;56 typedef long long ll;7const int maxn = 1e6 + 7;8 ll a[maxn], b[maxn];//a[i]表⽰第i个质因⼦，b[i]表⽰第i个质因⼦的指数9void fac(ll n, int& tot) {//待分解的整数和不同质因数的个数（按引⽤传递）10 ll tmp = (ll)(sqrt(n) + 0.5);11 tot = 0;12 ll now = n;13for(int i = 2; i <= tmp; i++) {14if(now % i == 0) {15 a[++tot] = i;16 b[tot] = 0;17while(now % i == 0) {18 ++b[tot];19 now /= i;20 }21 }22 }23if(now != 1) {//如果剩下的不是1，那就是最⼤的质因数24 a[++tot] = now;25 b[tot] = 1;26 }27 }31for(ll i = 2; i <=100; i++) {32 printf("%lld = ", i);33int tot = 0;34 fac(i, tot);35for(int i = 1; i <= tot; i++) {36 printf("%lld^%lld %c ", a[i], b[i], i == tot ? '\n' : '+');37 }38 }39return0;40 }View Code例题解析题意 给出⼀个长⽅形的⾯积a（不是正⽅形），给出该长⽅形最⼩的边b，问组成该⾯积的长⽅形有多少种组合⽅案。
质数
上面我们已经提及了几类猜想， 如梅森素数无限的猜想， 费马素数有限的猜想等等。以下列举其他一些重要猜想。 （1）黎曼猜想。 黎曼通过研究发现， 素数分布的绝大部分猜想都取决于黎曼zeta函数ζ（s）的零点位置。他猜测那些非平凡零点都落在复平面中实部为1/2的直线上， 这就是被誉为千禧年世界七大数学难题之一的黎曼猜想， 是解析数论的重要课题。 （2）孪生素数猜想。 如果p和p+2都是素数， 那么就称他们为孪生素数。一个重要的问题就是：是否存在无限多对孪生素数？这一问题至今没有突破性进展。 （3）哥德巴赫猜想 （Goldbach Conjecture) （a）所有的不小于6的偶数，都可以表示为两个奇素数之和 (一般用代号“1+1”表示)。 （b）每个不小于9的奇数都可以表示为三个奇素数之和。 问题的第二部分，利用解析数论中的圆法估计，已被证明。 真正困难的是第一部分。
分布问题
构造
各类猜想
哥德巴赫猜想
英文解释
筛法
孪生素数普遍公式
C语言打印100以内的质数
JAVA质数升成简介
入门
基本定理
基本特点
判断质数的技巧
分布问题
构造
各类猜想
哥德巴赫猜想英文解释筛法孪生素数普遍公式C语言打印100以内的质数JAVA质数升成展开 编辑本段简介
就是在所有比1大的整数中，除了1和它本身以外，不再有别的约数，这种整数叫做质数，质数又叫做素数。这终规只是文字上的解释而已。能不能有一个代数式，规定用字母表示的那个数为规定的任何值时，所代入的代数式的值都是质数呢？ 质数的分布是没有规律的，往往让人莫名其妙。如：101、401、601、701都是质数，但上下面的301（7*43）和901（17*53）却是合数。 有人做过这样的验算：1^2+1+41=43,2^2+2+41=47,3^2+3+41=53……于是就可以有这样一个公式：设一正数为n，则n^2+n+41的值一定是一个质数。这个式子一直到n=39时，都是成立的。但n=40时，其式子就不成立了，因为40^2+40+41=1681=41*41。 被称为“17世纪最伟大的法国数学家”费尔马，也研究过质数的性质。他发现，设Fn=2^(2^n)，则当n分别等于0、1、2、3、4时，Fn分别给出3、5、17、257、65537，都是质数，由于F5太大（F5=4292967297），他没有再往下检测就直接猜测：对于一切自然数，Fn都是质数。但是，就是在F5上出了问题！费尔马死后67年，25岁的瑞士数学家欧拉证明：F5=4292967297=641*6700417，并非质数，而是合数。 更加有趣的是，以后的Fn值，数学家再也没有找到哪个Fn值是质数，全部Байду номын сангаас是合数。目前由于平方开得较大，因而能够证明的也很少。现在数学家们取得Fn的最大值为：n=1495。这可是个超级天文数字，其位数多达10^10584位，当然它尽管非常之大，但也不是个质数。质数和费尔马开了个大玩笑！ 17世纪还有位法国数学家叫梅森，他曾经做过一个猜想：2^p-1代数式，当p是质数时，2^p-1是质数。他验算出了：当p=2、3、5、7、17、19时，所得代数式的值都是质数，后来，欧拉证明p=31时，2^p-1是质数。 p＝2，3，5，7时，Mp都是素数，但M11＝2047＝23×89不是素数。 还剩下p=67、127、257三个梅森数，由于太大，长期没有人去验证。梅森去世250年后，美国数学家科勒证明，2^67-1=193707721*761838257287，是一个合数。这是第九个梅森数。20世纪，人们先后证明：第10个梅森数是质数，第11个梅森数是合数。质数排列得这样杂乱无章，也给人们寻找质数规律造成了困难。 还有一种质数叫费马数。形式是:Fn=2^(2^n)+1 是质数的猜想。 如F1=2^(2^1)+1=5 F2=2^(2^2)+1=17 F3=2^(2^3)+1=257 F4=2^(2^4)+1=65537 F5=2^(2^5)+1=4294967297 前4个是质数,因为第5个数实在太大了,费马认为是实数,并提出(费马没给出证明) 后来欧拉算出F5=641*6700417. 目前只有n=0,1,2,3,4,Fn才是质数. 现在，数学家找到的最大的梅森数是一个有9808357位的数：2^32582657-1。数学虽然可以找到很大的质数，但质数的规律还是无法循通。
素数与同余
1.3素数及算术基本定理 知识扫描：1. 素数的定义以及一些基本性质。
大于1的整数n 至少有两个不同的正约数：1和n 。
如果n 没有大于1而小于n 的约数，则称n 是素数。
如果n 有大于1而小于n 的约数，即n 可表示为a b 的形式，则称n 为合数。
（1） 大于1的整数必有素因子（2） 既为偶数又为素数的正整数只有一个，它就是2.（3） 设p 为素数，n 是任意整数，则或者p 整除n ，或者p 与n 互素。
（4） 设p 是素数，,a b 是整数，如果/p ab ，则,a b 中至少有一个被p 整除。
证明：如果p 不整除,a b ，则p 与a 和b 均互素，从而p 与a b 互素，矛盾！（5） 素数有无穷多个。
用反证法证明这个命题，假设素数只有有限个，1212122,3,,1,1.,,(1),/1.k k k i p p p N p p p N N p p p p p p i k p ===+>≤≤ 设是全部素数，考虑显然故有素因子因是全部素数，故必等于某个从而这不可能，因此素数有无穷多个。
2. 唯一分解定理：每个大于1的正整数均可分解成有限个素数的积。
如果不计素因数在乘积中的次序，则其分解方式是唯一的，即1212kk n p p p = a a a，其中i p 是质数，i a 是正整数，1i k ≤≤。
（证明为推理说明性的，可自己来做） 3. n 的约数的标准分解，设n 的标准分解为1212kkn p p p = aa a则正整数d 是n 的约数的充分必要条件是其标准分解为1212kkd p p p = b b b0,1,2,,i i i k ≤≤= b a4. ()()()()()()()()()()()()()()()1212112211212=+1+1+11111+1=+1+1+1kk k ki k k n r n n n n n r n n p p p p p p k r n =+++++++++ 的正约数的个数及正约数的和：记是的正约数的个数，是的正约数之和，且的标准分解式为上式，则有下面给出证明：由于指数有种选取且彼此独立，又由唯一分解定理知指数所有可能的选取产生种不同的约数，因此由乘法原理知即：个数与选取方aaad a a a d b a b b b a a a ()()()()12122k k n n dp p p = 式相等的证明，只需要把展开就可发现形如：的数恰恰出现一次，也就是左右两边相等，命题得证。
实验五：素数(.ppt)
2
a (modn) n
• 维路于1978年指出，上述常数C=70. • 由此可以设计如下多项式算法： 对任意n, 依次对a=1,2,…,70(logn)^2检验 上式是否成立。若对每一个a都不成立， 则n为素数。否则，n 为合数。 上述算法的运算量为O(logn)^5.
2、素数表的构造
• Eratosthenes筛法 2 3 4 5 10 11 12 13
18 19 26 27 20 28 21 29
6 14 22 30
7 15
8 16
9 17 25
23 24 31
32 33
经过众多学者的艰辛努力, D.N.Lehmer 于 1914年编织出了10000000以内的素数表。
通过编程计算发现，反过来结论并不成 立。例如，
2
340
1 mod341
1 mod p
但是341=11x34为合数！称使得
2
p 1
成立的p为伪素数。
注意同余的计算：
2
340
(2 ) 1024
10 34 34 34
(3 341 1) 1 mod 341
进一步，伪素数有多少个？
• 五年后他进一步证明了: 一个正n边行可 用直尺与园规作图的充要条件是, n=2^k 或者n=2^k p_1 p_2... p_r, 其中 p_1,p_2,...,p_r为不同的Fermat数. 特 别地, 正17边形可以用直尺与园规做出. • 此后，数学家梨西罗与盖尔美斯给出了 正257边形与正65537边形的做图法！
267 1 193707721 7618382572 87
• 截止2002年2月, 数学家仅发现了39个 Mersenne素数.
关于素数的数论定理
感谢百度文库让我们在这里与你相见，您的下载就是我们最大的动力。
关于素数的数论定理
嘿，小伙伴们！今天咱们来唠唠素数的数论定理，这可真是数学里超酷的一部分呢！
素数啊，就是那些只能被1和它自己整除的数，像2、3、5、7这些。
那关于素数的数论定理可有不少好玩的呢。
比如说欧几里得定理，这个定理证明了素数有无穷多个。
想象一下，素数就像一群永远数不完的小精灵，一直在数字的世界里蹦跶呢。
这个定理的证明也很有意思，假设素数是有限个，然后通过构造一个新的数，发现这个数要么是素数，要么能被不在原来假设的素数整除，这样就得出矛盾啦，所以素数必须是无穷多的。
还有威尔逊定理，它说当且仅当p为素数时，(p - 1)! + 1能被p整除。
这个定理就像是素数给自己设置的一个小密码一样，只有素数才能解开这个整除的小秘密哦。
再说说费马小定理，假如a是一个整数，p是一个素数，那么a 的p次方减去a能被p整除。
这就像是素数和整数之间的一种神秘互动，每次看到这个定理，都感觉像是发现了数字之间的悄悄话呢。
概括来说，素数的数论定理充满了奇妙和惊喜，就像数学这个大宝藏里闪闪发光的宝石，每一个定理都值得我们好好去探索和玩味。
第 1 页共 1 页。
素数与算术基本定理
1 2
s
( a, b) p
i 1 s i 1
s
min{ i , i } i max{ i , i } i
[ a, b] p
例2 设 证 若
p 是素数,
证明
p
是无理数.
p 是有理数, 设
则
所以 令 有
a p , (a, b) 1, b 2 2 a pb 2 p | a , p | a,
用 (x) 表示不超过实数 x 的素数的个数.
1-n的区间 n n n n 100 1000 10000 100000 素数个数π(n) 25 168 1229 9592 π(n)/n< 1/4 1/5 1/8 1/10
所以 lim
( x)
x
x
0
log( n)
n / (n)
x
素数
算术基本定理
a 的正因数只有1和它本身, 则 a 称为素数, 否则 a 称为合数.
1
正整数 素数
定义1 设 a 1, 若
2, 3, 5,
唯一的 偶素数
合数
素数与合数的基本性质
设
a 是合数, 则
a.
1) 存在整数 k ,l , 1 k , l a, 使得 a kl. 2) 存在素数 q, 使得 q | a, 且 q 合数必有素因子 例如,判定 359是否为素数.
Hadamard 1865-1963
Poussin 1866-1962
Selberg 1917-2007
Erdös 1913-1996
有没有公式可以比素数定理更 精确地描述素数的分布呢？
算术级数中的素数 对任意正整数n, 存在连续的 n个正整数,它们 都是合数.
高中数学关于素数的知识和算法
关于质数（素数）的知识和有关算法（资料来源：维基百科）素数定义：素数(Prime Number)，亦称质数，指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，无法被其它自然数整除的数。
换句话说，只有两个正因数（1和自己）的自然数即为素数。
比1大但不是素数的数称为合数。
1和0既非素数也非合数。
素数在数论中有着很重要的地位。
关于素数：最小的素数是2，也是素数中唯一的偶数（双数）；其它素数都是奇数（单数）。
素数有无限多个，所以不存在最大的素数。
围绕着素数存在很多数学问题、数学猜想和数学定理。
著名的有孪生素数猜想和哥德巴赫猜想。
素数序列的开头是这样：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97，101，103，107，109，113………………素数集合有时表示成粗体。
在抽象代数的一个分支－环论中，素元素有特殊的含义，在这个含义下，任何素数的加法的逆转也是素数。
换句话说，将整数Z的集合看成是一个环，-Z是一个素元素。
但是在数学领域内，提到素数时通常指正的素数。
算术基本定理证明每个大于1的正整数都可以写成素数的乘积，并且这种乘积的形式是唯一的。
因此素数也被称为自然数的“建筑的基石”。
例如：素数的数目素数有无穷多个。
现在已知最早的证明方法是欧几里得在他的《几何原本》中提出的。
该证明方法如下：假设素数有限。
把所有这些有限的素数相乘以后加1，可以得到一个数。
这个数无法被那些有限的素数里的任何一个整除：因为无论被哪一个素数除，总有余数1。
如果该数为素数，则根据假设，它不在那些假设的素数集合中。
如果该数为合数，因为任何一个合数都可以分解为几个素数的积；而一开始假设的那些素数都不能整除该合数，所以该合数分解得到的素因子肯定不在假设的素数集合中。
因此无论该数是素数还是合数，都意味着在假设的有限个素数之外还存在着其它素数。
对任何有限个素数的集合来说，用上述的方法永远可以得到有一个素数不在假设的素数集合中的结论。
素数唯一分解定理
素数唯一分解定理
素数唯一分解定理，也称为算术基本定理，是数论中的重要定理之一。
它表明任何一个大于1
的整数都可以唯一地分解成有限个素数的乘积，即如果不计各个素因数的顺序，那么这种分解是唯一的。
换句话说，对于大于1的整数n，存在唯一的素数分解式n = p1^e1 * p2^e2 * ... * pk^ek，其中p1, p2, ..., pk是互不相同的素数，e1, e2, ..., ek是正整数。
这个定理的证明可以通过数学归纳法、欧几里得算法或其他方法来得到。
它不仅在数论中有重要应用，也在密码学、计算机科学等领域中发挥着重要作用。
需要注意的是，虽然每个大于1的整数都可以唯一地分解成有限个素数的乘积，但是对于不同的整数，其分解式中素数的个数和具体的素数因子可能是不同的。
此外，还需要注意区分素数唯一分解定理与其他唯一分解定理（如多项式的唯一分解定理、交的唯一分解定理等）的不同之处。
质数
质数（prime number）又称素数，有无限个。
一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，换句话说就是该数除了1和它本身以外不再有其他的因数；否则称为合数。
根据算术基本定理，每一个比1大的整数，要么本身是一个质数，要么可以写成一系列质数的乘积；而且如果不考虑这些质数在乘积中的顺序，那么写出来的形式是唯一的。
最小的质数是2。
合数，数学用语，英文名为Composite number，指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他的数整除（不包括0)的数。
与之相对的是质数（因数只有1和它本身，如2,3,5,7,11,13等等，也称素数）,而1既不属于质数也不属于合数。
最小的合数是4。
∙所有大于2的偶数都是合数。
∙所有大于5的奇数中，个位是5的都是合数。
∙最小的合数为4。
∙每一合数都可以以唯一形式被写成质数的乘积。
(算术基本定理)∙对任一大于5的合数。
(威尔逊定理)约数，又称因数。
整数a除以整数b(b≠0) 除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或b能整除a。
a称为b的倍数，b称为a的约数。
在大学之前，"约数"一词所指的一般只限于正约数。
约数和倍数都是二元关系的概念，不能孤立地说某个整数是约数或倍数。
一个整数的约数是有限的。
同时，它可以在特定情况下成为公约数。
在自然数（0和正整数）的范围内，任何正整数都是0的约数。
4的正约数有：1、2、4。
6的正约数有：1、2、3、6。
10的正约数有：1、2、5、10。
12的正约数有：1、2、3、4、6、12。
15的正约数有：1、3、5、15。
18的正约数有：1、2、3、6、9、18。
20的正约数有：1、2、4、5、10、20。
注意：一个数的约数必然包括1及其本身。
枚举法枚举法：将两个数的因数分别一一列出，从中找出其公因数，再从公因数中找出最大的一个，即为这两个数的最大公因数。
例：求30与24的最大公因数。
30的正因数有：1,2,3,5,6,10,15,3024的正因数有：1,2,3,4,6,8,12,24易得其公因数中最大的一个是6，所以30和24的最大公因数是6。
算术基本定理
关于质和计算基本定理的问题一、知识大于1的整数n 总有两个不同的正约数：1和n .若n 仅有两个正约数（称n 没有正因子），则称n 为质数（或素数）.若n 有真因子，即n 可以表示为a b ⋅的形式（这里,a b 为大于1的整数），则称n 为合数.正整数被分为三类：数1，素数类，合数类关于素数的一些重要理论1.大于1的整数必有素约数.2.设p 为素数，n 为任意一个整数，则或者p 整除n ，或者p 与n 互素. 事实上，p 与n 的最大公约数(,)p n 必整除p ，故由素数的定义推知，或者(,)1p n =，或者(,)p n p =，即或者p 与n 互素，或者|p n .3.设p 为素数，,a b 为整数.若|p ab ，则,a b 中至少有一个数被p 整除. 事实上，若p 不整除a b 和，由性质2知，p 与a b 和均互素，从而p 与ab 互素。
这与已知的|p ab 矛盾.特别地：若素数p 整除(1)n a n ≥，则|p a4.定理1 素数有无限多个 (公元前欧几里得给出证明)证明：（反证法）假设只有k 个素数，设它们是12k p p p ，，，。
记121w N p p p =+。
（N 不一定是素数）由第一节定理2可知，p 有素因数p ，我们要说明,1i p p i k ≠≤≤从而得出矛盾事实上，若有某个,1i i k ≤≤使得,i p p ≠则由推出|1p ，这是不可能的。
因此在12k p p p ，，，之外又有一个素数p ，这与假设是矛盾的。
所以素数不可能是有限个。
5.引理1 任何大于1的正整数n 可以写成素数之积，即12m n p p p = (1)其中,1i p i m ≤≤是素数。
证明 当=2n 时，结论显然成立。
假设对于2n k ≤≤，式(1)成立，我们来证明式(1)对于=1n k +也成立，从而由归纳法推出式(1)对任何大于1的整数n 成立。
如果1k +是素数，式(1)显然成立。
什么事质数
质数(prime number)又称素数，有无限个。
一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，换句话说就是该数除了1和它本身以外不再有其他的因数;否则称为合数。
根据算术基本定理，每一个比1大的整数，要么本身是一个质数，要么可以写成一系列质数的乘积;而且如果不考虑这些质数在乘积中的顺序，那么写出来的形式是唯一的。
最小的质数是2。
目前为止，人们未找到一个公式可求出所有质数。
2016年1月，发现世界上迄今为止最大的质数，长达2233万位，如果用普通字号将它打印出来长度将超过65公里。
质数个数质数的个数是无穷的。
欧几里得的《几何原本》中有一个经典的证明。
它使用了证明常用的方法：反证法。
具体证明如下：假设质数只有有限的n个，从小到大依次排列为p1，p2，……，pn，设N=p1×p2×……×pn，那么，N+1是素数或者不是素数。
如果N+1为素数，则N+1要大于p1，p2，……，pn，所以它不在那些假设的素数集合中。
如果N+1为合数，因为任何一个合数都可以分解为几个素数的积；而N和N+1的最大公约数是1，所以N+1不可能被p1，p2，……，pn整除，所以该合数分解得到的素因数肯定不在假设的素数集合中。
因此无论该数是素数还是合数，都意味着在假设的有限个素数之外还存在着其他素数。
所以原先的假设不成立。
也就是说，素数有无穷多个。
其他数学家给出了一些不同的证明。
欧拉利用黎曼函数证明了全部素数的倒数之和是发散的，恩斯特·库默的证明更为简洁，HillelFurstenberg则用拓扑学加以证明。
对于一定范围内的素数数目的计算尽管整个素数是无穷的，仍然有人会问“100，000以下有多少个素数？”，“一个随机的100位数多大可能是素数？”。
素数定理可以回答此问题。
质数具有许多独特的性质：（1）质数p的约数只有两个：1和p。
（2）初等数学基本定理：任一大于1的自然数，要么本身是质数，要么可以分解为几个质数之积，且这种分解是唯一的。
华罗庚素数定理
华罗庚素数定理是指华罗庚发现的一个数学规律，即素数的数量和素数的对数成比例。
具体来说，假设1到n中的素数的个数为π(n)，那么当n很大时，有等式：π(n)≈(n/ln n)，这个比值称为素数密度，而这条规律被称为华罗庚素数分布定理。
这个定理和原因的解释比较复杂，简单来说，根据该定理，当选择的n越大，包含素数的区间长度也越大，自然更多的素数会出现。
因此大自然的一个基本规律——随机数分布的“不规律性”通过一种“平均”的方法来弥补，实现了素数的“平均”分布。
华罗庚素数分布的定理不仅有理论价值，还有着重要的实用意义，被广泛地用于密码学、计算机科学以及物理学中的研究。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
2
3 4 5
素数的分布 1)随着整数范围的扩大，素数是不是越来越稀 疏？稀疏的程度是否单调地增加？ 2）相邻素数之间的间隔值有哪些? 它们各 重复多少次? 随整数范围扩大, 最大间隔值 是否也随之增大? 3）间隔差为2的素数对是否有无穷多个? 更一 般地, 间隔差为某一个固定偶数的素数对是否 有无穷多个? 是否存在相邻的素数, 其间隔值 可以任意大?
I think it would be the Riemann Hypothesis.
- H. Montgomery
Riemann猜想（RH）
Riemann 1859 年 “论不大于一个给定值的素 数的个数” 2005年5月24日,Clay数 学研究所将黎曼猜想作 为七个千禧年数学难题 之一公开悬赏征解. Riemann 1826-1866
素数
算术基本定理
a 的正因数只有1和它本身, 则 a 称为素数, 否则 a 称为合数.
1
正整数 素数
定义1 设 a 1, 若
2, 3, 5,
唯一的 偶素数
合数
素数与合数的基本性质
设
a 是合数, 则
a.
1) 存在整数 k ,l , 1 k , l a, 使得 a kl. 2) 存在素数 q, 使得 q | a, 且 q 合数必有素因子 例如,判定 359是否为素数.
1/ 2
lim sup M ( x) x
x
1.06
反例
x0 10 x0 e
14
3.211064
猜想 （Hilbert 第7问题）
若 是代数数, 是无理代数数, 则
是超越数.
猜想
Fermat猜想 1995年
Riemann 猜想 ?
1935年
孪生素数猜想 （Twin prime conjecture） 是否存在无限多素数对 p, p 2 ? 如 p 65516468355 2
1900年，Hilbert在巴黎世界数学家大会上提出 23个问题供20世纪数学家研究。其中第8问题中 将Goldbach猜想作为最重要的问题之一提出.
英国伦敦Faber出版社 2000年3月悬赏100万美 金征解Goldbach猜想.
1938年，华罗庚证明：几乎所有大于6的偶数均 可表示成两个奇素数之和. 1958 王元 证明 (2 + 3) 1962 潘承洞 证明 (1 + 5) 1963 王元、潘承洞 证明(1 + 4) 1965 Vinogradov 证明 (1 + 3) 1966 陈景润 证明 (1 + 2)
s 2,4, 都是 (s) 的平凡零点.
Riemann 猜想
(s)的所有非平凡零点都位于复平面上
1 Re( s ) 的直线上. 2
Riemann素数公式
J 0 ( x) Li x Li( x )
( x ) ( n) n J ( x )
1 1/ n n 1
是否存在任意长度相邻 素数的等差数列? 陶 哲 轩
1975-
有关素数的猜想 哥德巴赫(Goldbach) 猜想 (1742年) 1) 每个不小于6的偶数都可以表为两个奇 素数之和; 2) 每个不小于9的奇数可以表为三个奇 素数之和. 1937，苏联数学家Vinogradov证明， 充分大的奇数可以表为三个素数的和.
x
du log (0) 2 u (u 1) log u
Mertens函数
M ( x ) ( n)
n x
RH 对任意正数 , M ( x) O( x Mertens猜想
1 / 2
)
对所有实数 x 1, 有 M ( x) x1/ 2 . A.M. Odlyzko等,1984年证明
7
Legendre,1798
x ( x) ~ , x . ln x 1.08366
Gauss,1792
( x) ~ Lix
x
0
dt , x . ln t
素数定理
x
lim
( x)
x / ln x
1.
Hadamard, de la Vallée Poussin,1896年. A. Selberg, P. Erdös ,1949年.
a pa1
pa b , p | b , p | b,
2 1 2 2
这与 ( a, b) 1 矛盾.
例3 设 a 0, n 0, 且
s i 1 n
a 的标准分解式为
mi i
ap
b | a b p1 p2 ps 0 i i , i 1,2,, s. b0
对任意素数 p , 有 其中
1 2 s
a p a t 0, (a, p) 1
t
求 (a, b), [a, b]
设 a, b 0, 且
1 2 s
a p1 p2 ps b p1 p2 ps
a pa1, b pb1, (a1 , b1 ) 1, 则
2 2 1 3 1
2
的所有可能值.
p (a , b ) p (a , b p) p ( a , p ) p3
2 3
解 设
2
2 1
定理1 素数有无穷多.
证 假定素数有有限多个,设
p1 2, p2 3,, pk
则
1 2
s
( a, b) p
i 1 s i 1
s
min{ i , i } i max{ i , i } i
[ a, b] p
例2 设 证 若
p 是素数,
证明
p
是无理数.
p 是有理数, 设
则
所以 令 有
a p , (a, b) 1, b 2 2 a pb 2 p | a , p | a,
用 (x) 表示不超过实数 x 的素数的个数.
1-n的区间 n n n n 100 1000 10000 100000 素数个数π(n) 25 168 1229 9592 π(n)/n< 1/4 1/5 1/8 1/10
所以 lim
( x)
x
x
0
log( n)
n / (n)
形如 n 1的素数有无限多.
2
任给正整数 n, 在 n 2 和 (n 1) 2 之间是否一定 存在素数?
素数的判定
p 是素数 p | ( p 1)!1
Fermat判别法 基于广义黎曼猜想的判别
表示素数的公式 Euler,1772 设 f ( x) x x 41, 则 x 0,1,,39 时,
Euler乘积公式
s 1,
Riemann 函数
n
n 1
s
(1 p )
p
s 1
令 s it
s n 1
(s) n , 1
对 函数在复平面作解析延拓,有
(1 s) 2(2 ) ( s) cos
s
s
2
(s)
10 10
1 2
(x)
x / ln x
( x) x / ln x
4
25 168 1229 9592 78498 664579
4.3 21.7 144.8
0.93
10
3 4
10 5 10 10 10
6
1.152 1.16 1085.7 1.13 8685.8 1.131 72382.5 1.084 620420.5 1.071
18 359 19
2,3,3,7,11,13,17 | 359
所以 359 是素数.
素数与合数的基本性质
设 q 是素数, 则
1) 对任意整数 n, 有 2) 例1
q | n, 或 (q, n) 1. 若 q | ab, 则 q | a, 或 q | b. 设 p 是素数, ( a, b) p. 求 (a 2 , b 3 )
其中 注 对其它类型的数,唯一分解定理未必成立. 如
Z ( 5i) {a b 5i : a, b Z } 6 2 3 (1 5i)(1 5i)
a 的标准分解式 s 1 2 设 a 1, 则 a p1 p2 ps 其中 pi 是互不相同的素数, i 0.
333333
1
2013年5月，Yitang Zhang 证明
lim inf ( pn1 pn ) 7 10
n
7
2013年7月，Engelsma 证明
张益唐 1955-
lim inf ( pn 1 pn ) 4680 ?
n
The n 2 1 conjecture
Hadamard 1865-1963
Poussin 1866-1962
Selberg 1917-2007
Erdös 1913-1996
有没有公式可以比素数定理更 精确地描述素数的分布呢？
算术级数中的素数 对任意正整数n, 存在连续的 n个正整数,它们 都是合数.
证 考虑 n 个正整数
(n 1)!2, (n 1)!3,, (n 1)!n 1
是全体素数. 令 N p1 p2 pk 1,设
q是 N
的素因数, 则 q p1 , p2 ,, pk . 这是因为若
q pi , 就有 q | 1, 这与 q 是素数矛盾.