多元函数最值在经济学上应用

二、最小值问题 1.成本最小化 例3 某工厂生产两种型号的机密机床，其产量分别为
x , y 台，总成本函数
C(x,y)x22y2xy
若根据市场调查预测，共需要这两种机床8台，如何合理 安排生产，才能使得总成本最小？
解 作拉格朗日函数
F ( x ,y ,) x 2 2 y 2 x y ( x y 8 )
2.费用最小化 例4 某农场欲围一个面积为60平方米的矩形场地，
正面的材料每米造价10原，其余三面每米造价5元，
求场地长、宽各多少米时，所用的材料费最少？
解 设场地长和宽分别为 x , y米，则总造价为
f(x ,y ) 1 0 x 5 (2 y x )
约束条件为 xy 60
于是问题可归结为求函数 f(x ,y ) 1 0 x 5 (2 y x ) 在约束条件 xy 60 下的最小值，
并令
Fx 0.01xy 0
Fy 0.005x2 2 0
F x 2 y 150 0
解得 x 1 0 0 ,y 2 5 , 2 5
因为只有唯一的驻点，且实际问题的最大值是存在的
因此驻点 (100, 25) 是函数 最大值点，最大值为
S (x ,y ) 0 .0 0 5 1 0 0 2 2 5 1 2 5 0
第八节 多元函数最值在经济学上的应用
一、最大值问题 二、最小值问题 三、最小二乘法
1.利润最大值 例1 设 D 1 , D 2 分别为商品 X 1 , X 2 的需求量，需求函数为
D 1 8 P 1 2 P 2 ,D 2 1 0 2 P 1 5 P 2
总成本函数为 CT3D12D2
其中 P1 , P 2 为商品 X 1 , X 2 的价格，试问价格 P1 , P 2
xi yi
1 n
n i1
xi
n i1
yi
n i1
xi 2
1 n
n i1
xi
2
例5 某企业2019年度的1－12月份维修成本的 历史数据如下表所示：
解 由题意可知，设经验公式为：
y axb
根据题目中的数据算出相关数据，结果如下：
a1 n
ni1
yi b1ni n1xi
0.32
b
n i1
作拉格朗日函数
F ( x ,y ,) 1 5 x 1 0 y ( x y 6 0 )
令
Fx 15 y 0 Fy 10 x 0
x210,y310,110
2
F xy 60 0
因为只有唯一的驻点，且实际问题的最小值是存在的，
最小值为
f ( 2 1 0 , 3 1 0 ) 1 5 2 1 0 1 0 3 1 0 6 0 1 0 1 8 9 . 7 4
2
是存在最大利润的，故此时价格
63 P1 2 , P2 14
时可获最大利润的价格，最大利润为：
LT
( 6 3 3 ) ( 8 6 3 2 1 4 ) ( 1 4 2 ) ( 1 0 2 6 3 源自文库5 1 4 ) 1 6 4 . 2 5
22
2
2.采购数量最大值
例2 某工厂生产甲产品的数量 S （吨）与所用两种原
xi yi
1 n
n i1
xi
n i1
yi
n i1
xi2
1 n
n i1
xi
2
500.67
所以经验公式为 y0.32x500.67
取何值时可使利润最大？
解 根据经济理论，总利润＝总收入－总成本，由题意：
总收益函数
RTP 1D 1P 2D 2P 1 ( 8 P 1 2 P 2 ) P 2 ( 1 0 2 P 1 5 P 2 )
总利润函数
LT RT CT ( P 1 3 ) ( 8 P 1 2 P 2 ) ( P 2 2 ) ( 1 0 2 P 1 5 P 2 )
将这些数据在直角坐标系平面 xoy画出来，
假设数据表示的点几乎分布于某一条直线周围 经验认为这两个变量 x, y 有线性关系，设其关系式为
yaxb
在直线上，横坐标为 的x i 点的纵坐标为
yˆi abxi
误差为 iyiy ˆiyi (a bi)x
该误差称为实际值于理论值的误差.
现求一组合适的a , b 使得误差的平方和达到最小，
令
Fx 2 x y 0
Fy 4 y x 0
F x y 8 0
解得 x5,y3,7
因为只有唯一的驻点，且实际问题的最小值是存在的， 因此驻点 ( 5 , 3 ) 是函数 最小值点，因此当两种型号的机器各 生产5台和3台时，其总成本最小.最小值为
C (5 ,3 ) 5 2 2 3 2 5 3 2 8
三、最小二乘法 社会经济现象是相互联系的，其发展变化受到各种因
素的制约，例如：市场的需求量取决于消费者的可支 配收入和商品的价格，生产费用由所生产的产品的数量 及各种生产投入要素的价格构成等等.
为了减少盲目性，增强科学性，人们要求在长期的实践 中观察掌握大量的统计资料和数据，在此基础上，认识和
掌握经济发展的规律，比如研究市场需求量与商品价格 的关系，就需要对依存关系的经济变量，建立数学方程，
为了使得总利润最大，解方程租
LT P1
72P14P2
0
LT P2
144P110P2 0
得驻点
P1
63, 2
P2
14
有因为在点
(
63 2
,1
4
)
处
A 2 LT 2 P12
B 2 LT 4 P1P2
C
2 LT P22
10
所以 B2AC40因此 ( 6 3 , 1 4 ) 是极大值点，由于只是唯一的驻点，且实际问题
这个方程中通常代表原因的为自变量，将代表结果的为 因变量 .这种根据大量的统计资料和数据所建立的方程 成为经验公式.建立经验公式的一个常用方法就是 最小二乘法.
下面用两个变量的线性关系的情况来说明.
通过试验或调查，得到两个变量的一组 n个数据:
(x 1 ,y 1 )(x ,2,y2) ,,(x n,yn)
这种方法叫做最小二乘法.
n
n
E i2 [yi (abix)2 ]
i1
i1
要求 E的极小值，有 E a2i n1[yi (abix)(]1)
E b2i n1[yi (abix)(]xi)
令 E 0,E 0 从而求得驻点是 a b
a1 n
ni1
yi
b1 n ni1
xi
b
n i1
材料 A , B 的数量 x ,（y 吨）间的关系式
S(x,y)0.005x2y
现准备向银行贷款150万元购原料，已知A , B 原料每吨 单价分别为1万元和2万元，问怎样购进两种原材料， 才能使得生产的数量最多？
解 作拉格朗日函数
F ( x ,y ,) 0 .0 0 5 x 2 y ( x 2 y 1 5 0 )