高等代数 第三版§19 有理系数多项式
第九节 有理系数多项式
f (x) 的一阶导数； f (x) 的导数 f (x) 称为 f (x) 的 二阶导数； 等等. f (x) 的 k 阶导数记为 f (k)(x) .
§1.6 重因式
多项式导数的基本公式： ( f (x) + g(x) ) = f (x) + g (x) , (c f (x) ) = c f (x) , ( f (x) g(x) ) = f (x) g(x) + f (x) g(x) , 可推广 ( f m (x) ) = m ( f m -1(x) f (x) ) . 可推广
如果 f (x) 的标准分解式为
r2 f ( x) cp1r1 ( x) p2 ( x) psrs ( x)，
§1.6 重因式
那么 p1(x) , p2(x) , … , ps(x) 分别是 f (x) 的 r1 重，
r2 重 , … , rs 重因式. 指数 ri = 1 的那些不可约因式
因此
从而
p (x) | ( kg(x) p(x) + p (x) g(x) ) ，
pk (x) | f (x)， 证毕
§1.6 重因式
所以 p (x) 是 f (x) 的 k - 1 重因式.
推论 1 如果不可约多项式 p(x) 是 f (x) 的 k 重因式(k 1)，那么 p(x) 是 f (x) , f (x) , … , f (k-1)(x) 的因式，但不是 f (k)(x) 的因式. 证明 根据定理1 对 k 作数学归纳法即得. 证毕
高等代数
第一章 多项式 Polynomial
第六节 重因式
§1.6 重因式
一、重因式的概念
定义 1 不可约多项式 p(x) 称为多项式 f (x) 的 k 重因式，如果 pk(x) | f (x) , 但 pk+1(x) | f (x) . 如果 k = 0 , 那么 p(x) 不是 f (x) 的因式；如果 k = 1 , 那么 p(x) 称为 f (x) 的单因式；如果k > 1 ,那么 p(x) 称为 f (x) 的重因式.
高等代数
说明
的标准分解式, ① 若已知两个多项式 f ( x ), g ( x ) 的标准分解式, 则可直接写出
( f ( x ), g( x ) ) .
f ( x ), g ( x ) 的标准
( f ( x ), g( x ) ) 就是那些同时在
分解式中出现的不可约多项式方幂的乘积, 分解式中出现的不可约多项式方幂的乘积,所带 方幂指数等于它在 f ( x ), g ( x ) 中所带的方幂指数 中较小的一个. 中较小的一个.
(
)(
x2 + 2
)
(在有理数域上) 在有理数域上)
= x 2 = x 2
(
)(
x+ 2
)(
x2 + 2
)
(在实数域上) 在实数域上)
(
) ( x + 2 ) ( x 2i ) ( x +
在复数域上) 2i (在复数域上)
)
§1.5 因式分解定理
一,不可约多项式
定义: 定义: 设 p( x ) ∈ P[ x ] ,且 ( p ( x ) ) ≥ 1 ,若 p( x )
f ( x ) = p1 ( x ) p2 ( x ) ps ( x )
= q1 ( x )q2 ( x ) qt ( x )
⑴
pi ( x ), q j ( x ) ( i = 1,2, , s ; j = 1,2, , t . ) 都是不可约
多项式. 多项式 作归纳法. 对 s 作归纳法. 若 s = 1, 则必有 s = t = 1, f ( x ) = p1 ( x ) = q1 ( x )
§1.5 因式分解定理
例如, 例如,若 f ( x ), g ( x ) 的标准分解式分别为
高等代数北大第三版
必为整系数多项式．
•整理课件
•11
证： 令 于是•整理课件
•12
定理12 设 是一个整系数多项式，而 是它的一个有理根，
其中 是互素的，则必有
•整理课件
•13
证： 是 的有理根， ∴ 在有理数域上，
从而 又 互素，
本原．由上推论，有
比较两端系数，得 所以，
•整理课件
也即
其中 是整系数多项式，且各项系数没有异于
的公因子．
•整理课件
•4
一、本原多项式
定义 设
若 异于 的公因子，即 则称 为本原多项式．
没有 是互素的，
•整理课件
•5
有关性质
1．
使
其中 为本原多项式．
（除了相差一个正负号外，这种表示法是唯一的）．
2．Gauss引理
定理10 两个本原多项式的积仍是本原多项式．
•整理课件
•23
例5 证明： 证： 作变换
在 上不可约． 则
取 所以
由Eisenstein判别法知， 在Ｑ上不可约， 在Ｑ上不可约．
•整理课件
•24
说明：
对于许多 上的多项式来说，作适当线性代换后
再用Eisenstein判别法判定它是否可约是一个较好的 办法，但未必总是凑效的．也就是说，存在 上的
定理11 若一非零的整系数多项式可分解成两 个次数较低的有理系数多项式，则它一定可分解 成两个次数较低的整系数多项式的乘积．
•整理课件
•9
证：设整系数多项式 有分解式
其中 令
这里， 于是
由定理10， 即
且
皆为本原多项式，
本原， 从而有
•整理课件
得证．
高等代数第1章多项式
f(x)-g(x)q1(x)=f1(x) deg f1(x)n-1 f1(x)-g(x)q2(x)=f2(x) deg f2(x)n-2 fk(x)-g(x)qk+1(x)=fk+1(x) f1(x), f2(x),, fk(x)的次数渐减,直到小于g(x)的次数
上式可改写为 f(x) = f1(x) + g(x)q1(x) f1(x)= f2(x) +g(x)q2(x) +) fk(x)=fk+1(x)+g(x)qk+1(x) . f(x)=fk+1(x)+g(x)[q1(x)+q2(x)++qk+1(x)] 于是,令q(x)=[q1(x)+q2(x)++qk+1(x)], r(x)=fk+1(x), deg r(x)<deg g(x)或r(x)=0. 唯一性 假设另有q1(x)和r1(x),满足 f(x) = q1(x)g(x) + r1(x) 其中deg(r1(x))<deg(g(x))或者r1(x)=0
四、综合除法
• 指用一次多项式除任一多项式的简便方法 • 1、理论根据
• • • • • • •
设 f(x)=anxn+an-1xn-1++a1x+a0 (an0) 则f(x)被x-c除所得商式是一个n-1次多项式, 设为 q(x)=bn-1xn-1+bn-2xn-2++b1x+b0 所以 f(x)=(x-c)q(x)+r, 其中r为余数,即 f(x)=anxn+an-1xn-1++a1x+a0 =(x-c)(bn-1xn-1+bn-2xn-2++b1x+b0)+r 比较两边系数,得
(完整版)有理系数多项式
§9 有理系数多项式作为因式分解定理的一个特殊情形，有每个次数≥1的有理系数多项式都能分解成 不可约的有理系数多项式的乘积.但是对于任何一个给定的多项式，要具体地作出它的 分解式却是一个很复杂的问题，即使要判别一个有理系数多项式是否可约也不是一个 容易解决的问题，这一点是有理数域与复数域、实数域不同的.在这一节主要是指出有 理系数多项式的两个重要事实：第一，有理系数多项式的因式分解的问题，可以归结为整(数）系数多项式的因式分解问题,并进而解决求有理系数多项式的有理根的问题。
第二，在有理系数多项式环中有任意次数的不可约多项式。
一、有理系数多项式的有理根1．有理系数多项式与整系数多项式 设011)(a x a x a x f n n n n +++=--是一个有理系数多项式。
选取适当的整数c 乘)(x f ,总可以使)(x cf 是一个整系数多项式. 如果)(x cf 的各项系数有公因子，就可以提出来，得到)()(x dg x cf =，也就是)()(x g cdx f =其中)(x g 是整系数多项式，且各项系数没有异于±1的公因子。
2．整系数多项式如果一个非零的整系数多项式011)(b x b x b x g n n n n +++=-- 的系数01,,,b b b n n - 没有异于±1的公因子，也就是说它们是互素的，它就称为一个本原多项式。
上面的分析表明，任何一个非零的有理系数多项式)(x f 都可以表示成一个有理数r 与一个本原多项式)(x g 的乘积，即)()(x rg x f =。
可以证明，这种表示法除了差一个正负号是唯一的。
亦即,如果)()()(11x g r x rg x f ==，其中1(),()g x g x 都是本原多项式，那么必有)()(,11x g x g r r ±=±=因为)(x f 与)(x g 只差一个常数倍，所以)(x f 的因式分解问题，可以归结为本原多项式)(x g 的因式分解问题.3．本原多项式)(x g 的因式分解问题.下面进一步指出，一个本原多项式能否分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积 与它能否分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积的问题是一致的。
高等代数多项式求有理根
高等代数多项式求有理根摘要：一、高等代数多项式的概念二、有理根的定义及其性质三、求有理根的方法1.因式分解法2.有理根定理3.综合法求有理根四、有理根的应用1.多项式的约分2.多项式的有理化正文：高等代数中的多项式是一个非常重要的概念，它可以用来描述和刻画很多数学对象。
在研究多项式的过程中，我们经常会遇到有理根的问题。
本文将详细介绍多项式有理根的求法及其应用。
首先，我们需要明确有理根的概念。
设P(x) 是一个多项式，如果存在一个有理数Q(x)，使得P(x) = Q(x) * R(x)，其中R(x) 是一个多项式且其根为有理数，那么我们称Q(x) 为P(x) 的一个有理根。
显然，有理根是一种特殊的根，它可以使多项式因子分解更加明确。
求有理根的方法有很多，这里我们介绍三种常用的方法。
首先是因式分解法，如果多项式P(x) 可以分解为两个有理数的乘积，那么这两个有理数就是P(x) 的有理根。
例如，对于多项式P(x) = x^2 - 6x + 9，我们可以将其分解为(x - 3)(x - 3)，那么有理根就是3。
其次是使用有理根定理。
有理根定理给出了多项式有理根存在性的条件，以及有理根的性质。
根据有理根定理，如果多项式P(x) 的首项系数和常数项都是有理数，那么P(x) 一定有有理根。
此外，如果P(x) 有一个有理根，那么它的其他有理根也是有理数。
最后是综合法求有理根。
这种方法综合了因式分解法和有理根定理，可以用来求解较为复杂的有理根问题。
具体操作是，首先尝试因式分解，如果无法分解，则根据有理根定理寻找可能有理根的值，再进行验证。
多项式的有理根在代数中有着广泛的应用。
例如，在多项式约分中，我们可以将有理根约掉，从而简化多项式；在多项式有理化中，我们可以通过有理根将有理数表示为多项式的形式，从而实现有理化。
高等代数 第三版§1.7 多项式函数
x 1 为 f ( x )的三重根．
ii) 若 r1 ( x ) 0, t 15 0, 即 t 15 , 4 4
则
f ( x ), f ( x ) x 1 2
此时， f ( x ) 有重根，
x 1 为 f ( x )的二重根． 2
定理8
此时对 P , 有 f ( ) c 0. 即 f ( x )有0个根.
f ( x ) n 时，由因式分解及唯一性定理，
f ( x ) 可分解成不可约多项式的乘积，
由推论， f ( x ) 的根的个数等于 f ( x ) 分解式中
一次因式的个数，重根按重数计算，且此数 n.
f ( x ) x 3 3 x 2 tx 1 有重根． 例2 求 t 值，使
解：
3 2
f ( x )
15 4
f ( x)
x
3 x2 6 x t
x 3 3 x 2 tx 1
1 3
1 x 3
3x 2 3 x 2
x 3 2 x 2 1 tx 3 x 2 2 tx 1 3 x2 2 x 1 t 3
Higher Algebra
主要内容
一、多项式函数与根 二、多项式函数的有关性质
一、多项式函数与根
1. 多项式函数
n n1 设 f ( x ) a0 x a1 x an , 数 p, 将 f ( x )的表示式里的 x 用 代n ,
但
1 f ( 1) 1 1 5 0, 3
1 不是 f ( x )的根，从而不是 f ( x ) 的3重根．
例4
( x 1)2 | Ax 4 Bx 2 1, 求 A, B . 若
第一章 多项式9.有理系数多项式 [兼容模式]
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§1.9 有理系数多项式本原多项式高斯引理,根与系数的关系艾森斯坦因Eisenstein判别法小结作业12本节要解决的问题:有任意次数的不可约多项式.1.有理系数多项式的因式分解问题,2. 在有理数域Q 上3有理系数多项式对每个有理系数多项式f (x ),其中g (x )是整系数的例如若一非零整系数多项式即是互素的.它就称为一个本原多项式.的系数无异于±1的公因子, f (x )总能写成).()(x g cd x f =且各项系数无异于±1的公因子.x x x 5423234−+011)(b x b x b x g n n n n +++=−−L 01,,,b b b n n L −)6155(15234x x x −+=4定理7.10(高斯Gauss 引理)两个本原多项式的乘积还是本原多项式.非本原的,证明设和是两本原多项式.它们的乘积h (x ) = f (x )g (x ) .0111)(a x a xa x a x f n n n n ++++=−−L 0111)(b x b xb x b x g m m m m ++++=−−L 若0111)(d x d x d x d x h m n m n m n m n ++++=−+−+++L 有异于±1的公因子,矛盾!即011,,,,d d d d m n m n L −++设素数p 为其一个公因子,由f (x )和g (x )本原,则∃i 和j ,使,|,,|10−i a p a p L ,|,,|10−j b p b p L 22112211L L +−+−−+−++++++j i j i j i j i j i j i b a b a b a b a b a d5定理7.11两次数较低的整系数多项式的乘积.若一非零整系数多项式能分解成两次数较低的有理系数多项式的乘积.则它一定能分解成6推论h (x )必是整系数的.设f (x ), g (x )是整系数多项式,且g (x )是本原的.如果f (x )= g (x )h (x ),其中h (x )是有理系数多项式,7定理12是一个特别地,而r /s 是它的一个有理根,其中r , s 互素.那么必有设0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=−−L ,|n a s .|0a r 若f (x )的首项系数a n =1,则f (x )的有理根都是整数,而且是a 0 的因式.证明从而(sx -r )|f (x ),f (x ) = (sx -r )(b n -1x n -1 + L +b 0)比较两边系数,得a n = sb n -1,故s |a n ,8定理12是一个例而r /s 是它的一个有理根,其中r , s 互素.那么必有设0111)(a x a xa x a x f n n n n ++++=−−L ,|n a s .|0a r 求方程032234=−+−x x x 的有理根.解该方程的有理根只可能是,23,21,3,1±±±±代入验证知故其有理根只有x =1.9定理7.13 (艾森斯坦因Eisenstein 判别法)是一整系数多项式,证明若有一个素数p设0111)(a x a x a x a x f n n n n ++=−−L 则f (x ) 在有理数域上是不可约的.若f (x )在Q 上可约,则由定理11,次数较低的整系数多项式之积:;,,,,|.20121a a a a p n n L −−10定理7.13 (艾森斯坦因Eisenstein 判别法)∈Z[x ],例若∃素数p设0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=−−L 则f (x ) 在Q 上是不可约的.多项式在理数域上是不可约的. 取素数p = 2 即可.;,,,,|.20121a a a a p n n L −−2+n x11练习1.求下列多项式的有理根:.157424−−−x x x 2.下列多项式在有理数域上是否可约?.2128234++−x x x 136++x x (思考题)小结1. 有理系数多项式的因式分解问题, 可归结为整系数2. 在有理数域Q上有任意次数的不可约多项式;3. 整系数多项式的有理根与首项和常数项的关系;12作业p4627.1).3). 28.1).5)13。
高等代数(第三版)1.9
f ( x ) g ( x ) h( x )
这里
g ( x) b0 b1 x bk x ,
k
h( x) c0 c1 x cl x ,
l
并且 k < n , l < n , k + l = n , 由此得到
a0 b0 c0 .
因为 a 0 被p整除,而p是一个素数, 所以b 或c 被p 整除. 0 0 但 a 0不能被 p 2整除, 所以 b0与c0不能同时被p整除.
第一章 多项式
2. 有理系数多项式环中存在任意次的
不可约多项式 定理13 (Eisenstein判断法)
设f( x ) = a n x
( 1) p|a / n;
n
+ a n - 1x
n- 1
+ L + a 0是一个
整系数多项式，如果有一个素数p 使得
( 2 ) p|a n -1 , a n - 2 , L , a 0 ; ( 3 ) p 2 /| a 0
1 |3 3
第一章 多项式
3
2
－1
2 3
3 －1
2 3 3
－１
3
－2
至此已经看到,商式不是整系数多项式,因此不必再除 1 下去就知道, 不是g ( x) 的根,所以它也不是f (x)的 3 根. 再作综合除法:
1 3 3 - 1 1 3 0 3 - 1
0 1 3 0
1 所以 是g ( x)的一个根,因而它也是f (x)的一个根, 3 1 容易看出, 不是f ( x) 的重根. 3
第一章 多项式
例1 求多项式
f ( x) 3 x 4 5 x 3 x 2 5 x 2
高等代数中的多项式 基本概念与计算方法
高等代数中的多项式基本概念与计算方法高等代数中的多项式：基本概念与计算方法在高等代数中，多项式是一种重要的数学对象。
它是由各个数乘以一个（或多个）不同幂次的未知数，并加以相应系数得到的代数表达式。
本文将介绍多项式的基本概念以及常用的计算方法。
1. 多项式的定义多项式由一系列的单项式相加或相减而得。
单项式由一个数与若干个未知数的乘积构成，其系数和指数可以是实数或复数。
一个常数也可以看作是只有零个未知数的单项式。
2. 多项式的表示一般来说，多项式的表示形式为：P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0其中，P(x)代表多项式，x是未知数，a_n,...,a_0是系数，n是多项式的次数。
系数可以为实数或复数，次数n是一个非负整数。
3. 多项式的运算（1）多项式的加法和减法：两个多项式相加或相减的规则是将对应的项合并。
例如，给定多项式P(x) = 3x^2 + 2x + 1Q(x) = 2x^2 - x + 4则P(x) + Q(x) = (3x^2 + 2x + 1) + (2x^2 - x + 4) = 5x^2 + x + 5（2）多项式的乘法：多项式的乘法是将每一项相乘，并将同类项合并。
例如，给定多项式P(x) = 3x^2 + 2x + 1Q(x) = 2x - 1则P(x) × Q(x) = (3x^2 + 2x + 1) × (2x - 1) = 6x^3 -1x^2 + 4x - 14. 多项式的因式分解多项式的因式分解在很多应用中都有重要作用。
它是将一个多项式表示为几个较简单的因子相乘的形式。
例如，给定多项式P(x) = x^2 + 4x + 4可以进行因式分解为P(x) = (x + 2)(x + 2) = (x + 2)^2这里的(x + 2)称为多项式P(x)的因子。
5. 多项式的求值给定一个多项式P(x)，我们可以通过给定的值x来求出P(x)的具体数值。
§1.9 有理系数多项式
as 与已知矛盾. 但p能整除其它项,故 p ∴ f ( x ) 在 Z [ x ] 中不可约 f ( x ) 在 Q [ x ] 中不可约.
第一章 多项式
由Eisenstein判别法知,Q上存在任意次不可约 多项式.
x n + p 是Q上不可约多项式,p是素数. 例1.9.1:
an = vbn 1 , a0 = ub0
∴ v an , u a0
第一章 多项式
由定理1.9.3,要求整系数多项式 f ( x ) 的有理根, 只要求出最高次项系数的因数 v1 , v2 , , vk 以及常数项 ui 这样的 a0 的因数 u1 , u2 , , ut .然后对形如 ± vj 有理数用综合除法来检验,如果最高次系数为1,则 整系数多项式f的有理根只能是整根.
② v an , u a0 证:
∵ (1) u v 是 f ( x ) 的根,
∴ f ( x ) 有一次因式 x u
(
), v
第一章 多项式
即 f ( x) = x u
(
因为 vx u 是本原多项式 q1 ( x ) 是整系数多项式, 故 q ( x ) = vq1 ( x ) 是整系数多项式.
第一章 多项式
于是 f ( x ) = g ( x ) h ( x ) = r sg1 ( x ) h1 ( x ) 下证 r s 是一个整数, q 设 r s = (p,q互素且p>0), p 故p能整除q与 g1 ( x ) h1 ( x ) 的每一系数的乘积, 而p,q互素,故p能整除 g1 ( x ) h1 ( x ) 的每一系数, 但由引理1知,g1 ( x ) h1 ( x ) 是本原多项式, 故p=1,从而rs是一个整数.
高等代数课件(北大三版)--第二章--多项式
2.2.4 系数所在范围对整除性旳影响
二、教学目旳
1．掌握一元多项式整除旳概念及其性质。
2．熟练利用带余除法。
三、要点、难点
多项式旳整除概念，带余除法定理
2.2.1 多项式旳整除概念
设F是一种数域. F [x]是F上一元多项式环.
2.2.2 多项式整除性旳某些基本性质
证 设f (x) = g (x) 那么它们有完全相同旳项, 因而对R旳任何c都有f (c) = g (c)这就是说, f (x) 和g (x)所拟定旳函数相等.反过来设f (x) 和g (x)所拟定旳函数相等.令 u (x) = f (x) – g (x)那么对R旳任何c都有u (c) = f (c) – g (c) = 0这就是说, R中旳每一种数都是多项式u (x)旳根. 但R有无穷多种数, 所以u (x)有无穷多种根.根据定理2.6.3只有零多项式才有这个性质.所以有 u (x) = f (x) – g (x) = 0 , f (x) = g (x) .
f (c)与它相应. 于是就得到R到R旳一种映射. 这个映射是由多项式f (x)所拟定旳,叫做R上一种多项式函数.
综合除法
由此得出
表中旳加号一般略去不写.
例1
用x + 3除
作综合除法:
所以商式是
而余式是
证
假如f (x)是零次多项式,那么f (x)是R中一种不等于零旳数, 所以没有根. 所以定理对于n = 0成立.于是我们能够对n作数学归纳法来证明这一定理.设c∈R是f (x)旳一种根.那么 f (x) = (x – c) g (x)这里g (x) ∈R [x]是一种n – 1次多项式.假如d∈R是f (x)另一种根, d≠c那么 0 = f (d) = (d – c) g (d)因为d – c≠0 , 所以g (d) = 0. 因为g (x)旳次数是 n – 1 ,由归纳法假设, g (x)在R内至多有n – 1个不同旳根.所以f (x)在R中至多有n个不同旳根.
高等代数多项式求有理根
高等代数多项式求有理根在高等代数中，我们可以利用有理根定理来求多项式的有理根。
有理根定理：如果一个多项式 $P(x)$ 的系数都是整数，且有一个有理数 $\frac{m}{n}$ 是它的有理根，其中 $m$ 和 $n$ 互质，那么 $m$ 是多项式 $P(x)$ 的常数项的约数，而 $n$ 是多项式的首项系数的约数。
有理根定理的直接推论是，如果一个整系数多项式 $P(x)$ 有有理根 $\frac{m}{n}$，其中 $m$ 是 $P(x)$ 的常数项的约数，而 $n$ 是 $P(x)$ 的首项系数的约数，那么我们就可以通过代入由常数项 $m$ 和首项系数 $n$ 所构成的所有可能的分数解来确定可能的有理根。
即我们用所有形如 $\pm\frac{m}{n}$ 的解代入多项式，如果等式成立，则该有理数是多项式的有理根。
举例说明：假设我们要求多项式 $P(x) = x^3 - 3x^2 - 4x + 12$ 的有理根。
首先，我们找到多项式的常数项$12$ 和首项系数$1$ 的约数，它们分别是 $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$。
然后，我们用这些解依次代入多项式 $P(x)$ 的方程 $P(x) = 0$，并验证方程是否成立。
如果有方程成立，那么该有理数就是多项式的有理根。
在本例中，我们可以依次代入 $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$，并验证方程 $P(x) = 0$ 是否成立。
例如，当我们代入 $x = 1$ 时，方程变为 $1 - 3 - 4 + 12 = 0$，这意味着 $x = 1$ 是方程的一个解。
与此类似，我们可以验证其他可能的有理根。
通过这种方法，我们可以找到多项式的有理根。
请注意，这不一定能找到所有的有理根，但可以找到一部分有理根。
高等代数多项式求有理根
高等代数多项式求有理根（实用版）目录1.引言2.高等代数多项式的概念和性质3.有理根的定义和性质4.求有理根的方法5.结论正文1.引言高等代数是数学的一个重要分支，主要研究向量空间、线性变换、矩阵、多项式等概念。
在高等代数中，多项式是一个核心概念，对于理解和解决许多问题都具有重要意义。
求有理根是多项式理论中的一个基本问题，掌握求有理根的方法对于理解多项式的性质和解决实际问题具有重要意义。
2.高等代数多项式的概念和性质在高等代数中，多项式是一个重要的概念，它是由若干个单项式通过加减运算组成的代数式。
多项式的每个单项式都有一个次数，次数最高的单项式的次数就是多项式的次数。
多项式可以表示为一个关于变量的函数，其中变量的次数是非负整数。
多项式的性质包括多项式的和、差、积、商等运算，以及多项式的次数、项数、常数项等概念。
3.有理根的定义和性质有理根是指能够使多项式取值为有理数的根。
具体来说，如果一个多项式能够表示为两个整数的比值，那么这个比值就是一个有理根。
有理根具有以下性质：（1）有理根是有限个；（2）有理根的和为 0；（3）有理根的乘积为 1；（4）有理根的倒数也是有理根。
4.求有理根的方法求有理根的方法主要有以下几种：（1）直接法：根据多项式的系数和根的关系，直接求出有理根；（2）韦达定理法：利用韦达定理求出有理根；（3）判别式法：根据多项式的判别式求出有理根；（4）配方法：通过配方将多项式转化为一个完全平方多项式，然后求出有理根。
5.结论在高等代数中，求有理根是一个基本问题。
掌握求有理根的方法，对于理解多项式的性质和解决实际问题具有重要意义。
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有关性质
1． f ( x ) Q[ x ], r Q , 使 f ( x ) rg ( x ),
其中 g ( x )为本原多项式．
（除了相差一个正负号外，这种表示法是唯一的）． 2．Gauss引理 定理10 两个本原多项式的积仍是本原多项式．
n n1 f ( x ) a x a x 证： 设 n n1
d i j ai b j ai 1b j 1
在这里 p | d i j , p | ai b j , p | ai 1b j 1 , 故 h( x )是本原的．
矛盾．
二、整系数多项式的因式分解
定理11 若一非零的整系数多项式可分解成两
个次数较低的有理系数多项式，则它一定可分解
sx r 本原． 由上推论，有 又 r , s 互素，
f ( x ) ( sx r )(bn1 x n1
a1 x a0
r 是一个整系数多项式，而 s 是它的一个有理根，
其中 r , s 是互素的，则必有
s | an , r | a0 .
r 是 f ( x ) 的有理根， 证： s r ∴ 在有理数域上， ( x ) | f ( x ) , s 从而 ( sx r ) | f ( x ).
n n1 事实上，设 f ( x ) an x an1 x
a0 ,
则可选取适当整数 c , 使 cf ( x ) 为整系数多项式． 若 cf ( x ) 的各项系数有公因子，就可以提出来，得 d cf ( x ) dg( x ), 也即 f ( x ) g( x ), c 其中 g ( x ) 是整系数多项式，且各项系数没有异于 1 的公因子．
a0 , b0
n m 1
g( x ) bm x m bm 1 x m 1
是两个本原多项式．
h( x ) f ( x ) g( x ) d n m x
n m
d n m 1 x
d0
反证法．若 h( x )不是本原的，则存在素数 p, p | d r , r 0,1, , n m . 又 f ( x ) 是本原多项式，所以 p 不能整除 f ( x ) 的 每一个系数．
一、本原多项式 定义
设 g( x ) bn x bn1 x
n n1
b1 x b0 0,
, b1 , b0 没有
bi
异于 1 的公因子，即 bn , bn1 ,
, b1 , b0 是互素的，
则称 g ( x ) 为本原多项式．
推论 设 f ( x ), g( x ) 是整系数多项式，且 g ( x )是本原 的，若 f ( x ) g( x )h( x ), h( x ) Q[ x ], 则 h( x )
必为整系数多项式．
证： 令 f ( x ) a f1 ( x ), h( x ) ch1 ( x ),
2. 我们知道，在 C上只有一次多项式才是不可约 多项式； 在 R 上，不可约多项式只有一次多项式与某些 二次多项式； 但在 Q 上有任意次数的不可约多项式．如
x n 2, n Z .
如何判断 Q 上多项式的不可约性呢?
3. 有理系数多项式可归结为整系数多项式的问题．
这是因为任一有理数可表成两个整数的商．
a Z , c Q,
f1 ( x ), h1 ( x ) 本原，
于是有，
a f1 ( x ) g( x )ch1 ( x ) cg( x )h1 ( x )
c a, 即 c Z .
h( x ) ch1 ( x ) 为整系数多项式．
n n1 f ( x ) a x a x 定理12 设 n n1
Higher Algebra
主要内容 一、本原多项式
二、整系数多项式的因式分解
问题的引入
1. 由因式分解定理，作为一个特殊情形：
对 f ( x ) Q[ x ], f ( x ) 1, 则 f ( x ) 可唯一分解
成不可约的有理系数多项式的积. 但是，如何作出它的分解式却很复杂，没有一个 一般的方法.
这里，f1 ( x ), g1 ( x ), h1 ( x ) 皆为本原多项式， a Z ,
r , s Q.
于是 a f1 ( x ) rsg1 ( x )h1 ( x ).
由定理10， g1 ( x )h1 ( x )本原， 从而有 a rs, 即 rs Z . f ( x ) rsg1 ( x ) h1 ( x ). 得证．
第一章
多项式
§1 数域 §2一元多项式 §3 整除的概念 §4 最大公因式 §5 因 式 分 解 §6 重 因 式 §7 多项式函数 §8 复、实系数多项式 §9 有理系数多项式 §10 多元多项式 §11 对称多项式
多项式 理论是高等数学 研究的基本对象之 一，在整个高等代数 课程中既相对独立，又 贯穿其他章节。换句话 说，多项式理论的讨论 可以不依赖于高等数学 的其他内容而自成体 系，却可为其他章节 的内容提供范例与 理论依据。
令 ai 为 a0 , a1 ,
, an 中第一个不能被 p 整除的数，即 , p | ai 1 , p | ai . , bm 中第一个不能被
p | a1 ,
g ( x ) 本原，令 b j 为 b0 , 同理，
p 整除的数，即
又
p | b0 , p | b1 , ,
, p | b j 1 , p | b j .
成两个次数较低的整系数多项式的乘积．
证： 设整系数多项式 f ( x )有分解式 f ( x ) g ( x )h( x ) 其中 g( x ), h( x ) Q[ x ], 且 g ( x ) , h( x ) f ( x ) . 令 f ( x ) a f1 ( x ), g( x ) r g1 ( x ), h( x ) sh1 ( x )