2014年南开大学数学试点班自主招生考试题

2014年南开大学数学试点班自主招生考试题（A 卷）

总分：200分 考试时间：2014-2-16 8:30-11:30

一．填空题（每小题7分，共70分）

1．若单位向量a ，b 满足|23|a b -= |32|a b += ．

2．若非零复数z 满足2||(1)0z z i z +⋅+-=，则复数z 的实部为 ．

3．无重复数字（不含0）且4与5不相邻的五位数共有 个．

4．在三棱锥P ABC -中，底面为边长为3的正三角形，且3PA =，4PB =，5PC =，则三棱锥 P ABC -的体积P ABC V -= ．

5．在△ABC 中，A 为钝角，以下结论正确的是 ．

①sin cos B C <；②sin sin sin A B C <+；③tan tan 2B C +<；④sin sin B C +<

6．已知函数()f x 为周期为3的奇函数，且(1)0f =，则()f x 在区间[0,3)上至少有 个零点．

7．过双曲线22

1169

x y -=焦点(,0)(0)F c c >的直线()(0)y k x c k =-<交双曲线的两条准线于A 、B 两点，且以AB 为直径的圆恰过原点O ，则k = ．

8．已知,(0,1)x y ∈，且37,5x y x y ++均为整数，则这样的(,)x y 共有 对．

9．在区间(0,)+∞上，若方程2

ln x x x a

-=有唯一解，则a 的值为 ． 10．已知,,x y z 均为正数，且12

xyz =，2222x y z ++≤，则444x y z ++的最大值为 ． 二．解答题（第1-2题，每题15分，第3-7题，每题20分，共130分）

1．设,m n 为正整数，且m n <．证明：对于任意连续n 个正整数，总存在两个不同的正整数的乘积为mn 的倍数．

2．设P 为曲线222521x xy y -+=上的动点，求点P 到原点距离的最小值．

3．定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足：对任意的,x y ，均有()()f x y f xy +=．证明：()f x 在(0,)+∞上恒为常数．

4．设,(0,)2x y π

∈，且tan tan 3x y ⋅≥．证明：cos cos 2x y +≥．