信号与系统 系统函数与信号流图
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第七讲数字信号处理系统函数流图
i0
M
•
H( z )
Y( X(
z) z)
1
br z r
r 0
N
ak zk
k 1
ARMA系统 IIR系统
M
• 若所有ak 0, H(z) br zr , 系统称为MA系统 －－－全零 r 0 点模型
h(n)为有限长序列－－－FIR系统（有限长单位脉冲响应）
• 若除b0 1外，所有br 0,
单位脉冲响 应的傅氏变
换
单位圆上的 系统函数
LTI系统的系统函数和ROC
因果系统
稳定系统 因果稳定系统
h(n)
h(n)=0,n<0 右边序列
H(z) Rx z 极点在某圆 内，收敛域 在此圆外
j Im(Z )
h(n)
n
h(n)=0,n<0
h(n)
n
H (e j ) 存在， 收敛域为
H(z)
1
N
1 ak zk
k 1
－－－全极点模型－－－AR 系统
h(n)为无限长序列－－－IIR系统（无限长单位脉冲响应）
一个稳定的LTI因果系统的差分方程为 y(n) 0.25y(n 1) 0.125y(n 2) x(n) x(n 1) 求系统函数H(z)，单位冲激响应h(n)
解：
i 1
系统频率响应 的几何确定
N
Ci
H (e j )
A
i 1 N
Di
i 1
N
N
() i i
i 1
i 1
当频率ω从零变化到2π时，这些向量的终点B沿单位圆逆时 针旋转一周，分别估算出系统的幅度特性和相位特性
N
M
有理系统分类 y(n) ai y(n i) bi x(n i)
§5-8 LTI系统的信号流图表示
2 1 s 1 s 2
于是级联实现
X (s)
∑
S -1
∑
S -1
3
∑
Y (s )
1
《Signals & Systems》
2
大连海事大学信息科学技术学院
《信号与系统》
§5-8 LTI系统的信号流图表示
或者
X (s)
∑
S -1
∑
S -1
3
∑
Y (s )
2
1
并联实现如下图
∑
S -1
2
自环：只有一条支路的闭环。
不接触环：环路之间，无公共节点的一类环。 前向通路：由源节点至阱节点的一条通路。
于是系统的级联模拟如下：
∑
z 1
0.2
0.5
∑
Y (z )
X (z )
∑
z 1
0.1
或者：
Y (z ) X (z )
∑
z 1
0.1
0.5
∑
∑
z 1
0.2
《Signals & Systems》
大连海事大学信息科学技术学院
《信号与系统》
§5-8 LTI系统的信号流图表示
系统的并联模拟如下：
4
∑
《信号与系统》
§5-8 LTI系统的信号流图表示
§5-8 LTI系统的信号流图表示
一、 LTI系统的模拟框图表示
第一章曾介绍过，将微分方程或差分方程用模拟框图表示。由 于方程中涉及的运算只有三种：加法、数乘和微分（或差分），因 此，模拟框图中的运算器件也只有三种：加法器、数乘器和积分器 （或单位延时器）。
H ( z)
b z
信号与系统 系统函数完美版PPT
m
j
j1
H(s) H(z) 当t -> ∞ 时，对应的响应函数趋近于零。 n
n
A(s) A(z) 4) H(z)在单位圆上的二阶及二阶以上的极点,
(s p ) (z p ) 全通函数：如果系统的幅频响应|H(jω)|对所有的ω均为常数，i 则称该系统为全通系统，相应的系统函数称为全通函数。 i
极点pi 和零点ζj 的值可能是实数或复数。若A(·)和 B(·)的系数
都是实数，则零、极点若为复数，必共轭成对。
二、系统函数与时域响应
系统的冲激响应或单位序列响应的函数形式由A(·)的根确定， 即由H(·)的极点确定；而自由响应的形式也由H(·)极点确定。
t
jω
t
t σ
t
t
t
H(s)的极点与所对应的响应函数
ห้องสมุดไป่ตู้
2π
1
H| jω | Φ(ω)
一律平等地传输，因而被称为全通系统，其系统函
数称为全通函数。
()121222arc2 t2a 2n 2)ω(
最小相移函数:
如有一系统函数Ha(s),
有两个极点-s1和-s1*, 两个零点-s2和-s2*, 都在左半开平面：
H 系统a函(s数)Ha(s)(可(ss以写为ss：12))((ssjωss1*2*))
Hi(1j)bmB1B2Bm
A1A2An
幅频响应
() (1 2 m ) (1 2 n )相频响应
全通函数：如果系统的幅频响应|H(jω)|对所有的ω均为常
数，则称该系统为全通系统，相应的系统函数称为全通函数。
如有二阶系统，
其系统函数在左半平面有一对共轭极点：p1,2 =－α±jβ，
信号与系统6-1
L
C
u1 (t )
s 解： U1 ( s ) 2 s 4
R
u2 (t )
1 s s LC U 2 ( s ) U1 ( s ) H ( s ) 2 s 4 s2 s 1 RC LC
2
将激励信号的极点抵消
2 2
则不会出现强迫响应分量
可见，欲使u2(t)中不出现强迫响应分量，则必须有
试证明系统的正弦稳态响应为：
yss (t ) | H ( j0 ) | Em cos[0t (0 )]
电信学院
第六章第1讲
22
系统函数与正弦稳态响应
证：激励函数可表示为
1 f (t ) Em (e j0t e j e j0t e j ) 2 1 e j e j F ( s ) Em 激励的拉氏变换 s j s j 2 0 0
( s j 2)( s j 2) s2 4 H ( s) H 0 H0 s( s j 4)( s j 4) s( s 2 16)
j2
0
- j2
又： h(0 ) lim h(t ) lim sH ( s) 1 可得：H0=1 t 0 s 故： H (s) s 2 4
t
j
( 2)
h(t )
a
2 0
j
t e a t (t )
h(t )
t
( s a)
2
0
a
e a t sin( 0t ) (t )
第六章第1讲
t
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11
系统函数的极点与冲激响应波形对应
C
u1 (t )
s 解： U1 ( s ) 2 s 4
R
u2 (t )
1 s s LC U 2 ( s ) U1 ( s ) H ( s ) 2 s 4 s2 s 1 RC LC
2
将激励信号的极点抵消
2 2
则不会出现强迫响应分量
可见，欲使u2(t)中不出现强迫响应分量，则必须有
试证明系统的正弦稳态响应为：
yss (t ) | H ( j0 ) | Em cos[0t (0 )]
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第六章第1讲
22
系统函数与正弦稳态响应
证：激励函数可表示为
1 f (t ) Em (e j0t e j e j0t e j ) 2 1 e j e j F ( s ) Em 激励的拉氏变换 s j s j 2 0 0
( s j 2)( s j 2) s2 4 H ( s) H 0 H0 s( s j 4)( s j 4) s( s 2 16)
j2
0
- j2
又： h(0 ) lim h(t ) lim sH ( s) 1 可得：H0=1 t 0 s 故： H (s) s 2 4
t
j
( 2)
h(t )
a
2 0
j
t e a t (t )
h(t )
t
( s a)
2
0
a
e a t sin( 0t ) (t )
第六章第1讲
t
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11
系统函数的极点与冲激响应波形对应
系统的信号流图
例3
H (z)
z2 z3＋3z2
2z
，画出直接形式、
串联形式和并联形式信号流图。
解:（1）
H (z)
z3 z3＋3z2
＝ z2 3z3 2z 1 3z1 2z2
（2）
H (z)
z3 z3＋3z2
2z
z(z
z3 2)(z
1)
1 z
z z
3 2
1 z 1
z 1
1 1
3z 1 2 z 1
1
z
1 s1
1 s1
根据梅森公式分别画出 2
1 3s1
2 1 s1
的流图，并联起来
1 F(s)
1
s-1
1/2 -3
Y(s)
s-1
1/2
-1
系统的状态变量分析
例2
H
(s)
s(s
2s 3 3)(s
2)
，画出直接形式、串联
形式和并联形式信号流图。
解：（1）
H (s)
s(s
2s 3 3)(s
2)
s3
1
1
z-1
z-1
z-1
F(z)
Y(s)
-3
4
2
H(z)
z2 2
Y(z)
z3 2z2 3z 4
-3
1 s-1 s-1 1
F(s)
-2
s-1 1 Y(s)
-1
H
(s)
1
s 1
s 3 5s 2
2 s 3
系统的状态变量分析
三、系统函数计算
1.列节点方程（由加法器输出端）
2.梅森公式
H 1
k
信号流图
▲ ■ 第 6页
（3）混联： ）混联：
X1 H1 H3 X3 X2 H2 X4
X2 H2H3 X1 H1H3 X4
X4=H3X3=H3(H1X1+ H2X2)= H1H3X1 + H2H3X2
H2 X1 H1 X2 H3 X4 X3
H1H2 X1 H1H3
X3
பைடு நூலகம்
X4
▲
■
第 7页
（4）自环的消除： ）自环的消除：
例 求下列信号流图的系统函数
H4
首先找出所有回路： 解 (1)首先找出所有回路： 首先找出所有回路 L1=H3G L2=2H1H2H3H5 L3=H1H4H5 (2)求特征行列式 求特征行列式
1
H1
H2
H3 G H5
2
1
△=1-（H3G+2H1H2H3H5+ H1H4H5）+ H3G H1H4H5 （ (3)然后找出所有的前向通路： 然后找出所有的前向通路： 然后找出所有的前向通路 1 p1=2H1H2H3 H = ( p1∆1 + p2 ∆2 ) ∆ p2=H1H4 (4)求各前向通路的余因子：△1 =1 ， △2 =1-GH3 求各前向通路的余因子： 求各前向通路的余因子 框图也可用梅森公式求系统函数。 框图也可用梅森公式求系统函数。 ▲ ■
▲ ■ 第 3页
3、信号流图的基本性质 、
（1）信号只能沿支路箭头方向传输。 ）信号只能沿支路箭头方向传输。 支路的输出=该支路的输入与支路增益的乘积 该支路的输入与支路增益的乘积。 支路的输出 该支路的输入与支路增益的乘积。 （2）当结点有多个输入时，该结点将所有输入支路 ）当结点有多个输入时， 的信号相加， 的信号相加，并将和信号传输给所有与该结点相连 的输出支路。 的输出支路。 x1 d x5 如：x4= ax1+bx2+cx3 x5= dx4 x6= ex4
（3）混联： ）混联：
X1 H1 H3 X3 X2 H2 X4
X2 H2H3 X1 H1H3 X4
X4=H3X3=H3(H1X1+ H2X2)= H1H3X1 + H2H3X2
H2 X1 H1 X2 H3 X4 X3
H1H2 X1 H1H3
X3
பைடு நூலகம்
X4
▲
■
第 7页
（4）自环的消除： ）自环的消除：
例 求下列信号流图的系统函数
H4
首先找出所有回路： 解 (1)首先找出所有回路： 首先找出所有回路 L1=H3G L2=2H1H2H3H5 L3=H1H4H5 (2)求特征行列式 求特征行列式
1
H1
H2
H3 G H5
2
1
△=1-（H3G+2H1H2H3H5+ H1H4H5）+ H3G H1H4H5 （ (3)然后找出所有的前向通路： 然后找出所有的前向通路： 然后找出所有的前向通路 1 p1=2H1H2H3 H = ( p1∆1 + p2 ∆2 ) ∆ p2=H1H4 (4)求各前向通路的余因子：△1 =1 ， △2 =1-GH3 求各前向通路的余因子： 求各前向通路的余因子 框图也可用梅森公式求系统函数。 框图也可用梅森公式求系统函数。 ▲ ■
▲ ■ 第 3页
3、信号流图的基本性质 、
（1）信号只能沿支路箭头方向传输。 ）信号只能沿支路箭头方向传输。 支路的输出=该支路的输入与支路增益的乘积 该支路的输入与支路增益的乘积。 支路的输出 该支路的输入与支路增益的乘积。 （2）当结点有多个输入时，该结点将所有输入支路 ）当结点有多个输入时， 的信号相加， 的信号相加，并将和信号传输给所有与该结点相连 的输出支路。 的输出支路。 x1 d x5 如：x4= ax1+bx2+cx3 x5= dx4 x6= ex4
信号与系统-系统函数与信号流图_图文_图文
（3）反馈 等效系统函数为
对于负反馈，总有
二．信号流图
系统的信号流图是用一些点和有向线段来描述系统。变成信号流图形式 就是用线段端点代表信号，称为节点。有向线段表示信号传输的路径和方 向，一般称为支路，每一条支路上有增益，所以每一条支路相当于乘法器 。
信号流图中的节点可以有很多信号输入，它们是相加的关系， 而且可以有不同方向输出。
对于连续时间动态LTI系统的模拟，通常由加法器、标量乘 法器和积分器三种部件构成。
系统模拟可以理解为就是用这三种部件画出系统的信号流图 或是系统的方框图，使得流图或方框图实现了指定的系统函数。
四．系统模拟
例： 用加法器、标量乘法器和积分器三种部件模拟下面微分方程描
述的系统
解：首先考虑下面的系统
由线性时不变系统的性质知道存在下面关系
节点:
三．Mason公式
表示系统中的变量或信号的点称为节点。
支路:
连接两节点间的有向线段称为支路。 支路增益就是两节点间的增益。
输入节点（源点）: 仅有输出支路的节点， 一 般为系统的输入。
输出节点（阱点）: 仅有输入支路的节点，一般为系统的输出
混合节点:
既有输入支路又有输出支路的节点
三．Mason公式
四．系统模拟
方程两边积分三次得到
说明
是某信号积分三次得到，可以画出部分框图。
四．系统模拟
第一个积分器的输入信号实际是 可以画出部分系统框图
四．系统模拟
可以画出完整的系统框图
四．系统模拟
对应的信号流图为
其中
若 则
表示积分器（拉普拉斯变换的性质）
通路: 从任一节点出发沿着支路箭头方向连续地穿过 各相连支路到达另一节点的路径称为通路。
对于负反馈，总有
二．信号流图
系统的信号流图是用一些点和有向线段来描述系统。变成信号流图形式 就是用线段端点代表信号，称为节点。有向线段表示信号传输的路径和方 向，一般称为支路，每一条支路上有增益，所以每一条支路相当于乘法器 。
信号流图中的节点可以有很多信号输入，它们是相加的关系， 而且可以有不同方向输出。
对于连续时间动态LTI系统的模拟，通常由加法器、标量乘 法器和积分器三种部件构成。
系统模拟可以理解为就是用这三种部件画出系统的信号流图 或是系统的方框图，使得流图或方框图实现了指定的系统函数。
四．系统模拟
例： 用加法器、标量乘法器和积分器三种部件模拟下面微分方程描
述的系统
解：首先考虑下面的系统
由线性时不变系统的性质知道存在下面关系
节点:
三．Mason公式
表示系统中的变量或信号的点称为节点。
支路:
连接两节点间的有向线段称为支路。 支路增益就是两节点间的增益。
输入节点（源点）: 仅有输出支路的节点， 一 般为系统的输入。
输出节点（阱点）: 仅有输入支路的节点，一般为系统的输出
混合节点:
既有输入支路又有输出支路的节点
三．Mason公式
四．系统模拟
方程两边积分三次得到
说明
是某信号积分三次得到，可以画出部分框图。
四．系统模拟
第一个积分器的输入信号实际是 可以画出部分系统框图
四．系统模拟
可以画出完整的系统框图
四．系统模拟
对应的信号流图为
其中
若 则
表示积分器（拉普拉斯变换的性质）
通路: 从任一节点出发沿着支路箭头方向连续地穿过 各相连支路到达另一节点的路径称为通路。
信号与系统——系统函数
幅频: | H ( j) | bm B1B2...Bm
A1A2... An
相位:()=(1+…+m)-(1+…+n) 分析: 从0~∞
2019/11/20
22
例: u1(s) + -
R 1/sc
u2(s)
1 sc H(s)=u2(s)/ u1(s) = R 1 sc
11 = Rc s 1 Rc
写出网络转移函数表达式
Hs
V2 s V1 s
1 RC
s
1 1
RC
1 RC
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1 M1 ejθ1
V2 ej ω V1
M1
θ1
1 RC
jω
O
σ
30
频响特性 V2
jω
1 V1
M1
1
2
θ1
1 RC
O
σ
O1 RC
ω
H
Im[z] Z平面
2019/11/20
-1/3
1 2 Re[z]
13
极点位置与h(k)形状的关系
j Im z
1
O
1
Re z
2019/11/20
14
利用z～s平面的映射关系
s平面(单极点)
z平面(单极点)
极点位置 h(t)特点 极点位置 h(k)特点
虚轴上
等幅
单位圆上 等幅
原点时 左半平面
t 1
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28
结论:
凡极点位于左半开平面,零点位于右半开 平面,且所有的零点与极点对于j轴为一 镜像对称的系统函数即为全通函数.
信号与系统4.7
b3 F(s) 1 b2 s-1 -a2 -a1 s-1 s-1 b1 b0 -a0 Y(s)
信号流图
1、直接型结构
H ( s)
H1 ( s ) 1
i 0
bn bn1 s
1
b1 s
( n 1)
b0 s
n
1 an1 s 1 a1 s ( n1) a0 s n
Y (s) 1 H (s) X (s) s a0
X (s )
sY (s)
1 s
Y (s)
a0
以上模拟图都未计初始条件，故是零状态响应！
直接型结构（一阶节）
b2 s b1 b2 b1s 1 H (s) s a1 1 a1s 1 b2 b1 s 1 1 1 Y (s) H (s) F (s) F ( s) (b2 b1s ) F (s) 1 1 1 a1 s 1 a1 s
系统的模拟是将系统分解为若干基本单元 (如果熟知各单元性能，将它们组合构成复 杂系统时，分析过程将得以简化)
二、线性系统的模拟方 法 1、模拟图用基本单元
①加法器:
x1( t ) X 1( s )
x 2(t ) X 2( s )
y (t ) Y (s)
y (t ) x1(t ) x 2(t ) Y ( s ) X 1( s) X 2( s)
H (s) H 2 ( s) H1 ( s)
并联系统的系统函数等于各子系统的系统函数的和
3)反馈
F (s )
E (s )
G(s)
Y (s )
H ( s)
Y ( s) E ( s) K ( s)
E (s) F (s) H (s)Y (s)
信号与系统分析图文 (7)
第7章 系统的信号流图及模拟
开通路： 前向通路： 环路： 通路的终点就是起点，并且与任何其他节点相
不接触环路： 前向通路增益： 在前向通路中，各支路增益的乘积。 环路增益： 由图7-3可以总结几点信号流图的特性：
第7章 系统的信号流图及模拟
(1) 节点有加法器功能，并把和信号传送到所有输出支 路。
第7章 系统的信号流图及模拟
系统的信号流图实际上是对s域或z域模拟框图的简化， 用有方向的线段表示信号的传输路径，有向线段的起始点 表示系统中变量或信号，将起点信号与终点信号之间的转 移关系标注在有向线段箭头的上方。将加法器省略掉并用 一个节点表示。我们将图7-2所示的连续系统和离散系统的 模拟框图转化为对应的信号流图，如图7-3所示。
第7章 系统的信号流图及模拟
第7章 系统的信号流图及模拟
7.1 系统的信号流图 7.2 系统的信号流图模拟
第7章 系统的信号流图及模拟
7.1 系统的信号流图
对于系统的描述方法，在前面章节中已经讨论过了。 连续系统和离散系统都可以用模拟框图来描述，即由一 些模拟器件组成，如加法器、乘法器、积分器、延迟单 元等。在研究了系统的复频域和z域分析之后，系统的模 拟框图除了时域形式之外，还有复频域的框图(连续系统) 和z域框图(离散系统)。图7-1所示为s域和z域中的模拟器 件模型，图7-2是s域和z域的系统模拟框图的例子。由模 拟框图可以写出这两个系统的系统函数来。
其中L1
第7章 系统的信号流图及模拟
(2) 前向通路只有一条，其增益为g1=H1H2H3H4, 相应的余子式为Δ1=1 (3) 按梅森公式即得系统函数
第7章 系统的信号流图及模拟 【例7-2】求图7-5信号流图的系统函数。
图 7-5 【例7-2】的信号流图
信号与系统系统函数与信号流图
数值计算误差分析与处理
截断误差
由于数值计算中采用有限项近似，导致计算结果与真实值之间的误差。可以通过增加计算项数、采用更高精度的算法 等方法减小截断误差。
舍入误差
由于计算机字长限制，进行数值运算时产生的误差。可以通过采用更高精度的数据类型、合理的运算顺序等方法减小 舍入误差。
稳定性分析
对于某些算法，随着计算步数的增加，误差可能会逐渐累积并导致计算结果失真。需要对算法进行稳定 性分析，选择合适的步长和算法参数以保证计算的稳定性。
信号与系统的关系
信号是系统的输入和输出
在信号处理中，通常将输入信号经过系统处理后得到的输出信号作 为研究对象。因此，信号与系统是密切相关的。
系统的性能影响信号的特性
不同的系统会对输入信号产生不同的影响，如放大、缩小、延迟、 失真等。因此，系统的性能会直接影响输出信号的特性。
信号与系统相互依存
没有输入信号就没有输出信号，而没有系统则无法对输入信号进行 处理。因此，信号与系统是相互依存的。
实验数据分析与结果讨论
数据预处理
对实验或仿真数据进行必要的预处理，如去噪、归一化等。
特征提取
提取数据的关键特征，如幅值、频率、相位等，以便进行后续分析。
结果可视化
利用图表、图像等方式将实验结果可视化，便于观察和分析。
结果讨论
根据实验或仿真结果，讨论系统性能、设计合理性以及可能存在的改进空间。
THANKS FOR WATCHING
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输入节点和输出节点
分别表示系统的输入和输出信 号。
信号流图的绘制方法
根据系统方程或框图确定系统 的输入、输出和内部变量。
在支路上标注传输系数，以描 述信号通过该支路时的变化。
2.3 信号流图
前向通路增益 p1 = abc
前向通路增益
p2 = d
【回路】【单独回路】：起点和终点在同一节点，而且信号通过每个节
x2 x3 x2
回路1增益
l1 = ae l2 = bf l3 = g
回路2 x3 x4 x3 回路2增益 回路3 x5 x5 回路3增益 【不接触回路】：回路之间没有公共节点。 回路2和回路3 回路1和回路3
-
1 R1 1 R1
I1 ( s ) I (s)
1
1 C1s
1 C1s
u (s )
1
1 R2
1 R2
I 2 ( s)
1 C2 s
uo (s)
1
ui
ue
I1
1
I
a 1 b u
1 C2 s
I2
1
uo
讨论：信号流图中，a点和b点之间的传输为1，是否可以将该 两点合并。使得将两个不接触回路变为接触回路？如果可以的 话，总传输将不一样。
R
E
-
G1
H1
+
G2
+ -
G3
H2
C
[解]：在结构图上标出节点，如上。然后画出信号流图，如下：
R
G4 E G1 G2 H1
H1H 2
G3 C H2
R
C (s) 求 R(s) ：
G4 E G1 G2 H1
H1H 2
G3 C H2
前向通道有二，分别为: P G1G2G3 , P2 G3G4 1 回路有三，分别为： G1H1 ,G3 H 2 ,G1G2G3 H1H 2
1 m 0 l g 1 h e d k 1
§6.5系统函数
y(k)+4y(k-1)+y(k-2)-y(k-3)=5f(k)+10f(k-1)+9f(k-2)
5 10z 2 9 z 3 5 z 3 10z 2 9 z H ( z) 3 1 2 3 1 4z z z z 4z 2 z 1 例2 已知h(k ) 2cos( k ) (k ), 求系统函数H ( z ). 4 2 2 z ( z cos ) 2 z( z ) 4 2 解： H ( z ) 2 z 2 2 z cos 1 z 2 z 1 4
H (e jT ) T 36
z e j 36
cos36 j sin 36 0.4 cos36 j sin 36 0.3
所以系统正弦稳态响应为
0.81 j 0.59 0.4 1.725 23 0.81 j 0.59 0.3
y(k)=17.25cos(628Tk + 7o)
练习：已知系统模拟框图如右图示，
写出系统函数。
z 1 1 H ( z) 1 1 3z z3
信号与系统 3、系统函数H(z)的应用
1）求系统单位冲激响应 h(k):
2）求系统零 状态响应yf(k):
h(k ) Z 1{H z }
y f (k ) Z 1{H z F ( z)}
其中：Mf ， My为有限正数
二、稳定性准则（充要条件）
k
h( k ) M
其中：M为有限正数
即：系统的单位序列响应绝对可和，则系统稳定。 可见，系统稳定性取决于系统本身的结构和参数，是系统自身性质之 一。系统是否稳定与激励信号无关。
信号与系统 三、稳定性判断
5 10z 2 9 z 3 5 z 3 10z 2 9 z H ( z) 3 1 2 3 1 4z z z z 4z 2 z 1 例2 已知h(k ) 2cos( k ) (k ), 求系统函数H ( z ). 4 2 2 z ( z cos ) 2 z( z ) 4 2 解： H ( z ) 2 z 2 2 z cos 1 z 2 z 1 4
H (e jT ) T 36
z e j 36
cos36 j sin 36 0.4 cos36 j sin 36 0.3
所以系统正弦稳态响应为
0.81 j 0.59 0.4 1.725 23 0.81 j 0.59 0.3
y(k)=17.25cos(628Tk + 7o)
练习：已知系统模拟框图如右图示，
写出系统函数。
z 1 1 H ( z) 1 1 3z z3
信号与系统 3、系统函数H(z)的应用
1）求系统单位冲激响应 h(k):
2）求系统零 状态响应yf(k):
h(k ) Z 1{H z }
y f (k ) Z 1{H z F ( z)}
其中：Mf ， My为有限正数
二、稳定性准则（充要条件）
k
h( k ) M
其中：M为有限正数
即：系统的单位序列响应绝对可和，则系统稳定。 可见，系统稳定性取决于系统本身的结构和参数，是系统自身性质之 一。系统是否稳定与激励信号无关。
信号与系统 三、稳定性判断
信号与系统第七章(3)信号流图
称为汇点或陷点（或输出点），如图中的 x5。
通路
d
x1
1
x2 a
b
x3
e
x4 c
g
x5
f
从任一结点出发沿着支路箭头方向连续经过各相连的 不同支路和结点到达另一结点的路径称为通路。
如果通路与任一结点相遇不多于一次，则称为开通路。
如果通路的终点就是通路的起点（与其余结点相遇不 多于一次），则称为回路或闭通路（环路）。
1
z-1
+
+
∑
z-1
F(z)
0.5
-
z-1 0.25
0.5 1
+ -
∑ Y(z)
例4 求图示信号流图的系统函数。
H4
F
1 x1
H1 x2 H2 x3 H3 x4 H5
Y
-G1
-G2
-G3
例5 求图示网络的转移电压比
H(s) U4(s) U1(s)
和输入阻抗
Zin(s)
U1(s) I1(s)
（一） 判断系统函数 H (的S)极点都在左半开平面。
（二）连续因果系统的稳定准则：罗斯-霍尔维兹准则。 1 判断多项式 A(的s)所有系数 ai (i 0是,1,否2,大, n于) 0。
2 若所有系数 a均i 大于0， 用罗斯准则进一步判断。 3 罗斯准则：多项式 A是(s霍) 尔维兹多项式的充分 和必要条件是罗斯阵列中第一列元素均大于零。
U2(s) R[I1(s) I2(s)]
U3(s) R[I2(s) I3(s)]
U4(s) RI3(s)
sC R
sC R
U2
I2
U3
I3
通路
d
x1
1
x2 a
b
x3
e
x4 c
g
x5
f
从任一结点出发沿着支路箭头方向连续经过各相连的 不同支路和结点到达另一结点的路径称为通路。
如果通路与任一结点相遇不多于一次，则称为开通路。
如果通路的终点就是通路的起点（与其余结点相遇不 多于一次），则称为回路或闭通路（环路）。
1
z-1
+
+
∑
z-1
F(z)
0.5
-
z-1 0.25
0.5 1
+ -
∑ Y(z)
例4 求图示信号流图的系统函数。
H4
F
1 x1
H1 x2 H2 x3 H3 x4 H5
Y
-G1
-G2
-G3
例5 求图示网络的转移电压比
H(s) U4(s) U1(s)
和输入阻抗
Zin(s)
U1(s) I1(s)
（一） 判断系统函数 H (的S)极点都在左半开平面。
（二）连续因果系统的稳定准则：罗斯-霍尔维兹准则。 1 判断多项式 A(的s)所有系数 ai (i 0是,1,否2,大, n于) 0。
2 若所有系数 a均i 大于0， 用罗斯准则进一步判断。 3 罗斯准则：多项式 A是(s霍) 尔维兹多项式的充分 和必要条件是罗斯阵列中第一列元素均大于零。
U2(s) R[I1(s) I2(s)]
U3(s) R[I2(s) I3(s)]
U4(s) RI3(s)
sC R
sC R
U2
I2
U3
I3
信号与系统第三十讲
4 、x1→x4→x3 →x2 →x1, 增益 L4=−G1G2G3H4
L
j
j
G1 H1 G2 H 2 G3 H 3 G1G2G3 H 4
有一对两两不接触回路： x1→x2→x1 和x3→x4→x3
L
m,n
m
Ln L1 L3 G1G3 H1 H 3
1 L j Lm Ln Lp Lq Lr
j m, n p ,q ,r
L 所有不同回路增益之和
j j
L
m ,n p p ,q ,r
m
Ln 所有两个两两不接触回路的增益乘积之和
r
L L L 所有三个两两不接触回路的增益乘积之和
q
例7.3-2 求图7.3-6 所示信号流图的系统函数。
解：（1）求信号流图的特征行列式Δ 4 个回路： 1 、x1→x2→x1, 增益 L1=−G1H1 2 、x2→x3→x2, 增益 L2=−G2H2 3 、x3→x4→x3, 增益 L3=−G3H3
通路增益：通路中各支路增益的乘积称为 通路增益。
前向通路：从源点到汇点的开通路称为前 向通路。
注意：
1）除源点外，一个结点相当于一个加法器， 结点代表的变量为加法器的输出。 2）信号通过支路，将乘以支路的增益。 3）对同一系统，信号流图不唯一。
二、信号流图的化简（分析）
１、流图的性质
信号只能沿支路箭头方向传输，支路的输 出是该支路的输入与支路增益的乘积。
a b ac
c
bc
例7.3-1 求图7.3-5(a)所示信号流图的系统函数。
解： （1）将环分开化简为自环： 将 x1→x2→x1 环与 x1→x2→x3→x1 环从流图中分 开，按支路串联将x1→x2→x1 环化简成自环， 增益为 -a1s−1 ，将 x1→x2→x3→x1 环化简成自环， 增益为-a0s−2。
信号与系统教案第7章2
cn1
1 an1
an an1
an2 an3
cn3
1
an1
an an1
an4 an5
…
第4行由2，3行同样方法得到。一直排到第n+1行。
罗斯准则指出：若第一列元素具有相同的符号，则 A(s)=0所有的根均在左半开平面。若第一列元素出现符 号改变，则符号改变的总次数就是右半平面根的个数。
第7-17页
解：设加法器的输出信号X(s)
∑ X(s) G(s)
F(s)
Y(s)
X(s)=KY(s)= G(s)X(s)=K G(s)Y(s)+ G(s)F(s)
H(s)=Y(s)/F(s)=G(s)/[1-KG(s)]=1/(s2+3s+2-k)
H(s)的极点为
p1,2
3 2
3 2 2 k 2
第7-9页
■
信号与系统
7.2 系统的稳定性
7.2 系统的稳定性
一、因果系统
因果系统是指，系统的零状态响应yf(.)不会出现 于f(.)之前的系统。
连续因果系统的充分必要条件是：冲激响应 h(t)=0,t<0 或者，系统函数H(s)的收敛域为：Re[s]>σ0
离散因果系统的充分必要条件是：单位响应 h(k)=0, k<0 或者，系统函数H(z)的收敛域为：|z|>ρ0
凡极点位于左半开平面，零点位于右半开平面， 并且所有零点与极点对于虚轴为一一镜像对称的系统 函数即为全通函数。
第7-8页
■
信号与系统
7.1 系统函数与系统特性
（2）最小相移函数
右半开平面没有零点的系统函数称为最小相移函数。 解释见p336 2、离散因果系统
信号流图
j j m,n
m n
p ,q ,r
p q r
i — 表示由源点到汇点的第i条前向通路的标号 pi — 表示由源点到汇点的第i条前向通路增益 i — 表示与第i条前向通路不相接触的子图的特征行列式
例2 用梅森公式求图所示系统的转移函数
G1
F
H1
x1
H2
G2
x2
1
x3
H
3
x4
H4
G4
Y
G3
例2 用梅森公式求图所示系统的转移函数
性质二：混合结点，将该结点所有输入支路的信号相加, 并将总和信号传输给该结点所有输出支路。 x1
x4 H1 x1 H 2 x2 H 3 x3
x5 H 4 x4 x6 H 5 x4
x2
H2 x3 H3
H1
x4 H5 x6
H4
x5
性质三：混合结点，通过增加一个支路增益为1的支路可变成 x4 输出结点。
(7)通路：沿着支路箭头方向通过各相连支路的途径 (不允许有相反方向支路存在) (8)开通路 ：与任一结点相交不多于一次的通路
(9)闭通路(又称回路或环路) ：终点即为起点，且与任何其他结
点相交不多于一次的通路(自环路:只有一个结点和一个支路的环路)
(10) 通路增益 ：通路中各支路增益的乘积。
(11)不接触回路：相互没有任何公共结点的回路
ab
x3
x
1
x2
x2
x2 ax1 bx2 1 b x2 x1 a x3 cx2 1 b 3 x x1 ac
x
1
a
x
a
3
c
c
x3
ac
x2 x1 x
m n
p ,q ,r
p q r
i — 表示由源点到汇点的第i条前向通路的标号 pi — 表示由源点到汇点的第i条前向通路增益 i — 表示与第i条前向通路不相接触的子图的特征行列式
例2 用梅森公式求图所示系统的转移函数
G1
F
H1
x1
H2
G2
x2
1
x3
H
3
x4
H4
G4
Y
G3
例2 用梅森公式求图所示系统的转移函数
性质二：混合结点，将该结点所有输入支路的信号相加, 并将总和信号传输给该结点所有输出支路。 x1
x4 H1 x1 H 2 x2 H 3 x3
x5 H 4 x4 x6 H 5 x4
x2
H2 x3 H3
H1
x4 H5 x6
H4
x5
性质三：混合结点，通过增加一个支路增益为1的支路可变成 x4 输出结点。
(7)通路：沿着支路箭头方向通过各相连支路的途径 (不允许有相反方向支路存在) (8)开通路 ：与任一结点相交不多于一次的通路
(9)闭通路(又称回路或环路) ：终点即为起点，且与任何其他结
点相交不多于一次的通路(自环路:只有一个结点和一个支路的环路)
(10) 通路增益 ：通路中各支路增益的乘积。
(11)不接触回路：相互没有任何公共结点的回路
ab
x3
x
1
x2
x2
x2 ax1 bx2 1 b x2 x1 a x3 cx2 1 b 3 x x1 ac
x
1
a
x
a
3
c
c
x3
ac
x2 x1 x
2-3 信号流图
1 La Lb Lc Ld Le L f
a bc def
式中 La ——所有不同回路的增益之和； a L L ——每两个互不接触回路增益乘积之和； Ld Le L f ——每三个互不接触回路增益乘积之和； def ——在 中除去与第k条前向通路 Pk 相接触的 k 回路后的特征式，称为第k条前向通路特 征式的余因子。
X1 X1
a
a1 a2 a3
X1
a1 a2 a3
X2
X2
X3
X4
X2
X3
X4
a4
X5
1
X6
（a）
（b）
（c）
三、信号流图的运算法则 a1 1．加法规则
X1
a2
X2
X 1 a1 a 2
X2
图2-39 加法规则 并联支路可以通过传输相加的方法，合并为单一支 路。见图2-39，这时不变。
2．乘法规则 串联支路的总传输，等于所有支路传输的总乘积，见 图2-40所示。这时 X a a X a a X 不变。
输入节点 （源点）
d
输入节点 （源点）
X1
a
混合节点
X
X3
输出节点 （阱点）
X5
2
b
c
3-1信号流图
二、信号流图的性质 1．支路表示一个信号对另一个信号的函数关系。信号只 能沿着支路上由箭头规定的方向流通，如图2-38（a）所 示。 2．节点可以把所有输入支路的信号叠加，并把总的信号 送到所有输出支路。如图2-38（b）（c）所示。从图2-38 （c）得 X 5 a4 X 4 而 X 4 a1 X1 a2 X 2 a3 X 3 3．具有输入和输出支路的混合节点，通过增加一个具有 单位传输的支路，可以把它变成输出节点来处理，使它相 当于阱点，但用这种方法不能将混合节点变成源点，见图 2-38（c）。 4．对于给定的系统，信号流图非唯一。因为传递函数非 唯一，信号流图必非唯一。
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信号与系统
§5.6.4 系统函数和信号流图
信号与系统
主要内容
•系统方框图 •信号流图
•Mason公式
•系统模拟（第5.8节）
信号与系统
一．系统方框图
一个系统的方框图可由许多子系统的框图作适当联接组成。 子系统的基本联接方式有级联、并联和反馈三种。 （1）级联 （2）并联 等效系统函数为 等效系统函数为
X
X1
X2
G1
1 Li Li L j 1 ( L1 L2 L3 L4 ) ( L1L4 )
G2
1 H4G1 H2 H3H4 H5G2 H5 H6G2 H2 H7G2 H2 H4 H7GG2 1
X X1 X 2 X 3 X 4 Y
L3 ( X1 X 4 Y X1 ) H5 H 6G2
L4 ( X1 X 2 Y X1 ) H 2 H 7G2
其中L1、L4是两两不接触的回路，没有三个互不接触的回路
信号与系统
H6
H7 X3
H4
三．Mason公式 H H
1
2
H3
H5
X4
Y
可以求得流图的特征式
X (s)
H1 ( s ) H 2 ( s )
信号与系统
一．系统方框图
（3）反馈
X (s)
E (s)
等效系统函数为
H1 ( s)
H 2 (s)
Y (s)
H1 ( s ) H ( s) 1 H1 ( s ) H 2 ( s )
对于负反馈，总有
B( s )
X ( s)
H1 ( s ) H ( s) 1 H1 ( s ) H 2 ( s )
解：先求环路，一共有4个环路，即
L1 H 2G2
L2 H 4G4
L3 H 5G5
L4 H 2 H 3 H 4 H 5G1
其中（L1、L2），（L1、L3）是两两不接触的回路，没有三三不接触的
回路。
信号与系统
三．Mason公式
G1
H1
X
H2
H3
G4
X3
H5 G5
H (s)
Y (s)
X 2 ( s)
H 24
H 14
H 45
H 46
X 5 (s)
X 1 (s)
X 4 (s)
X (s)
H (s)
Y (s)
X 3 s
H 34
多输入多输出节点
X 6 (s)
信号流图中的节点可以有很多信号输入，它们是相加的关系，
X 4 X 1 H14 X 2 H 24 X 3 H 34
H1
X
例： 用Mason公式求图所示系统的系统函数
H7 X3
H4 H2
H3
X2
H5
X4
Y
X1
G1
解：先求环路，一共有4个环路，即
G2
L1 ( X 3 X 4 X 3 ) H 4G1
L2 ( X1 X 2 X 3 X 4 Y X1 ) H 2 H3 H 4 H 5G2
方程两边积分三次得到
d 2 y1 (t ) d y1 (t ) y1 (t ) a2 a1 a0 y1 (t ) x(t ) dt 2 dt dt
说明
y1 (t )是某信号积分三次得到，可以画出部分框图。
d 2 y1 t dt 2
dy1 t dt
a1
a0
信号与系统
四．系统模拟
d 2 y1 (t ) d y1 (t ) y (t ) b2 b1 b0 y1 (t ) 2 dt dt
可以画出完整的系统框图
b2
b1
x (t )
a2
a1
a0
y1 t
y(t )
b0
信号与系统
四．系统模拟
对应的信号流图为
1
G1 H1
X
H2 X1
H3
G4
X3
H5 G5
Y
G2
X2
H4 X4
信号与系统
三．Mason公式
通路: 从任一节点出发沿着支路箭头方向连续地穿过 各相连支路到达另一节点的路径称为通路。
前向通路: 从输入节点到输出节点的通路。
前向通路中通过任何节点不多于一次。
开通路: 如果通路与任一节点相遇不多于一次，则称 为开通路。
信号与系统
四．系统模拟
d 3 y1 (t ) d 2 y1 (t ) d y1 (t ) a2 a1 a0 y1 (t ) x(t ) 3 2 dt dt dt
d 3 y1 (t ) d 2 y1 (t ) d y1 (t ) a2 a1 a0 y1 (t ) x(t ) 3 2 dt dt dt
前向通路只有一条，即
所有回路都和这条前向通路接触，所以
X X1 X 2 X 3 X 4 Y
P1 H1 H 2 H 3 H 4 H 5
1 1 0 0 1
信号与系统
三．Mason公式
G1
H1
X
H2
H3
G4
X3
H5 G5
X1
G2
Y
X2
H4 X 4
三、 已知题图所示电路，求： （1）系统函数
H ( s) V2 ( s ) V1 ( s )
2H
+
v1 ( t )
+
1F
（2）冲激响应
h(t ) 与阶跃响应 g (t ) 。
-
2
v2 ( t )
-
题图
三条前向通路之(1)
P1 H1 H 2 H 3 H 4 H 5
三条前向通路之(2)
1 1 0 0 1
X X1 X 4 Y
P2 H1 H 5 H 6
2 1
信号与系统
三．Mason公式
X X1 X 2 Y
三条前向通路之(3)
P3 H 1 H 2 H 7
Mason公式为
P ( s)
k 1 k
M
k
( s)
( s )
其中
H ( s ) 从输入节点到输出节点之间的系统函数
(s)
特征式
(s) 1 Li Li L j Li L j Lk
i i i
L 所有不同回路增益之和 L L 所有两两互不接触回路增益乘积之和 L L L 所有三个互不接触回路增益乘积之和
3 1 H 4G1
H6 H7 X3
H4
所以系统函数为
X
M
H1 X1
H2
H3
X2
H5
X4
Y
G1
H
Pk (s) k (s)
k 1
G2
( s)
H1 H 2 H 3 H 4 H 5 H1H 5 H 6 H1H 2 H 7 1 H 4G1 1 H 4G1 H 2 H 3 H 4 H 5G2 H 5 H 6G2 H 2 H 7G2 H 2 H 4 H 7G1G2
d3 y1 (t ) d 2 y1 (t ) dy (t ) a2 a1 1 a0 y1 (t ) x(t ) dt 3 dt 2 dt
由线性时不变系统的性质知道存在下面关系
d 2 y1 (t ) dy1 (t ) y (t ) b2 b1 b0 y1 (t ) 2 dt dt
H (s) H1 (s) H 2 ( s)
X (s)
H (s) H1 (s) H 2 (s)
Y (s)
H1 ( s )
X (s)
Y1 ( s )
H 2 (s)
X (s)
H1 ( s )
H 2 (s)
Y1 ( s )
Y ( s)
Y2 ( s )
Y ( s)
Y (s)
H1 ( s ) H 2 ( s )
系统函数为
H
P (s)
k 1 k
M
k
( s)
( s)
H1 H 2 H 3 H 4 H 5 1 H 2G2 H 4G4 H 5G5 H 2 H 3 H 4 H 5G1 H 2 H 4G2G4 H 2G2 H 5G5
信号与系统
三．Mason公式
H6
H1 ( s ) Y ( s) 1 H1 ( s ) H 2 ( s )
信号与系统
二．信号流图
系统的信号流图是用一些点和有向线段来描述系统。变成信号流图形式 就是用线段端点代表信号，称为节点。有向线段表示信号传输的路径和方
向，一般称为支路，每一条支路上有增益，所以每一条支路相当于乘法器。
X (s)
X1
G2
Y
X2
H4 X 4
所以流图的特征式为
(s) 1 Li Li L j 1 ( L1 L2 L3 L4 ) ( L1L2 L1L3 )
1 ( H 2G2 H 4G4 H5G5 H 2 H3 H 4 H5G1 ) (H 2 H 4G2G4 H 2G2 H5G5 )
例： 用加法器、标量乘法器和积分器三种部件模拟下面微分方程描
述的系统
d3 y (t ) d 2 y (t ) dy (t ) d 2 x(t ) dx(t ) a2 a1 a0 y (t ) b2 b1 b0 x(t ) 3 2 2 dt dt dt dt dt
§5.6.4 系统函数和信号流图
信号与系统
主要内容
•系统方框图 •信号流图
•Mason公式
•系统模拟（第5.8节）
信号与系统
一．系统方框图
一个系统的方框图可由许多子系统的框图作适当联接组成。 子系统的基本联接方式有级联、并联和反馈三种。 （1）级联 （2）并联 等效系统函数为 等效系统函数为
X
X1
X2
G1
1 Li Li L j 1 ( L1 L2 L3 L4 ) ( L1L4 )
G2
1 H4G1 H2 H3H4 H5G2 H5 H6G2 H2 H7G2 H2 H4 H7GG2 1
X X1 X 2 X 3 X 4 Y
L3 ( X1 X 4 Y X1 ) H5 H 6G2
L4 ( X1 X 2 Y X1 ) H 2 H 7G2
其中L1、L4是两两不接触的回路，没有三个互不接触的回路
信号与系统
H6
H7 X3
H4
三．Mason公式 H H
1
2
H3
H5
X4
Y
可以求得流图的特征式
X (s)
H1 ( s ) H 2 ( s )
信号与系统
一．系统方框图
（3）反馈
X (s)
E (s)
等效系统函数为
H1 ( s)
H 2 (s)
Y (s)
H1 ( s ) H ( s) 1 H1 ( s ) H 2 ( s )
对于负反馈，总有
B( s )
X ( s)
H1 ( s ) H ( s) 1 H1 ( s ) H 2 ( s )
解：先求环路，一共有4个环路，即
L1 H 2G2
L2 H 4G4
L3 H 5G5
L4 H 2 H 3 H 4 H 5G1
其中（L1、L2），（L1、L3）是两两不接触的回路，没有三三不接触的
回路。
信号与系统
三．Mason公式
G1
H1
X
H2
H3
G4
X3
H5 G5
H (s)
Y (s)
X 2 ( s)
H 24
H 14
H 45
H 46
X 5 (s)
X 1 (s)
X 4 (s)
X (s)
H (s)
Y (s)
X 3 s
H 34
多输入多输出节点
X 6 (s)
信号流图中的节点可以有很多信号输入，它们是相加的关系，
X 4 X 1 H14 X 2 H 24 X 3 H 34
H1
X
例： 用Mason公式求图所示系统的系统函数
H7 X3
H4 H2
H3
X2
H5
X4
Y
X1
G1
解：先求环路，一共有4个环路，即
G2
L1 ( X 3 X 4 X 3 ) H 4G1
L2 ( X1 X 2 X 3 X 4 Y X1 ) H 2 H3 H 4 H 5G2
方程两边积分三次得到
d 2 y1 (t ) d y1 (t ) y1 (t ) a2 a1 a0 y1 (t ) x(t ) dt 2 dt dt
说明
y1 (t )是某信号积分三次得到，可以画出部分框图。
d 2 y1 t dt 2
dy1 t dt
a1
a0
信号与系统
四．系统模拟
d 2 y1 (t ) d y1 (t ) y (t ) b2 b1 b0 y1 (t ) 2 dt dt
可以画出完整的系统框图
b2
b1
x (t )
a2
a1
a0
y1 t
y(t )
b0
信号与系统
四．系统模拟
对应的信号流图为
1
G1 H1
X
H2 X1
H3
G4
X3
H5 G5
Y
G2
X2
H4 X4
信号与系统
三．Mason公式
通路: 从任一节点出发沿着支路箭头方向连续地穿过 各相连支路到达另一节点的路径称为通路。
前向通路: 从输入节点到输出节点的通路。
前向通路中通过任何节点不多于一次。
开通路: 如果通路与任一节点相遇不多于一次，则称 为开通路。
信号与系统
四．系统模拟
d 3 y1 (t ) d 2 y1 (t ) d y1 (t ) a2 a1 a0 y1 (t ) x(t ) 3 2 dt dt dt
d 3 y1 (t ) d 2 y1 (t ) d y1 (t ) a2 a1 a0 y1 (t ) x(t ) 3 2 dt dt dt
前向通路只有一条，即
所有回路都和这条前向通路接触，所以
X X1 X 2 X 3 X 4 Y
P1 H1 H 2 H 3 H 4 H 5
1 1 0 0 1
信号与系统
三．Mason公式
G1
H1
X
H2
H3
G4
X3
H5 G5
X1
G2
Y
X2
H4 X 4
三、 已知题图所示电路，求： （1）系统函数
H ( s) V2 ( s ) V1 ( s )
2H
+
v1 ( t )
+
1F
（2）冲激响应
h(t ) 与阶跃响应 g (t ) 。
-
2
v2 ( t )
-
题图
三条前向通路之(1)
P1 H1 H 2 H 3 H 4 H 5
三条前向通路之(2)
1 1 0 0 1
X X1 X 4 Y
P2 H1 H 5 H 6
2 1
信号与系统
三．Mason公式
X X1 X 2 Y
三条前向通路之(3)
P3 H 1 H 2 H 7
Mason公式为
P ( s)
k 1 k
M
k
( s)
( s )
其中
H ( s ) 从输入节点到输出节点之间的系统函数
(s)
特征式
(s) 1 Li Li L j Li L j Lk
i i i
L 所有不同回路增益之和 L L 所有两两互不接触回路增益乘积之和 L L L 所有三个互不接触回路增益乘积之和
3 1 H 4G1
H6 H7 X3
H4
所以系统函数为
X
M
H1 X1
H2
H3
X2
H5
X4
Y
G1
H
Pk (s) k (s)
k 1
G2
( s)
H1 H 2 H 3 H 4 H 5 H1H 5 H 6 H1H 2 H 7 1 H 4G1 1 H 4G1 H 2 H 3 H 4 H 5G2 H 5 H 6G2 H 2 H 7G2 H 2 H 4 H 7G1G2
d3 y1 (t ) d 2 y1 (t ) dy (t ) a2 a1 1 a0 y1 (t ) x(t ) dt 3 dt 2 dt
由线性时不变系统的性质知道存在下面关系
d 2 y1 (t ) dy1 (t ) y (t ) b2 b1 b0 y1 (t ) 2 dt dt
H (s) H1 (s) H 2 ( s)
X (s)
H (s) H1 (s) H 2 (s)
Y (s)
H1 ( s )
X (s)
Y1 ( s )
H 2 (s)
X (s)
H1 ( s )
H 2 (s)
Y1 ( s )
Y ( s)
Y2 ( s )
Y ( s)
Y (s)
H1 ( s ) H 2 ( s )
系统函数为
H
P (s)
k 1 k
M
k
( s)
( s)
H1 H 2 H 3 H 4 H 5 1 H 2G2 H 4G4 H 5G5 H 2 H 3 H 4 H 5G1 H 2 H 4G2G4 H 2G2 H 5G5
信号与系统
三．Mason公式
H6
H1 ( s ) Y ( s) 1 H1 ( s ) H 2 ( s )
信号与系统
二．信号流图
系统的信号流图是用一些点和有向线段来描述系统。变成信号流图形式 就是用线段端点代表信号，称为节点。有向线段表示信号传输的路径和方
向，一般称为支路，每一条支路上有增益，所以每一条支路相当于乘法器。
X (s)
X1
G2
Y
X2
H4 X 4
所以流图的特征式为
(s) 1 Li Li L j 1 ( L1 L2 L3 L4 ) ( L1L2 L1L3 )
1 ( H 2G2 H 4G4 H5G5 H 2 H3 H 4 H5G1 ) (H 2 H 4G2G4 H 2G2 H5G5 )
例： 用加法器、标量乘法器和积分器三种部件模拟下面微分方程描
述的系统
d3 y (t ) d 2 y (t ) dy (t ) d 2 x(t ) dx(t ) a2 a1 a0 y (t ) b2 b1 b0 x(t ) 3 2 2 dt dt dt dt dt