高等代数 第三版§19 有理系数多项式
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n n1 事实上，设 f ( x ) an x an1 x
a0 ,
则可选取适当整数 c , 使 cf ( x ) 为整系数多项式． 若 cf ( x ) 的各项系数有公因子，就可以提出来，得 d cf ( x ) dg( x ), 也即 f ( x ) g( x ), c 其中 g ( x ) 是整系数多项式，且各项系数没有异于 1 的公因子．
d i j ai b j ai 1b j 1
在这里 p | d i j , p | ai b j , p | ai 1b j 1 , 故 h( x )是本原的．
矛盾．
二、整系数多项式的因式分解
定理11 若一非零的整系数多项式可分解成两
个次数较低的有理系数多项式，则它一定可分解
2. 我们知道，在 C上只有一次多项式才是不可约 多项式； 在 R 上，不可约多项式只有一次多项式与某些 二次多项式； 但在 Q 上有任意次数的不可约多项式．如
x n 2, n Z .
如何判断 Q 上多项式的不可约性呢?
3. 有理系数多项式可归结为整系数多项式的问题．
这是因为任一有理数可表成两个整数的商．
成两个次数较低的整系数多项式的乘积．
证： 设整系数多项式 f ( x )有分解式 f ( x ) g ( x )h( x ) 其中 g( x ), h( x ) Q[ x ], 且 g ( x ) , h( x ) f ( x ) . 令 f ( x ) a f1 ( x ), g( x ) r g1 ( x ), h( x ) sh1 ( x )
令 ai 为 a0 , a1 ,
, an 中第一个不能被 p 整除的数，即 , p | ai 1 , p | ai . , bm 中第一个不能被
p | a1 ,
g ( x ) 本原，令 b j 为 b0 , 同理，
p 整除的数，即
又
p | b0 , p | b1 , ,
, p | b j 1 , p | b j .
a0 , b0
n m 1
g( x ) bm x m bm 1 x m 1
是两个本原多项式．
h( x ) f ( x ) g( x ) d n m x
n m
d n m 1 x
d0
反证法．若 h( x )不是本原的，则存在素数 p, p | d r , r 0,1, , n m . 又 f ( x ) 是本原多项式，所以 p 不能整除 f ( x ) 的 每一个系数．
一、本原多项式 定义
设 g( x ) bn x bn1 x
n n1
b1 x b0 0,
, b1 , b0 没有
bi Z , i 0,1,2,
, n.
若 bn , bn1 ,
异于 1 的公因子，即 bn , bn1 ,
, b1 , b0 是互素的，
则称 g ( x ) 为本原多项式．
a Z , c Q,
f1 ( x ), h1 ( x ) 本原，
于是有，
a f1 ( x ) g( x )ch1 ( x ) cg( x )h1 ( x )
c a, 即 c Z .
h( x ) ch1 ( x ) 为整系数多项式．
n n1 f ( x ) a x a x 定理12 设 n n1
sx r 本原． 由上推论，有 又 r , s 互素，
f ( x ) ( sx r )(bn1 x n1
推论 设 f ( x ), g( x ) 是整系数多项式，且 g ( x )是本原 的，若 f ( x ) g( x )h( x ), h( x ) Q[ x ], 则 h( x )
必为整系数多项式．
证： 令 f ( x ) a f1 ( x ), h( x ) ch1 ( x ),
Higher Algebra
主要内容 一、本原多项式
二、整系数多项式的因式分解
问题的引入
1. 由因式分解定理，作为一个特殊情形：
对 f ( x ) Q[ x ], f ( x ) 1, 则 f ( x ) 可唯一分解
成不可约的有理系数多项式的积. 但是，如何作出它的分解式却很复杂，没有一个 一般的方法.
有关性质
1． f ( x ) Q[ x ], r Q , 使 f ( x ) rg ( x ),
其中 g ( x )为本原多项式．
（除了相差一个正负号外，这种表示法是唯一的）． 2．Gauss引理 定理10 两个本原多项式的积仍是本原多项式．
n n1 f ( x ) a x a x 证： 设 n n1
第一章
多项式
§1 数域 §2一元多项式 §3 整除的概念 §4 最大公因式 §5 因 式 分 解 §6 重 因 式 §7 多项式函数 §8 复、实系数多项式 §9 有理系数多项式 §10 多元多项式 §11 对称多项式
多项式 理论是高等数学 研究的基本对象之 一，在整个高等代数 课程中既相对独立，又 贯穿其他章节。换句话 说，多项式理论的讨论 可以不依赖于高等数学 的其他内容而自成体 系，却可为其他章节 的内容提供范例与 理论依据。
Fra Baidu bibliotek
这里，f1 ( x ), g1 ( x ), h1 ( x ) 皆为本原多项式， a Z ,
r , s Q.
于是 a f1 ( x ) rsg1 ( x )h1 ( x ).
由定理10， g1 ( x )h1 ( x )本原， 从而有 a rs, 即 rs Z . f ( x ) rsg1 ( x ) h1 ( x ). 得证．
a1 x a0
r 是一个整系数多项式，而 s 是它的一个有理根，
其中 r , s 是互素的，则必有
s | an , r | a0 .
r 是 f ( x ) 的有理根， 证： s r ∴ 在有理数域上， ( x ) | f ( x ) , s 从而 ( sx r ) | f ( x ).
a0 ,
则可选取适当整数 c , 使 cf ( x ) 为整系数多项式． 若 cf ( x ) 的各项系数有公因子，就可以提出来，得 d cf ( x ) dg( x ), 也即 f ( x ) g( x ), c 其中 g ( x ) 是整系数多项式，且各项系数没有异于 1 的公因子．
d i j ai b j ai 1b j 1
在这里 p | d i j , p | ai b j , p | ai 1b j 1 , 故 h( x )是本原的．
矛盾．
二、整系数多项式的因式分解
定理11 若一非零的整系数多项式可分解成两
个次数较低的有理系数多项式，则它一定可分解
2. 我们知道，在 C上只有一次多项式才是不可约 多项式； 在 R 上，不可约多项式只有一次多项式与某些 二次多项式； 但在 Q 上有任意次数的不可约多项式．如
x n 2, n Z .
如何判断 Q 上多项式的不可约性呢?
3. 有理系数多项式可归结为整系数多项式的问题．
这是因为任一有理数可表成两个整数的商．
成两个次数较低的整系数多项式的乘积．
证： 设整系数多项式 f ( x )有分解式 f ( x ) g ( x )h( x ) 其中 g( x ), h( x ) Q[ x ], 且 g ( x ) , h( x ) f ( x ) . 令 f ( x ) a f1 ( x ), g( x ) r g1 ( x ), h( x ) sh1 ( x )
令 ai 为 a0 , a1 ,
, an 中第一个不能被 p 整除的数，即 , p | ai 1 , p | ai . , bm 中第一个不能被
p | a1 ,
g ( x ) 本原，令 b j 为 b0 , 同理，
p 整除的数，即
又
p | b0 , p | b1 , ,
, p | b j 1 , p | b j .
a0 , b0
n m 1
g( x ) bm x m bm 1 x m 1
是两个本原多项式．
h( x ) f ( x ) g( x ) d n m x
n m
d n m 1 x
d0
反证法．若 h( x )不是本原的，则存在素数 p, p | d r , r 0,1, , n m . 又 f ( x ) 是本原多项式，所以 p 不能整除 f ( x ) 的 每一个系数．
一、本原多项式 定义
设 g( x ) bn x bn1 x
n n1
b1 x b0 0,
, b1 , b0 没有
bi Z , i 0,1,2,
, n.
若 bn , bn1 ,
异于 1 的公因子，即 bn , bn1 ,
, b1 , b0 是互素的，
则称 g ( x ) 为本原多项式．
a Z , c Q,
f1 ( x ), h1 ( x ) 本原，
于是有，
a f1 ( x ) g( x )ch1 ( x ) cg( x )h1 ( x )
c a, 即 c Z .
h( x ) ch1 ( x ) 为整系数多项式．
n n1 f ( x ) a x a x 定理12 设 n n1
sx r 本原． 由上推论，有 又 r , s 互素，
f ( x ) ( sx r )(bn1 x n1
推论 设 f ( x ), g( x ) 是整系数多项式，且 g ( x )是本原 的，若 f ( x ) g( x )h( x ), h( x ) Q[ x ], 则 h( x )
必为整系数多项式．
证： 令 f ( x ) a f1 ( x ), h( x ) ch1 ( x ),
Higher Algebra
主要内容 一、本原多项式
二、整系数多项式的因式分解
问题的引入
1. 由因式分解定理，作为一个特殊情形：
对 f ( x ) Q[ x ], f ( x ) 1, 则 f ( x ) 可唯一分解
成不可约的有理系数多项式的积. 但是，如何作出它的分解式却很复杂，没有一个 一般的方法.
有关性质
1． f ( x ) Q[ x ], r Q , 使 f ( x ) rg ( x ),
其中 g ( x )为本原多项式．
（除了相差一个正负号外，这种表示法是唯一的）． 2．Gauss引理 定理10 两个本原多项式的积仍是本原多项式．
n n1 f ( x ) a x a x 证： 设 n n1
第一章
多项式
§1 数域 §2一元多项式 §3 整除的概念 §4 最大公因式 §5 因 式 分 解 §6 重 因 式 §7 多项式函数 §8 复、实系数多项式 §9 有理系数多项式 §10 多元多项式 §11 对称多项式
多项式 理论是高等数学 研究的基本对象之 一，在整个高等代数 课程中既相对独立，又 贯穿其他章节。换句话 说，多项式理论的讨论 可以不依赖于高等数学 的其他内容而自成体 系，却可为其他章节 的内容提供范例与 理论依据。
Fra Baidu bibliotek
这里，f1 ( x ), g1 ( x ), h1 ( x ) 皆为本原多项式， a Z ,
r , s Q.
于是 a f1 ( x ) rsg1 ( x )h1 ( x ).
由定理10， g1 ( x )h1 ( x )本原， 从而有 a rs, 即 rs Z . f ( x ) rsg1 ( x ) h1 ( x ). 得证．
a1 x a0
r 是一个整系数多项式，而 s 是它的一个有理根，
其中 r , s 是互素的，则必有
s | an , r | a0 .
r 是 f ( x ) 的有理根， 证： s r ∴ 在有理数域上， ( x ) | f ( x ) , s 从而 ( sx r ) | f ( x ).