苏教版数学高二-数学苏教版选修1-1课时训练 椭圆的几何性质

2.2.2 椭圆的几何性质

一、填空题 1．若椭圆

x 2k ＋2＋y 2

4＝1的离心率e ＝1

3

，则k 的值为________． 2．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程是____________．

3．已知椭圆的焦点在x 轴上，长、短半轴之和为10，焦距为45，则该椭圆的标准方程为____________．

4．设椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P .若△F 1F 2P 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为________．

5．以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于四个不同的点，顺次连结这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为________．

6．已知两椭圆x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 2

25－k ＝1(0

7．若F 1、F 2是椭圆C ：x 28＋y 2

4

＝1的焦点，则在C 上满足PF 1⊥PF 2的点P 的个数为________．

8．若椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)焦距的一半为c ，直线y ＝2x 与椭圆的一个交点的横坐标恰

为c ，则该椭圆的离心率为________．

9．已知点(m ，n )在椭圆8x 2

＋3y 2

＝24上，则2m ＋4的取值范围是____________． 二、解答题

10．如图，椭圆x 216＋y 2

9

＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，一条直线l 经过F 1与椭圆交于

A 、

B 两点．

(1)求△ABF 2的周长；

(2)若直线l 的倾斜角为45°，求△ABF 2的面积．

11．已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.

(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；

(2)求被椭圆截得的最长弦所在直线的方程．

12.

如图，点A、B分别是椭圆x2

36＋

y2

20

＝1长轴的左、右顶点，点F是椭圆的右焦点，点P

在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF.

(1)求P点坐标；

(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于MB，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．

答案

1解析：当焦点在x 轴上时，a ＝k ＋2，b ＝2，c ＝k －2，e ＝c a

＝

k －2k ＋2＝1

3

，解得k ＝52；当焦点在y 轴上时，a ＝2，b ＝k ＋2，c ＝2－k ，e ＝c a ＝2－k 2＝13，解得k ＝149.所以k 的值为52或149

.

答案：52或149

2解析：由两个焦点三等分长轴知3·2c ＝2a ，即a ＝3c .由a ＝9得c ＝3，所以b 2

＝a 2

－c 2

＝72，所以椭圆的标准方程是x 281＋y 2

72

＝1.

答案：x 281＋y 2

72

＝1

3解析：由题意知a ＋b ＝10，c ＝25，又因为c 2

＝a 2

－b 2

，所以a ＝6，b ＝4，所以该椭圆的标准方程为x 236＋y 2

16

＝1.

答案：x 236＋y 2

16

＝1

4解析：由题意知，PF 2＝F 1F 2＝2c ，

PF 1＝2PF 2＝22c ，

∴PF 2＋PF 1＝2c (2＋1)＝2a ， ∴e ＝c a

＝

12＋1

＝2－1.

答案：2－1

5解析：如图，设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)，焦距的一半为c .由题意知∠F 1AF 2＝

90°，∠AF 2F 1＝60°.

∴AF 2＝c ，AF 1＝2c ·sin60°＝3c . ∴AF 1＋AF 2＝2a ＝(3＋1)c . ∴e ＝c a

＝

23＋1

＝3－1.

答案：3－1

6解析：∵c 2

1＝25－9＝16，∴c 1＝4， ∵c 2

2＝(25－k )－(9－k )＝16，∴c 2＝4.

∵∴c 1＝c 2，∴2c 1＝2c 2，∴有相同的焦距． 答案：焦距

7解析：∵椭圆C ：x 28＋y 2

4

＝1，∴c ＝2，∴F 1(－2,0)，F 2(2,0)，其短轴的端点为B (0,2)，

A (0，－2)，∴∠F 1BF 2＝∠F 1AF 2＝90°.又短轴端点与F 1、F 2连线所成的角是椭圆上动点P

与F 1、F 2连线所成角中的最大角，∴满足PF 1⊥PF 2的点有2个．

答案：2

8解析：由题设可得2c ＝b 2a

，即b 2＝2ac ，∴c 2＋2ac －a 2＝0，即e 2

＋2e －1＝0，又0

∴e ＝2－1.

答案：2－1

9解析：因为点(m ，n )在椭圆8x 2

＋3y 2

＝24上，即在椭圆x 23＋y 2

8＝1上，所以点(m ，n )

满足椭圆的范围|x |≤3，|y |≤22，因此|m |≤3，即－3≤m ≤3，所以2m ＋4∈[4－23，4＋23]．

答案：[4－23，4＋23]

10解：由椭圆的方程x 216＋y 2

9＝1知，a ＝4，b ＝3，

∴c ＝a 2

－b 2

＝7.

(1)△ABF 2的周长为AB ＋AF 2＋BF 2＝(AF 1＋AF 2)＋(BF 1＋BF 2)＝4a ＝4×4＝16. (2)由c ＝7知F 1(－7，0)、F 2(7，0)， 又k 1＝tan45°＝1，

∴直线l 的方程为x －y ＋7＝0.

设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧

x －y ＋7＝0

x 216＋y 2

9

＝1，消去x 整理，得25y 2

－187y －81

＝0，

∴y 1＋y 2＝18725，y 1y 2＝－81

25.

∴|y 1－y 2|＝y 1＋y 2

2

－4y 1y 2

＝

18725

2

＋4×8125＝7225

2，

∴S △ABF 2＝12F 1F 2·|y 1－y 2|＝12×27×72252＝72

25

14.