第三讲_混合策略纳什均衡

混合策略
◆混合策略定义：在n人博弈的策略式表述 G S1, , Sn ; u1, , un Si Si1, , SiK ，那么，概率 中，假定参与人 i 有K个纯策略： 分布 pi pi1 , , piK 称为 i 的一个混合策略，这里
pik p(sik ) 是 i 选择 sik 的概率，对于所有
这个故事曾经被很多人当作博弈论的例 子来演绎，但实际上这个故事与博弈论无关。 博弈论会假定所有局中人都是理性的，不能假 定一些局中人聪明而另一些局中人却是傻子。 当田忌出下马时，齐威王最好的选择是出下马 而不是上马。孙膑的计谋中假定齐威王是傻子 ，当田忌出下、上、中马时，他仍然按上、中 、下马出，当然要输了。事实上，当田忌出下 马时，齐威王应出下马，但齐威王出下马时， 田忌不应出下马而是出中马，但此时齐威王又 应出中马而不是下马了，……。这样，博弈不 会有纯战略的均衡。

-2，3
2，2
假定老板选择混合战略（0.2，0.8) 工人选择“偷懒”期望支付为(-1)×0.2+3×0.8=2.2 工人选择“不偷懒”（期望）支付为2×0.2+2×0.8=2 工人应选择“偷懒” 老板选择“监督” “不偷懒’……

假定老板选择混合战略（0.5， 0.5) 工人选择“偷懒”期望支付 0.5 为 (-1)×0.5+3×0.5=1 工人选择“不偷懒”期望支 0.5 付为2×0.5+2×0.5=2 工人应选择“不偷懒” 老板选择“不监督” 工人选择“偷懒’……
由 VA =VB 可得 ：q=0.8 博弈方2：
VB =3q (1 q)
博 弈 方 1
A B
VC =3 p (1 p)
VD =2 p 5(1 p)
由 VC =VD 可得 ：p=0.8
策略 期望得益 得双方的策略及相应得益： 博弈方1 （0.8，0.2） 2.6 博弈方2 （0.8，0.2） 2.6
多重均衡博弈和混合策略
一、夫妻之争的混合策略纳什均衡
◆首先，该博弈有两个纳什均衡，本博弈的两个博弈方 不会害怕对方猜到自己的选择，他们主观上并不想隐 藏自己的选择。因此，该博弈中两博弈方的决策思路 和原则应该与没有纳什均衡的严格竞争博弈有所不同。 丈夫 时装 足球 妻 子 时装 足球 2， 1 0， 0 0， 0 1， 3
对于大企业，因一旦偷税数额就巨大，所 以，税务部门在随机检查时放在大企业上的可 能性就大一些；而给定税务部门检查大企业的 可能性较大，大企业偷漏税的行为就较少，否 则就容易被逮个正着。所以，偷漏税较多的就 是一些中小企业，大企业纳税的积极性较高。 同样的道理，在犯罪或对错误的监督惩罚博弈 中，也是混合博弈，人们可能总是大错不犯小 错不断。
两人只能玩混合战略博弈，齐威
王分别以 1/6 随机的概率选择出上、中 、下马的任一排列，田忌也如此。由于 齐威王存在绝对优势，他平均看来仍然 会赢田忌一千斤铜。
混合策略均衡
◆纯策略与纯策略纳什均衡 纯策略：肯定会被选择——以100%的概率——被 选择的策略。 ◆混合策略 混合策略：以一定的概率分布选择某几个行动的 策略。
其中，博弈方1的期望得益为：
u1e pqu1 A, C p(1 q)u1 A, D (1 p)qu1 B, C (1 p)(1 q)u1 B, D 0.8 0.8 2 0.8 0.2 5 0.2 0.8 3 0.2 0.2 1 2.6
例子1 为什么一般人总是小错不断，大 错不犯；偷税漏税的一般是中小企业， 大企业会老老实实地交税？
税务部门不会对所有企业的交税情 况每一次都去检查，因为这样做的成本 太高，得不偿失。所以，税务部门总是 随机地对企业的交税情况进行检查。
企业也是随机地在交税与偷漏税之 间进行选择。税收部门与企业间进行的 是混合战略博弈。因为如果企业总是交 税，税务部门就最好不检查；但给定不 检查，企业就会偷漏税。所以，两者只 有在随机地检查与不检查，企业随机地 在偷漏税与交税之间选择，才会达成均 衡。
p ( p1 ,, pi ,, pn )
期望支付
例：
参与人2
◆参与人1的混合策略：（p,1-p) 参与人2的混合策略：(q,1-q) ◆参与人1的期望支付： 如果参与人1选择S11：
1-q
S21
参与 人2
q
S22
qu1 (1 q)u3
如果参与人1选择S12：
qu5 (1 q)u7
混合策略均衡
例：监督博弈
工人 偷懒 老板 监督 不监督 1，-1 -2，3 不偷懒 -1，2 2，2
给定工人偷懒，老板的最优 选择是监督；给定老板监督， 工人的最优选择是不偷懒； 给定工人不偷懒，老板的最 优选择是不监督；给定老板 不监督，工人的最优选择是 偷懒；如此循环。
混合策略均衡
工人 偷懒 监督 老板 不监督 1，-1 不偷懒 -1，2
支付最大化法求混合战略纳什均衡
工人 偷懒 老板 监督 不监督 1，-1 -2，3 p 不偷懒 -1，2 2，2 1-p q 1-q
给定工人的混合战 略为(p,1-p)，老板的 混合战略为(q,1-q)
工人的期望支付函数为 (-1)pq+2(1-p)q+3p(1-q)+2(1-p)(1-q)=-4pq+p-2q+2 最优化一阶条件为：-4q+1=0 q*=1/4
头
剪
子
布
0， 0 1， -1 -1， 1 -1， 1 0， 0 1， -1 1， -1 -1， 1 0， 0
但是，我们知道，玩这个游戏总是 以对方不易猜出的随机方式出招。事实 上，可以通过数学证明，当双方都以每 个战略按 1/3 的概率出招时，达成一种 双方都不愿改变这种概率分布的局面。 这被称为“混合战略纳什均衡”，而这 种以随机方式选择纯战略的博弈被称为 “混合战略博弈”。 以混合战略博弈我们来看下面几个 例子。
混合策略博弈
小孩玩的游戏“石头，剪子，布” ，也是一种博弈。但是，这个博弈有一 种有趣的特征，即给定一方的任何选择 ，另一方都有制胜对方的战略，因而这 个战略不是最优的。任何“纯战略”都 不是最优的，纯战略是“石头，剪子， 布”中的任何一个。
石头、剪刀、布
博弈方2 石
博 弈 方 1 石 头 剪 子 布
工Байду номын сангаас选择
混合策略均衡
什么情况下达到纳什均衡状态？ 假定存在一个概率q，老板选择混合策略（q，1-q） 工人选择“偷懒”期望收益为(-1)×q+3×(1-q)=3-4q 工人选择“不偷懒”收益为2 如果老板真的以概率q选择监督，1-q选择不监督，那么意 味着他不会始终重复地选择某个纯策略，而他不重复选择的 条件必须是工人也不会重复地选择纯策略。 因此，老板以概率q选择监督必然意味着在这种情况下 工人没有合适的纯策略选择。====老板的选择必须使工人 在两个纯策略之间随机选择。 工人什么情况下随机选择？
的 k 1, , K ,0 pik 1, 1K pik 1
。
◆ 显然，纯策略可以理解为混合策略的特例，比如说，纯 1,0, ,0 ，即选择纯策略 si ' 策略 si ' 等价于混合策略 pi 的概率为1，选择任何其他纯策略的概率为0。 ◆混合策略纳什均衡：包含混合策略的策略组合，构成纳什 均衡。
黑
不存在前面定义的纳什均衡策略组合。
这类博弈很多，引出混合策略纳什均衡概念。
混合策略的相关概念
◆混合策略是一种按照什么概率选择这个纯策略、
按照什么概率选择那种纯策略的策略选择指示。 ◆混合策略表明：参与人可以按照一定的概率，随 机地从纯策略集合中选择一种纯策略的实际行动 。 ◆期望值：假定存在 n 个可能的取值 X1, X 2 ,, X n ， p1 , p2 ,, pn ，则期 并且这些取值发生的概率分别为： 望值为： p1 X1 p2 X 2 pn X n

博弈方2的期望得益为：
u1e pqu2 A, C p(1 q)u2 A, D (1 p)qu2 B, C (1 p)(1 q)u2 B, D 0.8 0.8 3 0.8 0.2 1 0.2 0.8 2 0.2 0.2 5 2.6
例子2 田忌赛马新编
春秋战国时期，齐威王常与旗下大将田 忌赛马。规则是：每次赛三局，每一局齐威王 与田忌各出一匹马比赛奔跑速度。每一局中的 胜者赢败方一千斤铜。田忌有上、中、下三匹 马，而齐威王也有上、中、下三匹马。每次比 赛，第一局田忌出上马，齐威王也出上马；第 二局田忌出中马，齐威王也出中马；第三局， 田忌出下马，齐威王也出下马。齐威王的上马 比田忌的上马好，齐威王的中马也比田忌的中 马好，齐威王的下马还是比田忌的下马好。于 是，每次比赛的结果都是田忌连输三局。
第三讲 混合策略纳什均衡
主讲人：李美娟
引言
◆有些博弈不存在纳什均衡，或者纳什均衡不唯
一，如猜硬币博弈，前述纳什均衡分析就无法 对博弈方的选择和博弈结果作明确的预测。 ◆这部分对不存在纳什均衡和存在多个纳什均衡 的博弈作一些讨论。
混合策略的引进
一、扑克牌对色游戏 红 甲
红 -1， 1 1， -1 乙 黑 1， -1 -1， 1
混合策略均衡
设 是n人策略式博弈 G S1, , Sn ; u1, , un 的一个混合策略组合。如果对于所有的i 1,, n ， Vi ( pi , pi ) Vi ( pi , pi ) 对于每一个 pi 都成立，则称混 p ( p , , p , , p 合策略组合 1 i n ) 是这个博弈的一 个纳什均衡。
混合策略均衡
◆当工人选择任何一个策略的期望支付相等时，只能随机 选择。于是，3-4q=2 ，即q*=1/4,1- q*=3/4。这样，当老板选 择（1/4，3/4）的混合战略时，可以使工人在两个纯战略之 间无差异。 ◆ 同理，假设工人选择(p,1-p)，(p,1-p)成为其最优混合战略 的条件是老板在选择监督与选择不监督之间无差异，即 1×p+(-1)(1-p)=(-2)p+2(1-p)，即p*=1/2,1- p*=1/2。 ◆当老板选择（1/4，3/4），工人选择（1/2，1/2）时，刚 好互为彼此的最优反应，达到纳什均衡状态,称为混合战略 纳什均衡。