一次方程组、一次不等式与不等式组的解法
一元一次不等式方程及方程组
一元不等式及不等式组【课前检测】 用代入法解方程组2 x 5 y 21 x 3 y 83x y 7 2 x 5 y 132 x 3 y 7 3x 5 y 1用加减法解下列方程组4 x 8 y 12 3x 2 y 5 （1） 3x y 8 2a 3b 8 3x 5 y 20 （3） 3a b 5 （2） 5m 3n 1 6n 3m 5 （4） 【知识梳理】 1、 不等式相关概念 不等式：用不等号连接起来的式子，叫不等式。
常见的不等号有五种：“≠”“>” “<”“≥”“≤”． 解不等式：求不等式的解集的过程或证明不等式无解的过程，叫解不等式。
一元一次不等式：只含有一个未知数，且未知数的次数是 1．系数不等于 0 的不等式叫做一元一次不等式． 注：其标准形式： ax+b＜0 或 ax+b≤0， ax+b＞0 或 ax+b≥0(a≠0)．x<aaax>ax≤aaax≥a2、不等式的解和解集 不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解． 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的解的全体，叫做不等式的解集． 不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来， 具体表示方法是： ①确定边界点。
解集包含边界点，是实心圆点； 不包含边界点，则是空心圆圈； ②确定方向：大向右，小向左。
说明：不等式的解与一元一次方程的解是有区别的，不等式的解是不确定的，是一个范围，而一元一次方程的解则 是一个具体的数值．3、不等式的解集在数轴上的表示 在数轴上表示大于 3 的数的点应该是数 3 所对应点的右边。
画图时要注意方向（向右）和端点（不包括数 3，在对 应点画空心圆圈）。
如图所示：同样，如果某个不等式的解集为 x≤－2， 那么它表示 x 取－2 左边的点画实心圆点。
第三讲 二元一次方程及方程组一元一次不等式及不等式组(学生)
第三讲 二元一次方程及方程组一元一次不等式及不等式组。
本讲课程目标知识与技能熟练掌握方程的解法，提高分析问题的能力及解题能力，着重训练实际问题的审题、找相等关系并正确地列出方程的能力。
过程与方法 系统复习初一下册、一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式及不等式组等三章内容，讲练结合。
情感态度价值观本讲课程的重点1．一元一次方程的解法。
2．二元一次方程组的解法。
3．一元一次不等式及不等式组的解法本讲课程的难点1．应用一元一次方程解决实际问题。
2．二元一次方程组的消元技巧。
3．不等式的性质3的符号变换，不等式组的解集的分类。
教学方法建议精讲多练，讲练结合 选材程度及数量课堂精讲例题 搭配课堂训练题 课后作业 A 类（ ）道（ ）道（ ）道B 类 （ ）道 （ ）道 （ ）道C 类（ ）道（ ）道（ ）道—、回顾上一讲知识一：有理数知识的复习★第一步：要点一知识规律或思维方法、解题方法梳理1．正数、负数、有理数、数轴、相反数、绝对值及倒数的概念。
2．有理数的加减法、乘除法、以及乘方的运算法则及运算律（交换律、结合律、分配律）。
3．科学记数法及近似数，以及有理数混合运算的运算顺序。
★第二步：要点一经典例题讲解1．(－61＋43－125)⨯)12(-； （ 用分配律）2．B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-÷--⨯---3210)2(322)32(31(答案：0 )★第三步：要点一课堂巩固练习1．B.（－1）2009－（43－61－83）×24－（－2）2×3 （答案：-18 ） 2．B.20103)1(|52|)3(2)2(---+-⨯--。
（答案：0 ）二、整式的加减★第一步：要点二知识规律或思维方法、解题方法梳理1．单项式、多项式的概念。
2．整式加减的去括号的方法。
3．合并同类项的方法。
★第二步：要点二经典例题讲解1．B.已知一个多项式与x x 932+的和等于1432-+x x ，则此多项式是 （ B ）A ．1562---x xB ．15--xC ．1562++-x x D ．15+-x2. C. 已知5,4=-=+c b b a ，则代数式222222a b c ab bc +++-= 41 。
一元一次方程二元一次方程组不等式及不等式组
一元一次方程、二元一次方程组、不等式及不等式组、解方程组元一次方程组代入消元二元一次方程组加入消元一元一次方程一、不等式及不等式组1、知识结构：不等式的基本性质不等式（组）的解与解集2、一元一次不等式组由若干个一元一次不等式组成的，它的解集是各个一元一次不等式解集的公共部分 不等式组由两上不等式组成，先分别解出这两个不等式，不等式组的解集情况，有四种：设a b ，则:【考题训练】A . 1B . 3C . 5D . 2x 2 口 一兀一次方程组ax by 7“& r»一2、（桂林市、百色市）已知是 的解，则a b 的值为（)y 1ax by 1A . 1B . — 1C . 2D . 33、（齐齐哈尔市）一宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团 20人准备同时租用这三种客房共7间，如果每个房间都住满，租房方案有（）A . 4种B . 3种C . 2种4、（吉林省） A 种饮料B 种饮料单价少1元，小峰买了 2瓶A 种饮料和3瓶B 种饮料，一共花了 13元, 如果设B 种饮料单价为x 元/瓶，那么下面所列方程正确的是（） A . 2（x 1） 3x 13 B . 2（x 1） 3x 13C . 2x 3（x 1） 13D . 2x 3（x 1） 135、 班长去文具店买毕业留言卡 50张，每张标价2元，店老板说可以按标价九折优惠，则班长应付（）A . 45 元B . 90 元C . 10 元D . 100 元6、 （长沙）已知三角形的两边长分别为3cm 和8cm,则此三角形的第三边的长可能是（）A . 4cmB . 5cmC. 6cmD. 13cm7、 （台湾）已知有10包相同数量的饼干，若将其中 1包饼干平分给23名学生，最少剩3片。
若将此10包饼干平分给23名学生，则最少剩多少片？（）元一 -次不等式 一元一 -次不等式组1、（四川省内江市）若关于x ，y 的方程组2x y m x 2 ,的解是，则m n 为(x my ny 1(A) 0(B) 3 (C) 7(D) 10右关于x ，y 的二兀次方程组x x y y 5k,的解也是二兀一次方程 9k2x 3y 6的解，则k 的值为（)A. 3B. 3C.4 D.444339、 （青海）已知代数式m 13 3x y与5nx m y n是同类项，那么m 、 n 的值分别是 ()2A .m 2B .m 2m C .2D . m 2n 1n 1n 1n 110、（长春）不等式 2x 6 0的解集是（)A . x 3B . x 3C .x 3D . x 311、（泸州） 不等式组2x 1 3的解集是( )x1A. x2B .x 1C. 1 x 2D .无解2x 1 1的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（x 2 < 3C .2x0二、填空1、 2009年全国教育计划支出 1980亿元，比08年增加380亿元，则09年全国教育经费增长率为2、 ______________________________________________________________________________ 泸州）关于x 的方程kx 1 2x 的解为正实数，则 k 的取值范围是 _____________________________________________3、 一个物体现在的速度是 5米/秒，其速度每秒增加 2米/秒，则再过 __________ 秒它的速度为15米/秒.4、 （北京市）不等式 3x 2 5的解集是 ________________ .5、（丹江市）五一期间，百货大楼推出全场打八折的优惠活动，持贵宾卡可在八折基础上继续打折，小明妈妈持贵宾卡买了标价为 10000元的商品，共节省 2800元，则用贵宾卡又享受了 _____________ 折优惠.12、（宁夏）3 .把不等式组13、 （娄底） 0 1 A .F列哪个不等式组的解集在数轴上表示如图 2所示14、（恩施市） 如果 元一次不等式组3的解集为a3 •贝U a 的取值范围是D . a 315、（烟台市） 如图, 直线 y kx b 经过点 A( 1, 2)和点 B( 2,0),直线y 2x 过点A ,则不等式2x kx b 0的解集为（x6、（陕西省）一家商店将某件商品按成本价提高50%后，标价为450元，又以8折出售，则售出这件商品可获利润________ 元.9、 （济宁市）请你阅读下面的诗句：“栖树一群鸦，鸦树不知数，三只栖一树，五只没去处，五只栖一树，闲了一棵树，请你仔细数，鸦树各几何？”诗句中谈到的鸦为 _________ 只、树为10、 （达州）将一种浓度为15 %的溶液30 kg,配制成浓度不低于 20 %的同种溶液，则至少需要浓度为 35 %的该种溶液 ______________ kg .11、 （厦门市）已知 ab 2 .（1 ）若3 <b < 1，则a 的取值范围是 ___________________ .（2 ）若 b 0,且 a 2 b 2 5，则 a b ________________ .113、（凉山州）若不等式组x a2的解集是 1 x 1 , 则(a b)2009b 2x 014、（呼和浩特）如果|X 2y 1| |2x y 5| 0 ,则 x y 的值为三、解答题1、（肇庆市）2008年北京奥运会，中国运动员获得金、银、铜牌共 100枚，金牌数位列世界第一. 其中金牌比银牌与铜牌之和多2枚，银牌比铜牌少 7枚•问金、银、铜牌各多少枚？2、（贺州）已知一件文化衫价格为 18元，一个书包的价格是一件文化衫的 2倍还少6元.（1 ）求一个书包的价格是多少元？（2）某公司出资1800元，拿出不少于350元但不超过400元的经费奖励山区小学的优秀学生，剩余经费 还能为多少名山区小学的学生每人购买一个书包和一件文化衫？3、（漳州）为了防控甲型 H1N1流感，某校积极进行校园环境消毒，购买了甲、乙两种消毒液共 100 瓶,其中甲种6元/瓶，乙种9元/瓶.（1） 如果购买这两种消毒液共用 780元，求甲、乙两种消毒液各购买多少瓶？ （2） 该校准备再次.购买这两种消毒液（不包括已购买的100瓶），使乙种瓶数是甲种瓶数的2倍，且所需费用不多于1200元（不包括780元），求甲种消毒液最多能再购买多少瓶？7、方程组 x2y 5的解是 __________________x 2y 118、不等式组x 3(x 1 2x 32）‘ 4的解集是12、 如上图，直线y kx b 经过A （2,1）, B （ 1, 2）两点，不等式—x kx b 2的解集为 ____________________2【应用题与压轴】1、（山东青岛市）某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查•调查发现这种水产品的每千克售价y1（元）与销售月份3（月）满足关系式y —x 36，而其每千克成本y2（元）8销售月份x （月）满足的函数关系如图所示.（1）试确定b、c的值；y （元）与销售月份x （月）之间的函数关系式;（2）求出这种水产品每千克的利润（3）“五•一”之前，几月份出售这种水产品每千克的利润最大？最大利润是多少?2、（四川南充）如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点A（3,3）•（1）求正比例函数和反比例函数的解析式；（2）把直线0A向下平移后与反比例函数的图象交于点B（6, m），求m的值和这个一次函数的解析式；（3）第（2）问中的一次函数的图象与x轴、y轴分别交于C、D,求过A、B、D三点的二次函数的解析式；（4）在第（3）问的条件下，二次函数的图象上是否存在点E,使四边形OECD的面积S1与四边形OABD 2的面积S满足：$ S ?若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由.。
一元一次不等式和一元一次不等式组
一元一次不等式和一元一次不等式组知识梳理（一）基本概念1．不等式：2．不等式的解：3．不等式的解集：4．一元一次不等式：5．一元一次不等式组的解集：（二）不等式的基本性质基本性质1：基本性质2：基本性质3：（三）基本方法1．不等式解集的表示方法：（１） （２）2．不等式的解法：【与解方程类似，不同之处就在：左右两边同时乘以（或除以）一个负数时，不等号的方向一定要改变。
】3．不等式组解法：“分开解，集中判”解出各个不等式，再判断所有解集的公共部分即为不等式组的解集。
4．不等式组解集规律：“同大取大，同小取小，不大不小中间找，又大又小无解了。
” 请用数轴展现：设 a > b ：⎩⎨⎧bx a x ⎩⎨⎧b x a x ⎩⎨⎧b x a x ⎩⎨⎧bx a x（四）方法思想1．数形结合思想：不等式（组）解集的两种表示方法。
2．不等式与一次函数的关系，可以利用函数图像来分析解答。
如：一次函数y 1=k 1x+b 1，y 2=k 2x+b 2图像如右图所示，求不等式k 1x+b 1≤k 2x+b 2的解集。
专题一：不等式的有关概念与不等式的基本性质解不等式（组）（一）、不等式的基本性质练习1、已知a ＜b ，用“＜”或“＞”填空(1) a －3b －3；(2) 6a6b ；(3) －a －b ；(4) a －b 0；2aa+b2、若a <b ，则不等式○1a-5<b-5 ○2a+k <b+k ○32a <2b ○4ac <b 中成立的有（ ） Ａ、1个 Ｂ、2个 Ｃ、3个 Ｄ、4个3、不等式7+5x 〈24 的正整数解的个数是（ ）A.1个B.3个C.无数个D.4个4、已知32,5221+-=-=x y x y ，如果21y y <，则x 的取值范围是（ ）A ．2>xB ．2<xC ．2->xD ．2-<x5、当x 时，能使x+4＞0和2x+1>0同时成立6、关于x 的方程632=-x a 的解是正数，那么a 的取值范围：__________（二）、解不等式（组）1（1）4352+>-x x （2）11237x x --≤2、解下列不等式组（1）⎪⎩⎪⎨⎧->->13132x x （2）⎩⎨⎧>+≤0312x x（3）⎩⎨⎧-≤+>+145321x x x x （4）24321<--<-x专题三、不等式组的特解1、求不等式x x 228)2(5-≤+的非负整数解2、解不等式组()⎪⎩⎪⎨⎧---+≥+-xx x x 81311323 并写出该不等式组的整数解当堂练习1、求不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-≤+421121 x x 的整数解2、求不等式()⎪⎩⎪⎨⎧-+≤+3212352x x x x 的正整数专题三 用不等式或不等式组解答实际问题一、课堂练习1、小明用30元钱买笔记本和练习本共30本，已知每个笔记本4元，每个练习本4角，那么他最多能买笔记本多少本？2、某校初一新生中有若干住宿生，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还有21人无房住；若每间住7人，则有一间不空也不满，求住宿生人数．3、暑假，学校的老师将带领校、镇、市级“三好学生”去旅游.甲旅行社说：“其中一位带队老师买全票，全票价为240元，则其余老师和学生可享受半价优惠”；乙旅行社说：“包括带队老师和学生全部票价6折优惠”。
一元一次不等式(组)知识总结及经典例题分析
一元一次不等式(组)知识总结及经典例题分析一元一次不等式和不等式组【知识要点】一、一元一次不等式1. 一元一次不等式定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做一元一次不等式。
2.一元一次不等式的解集：使一元一次不等式成立的每一个未知数的值叫做一元一次不等式的解。
一元一次不等式的所有解组成的集合是一元一次不等式的解集。
注：其标准形式： ax+b ＜0或ax+b ≤0， ax+b ＞0或ax+b ≥0(a ≠0)．二、一元一次不等式的解法：解一元一次不等式，要根据不等式的性质，将不等式逐步化为x a<(x a >或)x a x a ≥≤或或的形式，其一般步骤为：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1。
说明：解一元一次不等式和解一元一次方程类似．不同的是：一元一次不等式两边同乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向必须改变，这是解不等式时最容易出错的地方．例如：131321≤---x x解不等式： 解：去分母，得 6)13(2)13≤---x x （（不要漏乘！x <a x >a x ≤a x ≥a五、不等式组解集的确定方法，可以归纳为以下四种类型(b a <)①⎩⎨⎧>>b x a x 的解集是b x >，如下图： ②⎩⎨⎧<<b x a x 的解集是a x <，如下图：同大取大 同小取小③⎩⎨⎧<>b xa x 的解集是b x a <<，如下图：④⎩⎨⎧><bx a x 无解，如下图：大小交叉取中间 大小分离解为空六、解一元一次不等式组的步骤(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集；(2)利用数轴求出这些解集的公共部分，即这个不等式组的解集．七、一元一次不等式的综合应用1.列不等式解决问题比列方程解决问题的应用更广泛、更实际。
有些问题用方程不能解决，而用不等式却能轻易解决。
不等式的解法
2x + 3 例8：解不等式 ≤ 3. x −1 2x + 3 x−6 解: − 3 ≤ 0, ≥0 x −1 x −1 ( x − 6)( x − 1) ≥ 0 x −1 ≠ 0 ∴ ( −∞ ,1) ∪ [6,+∞ ）
x −3x +2 <0 例9：解不等式 2 ： x −2x −3 解一： 解一：原不等式转化为 2 x2 −3x +2 > 0 x −3x +2 < 0 或（2） ） （1） ） x2 −2x −3< 0 x2 −2x −3> 0
或
x ≥ −3 x > 1
∴
3 − 2
17
< x ≤ 1或 x > 1
∴ x∈(
3− 2
17
, +∞ )
3. 3 x − 5 > x − 4
解:
3 x − 5 ≥ 0 ⇒ x − 4 ≥ 0 3 x − 5 > x − 4
x x x ≥ ≥ > 5 3 4 1 2
解： x +2 > 0
0
1 3x +14 x +2 > 5
x + 2 ≤ 0 0 2 3x +14 − x − 2 > 5
x > −2 x > 2
x ≤ −2 x < −3
∴(−∞,−3) ∪(2,+∞)
(6) | 2 x − 1| − x <| x + 3 | +1
∴ 所求不等式即为 x − 2 x − 8 > 0
2
解得x ∈ (− ∞,−2) ∪ (4,+∞ )
不等式与方程组一元一次不等式和方程组的解法
不等式与方程组一元一次不等式和方程组的解法随着数学的发展，不等式和方程组是数学中常见的问题类型。
它们在实际问题的建模和解决中起着重要的作用。
本文将介绍一元一次不等式和方程组的解法。
一、一元一次不等式的解法一元一次不等式指的是只有一个变量的一次不等式。
其一般形式为ax + b > c或ax + b < c，其中a、b、c均为已知的实数。
解一元一次不等式的方法有图像法和代数法两种。
图像法是一种直观的解题方法，通过将不等式转化为一个直线的图像来求解。
以ax + b > c为例，我们可以首先考虑等式ax + b = c，然后绘制与该等式对应的直线。
接下来，根据不等式的符号大于号">"，我们在直线上方的某一侧进行标记。
最后，我们找出标记的区域，该区域即为不等式的解集。
代数法是一种通过代数运算求解的方法。
以ax + b > c为例，我们可以首先将不等式转化为等式：ax + b = c，然后移项得到ax = c - b，最后解出x的值，即得到不等式的解集。
二、一元一次方程组的解法一元一次方程组指的是只包含一个变量的一次方程的方程组。
其一般形式为⎧⎨⎩a1x + b1y = c1a2x + b2y = c2其中a1、b1、c1、a2、b2、c2均为已知的实数。
解一元一次方程组的方法有代入法和消元法两种。
代入法是一种较为直观的解题方法，通过将一个方程的解代入另一个方程中，从而得到另一个方程中的变量的值。
以上述方程组为例，我们可以首先解出其中一个变量的值，例如解出x的值，然后将x的值代入另一个方程中求解出y的值，最后得到方程组的解。
消元法是一种通过消去一个变量的方法，从而将方程组转化为一个单变量的方程，再进行解答。
以上述方程组为例，我们可以首先将两个方程中的一个变量消去，例如消去y，然后得到一个关于x的一元一次方程，解得x的值，最后根据x的值求解出y的值，得到方程组的解。
人教版数学七年级下册一元一次不等式第一课时一元一次不等式及其解法课件
褴褛衣内可藏志。 志不真则心不热，心不热则功不贤。
第九章 不等式与不等式组
1．下列不等式中，是一元一次不等式的是
A．13(x＋2)＞4x－1
B．(1＋x)(1－x)＞5
C．x＋2 1－4≤x
第九章 不等式与不等式组
(2)2x－74≥94.
解：去分母，得2x－7≥9， 移项，得2x≥9＋7， 合并同类项，得2x≥16． 系数化为1，得x≥8，其解集在数轴上表示，如图2所示．
第九章 不等式与不等式组
4．解下列各题： (1)解不等式：2(5x＋3)≤x－3(1－2x)； (2)解不等式：2x＋ 3 2－3x＋ 2 1＜1，并把解集表示在数轴上． 解：(1)去括号，得 10x＋6≤x－3＋6x， 移项、合并同类项，得 3x≤－9， 系数化为 1，得 x≤－3． 所以原不等式的解集是 x≤－3．
解：移项，得 2x－4x＞－3，即－2x＞－3． 去括号，得4x＋4－9x－3＜6，
但方程两边同乘(或除以)一个负数时，方程的解不变． 6．已知3m－5x3＋m＞4是关于x的一元一次不等式， 系数化为1，得x＞－1．
3 移项、合并同类项，得7x≥－14， 系数化为 1，得 x＜2，其解集在数轴上表示，如图 1 所示． 去括号，得3x＋12＋4x＋2≥0，
志之所趋，无远勿届，穷山复海不能限也;志之所向，无坚不摧。 去括号，得3x＋12＋4x＋2≥0， 志之所趋，无远勿届，穷山复海不能限也;志之所向，无坚不摧。
(1)2x＋3＞4x； 解：(1)∵3m－5x3＋m＞4是关于x的一元一次不等式，
(2)求这个不等式的解集． 【第二关】 建议用时6分钟 ②不等式中，当两边同乘(或除以)一个负数时，不等号的方向改变；
1.2一元一次不等式(组)解法
基本概念
1、同解不等式： 如果两个不等式的解集相等，那么 这两个不等式就叫做同解不等式。 2、同解变形： 一个不等式变形为另一个不等式时， 如果这两个不等式是同解不等式，那么 这种变形叫做不等式的同解变形。
一元一次不等式的解法：
任何一个一元一次不等式，经过不等式的同解变形 后。都可以化成
例7 : 解不等式组 4 + 2 x > 7 x + 3 3 x + 6 > 4 x + 5 2 x − 3 < 3x − 5 (1) (2) (3)
x+ y =3 x > 0 例8 : 方程组 的解满Байду номын сангаас x − 2 y = −3 + a y > 0 求a的取值范围
解：两边都乘以6，得
12( x + 1) + 2( x − 2) > 21x − 6
14 x + 8 > 21x − 6
移项，整理后，得
− 7 x > −14
两边除以-7，得解集
{x | x < 2}
例2 : 求不等式21 − 4 x > 5的非负整数解;
例3 : k取什么值时 ， 1 2 代数式 (1 − 5k ) − k的值为非负数 ; 2 3
2 3 x + 25 例4 : 关于x的方程 − ( x + m) = + 1的解是正数; 3 3 那么m的取值范围是什么?
例5 : 解不等式组 4 x − 3 > 2( x + 1) 4 x − 2 ≤ −1 1 x + 6 5 5 (1) (2)
例6 : 解不等式
北师大版八年级数学下册《一元一次不等式和一元一次不等式组——不等式的解集》教学PPT课件(4篇)
创设情境
为确保安全，引火线的长度应满足什么条件？
引火线长度
4cm
6cm
燃放者撤离到安全 区域外的时间
引火线燃烧完所用 时间
结论
大于 10÷4=2.5（s）
0.04÷0.02=2（s）
0.06÷0.02=3（s）
不安全
安全
学习目标
1.经历探索发现不等关系的过程，进一步体会模型思想. 2.探索并掌握不等式的基本性质，体会类比的思想方法. 3.会解一元一次不等式（组）并直观表示其解集，发展几何直观. 4.能够用一元一次不等式解决一些简单的实际问题. 5.体会不等式、函数、方程之间的联系.
A.X>2
B. X>4
C.X>-2
D. X>-4
学习目标 情境导入 例题讲解
巩固提升 归纳总结 当堂检测 课后作业
4.如图所示的不等式的解集是___x_＜__3_______.
5.在数轴上表示下列不等式的解集.
（1）X<-2.5;
（2） X>2.5;
（3） X≥3
-3 -2.5 -2 -1
0
0
1
2 2.5 3
A．
B．
C．
D．
4．关于x的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式的解集 x≤2 ．
学习目标 情境导入 例题讲解
巩固提升 归纳总结 当堂检测 课后作业
不等式
数学知识
思想方法
不等式的 解
不等式 的解集
用数轴表示不 等式的解集
类比思 想
数形结合 思想
学习目标 情境导入 例题讲解
巩固提升 归纳总结 当堂检测 课后作业
不等式的解集 解不等式
一元一次不等式与不等式组复习大纲
（2）在同一数轴表达不等式的解集。
x x 1 1 32
解：x 6 x 1 6 1 6
3
2
2x 3(x 1) 6
2x 3x 3 6
-x3
x 3
2x 1 5 ① x 2 1 ②
解：解不等式① 得，x 2
解不等式 ② 得，x 3
-1 0 1
2
34
所以原方程组的解为：2 x 3
第一章一元一次不等式（组）
复习大纲
一、不等式（组）概念 二、不等式的性质 三、一元一次不等式（组）的解法 四、一元一次不等式（组）的应用 五、一元一次不等式（组）与一次函
数的关系。
一、不等式（组）有关概念
1.不等式：用不等号连接的式子。 如：2>-1, a<b, x+y>0等
2.不等式的解：使得不等式成立的未知数的值。 3. 不等式的解集：使得不等式成立的全部未知 数的值。 4.一元一次不等式：（1）只含有一种未知数
惯用不等式性质：
1.若a b, 那么b a。 2.若a - b 0, 那么a b。 3.若a - b 0, 那么a b。
4.若a b, c 0那么ac bc。
5.若a b, c 0那么ac bc。
三、不等式（组）的解法：
1.项合并同类项 （4）系数化为1 2.解不等式组环节： （1）解出不等式的解集
（2）未知数的次数是1 （3）分母中不含有未知数 5.一元一次不等式组的解集：各个不等式的解集 的公共部分。
二、不等式的性质
（1）不等式的两边都加上（或减去） 同一种整式，不等号的方向不变。
（注：移项要变号，但不等号不变。）
（2）不等式的两边都乘以（或除以） 同一种正数，不等号的方向不变。
不等式与方程组的解法
不等式与方程组的解法不等式与方程组是数学中重要的概念和问题，通过解不等式与方程组可以找到数学方程和不等式的解集，寻求满足特定条件的数值。
本文将介绍不等式和方程组的解法，并提供相应的例子以便读者更好地理解。
一、不等式的解法不等式是数学中常见的表示关系的方法，我们可以通过解不等式来找到一系列满足不等关系的数值。
以下是几种常见的不等式解法方法。
1. 图像法图像法是解不等式的一种直观方法，通过将不等式转化为相应的函数图像，找到函数图像与坐标轴交点的区域，确定不等式的解集。
例如，解不等式2x + 3 ≥ 7可以通过绘制函数y = 2x + 3的图像，然后找到y ≥ 7对应的x的区间来求解。
2. 代入法代入法是解不等式的一种常用方法，它通过代入特定的数值来验证不等式的成立情况，从而找到满足不等式的解集。
例如，对于不等式x² - 5 ≤ 0，我们可以选取不同的数值代入x，如0、1和-1，验证不等式在这些数值下是否成立，从而确定解集。
3. 区间法区间法是解不等式的一种有效方法，通过确定不等式中变量所在的区间，找到满足不等式的解集。
例如，对于不等式3x - 2 < 5，我们可以通过将不等式转化为3x < 7，并求解不等式左侧x的取值范围，从而得到解集。
二、方程组的解法方程组是多个方程的集合，它们共同约束着数值的取值范围，通过解方程组可以找到满足这些方程的变量值。
以下是一些常见的方程组解法方法。
1. 代入法代入法是解方程组的常用方法，它通过选取一个方程，将其他方程的变量用该方程中的变量表示，然后代入到其他方程中，从而将方程组转化为单一方程。
通过解这个单一方程，可以求得某个变量的值，再将其代入到其他方程中，继续求解其他变量的值。
例如，对于方程组2x + y = 5x - y = 1我们可以将第二个方程中的x用第一个方程中的变量表示，得到x = 1 + y。
将其代入到第一个方程中，得到2(1 + y) + y = 5，然后解这个方程来求解y的值，再将y的值代入到x = 1 + y中求解x的值。
方程与不等式的知识点梳理
方程与不等式知识点梳理1、方程与方程组一元一次方程：①在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。
②等式两边同时加上或减去或乘以或除以（不为0）一个代数式，所得结果仍是等式。
解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。
二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。
二元一次方程组：两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。
适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。
二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程的解。
解二元一次方程组的方法：代入消元法/加减消元法。
一元二次方程：只有一个未知数，并且未知数的项的最高系数为2的方程1）一元二次方程的二次函数的关系大家已经学过二次函数（即抛物线）了，对他也有很深的了解，好像解法，在图象中表示等等，其实一元二次方程也可以用二次函数来表示，其实一元二次方程也是二次函数的一个特殊情况，就是当Y的0的时候就构成了一元二次方程了。
那如果在平面直角坐标系中表示出来，一元二次方程就是二次函数中，图象与X轴的交点。
也就是该方程的解了2）一元二次方程的解法大家知道，二次函数有顶点式（-b/2a,4ac-b2/4a），这大家要记住，很重要，因为在上面已经说过了，一元二次方程也是二次函数的一部分，所以他也有自己的一个解法，利用他可以求出所有的一元一次方程的解(1）配方法利用配方，使方程变为完全平方公式，在用直接开平方法去求出解(2)分解因式法提取公因式，套用公式法，和十字相乘法。
在解一元二次方程的时候也一样，利用这点，把方程化为几个乘积的形式去解(3)公式法这方法也可以是在解一元二次方程的万能方法了，方程的根X1={-b+√[b2-4ac)]}/2a，X2={-b-√[b2-4ac)]}/2a3）解一元二次方程的步骤：（1）配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式(2)分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式(3)公式法就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项的系数为c4）韦达定理利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和=-b/a，二根之积=c/a也可以表示为x1+x2=-b/a,x1x2=c/a。
不等式的解法
2 x 10 0 2 解这个不等式组，得 x 3 x 4 2 x 10
3 1 不 等 式 中 所 含 的 以为 底 的 对 数 函 数 是 减 数 函， 3 2 x 3x 4 0 原 不 等 式 可 化 为
x | x 1或x 4 x | x 5 x | 2 x 7 x | 2 x 1或4 x 7
2.|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法.
-c≤ax+b≤c (1)|ax+b|≤c⇔____________.
-c (2)|ax+b|≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤ __________________.
2.|ax+b|≤c和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法：
1.移项,通分把不等式的左边化为0. 2.由积商同号,把分式不等式转化为整式不 等式. 3.若分母大于0可直接去分母. f ( x) 0( 0) f ( x) g ( x) 0( 0) g ( x) f ( x) 0( 0) f ( x) g ( x) 0( 0)且g(x) 0 g ( x)
x | 2 x 1或4 x 7 所以原不等式的解集为
例3.解 不 等 式 4 x
3 2 x1 16 0
解：原不等式可以化为
(2 x )2 6 2 x 16 0
分解因式得 (2 8)(2 2) 0
x x
∵ ∴
2 220
x
∴ 解这个不等式，得 x
类型 一简单绝对值不等式的解法
1 答案： ［2,6］ 1.不等式 | x－2 | 1的解集是_____. 2
一元一次方程与一元一次不等式
第一章：一元一次不等式和一元一次不等式组知识要点：1. 不等式：一般地用不等号连接的式子叫做不等式。
2. 不等式的基本性质：（1）不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。
（2）不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
（3）不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
3. 解不等式：把不等式变为x>a 或x<a 的形式。
4. 一元一次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，不等式的左右两边都是整式的不等式，叫做一元一次不等式。
5. 解一元一次不等式的步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为16. 一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分。
法则：“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小是无解。
”【典型例题】例1. 用不等式表示下列数量关系。
（1）a 的一半与－3的和小于或等于1。
（）的与的差的相反数不小于。
2a 3525-（）的相反数的不大于的倍加。
317516x x点评：用不等号表示的时候要准确理解“大”、“小”、“多”、“少”、“不大于”、“不小于”、“不多于”、“不少于”、“至少”、“至多”等词语的含义。
下面我们判断一下，以下的不等式是不是一元一次不等式.请大家讨论.2.一元一次不等式的解法.［例1］解不等式3－x ＜2x +6，并把它的解集表示在数轴上.［分析］要化成“x ＞a ”或“x ＜a ”的形式，首先要把不等式两边的x 或常数项转移到同一侧，变成“ax ＞b ”或“ax ＜b ”的形式，再根据不等式的基本性质求得.解一元一次方程的步骤吗？.有去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化成1.［例2］解不等式22-x ≥37x -，并把它的解集在数轴上表示出来.请大家判断以下解法是否正确.若不正确，请改正.解不等式：312 -+-x≥5解：去分母，得－2x+1≥－15移项、合并同类项，得－2x≥－16两边同时除以－2，得x≥8.有两处错误.第一，在去分母时，两边同时乘以－3，根据不等式的基本性质3，不等号的方向要改变，第二，在最后一步，两边同时除以－2时，不等号的方向也应改变.［3.解一元一次不等式与解一元一次方程的区别与联系.联系：两种解法的步骤相似.区别：（1）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向改变；而方程两边乘以（或除以）同一个负数时，等号不变.（2）一元一次不等式有无限多个解，而一元一次方程只有一个解.例2. 有理数x、y在数轴上的对应点如图所示，试用“>”或“<”号填空：x 0 y（1）x______y （2）x＋y_____0 （3）xy____0（4）x－y______0例3. 设“A、B、C、D”表示四种不同质量的物体，在天平秤上的情况如图所示，请你用“<”号将这四种物体的质量m A、m B、m C、m D从小到大排列：_____________________________。
高中数学不等式与不等式组的解法
高中数学不等式与不等式组的解法高中数学不等式与不等式组的解法高中数学不等式主要问题包括：大小比较(方法有作差法，作商法，图象法，函数性质法);证明题(比较法，反证法，换元法，综合法…);恒成立问题(判别式法，分离参数法…)等，下面是店铺为大家精心推荐不等式与不等式组的解法，希望能够对您有所帮助。
不等式与不等式组的数轴穿根解法数轴穿根：用根轴发解高次不等式时，就是先把不等式一端化为零，再对另一端分解因式，并求出它的零点，把这些零点标在数轴上，再用一条光滑的曲线，从x轴的右端上方起，一次穿过这些零点，这大于零的不等式地接对应这曲线在x轴上放部分的实数x得起值集合，小于零的这相反。
做法：1.把所有X前的系数都变成正的(不用是1,但是得是正的);2.画数轴,在数轴上从小到大依次标出所有根;3.从右上角开始,一上一下依次穿过不等式的根，奇过偶不过(即遇到含X的项是奇次幂就穿过,偶次幂跨过，后面有详细介绍);4.注意看看题中不等号有没有等号,没有的话还要注意写结果时舍去使使不等式为0的根。
例如不等式:x2-3x+2≤0(最高次项系数一定要为正，不为正要化成正的)⒈分解因式:(x-1)(x-2)≤0;⒉找方程(x-1)(x-2)=0的根:x=1或x=2;⒊画数轴,并把根所在的点标上去;⒋注意了,这时候从最右边开始,从2的右上方引出一条曲线,经过点2，继续向左画,类似于抛物线，再经过点1，向点1的左上方无限延伸;⒌看题求解,题中要求求≤0的解，那么只需要在数轴上看看哪一段在数轴及数轴以下即可,观察可以得到：1≤x≤2。
高次不等式也一样.比方说一个分解因式之后的不等式：x(x+2)(x-1)(x-3)>0一样先找方程x(x+2)(x-1)(x-3)=0的根x=0，x=1，x=-2，x=3在数轴上依次标出这些点.还是从最右边的一点3的右上方引出一条曲线,经过点3,在1、3之间类似于一个开口向上的抛物线，经过点1;继续向点1的左上方延伸，这条曲线在点0、1之间类似于一条开口向下的曲线，经过点0;继续向0的左下方延伸，在0、-2之间类似于一条开口向上的抛物线，经过点-2;继续向点-2的左上方无限延伸。
初三数学总复习数学《方程(组)及不等式(组)教案
12-13下学期初三数学总复习《方程（组）与不等式（组）》主备人：汤恒星本章教学分析一、本章教学目标1、方程（组）、一次方程（组）、一次不等式（组）、分式方程的概念及解法2、用方程（组）解决实际问题二、本章教学重难点重点：目标1,2难点：目标2三、学情分析初三复习阶段，学生对本部分内容有接触，但是遗忘比较多，教师在复习的过程中应加强基本技能的训练，适当加以示范。
四、课时安排（共计10 课时）第1节：2课时第2节：2课时第3节：2课时第4节：2课时测评及讲解：2课时五、章节测试命题人安排：汤恒星第一节 一次方程（组）及其应用（2课时）教学目标：1．方程、一元一次方程、方程的解、一元一次方程的解法；2．二元一次方程、二元一次方程组、二元一次方程的解、二元一次方程的解法、利用方程解决生活中的实际问题3. 用一元一次方程和二元一次方程组解决实际问题；4 数学思想方法：消元教学重难点：教学重点：一元一次方程解法、二元一次方程组的解法、用一元一次方程和二元一次方程组解决实际问题难点：用一元一次方程和二元一次方程组解决实际问题教学过程：一、知识点（1） 方程：含有未知数的等式（2） 等式性质：1、等式两边分别加上或减去一个数字或式子，结果仍然是等式；2、等式两边分别乘以或除以一个不为0的数，结果仍然是等式；（3） 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值（4） 一元一次方程的解法：去分母、去括号、移项、合并、系数化为1（5） 二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程为二元一次方程（6） 二元一次方程组：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组（7） 二元一次方程组的解：一般地，能使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程组的解，即二元一次方程组中方程的公共解。
（8） 二元一次方程组的解法：（1）代入消元法：多适用于方程组中有一个未知数的系数是1或-1的情形；（2）加减消元法：多适用于方程组中的两个方程中相同未知数的系数相同或互为相反数的情形（9） 列方程（组）解应用题的一般步骤二、例题精讲例1．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ） ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+65115y x y x ⎩⎨⎧-=+=+2102y x y x ⎩⎨⎧==+158xy y x ⎩⎨⎧=+=31y x xA. B. C. D.例2．在 中，用x 的代数式表示y ，则y=______________．例3．（1）解方程.x x +--=21152156（2）解二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+27271523y x y x 例4．已知a 、b 、c 满足⎩⎨⎧=+-=-+02052c b a c b a ，则a ：b ：c= ． 例5．已知x =-2是关于x 的方程()x m x m -=-284的解，求m 的值．例6．某电厂规定该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过A 度，那么这个月这户只需交 10 元用电费，如果超过 A 度，则这个月除了仍要交 10 元用电费外，超过部分还要按每度 0.5 元交费．①该厂某户居民 2 月份用电 90 度，超过了规定的 A 度，则超过部分应该交电费多少元（用 A 表示）？ ．②右表是这户居民 3 月、4 月的用电情况和交费情况：根据右表数据，求电厂规定A 度为 ．三、当堂检测1.若关于x 的方程x k =-153的解是x =-3，则k =_________． 2．解下列方程（组）： （1）x x -+=-2114135；（2）⎩⎨⎧=+=+832152y x y x 3．当x =-2时，代数式x bx +-22的值是12，求当x =2时，这个代数式的值．4．应用方程解下列问题：初一（4）班课外乒乓球组买了两副乒乓球板，若每人付9元，则多了5元，后来组长收了每人8元，自己多付了2元，问两副乒乓球板价值多少？四、小结（1）方程的相关概念（2）一次方程（组）的解法（3）用一次方程（组）解应用题五、作业：试题研究教学反思：032=-+y x第二节 一元二次方程及其应用（第2课时）教学目标：1．一元二次方程的相关概念及解法；2. 根的判别式、根与系数的关系3. 用一元二次方程解决实际问题教学重难点：教学重点：一元二次方程的相关概念及解法、根的判别式、根与系数的关系、用一元二次方程解决实际问题难点：根的判别式、根与系数的关系、用一元二次方程解决实际问题教学过程：五、 知识点1. 一元二次方程的概念及一般形式：ax 2+bx +c =0 (a ≠0)2. 一元二次方程的解法：①直接开平方法②配方法③公式法④因式分解法3．求根公式：当b 2-4ac ≥0时，一元二次方程ax 2+bx +c =0 (a ≠0)的两根为4．根的判别式： 当b 2-4ac ＞0时，方程有 实数根．当b 2-4ac=0时， 方程有 实数根．当b 2-4ac ＜0时，方程 实数根．5.（1）增长率问题；（2）利润问题二、例题精讲例1．选用合适的方法解下列方程：(1) (x-15)2-225=0； (2) 3x 2－4x －1＝0（用公式法）；(3) 4x 2－8x ＋1＝0（用配方法）； （4）x 2+22x=0 例2 ．已知一元二次方程0437122=-+++-m m mx x m ）（有一个根为零，求m 的值．例3．用22cm 长的铁丝，折成一个面积是30㎝2的矩形，求这个矩形的长和宽.又问：能否折成面积是32㎝2的矩形呢？为什么？三、当堂检测一、填空1．下列是关于x 的一元二次方程的有_______ ①02x 3x12=-+ aac b b x 242-±-=②01x 2=+③)3x 4)(1x ()1x 2(2--=- ④06x 5x k 22=++ ⑤021x x 2432=-- ⑥0x 22x 32=-+2．一元二次方程3x 2=2x 的解是 ．3．一元二次方程(m-2)x 2+3x+m 2-4=0有一解为0，则m 的值是 ．4．已知m 是方程x 2-x-2=0的一个根，那么代数式m 2-m = ．5．关于x 的一元二次方程kx 2+2x －1=0有两个不相等的实数根, 则k 的取值范围是__________．6．如果关于的一元二次方程的两根分别为3和4，那么这个一元二次方程可以是 ．三、解下方程：(1)(x+5)(x-5)=7 (2)x(x-1)=3-3x(3)x 2-4x-4=0 (4)x 2+x-1=0四、小结（1）一元二次方程的相关概念及解法；（2）根的判别式及根与系数关系；（3）用一次方程（组）解应用题五、作业：试题研究 教学反思：第三节 分式方程及其应用（2课时）教学目标：1、分式方程的相关概念及解法2. 了解分式方程产生增根的原因，会判断所求得的根是否是分式方程的增根．3. 列分式方程解决实际问题教学重点：目标1,2,3难点：目标2,3教学过程：一、知识点1.分式方程：分母中含有1个未知数的方程叫做分式方程2.解分式方程的步骤：去分母转化为整式方程，解整式方程，再将整式方程的解代入最公分母中，判断整式方程的解是否为分式方程的增根二、例题精讲例1：（1）013522=--+xx x x （2）41622222-=-+-+-x x x x x 例2 若分式方程xx k x --=+-2321有增根，则k 为（ ） A. 2 B.1 C. 3 D.-2三、当堂检测1.解分式方程． (1)22011x x x -=+- (2) x2)3(x 22x x -=--；(3) 11322x x x -=--- (4)11-x 1x 1x 22=+-- 2. 一列列车自2004年全国铁路第5次大提速后，速度提高了26千米/时，现在该列车从甲站到乙站所用的时间比原来减少了1小时，已知甲、乙两站的路程是312千米，若设列车提速前的速度是x 千米，则根据题意所列方程正确的是( )A. B.C. D.四、小结（1）解分式方程要注意检验（2）增根是把分式方程转化为整式方程的解五、作业：试题研究教学反思：第四节 一元一次不等式（组）及其应用（2课时） 教学目标：1、 不等式（组）的定义及解法2、 不等式的性质3、 不等式的解集在数轴上表示4、 用不等式解应用题教学重难点：教学重点：目标1,2,3难点：目标4教学过程：一、知识点1.定义：用不等号连接起来的式子2.解集：一个含有未知数的不等式的所有的解的集合3.解集在数轴上表示：（略）4.性质：（1）不等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，不等号的方向不变，即若,b a <则c b c a ±<±（2）不等式的两边都乘以（或除以）同一个整数，不等号的方向不变，即若,b a <且0c >，则bc ac <（或cb c a <） （3）不等式的两边都乘以（或除以）同一个整数，不等号的方向不变，即若,b a <且0c <，则bc ac >（或c b c a >） 二、例题精讲例1.如图所示，O 是原点，实数a 、b 、c 在数轴上对应的点分别为A 、B 、C ，则下列结论错误的是（ ）A. 0b a >-B. 0ab <C. 0b a <+D.例2. 不等式112x ->的解集是（ ） Ａ．12x >- Ｂ．2x >- Ｃ．2x <- Ｄ．12x <- 例3. 把不等式组21123x x +>-⎧⎨+⎩≤的解集表示在数轴上，下列选项正确A ．B ．C ．D ．BA O C 0)c a(b >-1 0 1- 10 1- 1 0 1- 10 1-例4. 不等式组221x x -⎧⎨-<⎩≤的整数解共有（ ） A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个例6.若关于x 的不等式x －m ≥－1的解集如图所示，则m 等于（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 例7.解不等式组：（1）21113x x x +<⎧⎪⎨-≥⎪⎩ （2）⎪⎩⎪⎨⎧+<+->+)6(3)4(4,5351x x x x 【当堂检测】1.苹果的进价是每千克3.8元，销售中估计有5%的苹果正常损耗．为避免亏本，商家把售价应该至少定为每千克 元．2. 解不等式723<-x ，将解集在数轴上表示出来，并写出它的正整数解．3. 解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-<+--+≥+224313322x x x x ，并把它的解集在数轴上表示出来．4. 我市某镇组织20辆汽车装运完A 、B 、C 三种脐橙共100吨到外地销售．按计划，20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种脐橙，且必须装满．根据下表提供的信息，解答以下问题：（1）设装运y ，求y 与x 之间的函数关系式；（2）如果装运每种脐橙的车辆数都不少于4辆，那么车辆的安排方案有几种？并写出每种安排方案；（3）若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出最大利润的值．四、小结（1）解不等式时左右两边同时乘以负数时，不等号方向要改变（2）列不等式解应用题是要主要“至少、最多、不低于、不大于、高于”等字样的理解五、作业：试题研究教学反思：欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习课件等等打造全网一站式需求。
第九章不等式与不等式组一元一次不等式的概念及解法(2)人教版七下数学
移项，得4x－5x＜5＋2. 合并同类项，得－x＜7.
例1题答图
系数化为1，x＞－7. 不等式的解集在数轴上的表示如答图所示．
训练 1.解不等式2x4－1 ≥3x＋ 2 2 －1，并在数轴上表示解集．
解：去分母，得 2x－1≥2(3x＋2)－4. 去括号，得 2x－1≥6x＋4－4. 移项，得 2x－6x≥4－4＋1. 合并同类项，得－4x≥1. 系数化为 1，得 x≤－14 . 不等式的解集在数轴上表示如答图所示．
案不唯一)
解不等式：x＋2 5 －1≤3x3＋2 . 解：3(x＋5)－6≤2(3x＋2)第一步 3x＋15－6≤6x＋4 第二步 3x－6x≤4－15＋6 第三步 －3x≤－5 第四步
x≤53 第五步
(1) 任 务 一 ： 填 空 ： ① 以 上 解 题 过 程 中 ， 第 一 步 是 依 据 ___不__等__式__的__性__质_____进行变形的；
系数化为1，得____x_＝__8_____. 系数化为1，得___x_≤__8______．
(思考：解一元一次方程与解一元一次不等式有什么异同？)
知识点 1 解一元一次不等式(去分母) 例 1 解不等式2x5－1 ＜x＋2 1 ，并在数轴上表示解集．
解：去分母，得2(2x－1)＜5(x＋1).
去括号，得4x－2＜5x＋5.
基础过关
1．学习了一元一次不等式的解法后，四位同学解不等式
1－x 6
－1＋3 x
≥1
时第一步“去分母”的解答过程都不同，其中正确的是( D )
A．(1－x)－2(1＋x)≥1
B．2(1－x)－(1＋x)≥6
C．3(1－x)－6(1＋x)≥1
D．(1－x)－2(1＋x)≥6
《一元一次不等式与不等式组》知识讲解(1)
3
初一实验班——荣伟伟
一元一次不等式的解法
要点一、一元一次不等式的概念 只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，
2 x 50 是一个一元一次不等式． 3
要点诠释： (1)一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式(单项式或多项式)；
②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数为 1． (2) 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系： 相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是 1，“左边”和“右边”都是整式． 不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”或“＞”连接，不等号有方向；一 元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向．
移项、合并同类项得： − 3 x 6 4
系数化 1，得 x −8 故原不等式的解集是 x −8
例 3.m 为何值时，关于 x 的方程： x − 6m −1 = x − 5m −1 的解大于 1？
63
2
【答案与解析】
解： x-12m+2=6x-15m+3
5x=3m-1
x = 3m −1 5
要点二、一元一次不等式的解法 1.解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式． 2.一元一次不等式的解法：
与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为： x a （或 x a ）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：
(1)去分母； (2)去括号； (3)移项；
(4)化为 ax b （或 ax b ）的形式（其中 a 0 ）；
例
4.若关于
x、y
的二元一次方程组
3x + y x + 3y
=1+ =3
数学中的不等式与方程组
数学中的不等式与方程组一、不等式的定义与性质数学中的不等式是指数之间的大小关系，包括大于、小于、大于等于、小于等于等。
不等式可以用来描述实际问题中的约束关系，常见于数学、物理、经济等领域的建模与求解过程中。
不等式的定义：设a和b为实数，则a不等于b可以表示为a≠b，a 大于b可以表示为a>b，a小于b可以表示为a<b，a大于等于b可以表示为a≥b，a小于等于b可以表示为a≤b。
不等式的性质包括传递性、对称性、加法性、乘法性等。
传递性指若a>b，b>c，则a>c；对称性指若a>b，则b<a；加法性指若a>b，则a+c>b+c，乘法性指若a>b，且c>0，则ac>bc。
这些性质在不等式的推导与解答过程中起到关键作用。
二、一元一次不等式的解法一元一次不等式是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为一的不等式。
解一元一次不等式的基本思路是找到未知数的取值范围使不等式成立。
对于形式为ax+b>0的不等式，可按以下步骤求解：1. 若a>0，则不等式解集为(-∞, -b/a)；2. 若a<0，则不等式解集为(-b/a, +∞)；3. 若a=0且b>0，则不等式无解；4. 若a=0且b≤0，则不等式解集为(-∞,+∞)。
对于形式为ax+b<0的不等式，求解步骤与以上类似，只需将“>”号替换为“<”号即可。
类似地，对于形式为ax+b≥0和ax+b≤0的不等式，只需将“>”号替换为“≥”，“<”号替换为“≤”即可得到解集。
三、一元二次不等式的解法一元二次不等式是指未知数的最高次数为二的不等式。
解一元二次不等式的方法可以归结为求解一元二次方程的方法，即先化简不等式为二次方程，然后通过判别式和根的位置关系来确定不等式的解集。
对于形式为ax²+bx+c>0的一元二次不等式，可按以下步骤求解：1. 求出对应的一元二次方程ax²+bx+c=0的判别式Δ=b²-4ac；2. 若Δ>0，则方程有两个不相等的实根x₁和x₂，此时不等式的解集为(-∞, x₁)∪(x₂, +∞)；3. 若Δ=0，则方程有两个相等的实根x₁=x₂，此时不等式的解集为(-∞, x₁)∪(x₁, +∞)；4. 若Δ<0，则方程无实根，此时不等式的解集为空集。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2013年中考总复习第一轮导学案
课时4．一次方程组、一次不等式与不等式组的解法
【知识梳理】
1．基本概念：
（1）_______________________叫做方程；_______________________叫做方程的解。
（2）_________________________叫做一元一次方程。
（3）______________________叫做不等式，_____________________叫做不等式的解集，不等式的基本性质有_____________________________________________________________.
2．方程组的解法：
方程组的解法主要思想是“消元”，基本方法有加减消元法和代入消元法.
3．不等式组的解集的确定方法：先求出每个不等式的解集，再借助数轴确定它们的公共部
分.若a ＜b ，则有：⑴⎩
⎨⎧≤≤b x a x 的解集是，即“同小取小”；⑵ ⎩⎨⎧≥≥b x a x 的解集是，即；⑶ ⎩⎨⎧≤≥b x a x 的解集是，即；⑷ ⎩⎨⎧≥≤b
x a x 的解集是，即.（若a =b 呢）
4．方程（组）的根的理解：
方程组的解是满足方程组中的每一个方程的左右两边相等的未知数的值.
方程组的解的几何意义：方程组的解是坐标平面上的两个方程所表示的图像的交点的坐标，当交点只有一个时，方程组只有一组解；当交点有两个时，方程组有两组解；当没有交点时，方程组无解.
5．用函数观点看不等式的解集：对于直线111y k x b =+与222y k x b =+，若12y y >，则可得1122k x b k x b +>+，当12k k ≠时，为一元一次不等式，在其解集内，12y y >，即直线111y k x b =+在直线222y k x b =+的上方．
【典例精析】
例1.（1）求解下列方程（组）：
① 2x-13 - x+0.10.6 = 2x+14 – 1；②⎩
⎨⎧=-=+6352y x y x （用两种方法） （2）求解下列不等式组： ①⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤-123)1(213x x x ； ②⎪⎩⎪⎨⎧≥---≤-13122
103x x x 例2.
1.把方程3x -5y =2变形，用含x 的代数式表示y ，则y =_______．
2．从方程组1,21
x a y a =-⎧⎨=+⎩中得到x 与y 的关系式为________．
3. 如果x ＝3，y ＝2是方程326=+by x 的解，则b ＝.
4.小明在解方程组⎩⎨⎧-=+=x
y b kx y 2的过程中错把b 看成了6，他其余的解题过程没有出错，解得
此方程组的解为⎩⎨⎧=-=2
1y x ，又已知直线y =kx +b 过点（3，1），则b 的正确值应该是.
5.若买两只圆珠笔、一个日记本需4元；买一支圆珠笔、2本日记本需5元，则买4只圆珠笔、4个日记本需元.
6. 在5
,
1,1,3,25,1,7,11
,
2x x x x y y y y ⎧
=⎪=-==⎧⎧
⎧⎪⎨⎨⎨⎨=-==-⎩⎩⎩⎪=⎪⎩四对数值中，满足方程3x -y =2的有（
） A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对
7．已知⎩
⎨⎧-==11
y x 是方程32=-ay x 的一个解，那么a 的值是（ ）
A . 1
B . 3
C . -3
D . -1
8．关于x 、y 的方程组⎩
⎨⎧=-=+m y x m
y x 932的解是方程3x +2y =34的一组解，那么m =（
） A ．2 B ．-1 C ．1 D ．-2
9.二元一次方程3x +2y =12在正整数范围内的解有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
例3.
1.如果a ＜b ＜0,下列不等式中错误．．的是（ ）
A . ab ＞0
B . a ＋b ＜0
C . b a
＜1 D . a －b ＜0
2.若23132a b a b +->+，则a b ，的大小关系为（ ）
A ．a b <
B ．a b >
C ．a b =
D ．不能确定
3.把不等式x +2＞4的解表示在数轴上，正确的是（ ）
A .
B .
C .
D .
4.下列数轴上所表示的解集是（ ） A ．x ＜4 B .x ＜2 C .2＜x ＜4 D .x ＞2
【中考演练】
1.方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝3x －y ＝－1的解是( )
A .⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝2
B .⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝－2
C .⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2y ＝1
D .⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0
y ＝－1
2.已知：一等腰三角形的两边长x y 、满足方程组23328x y x y -=⎧⎨+=⎩，，
则此等腰三角形的周长为
( ) A .5 B .4 C .3 D .5或4
3．小龙和小刚两人玩“打弹珠”游戏，小龙对小刚说：“把你珠子的一半给我，我就有10颗珠子”.小刚却说：“只要把你的3
1给我，我就有10颗”，如果设小刚的弹珠数为x 颗，小龙的弹珠数为y 颗，则列出的方程组是（ ）
A ．⎩⎨⎧=+=+303202y x y x
B ．⎩⎨⎧=+=+103102y x y x
C ．⎩⎨⎧=+=+103202y x y x
D ．⎩
⎨⎧=+=+303102y x y x 4.不等式组24010x x -<⎧⎨+⎩
≥的解集在数轴上表示正确的是（ ） 5.不等式53-x ＜x +3的正整数解有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
6．不等式组22030x x -+<⎧⎨-≥⎩
的正整数解的个数是（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个
7.某班有40名同学去看演出，购买甲、乙两种票共用去370元，其中甲种票每张10元，乙种票每张8元．设购买了甲种票x 张，乙种票y 张，由此可列出方程组：．
8.已知2,1
x y =⎧⎨=⎩是方程52=+ay x 的解，则a =．
9．已知关于x 、y 的方程组20,24x y ax by -=⎧⎨+=-⎩与8,2314
ax by x y -=⎧⎨+=⎩的解相同，求a 、b 的值．
10.小明和小玲比赛解方程组2,32,Ax By Cx y +=⎧⎨-=-⎩，小玲很细心，算得此方程组解为1,1,x y =⎧⎨=-⎩
，小明因抄错了C 解得2,6,
x y =⎧⎨=-⎩，求A 、B 、C 的值．
11. 解不等式组331213(1)8x x x x
-⎧+≥+⎪⎨⎪--<-⎩，并写出该不等式组的整数解.。