三角函数竞赛辅导

第一讲：三角恒等关系

一、引入：

三角恒等式的变形方法和技巧，包括三角恒等式的证明，条件恒等式的证明、化简、求值问题等. （一）、解题中关注的三大变化，这是打开解决问题之门的钥匙： ⑴角的变化；⑵结构的变化；⑶三角函数名称的变化. （二）、引例：求证：

()()sin 2sin 2cos sin sin αββ

αβαα

+-+=

分析：从“角”看：出现四种角：2,,,αβαβαβ++，

一种比较好的联系方式是：()()2,αβαβαβαβα+=++=+-，形式比较对称； 从“结构”看：通分应该是明智的选择；

从“名称”看为正弦、余弦形式，比较基本，证明方法可以综合法或分析法

证明：()()()()()()sin 2sin 22sin cos 2cos sin sin sin s cos sin sin sin sin co αβαβααβαβααααβααββαα

++-+-+=

+-+==

（三）、复习各种三角恒等关系式： 1、同角三角函数间的基本关系： ⑴ 倒数关系：

①sin csc 1θθ⋅=；②cos sec 1θθ⋅=；③ tan cot 1θθ⋅= ⑵ 商数关系： ①sin tan cos θθθ=

；②cos cot sin θθθ

= ⑶ 平方关系： ①2

2sin

cos 1θθ+=；②22tan 1sec θθ+=；③221cot csc θθ+=

⑷ “θθcos sin +”,“,cos sin θθ-”“θθcos sin ⋅”的关系 ①θθθθcos sin 21)cos (sin 2

+=+ ； ②θθθθcos sin 21)cos (sin 2-=- ③2)cos (sin )cos (sin 2

2

=-++θθθθ 2、诱导公式：

()2

k

k Z παα+∈与关系：

①()()2-1

2-1sin ,sin =2-1cos ,k

k k k k απαα⎧

∈⎪⎛⎫+⎨ ⎪⎝⎭⎪

∈⎩偶奇

； ②()()21

2-1cos ,cos =2-1s ,k

k k k in k απαα+⎧

∈⎪⎛⎫+⎨ ⎪⎝⎭⎪

∈⎩偶奇

；

③n ,tan =2cot ,ta k k k απαα∈⎧⎛⎫±⎨

⎪-∈⎝⎭⎩偶

奇

3、两角和与差的三角函数：

①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±； ②βαβαβαsin sin cos cos )cos(μ=± ③β

αβ

αβαtan tan 1tan tan )tan(μ±=

±

4、“和角公式”的派生公式

①βαβαβα2

2

sin sin )sin()sin(-=-+； ②βαβαβα2

2

sin cos )cos()cos(-=-+ ③)tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβαμ±=± 5、辅助角公式：)sin(cos sin 22ϕ++=

+x b a x b x a 其中a

b

=

ϕtan ；且ϕ由()b a ，所在的象限确定.

注: 辅助角公式主要解决一次齐次式的相关问题. 6、二倍角公式

① αααcos sin 22sin = ；

②ααα22sin 211cos 22cos -=-==αα2

2

sin cos - ； ③α

αα2tan 1tan 22tan -=

7、降次公式 ①2

1cos sin

22x x -=；②21cos cos 22x x +=；③21cos tan 21cos x x x

-=+ 8、升次公式 ①2

sin

2cos 12

α

α=-；②2

cos

2cos 12

α

α=+

注：降次公式与升次公式都是从倍角公式推导出来的，在三角函数的求值、化简、证明方面有着很广泛

的应用.

9、切割化弦公式

（1）同角公式：①θθθcos sin tan = ； ②θθθsin cos cot =；③θθcos 1sec =；④θ

θsin 1

csc = （2）变角公式：

①sin 1cos tan

21cos sin x x x x x -==+；②sin 1cos cot 21cos sin x x x

x x +==

- 10、半角公式: ①

sin 2

α

=

cos 2α= ③

sin (1cos )

tan

.2

(1cos )sin α

αααα

-===+

11、和差化积公式:

① s in α+s in β=2s in ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2βαco s ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2βα；② s in α-s in β=2 co s ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2βαs in ⎪⎭⎫

⎝⎛-2βα, ③ co s α+co s β=2co s ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2βαco s ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2βα；④ co s α-co s β= -2s in ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2βαs in ⎪⎭

⎫

⎝⎛-2βα,

12、积差化和公式：

① s in αco s β=21[s in (α+β)+s in (α-β)]；② co s αs in β=21

[s in (α+β)-s in (α-β)], ③ co s αco s β=21[co s(α+β)+co s(α-β)]；④ s in αs in β=-2

1

[co s(α+β)-co s(α-β)].

13、 万能公式: ①⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=

2tan 12tan 2sin 2ααα；②⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2tan 12tan 1cos 22ααα；③.2tan 12tan 2tan 2⎪

⎭

⎫

⎝⎛-⎪

⎭⎫ ⎝⎛=ααα

14、三倍角公式：

①3

sin 33sin 4sin 4sin sin sin 33ππαααααα⎛⎫⎛⎫

=-=-+

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

； ②3

cos34cos 3cos 4cos cos cos 33ππαααααα⎛⎫⎛⎫

=-=-+

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

； ③tan 3tan tan tan 33ππαααα⎛⎫⎛⎫

=-+

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

二、典型例题：

一、基本变形方法： 例1、求证：

()()()()()()

sin sin sin 0sin sin sin sin sin sin αβγ

αβαγβαβγγαγβ++=------

分析：这是一个轮换对称恒等式，可以采用“各个击破”的方法试一试. 证明：

()()()()()()()()()()()

sin sin cos s sin sin sin sin sin sin 2sin sin sin co αγβαβγαβγααβαγαβαγγβαβαγγβ-+---+==

--------