三铰拱的内力计算 重庆大学
合集下载
概述2三铰拱支座反力和内力的计算...
在固定荷载作用下，使拱处于无弯矩状态(M=0)的轴线称为
合理轴线。
对拱结构而言，任意截面上弯矩为： M=M0-Hy
令M=0，则
y=y(x)=M0(x)/H （合理拱轴线方程）
在竖向荷载作用下，三铰拱的合理轴线的纵坐标值与对应简
支梁的弯矩成比例。
例1 设三铰拱承受沿水平方向均匀分布的竖向荷载,求其合理轴线。
24 3
0.5 26.57 0.447 0.894 20
32
0
-6.7
3 6 3.75 0.25 14.04 0.243 0.970 24
1 1.5
-0.49 -6.06
48 4
0
0
0
1
24
-1 0
-1 -6
5 10 3.75 -0.25 -14.04 -0.243 0.970 22
-1 -0.5 0.49 -6.06
截面单杆：任意隔离体中，除某一杆件外，截面上其它所有 杆件的内力均相交于同一点（或互相平行），则此杆件称为该 截面的截面单杆。
截面单杆的内力可直接根据隔离体的一个平衡方程求出。
Pa
P
Pa Na
h
A
A
6a
P
P
P
ΣMA=0, Na×h +P×3a-P×2a= 0 → Na = - Pa/h 19
P
a/2
a
a
a
a
0.25P
0.75P
P
b
Na
0.75P
Na cos45-0.75Psin45=0
Na =0.75P
P Nb
2m
a 3m
A
Na
A
B
4m
4.1-4.2三铰拱的计算
二铰拱
三铰拱
无铰拱
All Rights Reserved 重庆大学土木工程学院®
2、带拉杆的拱结构 、
C
吊拉
A B A B
拉拉
花花花花
柱柱
拉杆 拉杆
拉杆
All Rights Reserved
重庆大学土木工程学院®
F
三、拱结构的力学特性
FAH
A
B
FBH
FAV (b) 拱结构
FBV
拱结构截面内一般有弯矩、剪力和轴力， 拱结构截面内一般有弯矩、剪力和轴力， 但在竖向荷载作用下，由于有水平推力的存在， 但在竖向荷载作用下，由于有水平推力的存在， 使得其弯矩和剪力都要比同跨度、 使得其弯矩和剪力都要比同跨度、同荷载的梁 小得多，而其轴力则将增大。因此， 小得多，而其轴力则将增大。因此，拱结构主 要承受压力。 要承受压力。
= −(−50)(−0.447) − (60)(0.894) = −75.99 kN
重庆大学土木工程学院®
用同样的方法和步骤，可求得其它控制截面的内力。列表进行计算， 用同样的方法和步骤，可求得其它控制截面的内力。列表进行计算， 如表4-1所示 所示。 如表 所示。
All Rights Reserved 重庆大学土木工程学院®
4.1
一、拱结构
拱结构的形式和特性
在竖向荷载作用下， 在竖向荷载作用下，支座会产生向内的水平反力 (推力 的曲线形结构，称为拱结构，如图所示。 推力)的曲线形结构 推力 的曲线形结构，称为拱结构，如图所示。
F F
FAH =0
A
B
FAH
A
B
FBH
FAV (a) 曲梁
FBV
FAV (b) 拱结构
拱结构的特点三铰拱的支座反力和内力计算三铰拱的合理拱轴线
FS右D FS0D右 cos FH sin 5×0.8946×(0.447) 1.79kN
FN右D FS0D右 sin H cos (5)×(0.447)6×0.894 7.6kN
重复上述步骤，可求出各等分截面的内力，作出内力图。 7
1.5
2
12
0.71
0.4
M°
200
FS图 (kN) 9.19
dd22My ddxx22
0
Fg Hyqq(Fx0H)
y Ach g x Bsh
FH
g
x FH
q0
g
q0+γf
A l/2
q0
C f
l/2 y
x B
x 0, y 0 ;
A
q0
g
x 0 , dy 0 ; B 0 dx
y
q0
g
ch
g x 1
FH
在填土重量作用下，三铰拱 的合理拱轴线是一悬链线。
10
11
ql 2 8
y A
q
C
f
x
B
y(x) f
M 0 (x)
M
0 C
4f l2
x(l x)
x l/2
l/2
三铰拱在沿水平均
匀分布的竖向荷载
q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
作用下，其合理拱
轴线为一抛物线。
ql/2
l
ql/2
9
例4-3 求在填土重量下三铰拱的合理拱轴线。q=q0+γy
ddy2x(y2x)F1MHF(00dqH(qdx2(M )xxg2) 0y)
轴力假定压为正
4、 M、 FS、FN图均不再为直线。 56、、集集中中力力作偶用作处用处FS M图图将将发发生生突突变5变。。
工程力学：三铰拱的内力计算
三铰拱的内力计算
➢ 三铰拱的反力和内力计算
支座反力
y FP1
C FP2
取整体，由
FHA A
MB 0
FVA
FVA
FPibi l
FV0A
yk f
a1 a2
l/2
yJ b1
l/2
B FHB x
b2 FVB
MA 0
FVB
FPi ai l
FV0B
FP1 A
K
FV0A
FP2
C
B
J
FV0B
代梁（相应简支梁）
FND (FVA FP1) sin FH cos (FV0A FP1) sin FH cos FQ0D sin FH cos
内力计算
小结：
1）由于推力 的存在，拱的弯矩比梁的要小。 2）三铰拱的内力值不但与荷载及三个铰的位置 有关，而且与各铰间拱轴线的形状有关。
C D
三铰拱 FHA A
FVA
相应简支梁
AD
C
FV0A
约 FVA FV0A
束 FVB FV0B
内
反 力
FH
M
0 C
f
力
B FHB
FVB B
FV0B
➢ 三铰拱的合理轴线
在给定荷载作用下，三铰拱任一截面弯矩为零， 只承受轴力，这样的轴线就称为合理拱轴。
在竖向荷载作用下三铰拱任一截面弯矩为
M M 0 FH y
令 M 0 得到 y M 0
FVA A
FV0A
FVA FV0A
FVB FV0B
FH
M
0 C
f
C B FHB
FVB
C
B
FV0B
➢ 三铰拱的反力和内力计算
支座反力
y FP1
C FP2
取整体，由
FHA A
MB 0
FVA
FVA
FPibi l
FV0A
yk f
a1 a2
l/2
yJ b1
l/2
B FHB x
b2 FVB
MA 0
FVB
FPi ai l
FV0B
FP1 A
K
FV0A
FP2
C
B
J
FV0B
代梁（相应简支梁）
FND (FVA FP1) sin FH cos (FV0A FP1) sin FH cos FQ0D sin FH cos
内力计算
小结：
1）由于推力 的存在，拱的弯矩比梁的要小。 2）三铰拱的内力值不但与荷载及三个铰的位置 有关，而且与各铰间拱轴线的形状有关。
C D
三铰拱 FHA A
FVA
相应简支梁
AD
C
FV0A
约 FVA FV0A
束 FVB FV0B
内
反 力
FH
M
0 C
f
力
B FHB
FVB B
FV0B
➢ 三铰拱的合理轴线
在给定荷载作用下，三铰拱任一截面弯矩为零， 只承受轴力，这样的轴线就称为合理拱轴。
在竖向荷载作用下三铰拱任一截面弯矩为
M M 0 FH y
令 M 0 得到 y M 0
FVA A
FV0A
FVA FV0A
FVB FV0B
FH
M
0 C
f
C B FHB
FVB
C
B
FV0B
结构力学课后习题答案重庆大学
第1章 绪论（无习题）第2章 平面体系的几何组成分析习题解答习题 是非判断题(1) 若平面体系的实际自由度为零，则该体系一定为几何不变体系。
( )(2) 若平面体系的计算自由度W =0，则该体系一定为无多余约束的几何不变体系。
( ) (3) 若平面体系的计算自由度W ＜0，则该体系为有多余约束的几何不变体系。
( ) (4) 由三个铰两两相连的三刚片组成几何不变体系且无多余约束。
( )(5) 习题(5) 图所示体系去掉二元体CEF 后，剩余部分为简支刚架，所以原体系为无多余约束的几何不变体系。
( )B DACEF习题 (5)图(6) 习题(6)(a)图所示体系去掉二元体ABC 后，成为习题(6) (b)图，故原体系是几何可变体系。
( )(7) 习题(6)(a)图所示体系去掉二元体EDF 后，成为习题(6) (c)图，故原体系是几何可变体系。
( )(a)(b)(c)D习题 (6)图【解】（1）正确。
（2）错误。
0W 是使体系成为几何不变的必要条件而非充分条件。
（3）错误。
（4）错误。
只有当三个铰不共线时，该题的结论才是正确的。
（5）错误。
CEF 不是二元体。
（6）错误。
ABC 不是二元体。
（7）错误。
EDF 不是二元体。
习题 填空(1) 习题(1)图所示体系为_________体系。
习题(1)图(2) 习题(2)图所示体系为__________体系。
习题2-2(2)图(3) 习题(3)图所示4个体系的多余约束数目分别为_______、________、__________、__________。
习题(3)图(4) 习题(4)图所示体系的多余约束个数为___________。
习题(4)图(5) 习题(5)图所示体系的多余约束个数为___________。
习题(5)图(6) 习题(6)图所示体系为_________体系，有_________个多余约束。
习题(6)图(7) 习题(7)图所示体系为_________体系，有_________个多余约束。
3_4三铰拱
二、三铰拱的计算 （在竖向荷载作用下的平拱） 1、支座反力 与同跨度同荷载对应简支梁比较
a1
d P1 a 2
D HA C
b1 b2
P2
MA 0
VB
1 Pa 1 1P 2 a2 l
VB VB
A
VA
y
f
l2
x
l1 l
B
HB
MB 0
VA
1 Pb 1 1P 2b2 l
y x
M
x
H
q ql 2 4 f 2 x l x x l x l 2 8f
Mo
A
V
A
N Q sin H cos
D
Ｈ
3、受力特点 （1）在竖向荷载作用下，拱有水平推力 H ; （2）由于推力 H 的存在，拱截面弯矩比相应简支梁小; （3）在竖向荷载作用下，拱内有轴力 N，且一般为压力。
q=2kN∙m y
1 0 3 4 5
P=8kN
例 1、三铰拱及所受荷载如图
0.667
2 33 41,sin 2 0555 . ,cos 2 0832 .
（注意截面6处 Q 有突变）
o
N 2 Q2 sin 2 H cos 2 11 2 3 0.555 7.5 0.832 9.015kN
绘制内力图
q y C q B l/2 x A B x
A
l/2
f
M x [解] 由式 y x H
ql 2
ql 2
先列出简支梁的弯矩方程
q M x x l x 2
拱的推力为：
注意
指定三铰拱内力计算及简图
指定三铰拱内力计算及简图姓名：刘风喜班级：土木5班学号：1123310529 一、三铰拱参数及受力三铰拱的轴线方程是：Y=0.1X(20-X),即跨度为20m，矢高为10m受均布荷载q=20KN/m,在X=5,10,15m处受集中荷载F=10KN。
二、计算简图当0<X<5 时，M=215X-0.5qX2-110Y,Fy=215-20X,Fx=110当 5<X<10时，M=215X-0.5qX2-110Y-10(X-5),Fy=215-20X-10,Fx=110当10<X<15时，M=215X-0.5qX2-110Y-10(X-5)-10(X-10),Fy=215-20X-20,Fx=110当15<X<20时，M=215X-0.5qX2-110Y-10(X-5)-10(X-10)-10(X-15),Fy=215-20X-30,F x =110F x=F HF y=F Q0M=M0-F H yF Q=F y cosθ-F x sinθFN=-(Fysinθ+Fxcosθ)F ay=215 F ax=110三、计算表四、内力图五、讨论在相同荷载下，不同拱轴线所对应的内力分布也不同。
特别的，由F y=F Q0说明F y和拱轴线方程（拱的形状，高度）无关，由F x=F H=M c0/f 说明F x只与矢高有关，由M=M0-F H y 说明M只与矢高有关其和形状无关，而F Q , F N 都是θ（tanθ=Y X’）的函数。
所以在相同荷载下，不同拱轴线所对应的内力分布也不同。
土木工程本科题库与答案：工程力学(二
重庆大学网络教育学院
50. 图示体系在两等值、反向、共线的集中荷载作用下，未发生刚体位移，因 此为几何不变体系。
二、单项选择题（本大题共 0 分，共 70 小题，每小题 0 分） 1. 力法步骤前四步的顺序是（ ）。设①代表步骤“列写基本方程”、②代表 “确定基本体系”、③代表“确定超静定次数”、④代表“求解系数和自由 项”。 A. ①④②③ B. ②①③④ C. ③②①④ D. ④③②① 2. 两个刚片与地面构成几何不变体系至少需要多少个约束。（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 3. 南京长江大桥属于（ ）结构。 A. 刚架； B. 桁架； C. 组合结构；
重庆大学网络教育学院
判定其几何组成性质。 31. 平面一般力系的平衡方程一定可以求解出三个未知量。 32. 竖向荷载会在转角位移上作虚功。 33. 均布荷载作用的起始点和终止点处，弯矩图有尖点。 34. 取面积的曲线图形可进行任意拆分,但拆分后每一面积图只能分布杆件的一 侧。 35. 按照静力法标准步骤求解。 36. 自振频率远大于扰频时,动力荷载的作用效应与静力作用相接近。 37. 用力法计算荷载作用下的超静定结构时，解得的多余未知力与结构刚度无 关。由此可知，荷载作用下超静定结构的内力与刚度无关。
27. 控制截面的选取只与截面在杆段上的位置有关。 28. 使用单位荷载法进行超静定结构位移计算时，应保证除单位力外，其余参 与平衡的力都作用在原结构的支座约束方向上。 29. 钢筋混凝土现浇结点在计算简图中一定都简化成刚结点。 30. 如果一个体系可用二元体规则判定其几何组成性质，则无法用二刚片规则
A. 常变体系 B. 瞬变体系 C. 无多余约束几何不变体系 D.B 的弯矩 MB 的影响线，在 E 点处的值为（ ）。
结构力学之三铰拱
e1
须注意两个计算特点：一是要考虑偏心矩e1， 二是左、右半跨屋面倾角φ为定值。 于是，可参照式(4-6)写出拱身内力计算式为
M M 0 FS ( y e1 )
0 FQ FQ cos FS sin 0 FN FQ sin FS cos
【讨论】对于如图所示的二次抛物线三铰拱： (1) 当仅在左半跨或右半跨作用均布荷 载q时，其M图都是反对称的，如图所 示；而FQ图都是对称的。
(2) 由于推力的存在（前两式右边第二项），拱与相应简 支梁相比：其截面上的弯矩和剪力将减小。弯矩的降低， 使拱能更充分地发挥材料的作用。
(3) 在竖向荷载作用下，梁的截面内没有轴力，而拱的截
面内轴力较大，且一般为压力（拱轴力仍以拉力为正、压 力为负）
三铰拱的内力图
1.画三铰拱内力图的方法 描点法。 2.画三铰拱内力图的步骤 1）计算支座反力 2）计算拱圈截面的内力（可以每隔一定水平距离取 一截面，也可以沿拱轴每隔一定长度取一截面）。 3）按各截面内力的大小和正负绘制内力图。 注： 1）仍有Q=dM/ds 即剪力等零处弯矩达极值； 2）M、Q、N图均不再为直线； 3）集中力作用处Q 图将发生突变； 4）集中力偶作用处M 图将发生突变。
由由mc0得flflffcfpvbs????????32fp3fvbl2bcfiifsfcxfcyfp1fp1fp2fp2fp3fp3aabbccddeefffhfvafvbiil2l2l2l2ll拉杆flcf0vaf0vbf精品资料3计算拱身内力在无拉杆三铰拱的内力计算式中只须用fs去取代fh即可得出有水平拉杆拱身内力计算式为????cossinsincos0qn0qq0sssffffffyfmm???????fp3fvbl2bcfiifsfcxfcy精品资料例例2求图示三铰拱式屋架在竖向荷载作用下的支反力和内力
5.2 三铰拱的内力计算
C
0 ，可得
0 FHA 0
FP1Biblioteka A K C0 MCFP2
B
0 FVB
l l FV A FP 1 a1 FH f 0 2 2
0 M C FH f 0
0 MC FH f
0 FVA
l/2
l/2
l
类似平行弦桁架的弦杆内力与 相应梁截面弯矩的内力关系
67
76
78 77.8
B
15
20
15
20
E
M图(kN· m)
FN图(kN)
q=10kN/m C 4.9
FP=40kN C E E yE B FH=60kN
17.9
E y A D x FVA=70kN 4m 4m
4 7.1
A
D 4.9
10
17.9
4
7
B
FH=60kN
f=4m
FQ图(kN)
4m l=16m
FVA=70kN
l=16m q=10kN/m A D FP=40kN B
0 M C 50 8 40 4 FH f 4
C 16m
E
60 kN （推力）
0 FVA
0 FVB
聊城大学建筑工程学院
(2)计算各截面几何参数（y和φ ）
1) 求 y：将l 和f 代入拱轴线方程
4f y 2 x(l x) l
【例5-3】求图示三铰拱式屋架在竖向荷载作用下的支反力和内力。 解： (1) 计算支座反力
q
0 VB
FH 0, FV A F , F V B F
0 VA
y FH FVA
A
三铰拱的内力计算
取半拱： ΣmC=0； XA·4－YA·4=0； XA=1kN
【例4—1】求图示半圆形三铰拱K截面的弯矩。
C K
P=4kN
D
30 30
MK NK K
QK
XA
YA
A
4m
O
B
4m
XB
YB
将拱从K位置截开，取AK。
A XA
YA
ΣmK=0； M K YA 2 X A 2 3 0, MK=－1.464kN.m(外侧受拉)
合理选择拱的轴线可使横截面的弯矩为零。使拱各截面的弯 矩皆为零的轴线称为合理拱轴线，如均布荷载下三铰拱的合理拱 轴线为抛物线。
【例4—1】求图示半圆形三铰拱K截面的弯矩。
C K
P=4kN
D
30 30
C
XC YC
A
XA YA
4m
O
B
4m
XB
YB
A XA
YA
取整体： ΣmB=0； YA·8－P·2=0； YA=1kN
XA
f
YA
l 2
0,
XA
Pl 8f
P
K
C
MK
K αNK
y f y
A
XA YA
x l/2
B
XB
l/4 l/4 YB
A
XA
x
QK
YA
三铰拱支座的水平推力XA=XB的大小与拱的高跨比
跨比
f l
越小
，水平推力XA=XB越大。
f l
有关，高
将拱从K位置截开，取AK。
由 ΣX=0； NKcosα+QKsin α+XA=0 ΣY=0； NKsinα－QKcosα+YA=0
三铰拱内力计算
结构力学
例题
P59，例4-1
第3章静定结构的内力计算
结构力学
三、合理拱轴线
第3章静定结构的内力计算
在一定的荷载作用下，使拱处于均匀受压（无弯矩）状态的轴 线，称为合理拱轴线。
合理拱轴线最经济。
合理拱轴线方程：
令
M M 0 FH y
0
y M0 FH
由上式可见，在竖向荷载作用下，三铰拱合理拱轴线的纵坐标 与代梁弯矩图的纵坐标成正比。
结构力学
第3章静定结构的内力计算
例题 试求图示三铰拱承受均布荷载时，其合理拱轴线。
y q C
解：合理拱轴线方程：
M0 y
FH
A
f
B x
代梁弯矩方程： M 0 ql x q x2
22
l
q A
FA0H
FA0V
x
l
B
水平推力：
FH
M
0 C
f
ql 2 8f
FB0Vห้องสมุดไป่ตู้
M0 4f y x(l x)
FH l 2
x
1
沿拱轴线法向均布荷载作用 （水压力）
q
A ρ
C
ρ
α
α
B ρ
圆弧线
轴力为常数 FN q
结构力学
第3章静定结构的内力计算
拱结构的应用（工程结构、生活、体育等）
中国拱桥
扬州拱桥
结构力学
第3章静定结构的内力计算
结构力学
第3章静定结构的内力计算
结构力学
第3章静定结构的内力计算
结构力学
第3章静定结构的内力计算
带拉杆的三铰拱
A
B
结构力学
二、三铰拱计算
3-3三铰拱(结构力学第3章)
证：可先考虑半圆形三铰拱的情况。作用 于圆弧上的径向均布荷载q 可以用两 个垂直方向上等值的均布荷载等效替 代。
恰好等于沿竖向和水平方向的两种 均布荷载 q 作用于微段时产生的竖 向分力和水平分力。
qRd cos 竖向分力： dFy qRd sin
水平分力： dFx
例3-9 试证圆弧线是三铰拱拱轴线法线 方向均布压力作用下的合理拱轴线。
26.8kN
0 MK MK FH yK
0 MC FH f
例3-6 绘制图示三铰拱的内力图。 4f y 2 x( l x ) 拱轴线方程： l 解：求支座反力。
0 FyA FyA 28kN , 0 FyB FyB 20kN 0 MC 20kN 8m 16kN 4m 96kN m 0 M C 96 FH 24kN f 4
3-3-3 合理拱轴线 在给定的荷载作用下，能使拱体所有截面上弯矩为零的拱轴 线称为合理拱轴线。 0 弯矩： MK MK FH yK 令：
M M 0 FH y 0 M0 y 得： FH
例3-7 求图示三铰拱的合理拱轴线。 解：相应简支梁的弯： FH f 8 f M0 4 f x l x 合理拱轴线： y 2 FH l
0 MC (推力计算公式 ) FH f
相当梁
⑴在给定荷载作用下，三铰拱的支座反力仅与三个铰的位置有 关，而与拱轴的形状无关。 ⑵在竖向荷载作用下，三铰平拱的支座竖向反力与相应简支梁 反力相同，而水平推力与拱高成反比。拱的高跨比(矢跨比) 愈大则推力愈小；反之，则推力愈大。 0 MC FH f
例3-6 绘制图示三铰拱的内力图。 4f y 2 x( l x ) 拱轴线方程： l 解：求支座反力。
恰好等于沿竖向和水平方向的两种 均布荷载 q 作用于微段时产生的竖 向分力和水平分力。
qRd cos 竖向分力： dFy qRd sin
水平分力： dFx
例3-9 试证圆弧线是三铰拱拱轴线法线 方向均布压力作用下的合理拱轴线。
26.8kN
0 MK MK FH yK
0 MC FH f
例3-6 绘制图示三铰拱的内力图。 4f y 2 x( l x ) 拱轴线方程： l 解：求支座反力。
0 FyA FyA 28kN , 0 FyB FyB 20kN 0 MC 20kN 8m 16kN 4m 96kN m 0 M C 96 FH 24kN f 4
3-3-3 合理拱轴线 在给定的荷载作用下，能使拱体所有截面上弯矩为零的拱轴 线称为合理拱轴线。 0 弯矩： MK MK FH yK 令：
M M 0 FH y 0 M0 y 得： FH
例3-7 求图示三铰拱的合理拱轴线。 解：相应简支梁的弯： FH f 8 f M0 4 f x l x 合理拱轴线： y 2 FH l
0 MC (推力计算公式 ) FH f
相当梁
⑴在给定荷载作用下，三铰拱的支座反力仅与三个铰的位置有 关，而与拱轴的形状无关。 ⑵在竖向荷载作用下，三铰平拱的支座竖向反力与相应简支梁 反力相同，而水平推力与拱高成反比。拱的高跨比(矢跨比) 愈大则推力愈小；反之，则推力愈大。 0 MC FH f
例3-6 绘制图示三铰拱的内力图。 4f y 2 x( l x ) 拱轴线方程： l 解：求支座反力。
第二节三铰拱内力计算
二、三铰拱的内力计算
求截面K的内力。 求截面 的内力。取隔离体如图由 ∑ M K = 0 ： 的内力
Μ
K
+ Hy K − [V A x K − P1 ( x K − a 1 )] = 0
注意到： 注意到：对应简支梁的相同截面处的弯矩
0 0 Μ K = [VK xK − P1 ( xK − a1 )]
− N K + H cos ϕ K + (V A − P1 ) sin ϕ K = 0
得 N K = V sin ϕ K + H cos ϕ K
0 K
三铰拱任一截面内力计算公式为 三铰拱任一截面内力计算公式为 ： 任一截面内力计算公式
0 VK = VK cos ϕ K − H sin ϕ K 0 N K = VK sin ϕ K + H cos ϕ K
4m
E
（2）内力计算 将拱沿跨长方向分成8等份， 将拱沿跨长方向分成8等份， 以各等分点为控制截面， 个控制截面， 以各等分点为控制截面，有9个控制截面，分别计算出每个截面的 内力值，以便描点连内力图。 内力值，以便描点连内力图。
例
三铰拱所受荷载如下图所示， 三铰拱所受荷载如下图所示，拱轴方程为 4 f 绘内力图。 y = 2 x ( l − x ) ，绘内力图。
结论二： 结论二：三铰拱的水平支反力
0 MC H= f
与矢高成反比
三铰拱的支反力计算公式为
0 VA = VA 0 VB = VB 0 MC H= f
（4-1）
讨论：H与
f f f 有关。 愈大，H愈小； 愈小，则H愈大。当f→0时， l l l
H→无穷大，此时，为瞬变体系（三铰共线）。
6-5-2三铰拱的内力计算.
1 f FAy l F a 1 1 2
FAx
l 2
与三铰拱同跨度同荷载的相应简支梁如图b所示，其支座反力为
0 FAy 1 ( F1b1 F2b2 ) l 0 1 FBy ( F1a1 F2 a2 ) l 0 FAx 0
f 125kN
（2）计算D截面上的内力。计 an D FS0DA yD 4f xD (l xD ) 3 m 2 l sin D 0.371, cos D 0.928
dy ＝ 0.400 , x＝ 5 m dx 100kN, FS0DC 0 ,
6－ 5 － 2
1. 求支座反力 取拱整体为隔离体，
三铰拱的内力计算
由平衡方程ΣMB=0，得
FAy 1 ( F1b1 F2b2 ) l
由ΣMA=0，得
FBy 1 ( F1a1 F2 a2 ) l
由ΣFy=0，得
FAx=FBx=Fx
国家共享型教学资源库
四川建筑职业技术学院
再取左半个拱为隔离体，由平衡方程ΣMC=0，得
解 （1）计算三铰拱的支座反力。
0 FAx 0
F F 100kN
0 Ay 0 。 By
相应简支梁截面C处的弯矩为
0 MC 500kN m
国家共享型教学资源库
四川建筑职业技术学院
三铰拱的支座反力为
0 FAy FAy 100 kN 0 FBy FBy 100 kN 0 FAx FBx Fx M C
0 MD 500kN m
国家共享型教学资源库
四川建筑职业技术学院
算得三铰拱D截面上的内力为
0 MD MD Fx y D 125kN m
FAx
l 2
与三铰拱同跨度同荷载的相应简支梁如图b所示，其支座反力为
0 FAy 1 ( F1b1 F2b2 ) l 0 1 FBy ( F1a1 F2 a2 ) l 0 FAx 0
f 125kN
（2）计算D截面上的内力。计 an D FS0DA yD 4f xD (l xD ) 3 m 2 l sin D 0.371, cos D 0.928
dy ＝ 0.400 , x＝ 5 m dx 100kN, FS0DC 0 ,
6－ 5 － 2
1. 求支座反力 取拱整体为隔离体，
三铰拱的内力计算
由平衡方程ΣMB=0，得
FAy 1 ( F1b1 F2b2 ) l
由ΣMA=0，得
FBy 1 ( F1a1 F2 a2 ) l
由ΣFy=0，得
FAx=FBx=Fx
国家共享型教学资源库
四川建筑职业技术学院
再取左半个拱为隔离体，由平衡方程ΣMC=0，得
解 （1）计算三铰拱的支座反力。
0 FAx 0
F F 100kN
0 Ay 0 。 By
相应简支梁截面C处的弯矩为
0 MC 500kN m
国家共享型教学资源库
四川建筑职业技术学院
三铰拱的支座反力为
0 FAy FAy 100 kN 0 FBy FBy 100 kN 0 FAx FBx Fx M C
0 MD 500kN m
国家共享型教学资源库
四川建筑职业技术学院
算得三铰拱D截面上的内力为
0 MD MD Fx y D 125kN m
三铰拱的反力和内力计算
p
x
y
解:当拱轴线改变时，荷载也随之改变。
令p(x)为沿拱轴线每单位长的自重，荷载沿水平
方向的集度为q(x)
q(x)
由 q(x)dx p(x)ds
dx p(x)
有 q(x) p(x) ds
dx
x ds
y
中南大学
退出
返回
01:31
§4-3 三铰拱的合理拱轴线
结构力学
将 q(x) p(x) ds
最终弯矩图,可以看出, 它是由代梁的弯矩图M 0减
去一个与拱轴线相似的抛 AA 物 线 图 形 后 剩 下 的 图 形 FV0FAV0A FH•y , 即右下图阴影部份. 可见拱的弯矩是很小的，
其内力是以轴力为主。
FF qq
CC
BB
F
V0BF
0 VB
FH FfH f
中南大学
退出
返回
01:31
§4-3 三铰拱的合理拱轴线
FVA
1 l
F1
l
a1
F2 l
a2
F3 l
a3
考虑C 铰左侧部分平衡
FHB FVB
由∑MC=0，得
FH
1 f
FyA
l 2
F1
l 2
a1
F2
l 2
a2
中南大学
退出
返回
01:31
§4-2 三铰拱的数值解
结构力学
§4-2 三铰拱的数值解
结构力学
(2) 求支座反力,结果为： FVA 105 kN , FVB 115 kN (3) 求内力 由水平推力 FH 82.5 kN 得
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(2)计算各截面几何参数（y和φ ）
1) 求y 将l 和f 代入拱轴线方程
q=10kN/m FP=40kN
y FH=60kN A
C E E
D
f=4m
yE
B FH=60k
x
y 4 f x(l x)
l2
得
x2
y x
FVA=70kN 4m
4m 4m l=16m
4m FVB=50kN
q=10kN/m A
4
10 8 12 16
70
kN（ ）
FV B
FV0B
108 4 16
4012
50
kN（ ）
FH
M
0 C
f
508 40 4 4
60 kN（推力）
q=10kN/m FP=40kN
A
B
DCE
16m
FV0A
FV0B
All Rights Reserved
重庆大学土木工程学院®
2、水平支座反力
由三铰拱整体平衡
条件 Fx 0 ，可得
a2
a1 FP1 KC
FP2
yf
FHA
Ax
B FHB
FHA = FHB = FH
取铰C左边隔离体，
由 MC 0，可得
FV
A
l 2
FP1
l 2
a1
FH
f
0
M
0 C
FH f
0
FVA
FH0A 0 A
(10)(0.894) (60)(0.447) 17.88 kN
FQE右 FQ0E右cosE FH sin E
(50)(0.894) (60)(0.447) 17.88 kN
3）轴力计算
FNE左
F0 NE左
s
in
E
FH cos E
FP=40kN B
2) 求φ
16
tan y 1 x
DCE 16m
8
代入各x值，即可查得相应的φ值。
FV0A
FV0B
为绘内力图将拱沿跨度分为8个等分，计有9个控制截面，
求出各截面的y、 φ等值，列于表中。
All Rights Reserved
重庆大学土木工程学院®
(3)计算内力
以截面E为例，计算其内力值。
【例4-1】已知拱轴线方程
y
4f l2
x(l x)
，试作图示三铰
拱的内力图。
解： (1) 计算支座反力
q=10kN/m FP=40kN
y FH=60kN A
C E E
D
f=4m
yE
B FH=60kN
x
FVA=70kN 4m 4m 4m 4m FVB=50kN
l=16m
FV A
FV0A
40
三、内力图的绘制
一般可将拱沿跨长分为若干等分（如8、12、20…等 分），应用式（4-2）分别计算其内力值（注意：各截 面的x、y和φ均不相同，可列表计算，见例4-1），然后 逐点描迹，连成曲线。弯矩绘在受拉侧，剪力图和轴力 图须注明正负号。
All Rights Reserved
重庆大学土木工程学院®
(3) 推力FH与拱高成反比。拱愈低，推力愈大；如果f
→ 0，则f → ∞，这时，三铰在一直线上，成为几何可
变体系。
All Rights Reserved
重庆大学土木工程学院®
二、内力的计算
试求指定截面K的内力。约定弯矩以拱内侧受拉为正。
(1) 由∑MK=0，得
M M 0 FH y
FHA
a2
(3) 在竖向荷载作用下，梁的截面内没有轴力，而拱的 截面内轴力较大，且一般为压力（拱轴力仍以拉力为
正、压力为负）。
All Rights Reserved
重庆大学土木工程学院®
小结
(4) 内力与拱轴线形式(y,j)有关。 (5) 关于φ值的正负号：左半跨φ取正号；右半跨φ取负 号，即式(4-2)中，cos(- φ) = cos φ ，sin(- φ) = -sin φ 。
FV0A
l/2
l/2
FVB
l
FP1 KC
FP2 B
M
0 C
l/2
l/2
FV0B
FH
M
0 C
f
All Rights Reserved
l
重庆大学土木工程学院®
小结
(1) 三铰拱支座反力计算公式为
FV A FV0 A
FV B FV0 B
FH
M
0 C
f
(2) 支座反力与l和f（亦即三个铰的位置）以及荷载情 况有关，而与拱轴线形式无关。
4m 4m l=16m
4m FVB=50kN
将上述截面E的各相关值代入公式，即可得各内力值
1）弯矩计算
All Rights Reserved
ME
M
0 E
FH yE
200
60 3 20
kN m
重庆大学土木工程学院®
2）剪力计算
FQE左 FQ0E左cosE FH sin E
将x =12m代入y 和 y 式中，得yE = 3m，yE tan yE= -0.5，
查得φ E = -26º34′。因此，有
q=10kN/m
FP=40kN
sin φ E = -0.447
y FH=60kN A
C E E
D f=4m
yE
x
B FH=60kN
cos φ E = 0.894
FVA=70kN 4m
a1
FP1 K
C
y Ax
FP2 B FHB
(2) 由∑FR=0，得
FVA l/2
l/2
FVB
l
FQ FQ0 cos FH sin
(3) 由∑FS=0，得
0A
FV0A
FP1 KC
FP2 B
l/2
M
0 C
l/2
FV0B
FN FQ0 sin FH cos
l
All Rights Reserved
(10)(0.447) (60)(0.894) 58.11 s
in
E
FH
cos E
(50)(0.447) (60)(0.894) 75.99 kN
All Rights Reserved
重庆大学土木工程学院®
用同样的方法和步骤，可求得其它控制截面的内力。列表进行计算，如 表4-1所示。
重庆大学土木工程学院®
FQ0
FH
FQ0 cos FP1
x
sin
FQ0
FH
cos
K y
M
FHFH
s
in
S
A
FVA
R
FP1
A
K M0
FQ0 FV0A
小结
(1) 三铰拱的内力计算公式（竖向荷载、两趾等高）
M M 0 FH y
FQ FQ0 cos FH sin FN FQ0 sin FH cos (2) 由于推力的存在（注意前两个计算式右边的第二项）， 拱与相当简支梁相比较，其截面上的弯矩和剪力将减小。 弯矩的降低，使拱能更充分地发挥材料的作用。