4.3 曲线的凸性及拐点 函数作图
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函数的凸性与拐点
f ( x1 (1 ) x3 ) f ( x1 ) (1 ) f ( x3 ),
所以 f 为 I 上的凸函数.
同理可证 f 为 I 上的凸函数的充要条件是：对于
I 中的任意三点 x1 x2 x3 , 有
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x3 ) f ( x1 ) f ( x3 ) f ( x2 ) . (4) x2 x1 x3 x1 x3 x2
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定理 6.13 设 f 为区间 I 上的可导函数, 则下述 论断互相等价：
(i) f ( x ) 为 I 上的凸函数 ; (ii) f ( x ) 为 I 上的增函数 ;
(iii) 对于 I 上的任意两点 x1 , x2 , 有
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x1 )( x2 x1 ).
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将(6)式乘以， (7) 式乘以(1 )作和，并注意到
x1 (1 ) x2 x0 0, 故
f ( x0 ) f ( x1 (1 ) x2 ) f ( x1 ) (1 ) f ( x2 ).
我们在这里再一次强调，
f ( x0 h ) f ( x 0 ) 令 F ( h) , 则 F ( h) 在 (0, b x0 ) h
上递增. 取 x (a, b), x x0 , 由引理又得
f ( x0 ) f ( x ) f ( x 0 h) f ( x 0 ) , h (0, b x0 ). x0 x h
y
B
函数 f 是凸函数的几何意
义是:曲线 y = f (x) 的弦位 于相应曲线段的上方;而它 的切线位于曲线的下方.
高等数学第七节 曲线的凹凸及拐点 函数作图
的凹凸与拐点，了解函数作图的基本方法.
2、本节重点、难点 重点：曲线凹凸的判定. 难点：曲线凹凸的判定.
3、本节知识结构
曲 线 的函 凹数 凸作 及图 拐 点
曲线的凹凸 及拐点
函数作图
凹凸、拐点的定义 定理（凹凸性定理）
水平渐近线、 垂直渐近线 作图步骤
当 x0时 ,y0,曲线是 ; 凸的
当 x0时 ,y0,曲线是 , 凹的
所( 以 ,0 )为凸 ,(0, 区 )为 间 凹 . 区间
因x为 0时不在,所 定以 义曲 域.线 内无
二、函数作图 作函数的,图 大形 致应遵循以:下步骤 (1)初步 :如 研 讨 究 论 ,对定 称 ,周 义 性 期 ,等 域 ;性 等
地掌握其形状.
图321,函 y f ( x 数 ) 的 A 段 B y g ( x 与 ) 的 C 段 ,它 D
都是,但 递 A段 B 增是 的凸 ,C段 D 的是 递凹 ,增的
因此还需要判断曲的线凹的凸 .
y
B
D
图321
yf(x)
A
C
o
yg(x)
x
从图 322中可以,看到 当x增大,曲 时线上对应点 斜处 率的 递 (左 切 减 图 )线 , 则曲线是凸的;
f ( x) s i nx 的渐近线？ x
思考题解答
limsinx0 x x
y 0 是 其 图 象 的 渐 近 线 .
y sin x x
limsinx1 x0 x
x 0 不 是 其 图 象 的 渐 近 线 .
三、小结
1、本节基本要求 理解曲线凹凸与拐点的概念，会求较简单曲线
当x增大,曲 时线上对应点 斜处 率的 递 (右 切 增 图 )线 ,
2、本节重点、难点 重点：曲线凹凸的判定. 难点：曲线凹凸的判定.
3、本节知识结构
曲 线 的函 凹数 凸作 及图 拐 点
曲线的凹凸 及拐点
函数作图
凹凸、拐点的定义 定理（凹凸性定理）
水平渐近线、 垂直渐近线 作图步骤
当 x0时 ,y0,曲线是 ; 凸的
当 x0时 ,y0,曲线是 , 凹的
所( 以 ,0 )为凸 ,(0, 区 )为 间 凹 . 区间
因x为 0时不在,所 定以 义曲 域.线 内无
二、函数作图 作函数的,图 大形 致应遵循以:下步骤 (1)初步 :如 研 讨 究 论 ,对定 称 ,周 义 性 期 ,等 域 ;性 等
地掌握其形状.
图321,函 y f ( x 数 ) 的 A 段 B y g ( x 与 ) 的 C 段 ,它 D
都是,但 递 A段 B 增是 的凸 ,C段 D 的是 递凹 ,增的
因此还需要判断曲的线凹的凸 .
y
B
D
图321
yf(x)
A
C
o
yg(x)
x
从图 322中可以,看到 当x增大,曲 时线上对应点 斜处 率的 递 (左 切 减 图 )线 , 则曲线是凸的;
f ( x) s i nx 的渐近线？ x
思考题解答
limsinx0 x x
y 0 是 其 图 象 的 渐 近 线 .
y sin x x
limsinx1 x0 x
x 0 不 是 其 图 象 的 渐 近 线 .
三、小结
1、本节基本要求 理解曲线凹凸与拐点的概念，会求较简单曲线
当x增大,曲 时线上对应点 斜处 率的 递 (右 切 增 图 )线 ,
曲线的凹凸性与拐点及图象
注意:若 f ( x0 ) 不存在,点 ( x0 , f ( x0 )) 也可能
是连续曲线 y f ( x)的拐点.
练习：讨论曲线 y (x 1)3 x5 的凹凸性与拐点.
解 函数的定义域为 (,) ．
由于
y
x
8 3
5
x3
，
y
8 3
5
x3
5 3
2
x3
,
y
40 9
x
2 3
10 9
1
x3
10 9
4x
3
练习: 作函数 (x)
1
x2
e2
的图形.
2
解 D : (,), W : 0 ( x) 1 0.4.
2
偶函数,图形关于y轴对称.
( x)
x
x2
e 2,
(
x)
(
x
1)(
x
1)
e
x2 2
.
2
2
令 ( x) 0, 得驻点 x 0,
令 ( x) 0, 得特殊点 x 1, x 1.
例3 作函数 f ( x) x3 x2 x 1 的图形.
解 D : (,), 无奇偶性及周期性.
f ( x) (3x 1)( x 1), f ( x) 2(3x 1). 令 f ( x) 0, 得驻点 x 1 , x 1.
3 令 f ( x) 0, 得特殊点 x 1 .
x (,3) 3 (3,2) 2 (2,0) 0 (0,)
f ( x)
0 不存在
f (x)
0
f (x)
拐点
(3, 26) 9
极值点
3
间 断 点
补充点 : (1 3,0), (1 3,0);
是连续曲线 y f ( x)的拐点.
练习：讨论曲线 y (x 1)3 x5 的凹凸性与拐点.
解 函数的定义域为 (,) ．
由于
y
x
8 3
5
x3
，
y
8 3
5
x3
5 3
2
x3
,
y
40 9
x
2 3
10 9
1
x3
10 9
4x
3
练习: 作函数 (x)
1
x2
e2
的图形.
2
解 D : (,), W : 0 ( x) 1 0.4.
2
偶函数,图形关于y轴对称.
( x)
x
x2
e 2,
(
x)
(
x
1)(
x
1)
e
x2 2
.
2
2
令 ( x) 0, 得驻点 x 0,
令 ( x) 0, 得特殊点 x 1, x 1.
例3 作函数 f ( x) x3 x2 x 1 的图形.
解 D : (,), 无奇偶性及周期性.
f ( x) (3x 1)( x 1), f ( x) 2(3x 1). 令 f ( x) 0, 得驻点 x 1 , x 1.
3 令 f ( x) 0, 得特殊点 x 1 .
x (,3) 3 (3,2) 2 (2,0) 0 (0,)
f ( x)
0 不存在
f (x)
0
f (x)
拐点
(3, 26) 9
极值点
3
间 断 点
补充点 : (1 3,0), (1 3,0);
4.3 曲线的凸性及拐点 函数作图
2
y 2xe x 。令 y ' 0, 得驻点x 0.
x
y (,0)
2
x=0 0 极 大 值 点
(0,)
概 率 论 中 的 正 态 分 布 图
+
-
图形
极大值为 e 0 1
y 2(2x 1)e
2
x2
形
令 y 0, 得x
1 2
表 JX-2
教学难点 解决措施 教学设计 教学手段 教学方法
多媒体教学、板书演示
一、复习 二、新授 4.3 曲线的凸性及拐点 函数作图
（一）函数拐点以及凹凸区间的定义 （二）函数凹凸性的判定方法及拐点定理 （三）函数草图的做法并了解一般的作图步骤
板书设计 授课提纲
三、练习 四、小结 五、作业
表 JX-2
教
【复习提问】
例 5 作函错误！未找到引用源。 的图形. 解 定义域为错误！未找到引用源。,图形对称 y 轴。 错误！未找到引用源。 . 在定义域内无驻点，也没有极值点。 x 图形 无定义 +
表 JX-2
教
案
纸
第 页
教 学 过 程 设 计 错误！未找到引用源。 . 无错误！未找到引用源。的点，无拐点。在错误！未找到 引用源。及错误！未找到引用源。 内错误！未找到引用 源。 ,图形是凸的。又 错误！未找到引用源。 . 所以有垂直渐近线错误！未找到引用源。 (左侧)，错误！ 未找到引用源。 （右侧） 当错误！未找到引用源。 时，错误！未找到引用源。 。 根据以上讨论可大致作出其图形（图 4.19） 。
时间 分配
教师 活动
学生 活动
0
x
【课堂小结】
1.函数的凹凸性及其判别方法,拐点及其求法； 2.曲线的渐近线； 3.函数图形的作法.
函数凹凸性
2) 根据拐点的定义, 可得拐点的判别法如下:
若曲线
或不存在,
但 f (x) 在 x0 两侧异号, 则点(x0 , f (x0 )) 是曲线
的一个拐点.
求拐点的步骤见教材P162.
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例4. 求曲线
的上（下）凸区间及拐点.
解: 1) 求 y
y 12x3 12x2,
36x(x 32)
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(2) 若恒有
则称
图形是上凸的; 或称f (x)为I上的上凸函数。
弦在弧的下方；切线在曲线的上方。
下凸也称为凸，上凸也称为凹。 y
o
x1 x1 x2 x2 x
2
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等价定义：
定义1´：设函数 在区间 I 上连续 ,
(1) 若恒有
则称
f (1) f (0) f ( ) (0 1)
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作业
P168 1（3，6）；2 ; 3； 5（1，3） 6（3，4）；7（2）
第七节 目录 上页 下页 返回 结束
例如, 双曲线
L PN
o
x
有渐近线
x y0
y
ab
但抛物线
无渐近线 .
ox
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1. 水平与铅直渐近线
若
则曲线
有水平渐近线 y b.
(或x )
若
则曲线
有垂直渐近线 x x0 .
(或x x0 )
例1. 求曲线
的渐近线 .
解: lim ( 1 2) 2
2
x x 1
证明：
令
曲线的凹凸性和拐点和图象课件公开课获奖课件
令 ( x) 0, 得特殊点 x 1, x 1.
lim ( x) lim
1
x2
e 2 0,
x
x 2
得水平渐近线 y 0.
第19页
列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:
x (,1) 1 (1,0) 0 (0,1) 1 (1,)
( x)
0
( x) ( x)
0
拐点
(1, 1 ) 2e
f (x ) 1
f
(
x 2
)
,
那末称
f (x)
2
2
在 I 上的图形是（向上）凸的（或凸弧）．
第4页
y
y f (x) B
y y f (x)
B
A
oa
bx
f (x) 递增 y 0
A oa
f ( x) 递减
bx
y 0
定理2 如果 f (x) 在 [a,b] 上连续,在 (a,b)内具有 一阶和二阶导数 ,若在 (a,b)内 (1) f (x) 0,则 f (x) 在 [a,b] 上的图形是凹的 ; (2) f (x) 0,则 f (x) 在 [a,b] 上的图形是凸的 .
4x
3
1 x
．
令 y 0 ,
得
x
1 4
，又当
x
0
时，y
不存在．列表考察 y 的符号：
第11页
x (,0) ０
y
＋
不存在
(0, 1 ) 4
－
1
(1 ,)
4
4
０
＋
曲线y ︶
拐点
⌒
拐点
︶
由上表可知,
曲线在
(,0)
高等数学第四章 第三节、曲线的凸性及拐点 函数作图
§3. 曲线的凸性 拐点 函数作图
第二十一讲
一、凸性及拐点
y
1、两条
曲 线都 是上升的， 但上升的 情况不同
D
B
2、AB是
向上凸而 上升 CD是向下 凸而上升
A C O
3、因而
有必要区 分图形是 向上凸还 是向下凸
x
y
C D B
A O x
图形是向上凸时，当x增大时，切线的斜率是减少的 图形是向下凸时，当x增大时，切线的斜率是增大的
1
1
讨论渐近线： lim e
x
x 2
0, 故有水平渐近线 y 0.
y
y e
拐点
x2
o
拐点
x
例5 作函数y ln(x 1)的图形。
2
解：函数的定义域 (， 1） (1,)， 并且知是偶函数，则图 形关于y轴对称； - 2x y 2 x 1 得无驻点 ,
2 2 x -1
lim ln(x 2 1) 故有垂直渐近线 x 1, x 1. 当x 2时，y 0.
y
x 1
x 1
y ln(x 1)
2
2
o
2
x
x y 1 x2
o
x
例4 作函数y e 的图形。 解：函数的定义域 (， ）， 并且知是偶函数，则图 形关于y轴对称； 且y 0, 所以图形在x轴上方； y -2xe 得驻点x 0.它把定义域分成量段：
x 2
x2
X
(,0)
＋
x0
０ 极大值点(0,Fra bibliotek)定理一、 若f ( x ) 0, x (a , b), 则曲线y f ( x )在(a , b)内是凹的； 若f ( x ) 0, x (a , b), 则曲线y f ( x )在(a , b)内是凸的；
第二十一讲
一、凸性及拐点
y
1、两条
曲 线都 是上升的， 但上升的 情况不同
D
B
2、AB是
向上凸而 上升 CD是向下 凸而上升
A C O
3、因而
有必要区 分图形是 向上凸还 是向下凸
x
y
C D B
A O x
图形是向上凸时，当x增大时，切线的斜率是减少的 图形是向下凸时，当x增大时，切线的斜率是增大的
1
1
讨论渐近线： lim e
x
x 2
0, 故有水平渐近线 y 0.
y
y e
拐点
x2
o
拐点
x
例5 作函数y ln(x 1)的图形。
2
解：函数的定义域 (， 1） (1,)， 并且知是偶函数，则图 形关于y轴对称； - 2x y 2 x 1 得无驻点 ,
2 2 x -1
lim ln(x 2 1) 故有垂直渐近线 x 1, x 1. 当x 2时，y 0.
y
x 1
x 1
y ln(x 1)
2
2
o
2
x
x y 1 x2
o
x
例4 作函数y e 的图形。 解：函数的定义域 (， ）， 并且知是偶函数，则图 形关于y轴对称； 且y 0, 所以图形在x轴上方； y -2xe 得驻点x 0.它把定义域分成量段：
x 2
x2
X
(,0)
＋
x0
０ 极大值点(0,Fra bibliotek)定理一、 若f ( x ) 0, x (a , b), 则曲线y f ( x )在(a , b)内是凹的； 若f ( x ) 0, x (a , b), 则曲线y f ( x )在(a , b)内是凸的；
曲线的凹凸性与拐点 函数图形的描绘
是拐点，否则就不是．
例2 求曲线 f (x) = x3 - 6x2 + 9x + 1 的凹凸区 间与拐点．
解 (1) 定义域为( , ). (2) f (x) = 3x2 - 12x + 9，f (x) = 6x - 12 = 6(x - 2 )， 令 f (x) = 0，得 x = 2. (3)当 x ( , 2) 时， (x) < 0，此区间为凸区间． f 当 x (2, + ) 时， (x) > 0，此区间是凹区间. f
此时曲线是凹的 .
定义
连续曲线y=f(x)上凹的曲线弧与凸的曲
线弧的分界点，称为曲线 y=f(x)的拐点． 分析：由上述定理可知，通过 f ( x )的符号可 以判断曲线的凹凸. 如果 f ( x )连续，那么当 f ( x )的符号由正变负或由负 变正时，必定有
一点x0，使f x0 0. 这样，点 x0 , f ( x0 )) (
( 2) 如果在(a , b)内，f ( x ) 0，则曲线在 a , b )内 ( 是凸的.
（证明从略）
例1 判断曲线 y=x3 的凹凸性． 解 因为y 3 x 2，y 6 x，所以
当x (, 0)时，y 0，
此时曲线是凸的 ;
当x ( 0, )时，y 0，
数，其图形关于原点对称．
令f (x) = 0，得 x1= -1， x2= 1,
令f (x)=0，得x=0. （3）列表讨论如下：
x f (x) f (x) f (x)
(, 1) + -
1 0 极大值 f (-1)=2
(1, 0) -
0 0 拐点 (0,0)
(0, 1) +
《曲线的凹凸与拐点》课件
《曲线的凹凸与拐点》ppt课件
contents
目录
• 曲线凹凸的定义与性质 • 判断曲线凹凸的方法 • 曲线的拐点及其性质 • 曲线凹凸与拐点的应用 • 总结与思考
01
曲线凹凸的定义与性质
凹凸的定义
凹函数
对于曲线上的任意两点$x_1$和 $x_2$（$x_1 < x_2$），如果函 数值$f(x_1) > f(x_2)$，则称该函 数为凹函数。
通过学习更多的函数曲线，加深对 凹凸性和拐点的理解。
探索应用领域
了解曲线凹凸性和拐点在实际问题 中的应用，如物理学、工程学等。
对实际应用的展望
工程设计
在工程设计中，了解曲线的凹凸 性和拐点有助于优化设计，如桥 梁、建筑等结构的稳定性分析。
数据分析
在数据分析中，可以利用曲线凹 凸性和拐点的知识，对数据进行
凸函数
对于曲线上的任意两点$x_1$和 $x_2$（$x_1 < x_2$），如果函 数值$f(x_1) < f(x_2)$，则称该函 数为凸函数。
凹凸的性质
01
凹函数的图像呈下凹状，凸函数 的图像呈上凸状。
02
在凹函数中，中点的函数值小于 两端点的函数值；在凸函数中， 中点的函数值大于两端点的函数 值。
凸函数的定义
对于函数$f(x)$在区间$[a,b]$上，如果对任意$x_1, x_2$（$x_1 < x_2$）都有 $f(x_1) - f(x_2) > frac{f(x_1) + f(x_2)}{2} (x_1 - x_2)$，则称$f(x)$在区间 $[a,b]$上为凸函数。
凹凸的判断方法
计算二阶导数
拐点的连续性判定
若函数在拐点处的一阶导 数存在且二阶导数改变符 号，则该点为拐点的充分 必要条件是该点连续。
contents
目录
• 曲线凹凸的定义与性质 • 判断曲线凹凸的方法 • 曲线的拐点及其性质 • 曲线凹凸与拐点的应用 • 总结与思考
01
曲线凹凸的定义与性质
凹凸的定义
凹函数
对于曲线上的任意两点$x_1$和 $x_2$（$x_1 < x_2$），如果函 数值$f(x_1) > f(x_2)$，则称该函 数为凹函数。
通过学习更多的函数曲线，加深对 凹凸性和拐点的理解。
探索应用领域
了解曲线凹凸性和拐点在实际问题 中的应用，如物理学、工程学等。
对实际应用的展望
工程设计
在工程设计中，了解曲线的凹凸 性和拐点有助于优化设计，如桥 梁、建筑等结构的稳定性分析。
数据分析
在数据分析中，可以利用曲线凹 凸性和拐点的知识，对数据进行
凸函数
对于曲线上的任意两点$x_1$和 $x_2$（$x_1 < x_2$），如果函 数值$f(x_1) < f(x_2)$，则称该函 数为凸函数。
凹凸的性质
01
凹函数的图像呈下凹状，凸函数 的图像呈上凸状。
02
在凹函数中，中点的函数值小于 两端点的函数值；在凸函数中， 中点的函数值大于两端点的函数 值。
凸函数的定义
对于函数$f(x)$在区间$[a,b]$上，如果对任意$x_1, x_2$（$x_1 < x_2$）都有 $f(x_1) - f(x_2) > frac{f(x_1) + f(x_2)}{2} (x_1 - x_2)$，则称$f(x)$在区间 $[a,b]$上为凸函数。
凹凸的判断方法
计算二阶导数
拐点的连续性判定
若函数在拐点处的一阶导 数存在且二阶导数改变符 号，则该点为拐点的充分 必要条件是该点连续。
曲线的凹凸性与拐点函数图形的描绘
f (x) = 6x - 12 = 6(x - 2 )， 令 f (x) = 0，可得 x = 2.
当 x ( , 2) 时，f (x) < 0，此区间是凸区间． 当 x (2, + ) 时，f (x) > 0， 此区间是凹区间．
当 x = 2 时， f (x) = 0，因 f (x) 在 x = 2 的两 侧变号，而 f (2) = 3， 所以 (2, 3)是该曲线的拐点.
第四模块 微积分学的应用
第六节 曲线的凹凸性与拐点 函数图形的描绘
一、曲线的凹凸性与拐点
二、函数图形的描绘
一、曲线的凹凸性与拐点
y
y
B
D
A C
A
C
B
D
O x1 x2
x3 x4
xO
x1 x2
x3 x4
x
(a)
(b)
如图所示，凡呈凸形的弧段，当自变量 x 由 x1
增大到 x2 时， 其上的切线斜率是递减的(如图(a)左，
x x0
x x0
或 lim x x0
f (x) ,
则称直线
x = x0 为曲线 y = f (x) 的
垂直渐近线.
例如， 对于曲线 y = ln x 来说， 因为
lim ln x ，
y
x0
所以直线 x = 0+ 即 y
轴为 y = ln x 曲线的
O
垂直渐近线.
y = ln x x
又如, 对于曲线 y 1 来说, 因为lim 1 ,
二、函数图形的描绘
1.曲线的水平渐近线和垂直渐近线
定义 3 若曲线 y = f (x) 上 的 动 点 y
M(x, y) 沿着曲线无限
4.3.3函数的凸性
五 、试 证 明 曲 线 y 上 .
x 1 x
2
1
有三个拐点位于同一直线
六 、 问 a 及 b 为 何 值 时 ， 点 ( 1 , 3 ) 为 曲 线 y ax 的拐点？ 七 、试 决 定 y k(x
2 2 3) 中 k
3
bx
2
的 值 ,使 曲 线 的 拐 点 处
的法线通过原点 .
思考题解答
因 为 f ( x 0 ) 0 只 是 ( x 0 , f ( x 0 )) 为 拐 点 的必要条件，
故 ( x 0 , f ( x 0 )) 不 一 定 是 拐 点 .
例 f (x) x4
x ( , )
f ( 0 ) 0
但 ( 0 ,0 ) 并 不 是 曲 线 f ( x ) 的 拐 点 .
1 2 则得
y=f (x)凹
f ( x1 ) f ( x 2 ) x1 x 2 f 2 2
例 4 . 1 . 13 证明 x ln x y ln y ( x y ) ln 其中 x 0 , y 0 , x y
x y 2
,
证明 : 令 f ( t ) t ln t , ( t 0 )
f ( x ) 在 x 0 取得极值
,
, 由可导函数取得极值的
条件 ,
f ( x ) 0 .
方法1:
设函数 f ( x ) 在 x 0的邻域内二阶可导
,
且 f ( x 0 ) 0 ,
( 1 ) x 0 两近旁 f ( x ) 变号 , 点 ( x 0 , f ( x 0 )) 即为拐点 ; ( 2 ) x 0 两近旁 f ( x ) 不变号 , 点 ( x 0 , f ( x 0 )) 不是拐点 .
微积分4.4曲线的凹凸性、拐点与渐近线
点和阶导数不存在的点; (3) 用(2)中求出的点将函数定义域分成若干个部分区间,
在各个部分区间内讨论二阶导数的符号, 确定曲线是否存在 拐点, 若在拐点, 求出拐点.
例2 判断曲线 y(x1)3 x5 的凸性, 并求其拐点. 解 定 义 域 为 (- ,)
15
而 y 8x5 3 5x2 3, y 10 4 x 1
x -
x
其 中 a 和 b 为 常 数 ,且 a 0 ,则称直线 y = ax + b为曲线
y =ƒ(x) 的斜渐近线. (如图)
y
αM˘•
•
Q
y=ƒ(x)
•
L:y=ax+b
o »α
x
22
分析: 如果曲线 y =ƒ(x)有斜渐近线 y = ax + b, 则由定义知,
必有
lim[f(x)ax]b 或lim [f(x)ax]b
f (x0) 0 或 f ( x0 )不存在.
但是, 若f (x0) 0或 f ( x0 )不存在时, 曲线 y f (x)
上的点 (x0, f (x0))不一定是拐点, 还必须用下面的定理判断.
13
定理4.4.3 (拐点存在的充分条件) 设函数 y = ƒ(x)在 x0 的某邻域内二阶可导 (f(x0)可 以 不 存 在 ),且f(x0)0 或 f(x0)不 存 在 ,
从而, 当 f ( x ) 存在时, 则可用二阶导数的符号来判别
曲线的凹凸性.
6
定理4.4.1 设函数 y = ƒ(x)在 I 内有二阶导数, 则
(1 ) x (a ,b ),均 有 f(x ) 0 , yf(x )在 (a ,b )上 是 凹 的 ；
(2 ) x (a ,b ),均 有 f(x ) 0 , yf(x )在 (a ,b )上 是 凸 的 .
在各个部分区间内讨论二阶导数的符号, 确定曲线是否存在 拐点, 若在拐点, 求出拐点.
例2 判断曲线 y(x1)3 x5 的凸性, 并求其拐点. 解 定 义 域 为 (- ,)
15
而 y 8x5 3 5x2 3, y 10 4 x 1
x -
x
其 中 a 和 b 为 常 数 ,且 a 0 ,则称直线 y = ax + b为曲线
y =ƒ(x) 的斜渐近线. (如图)
y
αM˘•
•
Q
y=ƒ(x)
•
L:y=ax+b
o »α
x
22
分析: 如果曲线 y =ƒ(x)有斜渐近线 y = ax + b, 则由定义知,
必有
lim[f(x)ax]b 或lim [f(x)ax]b
f (x0) 0 或 f ( x0 )不存在.
但是, 若f (x0) 0或 f ( x0 )不存在时, 曲线 y f (x)
上的点 (x0, f (x0))不一定是拐点, 还必须用下面的定理判断.
13
定理4.4.3 (拐点存在的充分条件) 设函数 y = ƒ(x)在 x0 的某邻域内二阶可导 (f(x0)可 以 不 存 在 ),且f(x0)0 或 f(x0)不 存 在 ,
从而, 当 f ( x ) 存在时, 则可用二阶导数的符号来判别
曲线的凹凸性.
6
定理4.4.1 设函数 y = ƒ(x)在 I 内有二阶导数, 则
(1 ) x (a ,b ),均 有 f(x ) 0 , yf(x )在 (a ,b )上 是 凹 的 ；
(2 ) x (a ,b ),均 有 f(x ) 0 , yf(x )在 (a ,b )上 是 凸 的 .
高数第三章第四节 曲线的凹凸和拐点、作图
x 0
x 0 是曲线 y ln x 的垂直渐近线.
O
y ln x
1
x
22
例4 解
求曲线
y
1 x 1
的渐近线
1 lim 0 x x 1
所以y=0为曲线的水平渐近线
1 lim x 1 x 1
所以x=1为曲线的铅直渐近线
23
斜渐近线
设曲线 y f (x) ，
6
◆凹凸弧的判别定理
定理 设函数 f ( x) 在区间 (a, b) 上具有二阶导数 f ( x) ，则在
该区间上：
（1）当 f ( x) 0 时，曲线弧 y f ( x) 是向上凹的； （2）当 f ( x) 0 时，曲线弧 y f ( x) 是向上凸的。
y
f ( x) 0 f ( x) 0
中学就会求了.
17
水平渐近线 曲 线 的 渐 近 线
铅直渐近线
斜渐近线
18
y
1 y x
O
x
1 lim 0 , 水平渐近线 y 0 . x x
1 lim , 垂直渐近线 x 0 . x 0 x
19
水平渐近线
若 lim f ( x) b , 则曲线 f ( x) 有一条水平渐近线 y b .
2x 因为 y (1 x 2 ) 2
令 y 0 得
1 3 x 3 3
3 3 所以，曲线在 ( , ) 及 ( , ) 内是向上凹的，在 3 3 3 3 及 3 3 。 3 3 内是向上凸的，有拐点 ( , ) ( , ) ( , ) 3 4 3 4 3 3
11
判别拐点的充分条件 定理
ˆ 设 f ( x) C ( I ) , f ( x) 在 U( x0 ) ( x0 I ) 内二阶可导.
x 0 是曲线 y ln x 的垂直渐近线.
O
y ln x
1
x
22
例4 解
求曲线
y
1 x 1
的渐近线
1 lim 0 x x 1
所以y=0为曲线的水平渐近线
1 lim x 1 x 1
所以x=1为曲线的铅直渐近线
23
斜渐近线
设曲线 y f (x) ，
6
◆凹凸弧的判别定理
定理 设函数 f ( x) 在区间 (a, b) 上具有二阶导数 f ( x) ，则在
该区间上：
（1）当 f ( x) 0 时，曲线弧 y f ( x) 是向上凹的； （2）当 f ( x) 0 时，曲线弧 y f ( x) 是向上凸的。
y
f ( x) 0 f ( x) 0
中学就会求了.
17
水平渐近线 曲 线 的 渐 近 线
铅直渐近线
斜渐近线
18
y
1 y x
O
x
1 lim 0 , 水平渐近线 y 0 . x x
1 lim , 垂直渐近线 x 0 . x 0 x
19
水平渐近线
若 lim f ( x) b , 则曲线 f ( x) 有一条水平渐近线 y b .
2x 因为 y (1 x 2 ) 2
令 y 0 得
1 3 x 3 3
3 3 所以，曲线在 ( , ) 及 ( , ) 内是向上凹的，在 3 3 3 3 及 3 3 。 3 3 内是向上凸的，有拐点 ( , ) ( , ) ( , ) 3 4 3 4 3 3
11
判别拐点的充分条件 定理
ˆ 设 f ( x) C ( I ) , f ( x) 在 U( x0 ) ( x0 I ) 内二阶可导.
曲线的凹凸性与拐点、函数作图_高等数学_[共5页]
![曲线的凹凸性与拐点、函数作图_高等数学_[共5页]](https://img.taocdn.com/s3/m/efab94d7bed5b9f3f80f1c8d.png)
此例若化为 00 型,显然,计算过程复杂多了,甚至无法求解,这类问题的处理,要结合题目的特点进行.例11 l i m x ң01s i n x -1x æèçöø÷.解:这是 ɕ-ɕ 型,可先通分,化为 00 型求解.l i m x ң01s i n x -1x æèçöø÷=l i m x ң0x -s i n x x s i n x ȵ当x ң0时,s i n x ~x ,ʑ上式=l i m x ң0x -s i n x x 2=00l i m x ң01-c o s x 2x =00l i m x ң0s i n x 2=0.*例12 l i m x ң0+x x .解:这是 00 型,可先用对数恒等式N =e l n N ,进行处理.l i m x ң0+x x =l i m x ң0+e l n x x =l i m x ң0+e x l n x =e l i m x ң0+x l n x =e 0=1.(由例10的结果知)习题3-31.用洛必达法则求下列极限:(1)l i m x ң0l n (1+x )x ; (2)l i m x ң0e x -e -x s i n x ;(3)l i m x ңa s i n x -s i n a x -a; (4)l i m x ң1x 3-1+l n x e x -e ;(5)l i m x ң0s i n x -x c o s x x 2s i n x; (6)l i m x ң01x -2e 2x -1æèçöø÷;(7)l i m x ңɕx (e 1x -1); (8)l i m x ң0+x s i n x .2.下列极限可否用洛必达法则求?如不能,请用其他方法求解:(1)l i m x ңɕx +s i n x x ; (2)l i m x ңɕ2x +c o s x 3x -s i n x.第四节 曲线的凹凸性与拐点、函数作图一、曲线的凹凸性与拐点函数y =x 3在定义域(-ɕ,+ɕ)内都是单调增加的,但从图3-9上看,当x ɪ(-ɕ,0)时,图形是凸的曲线,且位于其上每一点处切线的下方,曲线的切线斜率随着x 的增加而减少,即y '=3x 2在区间(-ɕ,0)内是单调减少函数.而当x ɪ(0,+ɕ)时,图形是凹的曲线,且位于其上每一点处切线的上方.曲线的切线斜率随着x 的增加而增加,即y '=3x 2在区间(0,+ɕ)内是单调增加函数.同时,我们看到点x =0是曲线凹凸性的分界点.因此,研究函数图形时,考察它的弯曲性和弯曲性的分界点是必要的.66高等数学。
曲线的凸凹性与拐点课件
凸函数的性 质
凸函数的性质
如果函数$f(x)$在区间$I$上是凸函数，则对于任意$x_1, x_2 \in I$，都有$f(\frac{x_1 + x_2}{2}) \leq \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$。
凸函数的性质还包括
如果函数$f(x)$在区间$I$上是凸函数，则对于任意$x \in I$， 都有$f(\frac{x + x}{2}) \leq f(x)$。
定义
对于函数$f(x)$，如果$f''(x_{0})=0$ 且$f'(x_{0})\neq 0$，那么点 $(x_{0},f(x_{0}))$称为函数$f(x)$的拐 点。
拐点的求法
求解方法一
直接求解法。通过观察函数的导数形式，确定导数在某一点为零，然后进一步求 解二阶导数在该点的值，判断其是否为零。
VS
极值的意义
极值反映了函数在某一点附近的变化情况， 是局部的、暂时的最大值或最小值。
极值的求法
01
02
03
04
判断函数的单调性
根据导数与函数单调性的关系， 判断函数在某区间内的单调性，
寻找极值点。
求导数
根据函数表达式求出导数，并 找到导数为零的点。
判断导数的符号
判断导数在零点附近的符号变 化，以确定极值的存在性。
凹函数的几何特征
曲线开口向下，即函数图像是向内凹的。
凹函数的性 质
若函数$f(x)$在区间$I$上是凹函数，则对于任意$x_{1}, x_{2}$在$I$上，都有 $f(x_{1}) \leq f(x_{2})$。
若函数$f(x)$在区间$I$上是凹函数，则对于任意$x_{1}, x_{2}$在$I$上，都有 $\frac{f(x_{1})}{x_{1}} \leq \frac{f(x_{2})}{x_{2}}$。
函数的凹凸性与作图.ppt
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例5：证明不等式
例5.4 例5.5
1 (xn yn ) ( x y )n (x 0, y 0, x y, n 1)
2
2
证明：设 f (t) tn (t 0,n 1) 则
f (t) ntn1, f (t) n(n 1)tn2,
当 t 0,n 1 时，有 f (t) 0
x x x k lim f (x)
x x
(或x )
lim [ f (x) k b ] 0
x x
x
b lim [ f (x) kx]
x (或x )
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例2. 求曲线
的渐近线 .
解: y
x3
, lim y ,
(x 3)(x 1) x3
(或x 1)
即上述 f（t）为下凸函数，于是对任意 x 0, y 0 有：
1 (xn yn) ( x y)n
2
2
二、 曲线的渐近线
定义3 . 若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点
时, 点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0, 则称直线 L 为
曲线C 的渐近线 .
y
y f (x)
或为“纵坐标差” C M y k x b
例如, 双曲线
L PN
o
x
有渐近线
x y0
y
ab
但抛物线
无渐近线 .
ox
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1. 水平与铅直渐近线
若
则曲线
有水平渐近线 y b.
(或x )
若
则曲线
有垂直渐近线 x x0 .
(或x x0 )
凹凸与拐点 作图
A
3
f
(
x)
4(
x x2
1)
2
八、小结
函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是导 数应用的综合考察.
y
凸的
单增
y f (x)
极
凹的
拐 点
大 值
最
小
值
a
o
单减
最 大 值 极 小 值
bx
作业: P84 1.(1),(3),(5) 2. P89 1.(2),(4) 2.(1),(6)
f
(
x)
4(
x x3
2)
,
f
(
x)
8(
x x4
3)
.
令 f ( x) 0, 得驻点 x 2,
令 f ( x) 0, 得特殊点 x 3.
lim
x
f (x)
lim[4(
x
x x2
1)
2]
2,
得水平渐近线
y
2;
lim
x0
f
(
x)
lim[4(
x0
x x2
1)
2]
,
得铅直渐近线
x 0.
列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:
[ f (c) f ( )]与( x c)异号
g( x) f ( x)＜0即g( x)＜f ( x)
故 切 线 在 曲 线 的 下 方. y=f(x)
y=g(x)
o a xξ c
b
例1 判断曲线 y x3 的凹凸性. 解 y 3x2, y 6x,
当x 0时， y 0, 曲线 在(,0]为凸的；
那么 y ax b 就是 y f ( x) 的一条斜渐近线.
3
f
(
x)
4(
x x2
1)
2
八、小结
函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是导 数应用的综合考察.
y
凸的
单增
y f (x)
极
凹的
拐 点
大 值
最
小
值
a
o
单减
最 大 值 极 小 值
bx
作业: P84 1.(1),(3),(5) 2. P89 1.(2),(4) 2.(1),(6)
f
(
x)
4(
x x3
2)
,
f
(
x)
8(
x x4
3)
.
令 f ( x) 0, 得驻点 x 2,
令 f ( x) 0, 得特殊点 x 3.
lim
x
f (x)
lim[4(
x
x x2
1)
2]
2,
得水平渐近线
y
2;
lim
x0
f
(
x)
lim[4(
x0
x x2
1)
2]
,
得铅直渐近线
x 0.
列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:
[ f (c) f ( )]与( x c)异号
g( x) f ( x)＜0即g( x)＜f ( x)
故 切 线 在 曲 线 的 下 方. y=f(x)
y=g(x)
o a xξ c
b
例1 判断曲线 y x3 的凹凸性. 解 y 3x2, y 6x,
当x 0时， y 0, 曲线 在(,0]为凸的；
那么 y ax b 就是 y f ( x) 的一条斜渐近线.
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表JX—1 教案（首页）
分配活动活动有以上材料就可大致画出图形。
例4 作函数2x
e
y-
=的图形。
解：函数的定义域为)
,
(+∞
-∞，是偶函数，图形对称y轴，
且y>0,所以图形在x轴的上方。
2
2x
xe
y-
-
='。
令.0
,0
'=
=x
y得驻点
x )0,
(-∞x=0 )
,0(+∞
y'+ 0 -
图形极大值
点
极大值为1
0=
e
2
)1
2(22x
e
x
y-
-
=''
令
2
1
,0±
=
=''x
y得
(-,错
误!未找
到引用
源。
)
（错误!未找
到引用源。
，
错误!未找到
引用源。
）
(错误!
找到引
源。
,
概率
论中
的正
态分
布图
形
任选
一题
x
y
分配活动活动+ 0 —0 +
图形凹拐点凸拐点凹
拐点为（错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
）,
（错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
）.
错误!未找到引用源。
=0,有水平渐近线错误!未找到引用
源。
根据以上讨论的情况，可大致地作出图形（图4.18）。
例5 作函错误!未找到引用源。
的图形.
解定义域为错误!未找到引用源。
,图形对称y轴。
错误!未找到引用源。
.
在定义域内无驻点，也没有极值点。
x
- +
图形无定义
错误!未找到引用源。
.
无错误!未找到引用源。
的点，无拐点。
在错误!未找到引
用源。
及错误!未找到引用源。
内错误!未找到引用源。
,
图形是凸的。
又
错误!未找到引用源。
.
所以有垂直渐近线错误!未找到引用源。
(左侧)，错误!未
找到引用源。
（右侧）
作为
课堂
练习
分配活动活动当错误!未找到引用源。
时，错误!未找到引用源。
根据以上讨论可大致作出其图形（图4.19）。
【课堂小结】
1.函数的凹凸性及其判别方法,拐点及其求法；
2.曲线的渐近线；
3.函数图形的作法.
【作业布置】
课内练习：
1、求曲线错误!未找到引用源。
的拐点及凹凸区间。
2、求曲线错误!未找到引用源。
的拐点及凹凸区间。
3、作错误!未找到引用源。
的图形.
4、作错误!未找到引用源。
的图形。
5、作错误!未找到引用源。
) 的图形
课外作业：
试确定一个x的六次多项式P（x），已和曲线错误!未找到引用源。
切x轴于原点，且在拐点（-1，1），在（1，1）处切线水平。
【教学反思】
5分钟
13分
钟
2分钟
提问
指导练
习
回答
巩固
练习
0 x。