3.3.1数学证明

②演绎推理得到的结论一定是正确的；
③演绎推理一般模式是“三段论”形式；
④演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关．
六、
一、选择题
1．“π是无限不循环小数，∴π是无理数”．以上推理的大前提是()
A．实数分为有理数和无理数
B．π不是有理数
C．无理数都是无限不循环小数
D．有理数都是有限循环小数
C．b*(b*b)＝b
D．(a*b)*[b*(a*b)]＝b
二、填空题
7．已知a＝，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)＞f(n)，则m，n的大小关系为________．
8．看下面一段发现数学公式的过程，指出各自运用了哪种推理方式．公式：S(n)＝12＋22＋32＋…＋n2.
(1)首先列表计算并观察：
知识改变命运，学习成就未来
提示：不一定．演绎推理的结论不能超出前提所界定的范围，所以在演绎推理中，只有在前提和推理形式都正确时，其结论才正确．
“三段论”是演绎推理的一般模式，它包括：大前提，小前提和结论三段．
1．“三段论”是演绎推理的一般模式，它包括
(1)大前提：已知的一般原理．例如数学中的公理、定理、性质等，物理中的定律、性质等．凡是经过实践检验是正确的都可以当作大前提．
B．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质
C．某校高三共有10个班，其中一班51人，二班53人，三班52人，由此推测各班都超过50人
D．瑞雪兆丰年
2．“指数函数y＝αx(α＞1)是增函数，y＝xα(α＞1)是指数函数，所以y＝xα(α＞1)是增函数”，在以上演绎推理中，下列说法正确的是()
A．推理完全正确B．大前提不正确
于是猜想：S(n)＝.
运用了________推理．
(3)三段论是从一般(前提)到特殊(结论)的思维过程，它缺少创造性，但却具有条理清晰、令人信服的论证作用，有助于科学的理论化和系统化．
3．归纳推理和类比推理都是常用的合情推理，从推理形式上看，归纳是由部分到整体，个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理，而演绎推理是由一般到特殊的推理；从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待于进一步的证明；演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．
4．设1＜x＜10，a＝(lgx)2，b＝lgx2，c＝lglgx，则a，b，c的大小为()
A．a＜b＜cB．a＜c＜b
C．c＜b＜aD．c＜a＜b
5．下面几种推理过程是演绎推理的是()
A．矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以，正方形的对角线相等
B．我国地质学家李四光发现中国松辽地区和中亚细亚的地质结构类似，
C．小前提不正确D．推理形式不正确
3．“公差不为零的等差数列{an}的前n项和为关于n的没有常数项的二次函数，{bn}的前n项和为Sn＝n2＋3n.所以{bn}为等差数列”．上述推理中()
A．大前提错误B．小前提错误
C．结论错误D．正确
4．下面说法正确的有________．
①演绎推理是由一般到特殊的推理；
利用三段论证明几何问题
如图，在梯形ABCD中，AB＝CD＝AD，AC和BD
是梯形的对角线，求证：AC平分∠BCD，DB平分∠CBA.
【思路点拨】
⇒→→
利用三段论证明代数问题
解答题中的推理基本都是演绎推理，在使用三段论进行推理时常省略大前提，尤其是当大前提比较明显时，否则步骤就显得冗长繁杂，在做题时注意领会．
2．在不等边三角形中，a为最大边，要想得到∠A为钝角的结论，三边a、b、c应满足的条件是()
A．a2<b2＋c2B．a2＝b2＋c2
C．a2>b2＋c2D．a2≤b2＋c2
3．奇数不能被2整除，32010－1是奇数，所以32010－1不能被2整除，上述推理()
A．正确B．推理形式不正确
C．错误，因为大前提错误D．错误，因为小前提错误
一、
1．观察下列数的特点：1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…，则第100项是.
2．在平面几何中，命题“如果两个角的两边分别对应垂直，那么这两个角相等或互补”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题“如果两个二面角的两个半平面分别对应垂直，那么这两个二面角相等或互补”，这个类比命题是假命题(填“真”或“假”)．
6．设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“*”(即对任意的a，b∈S，对于有序元素对(a，b)，在S中有唯一确定的元素a*b与之对应)，若对任意的a，b∈S,有a*(b*a)＝b，则对任意的a，b∈S，下列等式中不恒成立的是()
A．(a*b)*a＝a
B．[a*(b*a)]*(a*b)＝a
已知a，b，c∈R，
求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
【思路点拨】本题属常见不等式，其证明主要是根据基本不等式：a2＋b2≥2ab(a，b∈R)以及不等式的性质．
C．由6＝3＋3,8＝3＋5,10＝3＋7,12＝5＋7,14＝7＋7，…，得出结论：一个偶数(大于4)可以写成两个素数的和
D．由a1＝1，an＝n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式
而中亚细亚有丰富的石油，由此，他推断松辽平原也蕴藏着丰富的石油
自我挑战将下面的演绎推理写成三段论的形式：
(1)所有椭圆的离心率e的取值范围为(0,1)，曲线C：＋y2＝1是椭圆，所以曲线C的离心率e的取值范围为(0,1)；
(2)等比数列的公比都不为零，数列{2n}(n∈N＋)是等比数列，所以数列{2n}的公比不为零．
n
1
2
3
4
5
6
7
8
…
S(n)
1
5
14
30
55
91
140
204
…
运用了________推理；
(2)从上表中的数据没有明显的发现，于是联想自然数之和公式：S1(n)＝1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)，二者能否有关系呢？
运用了________推理；
(3)再列表计算、对比：
n
1
2
3
4
5
6
7
8
…
S1(n)
1
3
(2)小前提：所研究的特殊情况，即在大前提范围内的某一特殊情形．
(3)结论：根据一般原理，对特殊情况做出的判断．
课时：第十课时课题：§3.3.1数学证明
【学习目标】1．了解演绎推理的意义．
2．掌握三段论的模式，并会用演绎推理即三段论模式证明数学命题．
【点评】
用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系．有时可省略小前提，有时甚至也可大前提与小前提都省略，在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．
三段论推理是最重要且最常用的推理形式，我们以前学过的平面几何与立体几何的证明，都不自觉地运用了这种推理，只不过在利用该推理时，往往省略了大前提．
2．“三段论”的推理特点
(1)三段论的前提是一般性原理，所得的结论是蕴含于前提之中的个别、特殊事实，结论完全蕴含于前提之中．
(2)前提与结论之间存在必然的联系，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论也必定是正确的，因而三段论是数学中严格证明的最常用方式．
二、
1．三段论
三段论是最常见的一种演绎推理形式，它包含三个命题：
①→
↓
②→
↓
③→
2．合情推理与演绎推理的区别
推理方式
意义
主要形式
结论的真假
合情推理
认识世界、发现问题的基础
归纳推理、类比推理
不确定
演绎推理
证明命题、建立理论体系的基础
三段论
真
三、
演绎推理的结论一定正确吗？
四、
把演绎推理写成三段论
将下列演绎推理写成三段论的形式：
6
10
15
21
28
36
…
S(n)
1
5
14
30
55
91
140
204
…
运用了________推理；
(4)从上表中的数据没有看到明显的规律，再进一步列表计算：
n
1
2
3
4
5
6
7
8
…
S1(n)
1
3
6
10
15
21
28
36
…
S(n)
1
5
1430Biblioteka 5591140
204
…
…
运用了________推理；
(5)从上表发现了规律：＝.
(1)一切偶数都能被2整除，0是偶数，所以0能被2整除；
(2)三角形的内角和是180°，等边三角形是三角形，故等边三角形的内角和是180°；
(3)循环小数是有理数，0.33是循环小数，所以0.33是有理数．
五、
1．下面几种推理过程是演绎推理的是()
A．两条直线平行，同时和第三条直线相交，同旁内角互补，如果∠A和∠B是同旁内角，则∠A＋∠B＝180°