最新信息论基础精品课件第2章_信源与信息熵(习题课)

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信息论第2章PPT(2012z最新版)

们引入平均自信息量来表述信源输出消息的不肯定性。们引入平均自信息量来表述信源输出消息的不肯定性。
平均自信息量又称为信源熵、或无条件熵。平均自信息量又称为信源熵、信息熵或无条件熵。
表示信源输出消息中的每个符号所含信息量的统计平均自信息量H (X ) 表示信源输出消息中的每个符号所含信息量的统计平均值，平均值，其表达式为 q
[
]
(a1a1 L a2 ) L (aq aq L aq ) X N (a1a1 L a1 ) = P (a a L a ) P (a a L a ) L P (a a L a ) 1 1 1 1 1 2 q q q P (X )
这个概率空间共有 q N 个元素。个元素。多符号的离散信源可以分为多符号的离散信源可以分为 1）离散无记忆信源） 2）离散有记忆信源）
一般情况下，如果取以 r 为底的对数 r>1）一般情况下，（），则
I (ai ) = − log r P (ai )
(r 进制单位）
通常采用“比特”作为信息量的实用单位。通常采用“比特”作为信息量的实用单位。
已知二元信源输出“ 、两种符号，例：已知二元信源输出“0”、“1”两种符号，两种符号出现概率相等，（1）如果“0”、“1”出现概率相等，计算出现如果“ 、出现概率相等的信息量； “0”的信息量；的信息量出现概率为1/3 （2）如果“0”出现概率为1/3，计算出现“1”的如果“ 出现概率为1/3，计算出现“ 的信息量。信息量。根据信息量的定义式，解：根据信息量的定义式，可以得到
2、平均自信息量H(X) 、平均自信息量
如果一个离散信源输出的消息符号集合为 X = {x i } = {x1 , x 2 , L , x q } , 信源输出的消息符号不同，所含有的信息量就不相同，因此，信源输出的消息符号不同，所含有的信息量就不相同，因此，自信息量

《信息论与编码》课件1第2章

I(ai)是一个随机变量并不难理解。因为ai发生可以使收信者获得大小为I(ai)的自信息，然而在信源未发出消息之前，收信者不仅对ai是否发生具有不确定性，而且对于能够获得多少自信息也是不确定的。因此，伴随着X=ai的随机发生而发生的自信息I(ai)是一个随机变量，并且与随机变量X具有相同的概率分布, 即自信息I(ai)是一个发生概率为P(X=ai)
如果消息ai已发生，则该消息发生所含有的自信息定义为
1
1
I (ai ) log P(ai ) log pi
(2.4)
第2章离散无记忆信源与信息熵
可以很容易地证明, 自信息的定义满足上面提出的四个
(1) 此自信息的定义是根据消息发生的概率建立的一个工程定义，而不是根据这个消息对人的实际意义而建立的定义。这一纯粹技术性的定义仅仅抓住了“信息”一词在
(2) 自信息I(ai) 在消息ai发生之前，自信息I(ai)表示ai发生的不确定性; 在消息ai发生以后，自信息I(ai)表示ai所含有的（或提
第2章离散无记忆信源与信息熵
(3) 在式(2.4)中关于对数的底未作明确规定。这是因为对数的底仅仅影响到度量的单位，实际中可根据
如果取对数的底为2，则所得信息量的单位为比特（bit， binary unit），此时logx用lbx
第2章离散无记忆信源与信息熵
第2章离散无记忆信源与信息熵
2.1 离散无记忆信源 2.2 自信息和熵 2.3 熵函数的性质 2.4 联合事件的熵及其关系 2.5 连续信源的信息测度习题2
第2章离散无记忆信源与信息熵
信息理论的研究对象是以各类信息的获取、表示、传输和处理为目的的信息系统。图2-1给出了一个典型的通信系统物理模型。在这样的通信系统中，一个贯穿始终的、最基本的问题便是信息，即信源输出的是信息，在系统中传输的是信息，接收者获得的也是信息。可见，在信息理论的学习和研究中，首先需要对

信息论基础第2章

仅有是 ( ) (t2) 未知的。这类积分方程又称为齐次第二类线性积
分方程，其核是对称型的，求解比较容易。它要求特征值i为某些离
散值，而与之对应的正交函数则是积分方程的特征函数 i (t) 。
可见，当 R(t1,t2 ) 已知时，可求解上述积分方程，得特征值i 和相
应特征函数 i (t) ，然后即可将U(t, ω)展成为：
有
L
n
L
种可能取值。
对消息序列信源有：
UL
pu
U u1 p(u1)
U unL p(unL )
24-Mar-20
P.5
2）实际信源（续）
例：最简单L=3的三位PCM信源：这时L=3, n=2, 即i={0,1}，则有：
U3 p(u)
U
000,U p03 ,
001, p02 p1
,U ,
这里，H ( f , ) 为一频域中周期性随机过程，同理，类似于对周期性
确知信号，在频域可做下列付氏级数展开：当 f F 时，
a.e
a.e
j 2n f
H ( f ,) H ( f ,) gn ()e 2F
n
而
gn
(
)
a.e
1 2F
F
j 2n f
H ( f ,)e 2F df
1
F
2F
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(三）实际信源举例
下面仅以最常见的图像与语音信源为例
1）图像信源图像信源一般可以引用一个五元的随机场来表示：
扫描时
U (x, y, z,,t) U (x,t) （简化）
主要统计特性：初步可以认为是一个近似的平稳遍历过程
①幅度概率分布：它主要采用专用仪器测试并用直方图分析，但未得出一致性结论，主要原因是其分布与图像类型密切相关，比如对准动态型，其分布接近于正态分布，而对于动态型，其分布则接近于对数正态分布。

信息论新教材02

假定某一离散信源发出的各个符号消息的集合为：
X {x1 , x2 ,
各个符号的先验概率为：通常将它们写在一起：
, xn }
x2 p( x2 )
i
P { p( x1 ), p( x2 ), , p( xn )}
X x1 P p( x ) 1 xn p( xn )
若xi与yj相互独立，即 p( xi y j ) p( xi ) p( y j ) ，则有
I ( xi y j ) I ( xi ) I ( y j )
若xi与yj的出现不是相互独立的，而是有联系的，此时，要用条件概率来表示，即在事件yj出现的条件下，事件xi发生的条件概率，其条件自信息量定义为： I ( xi | y j ) log a p( xi | y j )
，
I (e) log 2 0.105bit 3.25bit
，，
例题2-2 将二信息分别编码为A和B进行传送，在接收端，A被误收作B的概率为0.02；而B被误收作A的概率为0.01，A与B传送的频繁程度为2:1。若接收端收到的是A，计算原发信息是A的条件自信息量。解：设U0表示发送A，U1表示发送B；V0表示接收A，V1表示接收B。由题意知： 1 2 p(V | U ) 0.02 p(V | U ) 0.98 p(V | U ) 0.01
p(U0 )
p(V | U1 ) 0.99 则接收到A时，原发信息是 A的条件概率为：。 1
3
p(U1 )
3
，
1
0
0
0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
1
p (U 0 | V0 )
p (U 0V0 ) p (V0 | U 0 ) p (U 0 ) p (V0 ) p (V0 )

信息论课件 2-1.3马尔科夫信源

x3:1/2 s3
相通
s4
x2:1/2 x3:1/2
x4:1 x5:1
s2 x2:1/2
非周期性的：对于 pii(k)＞0的所有k值，其最大公约数为1。
x2:1/2 x1:1/4
过渡态
s1
s6
x6:1
x6:1/4
吸收态
x4:1/4
s5
周期性的：在常返态中, 有些状态仅当k能被某整
数d＞1整除时才有pii(k)＞16 0, 图中的周期为2；
0.3W1 0.7W1
0.2W2 0.8W2
W0 W1
W2
W0 W1 W2 1
W0 0.3571, W1 0.1429, W2 0.5
0/0.4
1/0.6
so
1/0.2
s1
0/0.3 1/0.7
s2
0/0.8
0.6 0.4 0 p(sj | si ) 0.3 0 0.7
0.2 0 0.8
21
1
1
W
W
21
23
W 1
1
3
W
W p i ij
W j
i
4 1
1W
W 43 1W
W 2
W
32
54
3
2 W
32
4W 54
W 4
W W W W 1
1
2
3
4
• 稳态分布概率
W1
3 35
,
W2
6 35
,
W3
6 35
,
W4
4 7
• 稳态后的符号概率分布
p(a1)
i
p(a1
|
si

信息论基础课件2[1][1].1.1- 2

r i 1
a2
…
ar p(ar)
p(a2) …
0 p(a i ) 1i 1,2, r
p(a i ) 1
信息论与编码-信源熵
需要注意的是，大写字母X,Y,Z代表随机变量，指的是信源整体，带下标的小写字母代表随机事件的某一结果或信源的某个元素。两者不可混淆。
信息论与编码-信源熵
(4) 如p(xi)=1，则I(xi) =0 ;(必然事件不含有任何不确定性，所以不含有任何信息量）
(5) 自信息量也是一个随机变量，它没有确定的值。
信息论与编码-信源熵
例2、设有12枚同值硬币，其中有一枚为假币，且只知道假币
的重量与真币的重量不同，但不知究竟是轻是重。现采用天平比较两边轻重的方法来测量（因无法码）。问至少需要称多少次才能称出假币？解：用天平每称一次能获得一定的信息量，能消除部分的不确定性。测量若干次后，能消除全部不确定性，获得全部信息，也就能确定出假币。设“在12枚同值硬币中，某一枚为假币”该事件为a, p(a ) 1 / 12 则 p 又设“假币是重、或是轻”该事件为b，则(b) 1 / 2
(5)当X与Y相互独立时，
p( y j / xi ) p( y j ), p( xi / y j ) p( xi ), p( xi y j ) p( xi ) p( y j )
( 6) p( x i / y j ) p( x i y j )
p( x i y j )
i 1
n
p( y j / xi )
i 1 n j 1 i 1 j 1 i 1
n
m
n
m
n
p( xi y j ) p( y j ), p( xi y j ) p( xi )

第2章信源熵第1讲自信息量与互信息量

余映云南大学
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计算举例
• 对于 2n 进制的数字序列, 假设每一符号的出现完全随机且概率相等，求任一符号的自信息量。解：设任一码元 xi 出现概率为 p(xi)，根据题意， p(xi) = 1/ 2n I (xi) = –log(1/ 2n) = n (bit) • 事件的自信息量只与其概率有关，而与它的取值无关。
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信息量与不确定性的关系
• 信源中某一消息发生的不确定性越大，一旦它发生，并为收信者收到后，消除的不确定性就越大，获得的信息也就越大。 • 由于各种原因（例如噪声太大），收信者接收到受干扰的消息后，对某信息发生的不确定性依然存在或者一点也未消除时，则收信者获得较少的信息或者说一点也没有获得信息。
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信息量与不确定性的关系
• 自信息量和不确定度的含义又有区别
– 不确定度只与事件的概率有关，是一个统计量，在静态状态下也存在； – 自信息量只有该随机事件出现时才给出，不出现时不给出，因此它是一个动态的概念。
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自信息的含义
• 在事件 xi 发生前：表示事件 xi 发生的不确定性。 • 在事件 xi 发生后：表示事件 xi 所提供的信息量。
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信息量与不确定性的关系
• 信息量的直观定义：
收到某消息获得的信息量＝不确定性减少的量＝(收到此消息前关于某事件发生的不确定性) －(收到此消息后关于某事件发生的不确定性) • 在无噪声时，通过信道传输，可以完全不失真地收到消息，收到此消息后关于某事件发生的不确定性完全消除，此项为零。因此得收到某消息获得的信息量＝收到此消息前关于某事件发生的不确定性＝信源输出的某消息中所含有的信息量

信息论与编码第2章信源与信息熵PPT课件

pji(l)p(ul Si |ul1Sj)
p(Si |Sj)
pji表示从第(l-1)时刻到第l时刻的状态转移概率，称为一步状态转移概率。此时，信源的随机状态序列服从马尔
四、马尔可夫信源的状态转移图
【补充】马尔可夫信源的状态序列在数学模型上可以用马尔可夫链的状态转移图来描述信源。
状态转移图也可称为香农线图。
2. 数学条件
② 信源某一时刻(l)所处的状态只由当前输出的符号和前一时刻(l-1)信源的状态唯一确定。即：
p(ul Si | xl ak,ul1 Sj ) p(Si | ak,Sj )
(Si,Sj S; ak A)
三、 n阶马尔可夫信源的条件
3. 状态转移概率
设信源在第(l-1)时刻处于状态Sj时，下一时刻转移到Si的状态概率为：
四、马尔可夫信源的状态转移图
状态转移图的元素
① 每个圆圈代表一个状态。
② 状态之间的有向线段代表某一状态向另一状态的转移。
③ 有向线的一侧标注发出的某符号ak和条件概率p(ak|Sj)。 ak:p(ak|Sj)
S1
S2
【例2.5】
设一个二元一阶马尔可夫信源，信源符号集为A={0,1}，条件概率为 p(0|0)=0.25，p(0|1)=0.50， p(1|0)=0.75，p(1|1)=0.50。试画出该信源的状态转移图。【课本P64 例3.5.2】
假设信源发出的消息x用二进码011表示接收到每个二进制码元后得到有关2012128492222符号符号符号2012128502222平均互信息量其中2012128512222熵的性质对称性确定性香农辅助定理最大熵定理条件熵小于无条件熵20121285222222012128532222对称性信息熵相同2012128542222确定性香农辅助定理loglog2012128552222最大熵定理条件熵小于无条件熵2012128562222平均互信息的性质互易性与熵和条件熵及联合熵关系极值性凸性函数性质信息不增性原理2012128572222同理2012128582222互易性2012128592222平均互信息与熵的关系2012128602222互信息量与熵的关系2012128612222极值性2012128622222凸性函数当条件概率分布给定时平均互信息量是输入概率分布的上凸函数当集合x的概率分布保持不变时平均互信息量是条件概率分布的下凸函数2012128632222信息不增性条件下假设在2012128642323离散无记忆信源的序列熵离散有记忆信源的序列熵2012128652323离散无记忆信源的序列熵ililil2012128662323离散无记忆信源的序列熵平均每个符号熵消息熵2012128672323离散有记忆信源的序列熵和消息熵2012128682323eg求信源的序列熵和平均符号熵361191118211342918792012128692323离散有记忆信源的序列熵和消息熵结论1是l的单调非增函数结论3是l的单调非增函数2012128702323马氏链极限熵左边遍历马氏链对于齐次2012128712323右边2012128722323eg求马氏链平均符号熵三个状态2012128732424幅度连续的单个符号信源熵loglimloglim2012128742424幅度连续的单个符号信源熵互信息条件熵联合熵相对熵2012128752424波形信源熵随机波形信源取条件熵相对熵2012128762424最大熵定理具有最大熵当它是均匀分布时变量对于定义域有限的随机限峰功率最大熵定理dxdxdxdxdxdxdxdxdxdxdxdxdxdxdx2012128772424最大熵定理限平均功率最大熵定理

第2章信源及信源熵 145页PPT文档

【例2.1】
设信源只有两个符号“0”和“1”，且它们以消息的形式向外发送时均以等概率出现，求它们各自的自信息量。
（二）不确定度d(ai)与自信息量I(ai) 两者的联系
数值上相等，单位也相等，但含义不同。
两者的区别
具有某种概率分布的随机事件，不管其发生与否，都存在不确定度，不确定度是任何随机事件本身所具有的属性。
信源空间：
X P（x）
a1 a2 … aN ＝
P(a1) P(a2) … P(aN)
显然有：
例：对于二进制数据、数字信源：X={0,1}，若这两个符号是等概率出现的，则有：
X P（x）
a1 = 0a2 = 1 Nhomakorabea＝
P(a1) =0.5 P(a2) = 0.5
（二）多符号离散信源
是发出符号序列的信源
一般来说，信源输出的随机序列的统计特性比较复杂，分析起来也比较困难。为了便于分析，我们假设信源输出的是平稳的随机序列，也就是序列的统计性质与时间的推移无关。很多实际信源也满足这个假设。
若在信源输出的随机序列X= (Ｘ１，Ｘ２，…，ＸＮ)中，每个随机变量Xi (i=1,2,…，N)都是取值离散的离散型随机变量，即每个随机变量 Xi的可能取值是有限的或可数的；而且随机矢量X的各维概率分布都与时间起点无关，也就是在任意两个不同时刻随机矢量X的各维概率分布都相同。这样的信源称为离散平稳信源。如中文自然语言文字，离散化平面灰度图像都是这种离散型平稳信源。
离散无记忆信源
在某些简单的离散平稳信源情况下，信源先后发出的一个个符号彼此是统计独立的。也就是说发出的信源发出的符号是相互独立的，发出符号序列中各个符号之间也是相互独立的。

信息论第2章(信息量、熵及互信息量)PPT课件

假设一条电线上串联了8个灯泡x这8个灯泡损坏的可能性是等概率的假设有也只有一个灯泡损坏用万用表去测量获得足够的信息量才能获知和确定哪个灯泡x损坏
信息论基础
The Basis of Information Theory
主题No2：信息量、熵和互信息量
在上一次课中我们提到香农对信息定性的定义——事物运动状态或存在方式的不确定性的描述。事实上，香农对信息不仅作了定性描述，而且还进行了定量分析。
信源发出的消息常常是随机的，具有不确定性。如果信源中某一消息的不确定性越大，一旦发生，并为收信者收到，消除的不确定性就越大，获得的信息也就越大。同时事件发生的不确定性与事件发生的概率有关，概率越小，不确定性就越大。
研究通信系统的目的就是要找到信息传输过程的共同规律，以提高信息传输的可靠性、有效性、保密性和认证性，以达到信息传输系统最优化。
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
You Know, The More Powerful You Will Be
谢谢大家
荣幸这一路，与你同行
It'S An Honor To Walk With You All The Way
I(X;Y)是一个用来衡量信道好坏的非常好的工具。
计算条件熵的例子
例6 设一个二进制对称信道BSC：
其先验概率为p(0)=p(1)=1/2，试计算条件熵. [解答]由已知条件得：
由条件熵的定义有：
结果表明，虽然每个字符的错误率只有 0.1，可导致整个信宿对信源的平均不确定性达到了0.469，将近一半。可见通信系统对信道的要求非常高。

2信源与信息熵2

i 1 j 1 n m
• 联合自信息量
I ( xi y j ) log2 p( xi y j )
• 条件自信息量和联合自信息量同样满足非负性和单调递减性。 • 关系
I ( xi y j ) log2 p( xi ) p( y j / xi ) I ( xi ) I ( y j / xi ) log2 p( y j ) p( xi / y j ) I ( y j ) I ( xi / y j )
信源熵与自信息量的关系1:定性
• 信源熵用以表征信源的平均不确定性：一个信源，无论是否输出符号，由于具有特定的概率统计特性，因此具有特定的熵值。 • 信息量则只有当信源输出的符号被接收者收到后才有意义。平均自信息量是能够消除信源不确定性时所需信息的量度，即收到一个信源符号，全部解除了这个符号的不确定性。或者说获得这样大的信息量后，信源不确定性就被消除了。
• 平均自信息量：表示信源中发出每个符号平均所能提供的信息量。它只与信源中各个符号出现的概率有关，可以用来表示信源输出信息的总体量度。 • 信源X的平均不确定度：表示总体平均意义上的信源符号的不确定度(不管是否发出)。数值上等于平均自信息量。 • 这个平均自信息量的表达式和统计物理学中热熵的表达式很相似。在统计物理学中，热熵是一个物理系统杂乱性(无序性)的度量。这在概念上也有相似之处。所以，可以把信源X的平均不确定度称为 “信源熵”。
例2-5/6
• 例2-5(P19):
• 例2-6(P19): • 由于符号间通常存在关联性，实际信息量往往远远小于理论值。
例2-7
• 例2-7(P19):二元信源的信息熵。
• 自信息量是针对无条件概率计算的，可以在数学上进行简单的推广：将无条件概率换为条件概率或联合概率。

信息论基础第二章信源熵-习题答案.doc

为(202120130213001203210110321010021032011223210),求(1) 此消息的自信息量是多少？(2) 此消息中平均每符号携带的信息量是多少？解：(1) 此消息总共有14个0、13个1、12个2、6个3,因此此消息发出的概率是:(]\25X ——,4丿此消息的信息量是：/ =-log/? = 87.811 bit(2)此消息中平均每符号携带的信息量是：//〃 = 87.811/45 = 1.951 bit解释为什么> Iog6不满足信源储的极值性。

解： 6 H(X)= -工 /?(%,) log p(xji= -(0.2 log 0.2+ 0.19 log 0.19 + 0.181og0.18 + 0.171og0」7 + 0.161og0.16 + 0.171og0.17) =2.657 bit / symbolW(X)>log 2 6 = 2.5856不满足极值性的原因是工#(兀)=1.07 > i 。

2.7同时掷出两个正常的骰子，也就是各面呈现的概率都为1/6,求:(1) “3和5同时出现”这事件的自信息；(2) “两个1同时出现”这事件的自信息；(3) 两个点数的各种组合(无序)对的*商和平均信息量；(4) 两个点数之和(即2, 3,…，12构成的子集)的储；(5) 两个点数中至少有一个是1的自信息量。

解：2.4 设离散无记忆信源X P(X) 兀[=0 兀2 = 1 兀3 = 2 X 4 =3 3/8 1/4 1/4 1/8 ,其发出的信息 2. 6 ■ X 'x 2 兀4 尤5 兀6 ' > P(X).[0.2 0.19 0.18 0.17 0.16 0」74H(X)=-工"(xjlog #(兀)= 2.010 /=!设信源求这个信源的储，并⑴用随机事件兀表示“3和5同时出现”，贝UI(x i ) = - log p(xj = - log — = 4.170 bit 18(2)用随机事件齐表示“两个1同吋出现”，则 p(xj = — X —=—'6 6 36/(兀)=- log p{x i ) = -log — = 5」70 bit⑶两个点数的排列如下: 1112 13 14 15 16 2122 23 24 25 26 3132 33 34 35 36 4142 43 44 45 46 5152 53 54 55 56 61 62 63 64 65 6622, 33, 44, 55, 66的概率是卜卜召其他"组合的概率是2x 肚诂H(X) =-工 p(x /)logp(x,) = -f6x-^log-^ + 15x-l-log-^/ I 3o 3b 1 o 1 o ⑷参考上而的两个点数的排列，可以得出两个点数求和的概率分布如H ：Xf 2 3 4 5 6 7 8 9 1() 11 121 1 1 1 1 5 1 5 1 1 1 1]p(X)_ 、36 18 12 9 36 6 36 9 12 18 36.H(X) = -工卩(无)log pg1 . 1 c 1 I 1,1. 1,1. 1,5, 5 1 I 1)-2x ——log — + 2x —log — + 2x — log — + 2x —log —+ 2x — log — + —log —I 36 36 18 18 12 12 9 9 36 36 6 6)= 3.274 bit/symbol⑸p(x.) = —x — xl 1 =——'6 6 36/(x z ) = - log /?(%, ) = - log= 1.710 bit 36共有21种组合：其中11,= 4.337 bit I symbol2.10对某城市进行交通忙闲的调查，并把天气分成晴雨两种状态，气温分成冷暖两个状态，调查结果得联合出现的相对频度如下：若把这些频度看作概率测度，求：(1) 忙闲的无条件爛；(2) 天气状态和气温状态已知时忙闲的条件爛；⑶从天气状态和气温状态获得的关于忙闲的信息。

信息论与编码技术chap2信源及其熵.ppt

例：语音信号、热噪声信号、遥控系统中有关电压、温度、压力等测得的连续数据等等。
数学模型：连续型的概率空间。即：
X p(x)
(a, b)
p(x)
满足
b
p(x)dx 1
a
或
R
p(
x)
或 p(x)dx 1
R
平稳随机序列信源
总体特点：
信源输出的消息由一系列符号序列所组成，可用N
维随机矢量 X＝(X1,X2,…,XN)描述，且随机矢量X
更一般情况：随机波形信源
实际信源输出的消息常常是时间和取值都是连续的。这类信源称为随机波形信源。
随机波形信源在某一固定时间 t0 的可能取值是连续和随机的。对于这种信源输出的消息，可用随机过程来描述。
例：语音信号X(t)、热噪声信号n(t)、电视图像信号X(r(t),g(t),b(t))等时间连续函数。
p(ai) (i=1,2,…,q) 满足： q p(ai ) 1
i 1
则：
X P(x)
a1
P(a1
)
a2 P(a2 )
a3 P(a3 )
... ... ... ...
aq P(aq )
▪概率空间能表征离散信源的统计特性，因此也称概率空间为信源空间。
连续信源
特点：输出是单个符号（代码）的消息，输出消息的符号集A的取值是连续的，可用一维的连续型随机变量X 来描述。
数学模型是X信源空间的N重空间：
XN
P(iBiblioteka )1P(1
)
2 P( 2 )
... ...
qN P( qN
)
N
其中，P( i ) P(aik ), ik (1,2,..., q) k 1

第 2 章信源与信息熵

• 布袋摸球实验，如先取一球记下颜色后不放回布袋再取另一球，则组成消息的两个球的颜色之间有关联性。
一般情况下，信源在不同时刻发出的符号之间是相互依赖的，即信源输出的平稳随机序列 X 中，各随机变量 X l 之间是有依赖的。
例如在汉字组成的中文消息中，前后文字的出现是有依赖的，不能认为是彼此不相关的，放在L维随机矢量的联合概率分布中，就必然要引入条件概率分布来说明它们之间的关联。这种信源即有记忆信源。
第 2 章信源与信息熵
2.1 信源的描述与分类 2.2 离散信源熵和互信息 2.3 离散序列信源的熵 2.4 连续信源的熵和互信息 2.5 冗余度
概率论基础
无条件概率、条件概率、联合概率的性质和关系
(1) 0 ≤ p( x i )， p( y j )， p( y j | x i )， p( x i | y j )， p( x i y j )≤1
设信源输出的Ｌ维随机序列（随机矢量）为
序列中的随机变量 X l ∈ A ( l =1, 2, …, L ) 信源的概率空间：
??
?
2010-3-30
例：
∵ 序列无记忆
若为平稳随机序列，则
L l=1
这种由信源 X 输出的 L 长随机序列 X 所描述的信源叫做离散无记忆信源 X 的 L 次扩展信源。
(2)
n
m
n
i
=
p
1
(
x
i
)
=
1
,
∑
j=
p
1
(
y
j
)
=
1
,
∑p
i=1
(
x
i
|
y
j
)

《信源和信息熵》PPT课件

下，它并不等于平均获得的信息量，获得的信息量是两
熵之差，并不是信息熵本身。
二、信息熵的基本性质
1、对称性：
此性质说明：熵的总体性。它只与随机变量的总体结
构有关，而不在于个别值的概率，甚至也不因随机变
量取值的不同而异。 2、非负性：
3、扩展性：
说明：概率很小的值的出现，给予接收者以较大的信息，但在熵的计算中占的比重很小，这是熵的总体平均性的一种体现。 4、确定性：
注意：信息单位比特（表示以2为底的对数）与计算机术语中的比特（表示二进制数的位）的意义是不同的。
▪收到某消息获得的信息量＝收到此消息前关于某事件发生的不确定性－收到此消息后关于某事件发生的不确定性
即：收信者所获得的信息量应等于信息传输前后不确定性的减少的量。
例：设一条电线上串联8个灯泡，且损坏的可能性为等概，若仅有一个坏灯泡，须获知多少信息量才可确认？
可见：所有概率分布pi所构成的熵，以等概时为最大，
称为最大离散熵定理。
7、上凸性：熵函数具有严格的上凸性，它的极值必为最大值。 8、递增性：
其中：此性质说明：熵增加了一项由于划分而产生的不确定性
量。
例：运用熵函数的递增性，计算熵函数 H（1/3,1/3,1/6,1/6）的数值。
可见：熵函数的递增性也可称为递推性，表示n 个元素的信源熵可以递推成（n－1）个二元信源的熵函数的加权和。可使多元信源的熵函数计算简化成计算若干个二元信源的熵函数。
独立有记忆信源：随机矢量的各分量不相
互独立表述有记忆信源比无记忆信源困难的多，实际中，
信源发出的符号往往只与前若干符号的依赖关系强，
与更前面的符号依赖关系弱，这类信源可用马尔可

第2章信源与信息熵

1. 非负性 2. 对称性
n
pi 1,
i 1
pi 0
(i 1, 2,..., n)
3. 确定性
4. 连续性
5. 扩展性
6. 最大熵定理
7. 条件熵小于无条件熵
熵函数的非负性
H ( X ) H ( p1, p2 , , pn ) 0
0 pi 1, log pi 0
pi log pi 0
i
熵的物理意义
H(X)表示信源发出任何一个消息状态所携带的平均信息量
也等于在无噪声条件下，接收者收到一个消息状态所获得的平均信息量
熵的本意为热力学中表示分子状态的紊乱程度信息论中熵表示信源中消息状态的不确定度信源熵与信息量有不同的意义
H(X)表示信源X每一个状态所能提供的平均信息量 H(X)表示信源X在没有发出符号以前，接收者对信源的
第2章信源与信息熵
主要内容 1. 信源的分类与描述 2. 离散信源的信息熵和互信息 3. 离散序列信源的熵 4. 连续信源的熵与互信息 5. 冗余度
2.1 信源的分类与描述
信源的定义
产生消息（符号）、消息序列和连续消息的来源。
信源的基本特性是具有随机不确定性
分类
1. 时间
离散
2. 幅度
离散
3. 记忆
有
பைடு நூலகம்
连续连续无
介绍三类信源
➢ 单符号离散信源 ➢ 符号序列信源（有记忆和无记忆） ➢ 连续信源
单符号离散信源
单符号离散信源：用随机变量X来描述
X的概率空间
X p(xi
)
X
x1, p1,
X x2, p2 ,
, X xn
,
pn

第二章信源与信息熵

连续信源的概率空间：
PX(pax,(bx))或Rpx(x)
b
px(x)0, px(x)dx1或px(x)0, Rpx(x)dx1 a
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第2章信源与信息熵
3. 发出符号序列离散无记忆信源－－每次发出一组含两个以上的符号序列来代表一个消息
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第2章信源与信息熵
p ij m ,n 一 k 步步 p p ijik jm m 齐次 p p iijjk
注：平稳信源的概率分布特性具有时间推移不变性，而齐次马氏链只要转移概率具有时间推移不变性，因此一般情况下，平稳包含齐次。
p
k
ii

0
的
n中没有比1大的公因
子。
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第2章信源与信息熵
• 作业：2-1，2-2
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第2章信源与信息熵
第二章信源与信息熵
• 第二讲
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25
第2章信源与信息熵
上一讲复习
• 1. 信源的分类
连续信源信源
离散信源
随机波形信源其它单符号无记忆离散信源符号序列无记忆离散信源单符号有记忆离散信源符号序列有记忆离散信源
实际上信源发出的符号往往只与前面几个符号的依赖关系较强，而与更前面的符号依赖关系就弱。为此可以限制随机序列的记忆长度。
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第2章信源与信息熵
• 连续信源的离散化
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