微分方程-数学建模
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
极差
0.06 0.11 0.17 0.25 0.34 0.42
高度2m 时
37 11.98 14.01 16.41 18.90
38Biblioteka Baidu12.01 14.15 16.47 18.99
39 12.03 14.18 16.52 19.05
40 12.04 14.20 16.55 19.10
高度2.1m 时
37 12.07 14.20 16.51 19.01
38 12.10 14.24 16.57 19.09
39 12.12 14.27 16.62 19.15
40 12.12 14.29 16.65 19.20
41 12.12 14.29 16.66 19.22
42 12.10 14.28 16.66 19.23
问题：组建完整的铅球投掷的数学模型 （包括出手速度、出手高度的形成）， 并进行分析讨论。
6.2
背 景
檐沟问题
市政府的建筑处需要确定与屋顶配套的檐沟的规格。一 个新开发区的房屋的屋顶都是矩形，长12米，从屋脊到 檐沟的宽为6米，屋顶对水平面的倾角还未确定，但大 致将在20°和50°之间。
一家檐沟生产公司急欲与市政府签订供货合同. 该公司声称他们的新型塑料槽沟经久耐用，无论 什么样的天气情况都能有效地满足要求，对这批 屋顶，设计的檐沟横截面是半径为7.5厘米的半 圆，用一条直径为10厘米的排水管就够了
平衡关系：力与运动的牛顿定律
d 2x 0 , x(0) 0 , x(0) v cos 2 dt
d2y g , 2 dt y (0) h , y(0) v sin
有解
x(t ) (v cos )t 1 2 y (t ) (v sin )t gt h 2
2. 最佳投掷模式 给定出手高度h、出手速度v 从而可以计算最 佳出手角度 α。这三个量就构成最佳的铅球投掷模 式。
10 11.95 12.03 12.12 11 12 13 14 14.5 15
h\v
1.9 40.48
41.16
14.11 14.20 40.82 14.29
41.71
参量: v0 初速度, t0 用力时间, F 推力, m 铅球质量。 发力期间平衡关系 ： mx(t ) F cos , x(0) v0 , my (t ) F sin mg y(0) 0. 模型 令t=0时开始用力，t=t0 铅球出手。在区间[0，t0]积分模 型，可得 F x(t 0 ) t0 cos v0 ,
结论： 1. 出手速度最重要。 2. 出手角度的调整对取得稳定的成绩是重要 的. 但在最佳出手角度上下 20 范围内远度的变 化很小。不必过分准确。 3. 在前面的基础上，尽量提高出手的高度
检验分析问题： 1. 李梅素的数据 h=1.9m, a=37.60, v=13.75m/s, s=20.68m a=42.40， s=20.95m h=2.0m, a=39.70, v=13.52m/s，s=20.22 a=42.40 s=20.30m 出手高度增高了，出手角度更接近最佳角度， 但投掷的远度减小了。 出手的速度随着出手角度的增加减小了！
43
极差
10 11 12 13
12.08 0.05 14.26 0.09 16.64 0.15 19.22 0.22
14 21.70 21.80 21.88 21.94 21.98 22.00 21.99 0.30 15 24.57 24.70 24.80 24.88 24.94 24.97 24.97 0.40 极差 12.58 12.60 12.68 12.76 12.82 12.87 12.89
分析:
F2 2F 2F 2 2 2 v ( 2 g g sin )t0 v0 t0v0 cos m m m
1. v 随着 F 和 t0 的增加而增大; 2. v 随着 v0 的增加而增大; 3. v 随着 a 的增加而减小. 女子铅球的技术特征: 滑步的低、平、快；过渡阶段随着左腿低而快地 直顶抵趾板下沿，推髋侧移，使铅球低而远地远离 出手点；最后用力阶段突出向前性。
3 1
m3 s 1 )
A ：排水管的横截面积（单位m2 ）
建立模型
檐沟系 统中水 的流量
檐沟中水量变化率 流入量速率 流出量速率
V ( t ) Q1 Q0
流入檐 沟的流 速
Q1 r (t )bd sin cos
r
1 ：降雨的强度（速度，单位 ms )
记 号
t ：时间（单位 s）
：屋顶倾角（单位deg）
d ：屋顶长度（单位m）
b ：屋顶宽度（屋脊到檐沟, 单位m）
a ：檐沟半径（单位m）
h ：檐沟内水的高度（单位m）
V ：檐沟内水的体积（单位m3）
记 号
Q1 ：流入檐沟的流速（单位 m s )
Q0 ：流出檐沟的流速（单位
问 题
这种尺寸在下雨时是否足以正常排水
涉及槽沟容纳雨水的能力,是一种输入输出模型
分 析
输入是倾斜屋顶上流下的雨水 输出则是从垂直的排水管里流出的水 关键的问题:檐沟是否能容纳所有的雨水而不溢 出，即确定特定时期檐沟中水的高度.
1.雨水垂直下落，并且直接落到屋顶上
模 型 假 设
2.所有落在屋顶的雨水全部迅速流进檐沟 3.直接落入檐沟的雨水忽略不计 4.雨撞击屋顶 时不溅走 5.排水系统不会出现意外的堵塞
16.48 41.55 16.57 41.40 16.65
42.15
19.05 42.01 19.14 41.88 19.29
42.51
21.81 42.39 21.90 42.27 22.00
42.76
23.27 42.55 23.36 42.44 23.46
42.80
24.78 42.70 24.87 42.59 24.97
检验: 李梅素 隋新梅 李梅素 黄志红 李梅素 李梅素
α 40.27 39.00 38.69 37.75 37.60 35.13
v 13.16 13.95 13.51 13.58 13.75 14.08
h 2.20 2.04 2.00 2.02 1.90 1.95
s 19.40 21.66 20.30 20.76 20.95 21.76
二. 模型与分析： 1. 抛射体模型：铅球出手后的运动过程 假设：(1) 铅球是个质点。 (2) 忽略空气阻力。 (3)出手角度与出手速度无关。 变量、参量： 出手角度 α，出手高度 h，出手速度 v， 出手时间 t，投掷远度 s。 坐标系：（x，y） 铅球运动的轨迹为 ( x(t), y(t) ).
cos 2 v sin 2 8hgv cos v sin 2 cos 2 2 gh sin 2 0
化简可得
gh g cos 2 2 2 gh v g v / h
0 450
给定出手高度, 最佳出手角度随出手速度增大而增 大。 给定出手速度，最佳出手角度随出手高度增大而减 小。
gx y ( x) 2 2 (tan ) x h 2v cos
2
模型: 铅球投掷的远度为抛物线与x轴交点的横坐标
v sin 2 v sin 2 2 v cos s ( ) 2h 2g 2g g
2 2 2 2
检验: 姓 名 李梅素 李梅素 斯卢皮
6
动态 问题
微分方程建模
一般处理动态连续问题
• 描述对象特征随时间(空间)的演变过程 • 分析对象特征的变化规律 • 预报对象特征的未来性态 • 研究控制对象特征的手段
微分 方程 建模
•根据规律列方程 •微元分析法 •模拟近似法
6.1 铅球的投掷问题 6.2 檐沟问题 6.3 人口预测和控制 6.4 传染病模型
41 12.04 14.21 16.57 19.13
42 12.02 14.20 16.57 19.14
43
极差
10 11 12 13
12.00 0.06 14.18 0.11 16.56 0.16 19.13 0.24
14 21.59 21.70 21.78 21.85 21.89 21.91 21.91 0.32 15 24.46 24.60 24.70 24.79 24.84 24.87 24.88 0.42 极差 12.48 12.59 12.67 12.77 12.88 12.85 12.88
出手速度：12.47~12.89 出手角度：0.06~0.42 出手高度：0.16~0.22
模型 s(v,h,α) 在点 (v0,h0,α0) 关于参数 v, h, α的灵敏度。 S(s,v)=(Δs/Δv) (v0/s0) S(s, α)=(Δs/Δα) (α 0/s0) S(s,h)=(Δs/Δh) (h0/s0) 第一因素速度，第一因素高度，角度主要在最佳出 手角度上下20误差
2. 铅球的投掷不是简单的抛射体。 出手速度、出手角度和出手高度是不独立的。 是运动员投掷铅球过程中用力过程的综合的结果。 需要组建铅球投掷的模型。 2. 铅球投掷模型 假设： 1. 滑步阶段为水平运动，铅球随人体产生一个水平的初 速度。 2. 在用力阶段，运动员从开始用力推铅球到铅球出手有 一段时间。 3. 在用力的时间内作用在铅球上的推力大小不变，力的 方向与铅球出手方向相同。
2.0 40.28 40.99 2.1 40.08
3.主要因素分析—模型的参数灵敏度分析 参数变化对模型值的影响。 模型对参数变化率的分析。 模型对参数的极差分析：比较参数在可能的变 化范围内变化时模型值改变量的极差。 高度1.9 m 时
37 10 11.89 11 14.01 12 16.31 13 18.80 14 21.48 15 24.36 极差 12.47 38 39 40 41 42 43 11.92 11.94 11.95 11.95 11.94 11.92 14.05 14.09 14.11 14.12 14.12 14.10 16.38 16.43 16.46 16.48 16.48 16.47 18.89 18.96 19.01 19.04 19.05 19.04 21.59 21.68 21.75 21.79 21.81 21.82 24.49 24.60 24.68 24.74 24.78 24.78 12.57 12.66 12.73 12.79 12.84 12.86
v(m/s) h(m) α(0) 13.75
s(m)
实测
1.90 37.60 20.68 20.95
13.52
2.00 38.96 20.22 20.30
13.77 2.06 40.00 21.25 21.41
分析: 1. 最佳出手角度: 求函数 s(α) 的极大值点 满足方程
4 2 2 2 2
6.5 最优捕鱼策略
6.6 捕鱼业的持续收收获 稳定性模型
6.7 关于男生追女生的数学问题
6.1 铅球的投掷问题
一. 背景、问题： 投掷园 Ø 7呎=2.135m，有效扇形 450， 坻趾板10×10cm, 铅球重16磅=7.264kg。 运动员单手托住铅球，在投掷园内将铅球掷出并 使铅球落入有效区内。 以铅球落地点与投掷园间的距离度量铅球投掷的 远度。 以铅球投掷的远度评定运动员的成绩。 问题：建模分析如何使铅球投掷得最远？
由此可得铅球的出手速度
m F y (t 0 ) t0 sin gt0 m
F F 2 2 2 v x (t0 ) y (t0 ) ( t0 cos v0 ) ( t0 sin gt0 ) 2 m m F2 2F 2F 2 2 2 ( 2 g g sin )t0 v0 t0v0 cos m m m
0.06 0.11 0.17 0.25 0.34 0.42
高度2m 时
37 11.98 14.01 16.41 18.90
38Biblioteka Baidu12.01 14.15 16.47 18.99
39 12.03 14.18 16.52 19.05
40 12.04 14.20 16.55 19.10
高度2.1m 时
37 12.07 14.20 16.51 19.01
38 12.10 14.24 16.57 19.09
39 12.12 14.27 16.62 19.15
40 12.12 14.29 16.65 19.20
41 12.12 14.29 16.66 19.22
42 12.10 14.28 16.66 19.23
问题：组建完整的铅球投掷的数学模型 （包括出手速度、出手高度的形成）， 并进行分析讨论。
6.2
背 景
檐沟问题
市政府的建筑处需要确定与屋顶配套的檐沟的规格。一 个新开发区的房屋的屋顶都是矩形，长12米，从屋脊到 檐沟的宽为6米，屋顶对水平面的倾角还未确定，但大 致将在20°和50°之间。
一家檐沟生产公司急欲与市政府签订供货合同. 该公司声称他们的新型塑料槽沟经久耐用，无论 什么样的天气情况都能有效地满足要求，对这批 屋顶，设计的檐沟横截面是半径为7.5厘米的半 圆，用一条直径为10厘米的排水管就够了
平衡关系：力与运动的牛顿定律
d 2x 0 , x(0) 0 , x(0) v cos 2 dt
d2y g , 2 dt y (0) h , y(0) v sin
有解
x(t ) (v cos )t 1 2 y (t ) (v sin )t gt h 2
2. 最佳投掷模式 给定出手高度h、出手速度v 从而可以计算最 佳出手角度 α。这三个量就构成最佳的铅球投掷模 式。
10 11.95 12.03 12.12 11 12 13 14 14.5 15
h\v
1.9 40.48
41.16
14.11 14.20 40.82 14.29
41.71
参量: v0 初速度, t0 用力时间, F 推力, m 铅球质量。 发力期间平衡关系 ： mx(t ) F cos , x(0) v0 , my (t ) F sin mg y(0) 0. 模型 令t=0时开始用力，t=t0 铅球出手。在区间[0，t0]积分模 型，可得 F x(t 0 ) t0 cos v0 ,
结论： 1. 出手速度最重要。 2. 出手角度的调整对取得稳定的成绩是重要 的. 但在最佳出手角度上下 20 范围内远度的变 化很小。不必过分准确。 3. 在前面的基础上，尽量提高出手的高度
检验分析问题： 1. 李梅素的数据 h=1.9m, a=37.60, v=13.75m/s, s=20.68m a=42.40， s=20.95m h=2.0m, a=39.70, v=13.52m/s，s=20.22 a=42.40 s=20.30m 出手高度增高了，出手角度更接近最佳角度， 但投掷的远度减小了。 出手的速度随着出手角度的增加减小了！
43
极差
10 11 12 13
12.08 0.05 14.26 0.09 16.64 0.15 19.22 0.22
14 21.70 21.80 21.88 21.94 21.98 22.00 21.99 0.30 15 24.57 24.70 24.80 24.88 24.94 24.97 24.97 0.40 极差 12.58 12.60 12.68 12.76 12.82 12.87 12.89
分析:
F2 2F 2F 2 2 2 v ( 2 g g sin )t0 v0 t0v0 cos m m m
1. v 随着 F 和 t0 的增加而增大; 2. v 随着 v0 的增加而增大; 3. v 随着 a 的增加而减小. 女子铅球的技术特征: 滑步的低、平、快；过渡阶段随着左腿低而快地 直顶抵趾板下沿，推髋侧移，使铅球低而远地远离 出手点；最后用力阶段突出向前性。
3 1
m3 s 1 )
A ：排水管的横截面积（单位m2 ）
建立模型
檐沟系 统中水 的流量
檐沟中水量变化率 流入量速率 流出量速率
V ( t ) Q1 Q0
流入檐 沟的流 速
Q1 r (t )bd sin cos
r
1 ：降雨的强度（速度，单位 ms )
记 号
t ：时间（单位 s）
：屋顶倾角（单位deg）
d ：屋顶长度（单位m）
b ：屋顶宽度（屋脊到檐沟, 单位m）
a ：檐沟半径（单位m）
h ：檐沟内水的高度（单位m）
V ：檐沟内水的体积（单位m3）
记 号
Q1 ：流入檐沟的流速（单位 m s )
Q0 ：流出檐沟的流速（单位
问 题
这种尺寸在下雨时是否足以正常排水
涉及槽沟容纳雨水的能力,是一种输入输出模型
分 析
输入是倾斜屋顶上流下的雨水 输出则是从垂直的排水管里流出的水 关键的问题:檐沟是否能容纳所有的雨水而不溢 出，即确定特定时期檐沟中水的高度.
1.雨水垂直下落，并且直接落到屋顶上
模 型 假 设
2.所有落在屋顶的雨水全部迅速流进檐沟 3.直接落入檐沟的雨水忽略不计 4.雨撞击屋顶 时不溅走 5.排水系统不会出现意外的堵塞
16.48 41.55 16.57 41.40 16.65
42.15
19.05 42.01 19.14 41.88 19.29
42.51
21.81 42.39 21.90 42.27 22.00
42.76
23.27 42.55 23.36 42.44 23.46
42.80
24.78 42.70 24.87 42.59 24.97
检验: 李梅素 隋新梅 李梅素 黄志红 李梅素 李梅素
α 40.27 39.00 38.69 37.75 37.60 35.13
v 13.16 13.95 13.51 13.58 13.75 14.08
h 2.20 2.04 2.00 2.02 1.90 1.95
s 19.40 21.66 20.30 20.76 20.95 21.76
二. 模型与分析： 1. 抛射体模型：铅球出手后的运动过程 假设：(1) 铅球是个质点。 (2) 忽略空气阻力。 (3)出手角度与出手速度无关。 变量、参量： 出手角度 α，出手高度 h，出手速度 v， 出手时间 t，投掷远度 s。 坐标系：（x，y） 铅球运动的轨迹为 ( x(t), y(t) ).
cos 2 v sin 2 8hgv cos v sin 2 cos 2 2 gh sin 2 0
化简可得
gh g cos 2 2 2 gh v g v / h
0 450
给定出手高度, 最佳出手角度随出手速度增大而增 大。 给定出手速度，最佳出手角度随出手高度增大而减 小。
gx y ( x) 2 2 (tan ) x h 2v cos
2
模型: 铅球投掷的远度为抛物线与x轴交点的横坐标
v sin 2 v sin 2 2 v cos s ( ) 2h 2g 2g g
2 2 2 2
检验: 姓 名 李梅素 李梅素 斯卢皮
6
动态 问题
微分方程建模
一般处理动态连续问题
• 描述对象特征随时间(空间)的演变过程 • 分析对象特征的变化规律 • 预报对象特征的未来性态 • 研究控制对象特征的手段
微分 方程 建模
•根据规律列方程 •微元分析法 •模拟近似法
6.1 铅球的投掷问题 6.2 檐沟问题 6.3 人口预测和控制 6.4 传染病模型
41 12.04 14.21 16.57 19.13
42 12.02 14.20 16.57 19.14
43
极差
10 11 12 13
12.00 0.06 14.18 0.11 16.56 0.16 19.13 0.24
14 21.59 21.70 21.78 21.85 21.89 21.91 21.91 0.32 15 24.46 24.60 24.70 24.79 24.84 24.87 24.88 0.42 极差 12.48 12.59 12.67 12.77 12.88 12.85 12.88
出手速度：12.47~12.89 出手角度：0.06~0.42 出手高度：0.16~0.22
模型 s(v,h,α) 在点 (v0,h0,α0) 关于参数 v, h, α的灵敏度。 S(s,v)=(Δs/Δv) (v0/s0) S(s, α)=(Δs/Δα) (α 0/s0) S(s,h)=(Δs/Δh) (h0/s0) 第一因素速度，第一因素高度，角度主要在最佳出 手角度上下20误差
2. 铅球的投掷不是简单的抛射体。 出手速度、出手角度和出手高度是不独立的。 是运动员投掷铅球过程中用力过程的综合的结果。 需要组建铅球投掷的模型。 2. 铅球投掷模型 假设： 1. 滑步阶段为水平运动，铅球随人体产生一个水平的初 速度。 2. 在用力阶段，运动员从开始用力推铅球到铅球出手有 一段时间。 3. 在用力的时间内作用在铅球上的推力大小不变，力的 方向与铅球出手方向相同。
2.0 40.28 40.99 2.1 40.08
3.主要因素分析—模型的参数灵敏度分析 参数变化对模型值的影响。 模型对参数变化率的分析。 模型对参数的极差分析：比较参数在可能的变 化范围内变化时模型值改变量的极差。 高度1.9 m 时
37 10 11.89 11 14.01 12 16.31 13 18.80 14 21.48 15 24.36 极差 12.47 38 39 40 41 42 43 11.92 11.94 11.95 11.95 11.94 11.92 14.05 14.09 14.11 14.12 14.12 14.10 16.38 16.43 16.46 16.48 16.48 16.47 18.89 18.96 19.01 19.04 19.05 19.04 21.59 21.68 21.75 21.79 21.81 21.82 24.49 24.60 24.68 24.74 24.78 24.78 12.57 12.66 12.73 12.79 12.84 12.86
v(m/s) h(m) α(0) 13.75
s(m)
实测
1.90 37.60 20.68 20.95
13.52
2.00 38.96 20.22 20.30
13.77 2.06 40.00 21.25 21.41
分析: 1. 最佳出手角度: 求函数 s(α) 的极大值点 满足方程
4 2 2 2 2
6.5 最优捕鱼策略
6.6 捕鱼业的持续收收获 稳定性模型
6.7 关于男生追女生的数学问题
6.1 铅球的投掷问题
一. 背景、问题： 投掷园 Ø 7呎=2.135m，有效扇形 450， 坻趾板10×10cm, 铅球重16磅=7.264kg。 运动员单手托住铅球，在投掷园内将铅球掷出并 使铅球落入有效区内。 以铅球落地点与投掷园间的距离度量铅球投掷的 远度。 以铅球投掷的远度评定运动员的成绩。 问题：建模分析如何使铅球投掷得最远？
由此可得铅球的出手速度
m F y (t 0 ) t0 sin gt0 m
F F 2 2 2 v x (t0 ) y (t0 ) ( t0 cos v0 ) ( t0 sin gt0 ) 2 m m F2 2F 2F 2 2 2 ( 2 g g sin )t0 v0 t0v0 cos m m m