(新课标)2020版高考数学总复习第九章第五节椭圆课件文新人教A版

则rr112rr22224ac, 2,
∴2r1r2=(r1+r2)2-(r 12 +r 22 )
=4a2-4c2=4b2,
∴ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱS
PF1F2
=
1 2
r1r2=b2=9,
∴b=3.
◆探究 在本例中增加条件“△PF1F2的周长为18”,其他条件不变,求 该椭圆的方程.
解析 由原题得b2=a2-c2=9,① 由△PF1F2的周长为18得2a+2c=18,② 由①②,解得a=5,c=4,
32
D. y2 + x2 =1
43
答案 D 由题意可设椭圆C的标准方程为 ay22 + bx22 =1(a>b>0),且另一个
焦点为F2(0,-1),
所以2a=|PF1|+|PF2|
=

3 2
2


(1

1)2
+

3 2
2


(1

1)2
=4.
所以a=2,又c=1,
(3) S PF1F2 = 12 |PF1||PF2|·sin θ=c|y0|=b2tan θ2 ,当|y0|=b,即P为短轴端点时,S PF1F2
取最大值,最大值为bc;
(4)焦点三角形的周长为2(a+c).
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”) (1)平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆. (✕) (2)椭圆上一点P与两焦点F1,F2构成的△PF1F2的周长为2a+2c(其中a为 椭圆的长半轴长,c为椭圆的半焦距). ( √ ) (3)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆. ( ✕ )
因为椭圆 x2 + y2 =1的长轴在x轴上,所以10 m 0, 解得6
m 2 10 m
m 2 10 m,
<m<10.因为焦距为4,所以c2=m-2-10+m=4,解得m=8.
命题方向二 椭圆的离心率
典例6 (1)(2018课标全国Ⅱ,11,5分)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是 C上的一点.若PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,则C的离心率为 ( D )
∴a2=9b2=9(a2-c2).
即 ac22 = 89 ,∴e= ac = 2 32 .故选D.
6.若方程 x2 + y2 =1表示椭圆,则k的取值范围是
.
5k k 3
答案 (3,4)∪(4,5)
5 k 0,
解析 由已知得k 3 0, 5 k k 3,
故所求的轨迹方程为 x2 + y2 =1.
64 48
命题方向二 利用定义解决“焦点三角形”问题
典例2 已知F1,F2是椭圆C: ax22 + by22 =1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上的
一点,且 PF1⊥ PF2 .若△PF1F2的面积为9,则b=
.
答案 3
解析 设|PF1|=r1,|PF2|=r2,
以椭圆 ax22 + by22 =1(a>b>0)上一点P(x0,y0)(y0≠0)和焦点F1(-c,0),F2(c,0)为顶
点的△PF1F2中,若∠F1PF2=θ,则 (1)|PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex0(焦半径公式,e为椭圆的离心率),|PF1|+|PF2|=2a;
(2)4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|·cos θ;
1-1 已知圆(x+2)2+y2=36的圆心为M,设A为圆上任一点,N(2,0),线段AN 的垂直平分线交MA于点P,则动点P的轨迹是 ( B ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
答案 B 点P在线段AN的垂直平分线上,故|PA|=|PN|,又AM是圆的半 径,所以|PM|+|PN|=|PM|+|PA|=|AM|=6>|MN|,由椭圆的定义知,P的轨迹是 椭圆.
内切,和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为 ( D )
A. x2 - y2 =1
64 48
C. x2 - y2 =1
48 64
B. y2 + x2 =1
64 48
D. x2 + y2 =1
64 48
答案 (1)A (2)D
解析 (1)连接QA.由已知得|QA|=|QP|. 所以|QO|+|QA|=|QO|+|QP|=|OP|=r. 又因为点A在圆内,所以|OA|<|OP|,根据椭圆的定义,知点Q的轨迹是以O, A为焦点,r为长轴长的椭圆.故选A. (2)设圆M的半径为r, 则|MC1|+|MC2|=(13-r)+(3+r)=16>8=|C1C2|, 所以M的轨迹是以C1,C2为焦点的椭圆, 且2a=16,2c=8,
所以b2=a2-c2=3.
故所求的椭圆C的标准方程为 y2 + x2 =1.故选D.
43
5.(教材习题改编)椭圆C的长轴长是短轴长的3倍,则C的离心率为 ( D )
A. 6 B. 2 C. 3 D. 2 2
3
3
3
3
答案 D 不妨设椭圆C的方程为 ax22 + by22 =1(a>b>0),则2a=2b×3,即a=3b.
45 20
答案 C
解析 由题意可得半焦距c=5,设右焦点为F',由|OP|=|OF|=|OF'|知,∠ PFF'=∠FPO,∠OF'P=∠OPF',∴∠PFF'+∠OF'P=∠FPO+∠OPF',∴∠ FPO+∠OPF'=90°,即PF⊥PF',在Rt△PFF'中,由勾股定理,得|PF'|= | FF ' |2 | PF |2 = 102 62 =8, 由椭圆的定义,得|PF|+|PF'|=2a=6+8=14,从而a=7,a2=49,
第五节 椭 圆
教 1.椭圆的定义
材 2.椭圆的标准方程和几何性质 研 读 3.点P(x0,y0)和椭圆的位置关系
考点一 椭圆定义的应用
考 点 考点二 椭圆的标准方程 突 考点三 椭圆的几何性质 破 考点四 直线与椭圆的位置关系
教材研读
1.椭圆的定义
平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹 叫做① 椭圆 .这两个定点叫做椭圆的② 焦点 ,两焦点间的距离 叫做椭圆的③ 焦距 . 集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数. (1)若④ a>c ,则集合P表示椭圆;(2)若⑤ a=c ,则集合P表示线段; (3)若⑥ a<c ,则集合P为空集.
答案 C 解析 如图所示,因为两个圆心恰好是椭圆的焦点,由椭圆的定义可知| PF1|+|PF2|=10,易知|PM|+|PN|=(|PM|+|MF1|)+(|PN|+|NF2|)-2,则其最小值为| PF1|+|PF2|-2=8,最大值为|PF1|+|PF2|+2=12.
规律总结 椭圆定义的应用 椭圆定义的应用主要有两个方面:一是利用定义求椭圆的标准方程;二 是利用定义求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和椭圆的离心率 等.
A.1- 3 2
B.2- 3
C. 3 1 2
D. 3 -1
(2)过椭圆C: ax22 + by22 =1(a>b>0)的右焦点作x轴的垂线,交C于A,B两点,直
线l过C的左焦点和上顶点.若以AB为直径的圆与l存在公共点,则C的离
=2,∴C的方程为 x2 + y2 =1.
32
1-3 已知F是椭圆5x2+9y2=45的左焦点,P是此椭圆上的动点,A(1,1)是一
定点,则|PA|+|PF|的最大值为
,最小值为
.
答案 6+ 2 ;6- 2
解析 椭圆方程化为 x2 + y2 =1,
95
设F1是椭圆的右焦点,则F1(2,0), ∴|AF1|= 2,∴|PA|+|PF|=|PA|-|PF1|+6, 又-|AF1|≤|PA|-|PF1|≤|AF1|(当P,A,F1共线时等号成立), ∴|PA|+|PF|≤6+ 2,|PA|+|PF|≥6- 2.
椭圆的标准方程
典例4 (2019湖北黄冈模拟)如图,已知椭圆C的中心为原点O,F(-5,0)为 C的左焦点,P为C上一点,满足|OP|=|OF|且|PF|=6,则椭圆C的方程为( )
A. x2 + y2 =1
36 16
B. x2 + y2 =1 C. x2 + y2 =1
40 15
49 24
D. x2 + y2 =1
2.椭圆的标准方程和几何性质
3.点P(x0,y0)和椭圆的位置关系
(1)P(x0,y0)在椭圆内⇔ ax022 + by022 <1; (2)P(x0,y0)在椭圆上⇔ ax022 + by022 =1; (3)P(x0,y0)在椭圆外⇔ ax022 + by022 >1.
知识拓展 与椭圆的焦点三角形相关的结论(含焦半径公式) 椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形.解决焦点三角 形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理.
则 36mm

2nn1,1,解得mn 119.,
3
∴所求椭圆的方程为 x2 + y2 =1.
93
椭圆的几何性质
命题方向一 求椭圆的长轴长、短轴长和焦距
典例5 已知椭圆 x2 + y2 =1的长轴在x轴上,焦距为4,则m=
m 2 10 m
.
答案 8
解析
m 2 0,
2.(教材习题改编)若F1(-3,0),F2(3,0),点P到F1,F2距离之和为10,则P点的轨 迹方程是 ( A )
A. x2 + y2 =1
25 16
C. y2 + x2 =1
25 16
B. x2 + y2 =1
100 9
D. x2 + y2 =1或 y2 + x2 =1
25 16
25 16
解得3<k<5且k≠4.
考点突破
椭圆定义的应用
命题方向一 利用定义求轨迹方程 典例1 (1)如图,圆O的半径为定长r,A是圆O内一个定点,P是圆上任意
一点,线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q,当点P在圆上运动时,
点Q的轨迹是 ( A )
A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆
(2)已知两圆C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9,动圆在圆C1内部且和圆C1相
故椭圆方程为 x2 + y2 =1.
25 9
命题方向三 利用定义求最值
x2 y2
典例3 设P是椭圆 25 + 9 =1上一点,M,N分别是两圆:(x+4)2+y2=1和(x-4)2
+y2=1上的点,则|PM|+|PN|的最小值、最大值分别为 ( )
A.9,12 B.8,11
C.8,12 D.10,12
答案 A 设点P的坐标为(x,y),因为|PF1|+|PF2|=10>|F1F2|=6,所以点P的 轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,其中a=5,c=3,b= a2 c2 =4,故点P的轨迹方
程为 x2 + y2 =1.故选A.
25 16
3.(2015广东,8,5分)已知椭圆 2x52 + my22 =1(m>0)的左焦点为F1(-4,0),则m=
1-2 已知椭圆C: ax22 + by22 =1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为 33 ,
过F2的直线l交C于A、B两点.若△AF1B的周长为4 3,则C的方程为
.
答案 x2 + y2 =1
32
解析 由题意及椭圆的定义知4a=4 3,则a= 3,又 c = c = 3 ,∴c=1,∴b2 a 33
(B) A.2 B.3 C.4 D.9
答案 B 依题意有25-m2=16,∵m>0,∴m=3.故选B.
4.(教材习题改编)一个焦点为F1(0,1),并且经过点P 32 ,1的椭圆C的标准
方程为 ( D )
A. x2 + y2 =1
43
C. x2 + y2 =1
32
B. y2 + x2 =1
(4)方程mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)表示的曲线是椭圆. ( √ )
(5) ay22 + bx22 =1(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆. ( ✕ ) (6) ax22 + by22 =1(a>b>0)与 ay22 + bx22 =1(a>b>0)的焦距相等. ( √ )
答案 (1)✕ (2)√ (3)✕ (4)√ (5)✕ (6)√
于是b2=a2-c2=49-52=24,∴椭圆C的方程为 x2 + y2 =1,故选C.
49 24
2-1 已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点P1( 6,1),P
2(- 3,- 2 ),则该椭圆的方程为
.
答案 x2 + y2 =1
93
解析 设椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0且m≠n). ∵椭圆经过点P1、P2, ∴点P1、P2的坐标符合椭圆方程,